Понятие множества является исходным не определяемым строго понятием. Приведем здесь определение множества (точнее, пояснение идеи множества), принадлежащее Г. Кантору: "Под многообразием или множеством я понимаю вообще все многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определенных элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое".

Множества будем, как правило, обозначать большими буквами латинского алфавита, а их элементы - малыми, хотя иногда от этого соглашения придется отступать, так как элементами некоторого множества могут быть другие множества. Тот факт, что элемент а принадлежит множеству A , записывается в виде a\in A .

В математике мы имеем дело с самыми различными множествами. Для элементов этих множеств мы используем два основных вида обозначений: константы и переменные.

Индивидная константа (или просто константа) с областью значений A обозначает фиксированный элемент множества A . Таковы, например, обозначения (записи в определенной системе счисления) действительных чисел: 0;\,2;\,7,\!34 . Для двух констант b и b с областью значений A будем писать a=b , понимая под этим совпадение обозначаемых ими элементов множества A .

Индивидное переменное (или просто переменное) с областью значений A обозначает произвольный, заранее не определенный элемент множества A . При этом говорят, что переменное x пробегает множество A или переменное x принимает произвольные значения на множестве A . Можно фиксировать значение переменного x , записав x=a , где a - константа с той же областью значений, что и x . В этом случае говорят, что вместо переменного x подставлено его конкретное значение a , или произведена подстановка a вместо x , или переменное x приняло значение a .

Равенство переменных x=y понимается так: всякий раз, когда переменное x принимает произвольное значение a , переменное y принимает то же самое значение a , и наоборот. Таким образом, равные переменные "синхронно" принимают всегда одни и те же значения.

Обычно константы и переменные, область значений которых есть некоторое числовое множество, а именно одно из множеств \mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q},\, \mathbb{R} и \mathbb{C} , называют соответственно натуральными, целыми (или целочисленными), рациональными, действительными и комплексными константами и переменными. В курсе дискретной математики мы будем использовать различные константы и переменные, область значений которых не всегда является числовым множеством.

Для сокращения записи мы будем пользоваться логической символикой, позволяющей коротко, наподобие формул, записывать высказывания. Понятие высказывания не определяется. Указывается только, что всякое высказывание может быть истинным или ложным (разумеется, не одновременно!).

Логические операции (связки) над множествами

Для образования из уже имеющихся высказываний новых высказываний используются следующие логические операции (или логические связки).

1. Дизъюнкция \lor : высказывание P\lor Q (читается: "P или Q ") истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний P и Q .

2. Конъюнкция \land : высказывание P\land Q (читается: "P и Q ") истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания P и Q .

3. Отрицание \lnot : высказывание \lnot P (читается: "не P ") истинно тогда и только тогда, когда P ложно.

4. Импликация \Rightarrow : высказывание P \Rightarrow Q (читается: "если P , то Q " или "P влечет Q ") истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание или оба высказывания ложны.

5. Эквивалентность (или равносильность) \Leftrightarrow : высказывание (читается: "P , если и только если Q ") истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания P и Q либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Любые два высказывания P и Q , такие, что истинно P \Leftrightarrow Q , называют логически эквивалентными или равносильными.

Записывая высказывания с помощью логических операций, мы предполагаем, что очередность выполнения всех операций определяется расстановкой скобок. Для упрощения записи скобки зачастую опускают, принимая при этом определенный порядок выполнения операций ("соглашение о приоритетах").

Операция отрицания всегда выполняется первой, и потому ее в скобки не заключают. Второй выполняется операция конъюнкции, затем дизъюнкции и, наконец, импликации и эквивалентности. Например, высказывание (\lnot P)\lor Q записывают так: \lnot P\lor Q . Это высказывание есть дизъюнкция двух высказываний: первое является отрицанием P , а второе - Q . В отличие от него высказывание \lnot (P\lor Q) есть отрицание дизъюнкции высказываний P и Q .

Например, высказывание \lnot P\land Q\lor\lnot Q\land P \Rightarrow\lnot Q после расстановки скобок в соответствии с приоритетами примет вид

\bigl(((\lnot P)\land Q)\lor ((\lnot Q)\land P)\bigr)\Rightarrow (\lnot Q).

Сделаем некоторые комментарии по поводу введенных выше логических связок. Содержательная трактовка дизъюнкции, конъюнкции и отрицания не нуждается в специальных разъяснениях. Импликация P \Rightarrow Q истинна, по определению, всякий раз, когда истинно высказывание Q (независимо от истинности P ) или P и Q одновременно ложны. Таким образом, если импликация P\Rightarrow Q истинна, то при истинности P имеет место истинность Q , но обратное может и не выполняться, т.е. при ложности P высказывание Q может быть как истинным, так и ложным. Это и мотивирует прочтение импликации в виде "если P , то Q ". Нетрудно также понять, что высказывание P\Rightarrow Q равносильно высказыванию \lnot P\lor Q и тем самым содержательно "если P , то Q " отождествляется с "не P или Q ".

Равносильность \Leftrightarrow есть не что иное, как "двусторонняя импликация", т.е. P\Leftrightarrow Q равносильно (P \Rightarrow Q)\land (Q \Rightarrow P) . Это означает, что из истинности P следует истинность Q и, наоборот, из истинности Q следует истинность P .

Пример 1.1. Для определения истинности или ложности сложного высказывания в зависимости от истинности или ложности входящих в него высказываний используют таблицы истинности.

В первых двух столбцах таблицы записывают все возможные наборы значений, которые могут принимать высказывания P и Q . Истинность высказывания обозначают буквой "И" или цифрой 1, а ложность - буквой "Л" или цифрой 0. Остальные столбцы заполняют слева направо. Так для каждого набора значений P и Q находят соответствующие значения высказываний.

Наиболее простой вид имеют таблицы истинности логических операций (табл. 1.1-1.5).

Рассмотрим сложное высказывание (\lnot P\land Q)\Rightarrow (\lnot Q\land P) . Для удобства вычислений обозначим высказывание \lnot P\land Q через A , высказывание \lnot Q\land P через B , а исходное высказывание запишем в виде A \Rightarrow B . Таблица истинности этого высказывания состоит из столбцов P,\,Q,\,A,\,B и A \Rightarrow B (табл. 1.6).

Предикаты и кванторы

Сложные высказывания образуются не только посредством логических связок, но и с помощью предикатов и кванторов.

Предикат есть высказывание, содержащее одно или несколько индивидных переменных. Например, "x есть четное число" или "x есть студент МГТУ им. Баумана, поступивший в 1999 г.". В первом предикате x есть целочисленное переменное, во втором - переменное, пробегающее множество "человеческих индивидов". Примером предиката, содержащего несколько индивидных переменных, может служить: "x есть сын y ", "x,y и z учатся в одной и той же группе", "x делится на y ", "x меньше y " и т.п. Предикаты будем записывать в виде P(x),\, Q(x,y),\, R(x,y,z) , полагая, что в скобках перечислены все переменные, входящие в данный предикат.

Подставляя вместо каждого переменного, входящего в предикат P(x_1,\ldots,x_n) , конкретное значение, т.е. фиксируя значения , где a_1,\ldots,a_n - некоторые константы с соответствующей областью значений, получаем высказывание, не содержащее переменных. Например, "2 есть четное число", "Исаак Ньютон есть студент МГТУ им. Баумана, поступивший в 1999 г.", "Иванов есть сын Петрова", "5 делится на 7" и т.п. В зависимости от того, истинно или ложно полученное таким образом высказывание, говорят, что предикат P выполняется или не выполняется на наборе значений переменных x_1=a_1,\ldots,x_n=a_n . Предикат, выполняющийся на любом наборе входящих в него переменных, называют тождественно истинным, а предикат, не выполняющийся ни на одном наборе значений входящих в него переменных, - тождественно ложным.

Высказывание из предиката можно получать не только подстановкой значений его переменных, но и посредством кванторов. Вводят два квантора - существования и всеобщности, обозначаемые \exists и \forall соответственно.

Высказывание (\forall x\in A)P(x) ("для каждого элемента x , принадлежащего множеству A , истинно P(x) ", или, более коротко, "для всех x\in A истинно P(x) ") истинно, по определению, тогда и только тогда, когда предикат P(x) выполняется для каждого значения переменного x .

Высказывание (\exists x\in A)P(x) ("существует, или найдется, такой элемент x множества A , что истинно P(x) ", также "для некоторого x\in A истинно P(x) ") истинно, по определению, тогда и только тогда, когда на некоторых значениях переменного x выполняется предикат P(x) .

Связывание переменных предикатов кванторами

При образовании высказывания из предиката посредством квантора говорят, что переменное предиката связывается квантором. Аналогично связываются переменные в предикатах, содержащих несколько переменных. В общем случае используют формы высказываний вида

(Q_1x_1\in A_1)(Q_2x_2\in A_2)\ldots (Q_nx_n\in A_n) P(x_1,x_2, \ldots, x_n),

где вместо каждой буквы Q с индексом может быть подставлен любой из кванторов \forall или \exists .

Например, высказывание (\forall x\in A)(\exists y\in B)P(x,y) читается так: "для всякого x\in A существует y\in B , такой, что истинно P(x,y) ". Если множества, которые пробегают переменные предикатов, фиксированы (подразумеваются "по умолчанию"), то кванторы записываются в сокращенной форме: (\forall x)P(x) или (\exists x)P(x) .

Заметим, что многие математические теоремы можно записать в форме, подобной только что приведенным высказываниям с кванторами, например: "для всех f и для всех a истинно: если f - функция, дифференцируемая в точке a , то функция f непрерывна в точке a ".

Способы задания множеств

Обсудив особенности употребления логической символики, вернемся к рассмотрению множеств.

Два множества A и B считают равными, если любой элемент x множества A является элементом множества B и наоборот. Из приведенного определения равных множеств следует, что множество полностью определяется своими элементами.

Рассмотрим способы задания конкретных множеств. Для конечного множества, число элементов которого относительно невелико, может быть использован способ непосредственного перечисления элементов. Элементы конечного множества перечисляют в фигурных скобках в произвольном фиксированном порядке \{1;3;5\} . Подчеркнем, что поскольку множество полностью определено своими элементами, то при задании конечного множества порядок, в котором перечислены его элементы, не имеет значения. Поэтому записи \{1;3;5\},\, \{3;1;5\},\, \{5;3;1\} и т.д. все задают одно и то же множество. Кроме того, иногда в записи множеств используют повторения элементов. Будем считать, что запись \{1;3;3;5;5\} задает то же самое множество, что и запись \{1;3;5\} .

В общем случае для конечного множества используют форму записи . Как правило, при этом избегают повторений элементов. Тогда конечное множество, заданное записью \{a_1,\ldots,a_n\} , состоит из n элементов. Его называют также n-элементным множеством.

Однако способ задания множества путем непосредственного перечисления его элементов применим в весьма узком диапазоне конечных множеств. Наиболее общим способом задания конкретных множеств является указание некоторого свойства, которым должны обладать все элементы описываемого множества, и только они.

Эта идея реализуется следующим образом. Пусть переменное x пробегает некоторое множество U , называемое универсальным множеством. Мы предполагаем, что рассматриваются только такие множества, элементы которых являются и элементами множества U . В таком случае свойство, которым обладают исключительно элементы данного множества A , может быть выражено посредством предиката P(x) , выполняющегося тогда и только тогда, когда переменное x принимает произвольное значение из множества A . Иначе говоря, P(x) истинно тогда и только тогда, когда вместо x подставляется индивидная константа a\in A .

Предикат P называют в этом случае характеристическим предикатом множества A , а свойство, выражаемое с помощью этого предиката, - характеристическим свойством или коллективизирующим свойством.

Множество, заданное через характеристический предикат, записывается в следующей форме:

A=\bigl\{x\colon~ P(x)\bigr\}.

Например, A=\{x\in\mathbb{N}\colon\, 2x\} означает, что "A есть множество, состоящее из всех таких элементов x , что каждое из них есть четное натуральное число".

Термин "коллективизирующее свойство" мотивирован тем, что это свойство позволяет собрать разрозненные элементы в единое целое. Так, свойство, определяющее множество G (см. ниже), в буквальном смысле слова формирует некий "коллектив":

Если мы вернемся к канторовскому определению множества, то характеристический предикат множества и есть тот закон, посредством которого совокупность элементов соединяется в единое целое. Предикат, задающий коллективизирующее свойство, может быть тождественно ложным. Множество, определенное таким образом, не будет иметь ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают \varnothing .

В противоположность этому тождественно истинный характеристический предикат задает универсальное множество.

Обратим внимание на то, что не каждый предикат выражает какое-то коллективизирующее свойство.

Замечание 1.1. Конкретное содержание понятия универсального множества определяется тем конкретным контекстом, в котором мы применяем теоретико-множественные идеи. Например, если мы занимаемся только различными числовыми множествами, то в качестве универсального может фигурировать множество \mathbb{R} всех действительных чисел. В каждом разделе математики рассматривается относительно ограниченный набор множеств. Поэтому удобно полагать, что элементы каждого из этих множеств суть также и элементы некоторого "объемлющего" их универсального множества. Зафиксировав универсальное множество, мы тем самым фиксируем область значений всех фигурирующих в наших математических рассуждениях переменных и констант. В этом случае как раз и можно не указывать в кванторах то множество, которое пробегает связываемое квантором переменное. В дальнейшем изложении мы встретимся с разными примерами конкретных универсальных множеств.

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ КАНТОРА. Кантор развил определенную технику оперирования с актуально бесконечными множествами и построил определенный аналог понятия количества для бесконечных множеств. Основой этой техники служит понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств. Говорят, что элементы двух множеств можно поставить во взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу первого множества можно поставить в соответствие элемент второго множества, разным – разные, и при этом каждый элемент второго множества будет соответствовать какому-то элементу первого. Про такие множества говорят, что они эквивалентны, что они имеют одинаковую мощность, или одинаковое кардинальное число. Если же можно доказать, что элементы множества А можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с элементами подмножества В1 множества В, а элементы множества В нельзя поставить во взаимнооднозначное соответствие с элементами А, то тогда говорят, что мощность множества В больше мощности множества А.Эти определения применимы и к конечным множествам. В этом случае мощность представляет собой аналог конечных чисел. Но бесконечные множества имеют в этом смысле парадоксальные свойства. Бесконечное множество оказывается эквивалентным своей части, напр. так, как это происходит в т.н. «парадоксе Галилея»:

1, 2, 3, 4, ..., n, ...

