Conceptul unei funcții Modalități de definire a unei funcții Exemple de funcții Definirea analitică a unei funcții Mod grafic de definire a unei funcții Limita unei funcții într-un punct Modul tabelar de definire a unei funcții Teoreme limită Unicitatea unei limite Mărginirea unei funcții care are o limită Trecerea la o limită la inegalitate Limita unei funcții la infinit Funcții infinitezimale Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale

Conceptul de funcție este de bază și original, la fel ca și conceptul de mulțime. Fie X un set de numere reale x. Dacă fiecărui x ∈ X i se atribuie un anumit număr real y după vreo lege, atunci se spune că pe mulțimea X este dată o funcție și se scrie.Funcția introdusă în acest fel se numește numerică. În acest caz, mulțimea X este numită domeniul definiției funcției, iar variabila independentă x este numită argument. Pentru a indica o funcție, uneori este folosit doar simbolul, care denotă legea corespondenței, adică în loc de f (x) n și bufon, doar /. Astfel, funcția este dată dacă 1) este specificat domeniul de definiție 2) regula /, care atribuie fiecărei valori a: € X un anumit număr y \u003d / (x) - valoarea funcției corespunzătoare acestei valori a argumentului x. Funcțiile / și g sunt numite egale dacă domeniile lor de definiție coincid și egalitatea f(x) = g(x) este adevărată pentru orice valoare a argumentului x din domeniul lor comun. Astfel, funcțiile y nu sunt egale; sunt egale numai pe intervalul [O, I]. Exemple de funcții. 1. Sirul (o„) este o funcție a unui argument întreg, definit pe mulțimea numerelor naturale, astfel încât f(n) = an (n = 1,2,...). 2. Funcția y = n? (a se citi „en-factorial”). Dat pe mulțimea numerelor naturale: fiecare număr natural n este asociat cu produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n inclusiv: în plus, 0! = 1. Semnul de desemnare provine din cuvântul latin signum - un semn. Această funcție este definită pe întreaga linie numerică, setul valorilor sale este format din trei numere -1,0, I (Fig. 1). y = |x), unde (x) reprezintă partea întreagă a unui număr real x, adică [x| - cel mai mare întreg nu depășește Se citește: - jocul este egal cu antie x ”(fr. entier). Această funcție este setată pe întreaga axă a numerelor, iar setul tuturor valorilor sale este format din numere întregi (Fig. 2). Modalități de specificare a unei funcții Specificarea analitică a unei funcții Se spune că o funcție y = f(x) este specificată analitic dacă este definită folosind o formulă care indică ce operații trebuie efectuate asupra fiecărei valori a lui x pentru a obține valoarea corespunzătoare a lui x. y. De exemplu, funcția este dată analitic. În acest caz, domeniul funcției (dacă nu este specificat în prealabil) este înțeles ca mulțimea tuturor valorilor reale ale argumentului x, pentru care expresia analitică care definește funcția ia doar valori reale și finale. În acest sens, domeniul unei funcții se mai numește și domeniul său de existență. Pentru functie, domeniul de definitie este segmentul.Pentru functia y - sin x, domeniul de definitie este intreaga axa numerica. Rețineți că nu orice formulă definește o funcție. De exemplu, formula nu definește nicio funcție, deoarece nu există o singură valoare reală a lui x pentru care ambele rădăcini scrise mai sus să aibă valori reale. Atribuirea analitică a unei funcții poate părea destul de complicată. În special, o funcție poate fi definită prin diferite formule pe diferite părți ale domeniului său de definire. De exemplu, o funcție ar putea fi definită astfel: 1.2. Mod grafic de specificare a unei funcții