TEMA 3 |
||
conceptul de funcție de distribuție |
||
așteptări și variații matematice |
||
distribuție uniformă (dreptunghiulară). |
||
distribuție normală (gaussiană). |
||
Distributie |
||
t- Repartizarea elevilor |
||
F- distributie |
||
distribuția sumei a două variabile aleatoare independente |
||
exemplu: distribuția sumei a două independente cantități uniform distribuite |
||
transformarea variabilei aleatoare |
||
exemplu: distribuția unei unde armonice cu faza aleatorie |
||
teorema limitei centrale |
||
momentele unei variabile aleatoare și proprietățile acestora |
||
SCOPUL ciclului PRELEȚII: | RAPORTAȚI INFORMAȚII INIȚIALE DESPRE CELE MAI IMPORTANTE FUNCȚII DE DISTRIBUȚIE ȘI PROPRIETĂȚILE LOR |
|
FUNCȚII DE DISTRIBUȚIE
Lasa x(k) este o variabilă aleatoare. Apoi, pentru orice valoare fixă x, un eveniment aleatoriu x(k) 
X definit ca ansamblul tuturor rezultatelor posibile k astfel încât x(k) x. În ceea ce privește măsura probabilității inițială dată pe spațiul eșantion, functie de distributieP(x) definită ca probabilitatea atribuită unui set de puncte k x(k) x. Rețineți că setul de puncte k satisfacerea inegalitatii x(k) x, este o submulțime a mulțimii de puncte care satisfac inegalitatea x(k)
.
Oficial
Este evident că
Dacă intervalul de valori ale variabilei aleatoare este continuu, ceea ce se presupune mai jos, atunci probabilitate densitate(unidimensional) p(x) este determinată de relația diferențială
(4)
Prin urmare,
(6)
Pentru a putea lua în considerare cazuri discrete este necesar să se admită prezența funcțiilor delta în compoziția densității de probabilitate.
VALOREA ESTIMATA
Fie variabila aleatoare x(k) ia valori din intervalul de la - la + . Rău(in caz contrar, valorea estimata sau valorea estimata) x(k) se calculează folosind trecerea corespunzătoare la limita în suma produselor valorilor x(k) cu privire la probabilitatea producerii acestor evenimente:
(8)
Unde E- așteptarea matematică a expresiei între paranteze drepte după index k. Așteptările matematice ale unei funcții continue reale cu o singură valoare este definită în mod similar g(X) dintr-o variabilă aleatoare x(k)
(9)
Unde p(x)- densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare x(k).În special, luarea g(x)=x, primim pătrat mediu x(k) :
(10)
Dispersiax(k) definită ca pătratul mediu al diferenței x(k)și valoarea sa medie,
adică în acest caz g(x)= 
și
A-priorie, deviație standard variabilă aleatorie x(k), notat , este valoarea pozitivă a rădăcinii pătrate a varianței. Abaterea standard este măsurată în aceleași unități ca și media.
CELE MAI IMPORTANTE FUNCȚII DE DISTRIBUȚIE
DISTRIBUȚIE UNIFORMĂ (RECTANGULARĂ).
Să presupunem că experimentul constă într-o selecție aleatorie a unui punct din intervalul [ a,b] , inclusiv punctele finale ale acestuia. În acest exemplu, ca valoare a unei variabile aleatoare x(k) puteți lua valoarea numerică a punctului selectat. Funcția de distribuție corespunzătoare are forma
Prin urmare, densitatea de probabilitate este dată de formula
În acest exemplu, calculul mediei și varianței folosind formulele (9) și (11) dă
DISTRIBUȚIE NORMALĂ (GAUSSĂ).
, - medie aritmetică, - RMS.
Valoarea lui z corespunzătoare probabilității P(z)=1-, adică.
CHI - DISTRIBUȚIE PĂTRATĂ
Lasa 
- n variabile aleatoare independente, fiecare dintre acestea având o distribuție normală cu medie zero și varianță unitară.