2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...

Эти парадоксы были известны давно, и именно они, в частности, служили препятствием для рассмотрения актуально бесконечных множеств. То, что здесь просто сказывается специфика актуально бесконечного, объяснял в «Парадоксах бесконечного» Больцано. Дедекинд считал это свойство актуально бесконечных множеств характеристическим.

Кантор развивает арифметику кардинальных чисел. Суммой двух кардинальных чисел является мощность объединения соответствующих им множеств, произведением – мощность т.н. множества-произведения двух данных множеств и т.д. Важнейшим оказывается переход от данного множества к множеству-степени, т.е., по определению, к множеству всех подмножеств исходного множества. Кантор доказывает основополагающую для его теории теорему: мощность множества-степени больше мощности исходного множества. Если мощность исходного множества записать через а, то в соответствии с арифметикой кардинальных чисел мощность множества-степени будет 2a, и мы имеем, следовательно, 2a >а.

Значит, переходя от некоторого бесконечного множества, напр. от множества всех натуральных чисел, имеющего мощность ℵα (обозначение Кантора) к множеству всех подмножеств этого множества, к множеству всех подмножеств этого нового множества и т.д., мы будем получать ряд множеств все более возрастающей мощности. Есть ли какой-то предел этому возрастанию? Ответить на этот вопрос можно, только введя в рассмотрение некоторые дополнительные понятия.

Оперировать с бесконечными множествами, лишенными всякой дополнительной структуры, вообще говоря, невозможно. Поэтому Кантор ввел в рассмотрение упорядоченные множества, т.е. множества, для любых двух элементов которых определено отношение «больше» > (или «меньше» <). Это отношение должно быть транзитивным: из a < b и b < с следует: а < с. Собственно, наиболее продуктивным для теории множеств является еще более узкий класс множеств: вполне упорядоченные множества. Так называются упорядоченные множества, у которых каждое подмножество имеет наименьший элемент. Вполне упорядоченные множества легко сравнивать между собой: они отображаются одно на часть другого с сохранением порядка. Символы вполне упорядоченных множеств, или ординальные (порядковые) числа, также образуют вполне упорядоченное множество, и для них также можно определить арифметические действия: сложение (вычитание), умножение, возведение в степень. Ординальные числа играют для бесконечных множеств роль порядковых чисел, кардинальные – роль количественных. Множество (бесконечное) определенной мощности можно вполне упорядочить бесконечным числом способов, каждому из которых будет соответствовать свое ординальное число. Тем самым каждому кардиналу (Кантор ввел для обозначения кардиналов «алефы» – первую букву еврейского алфавита с индексами) ℵα будет соответствовать бесконечно много ординалов:

0 1 2 ... ω0, ω0 + 1 ... ω1... ω2 ... ωn ... ωω0 ... Ω (ординалы)

0 1 2 ... ℵ0 ... ℵ1 ... ℵ2 ℵn …ℵ ω0 … τ («тау»-кардиналы)

Согласно теоремам теории множеств любой «отрезок» шкалы Ω ординальных чисел, сам как множество вполне упорядоченное, будет иметь больший ординал, чем все заключенные в этом отрезке. Отсюда вытекает, что невозможно рассматривать все Ω как множество, т.к. в противном случае Ω имело бы своим ординалом β, которое больше всех ординалов в Ω, но поскольку последнее содержит все ординалы, т.е. и β, то было бы: β > β (парадокс Бурали – Форти, 1897). Кантор стремился обойти этот парадокс введением (с 1880-х гг.) понятия консистентноcсти. Не любая множественность (Vielheit) есть множество (Menge). Множественность называется консистентной, или множеством, если ее можно рассматривать, как законченное целое. Если же допущение «совместного бытия» всех элементов множественности ведет к противоречию, то множественность оказывается неконсистентной, и ее, собственно, нельзя рассматривать в теории множеств. Такими неконсистентными множествами оказываются, в частности, Ω – множество всех ординальных чисел и τ («тау») – множество всех кардиналов («алефов»). Тем самым мы опять возвращаемся к бесконечности как к процессу. Как пишет математик 20 в. П.Вопенка: «Теория множеств, усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу» (Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. – «Новое в зарубежной науке. Математика», 1983, № 31, с. 124.) Это не смущало, однако, самого Кантора. Он считал, что шкала «алефов» поднимается до бесконечности самого Бога и поэтому то, что последняя оказывается математически невыразимой, было для него само сабой разумеющимся: «Я никогда не исходил из какого-либо «Genus supremum» актуальной бесконечности. Совсем наоборот, я строго доказал абсолютное несуществование «Genus supremum» для актуальной бесконечности. То, что превосходит все бесконечное и трансфинитное, не есть «Genus»; это есть единственное, в высшей степени индивидуальное единство, в которое включено все, которое включает «Абсолютное», непостижимое для человеческого понимания. Это есть «Actus Purissimus», которое многими называется Богом» (Meschkowski H. Zwei unveroffentlichte Briefe Georg Cantors. – «Der Mathematilkuntemcht», 1971, № 4, S. 30–34).

Б. H. Катасонов

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. I, А - Д, с. 249-250.

По образованию я физик-теоретик, однако имею неплохую математическую базу. В магистратуре одним из предметов была философия, необходимо было выбрать тему и сдать по ней работу. Поскольку большинство вариантов не единожды было обмусолено, то решил выбрать что-то более экзотическое. На новизну не претендую, просто получилось аккумулировать всю/почти всю доступную литературу по этой теме. Философы и математики могут кидаться в меня камнями, буду лишь благодарен за конструктивную критику.

P.S. Весьма «сухой язык», но вполне читабельно после университетской программы. По большей части определения парадоксов брались из Википедии (упрощённая формулировка и готовая TeX-разметка).

Введение

Как сама теория множеств, так и парадоксы, ей присущие, появились не так уж и давно, чуть более ста лет назад. Однако за этот период был пройден большой путь, теория множеств так или иначе фактически стала основой большинства разделов математики. Парадоксы же её, связанные с бесконечностью Кантора, были успешно объяснены буквально за половину столетия.

Следует начать с определения.

Что есть множество? Вопрос достаточно простой, ответ на него вполне интуитивен. Множество это некий набор элементов, представляемый единым объектом. Кантор в своей работе Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre даёт определение: под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). Как видим, суть не изменилась, разница лишь в той части, которая зависит от мировоззрения определяющего. История же теории множеств как в логике так и в математике весьма противоречива. Фактически начало ей положил Кантор в XIX веке, далее Рассел и остальные продолжили работу.

Парадоксы (логики и теории множеств) - (греч. - неожиданный) - формально-логические противоречия, которые возникают в содержательной множеств теории и формальной логике при сохранении логической правильности рассуждения. Парадоксы возникают тогда, когда два взаимоисключающих (противоречащих) суждения оказываются в равной мере доказуемыми. Парадоксы могут появиться как в пределах научной теории, так и в обычных рассуждениях (например, приводимая Расселом перифраза его парадокса о множестве всех нормальных множеств: «Деревенский парикмахер бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя?»). Поскольку формально-логическое противоречие разрушает рассуждение как средство обнаружения и доказательства истины (в теории, в которой появляется парадокс, доказуемо любое, как истинное, так и ложное, предложение), возникает задача выявления источников подобных противоречий и нахождения способов их устранения. Проблема философского осмысления конкретных решений парадоксов - одна из важных методологических проблем формальной логики и логических оснований математики.

Целью данной работы является изучение парадоксов теории множеств как наследников античных антиномий и вполне логичных следствий перехода к новому уровню абстракции - бесконечности. Задача - рассмотреть основные парадоксы, их философскую интерпретацию.

Основные парадоксы теории множеств

Брадобрей бреет только тех людей, которые не бреются сами. Бреет ли он себя?

Продолжим кратким экскурсом в историю.

Некторые из логических парадоксов были известны с античных времён, однако по причине того, что математическая теория ограничивалась одной лишь арифметикой и геометрией, соотнести их с теорией множеств было невозможно. В XIX веке ситуация изменилась коренным образом: Кантор в своих работах вышел на новый уровень абстракции. Он ввёл понятие бесконечности, создав тем самым новый раздел математики и позволив тем самым сравнивать различные бесконечности с помощью понятия «мощность множества» . Однако тем самым он породил множество парадоксов. Самым первым является так называемый парадокс Бурали-Форти . В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одно из формальных определений.

Можно доказать, что если x - произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов x . Предположим теперь, что - множество всех порядковых чисел. Тогда - порядковое число, большее или равное любому из чисел в . Но тогда и - порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в . Но это противоречит условию, по которому - множество всех порядковых чисел.

Сущность же парадокса в том, что при образовании множества всех порядковых чисел образуется новый порядковый тип, которого ещё не было среди «всех» трансфинитных порядковых чисел, существовавших до образования множества всех порядковых чисел. Этот парадокс был обнаружен самим Кантором, независимо открыт и опубликован итальянским математиком Бурали-Форти, ошибки же последнего были исправлены Расселом, после чего формулировка приобрела окончательный вид .

Среди всех попыток избежать подобных парадоксов и в какой-то мере попробовать их объяснить наибольшего внимания заслуживает идея уже упомянутого Рассела. Он предложил исключить из математики и логики импредикативные предложения, в которых определение элемента множества зависит от последнего, что и вызывает парадоксы. Правило звучит так: «никакое множество С не может содержать элементов m, определяемых лишь в терминах множества С, а так же элементов n, предполагающих в своём определении это множество» . Подобное ограничение определения множества позволяет избежать парадоксов, но при этом значительно сужает область его применения в математике. Вдобавок этого недостаточно для объяснения их природы и причин появления, коренящихся в дихотомии мышления и языка, в особенностях формальной логики . В какой-то мере в данном ограничении можно проследить аналогию с тем, что в более поздний период когнитивные психологи и лингвисты начали называть «категоризацией основного уровня»: определение сведено к наиболее легкой для понимания и изучения концепцией.

Предположим, что множество всех множеств существует. В этом случае справедливо , то есть всякое множество t является подмножеством V. Но из этого следует - мощность любого множества не превосходит мощности V. Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для V, как и любого множества, существует множество всех подмножеств , и по теореме Кантора , что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, V не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что для любой формулы A, не содержащей y свободно. Замечательное доказательство отсутствия подобных противоречий на основе аксиоматизированной теории множеств Цермело-Френкеля приводится у Поттера .

Оба вышеуказанных парадокса с логической точки зрения идентичны «Лжецу» либо «Брадобрею»: высказываемое суждение обращено не только на нечто объективное по отношению к нему, но и само на себя. Однако следует обращать внимание не только на логическую сторону, но и на понятие бесконечности, которое тут наличествует. В литературе ссылаются на работу Пуанкаре, в которой он пишет: «вера в существование актуальной бесконечности… делает необходимым эти непредикативные определения"" .
В целом же имеют место основные моменты :

• в данных парадоксах нарушается правило чётко разделять „сферы“ предиката и субъекта; степень смешения близка к подмене одного понятия другим;
• обычно в логике предполагается, что в процессе рассуждения субъект и предикат сохраняют свой объём и содержание, в данном же случае происходит
  переход из одной категории в другую, что даёт в результате несоответствие;
• наличие слова „все“ имеет смысл для конечного числа элементов, в случае же бесконечного их количества возможно наличие такого, которое
  для определения себя потребует определение множества;
• нарушаются основные логические законы:
  • закон тождества нарушается тогда, когда обнаруживается нетождественность себе субъекта и предиката;
  • закон противоречия - когда с одинаковым правом выводятся два противоречащих друг другу суждения;
  • закон исключённого третьего - когда это третье приходится признавать, а не исключать, поскольку ни первое, ни второе не могут быть признаны одно без другого, т.к. они оказываются одинаково правомерными.

Третий парадокс носит имя Рассела . Один из вариантов определения приведён далее.
Пусть K - множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента.Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K - противоречие.Если нет - то, по определению K, оно должно быть элементом K - вновь противоречие. Данное утверждение логически выводится из парадокса Кантора, что показывает их взаимосвязь. Однако философская сущность проявляется более чётко, поскольку „самодвижение"" понятий происходит прямо “на наших глазах» .

Парадокс Тристрама Шенди:
В романе Стерна «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» герой обнаруживает, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, и еще один год понадобился, чтобы описать второй день. В связи с этим герой сетует, что материал его биографии будет накапливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет ее завершить. «Теперь я утверждаю, - возражает на это Рассел, - что если бы он жил вечно и его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его жизнь продолжала быть столь же богатой событиями, как вначале, то ни одна из частей его биографии не осталась бы ненаписанной».
Действительно, события n-го дня Шенди мог бы описать за n-й год и, таким образом, в его автобиографии каждый день оказался бы запечатленным.

Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.

Рассел проводит аналогию между этим романом и Зеноном с его черепахой. По его мнению решение лежит в том, что целое эквивалентно его части в бесконечности. Т.е. к противоречию приводит только «аксиома здравого смысла» . Однако же разрешение проблемы лежит в области чистой математики. Очевидно, что имеется два множества - года и дни, между элементами которых установлено взаимно-однозначное соответствие - биекция. Тогда при условии бесконечной жизни главного героя имеется два бесконечных равномощных множества, что, если рассматривать мощность как обобщение понятия количества элементов в множестве, разрешает парадокс.

Парадокс (теорема) Банаха-Тарского или парадокс удвоения шара - теорема в теории множеств, утверждающая, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.
Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число частей, передвинуть их, и составить из них второе.
Более точно, два множества A и B являются равносоставленными, если их можно представить как конечное объединение непересекающихся подмножеств так, что для каждого i подмножество конгруэнтно .

Если же пользоваться теоремой выбора, то определение звучит так:
Аксиома выбора подразумевает, что существует разбиение поверхности единичной сферы на конечное количество частей, которые преобразованиями трёхмерного Евклидова пространства, не меняющими форму этих составляющих, могут быть собраны в две сферы единичного радиуса.

