В названиях арабских чисел каждая цифра принадлежит своему разряду, а каждые три цифры образуют класс. Таким образом, последняя цифра в числе обозначает количество единиц в нем и называется, соответственно, разрядом единиц. Следующая, вторая с конца, цифра обозначает десятки (разряд десятков), и третья с конца цифра указывает на количество сотен в числе – разряд сотен. Дальше разряды точно также по очереди повторяются в каждом классе, обозначая уже единицы, десятки и сотни в классах тысяч, миллионов и так далее. Если число небольшое и в нем нет цифры десятков или сотен, принято принимать их за ноль. Классы группируют цифры в числах по три, нередко в вычислительных приборах или записях между классами ставится точка или пробел, чтобы визуально разделить их. Это сделано для упрощения чтения больших чисел. Каждый класс имеет свое название: первые три цифры – это класс единиц, далее идет класс тысяч, затем миллионов, миллиардов (или биллионов) и так далее.
Поскольку мы пользуемся десятичной системой исчисления, то основная единица измерения количества – это десяток, или 10 1
. Соответственно с увеличением количества цифр в числе, увеличивается и количество десятков 10 2
,10 3
,10 4
и т.д. Зная количество десятков можно легко определить класс и разряд числа, например, 10 16
– это десятки квадриллионов, а 3×10 16
– это три десятка квадриллионов. Разложение чисел на десятичные компоненты происходит следующий образом – каждая цифра выводится в отдельное слагаемое, умножаясь на требуемый коэффициент 10 n
, где n
– положение цифры по счет слева направо.
Например:
253 981=2×10 6 +5×10 5 +3×10 4 +9×10 3 +8×10 2 +1×10 1
Также степень числа 10 используется и в написании десятичных дробей : 10 (-1) – это 0,1 или одна десятая. Аналогичным образом с предыдущим пунктом, можно разложить и десятичное число, n в таком случае будет обозначать положение цифры от запятой справа налево, например: 0,347629= 3×10 (-1) +4×10 (-2) +7×10 (-3) +6×10 (-4) +2×10 (-5) +9×10 (-6)
Названия десятичных чисел. Десятичные числа читаются по последнему разряду цифр после запятой, например 0,325 – триста двадцать пять тысячных, где тысячные – это разряд последней цифры 5 .
Таблица названий больших чисел, разрядов и классов
| 1-й класс единицы |
1-й разряд единицы 2-й разряд десятки 3-й разряд сотни |
1 = 10 0 10 = 10 1 100 = 10 2 |
| 2-й класс тысячи |
1-й разряд единицы тысяч 2-й разряд десятки тысяч 3-й разряд сотни тысяч |
1 000 = 10 3 10 000 = 10 4 100 000 = 10 5 |
| 3-й класс миллионы |
1-й разряд единицы миллионов 2-й разряд десятки миллионов 3-й разряд сотни миллионов |
1 000 000 = 10 6 10 000 000 = 10 7 100 000 000 = 10 8 |
| 4-й класс миллиарды |
1-й разряд единицы миллиардов 2-й разряд десятки миллиардов 3-й разряд сотни миллиардов |
1 000 000 000 = 10 9 10 000 000 000 = 10 10 100 000 000 000 = 10 11 |
| 5-й класс триллионы |
1-й разряд единицы триллионов 2-й разряд десятки триллионов 3-й разряд сотни триллионов |
1 000 000 000 000 = 10 12 10 000 000 000 000 = 10 13 100 000 000 000 000 = 10 14 |
| 6-й класс квадриллионы |
1-й разряд единицы квадриллионов 2-й разряд десятки квадриллионов 3-й разряд десятки квадриллионов |
1 000 000 000 000 000 = 10 15 10 000 000 000 000 000 = 10 16 100 000 000 000 000 000 = 10 17 |
| 7-й класс квинтиллионы |
1-й разряд единицы
квинтиллионов
2-й разряд десятки квинтиллионов 3-й разряд сотни квинтиллионов |
1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 10 000 000 000 000 000 000 = 10 19 100 000 000 000 000 000 000 = 10 20 |
| 8-й класс секстиллионы |
1-й разряд единицы секстиллионов 2-й разряд десятки секстиллионов 3-й разряд сотни секстиллионов |
1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22 1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23 |
| 9-й класс септиллионы |
1-й разряд единицы септиллионов 2-й разряд десятки септиллионов 3-й разряд сотни септиллионов |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24 10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25 100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26 |
| 10-й класс октиллион |
1-й разряд единицы октиллионов 2-й разряд десятки октиллионов 3-й разряд сотни октиллионов |
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29 |
Этот урок не будет новым для новичков. Все мы слышали со школы такие вещи, как сантиметр, метр, километр. А когда речь заходила о массе, обычно говорили грамм, килограмм, тонна.
