Zdroj práce: Riešenie 4954. Jednotná štátna skúška 2016 Matematika, I.V. Jaščenko. 36 možností. Odpoveď.

Úloha 19. Prirodzené číslo nazvime palindróm, ak sú v jeho desiatkovom zápise všetky číslice usporiadané symetricky (prvá a posledná číslica je rovnaká, druhá a predposledná atď.). Napríklad čísla 121 a 953359 sú palindrómy, ale čísla 10 a 953953 nie sú palindrómy.

a) Uveďte príklad palindromického čísla, ktoré je deliteľné 45.

b) Koľko je päťciferných palindromických čísel, ktoré sú deliteľné 45?

c) Nájdite desiate najväčšie číslo palindrómu, ktoré je deliteľné 45.

Riešenie.

a) Najjednoduchšou možnosťou by bolo palindromické číslo 5445, ktoré je deliteľné 45.

odpoveď: 5445.

b) Rozložme číslo 45 na prvočísla, dostaneme

to znamená, že číslo musí byť deliteľné 5 aj 9. Znakom, že číslo je deliteľné 5, je prítomnosť čísla 5 na konci čísla (číslo 0 neberieme do úvahy, pretože nesedí). Dostaneme palindromické číslo v tvare 5aba5, kde a, b sú číslice čísla. Znakom, že číslo je deliteľné 9, je súčet číslic

musí byť deliteľné 9. Z tejto podmienky máme:

Pre b=0: ;

Pre b=1: ;

Pre b=2: ;

Pre b=3: ;

Pre b=5: ;

Pre b=6: ;

Pre b=7: ;

Popis prezentácie po jednotlivých snímkach:

1 snímka

Popis snímky:

Čo je to palindróm? Prácu vykonala učiteľka matematiky Galina Vladimirovna Prikhodko

2 snímka

Popis snímky:

Problém Motorista sa pozrel na meter svojho auta a uvidel symetrické číslo (palindróm) 15951 km (rovnako čítajte zľava doprava alebo naopak). Myslel si, že ďalšie symetrické číslo sa s najväčšou pravdepodobnosťou tak skoro neobjaví. Po 2 hodinách však objavil nové symetrické číslo. Akou konštantnou rýchlosťou cestoval motorista počas týchto dvoch hodín? Riešenie: Ďalšie symetrické číslo je 16061. Rozdiel je 16061 - 15951 = 110 km. Ak vydelíte 110 km 2 hodinami, dostanete rýchlosť 55 km/h. Odpoveď: 55 km/h

3 snímka

Popis snímky:

Úloha jednotnej štátnej skúšky a) Uveďte príklad palindrómového čísla, ktoré je deliteľné 15. b) Koľko je päťciferných palindrómových čísel deliteľných 15? c) Nájdite 37. najväčšie palindromické číslo, ktoré je deliteľné 15. Odpovede: a) 5115; b) 33; c) 59295

4 snímka

Popis snímky:

Čo znamená palindróm? Slovo palindróm pochádza z gréckeho slova palindromos, čo znamená „znova beží späť“. Palindrómy môžu byť nielen čísla, ale aj slová, vety a dokonca aj texty.

5 snímka

Popis snímky:

V matematike sa čísla - palindrómy čítajú rovnako zľava doprava aj sprava doľava. Príkladom sú všetky jednociferné čísla, dvojciferné čísla v tvare αα, napríklad 11 a 99, trojciferné čísla v tvare αβα, napríklad 535 atď. Okrem toho všetky dvojciferné čísla dávajú palindrómy (najväčší počet krokov - 24 - vyžaduje čísla 89 a 98.) Ale či číslo 196 dáva palindróm, je stále neznáme. Číselné palindrómy 676 (najmenšie číslo palindrómu, ktoré je druhou mocninou nepalindrómu, je 26). 121 (najmenšie číslo palindrómu, ktoré je druhou mocninou palindrómu, je 11).

6 snímka

Popis snímky:

Superpalindróm Niektoré palindromické frázy a slovné spojenia sú nám známe už od staroveku. Potom sa im často pripisoval magický význam. K magickým palindrómom patria aj magické štvorce, napríklad SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (v preklade „Rozsievač Arepa len ťažko udrží kolesá“).

7 snímka

Popis snímky:

V súčasnosti je palindróm zbavený všetkých magických síl a je to jednoduchá slovná hra, ktorá vám umožní trochu použiť mozog. Väčšina palindrómov je relatívne koherentný súbor slov, ale existujú aj zaujímavé integrálne a zrozumiteľné frázy, napríklad: „Ale neviditeľný archanjel si ľahol na chrám a bol úžasný“. Ak hovoríme o palindromických slovách, za najdlhšie slovo na svete sa považuje „SAIPPUAKIVIKAUPPIAS“, čo v preklade z fínčiny znamená „predavač mydla“.