Funcția y = f(x) se numește specificat grafic dacă programul său este specificat, adică. o mulțime de puncte (xy/(x)) pe planul xOy, ale căror abscise aparțin domeniului de definire a funcției, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției (Fig. 4). Nu pentru fiecare funcție, graficul acesteia poate fi reprezentat în figură. De exemplu, funcția Dirichlet dacă x este rațional, dacă x este irațional, ZX \o, nu permite o astfel de reprezentare. Funcția R(x) este dată pe întreaga axă numerică, iar setul valorilor sale este format din două numere 0 și 1. 1.3. Mod tabelar de specificare a unei funcții Se spune că o funcție este specificată tabelar dacă este furnizat un tabel care conține valorile numerice ale funcției pentru unele valori ale argumentului. Când o funcție este definită într-un tabel, domeniul său de definire constă numai din valorile x\t x2i..., xn enumerate în tabel. §2. Limita unei funcții într-un punct Conceptul de limită a unei funcții este esențial pentru analiza matematică. Fie definită funcția f(x) într-o vecinătate Q a punctului xq, cu excepția, poate, a punctului de extensie (Cauchy) în sine. Numărul A se numește limita funcției f(x) în punctul x0 dacă pentru orice număr e > 0, care poate fi arbitrar mic, există un număr<5 > 0 astfel încât pentru toate iGH.i^ x0 care îndeplinesc condiția inegalitatea este adevărată Definiția unei funcții Modalități de definire a unei funcții Exemple de funcții Definirea analitică a unei funcții Mod grafic de definire a unei funcții Limita unei funcții într-un punct Mod tabelar al definirea unei funcții Teoreme limită Unicitatea unei limite Mărginirea unei funcții care are o limită Tranziția la limita în inegalitate Limita unei funcții la infinit Funcții infinitezimale Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale Notație: Cu ajutorul simbolurilor logice, această definiție se exprimă ca urmează.Exemple. 1. Folosind definiția limitei unei funcții într-un punct, arătați că Funcția este definită peste tot, inclusiv punctul zo = 1: /(1) = 5. Luați oricare. Pentru inegalitatea |(2x + 3) - 5| a avut loc, este necesar să îndeplinim următoarele inegalități Prin urmare, dacă luăm vom avea. Aceasta înseamnă că numărul 5 este limita funcției: la punctul 2. Folosind definiția limitei unei funcții, arătați că funcția nu este definită în punctul xo = 2. Luați în considerare /(x) într-o vecinătate a punctul-Xq = 2, de exemplu, pe intervalul ( 1, 5) care nu conține punctul x = 0, la care nici funcția /(x) nu este definită. Luați un număr arbitrar c > 0 și transformați expresia |/(x) - 2| pentru x f 2 după cum urmează. Pentru x b (1, 5) obținem inegalitatea Din aceasta este clar că dacă luăm 6 \u003d c, atunci pentru toate x € (1.5) supuse condiției inegalitatea va fi adevărată Aceasta înseamnă că numărul A - 2 este limita unei funcții date într-un punct Să dăm o explicație geometrică a conceptului de limită a unei funcții într-un punct, referindu-ne la graficul acesteia (Fig. 5). Pentru x, valorile funcției /(x) sunt determinate de ordonatele punctelor curbei M \ M, pentru x > ho - de ordonatele punctelor curbei MM2. Valoarea /(x0) este determinată de ordonata punctului N. Graficul acestei funcții se obține dacă luăm curba „bună” M\MMg și înlocuim punctul M(x0, A) de pe curbă cu punctul jV. Să arătăm că în punctul x0 funcția /(x) are o limită egală cu numărul A (ordonata punctului M). Luați orice număr (arbitrar mic) e > 0. Marcați pe axa Oy punctele cu ordonatele A, A - e, A + e. Notați cu P și Q punctele de intersecție ale graficului funcției y \u003d / (x ) cu liniile y \u003d A - enu = A + e. Fie abscisele acestor puncte x0 - hx0 + hi, respectiv (ht > 0, /12 > 0). Din figură se poate observa că pentru orice x Φ x0 din intervalul (x0 - h\, x0 + hi) valoarea funcției f(x) este între. pentru toate x ⩽ x0 care îndeplinesc condiția, inegalitatea este adevărată. Setăm Atunci intervalul va fi conținut în interval și, prin urmare, inegalitatea sau, care va fi satisfăcută și pentru tot x care îndeplinește condiția Aceasta demonstrează că Astfel, funcția y \u003d f (x) are o limită A în punctul x0 dacă, indiferent cât de îngustă este banda electronică dintre liniile y = A-eny = A + e, există un astfel de „5 > 0, astfel încât pentru toate x din vecinătatea perforată a punctului x0 a punctului graficului funcției sunt în interiorul benzii e indicate. Observație 1. Mărimea b depinde de e: 6 = 6(e). Observația 2. În definirea limitei unei funcții în punctul Xq, punctul x0 însuși este exclus din considerare. Astfel, valoarea funcției în punctul Ho ns nu afectează limita funcției în acel punct. Mai mult, funcția poate să nu fie definită chiar în punctul Xq. Prin urmare, două funcții care sunt egale într-o vecinătate a punctului Xq, excluzând, probabil, punctul x0 însuși (pot avea valori diferite la acesta, una dintre ele sau ambele împreună nu pot fi definite), au aceeași limită pentru x - Xq, sau ambele nu au limită. Din aceasta, în special, rezultă că pentru a găsi limita unei fracții în punctul xo, este legitim să se reducă această fracție prin expresii egale care dispar la x = Xq. Exemplul 1. Găsiți Funcția /(x) = j pentru toate x Ф 0 este egală cu unu, iar în punctul x = 0 nu este definită. Inlocuind f(x) cu functia g(x) = 1 egala cu aceasta la x 0, se obtine conceptul de functie Modalitati de definire a unei functii Exemple de functii Definirea analitica a unei functii Mod grafic de definire a unei functii Limita unei funcţie într-un punct Mod tabelar de definire a unei funcţii Teoreme limită Unicitatea unei limite Mărginirea unei funcţii având o tranziţie limită la limita în inegalitate Limita unei funcţii la infinit Funcţii infinit mici Proprietăţi ale funcţiilor infinit de mici x = 0 limită egală cu zero: lim q(x) = 0 (arată!). Prin urmare, lim /(x) = 0. Problemă. Formulați cu ajutorul inegalităților (în limbajul lui e -6), ceea ce înseamnă Fie definită funcția /(n) într-o vecinătate Π a punctului x0, cu excepția, poate, a punctului x0 însuși. Definiție (Heine). Numărul A se numește limita funcției /(x) în punctul x0, dacă pentru orice succesiune (xn) de valori ale argumentului x 6 P, zn / x0) convergând către punctul x0, secvența corespunzătoare de valori ale funcției (/(xn)) converge către numărul A. Este convenabil să se folosească definiția de mai sus atunci când este necesar să se stabilească că funcția /(x) nu are limită în punctul x0. Pentru a face acest lucru, este suficient să găsim o secvență (/(xn)) care nu are limită sau să indicați două secvențe (/(xn)) și (/(x "n)) care au limite diferite. arătați, de exemplu, că funcția iiya / (x) = sin j (Fig. 7), definită ORIUNDE, cu excepția PUNCTULUI X = O, Fig. 7 nu are o limită în punctul x = 0. Luați în considerare două secvențe (convergând spre punctul x = 0. Valorile secvențelor corespunzătoare ale funcției /(x) converg la diferite limite: secvența (sinnTr) converge la zero, iar secvența (sin(5 +) converge la unu. Aceasta înseamnă că funcția f(x) = sin j în punctul x = 0 nu are limită. Cometariu. Ambele definiții ale limitei unei funcții într-un punct (definiția lui Cauchy și definiția lui Heine) sunt echivalente. §3. Teoreme asupra limitelor Teorema 1 (unicitatea