Очевидно, что при требовании для данных частей быть измеримыми, данное постоение неосуществимо. Известный физик Ричард Фейнман в своей биографии рассказывал, как в своё время у него получилось победить в споре о разбиении апельсина на конечное количество частей и пересоставлении его .

В определённых моментах этот парадокс используется для опровержения аксиомы выбора, однако проблема в том, что то, что мы считаем элементарной геометрией, - несущественно. Те понятия, которые мы считаем интуитивными, должны быть расширены до уровня свойств трансцендентных функций .

Чтобы и дальше ослабить уверенность тех, кто считает аксиому выбора неверной, следует упомянуть теорему Мазуркевича и Серпинского, которая утверждает, что существует непустое подмножество Е Евклидовой плоскости, которое имеет два непересекающихся подмножества, каждое из которых может быть разбито на конечное количество частей, так что их можно перевести изометриями в покрытие множества Е.
При этом доказательство не требует использования аксиомы выбора.
Дальнейшие же построения на основе аксиомы определённости дают разрешение парадокса Банаха-Тарского, но не представляют такого интереса .

• Парадокс Ришара: требуется назвать «наименьшее число, не названное в этой книге». Противоречие в том, что с одной стороны, это можно сделать, так как есть наименьшее число, названное в этой книге. Исходя из него, можно назвать и наименьшее неназванное. Но тут возникает проблема: континуум является несчётным, между двумя любыми числами можно вставить ещё бесконечное множество промежуточных чисел. С другой стороны, если бы мы могли назвать это число, оно автоматически бы перешло из класса неупомянутых в книге, в класс упомянутых .
• Парадокс Греллинга-Нильсона: слова либо знаки могут обозначать какое-либо свойство и при этом иметь его или нет. Самая тривиальная формулировка звучит так: является ли слово «гетерологичный» (что означает «неприменимый к самому себе»), гетерологичным?.. Весьма схож с парадоксом Рассела в связи с наличием диалектического противоречия: нарушается двойственность формы и содержания. В случае со словами, имеющими высокий уровень абстракции, невозможно решить, являются ли эти слова гетерологичными .
• Парадокс Сколема: используя теорему Гёделя о полноте и теорему Лёвенхейма-Сколема получаем, что аксиоматическая теория множеств остаётся истинной и тогда, когда будет предполагаться (иметься) для её интерпретации только счётная совокупность множеств. В то же время
  аксиоматическая теория включает в себя уже упомянутую теорему Кантора, что приводит нас к несчётным бесконечным множествам.

Разрешение парадоксов

Создание теории множеств породило то, что считают третьим кризисом математики, который до сих пор не был разрешён удовлетворительно для всех .
Исторически сложилось, что первым подходом был теоретико-множественный. Он основывался на использовании актуальной бесконечности, когда считалось, что любая бесконечная последовательность является завершённой в бесконечности. Идея заключалась в том, что в теории множеств часто приходилось оперировать множествами, которые могли являться части других, более обширных множеств. Успешные действия в таком случае были возможны лишь в одном случае: данные множества (конечные и бесконечные) завершены. Определённый успех был очевиден: аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля, целая школа математики Николя Бурбаки, которая существует уже больше половины столетия и до сих пор вызывает множество критики.

Логицизм был попыткой свести всю известную математику к терминам арифметики, а потом термины арифметики свести к понятиям математической логики. Вплотную этим занялся Фреге, однако после окончания работы над трудом, он вынужден был указать о своей несостоятельности, после того, как Рассел указал на имеющиеся в теории противоречия. Тот же Рассел, как уже был упомянуто ранее, попытался исключить использование импредикативных определений с помощью «теории типов». Однако его понятия множества и бесконечности, а так же аксиома сводимости оказались нелогичными. Основной проблемой было то, что не учитывались качественные различия между формальной и математической логикой, а так же наличие лишних понятий, в том числе и интуитивного характера.
В итоге теория логицизма не смогла устранить диалектических противоречий парадоксов, связанных с бесконечностью. Имели место лишь принципы и методы, которые позволяли избавиться хотя бы от непредикативных определений. В свох же рассуждениях Рассел был наследником Кантора

В конце XIX - начале XX в. распространение формалистической точки зрения на математику было связано с развитием аксиоматического метода и той программой обоснования математики, которую выдвинул Д. Гильберт. На степень важности этого факта указывает то, что первой проблемой из двадцати трёх, которые он поставил перед математическим сообществом, была проблема бесконечности. Формализация была необходима для доказательства непротиворечивости классической математики, «исключив при этом из неё всю метафизику». Учитывая средства и методы, которыми пользовался Гильберт, его цель оказалась принципиально невыполнимой, но его программа имела огромное влияние на все последующее развитие оснований математики. Гильберт достаточно долго работал над этой проблемой, построив первоначально аксиоматику геометрии. Поскольку решение проблемы оказалось достаточно успешным, он решил применить аксиоматический метод к теории натуральных чисел. Вот что он писал в связи с этим: «Я преследую важную цель: именно я хотел бы разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми, превратив каждое математическое высказывание в строго выводимую формулу.» От бесконечности при этом планировалось избавиться с помощью сведения её к некому конечному числу операций. Для этого он обращался к физике с её атомизмом, дабы показать всю несостоятельность бесконечных величин. Фактически Гильберт поставил вопрос о соотношении теории и объективной реальности.

Более или менее полное представление о финитных методах дает ученик Гильберта Ж. Эрбран. Под финитными рассуждениями он понимает такие рассуждения, которые удовлетворяют следующим условиям: логические парадоксы " - всегда рассматривается лишь конечное и определенное число предметов и функций;

Функции имеют точное определение, и это определение позволяет нам вычислить их значение;

Никогда не утверждается «Этот объект существует», если не известен способ его построения;

Никогда не рассматривается множество всех предметов X какой-либо бесконечной совокупности;

Если известно, что какое-либо рассуждение или теорема верны для всех этих X, то это означает, что это общее рассуждение можно повторить для каждого конкретного X, причем само это общее рассуждение следует рассматривать только как образец для проведения таких конкретных рассуждений."

Однако в момент последней публикации в этой области Гёдель уже получил свои результаты, в сущности опять обнаружил и утвердил наличие диалектики в процессе познания. По сути своей дальнейшее развитие математики продемонстрировало несостоятельность программы Гильберта.

Что же, собственно, доказал Гёдель? Можно выделить три основных результата:

1. Гёдель показал невозможность математического доказательства непротиворечивости любой системы, достаточно обширной, чтобы включать в себя всю арифметику, доказательства, которое не использовало бы каких-либо иных правил вывода, кроме тех, что имеются в самой данной системе. Такое доказательство, которое использует более мощное правило вывода, может оказаться полезным. Но если эти правила вывода сильнее логических средств арифметического исчисления, то уверенности в непротиворечивости используемых в доказательстве допущений не будет. Во всяком случае, если используемые методы не будут финитистскими, то программа Гильберта окажется невыполнимой. Гёдель как раз и показывает несостоятельность расчетов на нахождение финитистского доказательства непротиворечивости арифметики.
2. Гёдель указал на принципиальную ограниченность возможностей аксиоматического метода: система Principia Mathematica, как и всякая иная система, с помощью которой строится арифметика, существенно неполна, т. е. для любой непротиворечивой системы арифметических аксиом имеются истинные арифметические предложения, которые не выводятся из аксиом этой системы.
3. Теорема Гёделя показывает, что никакое расширение арифметической системы не может сделать ее полной, и даже если мы наполним ее бесконечным множеством аксиом, то в новой системе всегда найдутся истинные, но не выводимые средствами этой системы положения. Аксиоматический подход к арифметике натуральных чисел не в состоянии охватить всю область истинных арифметических суждений, и то, что мы понимаем под процессом математического доказательства, не сводится к использованию аксиоматического метода. После теоремы Гёделя стало бессмысленно рассчитывать, что понятию убедительного математического доказательства можно будет придать раз и навсегда очерченные формы.

Последним в этой череде попыток объяснить теорию множеств был интуиционизм.

Он прошел ряд этапов в своей эволюции - полуинтуиционизм, собственно интуиционизм, ультраинтуиционизм. На разных этапах математиков волновали разные проблемы, но одной из основных проблем математики является проблема бесконечности. Математические понятия бесконечности, непрерывности служили предметом философского анализа с момента их появления (идеи атомистов, апории Зенона Элейского, инфинитезимальные методы в античности, исчисление бесконечно малых в Новое время и пр.). Наибольшие споры вызывало применение различных видов бесконечности (потенциальной, актуальной) как математических объектов и их интерпретация. Все эти проблемы, на наш взгляд, были порождены более глубокой проблемой - о роли субъекта в научном познании. Дело в том, что состояние кризиса в математике порождено эпистемологической неопределенностью соизмерения мира объекта (бесконечности) и мира субъекта. Математик как субъект имеет возможность выбора средств познания - или потенциальной, или актуальной бесконечности. Применение потенциальной бесконечности как становящейся, дает ему возможность осуществлять, конструировать бесконечное множество построений, которые можно надстраивать над конечными, не имея конечного шага, не завершая построение, оно только возможно. Применение актуальной бесконечности дает ему возможность работать с бесконечностью как с уже осуществимой, завершенной в своем построении, как актуально данной одновременно.

На этапе полуинтуиционизма проблема бесконечности еще не была самостоятельной, а была вплетена в проблему построения математических объектов и способов его обоснования. Полуинтуиционизм А. Пуанкаре и представителей парижской школы теории функций Бэра, Лебега и Бореля был направлен против принятия аксиомы свободного выбора, с помощью которой доказывается теорема Цермело, утверждавшая, что всякое множество можно сделать вполне упорядоченным, но без указания теоретического способа определения элементов любого подмножества искомого множества. Нет способа построения математического объекта, нет и самого математического объекта. Математики считали, что наличие или отсутствие теоретического способа построения последовательности объектов исследования может служить основой обоснования или опровержения этой аксиомы. В российском варианте полуинтуиционистская концепция в философских основаниях математики получила развитие в таком направлении, как эффективизм, развиваемый Н.Н. Лузиным. Эффективизм представляет собой оппозицию к основным абстракциям учения множества Кантора о бесконечном - актуальности, выбора, трансфинитной индукции и др.

Для эффективизма гносеологически более ценными абстракциями является абстракция потенциальной осуществимости, чем абстракция актуальной бесконечности. Благодаря этому становится возможным введение понятия о трансфинитных ординалах (бесконечных порядковых числах) на основе эффективного понятия о росте функций. Гносеологическая установка эффективизма для отображения непрерывного (континуума) опиралась на дискретные средства (арифметики) и созданную Н.Н.Лузиным дескриптивную теорию множеств (функций). Интуиционизм голландца Л. Э. Я. Брауэра, Г. Вейля, А. Гейтинга в качестве традиционного объекта исследования видит свободно становящиеся последовательности различных видов. На этом этапе, решая собственно математические проблемы, в том числе о перестройке всей математики на новой основе, интуиционисты подняли философский вопрос о роли математика как познающего субъекта. Каково его положение, где он более свободен и активен в выборе средств познания? Интуиционисты первыми (и на этапе полуинтуиционизма) стали критиковать концепцию актуальной бесконечности, канторовскую теорию множеств, усмотрев в ней ущемление возможностей субъекта влиять на процесс научного поиска решения конструктивной задачи. В случае использования потенциальной бесконечности субъект себя не обманывает, так как для него идея потенциальной бесконечности интуитивно значительно яснее, чем идея актуальной бесконечности. Для интуициониста объект считается существующим, если он дан непосредственно математику или известен метод его построения, конструирования. Субъект в любом случае может приступить к процессу достраивания ряда элементов своего множества. Непостроенный объект для интуиционистов не существует. В то же время субъект, работающий с актуальной бесконечностью, будет лишен этой возможности и будет чувствовать двойную уязвимость принятой позиции:

1) никогда нельзя осуществить это бесконечное построение;
2) он принимает решение оперировать с актуальной бесконечностью как с конечным объектом и в этом случае теряет свою специфику понятия бесконечности. Интуиционизм сознательно ограничивает возможности математика тем, что тот может осуществлять построение математических объектов исключительно посредством таких средств, которые хотя и получаемы с помощью абстрактных понятий, но эффективны, убедительны, доказуемы, функционально конструктивны именно практически и сами интуитивно ясны как конструкции, построения, надежность которых на практике не вызывает никаких сомнений. Интуиционизм, опираясь на понятие потенциальной бесконечности и конструктивные методы исследования, имеет дело с математикой становления, теория множеств относится к математике бытия.

Для интуициониста Брауэра как представителя математического эмпиризма логика вторична, он критикует ее и закон исключённого третьего.

В своих отчасти мистических работах он не отрицает наличие бесконечности, однако не допускает её актуализации, лишь потенциализацию. Главное для него - интерпретация и обоснование практически используемых логических средств и математических рассуждений. Принятое интуиционистами ограничение преодолевает неопределенность использования понятия бесконечности в математике и выражает стремление преодолеть кризис в основании математики.

Ультраинтуиционизм (А.Н. Колмогоров, А.А.Марков и др.) - последняя стадия развития интуиционизма, на которой модернизируются, существенно дополняются и преобразуются основные его идеи, не изменяя его сущности, но преодолевая недостатки и усиливая позитивные стороны, руководствуясь критериями математической строгости. Слабостью подхода интуиционистов было узкое понимание роли интуиции как единственного источника обоснования правильности и эффективности математических методов. Принимая «интуитивную ясность» в качестве критерия истинности в математике, интуиционисты методологически обедняли возможности математика как субъекта познания, сводили его деятельность лишь к мыслительным операциям на основе интуиции и не включали практику в процесс математического познания. Ультраинтуиционистская программа обоснования математики является российским приоритетом. Поэтому отечественные математики, преодолевая ограниченность интуиционизма, принимали действенной методологию материалистической диалектики, признающей человеческую практику источником формирования как математических понятий, так и математических методов (умозаключений, построений). Проблему существования математических объектов ультраинтуиционисты решали, опираясь уже не на неопределяемое субъективное понятие интуиции, а на математическую практику и конкретный механизм построения математического объекта - алгоритм, выражаемый вычислимой, рекурсивной функцией.