8 snímka

Popis snímky:

Úloha: zisti, ako často sa medzi prvočíslami vyskytujú symetrické čísla. Pri číslach menších ako 1000 sa to dá ľahko zistiť z tabuľky prvočísel. Medzi jednoduchými dvojcifernými číslami je len jedno symetrické číslo - 11. Potom sme našli: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929.

Snímka 9

Popis snímky:

Dôkaz Medzi štvorcifernými číslami neexistujú symetrické prvočísla. Poďme to dokázať. Štvormiestne symetrické číslo má tvar abba. Podľa kritéria deliteľnosti 11 je rozdiel medzi súčtom čísel na nepárnych miestach a súčtom čísel na nepárnych miestach: (a + b) - (b + a) = 0. To znamená, že všetky štvorciferné symetrické čísla sú deliteľné 11, teda zložené. Podobne sa dá dokázať, že medzi všetkými 2n-cifernými symetrickými číslami nebudú žiadne prvočísla.

10 snímka

Popis snímky:

Do 100 je 25 prvočísel, z ktorých jedno je symetrické, čo sú 4 %. Až 1000 prvočísel sa zmení na 168. Symetrické čísla – 16. To je približne 9,5 %. Do 10 000 sa počet symetrických čísel nemení. Až 1 000 000 - 78 498 prvočísel. Symetrických čísel je teraz 109, čo je približne 0,13 %. Je jasné, že percento symetrických čísel klesá, ale nebude vôbec nemožné povedať, že medzi veľmi veľkými číslami sú prvočísla symetrické.

11 snímka

Popis snímky:

Mám nápad.Číselné palindrómy môžu byť výsledkom operácií s inými postavami. Martin Gardner, autor knihy „Existuje nápad!“, ako pomerne známy popularizátor vedy, predkladá určitú hypotézu. Ak vezmete prirodzené číslo (akékoľvek) a pridáte k nemu jeho inverzné číslo (pozostávajúce z rovnakých čísel, ale v opačnom poradí), potom akciu zopakujte, ale s výsledným súčtom, potom v jednom z krokov získate palindróm . V niektorých prípadoch stačí vykonať sčítanie raz: 213 + 312 = 525. Zvyčajne sú však potrebné aspoň dve operácie. Ak napríklad vezmeme číslo 96, potom vykonaním postupného pridávania možno palindróm získať iba na štvrtej úrovni: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 podstatou hypotézy je, že ak vezmete akékoľvek číslo, po určitom počte akcií určite dostanete palindróm. Príklady možno nájsť nielen v sčítaní, ale aj v umocňovaní, extrakcii koreňov a iných operáciách.

12 snímka

Popis snímky:

Príklad1 Zoberme si číslo 619 Prečítajme si ho 1 krok sprava doľava 916 Sčítajme dve čísla 1535 „otočme to“ 5351 2. krok Pridajme 6886 Číslo 6886 je palindróm. Navyše bol získaný iba v 2 krokoch. Čítaním sprava doľava alebo zľava doprava dostaneme rovnaké číslo.

Snímka 13

Popis snímky:

Príklad2 Urobme číslo 95 1 krok. Krok 1 „Otočme to“ 59 Pridajte to 154 Krok 2. „Otočme to“ 451 2. krok Pridajme 605 3. krok „Otočme to“ 506 3. krok Pridajme 1111 Číslo 1111 je palindróm.

Snímka 14

Popis snímky:

Pinocchio Všetci si určite pamätáte knihu o dobrodružstvách Pinocchia. Pamätáte si, ako ho prísna Malvína naučila písať? Povedala mu, aby si zapísal nasledujúcu frázu: A RUŽA PADLA NA AZOROVU LABU - to je ďalší palindróm.

15 snímka

Popis snímky:

Palindrómy v literatúre KANC STLAČIL BALAŽÁN, TY, SASHA, SI PLNÝ, NA ČELO, BUM ARGENTÍNA SA STÁVA NEGRA, ALE SI štíhly, AKO TÓNY, ADA LOVNÍCI A HLADNI

16 snímka

Popis snímky:

Slová-palindrómy SHALASH, NAGAN, KOZÁK, KOK, STOMP, ROTOR, KABAC, PULP, DED, RADAR

Snímka 17

Popis snímky:

Palindromické frázy KOLESO SA ZASTAVILO, NIE SOM STARÝ BRAT SENYA JEDOM HADA A PES BOSA ARGENTINA ZVUKNE NEGRA, ABY HĽADALA TAXI OCEŇUJE NEGRA ARGENTÍN LYOSHA NAŠIEL NA POLICE CHROBÁKA

18 snímka

Popis snímky:

Palindrómy v cudzích jazykoch „Madam, ja som Adam“ - predstavenie muža dáme (Madam, ja som Adam). Na to môže dáma skromne odpovedať „posúvadlom“: „Eva“ (Eva). Nie sú to len vety alebo súbory písmen, ktoré sú symetrické. Race fast, safe car (Race fast, safe car) Vidíš Boha? (Vidia husi Boha?) Nikdy nepárne alebo párne (Nikdy nepárne ani párne) Neprikyvovať (Neprikyvovať) Dogma: Ja som Boh (Dogma: Ja som Boh) Madam, v Edene som Adam (Madam, v raji) Ja som Adam) Ach, Satan vidí Natašu (Ach, Satan vidí Natašu) Boh videl, že som pes (Boh videl, že som pes) Radšej Pi (preferujem π) Príliš horúco na húkanie (Príliš horúco na húkanie )

Snímka 19

Popis snímky:

Palindrómy-básne Málokedy držím rukou nedopalok cigarety... Sedím tu vážne, v tichosti zúrivo tvorím, raz sa zasmejem, budem mať šťastie, raz sa zasmejem - Áno, som rád ! Môžete si to prečítať od začiatku alebo od konca.

