\(5x+xy\) poate fi reprezentat ca \(x(5+y)\). Acestea sunt într-adevăr aceleași expresii, putem verifica acest lucru dacă extindem parantezele: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). După cum puteți vedea, obținem expresia originală ca rezultat. Deci \(5x+xy\) este într-adevăr egal cu \(x(5+y)\). Apropo, aceasta este o modalitate fiabilă de a verifica corectitudinea eliminării factorilor comuni - deschideți paranteza rezultată și comparați rezultatul cu expresia originală.

Regula principală a parantezei:

De exemplu, în expresia \(3ab+5bc-abc\) numai \(b\) poate fi scos din paranteză, deoarece numai acesta este în toți cei trei termeni. Procesul de inserare a factorilor comuni este prezentat în diagrama de mai jos:

Reguli de bracketing

În matematică, se obișnuiește să scoți toți factorii comuni deodată.

Exemplu:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Rețineți că aici am putea extinde astfel: \(3(xy-xz)\) sau astfel: \(x(3y-3z)\). Cu toate acestea, acestea ar fi expansiuni incomplete. Este necesar să le scoateți atât pe cele trei, cât și pe X.


Uneori, membrii comuni nu sunt vizibili imediat.


Exemplu:\(10x-15y=2 5 x-3 5 y=5(2x-3y)\)
În acest caz, termenul comun (cvintuplu) a fost ascuns. Totuși, descompunând \(10\) ca \(2\) ori \(5\), și \(15\) ca \(3\) ori \(5\) - i-am „tras pe cei cinci în lumina lui Dumnezeu „, după care l-au putut scoate cu ușurință din suport.


Dacă monomiul este scos complet, rămâne unul din el.

Exemplu: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Scoatem \(x\) din paranteză, iar al treilea monom este format numai din x. De ce a mai rămas doar unul? Pentru că dacă orice expresie este înmulțită cu una, nu se va schimba. Adică, același \(x\) poate fi reprezentat ca \(1\cdot x\). Atunci avem următorul lanț de transformări:

\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (unu\) \()\)

Mai mult, aceasta este singura modalitate corectă de randare, deoarece dacă nu părăsim unitatea, atunci când deschidem parantezele, nu vom reveni la expresia inițială. Într-adevăr, dacă facem eliminarea astfel \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), atunci când extindem obținem \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Al treilea membru a dispărut. Prin urmare, o astfel de afirmație este incorectă.

Semnul minus poate fi scos din paranteză, în timp ce semnele termenilor cu paranteză sunt inversate.


Exemplu:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
De fapt, aici punem paranteze „minus unu”, care poate fi „evidențiat” înaintea oricărui monom, chiar dacă nu a existat niciun minus înaintea acestuia. Aici folosim faptul că unul poate fi scris ca \((-1) \cdot (-1)\). Iată același exemplu, pictat în detaliu:

\(x-y=\)
\(=1 x+(-1) y=\)
\(=(-1)(-1)x+(-1)y=\)
\(=(-1)((-1)x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)

Paranteza poate fi, de asemenea, un factor comun.


Exemplu:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Cel mai adesea întâlnim o astfel de situație (în afara parantezei) atunci când factorăm prin metoda de grupare sau

Acest articol explică, cum să găsiți cel mai mic numitor comunși cum se aduce fracțiile la un numitor comun. În primul rând, sunt date definițiile numitorului comun al fracțiilor și ale celui mai mic numitor comun și se arată, de asemenea, cum să se găsească numitorul comun al fracțiilor. Următoarea este o regulă pentru reducerea fracțiilor la un numitor comun și sunt luate în considerare exemple de aplicare a acestei reguli. În concluzie, sunt analizate exemple de aducere a trei sau mai multe fracții la un numitor comun.

Navigare în pagină.

Ce se numește reducerea fracțiilor la un numitor comun?

Acum putem spune ce înseamnă aducerea fracțiilor la un numitor comun. Aducerea fracțiilor la un numitor comun este înmulțirea numărătorilor și numitorilor fracțiilor date cu astfel de factori suplimentari încât rezultatul este fracții cu aceiași numitori.

Numitor comun, definiție, exemple

Acum este timpul să definim numitorul comun al fracțiilor.

Cu alte cuvinte, numitorul comun al unui set de fracții ordinare este orice număr natural care este divizibil cu toți numitorii acestor fracții.

Din definiția menționată rezultă că această mulțime de fracții are infinit de mulți numitori comuni, deoarece există un număr infinit de multipli comuni ai tuturor numitorilor setului original de fracții.