Ультраинтуиционизм усиливает достоинства интуиционизма, заключающиеся в возможности упорядочивания и обобщения приемов решения конструктивных проблем, употребляемых математиками любого направления. Поэтому интуиционизм последней стадии (ультраинтуиционизм) близок конструктивизму в математике. В гносеологическом аспекте основные идеи и принципы ультраинтуиционизма таковы: критика классической аксиоматики логики; использование и значительное усиление (по явному указанию А.А. Маркова) роли абстракции отождествления (мысленного отвлечения от несходных свойств предметов и одновременного вычленения общих свойств предметов) как способа построения и конструктивного понимания абстрактных понятий, математических суждений; доказательство непротиворечивости непротиворечивых теорий. В формальном аспекте применение абстракции отождествления оправдывается тремя ее свойствами (аксиомами) равенства - рефлексивности, транзитивности и симметрии.

Для решения основного противоречия в математике по проблеме бесконечности, породившего кризис ее оснований, на этапе ультраинтуиционизма в работах А.Н. Колмогорова были предложены пути выхода из кризиса посредством решения проблемы отношений между классической и интуиционистской логикой, классической и интуиционистской математикой. Интуиционизм Брауэра в целом отрицал логику, но так как любой математик не может обойтись без логики, в интуиционизме все-таки сохранилась практика логических рассуждений, допускались некоторые принципы классической логики, имеющей в качестве своей базы аксиоматику. С.К. Клини, Р. Весли даже отмечают, что интуиционистскую математику можно описать в виде некоторого исчисления, а исчисление является способом организации математического знания на основах логики, формализации и ее формы - алгоритмизации. Новый вариант соотношения логики и математики в рамках интуиционистских требований к интуитивной ясности суждений, особенно тех, которые включали отрицание, А.Н. Колмогоров предложил следующим образом: интуиционистскую логику, тесно связанную с интуиционистской математикой, он представил в форме аксиоматического импликативного минимального исчисления высказываний и предикатов. Тем самым ученый представил новую модель математического знания, преодолевающую ограниченность интуиционизма в признании лишь интуиции как средства познания и ограниченность логицизма, абсолютизирующего возможности логики в математике. Эта позиция позволила в математической форме продемонстрировать синтез интуитивного и логического как основы гибкой рациональности и ее конструктивной эффективности.

Выводы. Таким образом, эпистемологический аспект математического познания позволяет оценить революционные изменения на этапе кризиса оснований математики на рубеже XIX-XX вв. с новых позиций в понимании процесса познания, природы и роли субъекта в нем. Гносеологический субъект традиционной теории познания, соответствующий периоду господства теоретико-множественного подхода в математике, - это абстрактный, неполный, «частичный» субъект, представленный в субъектно-объектных отношениях, оторванный абстракциями, логикой, формализмом от действительности, рационально, теоретически познающий свой объект и понимаемый как зеркало, точно отражающее и копирующее действительность. По сути, субъект исключался из познания как реального процесса и результата взаимодействия с объектом. Выход интуиционизма на арену борьбы философских направлений в математике привел к новому пониманию математика как субъекта познания - человека познающего, философская абстракция которого должна быть выстроена как бы заново. Математик предстал как эмпирический субъект, понимаемый уже как целостный реальный человек, включающий все те свойства, от которых отвлекались в гносеологическом субъекте, - эмпирическую конкретность, изменчивость, историчность; это действующий и познающий в реальном познании, творческий, интуитивный, изобретательный субъект. Философия интуиционистской математики стала базой, фундаментом современной эпистемологической парадигмы, построенной на концепции гибкой рациональности, в которой человек - это цельный (целостный) субъект познания, обладающий новыми познавательными качествами, методами, процедурами; он синтезирует свою как абстрактно-гносеологическую и логико-методологическую природу и форму, так и одновременно получает экзистенциально-антропологическое и «историко-метафизическое» осмысление.

Важным моментом так же является интуиция в познании и, в частности, в образовании математических понятий. Опять же идёт борьба с философией, попытки исключить закон исключённого третьего, как не имеющий смысла в математике и пришедший в неё из философии. Однако же наличие излишнего акцента на интуицию и отстутствие чётких математических обоснований не позволили перевести математику на твёрдый фундамент.

Однако после появления в 1930-х годах строгого понятия алгоритма эстафету от интуиционизма принял математический конструктивизм, представители которого внесли немалый вклад в современную теорию вычислимости. Кроме того, в 1970-е и 1980-е годы обнаружились существенные связи между некоторыми идеями интуиционистов (даже теми, которые раньше казались абсурдными) и математической теорией топосов. Математика, имеющаяся в некоторых топосах, весьма напоминает ту, которую пытались создать интуиционисты.

В качестве итога можно сделать утверждение: большинство из вышеуказанных парадоксов попросту не существуют в теории множеств с самопринадлежностью . Является ли подобный подход окончательным - спорный вопрос, дальнейшие работы в этой области покажут.

Заключение

Диалектико-материалистический анализ показывает, что парадоксы являются следствием дихотомии языка и мышления, выражением глубоких диалектических (теорема Гёделя позволила проявить диалектику в процессе познания) и гносеологических трудностей, связанных с понятиями предмета и предметной области в формальной логике, множества (класса) в логике и теории множеств, с употреблением принципа абстракции, позволяющего вводить в рассмотрение новые (абстрактные) объекты (бесконечность), со способами определения абстрактных объектов в науке и т. п. Поэтому не может быть дано универсального способа устранения всех парадоксов.

Закончен ли третий кризис математики (потому как он находился в причинно-следственной связи с парадоксами; теперь же парадоксы - неотъемлемая часть) - тут мнения расходятся, хотя формально известные парадоксы к 1907-му году были устранены. Впрочем, сейчас в математике имеются и другие обстоятельства, которые можно считать либо кризисными, либо предвещающими кризис (например), отсутствие строгого обснования у континуального интеграла).

Что же касается парадоксов, то весьма важную роль в математике сыграл известный парадокс лжеца, а так же целая серия парадоксов в так называемой наивной (предшествовавшей аксиоматической) теории множеств, вызвавших кризис оснований (один из таких парадоксов сыграл роковую роль в жизни Г. Фреге). Но, возможно, одним из самых недооценённых явлений в современной математике, которое вполне можно назвать и парадоксальным, и кризисным, является решение Полом Коэном в 1963 году первой проблемы Гильберта. Точнее, не сам факт решения, а характер этого решения .

Литература

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481--512, 1895.
2. И.Н. Бурова. Парадоксы теории множеств и диалектика. Наука, 1976.
3. M.D. Potter. Set theory and its philosophy: a critical introduction. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Жуков Н.И. Философские основания математики. Мн.: Университетское, 1990.
5. Фейнман Р.Ф., С. Ильин. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!: похождения удивительного человека, поведанные им Р. Лейтону. КоЛибри, 2008.
6. О. М. Мижевич. Два способа преодоления парадоксов в теории множеств Г. Кантора. Логико-философские штудии, (3):279--299, 2005.
7. С. И. Масалова. ФИЛОСОФИЯ ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ МАТЕМАТИКИ. Вестник ДГТУ, (4), 2006.
8. Чечулин В.Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения). Перм. гос. ун-т. – Пермь, 2012.
9. С. Н. Тронин. Краткий конспект лекций по дисциплине ""Философия математики"". Казань, 2012.
10. Гришин В.Н., Бочвар Д.А. Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. Наука, 1976.
11. Хофштадтер Д. Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. Бахрах-М, 2001.
12. Кабаков Ф.А., Мендельсон Э. Введение в математическую логику. Издательство «Наука», 1976.
13. Д.А. Бочвар. К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств. Математический сборник, 57(3):369--384, 1944.

Вместо аннотации:

« … диагональное доказательство Кантора представляет собой занятие для идиотов, которое не имеет никакого отношения к тому, что в классической логике принято называть дедукцией».

Л.Витгенштейн

«… канторовская теория представляет собой патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения просто придут в ужас»

К.Бауэр, основатель топологии

1. Кризис современного математического знания.

Ведущую роль в процессе трансформации античной и средневековой нуки в новоевропейскую принадлежит математике, поскольку теоретическое естествознание невозможно без математики. В новоевропейском естествознании математику не случайно называют «царицей наук». Если в эпоху античности она была отделена от наук о природе и её предметом выступала сфера идеальных математических сущностей, то в Новое время ситуация резко меняется. Математика сближается с науками о природе и начинает им диктовать свои собственные правила сосуществования. В этой связи, современное концептуальное естествознание получает определение математического. Своему успеху современные науки о природе во многом обязаны новоевропейской математике. Тем не менее, последний, третий кризис, продолжающийся уже более ста лет, свидетельствует о существовании серьезных проблем в её основаниях.

Существует традиционная точка зрения, что на рубеже XIX- XX вв. имел место 3-й кризис оснований математики, причины которого связывают со сближением математики с логикой, а также c необходимостью уточнения таких математических понятий как число, множество, предел, функции и т.д.

Истоки этого кризиса уходят в XVII-XVIII века, когда математика разрабатывала методы решения задач в естествознании. Математики этого времени не особенно заботились о логическом обосновании собственных методов [Л.С. Фройнман. Творцы высшей математики. М., 1968. С. 83-84]

В XIX в. наблюдается ревизия фундаментальных понятий и становления теоретической математики. Это приводит к формированию теории множеств и арифметизации математики.

Крупнейшие математики XIX столетия стремятся свести все факты математики к числу и усиленно разрабатывают, начиная с «Арифметических исследований» Гаусса (1801), теорию числа [Ф.А.Медведев. Развитие теории множеств в XIX веке. М., 1965. С. 35-36.]. Прежде всего, это относилось к математическому анализу. Наиболее проблематичным были логические его основания. В связи с этим, в XIX в. начинается разработка оснований математики и более строгих методов ее определений и доказательств.

В процессе перестройки математического анализа, возникает убеждение, что теоремы алгебры и математического анализа могут быть сформулированы как теорема о натуральных числах [Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они служат. Казань: Изд. Императорского университета, 1905. С. 5].

Результатом этого процесса было осознание числа как фундаментального понятия всей математики и построение теории действительных чисел такими математиками как Больцано, Вейерштрасом, Дедекиндом и Кантором.

Во второй половине XIX века возникает проблема уже обоснования математики. Выдающуюся роль в ее решении сыграло построение теории множеств Г. Кантором. В итоге, понятия анализа и теории функций формулируются в категориях теории множеств. Фундаментальным понятием для последней выступило понятие актуально бесконечного множества.

Разработка теории множеств за счет включения понятия актуальной бесконечности означало, по сути, революцию в истории математики, сравнимую с переворотом Коперника, теорией относительности и квантовой механикой. Теория множеств дала универсальный метод, который стал основой дальнейшего развития математики.

Следующий этап в развитии математики был связан со сближением алгебры, логики и теории множеств. Математика приобретает невиданный доселе абстрактный вид. Это означало переход к логическому основанию математики. Выдающийся вклад в основания математики внес Г.Фреге («Основания арифметики» и «Основные законы арифметики, полученные при помощи исчисления понятий»). Он осуществляет аксиоматическое дедуктивное построение математической логики (исчисление высказываний, исчисление предикатов). Решается задача логического обоснования числа, независимости, непротиворечивости и полноты систем аксиом. Возникает «логистика», как изложение математики на языке логики. Идет процесс развития мощного логического анализа и формализации логики.

Получает распространение идея выводимости математики из логики. Фреге, определив понятия «числа» и «количества» в логических терминах «класса» и «отношения», удается формализировать теорию множеств, и представить математику как продолжение логики.

Завершается этот процесс созданием фундаментального трехтомного труда Principia Mathematica (1910-1913) Рассела и Уайтхеда.

В конце XIX века в математике сложилась ситуация очень похожая с таковой в физике к началу 90-х годов, когда утвердилось представление о завершенности классической физики. А затем последовали драматические события, на которых мы останавливались ранее.

На рубеже XIX-XX вв. математика вступает в период острого кризиса, вызванного возникновением серии неразрешимых математических, логических и семантических парадоксов, поставивших под сомнение теорию множеств Кантора и оснований классической математики. Это повергло в отчаяние даже таких крупных математиков как Кантор, Фреге и др. Г. Вейль, даже спустя много лет, писал об этом периоде истории математического знания следующие строки: «Сейчас мы менее чем когда-либо, уверены в первичных основаниях математики и логики. Мы переживаем свой «кризис» подобно тому, как переживают его все и вся в современном мире. Кризис этот продолжается вот уже пятьдесят лет (эти строки написаны в 1946 г.). На первый взгляд кажется, будто нашей повседневной работе он особенно не мешает. Тем не менее, я должен сразу же признаться, что на мою математическую работу этот кризис оказал заметное практическое влияние: он направил мои интересы в области, которые я считал относительно «безопасными», и постоянно подтачивал энтузиазм и решимость, с которой я занимался своими исследованиями. Мой опыт, вероятно, разделили и другие математики, небезразличные к тому, какое место их собственная научная деятельность занимает в этом мире в общем контексте бытия человека, интересующего, страдающего и созидающего » [М. Клайн. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. С. 387]. «…Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, - пишет Д.Гильберт, - на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике - этом образце достоверности и истинности - образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?» [Д.Гильберт. Основания геометрии. М.-Л., 1948. С.349].

Безуспешные попытки разрешения парадоксов привели математиков к убеждению, что причины кризиса лежат в области фундаментальных понятий и способах рассуждений. Назрела необходимость переосмысления принципов математики и отказа от некоторых старых концепций. И это, в первую очередь, касалось перестройки теории множеств и уточнения самого понятия множества на совершенно новой основе [С. Клини. Введение в метаматематику. М., 1957. С. 42.]. Разрушался сам идеал логики как критерий строгости математического доказательства. Поэтому перед математикой встала задача восстановления былой надежности и достоверности математического знания. Интуитивный характер логических рассуждений и соответствующего языка уже не устраивали ученых [Х. Карри. Основания математической логики. М., 1969. С.26.]. Возникают три исследовательских программы: логицизм, формализм и интуитивизм.

Краткий экскурс в историю современной математики показывает, что в её основании, а, следовательно, и всего математического естествознания лежит фундаментальная теория множеств Кантора с базисным научным понятием актуальной бесконечности. А сама математика, настолько тесно связана с понятием бесконечности, что нередко ее определяют как науку о бесконечном.