20 snímka

Popis snímky:

V hudbe sa palindromické skladby hrajú „ako obvykle“ podľa pravidiel. Po dokončení skladby sa noty obrátia. Potom sa skladba prehrá znova, ale melódia sa nezmení. Môže existovať ľubovoľný počet iterácií, ale nie je známe, čo je spodok a čo vrch. Tieto hudobné skladby môžu hrať dvaja ľudia, pričom súčasne čítajú noty na oboch stranách. Príklady takýchto palindromických diel zahŕňajú The Way of the World, ktorú napísal Moscheles, a Table Tune for Two, ktorú zložil Mozart.

Formulácia. Uvádza sa štvormiestne číslo. Skontrolujte, či ide o palindróm. Poznámka: Palindróm je číslo, slovo alebo text, ktorý sa číta rovnako zľava doprava a sprava doľava. Napríklad v našom prípade ide o čísla 1441, 5555, 7117 atď.

Príklady iných palindromických čísel s ľubovoľným desatinným miestom, ktoré nesúvisia s riešeným problémom: 3, 787, 11, 91519 atď.

Riešenie. Na zadanie čísla z klávesnice použijeme premennú n. Zadané číslo patrí do množiny prirodzených čísel a je štvormiestne, je teda zrejme väčšie ako 255, takže typ byte nie je vhodné, aby sme to popisovali. Potom použijeme typ slovo.

Aké vlastnosti majú palindromické čísla? Z vyššie uvedených príkladov je ľahké vidieť, že vďaka ich identickej „čitateľnosti“ na oboch stranách sú v nich prvá a posledná číslica, druhá a predposledná, atď., až do stredu rovnaké. Okrem toho, ak má číslo nepárny počet číslic, potom sa stredná číslica môže pri kontrole ignorovať, pretože keď je splnené vyššie uvedené pravidlo, číslo je palindróm bez ohľadu na jeho hodnotu.

V našom probléme je všetko ešte o niečo jednoduchšie, keďže vstupom je štvormiestne číslo. To znamená, že na vyriešenie úlohy nám stačí porovnať 1. číslicu čísla so 4. a 2. číslicu s 3.. Ak sú obe tieto rovnosti pravdivé, potom číslo je palindróm. Ostáva už len získať zodpovedajúce číslice čísla v jednotlivých premenných a následne pomocou podmieneného operátora skontrolovať splnenie oboch rovníc pomocou booleovského (logického) výrazu.

S rozhodnutím by ste sa však nemali unáhliť. Možno by sme mohli zjednodušiť výsledný obvod? Vezmime si napríklad už vyššie uvedené číslo 1441. Čo sa stane, ak ho rozdelíme na dve dvojciferné čísla, z ktorých prvé bude obsahovať tisícky a stovky pôvodného čísla a druhé bude obsahovať desiatky a jednotky originálu. Dostaneme čísla 14 a 41. Teraz, ak je druhé číslo nahradené jeho opačným zápisom (urobili sme to v úloha 5), potom dostaneme dve rovnaké čísla 14 a 14! Táto transformácia je celkom zrejmá, keďže palindróm sa číta rovnako v oboch smeroch, pozostáva z kombinácie dvakrát opakovaných čísel a jedna z kópií je jednoducho otočená dozadu.

Z toho vyplýva záver: pôvodné číslo musíte rozdeliť na dve dvojciferné, jedno z nich obrátiť a potom porovnať výsledné čísla pomocou podmieneného operátora ak. Mimochodom, aby sme získali spätný záznam druhej polovice čísla, musíme vytvoriť ďalšie dve premenné, aby sme uložili použité číslice. Označme ich ako a A b, a budú ako byte.