Variabilă aleatoare chi-pătrat cu n grade de libertate.
probabilitate densitate .
DF: 100 - puncte procentuale - distribuțiile se notează cu , i.e.
media și varianța sunt egale
t - DISTRIBUȚII STUDENTILOR
y, z sunt variabile aleatoare independente; y - are - distribuție, z - distribuit normal cu medie zero și varianță unitară.
valoare – are t- Distribuția studentului cu n grade de libertate
DF: 100 - punct procentual t - este indicată distribuția
Media și varianța sunt egale
F - DISTRIBUȚIE
Variabile aleatoare independente; are - distributie cu grade de libertate; distribuţie cu grade de libertate. Valoare aleatoare:
,
F este o variabilă aleatoare distribuită cu și grade de libertate.
,
DF: 100 - punct procentual:
Media și varianța sunt egale:
DISTRIBUȚIA SUMEI
DOUĂ VARIABILE ALEATORII
Lasa x(k)și y(k) sunt variabile aleatoare cu o densitate de probabilitate comună p(x,y). Aflați densitatea de probabilitate a sumei variabilelor aleatoare
La un fix X noi avem y=z–x. Asa de
La un fix z valorile X rulați intervalul de la – la +. Asa de
(37)
de unde se poate observa că pentru a calcula densitatea dorită a sumei, trebuie să se cunoască densitatea de probabilitate comună inițială. În cazul în care un x(k)și y(k) sunt variabile aleatoare independente având densități și, respectiv, atunci și
(38)
EXEMPLU: SUMA A DOUĂ VARIABILE ALEATORII INDEPENDENTE, DISTRIBUITE UNIFORM.
Fie două variabile aleatoare independente au densități de formă
In alte cazuri 
Să găsim densitatea de probabilitate p(z) a sumei lor z= x+ y.
Probabilitate densitate 
pentru 
adică pentru 
Prin urmare, X mai puțin decât z. În plus, nu este egal cu zero pentru Prin formula (38), constatăm că
Ilustrare:
Densitatea de probabilitate a sumei a două variabile aleatoare independente, distribuite uniform.
CONVERSIE ALEATORIE
VALORI
Lasa x(t)- variabilă aleatoare cu densitate de probabilitate p(x), lăsați-l să plece g(x) este o funcție reală continuă cu o singură valoare a X. Luați în considerare mai întâi cazul în care funcția inversă x(g) este, de asemenea, o funcție continuă cu o singură valoare a g. Probabilitate densitate p(g), corespunzătoare unei variabile aleatorii g(x(k)) = g(k), poate fi determinată din densitatea de probabilitate p(x) variabilă aleatorie x(k)și derivată dg/dxîn ipoteza că derivata există și este diferită de zero, și anume:
(12)
Prin urmare, în limită dg/dx#0
(13)
Folosind această formulă, urmează pe partea dreaptă în loc de o variabilă Xînlocuiți valoarea corespunzătoare g.
Luați în considerare acum cazul în care funcția inversă x(g) este valabil n-funcţia valorificată a g, Unde n este un număr întreg și toate n valorile sunt la fel de probabile. Apoi
(14)
EXEMPLU:
DISTRIBUȚIA FUNCȚIEI ARMONICE.
Funcție armonică cu amplitudine fixă X si frecventa f va fi o variabilă aleatorie dacă unghiul său de fază inițial = (k)- valoare aleatoare. În special, lasă t fix si egal t o, iar variabila aleatoare armonică are forma
Să ne prefacem că (k) are o densitate de probabilitate uniformă p( ) drăguț
Aflați densitatea de probabilitate p(x) variabilă aleatorie x(k).
În acest exemplu, funcția directă X( ) fără ambiguitate și funcția inversă (X) ambiguu.
În practică, adesea devine necesar să se găsească legea distribuției pentru suma variabilelor aleatoare.