limitei). Dacă funcția f(x) are o limită la xo, atunci această limită este unică. A Fie lim f(x) = A. Să arătăm că niciun număr B φ A nu poate fi limita x-x0 a funcției f(x) în punctul x0. Faptul că lim /(x) φ Cu ajutorul simbolurilor logice XO se formulează astfel: Folosind inegalitatea obținem, Se ia e = > 0. Deoarece lim /(x) = A, pentru e > 0 ales există 6 > 0 astfel încât Din relația (1) pentru valorile indicate ale lui x avem Deci, s-a constatat că, oricât de mici, există x Φ xQ, astfel încât și în același timp ^ e De aici și Definiția. Se spune că o funcție /(x) este mărginită într-o vecinătate a punctului x0 dacă există numere M > 0 și 6 > 0 astfel încât Teorema 2 (mărginirea unei funcții care are o limită). Dacă funcția f(x) este definită într-o vecinătate a punctului x0 și are o limită finită în punctul x0, atunci este mărginită într-o vecinătate a acestui punct. m Fie Atunci, pentru orice exemplu, pentru e = 1, există un astfel de 6 > 0 încât pentru toate x φ x0 care îndeplinesc condiția, inegalitatea va fi adevărată Observând că obținem întotdeauna Let. Atunci la fiecare punct x al intervalului avem Aceasta înseamnă, conform definiției, că funcția f(x) este mărginită într-o vecinătate. De exemplu, funcția /(x) = sin este mărginită într-o vecinătate a punctului, dar nu are limită în punctul x = 0. Să mai formulăm două teoreme, al căror sens geometric este destul de clar. Teorema 3 (trecerea la limita inegalitatii). Dacă /(x) ⩽ ip(x) pentru tot x dintr-o anumită vecinătate a punctului x0, cu excepția, poate, pentru punctul x0 însuși, și fiecare dintre funcțiile /(x) și ip(x) la punctul x0 are o limită , apoi Rețineți că o inegalitate strictă pentru funcții nu implică neapărat o inegalitate strictă pentru limitele lor. Dacă aceste limite există, atunci putem afirma doar că Astfel, de exemplu, inegalitatea while este adevărată pentru funcții Teorema 4 (limita unei funcții intermediare). Dacă pentru toți x din vreo vecinătate a punctului Xq, cu excepția, poate, a punctului x0 însuși (Fig. 9), și a funcțiilor f(x) și ip(x) la punctul xo au aceeași limită A, atunci funcția f (x) în punctul x0 are o limită egală cu aceeași valoare a lui A. § ​​​​4. Limita unei funcții la infinit Fie definită funcția /(x) fie pe toată axa reală, fie cel puțin pentru toate x satisfacand conditia jx| > K pentru ceva K > 0. Definiție. Numărul A se numește limita funcției f(x) deoarece x tinde spre infinit și se scrie dacă pentru orice e > 0 există un număr jV > 0 astfel încât pentru tot x care îndeplinește condiția |x| > X, inegalitatea este adevărată Înlocuind condiția din această definiție în consecință, obținem definiții Din aceste definiții rezultă că dacă și numai dacă simultan. u003d A- euy \u003d A + e, există o astfel de linie dreaptă x = N > 0, încât în ​​dreapta, graficul funcției y = /(x) este cuprins în întregime în e-strip indicat (Fig. 10). ). În acest caz, ei spun că pentru x + oo, graficul funcției y \u003d / (x) se apropie asimptotic de linia dreaptă y \u003d A. Exemplu, Funcția / (x) \u003d jtjj- este definită pe întreaga axă reală și este o fracție al cărei numărător este constant, iar numitorul crește la infinit ca |x| +oo. Este firesc să ne așteptăm ca lim /(x)=0. Să o arătăm. М Luați orice e > 0, cu condiția Pentru ca relația să aibă loc, inegalitatea c sau trebuie îndeplinită, care este aceeași cu de unde Astfel. dacă luăm vom avea. Aceasta înseamnă că numărul este limita acestei funcții la Rețineți că expresia radicală este numai pentru t ^ 1. În cazul în care, inegalitatea c este satisfăcută automat pentru toate. Graficul unei funcții pare