Teraz si popíšeme samotný algoritmus:

1) Zadajte číslo n;

2) Priraďte jednotkovú číslicu čísla n premenlivý a, potom ho zahoďte. Potom priradíme miesto desiatky n premenlivý b a tiež ho zahodiť:

3) Priraďte k premennej ačíslo predstavujúce spätný záznam uložený v premenných a A b druhá časť pôvodného čísla n podľa už známeho vzorca:

4) Teraz môžeme použiť booleovský výrazový test na rovnosť výsledných čísel n A a pomoc operátora ak a organizovať výstup odpovede pomocou vetiev:

if n = a then writeln(‚Áno‘) else writeln(‘Nie‘);

Keďže v probléme nie je výslovne uvedené, v akej forme sa má odpoveď zobraziť, považujeme za logické zobraziť ju na úrovni, ktorá je pre používateľa intuitívna a dostupná v samotnom jazyku. Pascal. Pripomeňme si to pomocou operátora písať (písaťln) môžete zobraziť výsledok výrazu typu Boolean a ak je tento výraz pravdivý, zobrazí sa slovo 'TRUE' (pravda v angličtine znamená "pravda"), ak je nepravda - slovo FALSE (v angličtine nepravda) angličtina znamená "falošné"). Potom predchádzajúca konštrukcia s ak môže byť nahradený

1. program PalindromeNum;
2. n: slovo;
3. a, b: byte;
4. začať
5. readln(n);
6. a:= n mod 10;
7. n:= n div 10;
8. b:= n mod 10;
9. n:= n div 10;
10. a:= 10* a + b;
11. writeln(n = a)

Jakovlev Danil

Takmer všetky matematické pojmy, tak či onak, sa spoliehajú na pojem čísla a konečný výsledok akejkoľvek matematickej teórie je spravidla vyjadrený v jazyku čísel. Mnohé z nich, najmä prirodzené čísla, sú podľa určitých charakteristík a vlastností zoskupené do samostatných štruktúr (zbierok) a majú svoje názvy. Účelom štúdie je teda oboznámiť sa s palindromickými číslami

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

RUSKÁ FEDERÁCIA

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

"Stredná škola č. 7"

Mesto Nižnevartovsk

Výskumná práca
na školskú vedeckú a praktickú konferenciu mladých vedeckých pracovníkov

Palindrómy v matematike

2016

ÚVOD 4

HLAVNÁ ČASŤ................................................ ...................................................... .......................5

ZÁVER 9

REFERENCIE 11

Hypotéza
Prvočísla sú súčasťou čísel, ktoré tvoria všetky prirodzené čísla.
Skúmaním množiny prvočísel možno získať úžasné číselné množiny s ich mimoriadnymi vlastnosťami.

Účel štúdie
Takmer všetky matematické pojmy, tak či onak, sa spoliehajú na pojem čísla a konečný výsledok akejkoľvek matematickej teórie je spravidla vyjadrený v jazyku čísel. Mnohé z nich, najmä prirodzené čísla, sú podľa určitých charakteristík a vlastností zoskupené do samostatných štruktúr (zbierok) a majú svoje názvy. tedaúčel štúdieje úvod do palindromických čísel.

Ciele výskumu

1. Preštudujte si literatúru k výskumnej téme.

2. Zvážte vlastnosti palindrómov.

3. Zistite, akú úlohu zohrávajú prvočísla pri zmene vlastností čísel, ktoré nás zaujímajú.

Predmet štúdia– súbor prvočísel.

Predmet štúdia– čísla sú palindrómy..

Výskumné metódy:

• teoretická
• prieskum
• analýza

ÚVOD

Jedného dňa som si pri bowlingu všimol nezvyčajné čísla: 44, 77, 99, 101 a zaujímalo ma, aké sú tieto čísla? Pri pohľade na internet som zistil, že tieto čísla sú palindrómy.

Palindróm (z gréckeho πάλιν - „späť, znova“ a gréckeho δρóμος - „bežať“), niekedy aj palindromón, z gr. palindromos beh späť).

Keď už hovoríme o tom, čo je palindróm, treba povedať, že „meniče“ sú známe už od staroveku. Často sa im pripisoval magický posvätný význam. Objavili sa palindrómy, ktorých príklady možno nájsť v rôznych jazykoch, pravdepodobne v stredoveku.

Palindróm je možné získať ako výsledok operácií na iných číslach. Takže v knihe "Mám nápad!" Slávny popularizátor vedy Martin Gardner v súvislosti s týmto problémom spomína „hypotézu palindrómu“.Ak vezmete prirodzené číslo (akékoľvek) a pridáte k nemu jeho inverzné číslo (pozostávajúce z rovnakých čísel, ale v opačnom poradí), potom akciu zopakujte, ale s výsledným súčtom, potom v jednom z krokov získate palindróm . V niektorých prípadoch stačí vykonať sčítanie raz: 213 + 312 = 525. Zvyčajne sú však potrebné aspoň dve operácie. Ak napríklad vezmeme číslo 96, potom vykonaním postupného pridávania možno palindróm získať iba na štvrtej úrovni: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 podstatou hypotézy je, že ak vezmete akékoľvek číslo, po určitom počte akcií určite dostanete palindróm.

HLAVNÁ ČASŤ

Čísla sú palindrómy

Nájsť čísla – palindrómy v matematike nebolo ťažké. K týmto číslam som sa pokúsil napísať číslo – palindrómy.

V dvojciferných číslach - palindrómoch sa počet jednotiek zhoduje s počtom desiatok.