Să existe un sistem (X b X 2) două s continue. în. si suma lor
Să găsim densitatea de distribuție c. în. U. În conformitate cu soluţia generală a paragrafului precedent găsim regiunea planului în care x + x 2 (Fig. 9.4.1):
Diferențiând această expresie față de y, obținem un ap. variabilă aleatorie Y \u003d X + X 2:
Deoarece funcția φ (x b x 2) = Xj + x 2 este simetrică în raport cu argumentele sale, atunci
Dacă cu. în. Xși X 2 sunt independente, atunci formulele (9.4.2) și (9.4.3) iau forma:
În cazul în care independent c. în. x xși X 2, vorbesc despre componenţa legilor de distribuţie. Legume şi fructe compoziţie două legi de distribuție - aceasta înseamnă găsirea legii de distribuție pentru suma a două c independente. c., distribuite conform acestor legi. Notația simbolică este folosită pentru a desemna compoziția legilor de distribuție
care se notează în esență prin formulele (9.4.4) sau (9.4.5).
Exemplul 1. Se are în vedere funcționarea a două dispozitive tehnice (TD). În primul rând, TU funcționează după ce defecțiunea sa (eșecul) este inclusă în funcționarea TU 2. Uptime TU TU TU 2 - x xși X 2 - sunt independente şi distribuite conform legilor exponenţiale cu parametrii A,1 şi X 2 . Prin urmare, timpul Y funcționarea fără probleme a TU, constând din TU! iar TU 2 va fi determinat prin formula
Se cere găsirea unui p.r. variabilă aleatorie Y, adică alcătuirea a două legi exponențiale cu parametri și X 2 .
Decizie. Prin formula (9.4.4) obținem (y > 0)
Dacă există o compoziție a două legi exponențiale cu aceiași parametri (?c = X 2 = Y), atunci în expresia (9.4.8) se obține o incertitudine de tip 0/0, extinzându-se pe care, se obține:
Comparând această expresie cu expresia (6.4.8), suntem convinși că alcătuirea a două legi exponențiale identice (?c = X 2 = X) este legea Erlang de ordinul doi (9.4.9). La alcătuirea a două legi exponenţiale cu parametri diferiţi x xși A-2 obține legea Erlang generalizată de ordinul doi (9.4.8). ?
Problema 1. Legea distribuției diferenței a două s. în. Sistem cu. în. (X și X 2) are un r.p./(x x x 2). Găsiți un p.r. diferențele lor Y=X - X 2 .
Decizie. Pentru sistemul cu în. (X b - X 2) etc. va fi / (x b - x 2), adică am înlocuit diferența cu suma. Prin urmare, a.r. variabila aleatoare U va avea forma (vezi (9.4.2), (9.4.3)):
În cazul în care un cu. în. X x iX 2 independent, atunci
Exemplul 2. Găsiți un f.r. diferența a două s independente distribuite exponențial. în. cu parametrii x xși X 2 .
Decizie. Conform formulei (9.4.11) obținem
Orez. 9.4.2 Orez. 9.4.3
Figura 9.4.2 prezintă o p. g(y). Dacă luăm în considerare diferența a două s independente distribuite exponențial. în. cu aceleasi setari (A-i= X 2 = DAR,), apoi g(y) \u003d / 2 - deja familiar
legea lui Laplace (Fig. 9.4.3). ?
Exemplul 3. Aflați legea distribuției pentru suma a două c independente. în. Xși X 2, distribuite conform legii Poisson cu parametri un xși a 2 .
Decizie. Găsiți probabilitatea unui eveniment (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,
Prin urmare, s. în. Y= X x + X 2 distribuit conform legii Poisson cu parametrul a x2) - a x + a 2. ?
Exemplul 4. Aflați legea distribuției pentru suma a două c independente. în. x xși X 2, distribuite după legi binomiale cu parametri p x ri p 2 , p respectiv.
Decizie. Imaginați-vă cu. în. x x la fel de:
Unde X 1) - indicator de eveniment DAR wu "a-a experiență:
Gama de distributie cu. în. X,- are forma
Vom face o reprezentare similară pentru s. în. X 2: unde X] 2) - indicator de eveniment DARîn a-a experiență:
Prin urmare,
unde este X? 1)+(2) dacă indicatorul evenimentului DAR:
Astfel, am arătat că în. Suma socrului (u + n 2) indicatori de eveniment DAR, de unde rezultă că s. în. ^distribuit conform legii binomiale cu parametri ( n x + n 2), p.