Determinarea numitorului comun al fracțiilor vă permite să găsiți numitorii comuni ai fracțiilor date. Fie, de exemplu, date fracțiilor 1/4 și 5/6, numitorii lor sunt 4 și, respectiv, 6. Multiplii comuni pozitivi ai lui 4 și 6 sunt numerele 12, 24, 36, 48, ... Oricare dintre aceste numere este numitorul comun al fracțiilor 1/4 și 5/6.

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluția din exemplul următor.

Exemplu.

Este posibil să reduceți fracțiile 2/3, 23/6 și 7/12 la un numitor comun de 150?

Soluţie.

Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să aflăm dacă numărul 150 este un multiplu comun al numitorilor 3, 6 și 12. Pentru a face acest lucru, verificați dacă 150 este divizibil egal cu fiecare dintre aceste numere (dacă este necesar, consultați regulile și exemplele de împărțire a numerelor naturale, precum și regulile și exemplele de împărțire a numerelor naturale cu rest): 150:3 =50, 150:6=25, 150:12=12 (rest. 6).

Asa de, 150 nu e divizibil cu 12, deci 150 nu este un multiplu comun al lui 3, 6 și 12. Prin urmare, numărul 150 nu poate fi un numitor comun al fracțiilor originale.

Răspuns:

Este interzis.

Cel mai mic numitor comun, cum să-l găsiți?

În mulțimea numerelor care sunt numitori comuni ai acestor fracții, există cel mai mic număr natural, care se numește cel mai mic numitor comun. Să formulăm definiția celui mai mic numitor comun al acestor fracții.

Definiție.

Cel mai mic numitor comun este cel mai mic număr dintre toți numitorii comuni ai acestor fracții.

Rămâne să ne ocupăm de întrebarea cum să găsim cel mai mic divizor comun.

Deoarece este cel mai mic divizor comun pozitiv al unui set dat de numere, LCM al numitorilor acestor fracții este cel mai mic numitor comun al acestor fracții.

Astfel, găsirea celui mai mic numitor comun al fracțiilor se reduce la numitorii acestor fracții. Să aruncăm o privire la un exemplu de soluție.

Exemplu.

Aflați cel mai mic numitor comun al 3/10 și 277/28.

Soluţie.

Numitorii acestor fracții sunt 10 și 28. Cel mai mic numitor comun dorit se găsește ca LCM al numerelor 10 și 28. În cazul nostru, este ușor: deoarece 10=2 5 și 28=2 2 7 , atunci LCM(15, 28)=2 2 5 7=140 .

Răspuns:

140 .

Cum se aduce fracțiile la un numitor comun? Regulă, exemple, soluții

Fracțiile comune duc de obicei la cel mai mic numitor comun. Acum vom scrie o regulă care explică cum să reducem fracțiile la cel mai mic numitor comun.

Regula pentru reducerea fracțiilor la cel mai mic numitor comun constă din trei etape:

• Mai întâi, găsiți cel mai mic numitor comun al fracțiilor.
• În al doilea rând, pentru fiecare fracție, se calculează un factor suplimentar, pentru care cel mai mic numitor comun este împărțit la numitorul fiecărei fracții.
• În al treilea rând, numărătorul și numitorul fiecărei fracții sunt înmulțite cu factorul suplimentar al acesteia.

Să aplicăm regula enunțată la soluția exemplului următor.

Exemplu.

Reduceți fracțiile 5/14 și 7/18 la cel mai mic numitor comun.

Soluţie.

Să executăm toți pașii algoritmului de reducere a fracțiilor la cel mai mic numitor comun.

În primul rând, găsim cel mai mic numitor comun, care este egal cu cel mai mic multiplu comun al numerelor 14 și 18. Deoarece 14=2 7 și 18=2 3 3 , atunci LCM(14, 18)=2 3 3 7=126 .

Acum calculăm factori suplimentari cu ajutorul cărora fracțiile 5/14 și 7/18 vor fi reduse la numitorul 126. Pentru fracția 5/14 factorul suplimentar este 126:14=9 , iar pentru fracția 7/18 factorul suplimentar este 126:18=7 .

Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor 5/14 și 7/18 cu factori suplimentari de 9 și, respectiv, 7. Avem și .

Deci, reducerea fracțiilor 5/14 și 7/18 la cel mai mic numitor comun este finalizată. Rezultatul a fost fracțiile 45/126 și 49/126.

Pentru a aduce fracțiile la cel mai mic numitor comun, trebuie: 1) să găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor fracții, acesta va fi cel mai mic numitor comun. 2) găsiți un factor suplimentar pentru fiecare dintre fracții, pentru care împărțim noul numitor la numitorul fiecărei fracții. 3) înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu factorul ei suplimentar.