Математика, как и другие науки (и философия), довольно глубоко детерминирована фундаментальными духовно-историческими парадигмами. Это убеждение подтверждают работы П.П.Гайденко, посвященные эволюции понятия науки в контексте истории философии [П.П.Гайденко. Эволюция понятия науки (становление и развитие первых научных программ научных). М. «Наука»,1980. – (без сносок) – [Электронный ресурс]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/pgaid_physics.html ]. И хотя в своих исследованиях автор делает акцент на взаимодействие научного и философского знания, тем не менее, воздействие религиозного контекста на научные программы прослеживается в них не менее однозначно. Влияние религиозных, теологических предпосылок на содержание современной математики убедительно представлены также в работах В.Н. Катасонова [ В.Н. Катасонов. Научно-философские концепции бесконечности и христианство. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.bestreferat.ru/referat-73817.html ] и А.А.Зенкина [А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ] и др.

Таким образом, представление о том, что математика является свободной (независимой) и универсальной наукой, которая развивается по собственным законам, сильно преувеличено.

2. Краткое содержание теории множеств Г.Кантора.

В основу теории множеств Г.Кантор полагает пифагорейско-платоновскую научную программу, критика которой дана Аристотелем, но которая вновь возрождается в философии Возрождения. Для её обоснования используются теологические аргументы католического учения. Философско-математическая мысль, начиная с XV века, постепенно подготавливала создание этой теории.

Георг Кантор - создатель теории множеств и теории трансфинитных чисел. Основная идея его теории бесконечных множеств состояла в решительном отказе от тезиса Аристотеля об актуально бесконечных множествах. В основу исследования бесконечных множеств Кантор положил идею взаимно однозначного соответствия элементов сравниваемых множеств. Если между элементами двух множеств можно установить такое соответствие, то говорят, что множества имеют одну и ту же мощность, то есть они являются равномощными или эквивалентными. «В случае конечных множеств, - писал Кантор, - мощность совпадает с количеством элементов». Вот почему мощность называют также кардинальным (количественным) числом данного множества [П. Стахов. Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца.Глава 5. Алгоритмическая теория измерения. 5.5. Проблема бесконечности в математике. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

В 1874 г. он установил существование неэквивалентных, то есть имеющих разные мощности бесконечных множеств, в 1878 г. ввел общее понятие мощности множеств (в предложенном им и принятом в математике обозначении мощностей множеств буквами еврейского алфавита, возможно, сказалось его еврейское - по отцу - происхождение). В главном труде «О бесконечных линейных точечных образованиях» (1879–84) Кантор систематически изложил учение о множествах и завершил его построением примера совершенного множества (так называемое множество Кантора) [Кантор Г. О бесконечных линейных точечных образованиях. // Новые идеи в математике, 1994, №6, С.-Пб.].

Кантор придал математическое содержание идее актуальной бесконечности. Кантор мыслил свою теорию как совершенно новое исчисление бесконечного, «трансфинитную» (то есть «сверхконечную») математику. Актуальная бесконечность представляет собой как бы «вместилище», в котором разворачивается ряд потенциальной бесконечности и это вместилище должно быть уже актуально данным.

По его идее, создание такого исчисления должно было произвести переворот не только в математике, но и в метафизике и теологии, которые интересовали Кантора едва ли не больше, чем собственно научные исследования. Он был единственным математиком и философом, который считал, что актуальная бесконечность не только существует, но и в полном смысле постижима человеком, и постижение это будет поднимать математиков, а вслед за ними и теологов, все выше - и ближе к Богу . Этой задаче он посвятил жизнь. Ученый твердо верил, что он избран Богом, чтобы совершить великий переворот в науке, и эта его вера поддерживалась мистическими видениями.

Указанный подход привел Кантора ко многим парадоксальным открытиям, резко противоречащим нашей интуиции. Так, в отличие от конечных множеств, на которые распространяется евклидова аксиома «Целое больше части», бесконечные множества этой аксиоме не подчиняются. Легко, например, установить равномощность множества натуральных чисел и его части – множества четных чисел путем установления следующего взаимно однозначного соответствия: [П. Стахов. Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца.Глава 5. Алгоритмическая теория измерения. 5.5. Проблема бесконечности в математике. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

Множество, согласно Кантору, называется бесконечным, если оно равномощно с одним из своих подмножеств. Конечным же называется множество, не эквивалентное ни одному из своих подмножеств. Счётным называется множество эквивалентное множеству натуральных чисел, так как его элементы можно занумеровать [Там же].

Кантор полагал, что множества натуральных, рациональных и алгебраических чисел – имеют одну и ту же мощность, т.е. являются счётными [Там же].

Кантор также пытался доказать что множество N натуральных чисел можно отобразить на часть множества R действительных чисел, тогда как мощность действительных чисел больше мощности множества натуральных чисел [Там же].

В 1886 Кантор стремился доказать, что в единичном квадрате не больше точек, чем в единичном отрезке. Следовательно, мощность двумерного континуума равна мощности континуума одного измерения [Там же].

Идеи Кантора оказались столь неожиданными и противоречащими интуиции, что знаменитый французский математик Анри Пуанкаре назвал теорию трансфинитных чисел «болезнью», от которой математика должна когда-нибудь излечиться. Леопольд Кронекер - учитель Кантора и один из самых авторитетных математиков Германии - даже нападал на Кантора лично, называя его «шарлатаном», «ренегатом» и «растлителем молодежи» [В мире науки. Scientific American · Издание на русском языке № 8 · Август 1983 · С. 76–86/ Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств].

Теория множеств открыла новую страницу также в исследованиях оснований математики - работы Кантора позволили впервые отчетливо сформулировать современные общие представления о предмете математики, строении математических теорий, роли аксиоматики и понятии изоморфизма систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями. Его теория множеств - один из краеугольных камней математики.

В философии математики Кантор анализировал проблему бесконечности. Различая два вида математического бесконечного - несобственное (потенциальное) и собственное (актуальное, понимаемое как завершенное целое), - Кантор, в отличие от предшественников, настаивал на законности оперирования в математике понятием актуально бесконечного. Сторонник платонизма, Кантор в математическом актуально-бесконечном видел одну из форм актуально бесконечного вообще, обретающего высочайшую завершенность в абсолютном Божественном бытии.

3. Великое противостояние канторианцев и анти-канторинцев.

Критика А.А.Зенкиным абстрактной теории множеств

Г.Кантора и « Учения о Трасфинитном».

Среди многочисленной критической литературы, посвященной теории множеств Г.Кантора, особенного внимания заслуживают исследования русского математика А.А.Зенкина. По словам известного математика А.П.Стахова, возможно, именно он (Зенкин) поставит последнюю точку в споре с Кантором и в разрешении математического кризиса в современной математике [ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

В оригинальной статье «Трасфинитный рай Георга Кантора. Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса» русский ученый А.А.Зенкин анализирует эпистемологические дефекты логики канторовского доказательства несчетности континуума, основанной на концепции актуальной бесконечности [А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ].

На протяжении тысячелетий, - отмечает А.А.Зенкин, - отрицательное отношение к понятию АБ поддерживали и разделяли такие выдающиеся ученые и философы как Аристотель, Евклид, Лейбниц, Беркли, Локк, Декарт, Кант, Спиноза, Лагранж, Гаусс, Кронекер, Лобачевский, Коши, Ф.Клейн, Эрмит, Пуанкаре, Бэр, Борель, Брауэр, Куайн, Виттгенштейн, Вейль, Лузин, и уже в наши дни - Эррет Бишоп, Соломон Феферман, Ярослав Перегрин, Владимир Турчин, Петр Вопенка и многие другие.

Начиная с 70-х годов XIX века возникает резко негативное отношение к теории множеств Георга Кантора, основанной на понятии АБ. А.А.Зенкин приводит примеры наиболее категорических высказываний в её адрес. Так, Анри Пуанкаре пришёл к выводу, что «нет актуальной бесконечности; канторианцы забыли об этом и впали в противоречия. Следующие поколения будут рассматривать канторовскую теорию множеств как болезнь, от которой наконец-то удалось избавиться» [А.Пуанкаре, О науке. – М.: Наука, 1983]. Основатель современной топологии, Л.Брауэр, не менее радикален в своих высказываниях: «канторовская теория в целом представляет собой патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения просто придут в ужас» [А.А.Френкель, И.Бар-Хиллел. Основания теории множеств. - М.:"Мир"].

«Тем не менее и сегодня, - пишет русский математик, - как и в начале ХХ века, имеет место быть «великое противостояние» между мета-математической логикой канторианцев, признающих легитимность канторовского «Учения о Трансфинитном» в форме «ненаивной» (см. ниже) версии этого «Учения», т.е. в форме современной аксиоматической теории множеств (далее - АТМ), основанной на (молчаливом – см. далее) использовании концепции АБ, и математической интуицией анти–канторианцев, отвергающих концепцию АБ и на этой концепции основанное «Учение о Трансфинитном» Г.Кантора» [А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ].

Использование концепции АБ ведёт к парадоксам логики и математики, механизмы порождения которых остаются нераскрытыми до сих пор. В этой связи, раскрытие логической природы парадоксов и правомерность использования концепции АБ в математике являются актуальными и сегодня. Френкель и Бар – Хиллел отмечают, что в традиционной трактовке логики и математики нет решительно ничего, что могло бы служить в качестве основы для устранения антиномии Рассела <АЗ: а также парадокса «Лжец»>. Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных … способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшиеся, заведомо недостаточны для этой цели. Некоторый отход от привычных способов мышления явно необходим, хотя место этого отхода заранее не ясно» [А.А.Френкель, И.Бар-Хиллел. Основания теории множеств. - М.:"Мир"].

Абстрактная теория множеств и её утверждение в современной науке, является, согласно А.А.Зенкину, ярким образцом лже-науки, беспрецедентным случаем создания ложного мифа в науке посредством применения РR – технологий.

Более того, А.А.Зенкин невольно раскрывает подлинную нелицеприятную сущность современной науки как социального института: «АТМ-инициатива породила такое масштабное негативное явление как бурбакизм, т.е. излишнюю, ненужную, бессмысленную, оглупляющую, отупляющую и зомбирующую формализацию математики и математического образования . Характеризуя негативные последствия подобной бурбакизации, выдающийся российский математик и педагог, академик В.И.Арнольд пишет: «В середине ХХ столетия обладавшая большим влиянием мафия «левополушарных математиков» сумела исключить геометрию из математического образования …, заменив всю содержательную сторону этой дисциплины тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями. Подобное абстрактное описание математики непригодно ни для обучения, ни для каких-либо практических приложений. Современное формализованное (бурбакизированное) образование в математике - полная противоположность обучению умению думать и основам науки. Оно опасно для всего человечества. Будущее математики, инфицированной этой болезнью, выглядит довольно мрачным» [А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ].

Русский математик формулирует четыре примера «лжи во спасение АТМ Г.Кантора»:

Ложь первая. «Математика – королева всех наук, а АТМ – королева математики»! По этому поводу, А.А.Зенкин пишет, что современная АТМ морочит голову профессиональному математическому сообществу и зомбирует молодое поколение математиков. Канторианцы утверждают, что если в начале XX века немало выдающихся математиков категорически отвергало АТМ как лже-науку, то сегодня, « современные математики, наконец-то, прозрели по тому поводу , что все бесконечности – актуальны , одумались на тот предмет, что теория конечных натуральных чисел «выводима» из теории трансфинитных чисел, что понятие пустого множества дедуцируется из понятия актуально-бесконечного множества, что вся современная математика может быть выведена из АТМ и официально признали, что «Математика – Королева всех наук, и АТМ – Королева Математики»! Все вчерашние противники АТМ сегодня согласны с тем, что АТМ является выдающимся достижением современной математики, достижением, которое изменило лицо всей математики ХХ века» [Там же].

«Это есть эмпирический факт, - уже в наши дни дружно зомбируют научное сообщество Мартин Дэвис и Ройбен Херш, - что около 90% работающих математиков приняли канторовскую теорию множеств, как в теории, так и практически, до некоторой степени » [Там же].

Тогда, как на самом деле, отмечает А.А.Зенкин, канторианцы намеренно лукавят и не проводят существенного различия между языком абстрактной теории множеств и учением Кантора о трансфинитных ординалах и кардиналах. Действительно, язык теории множеств стал универсальным математическим языком. В то время, как учение об трансфинитных ординалах и кардиналах, по причине их абсолютной бесполезности, 90% реально работающих математиков нигде не применяют. Из оставшихся - 9% математиков категорически не приемлют это учение, и только 1% составляют АТМ-адепты или бурбакисты.

Вторая ложь. В основу современной АТМ положен вопиющий лже-научный, полу-криминальный «метод решения» фундаментального научного вопроса о логической природе математической бесконечности . Его сущность состоит в том, что канторовская теория множеств, основанная на концепции АБ, была объявлена «наивной», а сам термин АБ был выведен за рамки респектабельной мета-математической науки. Это была одной из самых эффективных PR-акций, когда-либо реализованных в истории науки.

Тем не менее, современная теория АТМ позаимствовала из «наивной» теории теорему о несчетности континуума, доказательство которой основано на использовании очевидно противоречивого понятия АБ. В этой связи, А.А.Зенкин канторовскую теорию множеств рассматривает как один из основных источников Третьего Великого Кризиса оснований математики, который продолжается до сих пор.

Третья ложь. Условия доказательства АТМ не формулируются явно, а подразумеваются на уровне философских положений. С точки зрения классической логики и математики, «допущение АБ» представляет собой необходимое условие дедукции большинства теорем АТМ.

Четвертая ложь. Теория множеств не смогла, в конечном итоге, устранить потенциальность с помощью научной методологии, т.е. доказать противоречивость концепции ПБ. АТМ пошла по другому пути. Она объявила проблему легитимности применения АБ - философской. А.А.Зенкин усматривает в этом инстинкт самосохранения сторонников АТМ, поскольку попытка дать строгое определение понятию АБ приведёт к очевидному пониманию его противоречивости. А это поставит под угрозу неплохо «фондируемое» и ставшее привычным благополучие АТМ-завсегдатаев канторовского «трансфинитного рая». Таким полукриминальным и лженаучным способом АТМ – «клан», расправился со своими оппонентами.