Сантиметры, метры и километры; граммы, килограммы и тонны носят одно общее название — единицы измерения физических величин .
В данном уроке мы рассмотрим наиболее популярные единицы измерения, но не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку единицы измерения уходят в область физики. Мы вынуждены изучить часть физики, поскольку нам это необходимо для дальнейшего изучения математики.
Содержание урокаЕдиницы измерения длины
Для измерения длины предназначены следующие единицы измерения:
- миллиметры
- сантиметры
- дециметры
- метры
- километры
миллиметр (мм). Миллиметры можно увидеть даже воочию, если взять линейку, которой мы пользовались в школе каждый день
Подряд идущие друг за другом маленькие линии это и есть миллиметры. Точнее, расстояние между этими линиями равно одному миллиметру (1 мм):
сантиметр (см). На линейке каждый сантиметр обозначен числом. К примеру наша линейка, которая была на первом рисунке, имела длину 15 сантиметров. Последний сантиметр на этой линейке выделен числом 15.
В одном сантиметре 10 миллиметров. Между одним сантиметром и десятью миллиметрами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же длину
1 см = 10 мм
Вы можете сами убедиться в этом, если посчитаете количество миллиметров на предыдущем рисунке. Вы обнаружите, что количество миллиметров (расстояний между линиями) равно 10.
Следующая единица измерения длины это дециметр (дм). В одном дециметре десять сантиметров. Между одним дециметром и десятью сантиметрами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же длину:
1 дм = 10 см
Вы можете убедиться в этом, если посчитаете количество сантиметров на следующем рисунке:
Вы обнаружите, что количество сантиметров равно 10.
Следующая единица измерения это метр (м). В одном метре десять дециметров. Между одним метром и десятью дециметрами можно поставить знак равенства, потому что они обозначают одну и ту же длину:
1 м = 10 дм
К сожалению, метр нельзя проиллюстрировать на рисунке, потому что он достаточно великоват. Если вы хотите увидеть метр в живую, возьмите рулетку. Она есть у каждого в доме. На рулетке один метр будет обозначен как 100 см. Это потому что в одном метре десять дециметров, а в десяти дециметрах сто сантиметров:
1 м = 10 дм = 100 см
100 получается путём перевода одного метра в сантиметры. Это отдельная тема, которую мы рассмотрим чуть позже. А пока перейдём к следующей единице измерения длины, которая называется километр.
Километр считается самой большой единицей измерения длины. Есть конечно и другие более старшие единицы, такие как мегаметр, гигаметр тераметр, но мы не будем их рассматривать, поскольку для дальнейшего изучения математики нам достаточно и километра.
В одном километре тысяча метров. Между одним километром и тысячью метрами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одну и ту же длину:
1 км = 1000 м
В километрах измеряются расстояния между городами и странами. К примеру, расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга около 714 километров.
Международная система единиц СИ
Международная система единиц СИ — это некоторый набор общепринятых физических величин.
Основное предназначение международной системы единиц СИ — достижение договоренностей между странами.
Мы знаем, что языки и традиции стран мира различны. С этим ничего не поделать. Но законы математики и физики одинаково работают везде. Если в одной стране «дважды два будет четыре», то и в другой стране «дважды два будет четыре».