Exemple. Reduceți următoarele fracții la cel mai mic numitor comun.

Găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor: LCM(5; 4) = 20, deoarece 20 este cel mai mic număr care este divizibil atât cu 5, cât și cu 4. Găsim pentru prima fracție un factor suplimentar 4 (20). : 5=4). Pentru a doua fracție, multiplicatorul suplimentar este 5 (20 : 4=5). Înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 4, iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu 5. Am redus aceste fracții la cel mai mic numitor comun ( 20 ).

Cel mai mic numitor comun al acestor fracții este 8, deoarece 8 este divizibil cu 4 și cu el însuși. Nu va exista un multiplicator suplimentar pentru prima fracție (sau putem spune că este egal cu unu), pentru a doua fracție multiplicatorul suplimentar este 2 (8 : 4=2). Înmulțim numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu 2. Am redus aceste fracții la cel mai mic numitor comun ( 8 ).

Aceste fracții nu sunt ireductibile.

Reducem prima fracție cu 4 și reducem a doua fracție cu 2. ( vezi exemple despre reducerea fracțiilor obișnuite: Harta site-ului → 5.4.2. Exemple de reducere a fracțiilor obișnuite). Găsiți LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Multiplicatorul suplimentar pentru prima fracție este 5 (80 : 16=5). Multiplicatorul suplimentar pentru a doua fracție este 4 (80 : 20=4). Înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 5, iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu 4. Am redus aceste fracții la cel mai mic numitor comun ( 80 ).

Găsiți cel mai mic numitor comun al NOC(5 ; 6 și 15) = LCM(5 ; 6 și 15)=30. Multiplicatorul suplimentar pentru prima fracție este 6 (30 : 5=6), multiplicatorul suplimentar pentru a doua fracție este 5 (30 : 6=5), multiplicatorul suplimentar pentru a treia fracție este 2 (30 : 15=2). Înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 6, numărătorul și numitorul celei de-a 2-a fracții cu 5, numărătorul și numitorul celei de-a 3-a fracții cu 2. Am redus aceste fracții la cel mai mic numitor comun ( 30 ).

Pagina 1 din 1 1

Când se adună și se scad fracții algebrice cu numitori diferiți, fracțiile duc mai întâi la numitor comun. Aceasta înseamnă că ei găsesc un astfel de numitor unic, care este împărțit la numitorul original al fiecărei fracții algebrice care face parte din această expresie.

După cum știți, dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (sau împărțite) cu același număr, altul decât zero, atunci valoarea fracției nu se va modifica. Aceasta este proprietatea principală a unei fracții. Prin urmare, atunci când fracțiile conduc la un numitor comun, de fapt, numitorul inițial al fiecărei fracții este înmulțit cu factorul lipsă la un numitor comun. În acest caz, este necesar să se înmulțească cu acest factor și cu numărătorul fracției (este diferit pentru fiecare fracție).

De exemplu, având în vedere următoarea sumă de fracții algebrice:

Este necesar să simplificați expresia, adică să adăugați două fracții algebrice. Pentru a face acest lucru, în primul rând, este necesar să reduceți termenii-fracții la un numitor comun. Primul pas este să găsiți un monom care este divizibil cu 3x și 2y. În acest caz, este de dorit ca acesta să fie cel mai mic, adică să găsiți cel mai mic multiplu comun (LCM) pentru 3x și 2y.

Pentru coeficienți numerici și variabile, LCM este căutat separat. LCM(3, 2) = 6 și LCM(x, y) = xy. În plus, valorile găsite sunt înmulțite: 6xy.

Acum trebuie să determinăm cu ce factor trebuie să înmulțim 3x pentru a obține 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Aceasta înseamnă că atunci când se reduce prima fracție algebrică la un numitor comun, numărătorul ei trebuie înmulțit cu 2y (numitorul a fost deja înmulțit când a fost redus la un numitor comun). Factorul pentru numărătorul celei de-a doua fracții este căutat în mod similar. Va fi egal cu 3x.

Astfel, obținem:

În plus, este deja posibil să acționați ca și cu fracții cu aceiași numitori: numărătorii se adună și unul comun este scris în numitor:

După transformări, se obține o expresie simplificată, care este o fracție algebrică, care este suma a două fracțiuni originale:

Fracțiile algebrice din expresia originală pot conține numitori care sunt mai degrabă polinoame decât monomii (ca în exemplul de mai sus). În acest caz, înainte de a găsi un numitor comun, factorizați numitorii (dacă este posibil). În plus, numitorul comun este colectat din diferiți factori. Dacă factorul este în mai mulți numitori inițiali, atunci este luat o dată. Dacă factorul are grade diferite în numitorii originali, atunci este luat cu unul mai mare. De exemplu:

Aici polinomul a 2 - b 2 poate fi reprezentat ca produs (a - b)(a + b). Factorul 2a – 2b este extins ca 2(a – b). Astfel, numitorul comun va fi egal cu 2(a - b)(a + b).