Rețineți că dacă probabilitățile Rîn diferite serii de experimente sunt diferite, apoi ca urmare a adăugării a două s independente. c., distribuite conform legilor binomiale, rezultă c. c., distribuite nu conform legii binomiale. ?
Exemplele 3 și 4 sunt ușor de generalizat la un număr arbitrar de termeni. La alcătuirea legilor lui Poisson cu parametri a b a 2 , ..., un t Legea lui Poisson se obține din nou cu parametrul a (t) \u003d a x + a 2 + ... + Si t.
La alcătuirea legilor binomiale cu parametri (n r); (i 2, R) , (n t, p) din nou obținem legea binomială cu parametri (“(“), R), Unde n (t) \u003d u + n 2 + ... + etc.
Am demonstrat proprietăți importante ale legii lui Poisson și ale legii binomiale: „proprietatea de stabilitate”. Legea distributiei se numeste durabil, dacă din alcătuirea a două legi de acelaşi tip rezultă o lege de acelaşi tip (diferă doar parametrii acestei legi). În Subsecțiunea 9.7 vom arăta că legea normală are aceeași proprietate de stabilitate.
Un obiect extrem de important al teoriei probabilităților este suma variabilelor aleatoare independente. Studiul distribuției sumelor variabilelor aleatoare independente este cel care a pus bazele dezvoltării metodelor analitice ale teoriei probabilităților.
Distribuția sumei variabilelor aleatoare independente
În această secțiune, vom obține o formulă generală care ne permite să calculăm funcția de distribuție a sumei variabilelor aleatoare independente și să luăm în considerare câteva exemple.
Distribuția sumei a două variabile aleatoare independente. Formula de convoluție
variabile aleatoare independente cu funcţii de distribuţie
respectiv
Apoi funcția de distribuție F sume ale variabilelor aleatoare
poate fi calculat folosind următoarea formulă ( formula de convoluție)
Pentru a demonstra acest lucru, folosim teorema lui Fubini.
A doua parte a formulei este demonstrată în mod similar.
Densitatea de distribuție a sumei a două variabile aleatoare independente
Dacă distribuțiile ambelor variabile aleatoare au densități, atunci densitatea sumei acestor variabile aleatoare poate fi calculată prin formula
Dacă distribuția unei variabile aleatoare (sau ) are o densitate, atunci densitatea sumei acestor variabile aleatoare poate fi calculată prin formula
Pentru a demonstra aceste afirmații, este suficient să folosim definiția densității.
Convoluții multiple
Calculul sumei unui număr finit de variabile aleatoare independente se realizează folosind aplicarea secvenţială a formulei de convoluţie. Funcția de distribuție a sumei k variabile aleatoare independente distribuite identic cu o funcție de distribuție F
numit k–convoluția pliului a funcției de distribuție Fși notat
Exemple de calcul al distribuției sumelor variabilelor aleatoare independente
În acest paragraf sunt date exemple de situații, la însumarea variabilelor aleatoare, se păstrează forma distribuției. Demonstrațiile sunt exerciții de însumare și calcul de integrale.
Sume ale variabilelor aleatoare independente. Distributie normala
Sume ale variabilelor aleatoare independente.Distribuție binomială
Sume ale variabilelor aleatoare independente.distribuția Poisson
Sume ale variabilelor aleatoare independente Distribuția gamma
Procesul Poisson
o secvență de variabile aleatoare independente distribuite identic având o distribuție exponențială cu parametru
Secvență aleatorie de puncte
pe semiaxa nenegativă se numește Proces Poisson (punct)..