Основная проблема заключалась в том, что для каждой физической величины существует несколько единиц измерения. К примеру, мы сейчас узнали, что для измерения длины существуют миллиметры, сантиметры, дециметры, метры и километры. Если несколько ученых, говорящих на разных языках, соберутся в одном месте для решения той или иной задачи, то такое большое многообразие единиц измерения длины может породить между этими учеными противоречия.
Один ученый будет заявлять, что в их стране длина измеряется в метрах. Второй может сказать, что в их стране длина измеряется в километрах. Третий может предложить свою единицу измерения.
Поэтому была создана международная система единиц СИ. СИ это аббревиатура от французского словосочетания Le Système International d’Unités, SI (что в переводе на русский означает — международная система единиц СИ).
В СИ приведены наиболее популярные физические величины и для каждой из них определена своя общепринятая единица измерения. К примеру, во всех странах при решении задач условились, что длину будут измерять в метрах. Поэтому, при решении задач, если длина дана в другой единице измерения (например, в километрах), то её обязательно нужно перевести в метры. О том, как переводить одну единицу измерения в другую, мы поговорим немного позже. А пока нарисуем свою международную систему единиц СИ.
Наш рисунок будет представлять собой таблицу физических величин. Каждую изученную физическую величину мы будем включать в нашу таблицу и указывать ту единицу измерения, которая принята во всех странах. Сейчас мы изучили единицы измерения длины и узнали, что в системе СИ для измерения длины определены метры. Значит наша таблица будет выглядеть так:
Единицы измерения массы
Масса – это величина, обозначающая количество вещества в теле. В народе массу тела называют весом. Обычно, когда что-либо взвешивают, говорят «это весит столько-то килограмм» , хотя речь идёт не о весе, а о массе этого тела.
Вместе с тем, масса и вес это разные понятия. Вес — это сила с которой тело действует на горизонтальную опору. Вес измеряется в ньютонах. А масса это величина, показывающая количество вещества в этом теле.
Но ничего страшного нет в том, если вы назовёте массу тела весом. Даже в медицине говорят «вес человека» , хотя речь идёт о массе человека. Главное быть в курсе, что это разные понятия
Для измерения массы используются следующие единицы измерения:
- миллиграммы
- граммы
- килограммы
- центнеры
- тонны
Самая маленькая единица измерения это миллиграмм (мг). Миллиграмм скорее всего вы никогда не примените на практике. Их применяют химики и другие ученые, которые работают с мелкими веществами. Для вас достаточно знать, что такая единица измерения массы существует.
Следующая единица измерения это грамм (г). В граммах принято измерять количество того или иного продукта при составлении рецепта.
В одном грамме тысяча миллиграммов. Между одним граммом и тысячью миллиграммами можно поставить знак равенства, потому что они обозначают одну и ту же массу:
1 г = 1000 мг
Следующая единица измерения это килограмм (кг). Килограмм это общепринятая единица измерения. В ней измеряется всё что угодно. Килограмм включен в систему СИ. Давайте и мы включим в нашу таблицу СИ ещё одну физическую величину. Она у нас будет называться «масса»:
В одном килограмме тысяча граммов. Между одним килограммом и тысячью граммами можно поставить знак равенства, потому что они обозначают одну и ту же массу:
1 кг = 1000 г
Следующая единица измерения это центнер (ц). В центнерах удобно измерять массу урожая, собранного с небольшого участка или массу какого-нибудь груза.
В одном центнере сто килограммов. Между одним центнером и ста килограммами можно поставить знак равенства, потому что они обозначают одну и ту же массу:
1 ц = 100 кг
Следующая единица измерения это тонна (т). В тоннах обычно измеряются большие грузы и массы больших тел. Например, масса космического корабля или автомобиля.
В одной тонне тысяча килограмм. Между одной тонной и тысячью килограммами можно поставить знак равенства, потому что они обозначают одну и ту же массу:
1 т = 1000 кг
Единицы измерения времени
Что такое время думаем объяснять не нужно. Каждый знает что из себя представляет время и зачем оно нужно. Если мы откроем дискуссию на то, что такое время и попытаемся дать ему определение, то начнем углубляться в философию, а это нам сейчас не нужно. Лучше начнём с единиц измерения времени.