În cadrul studiului transformărilor identice, subiectul scoaterii din paranteze a factorului comun este foarte important. În acest articol, vom explica ce este exact această transformare, vom deriva regula de bază și vom analiza exemple tipice de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Conceptul de factoring a parantezelor

Pentru a aplica cu succes această transformare, trebuie să știți pentru ce expresii este folosită și ce rezultat doriți să obțineți ca rezultat. Să explicăm aceste puncte.

Puteți scoate factorul comun din paranteze în expresii care sunt sume în care fiecare termen este un produs, iar în fiecare produs există un factor care este comun (același) pentru toată lumea. Acesta este ceea ce se numește factorul comun. Asta vom scoate din paranteze. Deci, dacă avem lucrări 5 3și 5 4 , atunci putem scoate factorul comun 5 din paranteze.

Ce este această transformare? Pe parcursul acesteia, reprezentăm expresia originală ca produsul unui factor comun și o expresie între paranteze care conține suma tuturor termenilor inițiali, cu excepția factorului comun.

Să luăm exemplul de mai sus. Scoatem factorul comun 5 in 5 3și 5 4și obțineți 5 (3 + 4). Expresia finală este produsul factorului comun 5 și expresia dintre paranteze, care este suma termenilor originali fără 5 .

Această transformare se bazează pe proprietatea distributivă a înmulțirii, pe care am studiat-o deja anterior. În formă literală, poate fi scris ca a (b + c) = a b + a c. Schimbând partea dreaptă din stânga, vom vedea schema de eliminare a factorului comun din paranteze.

Regula pentru scoaterea factorului comun din paranteze

Folosind toate cele de mai sus, derivăm regula de bază pentru o astfel de transformare:

Definiția 1

Pentru a pune parantezele factorului comun, trebuie să scrieți expresia inițială ca un produs al factorului comun și a parantezelor, care includ suma inițială fără factorul comun.

Exemplul 1

Să luăm un exemplu simplu de randare. Avem o expresie numerică 3 7 + 3 2 − 3 5, care este suma a trei termeni 3 · 7 , 3 · 2 și a unui factor comun 3 . Luând ca bază regula pe care am derivat-o, scriem produsul ca 3 (7 + 2 - 5). Acesta este rezultatul transformării noastre. Intrarea soluției arată astfel: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

Putem scoate factorul din paranteze nu numai în expresii numerice, ci și în expresii literale. De exemplu, în 3 x − 7 x + 2 puteți scoate variabila x și obțineți 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, în expresia (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3- multiplicator comun (x 2 + y)și ajunge până la urmă (x 2 + y) (x y − x 3).

Nu este întotdeauna posibil să se determine imediat ce multiplicator este comun. Uneori, o expresie trebuie transformată în prealabil prin înlocuirea numerelor și expresiilor cu produse care sunt identice cu acestea.

Exemplul 2

Deci, de exemplu, în expresie 6 x + 4 y puteți elimina factorul comun 2, care nu este scris în mod explicit. Pentru a-l găsi, trebuie să transformăm expresia originală, reprezentând șase ca 2 3 și patru ca 2 2 . Acesta este 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). Sau în expresie x 3 + x 2 + 3 x poate fi încadrat de factorul comun x , care se găsește după înlocuire x 3 pe x · x 2 . O astfel de transformare este posibilă datorită proprietăților de bază ale gradului. Ca rezultat, obținem expresia x (x 2 + x + 3).

Un alt caz care ar trebui tratat separat este bracketingul minusului. Apoi scoatem nu semnul în sine, ci minus unu. De exemplu, să transformăm expresia în acest fel − 5 − 12 x + 4 x y. Să rescriem expresia ca (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y astfel încât multiplicatorul total să poată fi văzut mai clar. Să-l scoatem din paranteze și să obținem − (5 + 12 x − 4 x y) . Acest exemplu arată că între paranteze se obține aceeași cantitate, dar cu semne opuse.

În concluzii, observăm că transformarea prin scoaterea factorului comun din paranteze este foarte des folosită în practică, de exemplu, pentru a calcula valoarea expresiilor raționale. De asemenea, această metodă este utilă atunci când trebuie să reprezentați o expresie ca un produs, de exemplu, pentru a descompune un polinom în factori separați.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter