VŠEOBECNÉ SILY

VŠEOBECNÉ SILY

Veličiny, ktoré hrajú úlohu obyčajných síl pri štúdiu rovnováhy alebo mechanického pohybu. systému, jeho poloha je určená zovšeobecnenými súradnicami. Počet O. s. rovný počtu s stupňov voľnosti systému; V tomto prípade každá zovšeobecnená súradnicová čchi zodpovedá svojmu vlastnému súradnicovému systému. Qi. Hodnota O. s. Q1 zodpovedajúcu súradnici q1 možno nájsť výpočtom prvku. práca dA1 všetkých síl na možnom pohybe systému, počas ktorého sa mení iba súradnica q1: prijímanie prírastku dq1. Potom dA1=Q1dq1т. koeficient pre dqi vo výraze dA1 bude O. s. Q1. Q2, Q3 sa vypočítajú podobne. . .,Qs.

Rozmer O. s. závisí od rozmeru zovšeobecnených súradníc. Ak má qi dĺžky, potom Qi je rozmer obyčajnej sily; ak je qi uhol, potom Qi má rozmer momentu sily atď. Pri štúdiu pohybu mechanického Do Lagrangeových rovníc mechaniky vstupujú namiesto obyčajných síl systémy O. systémov a v rovnováhe všetky systémy O. sa rovnajú nule.

Fyzický encyklopedický slovník. - M.: Sovietska encyklopédia. Šéfredaktor A. M. Prochorov. 1983 .

Pozrite sa, čo sú „GENERALIZOVANÉ SILY“ v iných slovníkoch:

Veličiny, ktoré zohrávajú úlohu obyčajných síl, keď pri štúdiu rovnováhy alebo pohybu mechanického systému je jeho poloha určená zovšeobecnenými súradnicami (pozri Zovšeobecnené súradnice). Počet O. s. rovný počtu s stupňov voľnosti systému; pri……

V mechanike veličiny Qi, súčin veličín Qi a elementárnych riešení dqi zovšeobecnených súradníc qi mechanická. systémy dávajú výraz elementárnej práce bA, kde sa tvorí z hromady vláknitých materiálov (bavlna, viskóza). Na nálepky O. zvyčajne...... Veľký encyklopedický polytechnický slovník

- (USA) (Spojené štáty americké, USA). I. Všeobecné informácie USA je štát v Severnej Amerike. Rozloha 9,4 milióna km2. Populácia 216 miliónov ľudí. (1976, hodnotenie). Hlavným mestom je Washington. Administratívne územie Spojených štátov... Veľká sovietska encyklopédia

- (vzdušné sily ZSSR) Vlajka sovietskeho letectva Roky existencie ... Wikipedia

- الإمارات العربية المتحدة‎ al Emarat al Arabiya al Muttahida ... Wikipedia

Silové pole je špecifikované v oblasti Q konfiguračného priestoru ako gradient skalárnej funkcie: kde (zovšeobecnené) súradnice, U(q) potenciálna energia. Práca P. s. pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu v Q stiahnuteľného do bodu sa rovná nule. Znak...... Fyzická encyklopédia

- (vzdušné sily) druh ozbrojených síl štátu, určený na samostatné pôsobenie pri riešení operačných strategických úloh a na spoločné akcie s inými druhmi ozbrojených síl. Moderné vzdušné sily z hľadiska svojich bojových schopností... ... Veľká sovietska encyklopédia

Sila, miera pôsobenia sily v závislosti od číselnej veľkosti a smeru sily a od pohybu bodu jej pôsobenia. Ak je sila F číselne a v smere konštantná a posunutie M0M1 je priamočiare (obr. 1), potom P. A = F․s․cosα, kde s = M0M1 … Veľká sovietska encyklopédia

Sila, miera pôsobenia sily v závislosti od číselnej veľkosti a smeru sily a od pohybu bodu jej pôsobenia. Ak je sila F číselne a v smere konštantná a posunutie M0M1 je priamočiare (obr. 1), potom P. A = F s cosa, kde s = M0M1, a uhol... ... Fyzická encyklopédia

Mechanika. 1) Lagrangeove rovnice 1. druhu, diferenciálne rovnice mechanického pohybu. sústavy, ktoré sú dané v priemetoch na pravouhlé súradnicové osi a obsahujú tzv. Lagrangeove multiplikátory. Získané J. Lagrangeom v roku 1788. Pre holonomický systém, ... ... Fyzická encyklopédia

Samozrejme, pri výpočte tejto zovšeobecnenej sily by mala byť potenciálna energia určená ako funkcia zovšeobecnených súradníc

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Poznámky.