Для измерения времени предназначены следующие единицы измерения:
- секунды
- минуты
- сутки
Самая маленькая единица измерения это секунда (с). Есть конечно и более маленькие единицы такие как миллисекунды, микросекунды, наносекунды, но их мы рассматривать не будем, поскольку на данный момент в этом нет смысла.
В секундах измеряются различные показатели. Например, за сколько секунд спортсмен пробежит 100 метров. Секунда включена в международную систему единиц СИ для измерения времени и обозначается как «с». Давайте и мы включим в нашу таблицу СИ ещё одну физическую величину. Она у нас будет называться «время»:
минута (м). В одной минуте 60 секунд. Между одной минутой и шестьюдесятью секундами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одно и то же время:
1 м = 60 с
Следующая единица измерения это час (ч). В одном часе 60 минут. Между одним часом и шестьюдесятью минутами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одно и то же время:
1 ч = 60 м
К примеру, если мы изучали этот урок один час и нас спросят сколько времени мы потратили на его изучение, мы можем ответить двумя способами: «мы изучали урок один час» или так «мы изучали урок шестьдесят минут» . В обоих случаях, мы ответим правильно.
Следующая единица измерения времени это сутки . В сутках 24 часа. Между одними сутками и двадцатью четырьмя часами можно поставить знак равенства, поскольку они обозначают одно и то же время:
1 сут = 24 ч
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.
С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.
Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".
Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:
За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.
Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.
Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.
В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
среда, 4 июля 2018 г.
Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.
Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.
Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.
Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.
Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.
В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...
А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.
Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.
Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".
воскресенье, 18 марта 2018 г.
Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.
Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.
Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.
1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.
2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.
3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.
4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.
Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.
С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.
Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.
Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.
Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.
Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.
Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?
Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.
Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,
Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:
Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.
1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.
В современном мире существует множество единиц измерения для различных величин. Не всеми ими часто пользуются, но все они имеют право на существование. Чаще всего использование той или иной единицы измерения зависит от местоположения. Например, мы привыкли измерять длину в миллиметрах, сантиметрах, метрах, километрах. Однако, покупая телевизор иностранного производства, мы неизбежно сталкиваемся с такой единицей измерения длины, как дюйм, ведь обычно именно в дюймах указывается длина диагонали телевизора. Представьте, например, вы покупаете телевизор, как сейчас модно, через интернет-магазин. На сайте указано, что диагональ его составляет 24 дюйма. И тут возникает проблема: а сколько это 24 дюйма? И на помощь приходит математика. Еще один пример: любой школьник, изучающий физику, слышал о системе СИ единиц измерения. Более того, от каждого школьника современная программа требует уметь переводить единицы измерения в систему СИ при решении школьных задач по физике. Таких примеров можно привести множество. Суть в том, что нужно уметь ориентироваться в единицах измерения различных величин и, при необходимости, уметь переводить одни единицы измерения в другие.
Приведем наиболее часто встречающиеся единицы измерения основных величин.
Масса: миллиграмм, грамм, килограмм (СИ), центнер, тонна.
1 тонна = 10 центнеров = 1 000 кг = 1 000 000 г = 1 000 000 000 мг.
Длина: миллиметр, сантиметр, метр (СИ), километр, фут, дюй м.
1 км = 1 000 м = 100 000 см = 1 000 000 мм
1 м = 3,2808399 фута = 39,3707 дюйма
Площадь: см 2 , м 2 (СИ), акр, фут 2 , гектар, дюйм 2 .
1 м 2 = 10 000 см 2 = 0,00024711 акра = 10,764 фута = 0,0001 гектара = 1 550 дюйма 2 .
Объем: сантиметр 3 , метр 3 (СИ), фут 3 , галлон, дюйм 3 , литр.
1 м 3 = 1 000 000 см 3 = 35,32 фута 3 = 220 галлонов = 61 024 дюйм 3 = 1 000 литров (дм 3).