– v trojciferných číslach – palindrómoch sa počet stoviek vždy zhoduje s počtom jednotiek.

V štvorciferných číslach - palindrómoch sa počet jednotiek tisíc zhoduje s počtom jednotiek a počet stoviek s počtom desiatok atď.

Vzorce sú palindrómy

Palindromické vzorce ma zaujali. Vzorcami - palindrómami rozumiem výraz (pozostávajúci zo súčtu alebo rozdielu čísel), ktorého výsledok sa nemení v dôsledku čítania výrazu sprava doľava.

Ak pridáte čísla, ktoré sú palindrómy, súčet sa nezmení. Sčítanie dvojciferných čísel je celkom jednoduché, rozhodol som sa zapísať súčet pre trojciferné čísla.

Napríklad: 121+343=464

Vo všeobecnosti sa to dá napísať takto:

+ = +

(100x + 10x+ x) + (100r + 10r + y) = (100r + 10r + y) + (100x + 10x + x)

100x + 10x+ x + 100r + 10r + y = 100r + 10r + y + 100x +10x + x

111x + 111r = 111r + 111x

111 (x + y) = 111 (y + x)

x + y = y + x

Preusporiadanie podmienok nemení sumu(komutatívna vlastnosť sčítania).

Dá sa to dokázať úplne rovnako pre 4, 5 a n-ciferné čísla.

Uvažujme všetky dvojice takýchto dvojciferných čísel tak, aby sa výsledok ich odčítania nezmenil v dôsledku čítania rozdielu sprava doľava.

Akékoľvek dvojciferné číslo môže byť vyjadrené ako súčet číselných výrazov:

10x 1 + y 1 = 10x 2 + y 2

- = (10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2)

- = (10у 2 + x 2) – (10у 1 + x 1)

(10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2) = (10r 2 + x 2) – (10r 1 + x 1)

10x 1 + r 1 – 10x 2 - r 2 = 10r 2 + x 2 – 10r 1 - x 1

10x 1 + x 1 + y 1 + 10 r 1 = 10 r 2 + y 2 + 10x 2 + x 2

11 x 1 + 11 rokov 1 = 11 x 2 + 11 rokov 2

11 (x 1 + y 1) = 11 (x 2 + y 2)

x 1 + y 1 = x 2 + y 2

Takéto čísla majú rovnaký počet číslic.

Teraz môžete urobiť nasledujúce rozdiely:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 – 16 = 61 – 25 atď.

Nominálne palindrómy

Palindrómy sa nachádzajú v niektorých súboroch čísel, ktoré majú svoje vlastné mená: Fibonacciho číslo, Smithovo číslo, Repdigit, Repunit.

Fibonacciho číslapomenovať prvky číselnej postupnosti. V ňom sa každé ďalšie číslo v rade získa sčítaním dvoch predchádzajúcich čísel.

Príklad: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

Smithovo číslo - zložené číslo, ktorého súčet cifier sa rovná súčtu cifier jeho prvočíselných deliteľov.

Príklad: 202=2+0+2=4

Repdigit - prirodzené číslo, v ktorom sú všetky číslice rovnaké.

Repunit - prirodzené číslo zapísané len pomocou jednotiek

Číselný konštruktor

Z prvočíselných palindromických čísel, ich usporiadaním určitým spôsobom, povedzme riadok po riadku, môžete vytvoriť symetrické obrazce, ktoré sa vyznačujú originálnym vzorom opakujúcich sa čísel.

Tu je napríklad krásna kombinácia jednoduchých palindrómov napísaných s 1 a 3 (obr. 1). Zvláštnosťou tohto číselného trojuholníka je, že rovnaký fragment sa opakuje trikrát bez porušenia symetrie vzoru.

Ryža. 1

Je ľahké vidieť, že celkový počet riadkov a stĺpcov je prvočíslo (17). Okrem toho prvočísla a súčty číslic: fragmenty zvýraznené červenou farbou (17); každý riadok okrem prvého (5, 11, 17, 19, 23); tretí, piaty, siedmy a deviaty stĺpec (7, 11) a „rebrík“ jednotiek tvoriacich strany trojuholníka (11). Nakoniec, ak sa posunieme rovnobežne s naznačenými „stranami“ a sčítame osobitne čísla tretieho a piateho radu (obr. 2), dostaneme ďalšie dve prvočísla (17, 5).

Ryža. 2

Pokračovaním v konštrukcii môžete na základe tohto trojuholníka zostaviť zložitejšie postavy. Nie je teda ťažké získať ďalší trojuholník s podobnými vlastnosťami pohybom od konca, to znamená od posledného čísla, preškrtnutím dvoch rovnakých symetricky umiestnených čísel a preusporiadaním alebo nahradením iných - 3 x 1 a naopak. . V tomto prípade by sa samotné čísla mali zvoliť tak, aby sa výsledné číslo ukázalo ako jednoduché. Spojením oboch figúrok dostaneme kosoštvorec s charakteristickým vzorom čísel, skrývajúcim veľa prvočísel (obr. 3). Konkrétne súčet čísel zvýraznených červenou farbou je 37.