Să calculăm distribuția numărului de puncte
Procesul Poisson în intervalul (0,t)
echivalente, deci
Dar distribuția variabilei aleatoare
este o distribuție Erlang de ordin k, deci
Astfel, distribuția numărului de puncte ale procesului Poisson în intervalul (o,t) este o distribuție Poisson cu parametrul
Procesul Poisson este utilizat pentru a simula momentele apariției unor evenimente aleatoare - procesul de dezintegrare radioactivă, momentele de primire a apelurilor către centrala telefonică, momentele apariției clienților în sistemul de service, momentele de defecțiune a echipamentului.
Să folosim metoda generală de mai sus pentru a rezolva o problemă, și anume, pentru a găsi legea distribuției pentru suma a două variabile aleatoare. Există un sistem de două variabile aleatoare (X,Y) cu densitatea distribuției f(x,y).
Se consideră suma variabilelor aleatoare X și Y: și se află legea de distribuție a valorii Z. Pentru a face acest lucru, construim o dreaptă pe planul xOy, a cărei ecuație 
(Fig. 6.3.1). Aceasta este o linie dreaptă care decupează segmente egale cu z pe axe. Drept împarte planul xy în două părți; la dreapta si sus 
; stânga și dedesubt
Regiunea D în acest caz este partea din stânga jos a planului xOy, umbrită în Fig. 6.3.1. Conform formulei (6.3.2) avem:
Aceasta este formula generală pentru densitatea de distribuție a sumei a două variabile aleatoare.
Din motive de simetrie a problemei față de X și Y, putem scrie o altă versiune a aceleiași formule:
Este necesar să se producă o compoziție a acestor legi, adică să se găsească legea de distribuție a cantității: .
Aplicam formula generala pentru alcatuirea legilor de distributie:
Înlocuirea acestor expresii în formula pe care am întâlnit-o deja
iar aceasta nu este altceva decât o lege normală cu un centru de dispersie
La aceeași concluzie se poate ajunge mult mai ușor cu ajutorul următorului raționament calitativ.
Fără a deschide parantezele și fără a efectua transformări în integrandul (6.3.3), ajungem imediat la concluzia că exponentul este un trinom pătrat față de x de forma
unde valoarea lui z nu este inclusă deloc în coeficientul A, este inclusă în coeficientul B de gradul I, iar coeficientul C este inclus în pătrat. Având în vedere acest lucru și aplicând formula (6.3.4), concluzionăm că g(z) este o funcție exponențială, al cărei exponent este un trinom pătrat în raport cu z și densitatea distribuției; de acest fel corespunde legii normale. Astfel, noi; ajungem la o concluzie pur calitativă: legea distribuției lui z trebuie să fie normală. Pentru a găsi parametrii acestei legi - și 
- folosiți teorema de adunare a așteptărilor matematice și teorema de adunare a varianțelor. Conform teoremei de adunare a așteptărilor matematice 
. Conform teoremei adunării varianței 
sau 
de unde urmează formula (6.3.7).
Trecând de la abaterile rădăcină pătrată medie la abaterile probabile proporționale cu acestea, obținem: 
.
Astfel, am ajuns la următoarea regulă: atunci când sunt compuse legile normale, se obține din nou o lege normală și se însumează așteptările și variațiile matematice (sau abaterile probabile la pătrat).
Regula de compoziție pentru legile normale poate fi generalizată în cazul unui număr arbitrar de variabile aleatoare independente.
Dacă există n variabile aleatoare independente: supuse legilor normale cu centre de dispersie și abateri standard, atunci valoarea este supusă și legii normale cu parametri
Dacă sistemul de variabile aleatoare (X, Y) este distribuit conform legii normale, dar mărimile X, Y sunt dependente, atunci este ușor de demonstrat, la fel ca înainte, pe baza formulei generale (6.3.1), că legea de distribuţie a mărimii este şi o lege normală. Centrele de împrăștiere adaugă în continuare algebric, dar pentru abaterile standard regula devine mai complicată: 
, unde, r este coeficientul de corelație al valorilor X și Y.