Как правило, у школьников не возникает проблем с переводом больших единиц измерения в меньшие.
Например:
23 м = 2 300 см = 23 000 мм.
43 кг = 43 000 г.
Когда же речь заходит о переводе меньших единиц в большие, тут, как правило, возникают проблемы. Давайте разберемся, как лучше поступать в таких ситуациях.
Пример.
Пусть нам нужно перевести 28 мм в метры. Такая задача часто возникает в физике, когда требуется перевести единицы измерения в систему СИ.
Решение.
Действуем следующим образом:
1) Строим цепочку единиц измерения от большей к меньшей:
м -> см -> мм.
2) Вспоминаем: 1 м = 100 см, 1 см = 10 мм.
3) Теперь идем в обратном порядке: 1 мм = 0,1 см, 1 см = 0,01 м.
Значит, 1 мм = 0,1 см = 0,1 · 0,01 = 0,001 м.
4) 28 мм = 28 · 0,001 = 0,028 м.
Ответ. 28 мм = 0,028 м.
Пример.
Пусть нам требуется перевести 25 литров в метры 3 .
Решение.
Пользуемся той же схемой.
1) Строим цепочку единиц измерения от большей к меньшей, но пока без кубов.
2) Вспоминаем: 1 м = 10 дм.
3) Теперь идем в обратном порядке: 1 дм = 0,1 м.
Значит, 1 литр = 1 дм 3 = 0,001 м 3 .
4) 25 литров = 25 дм 3 = 25 · 0,001 = 0,025 м 3 .
Ответ. 25 литров = 0,025 м 3 .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Единицы измерения
Я уже не раз говорил, что число, само по себе, - это ничего не значащая бессмыслица. Иногда это становится особенно очевидно. Допустим, мы зашли в ювелирный магазин и увидели там красивый камушек.
Сколько он стоит? - хотим мы знать.
Пятьдесят, - отвечают нам.
Удовлетворил ли такой ответ наше любопытство? - Нет, потому что «пятьдесят» бывают разные, например:
50 копеек,
50 рублей,
50 тысяч рублей.
Пояснительные слова (такие как копейки , рубли , тысячи рублей ), стоящие при числах и придающие им смысл, называются единицами измерения или же просто единицами . Число вместе с сопутствующей ему единицей измерения называется величиной . При решении практических задач, опускать единицы измерения допустимо только в том случае, если мы заранее договоримся, какие именно единицы мы используем. Например, мы могли бы спросить:
Сколько рублей стоит этот камушек?
Тогда ответ: «Пятьдесят», - оказался бы вполне осмысленным и исчерпывающим.
Рассмотрим такую задачу. У Дениса в одном кармане - 1,5 тысяч рублей, а в другом - еще 300 рублей. Спрашивается, сколько всего у Дениса денег? Очевидно, содержимое обоих карманов надо сложить, и чисто формально решение задачи можно записать так:
1,5 тыс. руб. + 300 руб.
С практической точки зрения, однако, подобное решение является неудовлетворительным. Допустим, мы хотим проделать вычисления с помощью калькулятора. В калькулятор нельзя ввести никаких единиц измерения, а только «голые» числа. Как тут быть? Очевидно, единицы измерения придется просто отбросить. Но не так:
потому что в этом случае получается полная чушь. Нам нужно, прежде всего, договориться об общей единице измерения для обоих слагаемых. Пусть это будет, например, рубль. Мы знаем, что
тыс. руб. = 1000 руб.
Поэтому, сделав подстановку, мы можем переписать нашу сумму в таком виде:
1,5 тыс. руб. + 300 руб. =
1,5 ∙ 1000 руб. + 300 руб. =
1500 руб. + 300 руб .
Таким образом, мы выразили все слагаемые в одинаковых единицах измерения, а именно - в рублях. Теперь эти единицы измерения позволительно отбросить, чтобы проделать вычисления на калькуляторе:
1500 + 300 = 1800.