y = - se apropie asimptotic de linie dreapta Formulați folosind inegalități, ceea ce înseamnă §5. Funcții infinit de mici Fie ca funcția a(x) să fie definită într-o vecinătate a punctului x0, cu excepția eventualului punct x0 însuși. Definiție. Funcția a(x) se numește o funcție infinitezimală (abreviată ca b.m.f.), deoarece x tinde spre x0 dacă se află în unicitatea limitei limite a unei funcții care are o tranziție limită la limita în inegalitate Limita unei funcții la infinit Funcții infinitezimale Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale De exemplu, funcția a(x) = x - 1 este b. m. f. la x 1, deoarece lim (x-l) \u003d 0. Graficul funcției y \u003d x-1 1-1 este prezentat în fig. II. În general, funcția a(x)=x-x0 este cel mai simplu exemplu de b. m. f. la x-»ho. Ținând cont de definiția limitei unei funcții într-un punct, definiția lui b. m. f. poate fi formulat astfel. Definiție. Se spune că o funcție a(x) este infinit mică pentru x - * xo dacă pentru orice t > 0 există un astfel de „5 > 0 astfel încât pentru tot x care îndeplinește condiția inegalitatea este funcții adevărate la Definiție. Funcția a(x) se numește infinit mică pentru x -» oo, dacă atunci funcția a(x) se numește infinitezimală, respectiv, pentru sau pentru De exemplu, funcția este infinitezimală pentru x -» oo, deoarece lim j = 0. Funcția a(x ) = e~x este o funcție infinit de mică ca x -* + oo, întrucât în ​​cele ce urmează vom considera, de regulă, toate conceptele și teoremele legate de limitele funcțiilor numai în relație. la cazul limitei unei funcții într-un punct, lăsând cititorul să formuleze conceptele corespunzătoare pentru el însuși și să demonstreze teoreme similare ale zilei cazuri când Proprietățile funcțiilor infinitezimale Teorema 5. Dacă a(x) și P(x) - b. m. f. pentru x - * xo, atunci suma lor a(x) + P(x) este de asemenea un b.m. f. la x -» ho. 4 Luați orice e > 0. Deoarece a(x) este un b.m.f. pentru x -* o, atunci există „51 > 0 astfel încât pentru toți x Φ o care îndeplinesc condiția inegalitatea este adevărată. Prin condiția P(x) și b.m.f. pentru x ho, deci există astfel încât pentru toți χ φ ho care îndeplinesc condiția, inegalitatea este adevărată Să punem 6 = min(«5j, 62). Atunci pentru toți x Ф ho care îndeplinesc condiția, inegalitățile (1) și (2) vor fi simultan adevărate. Prin urmare, aceasta înseamnă că suma a(x) +/3(x) este un b.m.f. pentru xxq. Cometariu. Teorema rămâne valabilă pentru suma oricărui număr finit de funcții, b. m. la x zo. Teorema 6 (produsul unui b.m.f. de o funcție mărginită). Dacă funcția a(x) este b. m. f. pentru x -* x0, iar funcția f(x) este mărginită într-o vecinătate a punctului Xo, atunci produsul a(x)/(x) este 6. m. f. pentru x -» x0. Prin presupunere, funcția f(x) este mărginită într-o vecinătate a punctului x0. Aceasta înseamnă că există numere 0 și M > 0 astfel încât Să luăm orice e > 0. Deoarece, prin condiție, există 62 > 0 astfel încât pentru toate x φ x0 care îndeplinesc condiția |x - xol, inegalitatea va fi să fie adevărată Să punem i din toate x f x0 care îndeplinesc condiția |x - x0|, inegalitățile vor fi simultan adevărate. Prin urmare, aceasta înseamnă că produsul a(x)/(x) este b. m.f. cu Exemplu. Funcția y \u003d xsin - (Fig. 12) poate fi considerată ca produsul funcțiilor a (ar) \u003d x și f (x) \u003d sin j. Funcția a(a) este b. m. f. pentru x - 0, iar funcția f reprezintă cel mai mare dintre numerele întregi care nu depășește x. Cu alte cuvinte, dacă x = r + q, unde r este un număr întreg (poate fi negativ) și q aparține intervalului = r. Funcția E(x) = [x] este constantă pe intervalul = r.