И, наконец, пятая ложь. Навязывание математическому сообществу «ужастика», что доказательство Теоремы о несчетности континуума является столь сложным, что доступно только избранным профессионалам. Многие математики поверили в этот миф и признали свою некомпетентность при обсуждении фундаментальной теоремы Кантора о несчетности континуума. В качестве доказательства вопиющей ложности этого мифа А.А.Зенкин предлагает сравнить методологию доказательства теоремы Кантора и всем известной теоремы Пифагора.

В теореме Пифагора, отмечает А.А.Зенкин, в доказательстве используются три (!) элементарных понятия математики (понятие прямоугольного треугольника, понятие подобия треугольников, понятие пропорции) и выполняются три (!) математические операции: два умножения и одно сложение алгебраических выражений. Само доказательство (без рисунка) занимает 5 (пять!) строчек. В доказательстве Кантора используются три (!) элементарных понятия математики (понятие натурального числа, понятие действительного числа и понятие бесконечной последовательности занумерованных действительных чисел) и не выполняется ни одной (!) математической операции. Само доказательство занимает 5 (пять!) строчек, написанных на языке элементарной логики второй половины XIX века [Там же].

Корректность этого доказательства встречает серьезные возражения со стороны выдающихся математиков, логиков и философов. «По своим парадигмальным последствиям для философии, логики, математики и психологии познания теорема Кантора не имеет себе равных. Столь различная эпистемологическая «судьба» столь похожих по формальным критериям (и по «кричащей» тривиальности доказательств) указанных теорем объясняется тем, что доказательство теоремы Кантора использует (неявно) противоречивое понятие актуальной бесконечности » [Там же].

На этом аргументе А.А.Зенкин не останавливается и переходит непосредственно к анализу диагонального метода (ДМ) как доказательства теоремы Кантора о несчетности континуума.

Рассматривая каноническую форму ДМ, русский ученый приходит к выводу, что «его (Кантора) диагональное доказательство количественной несоизмеримости двух бесконечных множеств X и N основано на том факте, что бесконечное множество X всегда содержит один лишний элемент (канторовское новое АД-д.ч. х*), для нумерации которого, «как всегда», не хватает одного элемента из бесконечного множества N, или, формально, из того факта, что бесконечное множество X имеет на один элемент больше, чем бесконечное множество N. Я думаю, это - именно то место канторовского доказательства, которое всегда вызывало категорическое отторжение (неприятие) со стороны научной интуиции выдающихся математических профессионалов (см. Список-1)» [Там же]. А.А.Зенкин приводит оценку подобного доказательства Витгенштейном: « Человек день за днем трудится в поте лица своего – составляет список всех действительных чисел, и вот, когда список, наконец-то, закончен, появляется фокусник, берет диагональ этого списка и на глазах изумленной публики с помощью таки-довольно «эзотерического» алгоритма превращает ее в … анти-диагональ, т.е. в новое АД-действительных чисел, которое не содержится в исходном списке. Такого рода диагональное доказательство Кантора представляет собой занятие для идиотов, которое не имеет никакого отношения к тому, что в классической логике принято называть дедукцией» .

Более того, русский математик впервые обнаруживает уникальный факт в канторовском доказательстве. Ключевым моментом канторовского доказательства является явное использование метода контр-примера. А « сам контр-пример не отыскивается в множестве всех возможных реализаций данного общего утверждения, а алгоритмически дедуцируется из того общего утверждения, которое этот контр-пример и призван опровергнуть (в форме дедуктивного вывода , здесь B= «список (1) содержит все д.ч. из Х»)» [А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ].

В результате знакомства АТМ-профессионалов с открытием А.А.Зенкина возникла острая полемика, в которой « проявился весь липовый профессионализм ряда признанных АТМ-авторитетов именно в области элементарной логики» [Там же].

Резюмируя итоги полемики, А.А.Зенкин приходит к следующему неожиданному выводу: « Возникает скандальная ситуация! – Более ста лет выдающиеся (и не очень) профессионалы в области мета-математики, математической логики, аксиоматической теории множеств и прочие бурбакисты каждый год учат (правильнее сказать зомбируют) новые поколения студентов, «как правильно доказывать» несчетность континуума с помощью знаменитого диагонального метода Кантора, абсолютно не понимая логической природы этого метода!

Воистину, «патологический казус, от которого, - согласно Брауэру, - грядущие поколения придут в ужас»! – Или, скорее, будут смеяться «от глубины души», но … «до полного упаду». – Над кем? – Я думаю, что над теми 90% «работающих» математиков, которые на целое столетие «совершенно бескорыстно» уступили свою «королеву всех наук» для явно «нецелевого использования» «левополушарными больными». Ибо смеяться над больными, даже левополушарными – грешно и бессмысленно» [Там же].

Завершает критический анализ ДМК–доказательства русский математик историей драматического парадокса Давида Гильберта, предложенного около 80 лет назад. В 20-х годах прошлого века Д.Гильберт, для демонстрации фундаментальных различий между конечными и бесконечными множествами в канторовской теории множеств, предложил популярный парадокс под именем «Гранд Отель». Изложение самого парадокса довольно громоздко, поэтому сформулируем его сущность. Парадокс «Гранд Отель» демонстрирует фундаментальное свойство бесконечных множеств: «… если к бесконечному множеству прибавить конечное или счетно-бесконечное множество, то мощность первого множества не изменится» [Там же].

Сравнивая ДМК-доказательство с парадоксом Д.Гильберта, А.А.Зенкин приходит к замечательному выводу: ДМК-доказательство несчетности континуума является дедуктивной моделью (в смысле Тарского) парадокса «Гранд Отель» Д.Гильберта.

В парадоксе Д.Гильберта мы имеем дело потенциально-бесконечным процессом, который имеет следующее фундаментальное свойство: пока этот процесс не закончится, « нет никаких (логических и математических) оснований утверждать, что допущение «Х - счетно» является ложным. Следовательно, в том случае, если множество Y 1 является счетно-бесконечным, утверждение Теоремы Кантора «Х - несчетно» - недоказуемо» [Там же].

Приведенные аргументы, делает вывод А.А.Зенкин, свидетельствуют что «теорема Кантора о несчетности континуума – недоказуема. Это значит, что различение бесконечностей по количеству элементов является мифотворчеством. Но если несчетность континуума недоказуема, то теория трансфинитных множеств Г.Кантора является не просто «наивной», а откровенной лже-наукой, и потому трансфинитный «рай» Г.Кантора может быть закрыт без всякого ущерба для реально «работающей» математики» [Там же].

Завершая изложение критических исследований А.А.Зенкина, посвященных теории бесконечных множеств Георга Кантора, хотелось бы подчеркнуть важность его следующего вывода. Теорема Кантора является неверной с точки зрения классической логики Аристотеля.

4. Критика аксиоматического подхода А.А.Зенкина

Аксиоматический подход, предложенный А.Зенкиным для понятия АБ и ПБ является, с нашей точки зрения, методологически не корректным.

Аксиома Аристотеля и аксиома Кантора сформулированы через понятие бесконечности, которое строго и формально не определено. Исходя из формулировки аксиом следует, что ПБ и АБ являются видами бесконечного как такого, т.е. рода.

Второй момент. Понятие ПБ и АБ Аристотель рассматривал исходя из собственного учения о бытии и сущности основанной на законах классической логики (традиционной). В то время как Кантор, в своей теории множеств исходил из пифагорейско-платоновской исследовательской программы. Учение о бытии и сущности у Платона альтернативное перипатетической философии и согласуется с диалектической логикой и принципом совпадения противоположностей.

Аристотель не рассматривал понятия АБ и ПБ как контрадикторные, прежде всего потому, что понятие бесконечности является очень специфическим и к нему неприложимы принципы и законы традиционной логики. Аристотель называл его незаконнорожденным понятием, которое вообще не дано ни нашему чувству, ни мышлению. Бесконечное существует только в возможности, а не в действительности. Ибо если бы оно существовало в действительности, то было бы неким (определенным) количеством, или конечной величиной. Следовательно, бесконечное существует как свойство.

Бесконечность, согласно Аристотелю, есть там, где беря некоторое количество, всегда можно взять что-нибудь за ним. А там где вне ничего нет – это целое. Бесконечное это то что отсутствует у нечто, будучи вне его. «Целым и ограниченным (бесконечное] оказывается не само по себе, а по отношению к другому; и поскольку оно бесконечно, оно не охватывает, а охватывается. Поэтому оно и не познаваемо, как бесконечное, ибо материя [как таковая] не имеет формы. Таким образом, ясно, что бесконечное скорее подходит под определение части, чем целого, так как материя есть часть целого, как медь для медной статуи. Если же оно охватывает чувственно воспринимаемые предметы, то и в области умопостигаемого «большое» и «малое» должны охватывать умопостигаемые [идеи], но нелепо и невозможно, чтобы непознаваемое и неопределенное охватывало и определяло» [Аристотель. Собр. соч. в 4-х томах. Т.3, Москва, «Мысль», 1981, C.120].

Следовательно, у Аристотеля концепция бесконечности рассматривается в тесной связи с ключевыми категориями его философии: формы - материи, возможности - действительности, части – целого. В этом контексте понятие АБ не контрадикторное ПБ, а совершенно немыслимое с точки зрения логики Аристотеля. Контрадикторное ПБ является скорее понятие конечного, как отношение неопределенного и определенного. Если же ПБ рассматривать в контексте часть – целое, то ему больше подходит определение части. Тогда по отношению к нему, актуально бесконечному более соответствует понятие целого. В этом случае ПБ является понятием соподчиненным понятию АБ. Именно так и трактовал его сам Г.Кантор.

Таким образом, для Аристотеля можно говорить только о бесконечности в единственном смысле как ПБ. Не может к нему находиться в отношении понятие, которое не признаётся как понятие, т.е. АБ. Да и само понятие ПБ является неопределенным, непознаваемым и не имеющим действительности.

Вот этот особенный статус понятия бесконечности, о котором говорит Аристотель, и не позволяет к нему применить традиционные операции формальной логики. Понятие ПБ не является математическим объектом в строгом смысле слова.

То, что понятие бесконечности не принадлежит, в строгом смысле, к математике, следует из определений числа и величины. Приводим, ещё раз, определение Аристотеля. “Количеством называется то, что делимо на составные части, каждая из которых, будет ли их две или больше, есть по природе что-то одно и определенное нечто. Всякое количество есть множество, если оно счислимо, и величина - если измеримо. Множеством же называется то, что в возможности делимо на части не непрерывные, величиной - на части непрерывные… Из всех этих количеств ограниченное множество есть число, ограниченная длина линия, ограниченная ширина - плоскость, ограниченная глубина - тело» [Аристотель. Соч. в 4-х томах. Том 1. М.: Мысль, 1976, С.164]. Из приведенного отрывка Аристотеля следует, что основным предметом математики выступает понятие величины и числа. Число это ограниченное множество, величина это - ограниченное геометрическое пространство (линия, плоскость, тело). Неограниченное множество и неограниченное пространство и есть бесконечность, как две формы количества, не имеющие границ, конца или предела. Поэтому они являются неопределенными, а, следовательно, и непознаваемыми.

Более того, бесконечность для Аристотеля это свойство мышления, прежде всего, а не предмета физики или математики. « Доверять же мышлению в вопросе о бесконечном нелепо, так как избыток и недостаток (в данном случае) имеются не в предмете, а в мышлении. Ведь каждого из насможно мысленно представить во много раз больше, чем он есть, увеличивая егодо бесконечности, однако не потому находится кто-то за городом или имеет какую-то величину, что так мыслит кто-то, а потому, что так есть [на самом деле]; а то, [что кто-то так мыслит], будет [для него] случайным обстоятельством» [Там же]. Если бесконечное не существует в предмете, то, что мы тогда аксиоматизируем – деятельность мышления? А какое отношение к этому имеет математика? Ведь её предметом является чистое количество: число и величина?

Понятие актуальной бесконечности Кантор конструирует, следуя традиции пифагорейцев, которые, как свидетельствует Аристотель, «составляли величины из чисел». Кантор полагает, что непрерывную величину можно измерить числом как истинным множеством неделимых единиц. Понятно, что такой подход совершенно неприемлем для Аристотеля. Для него величина делится только на делимые части. Следовательно, величина не может быть составлена из неделимых. В противном случае, не получат разрешения апории Зенона о противоречии движения, а также невозможно будет объяснить возможность движения, непрерывность времени и пространства.

Согласно аксиоме Кантора, по Зенкину, следует, что он отрицает потенциальную бесконечность. Кантор не только не отрицал ПБ, но вообще не рассматривал её как собственно бесконечное. Для него ПБ - это переменная конечная величина. Более того, он полагал, что если принимать ПБ, то тем более следует принимать АБ.

Вывод следующий. В аксиомах Аристотеля и Кантора, сформулированных Зенкиным, не отражается действительное отношение к понятию ПБ и АБ Аристотеля и Кантора. В обоих аксиомах, в аксиоме Аристотеля (IV век до н.э.): «Все бесконечные множества являются множествами потенциально-бесконечными», и в более ста лет де-факто существующей и контрадикторной ей аксиоме Кантора (XIX век н.э.): «Все бесконечные множества являются множествами актуально-бесконечными» [ см. А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ], родовое понятие «бесконечное множество» - определяется через свой вид. В аксиоме Аристотеля – через потенциально-бесконечные множества, в аксиоме Кантора – через актуально- бесконечные множества. Ни понятие ПБ, ни АБ, не являются математическими объектами в строгом смысле слова, поскольку они существуют только в возможности, непознаваемы и неопределены. Понятие АБ и ПБ не являются ни числом, ни величиной, а есть свойство нашего абстрактного рассудочного мышления.