Ryža. 3

Môžete tiež vytvoriť polygonálne postavy z čísel, ktoré majú určité vlastnosti. Predpokladajme, že potrebujete zostrojiť postavu z jednoduchých palindrómov napísaných pomocou 1 a 3, z ktorých každá má extrémne číslice, ktoré sú jednotkami, a súčet všetkých číslic a celkový počet jednotiek v riadku sú prvočísla (výnimka je jediná - palindróm číslic). Jednoduché číslo musí navyše vyjadrovať celkový počet riadkov, ako aj číslice 1 alebo 3 nájdené v zázname.

Na obr. Obrázok 4 ukazuje jedno z riešení problému – „dom“ skonštruovaný z 11 rôznych palindrómov.

Ryža. 4

Samozrejme, nie je potrebné obmedzovať sa na dve číslice a vyžadovať prítomnosť všetkých špecifikovaných číslic v zázname každého použitého čísla. Skôr naopak: veď práve ich nezvyčajné kombinácie dodávajú vzoru figúry originalitu. Aby sme to potvrdili, uvádzame niekoľko príkladov krásnych palindromických závislostí (obr. 5−7).

Ryža. 5

Ryža. 6

Ryža. 7

ZÁVER

Vo svojej práci som sa pozrel na čísla - palindrómy, vzorce - palindrómy pre súčet trojciferných čísel a rozdiel dvojciferných čísel a dokázal som ich dokázať. Zoznámil som sa s úžasnými prirodzenými číslami: palindrómy a repunity. Všetky vďačia za svoje vlastnosti prvočíslam.
Intuitívne som zostavil vzorce pre súčet a rozdiel n-ciferných čísel, súčin a podiel dvojciferných čísel.

V prípade násobenia máme:

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

26 ∙ 31 = 62 ∙ 13 atď.

Súčin prvých číslic sa rovná súčinu ich druhých číslic x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2

Pre rozdelenie dostaneme nasledujúce príklady:

62: 31 = 26: 13

96:32 = 69:23 atď.

Tieto tvrdenia sa mi zatiaľ nepodarilo dokázať, ale myslím si, že sa mi to v budúcnosti podarí.

V literatúre sa mi podarilo nájsť vzorce – palindrómy na násobenie viacciferných čísel

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

Cieľ mojej práce som dosiahol. Pozrel som si čísla - palindrómy a zapísal som si ich vo všeobecnej forme. Uviedol príklady a dokázal vzorce – palindrómy na sčítanie a odčítanie dvojciferných čísel. Identifikoval som množstvo problémov, na ktorých musím ešte popracovať a preskúmať vzorce – palindrómy. To znamená, že som potvrdil hypotézu, že prvočísla sú súčasťou čísel, ktoré tvoria všetky prirodzené čísla. Skúmaním množiny prvočísel možno získať úžasné číselné množiny s ich mimoriadnymi vlastnosťami.

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa:

Natalya Karpushina.

SPÄŤ

Číselný palindróm je prirodzené číslo, ktoré sa číta rovnako zľava doprava a sprava doľava. Inými slovami, vyznačuje sa symetriou zápisu (usporiadaním čísel) a počet znakov môže byť párny alebo nepárny. Palindrómy sa nachádzajú v niektorých súboroch čísel, ktoré majú svoje vlastné mená: medzi Fibonacciho číslami - 8, 55 (6. a 10. člen sekvencie rovnakého mena); číslice - 676, 1001 (štvorcové a päťuholníkové); Smithove čísla - 45454, 983389. Každá opakovaná číslica, napríklad 2222222 a najmä repunit, má tiež túto vlastnosť.

Palindróm je možné získať ako výsledok operácií na iných číslach. Takže v knihe "Mám nápad!" Slávny popularizátor vedy Martin Gardner v súvislosti s týmto problémom spomína „hypotézu palindrómu“. Zoberme si ľubovoľné prirodzené číslo a pripočítajme ho k inverznému číslu, teda napísanému rovnakými číslicami, ale v opačnom poradí. Urobme rovnakú akciu s výsledným súčtom a opakujeme, kým sa nevytvorí palindróm. Niekedy stačí len jeden krok (napríklad 312 + 213 = 525), ale zvyčajne sú potrebné aspoň dva. Povedzme, že číslo 96 vygeneruje palindróm 4884 až vo štvrtom kroku. Naozaj:

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884.

A podstatou hypotézy je, že ak vezmeme akékoľvek číslo, po konečnom počte akcií určite dostaneme palindróm.