Exemplul 2: funcția y = (x) - parte fracțională a unui număr. Mai precis, y =(x) = x - [x], unde [x] este partea întreagă a numărului x. Această funcție este definită pentru toate x. Dacă x este un număr arbitrar, atunci reprezentându-l ca x = r + q (r = [x]), unde r este un număr întreg și q se află în interval

Acum totul este așa cum ar trebui să fie. Triplul nu este inclus în răspuns, pentru că inegalitatea originală este strictă. Și cei șase se aprind, pentru că iar funcția la șase există, iar condiția de inegalitate este îndeplinită. Am rezolvat cu succes o inegalitate care (în forma sa obișnuită) nu există...

Acesta este modul în care unele cunoștințe și logica elementară salvează în cazuri non-standard.)

Definirea analitică a unei funcții

Funcția %%y = f(x), x \in X%% dată într-un mod analitic explicit, dacă este dată o formulă care indică succesiunea operațiilor matematice care trebuie efectuate cu argumentul %%x%% pentru a obține valoarea %%f(x)%% a acestei funcție.

Exemplu

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Deci, de exemplu, în fizică, cu o mișcare rectilinie uniform accelerată, viteza unui corp este determinată de formula t%% se scrie astfel: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2 ) %%.

Funcții definite pe bucăți

Uneori funcția luată în considerare poate fi definită prin mai multe formule care operează în diferite părți ale domeniului definiției sale, în care argumentul funcției se modifică. De exemplu: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Funcțiile de acest fel sunt uneori numite constitutiv sau pe bucati. Un exemplu de astfel de funcție este %%y = |x|%%

Domeniul de aplicare a funcției

Dacă funcția este specificată într-un mod analitic explicit folosind o formulă, dar domeniul de aplicare al funcției sub forma unui set %%D%% nu este specificat, atunci prin %%D%% vom înțelege întotdeauna setul de valori ​​de argumentul %%x%% pentru care această formulă are sens . Deci, pentru funcția %%y = x^2%%, domeniul definiției este setul %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, deoarece argumentul %%x% % poate prelua orice valoare linie numerică. Și pentru funcția %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%%, domeniul de definiție va fi setul de valori %%x%% care satisface inegalitatea %%1 - x^2 > 0%%, m .e. %%D = (-1, 1)%%.

Beneficiile definiției explicite a funcției analitice

Rețineți că modul analitic explicit de a specifica o funcție este destul de compact (formula, de regulă, ocupă puțin spațiu), ușor de reprodus (formula este ușor de scris) și este cel mai adaptat pentru a efectua operații și transformări matematice pe funcții.

Unele dintre aceste operații - algebrice (adunare, înmulțire etc.) - sunt bine cunoscute de la cursul de matematică din școală, altele (diferențiere, integrare) vor fi studiate în viitor. Cu toate acestea, această metodă nu este întotdeauna clară, deoarece natura dependenței funcției de argument nu este întotdeauna clară și, uneori, sunt necesare calcule greoaie pentru a găsi valorile funcției (dacă sunt necesare).