Все сказанное не имеет отношение к той части работы Зенкина, в которой он на основе классической логики доказывает, что теорема Кантора о несчетности континуума недоказуема. Зенкин показал, что диагональный метод Кантора (ДМК), положенный в основу доказательства теоремы является специфической версией контр-примера, хорошо известному ещё Пифагору и Евклиду. А знаменитый парадокс «Гранд Отель» Д.Гильберта является дедуктивной моделью (в смысле А.Тарского) ДМК-доказательства несчетности континуума Г.Кантора. На основании этой модели, Зенкин делает вывод, что ДМК-доказательство является некорректным с точки зрения классической логики. Следовательно, несчетных множеств не существует, и все бесконечные множества имеют одинаковую мощность. Таким образом, все грандиозное «Учение о трансфинитном» Г.Кантора терпит крах.

Таким образом, главный вывод, который напрашивается при внимательном изучении теоремы о несчетности континуума и основанная на ней теории трансфинитных чисел Кантора, состоит в том, что её ложность довольно легко (как показал А.А.Зенкин) опровергается на основе классической логики Аристотеля.

И не менее важный, последний вывод. Теория Кантора не случайное явление в европейской математике, а закономерный результат отождествления понятий числа и величины, приведший к постепенной арифметизации математики, её спекулятивности и неумеренной абстрактности.

5. Тайна потенциальной бесконечности

Не менее важный вопрос, который невольно затронул Зенкин, доказывая противоречивость теоремы Кантора о несчетности континуума, имеет непосредственное отношение к сущности признанной в математике потенциальной бесконечности.

В 20-х годах прошлого века Давид Гильберт предложил популярный парадокс под именем «Гранд Отель» (далее, для краткости, - ГО), который иллюстрирует фундаментальное различие между конечными и бесконечными множествами в канторовской (равно как и в современной аксиоматической) теории множеств. Изложение самого парадокса мы не будем делать, поскольку он довольно громоздкий. Его содержание состоит в том, что он очень наглядно демонстрирует основное свойство бесконечных множеств: если к бесконечному множеству прибавить конечное или счетно-бесконечное множество, то мощность первого множества не изменится.

Зенкин показывает, что ДМК-доказательство несчетности континуума является дедуктивной моделью (в смысле Тарского) парадокса ГО Д.Гильберта [А.А.Зенкин. Трансфинитный рай Георга Кантора: Библейские сюжеты на пороге Апокалипсиса. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ].

Установив, что в методе ДНК Кантор использует не АБ, а ПБ процесс, Зенкин отмечает, что никто не узнает истинность утверждения этой теоремы, поскольку бесконечный процесс не имеет последнего элемента.

Зенкин показал, актуальная бесконечность Кантора, являясь необходимым условием ДМК-доказательства несчетности континуума, в действительности, представляет собой потенциально -бесконечное «рассуждение». «Это доказывает, что «актуальное » и «бесконечное» в рамках канторовского доказательства Теоремы о несчетности континуума являются (логически и алгоритмически) контрадикторными понятиями, и, следовательно, понятия «актуальное » и «конечное » являются алгоритмически тождественными » [Там же]. А если это потенциально бесконечное утверждение, то его истинность установить невозможно, поскольку бесконечный процесс не имеет последнего элемента. Этот вывод Зенкина подтверждает наше предположение, что понятию ПБ контрадикторно понятие конечного, а не АБ.

«Таким образом, - пишет Зенкин, - впервые доказано великое интуитивное провидение (и предостережение!) Аристотеля, Евклида, Лейбница, и многих других (см. Список-1) выдающихся логиков, математиков и философов о том, что «актуальная бесконечность » является внутренне противоречивым понятием (нечто вроде «оконеченной (Кантором) бесконечности ») и потому его использование в математике – недопустимо» [Там же].

К сожалению, доказывать внутреннюю противоречивость понятия актуальной (завершенной, т.е. законченной, оконеченной) бесконечности, является, в известной мере, напрасный труд, ввиду его очевидной непосредственной противоречивости. В рамках классической аристотелевской логики это просто невозможно. В контексте спекулятивной (диалектической) логики, которая отрицает закон противоречия, это вполне допустимо.

Зенкин также обнаруживает, что каноническая форма канторовского диагонального» доказательства теоремы о несчетности континуума, тождественна канонической бесконечной форме (П2) парадокса «Лжеца»:

«Некто утверждает «Я - лжец». - Лжец ли он? Если он лжец, то он лжет, утверждая, что он лжец; следовательно, он не лжец. Но если он не лжец, то он говорит правду, утверждая, что он лжец; следовательно, он лжец, или, короче (здесь А =»Я - лжец»): и [ØA ® A] (П1)» [Там же]

Зенкин также отмечает, « Что моделирование парадокса лжеца не аналоговой вычислительной машине, доказывает. Что этот парадокс имеет не не конечную форму а следующую бесконечную A ® ØA ® A ® ØA ® A® ØA ® A ® … (П2) и не существует логических и математических причин, поводов или оснований для завершения этого потенциально -бесконечного процесса» [Там же].

В итоге, русский математик делает любопытный вывод. « Следует подчеркнуть, что именно бесконечная форма (П2) реализует необходимые и достаточные условия (в строгом логическом и математическом смысле) самого феномена парадоксальности. В таком случае истинная «семантика» этого парадокса состоит вовсе не в том, что высказывание «Я - лжец» «не может быть ни истинным, ни ложным», а в том, что это высказывание, напротив, является одновременно и истинным, и ложным «в одно и то же время, в одном и том же месте и в одном и том же отношении». Другими словами, в парадоксе «Лжец» в форме (П2) смешаны-перемешаны истина и ложь, а это значит, что истина и ложь становятся неразличимыми »[Там же].

С этим трудно не согласиться. Согласно Платону, беспредельное есть то, что имеет неопределенно-количественную характеристику и не допускает строгого определения. Беспредельное он называет «неопределенной двоицей», оно всегда имеет два значения и не может принять одного значения, не может определиться «… бесконечное может существовать так, как существует день или как состязание - в том смысле, что оно становится всегда иным и иным » [П.П.Гайденко. История греческой философии в её связи с наукой. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/0.html].

Возникает вопрос, каков логический смысл платоновского понятия бесконечного как процесса «становления всегда иным и иным»? На наш взгляд, в самом понятии потенциальной бесконечности неявно заложен принцип, отрицающий закон противоречия. Это «иное и иное», вместо «нечто либо иное», есть принцип неопределенности. Если закон противоречия в интерпретации Аристотеля формулируется следующим образом: «Невозможно, чтобы одно и то же вместе было и не было присуще одному и тому же и в одном и том же смысле», то, в нашем случае с определением ПБ, «одно и то же» тождественно по смыслу понятию «иного» у Платона. Следовательно, в определении Платона, мы имеем дело с утверждением, отрицающим закон противоречия. Например, рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5… как пример потенциальной бесконечности. Если мы возьмем любую пару соседних чисел, то невозможно, чтобы истинными были все три типа их отношений по величине: 3 >4, 4 >3, или 3 =4. Если мы возьмём конечное число 4, то, например, в отношении его величины, оно не может быть больше самого себя. Тогда как, в бесконечном числовом ряде, значение числа всегда меняется, и мы не можем применить закон противоречия как закон определенности к нему. Поэтому, потенциальной бесконечности, в равной степени, присущи все числа натурального ряда: и 1, и иное(2), и иное (3), и иное (4). Поэтому знак дизъюнкции надо заменить на конъюкции. А введение закона coincidentia oppositorum вместо закона противоречия, приводит к парадоксам. А что такое парадокс? Это противоречивое суждение.

И наконец, пример парадокса Лжеца. Некто говорит: «Я лгу». Если он при этом лжет , то сказанное им есть ложь, и, следовательно, он не лжет. Если же он при этом не лжет, то сказанное им есть истина, и, следовательно, он лжет. В любом случае оказывается, что он лжет и не лжет одновременно [Логический словарь-справочник. Н.И. Кондаков. Наука. М.,1976. С.433]. В этом парадоксе мы имеем дело с сознательным нарушением закона противоречия. Невозможно, чтобы некто в одном и том же отношении лгал и не лгал. А это нарушение заложено в структуре парадокса.

Таким образом, как показывает Зенкин, и это следует из анализа этого парадокса на основе классической логики, нарушение закона противоречия неявно заложено в содержании понятия потенциальной бесконечности, которая и приводит к феномену парадоксальности . Если мы говорим о ряде натуральных чисел, то каждое из натуральных чисел составляющих ряд, и входит и не входит в бесконечный ряд натуральных чисел. Сначала число, например 5, входит, когда мы при исчислении дошли до него, а затем, его меняет число 6 и так далее. Определенность постоянно меняется, а, следовательно, возможно невозможное, появления парадоксов.

Если в понятии АБ противоречивость и парадоксальность этого понятия очевидна, то в понятии ПБ она скрыта.

Постигая природу ПБ, нельзя обойти вниманием понятия арифметической и геометрической бесконечности. Рассмотрим эти понятия подробнее.

Последовательность натурального ряда чисел 1, 2, 3, …, (1)

представляет собой первый и самый важный пример бесконечного множества. Уже со времен Гегеля арифметическую бесконечность натурального ряда 1+1+1+ … в силу ее бесперспективности именуют «плохой» или «дурной» бесконечностью.

Геометрическая бесконечность состоит в неограниченном делении отрезка пополам. Паскаль писал по поводу геометрической бесконечности следующее: «Нет геометра, который бы не полагал, что пространство делимо до бесконечности. Без этого нельзя ему обойтись, как человеку нельзя быть без души. И тем не менее нет человека, который понимал бы бесконечную делимость …» [ А.П. Стахов Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца. Глава 5. Алгоритмическая теория измерения. 5.5. Проблема бесконечности в математике. Потенциальная и актуальная бесконечности. – [Электронный ресурс]. URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

Действительно, это предельно важнейший вопрос, который неразрешим в рамках господствующей сейчас антропоцентрической парадигмы.

«Первым наивным впечатлением, производимым явлениями природы и материей, - пишет Д.Гильберт, - является впечатление чего-то непрерывного, континуального. Если мы имеем перед собою кусок металла или некоторый объём жидкости, то нам навязывается представление о том, что они неограниченно делимы, что сколь угодно малый кусок их опять-таки обладает теми же свойствами. Но повсюду, где методы исследования в физике материи достаточно усовершенствованы, мы наталкиваемся на границы этой делимости, которые лежат не в несовершенстве нашего опыта, а в природе самой вещи, так что можно было бы прямо-таки воспринимать тенденцию современной науки, как освобождение от бесконечно малого; теперь можно было бы старому тезису «natura non facit saltus» (природа не делает скачков) противопоставить антитезу: «природа делает скачки» [Гильберт Д. О бесконечном. Источник сканирования: Гильберт Д. О бесконечном //Его же. Основания геометрии. - М.-Л., 1948. 491 c. (сокращённая статья из Mathematischen Annalen, т. 95.) – [Электронный ресурс]. URL: http://www.fidel-kastro.ru/matematika/gilbert/hilbert2.htm ].

«Бесконечная делимость существует только в математике. В природе, опытами физики и химии нигде не встречается – следовательно, это только математическая идея – продукт математического мышления! Идея бесконечной вселенной господствовала долгое время до Канта и после. Но это представление является оборотной стороной ограниченности нашего опыта и процесса познания» [Там же].

Свойство геометрической бесконечности как неограниченной делимости отрезка пополам неразрешимо в рамках геометрии, а требует привлечения философии и теологии.

Во-первых, процесс деления отрезка выражает фундаментальное свойство рассудочного мышления - разрушение (деление) исследуемого предмета. Рассудок по отношению к своим предметам действует разделяющим образом, благодаря этому достигается определенность.

Во-вторых. Бесконечная делимость отрезка связана с тем, что геометрический отрезок есть форма непрерывного количества. А само количество есть абстракция чувственных вещей безразличная к качеству.

В предметном вещном мире чистого количества нет, все вещи имеют меру и благодаря ей тождественны себе и отличаются от других. Мера же есть непосредственное единство качества и количества. В геометрическом отрезке мы имеем дело с безмерностью, т.е. выхождением меры за пределы своей качественной определенности. Любая предметная вещь имеет границы своего качественного бытия. Если они разрушаются, то и разрушается сама вещь. Поэтому чувственную (конечную) вещь нельзя делить до состояния потенциальной (дурной) бесконечности. Качественная определенность вещи противостоит этому процессу деления. Например, кусок дерева можно делить до тех пор, пока куски от деления сохраняют свойства этого дерева, т.е. до молекулярной границы молекулы целлюлозы. Дальнейшее деление молекулы целлюлозы это процесс деления уже другой вещи, следовательно, процесс деления древесины имеет нижнюю границу - молекулы целлюлозы. Молекулярное деление нижнюю границу будет иметь на атомном уровне. Деление конкретных атомов элементов приведет к делению до уровня субатомных частей и т.д. Следовательно, любое деление предметных вещей конечно. Если же мы рассматриваем процесс деления без учёта качества и меры, то процесс деления действительно становится бесконечным. Но, что мы тогда мерим? Абстракцию конечных вещей – материю. Материи как предметной чувственной вещи (в естественной, нативной, неизмененной реальности) не существует, это такой же продукт отвлеченной мысли, как и сам геометрический отрезок.

Таким образом, и геометрический отрезок и материя делимы до дурной (потенциальной) бесконечности. Но здесь мы имеем дело не с реальными чувственными вещами, а с чистым количеством, которое не имеет меры в самом себе, поэтому постоянно выходит за свои пределы. Не случайно, Гегель в «Науке логики» писал, что понятие количества содержит в себе необходимость выхождения за свои границы.

Возвращаясь к определению Аристотеля: «Количеством называется то, что делимо на составные части, каждая из которых, будет ли их две или больше, есть по природе что-то одно и определенное нечто…» [Аристотель. Соч. в 4-х томах. Том 1. М.: Мысль, 1976, С.164], очевидно, что математика имеет дело с чистым количеством, т.е. не с чувственным количеством конечных вещей, которые изучает физика, а с абстрактным чистым безмерным количеством – числом и величиной. Поэтому в чувственной природе как предмете физики нет не только актуальной, ни потенциальной бесконечности. Мир конечен как в экстенсивном, так и в интенсивном смысле. Не случайно, Аристотель отмечал, что бесконечное не дано ни чувству, ни уму, и называл его незаконным понятием . Бог расположил всё в тварном мире согласно мере, числу и величине (Священное Писание).