Môžete zvážiť nielen sčítanie, ale aj ďalšie operácie vrátane umocňovania a extrakcie koreňov. Tu je niekoľko príkladov, ako ich možno použiť na vytvorenie ďalších z niektorých palindrómov:

HRY S ČÍSLAMI

Doteraz sme sa pozerali hlavne na zložené čísla. Teraz prejdime k jednoduchým číslam. V ich nekonečnej rozmanitosti existuje veľa kurióznych exemplárov a dokonca aj celé rodiny palindrómov. Len medzi prvými sto miliónmi prirodzených čísel je 781 jednoduchých palindrómov, pričom dvadsať spadá do prvej tisícky, z toho štyri sú jednociferné čísla - 2, 3, 5, 7 a len jedno dvojciferné - 11. Veľa zaujímavostí a s takýmito číslami sú spojené krásne vzory.

Po prvé, existuje jedinečný jednoduchý palindróm s párnym počtom číslic - 11. Inými slovami, každý palindróm s párnym počtom číslic väčším ako dve je zložené číslo, ktoré sa dá ľahko dokázať na základe testu deliteľnosti číslom 11. .

Po druhé, prvá a posledná číslica akéhokoľvek jednoduchého palindrómu môže byť iba 1, 3, 7 alebo 9. Vyplýva to zo známych znakov deliteľnosti 2 a 5. Je zvláštne, že všetky jednoduché dvojciferné čísla zapísané pomocou uvedených číslic (s výnimkou 19), možno rozdeliť na dvojice „obrátených“ čísel (vzájomne prevrátené čísla) tvaru a , kde čísla a a b sú rôzne. Každé z nich, bez ohľadu na to, ktoré číslo je prvé, sa číta rovnako zľava doprava a sprava doľava:

13 a 31, 17 a 71,

37 a 73, 79 a 97.

Pri pohľade do tabuľky prvočísel nájdeme podobné dvojice, v zázname ktorých sú aj iné čísla, konkrétne medzi trojcifernými číslami bude takýchto dvojíc štrnásť.

Okrem toho medzi jednoduchými trojcifernými palindrómami existujú dvojice čísel, ktorých stredná číslica sa líši iba o 1:

18 1 a 1 9 1, 37 3 a 3 8 3,

78 7 a 7 9 7, 91 9 a 9 2 9.

Podobný obraz možno pozorovať pri väčších prvočíslach, napríklad:

948 49 a 94 9 49,

1177 711 a 117 8 711.

Palindromické prvočísla môžu byť „nastavené“ rôznymi symetrickými vzorcami, ktoré odrážajú vlastnosti ich zápisu. To je jasne vidieť na príklade päťciferných čísel:

Mimochodom, jednoduché viacciferné čísla formulára sa zrejme nachádzajú iba medzi repunitmi. Je známych päť takýchto čísel. Je pozoruhodné, že pre každú z nich je počet číslic vyjadrený ako prvočíslo: 2, 19, 23, 317, 1031. Ale medzi prvočíslami, v ktorých sú všetky číslice okrem centrálnej, palindróm veľmi pôsobivej dĺžky bol objavený - má 1749 číslic:

Vo všeobecnosti medzi prvočíslami palindromických čísel existujú úžasné príklady. Tu je len jeden príklad – číselný gigant

A je zaujímavý tým, že obsahuje 11 811 číslic, ktoré možno rozdeliť do troch palidromických skupín a v každej skupine je počet číslic vyjadrený ako prvočíslo (5903 alebo 5).

VÝZNAMNÉ PÁRY

Kuriózne palindromické vzory možno vidieť aj v skupinách prvočísel, ktoré obsahujú určité číslice. Povedzme, že iba čísla 1 a 3 a v každom čísle. Dvojciferné prvočísla teda tvoria usporiadané dvojice 13 - 31 a 31 - 13, zo šiestich trojciferných prvočísel päť čísel naraz, medzi ktorými sú dva palindrómy: 131 a 313, a ďalšie dve čísla tvoria dvojice „zvraty“ 311 - 113 a 113 - 311 Vo všetkých týchto prípadoch sú vytvorené dvojice vizuálne znázornené vo forme číselných štvorcov (obr. 1).

Ryža. 1

Ich vlastnosti pripomínajú mágiu a latinské štvorce. Napríklad v priemernom štvorci je súčet čísel v každom riadku a každom stĺpci 444, na uhlopriečkach - 262 a 626. Sčítaním čísel zo všetkých buniek dostaneme 888. A čo je typické, každý súčet je palindróm. Už len vypísaním niekoľkých čísel z jednej tabuľky bez medzery dostaneme nové palindrómy: 3113, 131313131 atď. Aké najväčšie číslo sa dá takto poskladať? Bude to palindróm?

Ak ku každému z párov 311 - 113 a 113 - 311 pridáme 131 alebo 313, vzniknú štyri palindromické trojice. Napíšme jeden z nich do stĺpca:

Ako vidíme, pri čítaní v rôznych smeroch sú cítiť ako samotné čísla, tak aj ich požadovaná kombinácia. Okrem toho je usporiadanie čísel symetrické a ich súčet v každom riadku, každom stĺpci a na jednej z uhlopriečok je vyjadrený jednoduchým číslom - 5.