Când se adună mai multe variabile aleatoare dependente care în totalitatea lor respectă legea normală, legea de distribuție a sumei se dovedește a fi și ea normală cu parametrii
unde este coeficientul de corelație al mărimilor X i , X j , iar însumarea se extinde la toate combinațiile diferite, în perechi, ale mărimilor.
Am văzut o proprietate foarte importantă a legii normale: atunci când legile normale sunt combinate, se obține din nou o lege normală. Aceasta este așa-numita „proprietate de stabilitate”. Se spune că o lege de distribuție este stabilă dacă, prin alcătuirea a două legi de acest tip, se obține din nou o lege de același tip. Am arătat mai sus că legea normală este stabilă. Foarte puține legi de distribuție au proprietatea de stabilitate. Legea densității uniforme este instabilă: când am compus două legi ale densității uniforme în secțiuni de la 0 la 1, am obținut legea lui Simpson.
Stabilitatea unei legi normale este una dintre condițiile esențiale pentru aplicarea sa largă în practică. Cu toate acestea, proprietatea de stabilitate, pe lângă cea normală, este deținută și de alte legi de distribuție. O caracteristică a legii normale este că atunci când este compus un număr suficient de mare de legi de distribuție practic arbitrare, legea totală se dovedește a fi arbitrar apropiată de cea normală, indiferent de care au fost legile de distribuție a termenilor. Acest lucru poate fi ilustrat, de exemplu, prin alcătuirea a trei legi ale densității uniforme în secțiuni de la 0 la 1. Legea de distribuție rezultată g(z) este prezentată în fig. 6.3.1. După cum se poate observa din desen, graficul funcției g(z) este foarte asemănător cu graficul legii normale.
Să existe un sistem de două variabile aleatoare Xși Y, a cărui distribuție comună este cunoscută. Sarcina este de a găsi distribuția unei variabile aleatoare. Ca exemple de SV Z puteți aduce profit de la două întreprinderi; numărul de alegători care au votat într-un anumit mod din două secții diferite; suma punctelor de pe cele două zaruri.
1. Cazul a două DSV-uri. Indiferent de valorile pe care le iau CV-urile discrete (sub forma unei fracții zecimale finite, cu pași diferiți), situația poate fi aproape întotdeauna redusă la următorul caz special. Cantitati Xși Y poate lua numai valori întregi, adică 
Unde 
. Dacă inițial erau fracții zecimale, atunci se pot face numere întregi prin înmulțirea cu 10 k. Și valorile lipsă dintre maxime și minime pot fi atribuite probabilități zero. Fie cunoscută distribuția de probabilitate comună. Atunci, dacă numerotăm rândurile și coloanele matricei conform regulilor: , atunci probabilitatea sumei este:
Elementele matricei sunt adăugate de-a lungul uneia dintre diagonale.
2. Cazul a două NSW. Fie cunoscută densitatea distribuției comune. Apoi densitatea de distribuție a sumei:
În cazul în care un Xși Y independent, adică , apoi
Exemplul 1 X Y– SW independent, uniform distribuit:
Să găsim densitatea de distribuție a variabilei aleatoare.
Este evident că 
,
SW Z poate lua valori în interval ( c+d; a+b), dar nu pentru toți X. în afara acestui interval. Pe planul de coordonate ( X, z) intervalul de valori posibile ale cantității z este un paralelogram cu laturi X=cu; X=A; z=x+d; z=x+b. În formula pentru limitele integrării va fi cși A. Cu toate acestea, datorită faptului că în înlocuire y=z-x, pentru unele valori z functie . De exemplu, dacă c 
pentru toți Xși z. Vom face asta pentru cazul special când a+d< b+c
. Să luăm în considerare trei regiuni diferite de modificare a cantității z iar pentru fiecare dintre ele găsim .
1) c+d ≤ z ≤ a+d. Apoi 
2) a+d ≤ z ≤ b+c. Apoi 
3) b+c ≤ z ≤ a+b. Apoi 
Această distribuție se numește legea lui Simpson. Figurile 8, 9 prezintă grafice ale densității distribuției SW la cu=0, d=0.