В своей иерархии форм познания, Аристотель после метафизики (под которой он в строгом смысле понимал теологию как науку о вечном) как первой философии, ставил физику, а уже затем математику. И это совершенно справедливо, поскольку предмет математики – чистое количество, имеет свои корни в чувственной вещественной природе. Её предметом выступают число и величина как формы абстрактного количества. Историческое развитие абстрактной формы в математике привело к тому, что основным предметом её изучения стала сфера идеальных математических объектов: число, величина, точка, прямая, множество и т.д., во многом не совпадающая с миром реальных физических объектов. Понятие потенциальной бесконечности – одно из них. Следовательно, вывод, который здесь напрашивается, состоит в том, во-первых, что необходимо чётко осознавать особенности и границы математики и естественных наук. И, во-вторых, в исследовании природы (физике, биологии и т.д.) необходимо опираться и исходить из содержания непосредственного предмета, а не из априорных математических моделей. И хотя история математики имеет много примеров обратного взаимодействия, тем не менее, эта практика имеет много принципиальных исключений.

6. Теория чисел и теория множеств Г.Кантора

«Предмет теории чисел совпадает с

предметом (изучения) всей математики».

А.М.Виноградов

Исторически, формирование понятия числа происходило на основе формальной операции обобщения (расширения) объема за счёт включения в состав его новых видов чисел (множеств).

Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа: 1, 2, 3, 4, …

При счете отдельных предметов единица есть наименьшее число, и делить ее на доли не нужно, а иногда и нельзя, однако уже при грубых измерениях величин приходится делить 1 на доли. Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел. Введение в употребление дробных чисел связано с потребностью производить измерения. Измерение какой-либо величины заключается в сравнении её с другой, качественно однородной с ней и принятой за единицу измерения. Это сравнение осуществляется посредством специфической для способа измерения операции «откладывания» единицы измерения на измеряемой величине и счёта числа таких откладываний. Так измеряется длина посредством откладывания отрезка, принятого за единицу измерения, количество жидкости - при помощи мерного сосуда и т.д.

Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей.

Обозначаются: где m и n - целые числа; - сокращение дроби; - расширение. Дроби со знаменателем 10 n , где n - целое число, называются десятичными.

Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби: - чистая периодическая дробь, - смешанная периодическая дробь

Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики (алгебры). Декарт в XVII в. вводит понятие отрицательного числа, давшего его геометрическое истолкование как направленности отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование, оказалось, по существу одинаковым.

Числа целые (положительные и отрицательные), дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили название рациональных чисел. Всякое рациональное число может быть записано в виде дроби конечной и периодической.

Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел. Введение действительных чисел происходило путём присоединения к рациональным числам иррациональных: иррациональные числа - это бесконечные десятичные непериодические дроби.

Иррациональные числа появились при измерении несоизмеримых отрезков (сторона и диагональ квадрата), в алгебре - при извлечении корней, примером трансцендентного, иррационального числа являются π, e .

Отчётливое определение понятия действительного числа даётся одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка даёт единое определение действительного числа, рационального или иррационального. В дальнейшем, в 70-х гг. 19 в., понятие действительного числа было уточнено на основе глубокого анализа понятия непрерывности в работах Р. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса.

По Дедекинду, свойство непрерывности прямой линии заключается в том, что если все точки, составляющие прямую, разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса («разорвать» прямую на две части), то либо в первом классе найдётся самая правая точка, либо во втором - самая левая точка, т. е. точка, в которой произошёл «разрыв» прямой.

Совокупность всех рациональных чисел свойством непрерывности не обладает. Если совокупность всех рациональных чисел разбить на два класса так, что каждое число первого класса будет меньше каждого число второго класса, то при таком разбиении («сечении» Дедекинда) может оказаться, что в первом классе не будет существовать наибольшего числа, а во втором - наименьшего. Так будет, например, если к первому классу отнести все отрицательные рациональные числа, нуль и все положительные числа, квадрат которых меньше двух, а ко второму - все положительные числа., квадрат которых больше двух. Такое сечение называется иррациональным. Затем даётся следующее определение иррационального числа.: каждому иррациональному сечению в совокупности рациональных чисел сопоставляется иррациональное число, которое считается большим, чем любое число первого класса, и меньшим, чем любое число верхнего класса. Совокупность всех действительных чисел, рациональных и иррациональных, уже обладает свойством непрерывности.

Обоснование Кантора понятия действительного числа отличается от обоснования Дедекинда, но также основывается на анализе понятия непрерывности. Как в определении Дедекинда, так и в определении Кантора используется абстракция актуальной бесконечности. Так, в теории Дедекинда иррациональное число определяется посредством сечения в совокупности всех рациональных чисел, которая мыслится как данная вся целиком.

Все действительные числа можно изобразить на числовой оси. Числовая ось (числовая прямая):

а) горизонтальная прямая с выбранным на ней направлением;

б) начало отсчета - точка 0;

в) единица масштаба

[Большая советская энциклопедия. – [Электронный ресурс]. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150404/Число ].

К настоящему времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней

[Анищенко Евгений Александрович. «Число как основное понятие математики». – [Электронный ресурс]. URL: http://www.referat.ru/referats/view/7401 ].

Русский ученый Озолин Э.Э. высказал важную мысль, которая очень точно передаёт современную интеллектуальную атмосферу в математическом сообществе. Все знают, что теория чисел является самым сложным и важным разделом математики. Тем не менее, теорию чисел как бы не замечают. Тогда как самые незначительные изменения в этой теории, способны вызвать «шторм» во всех разделах математики [Озолин Э.Э. (Ozes) Октябрь 2004 года. Понятие числа. – [Электронный ресурс]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm ].

Более того, - с удивлением пишет Э.Э.Озолин, - несмотря на то, что древние греки знали о числах далеко не всё, более печальным является то обстоятельство, что «у современных математиков (не говоря уж обо всех остальных) понятия и знания о числе порой уступают древнегреческим.

Это, согласитесь, уже нонсенс » [Там же].

В качестве подтверждения этого соображения, Э.Э.Озолин проводит исторический анализ принципов построения понятия числа и приходит к следующему выводу. Европейская математика, особенно с XIII века, понятие числа строит по принципу вложенности сфер Фалеса, «то есть, множество натуральных чисел вкладывают в множество целых чисел, множество целых чисел вкладывают в множество рациональных чисел, множество рациональных чисел вкладывают в множество действительных чисел, множество действительных чисел вкладывают в множество комплексных чисел и т.д.)» [Там же]. « И, несмотря на то, что и Курт Гёдель с позиций формальной логики (еще в 1931 году), и я с позиций метаматематики, уже давно доказали и передоказали, что пятислойная структура вложенных сфер не может быть полной и логически верной, мы вновь и вновь сталкиваемся с ошибочными «школьными догмами» в виде якобы справедливых утверждений о том, например, что натуральные числа являются подмножеством рациональных чисел.

Поэтому я еще раз хочу обратить Ваше внимание на то, что такого не может быть. Например, в рамках математики мы можем говорить лишь о формальном равенстве натурального числа 1 (единица) рациональному числу 1.00(0) единице. При этом логический, математический (и физический!) смысл этих чисел совершенно разный. Например, натуральная единица есть число, которое при сложении с имеющимся дает следующее число, рациональная единица - число, при умножении на которое данное число не меняет смысл!!! Как единица может изменить смысл» [Там же] ???

«Более того, - продолжает Э.Э.Озолин, - натуральные и рациональные числа принадлежат совершенно разным металогическим структурам. Поэтому мы не можем говорить даже о формальном математическом родстве этих чисел.

На первый взгляд может показаться, что обозначенная мной проблема логического различия натуральных и рациональных чисел «яйца выеденного не стоит». А большинство математиков, если и согласятся со мной, но наверняка скажут, что «единицы - они и в Африке единицы, и какая разница какой математический и логический смысл в них вкладывать, одинаковый или разный» [Там же].

Но такой взгляд большое заблуждение - “вредный миф школьного образования», который не имеет под собой никакой математической и логической базы. «И при более внимательном и подробном рассмотрении оказывается, что различие в логическом смысле натуральных и рациональных чисел влечет за собой достаточно серьезные последствия практического применения математики» [Там же].

И в заключение, Э.Э.Озолин делает следующий откровенный вывод: «… математика - очень вольная наука, и строгость математики лишь кажущаяся. В математике можно строить любые, самые невероятные аксиоматические структуры, и исследовать их, какими бы бессмысленными и отвлеченными от реальной действительности они не были. Другими словами, выдумывай и пробуй сколько душе угодно. В метаматематике это сделать практически невозможно, и все структуры метаматематики, так или иначе, связаны с реальной действительностью. Как это ни парадоксально, но реальная действительность оказывается гораздо богаче «нашего воображения «[Там же].

Возвращаясь к непосредственной теме нашего исследования, можно сделать следующий вывод. Все виды чисел (числовых множеств) имеют различную логическую природу и математические свойства. Поэтому методологически неверно строить теорию чисел путём непосредственного обобщения. Первостепенное отношение этот вывод касается натуральных и действительных чисел. Единица натуральных чисел и единица действительных чисел имеют совершенно различное происхождения и различные математические свойства. Нельзя линейкой измерить количество яблок; в равной мере, невозможно, только умея считать и не имея под рукой линейки, - измерить длину стола. Невозможно одно свести к другому. Единица первых неделима, тогда как вторых обязательно делима. Натуральные целые числа и есть собственно числа в строгом смысле, тогда как действительные числа принадлежат к такой форме количества как величина. Смешение формы числа и величины, идущее ещё от пифагорейцев, является главным источником современного кризиса в математике и важнейшей предпосылкой арифметизации геометрии и теории множеств Г.Кантора, поскольку идея построения делимых математических объектов из неделимых лежит в основе конструирования понятия актуальной бесконечности Г.Кантора.

Ещё одно замечание. Современные математики не только не понимают природу числа, как правильно подметил Э.Озолин, но и не понимают логической и математической природы величины и других фундаментальных понятий математики (например, множества).

Вот, например, что пишут известные математики о величине:

«Величина - одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений», - пишет А.Н. Колмогоров [ Колмогоров А.Н. Величина. - БСЭ. - Т. 7. - М., 1951. C. 340]. «Эта … теория - учение о величине - играет вряд ли не важнейшую роль в деле обоснования всей математики», - писал крупный советский математик В.Ф. Каган [ Каган В.Ф. Очерки по геометрии. - М.: Московский университет, 1963. С. 109].

Остановимся на последнем, у которого смысл понятия величины наиболее последователен и ясен. «…для математика, - писал В.Ф.Каган, - величина вполне определена, когда указаны множество элементов и критерии сравнения» [Там же, С. 107]. Другими словами, величина– это множество однородных предметов, сопоставление элементов которых позволяет применить термины «равно», «больше», «меньше». Возникает встречный вопрос, если мы сопоставим определенное множество натуральных чисел с другим определенным множеством тех же натуральных чисел, например числа 5 и числа 7, то мы можем применить к ним вышеупомянутые термины? Вопрос риторический. Предложенное определение понятия величины, на самом деле, свидетельствует о том, что его автор совершенно не различает эти два фундаментальные понятия (числа и величины). Сторонники теории множеств и сам Кантор также сетовали, что основное понятие этой теории также трудно поддаётся определению. Э.Озолин в своей статье отмечает, что очень трудно дать определения математики как предмету [Озолин Э.Э. (Ozes) Октябрь 2004 года. Понятие числа. – [Электронный ресурс]. URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm ].

Чтобы убедиться, что все эти сомнения не имеют под собой оснований, необходимо снова вернутся к Аристотелю, который в нескольких определениях даёт исчерпывающие ответы на наши вопросы.

“Количеством называется то, что делимо на составные части, каждая из которых, будет ли их две или больше, есть по природе что-то одно и определенное нечто. Всякое количество есть множество, если оно счислимо, а величина - если измеримо. Множеством же называется то, что в возможности делимо на части не непрерывные, величиной - на части непрерывные…Из всех этих количеств ограниченное множество есть число, ограниченная длина линия, ограниченная ширина - плоскость, ограниченная глубина - тело» [Аристотель. Соч. в четырех томах. Т.1. Метафизика. С.164].

Из этого фрагмента Аристотеля. Мы получаем следующие строгие определения.

Математика – это наука, предметом которой является чистое количество.

Количество - это то, что делимо на составные части, каждая из которых будет ли их две или больше, есть по природе что-то одно и определенное нечто.

Множество – это количество, которое счислимо, т.е. делимо на части не непрерывные.

Величина – это количество, которое измеримо, т.е. делимо на части непрерывные

Число – это ограниченное множество.

Линия – ограниченная длина.

Плоскость – ограниченная ширина.

Тело – ограниченная глубина.

Из этих положений следует:

Единица числа не имеет размерности, является единицей счёта, т.е. неделима, поскольку мы считаем только целыми числами.

Единица величины всегда делима.

Единица числа – это самая чистая форма абстрактного количества, т.е. это форма безразличная к геометрическому пространству.

Единица величины это чистое количество плюс геометрическое пространство.

Геометрическое пространство – это абстракция физической реальности. Физическая реальность имеет качественную определенность и протяженность. Если абстрагироваться от качественной определенности физической реальности мы получим геометрическое пространство.

Формально и единица числа и единица величины – есть число, но сущность и математические свойства этих чисел различны. Из единицы числа невозможно получить единицу величины. Тогда как из величины можно получить чистое число. Для этого необходимо абстрагироваться от геометрического пространства – размерности. Эти моменты хорошо разобраны в «Физике» Аристотеля.

Следовательно, из числа (в строгом смысле) нельзя получить величину. А поскольку предметом арифметики выступает понятие числа, а предметом геометрии величина, то геометрию невозможно свести к арифметике. Это разные способы существования количественной определенности материального мира.

Таким образом, в основе современной математики лежит глубокое заблуждение – незаконное отождествление числа и величины, арифметики и геометрии. Понятие величины более фундаментально, поскольку из него мы можем получить понятие числа. Кроме того, это понятие «связывает» математику с физикой, создаёт препятствия для неоправданной формализации и спекулятивных построений. Поэтому арифметизация геометрии привела к вырождению предмета математики, её формализации (бурбакизации) и теории трасфинитных чисел. Арифметизация математики это, по сути, процесс редукции предмета математики к числу.