Получив численный ответ, мы восстанавливаем отброшенную ранее единицу измерения и получаем окончательно
1800 руб.
Подобным же образом задачу можно решить, проделав вычисления в тысячах рублей:
1,5 тыс. руб. + 300 руб . = (делаем подстановку) =
1,5 тыс. руб. + 300 ∙ 0,001 тыс. руб. = (упрощаем) =
1,5 тыс. руб. + 0,3 тыс. руб. = (отбрасываем ед. измерения) =
1,5 + 0,3 = (считаем на калькуляторе) =
1,8 = (восстанавливаем ед. измерения) =
1,8 тыс. руб.
Или же в копейках:
1,5 тыс. руб. + 300 руб. =
1,5 ∙ 100000 коп. + 300 ∙ 100 коп. =
150000 коп. + 30000 коп. =
150000 + 30000 =
180000 коп.
Ответ мы во всех случаях получили одинаковый, потому что
1800 руб. = 1,8 тыс. руб. = 180000 коп.
На этих примерах мы видим, что
единицы измерения ведут себя как параметры, которые принимают разные числовые значения в зависимости от того, какую единицу измерения мы используем в численных расчетах.
Если мы проводим расчеты в рублях, тогда
руб. = 1,
тыс. руб. = 1000.
Если мы проводим расчеты в тысячах рублей, тогда
руб. = 0,001,
тыс. руб. = 1.
А если расчеты проводить в копейках, то
коп. = 1,
руб. = 100,
тыс. руб. = 100000.
Это наблюдение имеет первостепенную важность, потому что оно дает нам возможность обращаться с единицами измерения так, как если бы они были числами. Например, обретает смысл выражение
3 руб. ∙ 5.
Действительно, если мы условимся проводить вычисления в рублях, то руб. = 1, и тогда
3 руб. ∙ 5 = 3 ∙ 5 = 5 + 5 + 5 = 15 = 15 руб.
Теперь мы, наконец, можем во всех случаях с полным правом пользоваться коммутативностью (перестановочностью) умножения:
ab = ba ,
не заботясь о том, что именно подразумевается под параметрами a и b : разы, рубли, люди, поросята или что-то еще.
Более того, на единицы измерения можно делить. Допустим, мы купили 5 кг картошки, уплатив за покупку 100 руб. Тогда цена картошки равна
|
100 руб. |
|||
то есть двадцать рублей за килограмм. Теперь мы можем, например, рассчитать, сколько денег придется уплатить за 10 кг картошки:
|
∙ 10 кг = |
20 руб ∙ 10 кг |
|||
|
кг |
20 руб. ∙ 10 = 200 руб.
В ходе этих вычислений мы сократили дробь на «кг », как это мы раньше проделывали с обычными числами и параметрами.
Перевод из одной единицы измерения в другую
Допустим, к нам в гости приехал иностранец, и он плохо представляет себе, что означает, что цена картошки равна 20 руб. /кг . Он просит нас перевести эту цену в евро за центнер (€/ц). При этом известно, что
1 € = 50 руб. ,
1 ц = 100 кг .
Просьбу нашего гостя можно исполнить двумя способами.
Первый способ - подстановка. Мы, собственно, этим способом уже пользовались раньше. Сперва мы должны выразить рубли через евро, а килограммы - через центнеры:
1 руб. = (1/50) € = 0,02 € ,
1 кг = (1/100) ц = 0,01 ц .
Выполняем подстановку и получаем:
|
руб. |
100 кг |
|||||
|
кг |
50 руб. |
Второй способ является несколько более интеллектуальным, так как надо еще сообразить, в каком виде записать единицы, чтобы «лишние» единицы измерения благополучно сократились.
Размерность
Размерность численной величины - это фактически то же самое, что и единица измерения. Различие между этими двумя понятиями состоит в том, что они употребляются в разных ситуациях.
Допустим, цена картошки в ближайшем магазине равна 20 руб. /кг , а в каком-нибудь американском супермаркете картошку продают по цене 0,5 долларов за фунт ($/ф .) Тогда мы говорим, что цена картошки выражена в разных единицах . Это различие вызвано тем, что мы пока не договорились с американцами о том, чтобы использовать одинаковые единицы измерения для количества денег и веса картошки.