Specificarea funcției implicite

Funcția %%y = f(x)%% este definită într-un mod analitic implicit, dacă este dată relația $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ raportând valorile funcției %%y%% și argumentul %% X%%. Dacă sunt date valori ale argumentului, atunci pentru a găsi valoarea %%y%% corespunzătoare unei anumite valori a %%x%%, este necesar să se rezolve ecuația %%(1)%% în raport cu %%y%% la acea valoare particulară de %%x%%.

Având în vedere o valoare de %%x%%, ecuația %%(1)%% poate să nu aibă o soluție sau mai mult de o soluție. În primul caz, valoarea specificată %%x%% nu este în sfera funcției implicite, iar în al doilea caz specifică funcţie multivalorică, care are mai multe valori pentru o anumită valoare a argumentului.

Rețineți că dacă ecuația %%(1)%% poate fi rezolvată explicit în raport cu %%y = f(x)%%, atunci obținem aceeași funcție, dar deja definită într-un mod analitic explicit. Deci, ecuația %%x + y^5 - 1 = 0%%

iar egalitatea %%y = \sqrt(1 - x)%% definesc aceeași funcție.

Definirea funcției parametrice

Când dependența lui %%y%% de %%x%% nu este dată direct, ci în schimb dependențele ambelor variabile %%x%% și %%y%% de o a treia variabilă auxiliară %%t%% sunt date în formă

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$despre care vorbesc parametrice metoda de setare a funcției;

atunci variabila auxiliară %%t%% se numește parametru.

Dacă este posibil să se excludă parametrul %%t%% din ecuațiile %%(2)%%, atunci se ajunge la o funcție dată de o dependență analitică explicită sau implicită de %%y%% de %%x%% . De exemplu, din relațiile $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ cu excepția pentru parametrul % %t%% obținem dependența %%y = 2 x + 2%%, care stabilește o linie dreaptă în planul %%xOy%%.

Mod grafic

Un exemplu de definiție grafică a unei funcții

Exemplele de mai sus arată că modalitatea analitică de definire a unei funcții corespunde acesteia imagine grafică, care poate fi considerată o formă convenabilă și vizuală de descriere a unei funcții. Uneori folosit mod grafic definirea unei funcții când dependența %%y%% de %%x%% este dată de o linie pe planul %%xOy%%. Cu toate acestea, pentru toată claritatea sa, pierde în acuratețe, deoarece valorile argumentului și valorile corespunzătoare ale funcției pot fi obținute din grafic doar aproximativ. Eroarea rezultată depinde de scara și acuratețea măsurării abscisei și ordonatei punctelor individuale ale graficului. Pe viitor, vom atribui graficului funcției doar rolul de a ilustra comportamentul funcției și, prin urmare, ne vom restrânge la a construi „schițe” de grafice care să reflecte principalele caracteristici ale funcțiilor.

Mod tabular

Notă mod tabelar atribuiri de funcții, când unele valori ale argumentelor și valorile funcției corespunzătoare sunt plasate într-un tabel într-o anumită ordine. Așa se construiesc binecunoscutele tabele de funcții trigonometrice, tabele de logaritmi etc. Sub forma unui tabel, relația dintre cantitățile măsurate în studii experimentale, observații și teste este de obicei prezentată.

Dezavantajul acestei metode este imposibilitatea de a determina direct valorile funcției pentru valorile argumentului care nu sunt incluse în tabel. Dacă există încredere că valorile argumentului care nu sunt prezentate în tabel aparțin domeniului funcției luate în considerare, atunci valorile corespunzătoare ale funcției pot fi calculate aproximativ folosind interpolarea și extrapolarea.

Exemplu

Modalități algoritmice și verbale de specificare a funcțiilor

Funcția poate fi setată algoritmic(sau programatic) într-un mod care este utilizat pe scară largă în calculele computerizate.

În cele din urmă, se poate remarca descriptiv(sau verbal) o modalitate de a specifica o funcție, atunci când regula de potrivire a valorilor funcției cu valorile argumentului este exprimată în cuvinte.

De exemplu, funcția %%[x] = m~\forall (x \in )