Treba povedať, že uvažované čísla sú zaujímavé samy o sebe. Napríklad palindróm 131 je cyklické prvočíslo: akékoľvek postupné preusporiadanie prvej číslice na posledné miesto vytvára prvočísla 311 a 113. Môžete uviesť ďalšie prvočísla, ktoré majú rovnakú vlastnosť?

Ale páry „obrátených“ čísel 13 - 31 a 113 - 311, keď sú odmocnené, tiež dávajú páry "obrátených" čísel: 169 - 961 a 12769 - 96721. Je zvláštne, že aj súčty ich číslic sa ukázali byť súvisí prefíkaným spôsobom:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Dodajme, že medzi prirodzenými číslami sú aj ďalšie dvojice „zvratov“ s podobnou vlastnosťou: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111 atď. Čo vysvetľuje pozorovaný vzor? Ak chcete odpovedať na túto otázku, musíte pochopiť, čo je zvláštne na zaznamenávaní týchto čísel, aké čísla a v akom množstve sa v ňom môžu nachádzať.

NUMERICKÝ KONŠTRUKTOR

Z prvočíselných palindromických čísel, ich usporiadaním určitým spôsobom, povedzme riadok po riadku, môžete vytvoriť symetrické obrazce, ktoré sa vyznačujú originálnym vzorom opakujúcich sa čísel.

Tu je napríklad krásna kombinácia jednoduchých palindrómov napísaných s 1 a 3 (okrem prvého, obr. 2). Zvláštnosťou tohto číselného trojuholníka je, že rovnaký fragment sa opakuje trikrát bez porušenia symetrie vzoru.

Ryža. 2

Je ľahké vidieť, že celkový počet riadkov a stĺpcov je prvočíslo (17). Okrem toho prvočísla a súčty číslic: fragmenty zvýraznené červenou farbou (17); každý riadok okrem prvého (5, 11, 17, 19, 23); tretí, piaty, siedmy a deviaty stĺpec (7, 11) a „rebrík“ jednotiek tvoriacich strany trojuholníka (11). Nakoniec, ak sa posunieme rovnobežne s naznačenými „stranami“ a sčítame zvlášť čísla tretieho a piateho radu (obr. 3), dostaneme ďalšie dve prvočísla (17, 5).

Ryža. 3

Pokračovaním v konštrukcii môžete na základe tohto trojuholníka zostaviť zložitejšie postavy. Nie je teda ťažké získať ďalší trojuholník s podobnými vlastnosťami pohybom od konca, to znamená od posledného čísla, preškrtnutím dvoch rovnakých symetricky umiestnených čísel a preusporiadaním alebo nahradením iných - 3 x 1 a naopak. . V tomto prípade by sa samotné čísla mali zvoliť tak, aby sa výsledné číslo ukázalo ako jednoduché. Spojením oboch figúrok dostaneme kosoštvorec s charakteristickým vzorom čísel, skrývajúcim veľa prvočísel (obr. 4). Konkrétne súčet čísel zvýraznených červenou farbou je 37.

Ryža. 4

Ďalším príkladom je trojuholník získaný z pôvodného po pridaní šiestich jednoduchých palindrómov (obr. 5). Figúrka okamžite upúta pozornosť elegantným rámom jednotiek. Je ohraničený dvoma jednoduchými repunitami rovnakej dĺžky: 23 jednotiek tvorí „základňu“ a rovnaký počet tvorí „strany“ trojuholníka.

Ryža. 5

Ešte pár figúrok

Môžete tiež vytvoriť polygonálne postavy z čísel, ktoré majú určité vlastnosti. Predpokladajme, že potrebujete zostrojiť postavu z jednoduchých palindrómov napísaných pomocou 1 a 3, z ktorých každá má extrémne číslice, ktoré sú jednotkami, a súčet všetkých číslic a celkový počet jednotiek v riadku sú prvočísla (výnimka je jediná - palindróm číslic). Jednoduché číslo musí navyše vyjadrovať celkový počet riadkov, ako aj číslice 1 alebo 3 nájdené v zázname.

Na obr. Obrázok 6 ukazuje jedno z riešení problému – „dom“ skonštruovaný z 11 rôznych palindrómov.

Ryža. 6

Samozrejme, nie je potrebné obmedzovať sa na dve číslice a vyžadovať prítomnosť všetkých špecifikovaných číslic v zázname každého použitého čísla. Skôr naopak: veď práve ich nezvyčajné kombinácie dodávajú vzoru figúry originalitu. Aby sme to potvrdili, uvádzame niekoľko príkladov krásnych palindromických závislostí (obr. 7−9).

Ryža. 7

Ryža. 8

Ryža. 9

Teraz, vyzbrojení tabuľkou prvočísel, môžete sami zostaviť figúrky podobné tým, ktoré sme navrhli.

A na záver ešte jedna kuriozita - trojuholník, doslova po dĺžke aj naprieč prepichnutý palindrómami (obr. 10). Má 11 radov prvočísel a stĺpce sú tvorené opakovanými číslicami. A hlavne: palindróm 193111111323111111391 obmedzujúci postavu zo strán je prvočíslo!