Но допустим, что такой договор был достигнут, и для удобства российских туристов цена на картошку в американском супермаркете стала указываться как 40 руб. /кг . Побывав в этом супермаркете, покупатель может, например, купить 3 кг картошки, заплатив за покупку 120 руб. Выпишем приведенные числа еще раз:
Цена картошки: 40 руб. /кг .
Вес картошки: 3 кг .
Количество денег: 120 руб.
Принято говорить, что перечисленные величины имеют разный смысл и разные размерности . Действительно, руб. /кг ≠ кг ≠ руб. Если размерности не совпадают, то их невозможно сделать одинаковыми никакими договорами, никакими переводами из одних единиц измерения в другие. Числа, имеющие разные размерности, нельзя складывать ни при каких обстоятельствах. Например, следующие суммы представляют из себя полный абсурд:
3 кг + 120 руб. ,
40 руб. /кг + 3 кг .
Спрашивается: а можно ли сказать, что «120 рублей» и «3 доллара» имеют одинаковую размерность? Нет, так говорить было бы неправильно, потому что понятием «размерность» можно пользоваться лишь после того, как мы договоримся применять одинаковые единицы измерения всегда, когда это только возможно.
Представление о размерности оказывается чрезвычайно полезным при решении задач. Например, нас спрашивают: сколько картошки можно купить на 100 руб. , если она стоит 20 руб. /кг ? Допустим, мы вообще не поняли смысла задачи. Тем не менее, мы запросто можем написать правильный ответ. В самом деле: нам даны два числа: 100 руб. и 20 руб. /кг . Поскольку размерности у них разные, мы не можем ни складывать их, ни вычитать друг из друга. Остается только умножать или делить. Попробуем для начала умножить:
5 кг .
|
руб. |
||
На этот раз размерность получилась подходящей. В чем же еще измерять количество картошки, как не в килограммах! Теперь у нас есть все основания полагать, что решение, которое мы подобрали, - правильное. Конечно, для полной уверенности лучше разобраться в сути задачи. Однако же, и подсказками, которые дают нам размерности, пренебрегать ни в коем случае не следует.
Безразмерные величины
Допустим, мы хотим знать, во сколько раз цена картошки в американском супермаркете больше, чем в ближайшем магазине. Это находится таким образом:
|
40 руб. /кг |
|
|
20 руб. /кг |
Здесь размерности (руб. /кг ) в числителе и в знаменателе сократились, и в результате мы получили безразмерную величину . Мы говорим, однако: цена картошки в одном магазине в 2 раза больше, чем в другом. Что же это за размерность такая - разы , и откуда она взялась, если в формуле, по которой мы нашли ответ, ее не было? Это противоречие легко разрешить, заметив что
Действительно, при переходе к расчетам на калькуляроре, «раз» всегда заменяется на «1», какими бы единицами измерения мы ни пользовались для других величин. Таким образом, всякая величина, которая измеряется в разах , является безразмерной. Тут уместно, пожалуй, вспомнить, как русскоязычные люди пересчитывают предметы:
Раз , два, три, четыре, пять...
Вообще, все численные величины, которые являются результатом подобного простого пересчета, являются безразмерными, например:
10 человек,
15 поросят
Причина этому всё та же: ведя расчеты на калькуляторе, мы всегда заменяем «штуку», «человека» и «поросенка» на «1». И всё-таки даже такие «безразмерные единицы измерения» лучше по возможности, не опускать, потому что они придают числам осмысленность.
Рассмотрим такую задачу. Имеется 5 коробок с шоколадными конфетами по 20 конфет в каждой. Сколько всего конфет? Поскольку число коробок и число конфет являются величинами безразмерными, не будет ошибкой, если представить решение в следующем виде:
Но гораздо лучше написать так:
5 кор. ∙ 20 конф. /кор. = 100 конф.