Najprv. Pri výpočte zovšeobecnených reakčných síl sa neberú do úvahy ideálne spojenia.

Po druhé. Rozmer zovšeobecnenej sily závisí od rozmeru zovšeobecnenej súradnice. Takže ak rozmer [ q] – meter, potom rozmer

[Q]= Nm/m = Newton, ak [ q] – radián, potom [Q] = Nm; Ak [ q] = m2, potom [Q] = H/m, atď.

Príklad 4. Krúžok sa posúva pozdĺž tyče kývajúcej sa vo vertikálnej rovine. M hmotnosť R(obr. 10). Prút považujeme za beztiažový. Definujme zovšeobecnené sily.

Obr.10

Riešenie. Systém má dva stupne voľnosti. Priradíme dve zovšeobecnené súradnice s A .

Nájdite zovšeobecnenú silu zodpovedajúcu súradniciam s. Tejto súradnici pridelíme prírastok, pričom súradnicu ponecháme nezmenenú a vypočítame prácu jedinej aktívnej sily R, získame zovšeobecnenú silu

Potom za predpokladu, že súradnice zvýšime s= konšt. Keď sa tyč otočí o uhol, bod pôsobenia sily R, prsteň M, presunie sa na . Všeobecná sila bude

Keďže systém je konzervatívny, zovšeobecnené sily možno nájsť aj pomocou potenciálnej energie. Dostaneme A . Ukazuje sa to oveľa jednoduchšie.

Lagrangeove rovnice rovnováhy

Podľa definície (7) zovšeobecnené sily , k = 1,2,3,…,s, Kde s– počet stupňov voľnosti.

Ak je systém v rovnováhe, potom podľa princípu možných posunov (1) . Tu sú pohyby povolené spojeniami, možné pohyby. Preto, keď je materiálny systém v rovnováhe, všetky jeho zovšeobecnené sily sú rovné nule:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, s). (10)

Tieto rovnice rovnice rovnováhy vo zovšeobecnených súradniciach alebo Lagrangeove rovnice rovnováhy , umožniť ešte jednu metódu riešenia statických problémov.

Ak je systém konzervatívny, potom . To znamená, že je v rovnovážnej polohe. To znamená, že v rovnovážnej polohe takéhoto hmotného systému je jeho potenciálna energia buď maximálna alebo minimálna, t.j. funkcia П(q) má extrém.

Je to zrejmé z analýzy najjednoduchšieho príkladu (obr. 11). Potenciálna energia lopty v pozícii M 1 má minimum, v polohe M 2 – maximálne. Dá sa všimnúť, že v polohe M 1 rovnováha bude stabilná; tehotná M 2 – nestabilné.

Obr.11

Rovnováha sa považuje za stabilnú, ak má telo v tejto polohe nízku rýchlosť alebo je posunuté o malú vzdialenosť a tieto odchýlky sa v budúcnosti nezvýšia.

Dá sa dokázať (Lagrangeova-Dirichletova veta), že ak v rovnovážnej polohe konzervatívneho systému má jeho potenciálna energia minimum, potom je táto rovnovážna poloha stabilná.

Pre konzervatívny systém s jedným stupňom voľnosti je podmienka minimálnej potenciálnej energie, a teda stability rovnovážnej polohy určená druhou deriváciou, jej hodnotou v rovnovážnej polohe,

Príklad 5. Kernel OA hmotnosť R sa môže otáčať vo vertikálnej rovine okolo osi O(obr. 12). Poďme nájsť a študovať stabilitu rovnovážnych pozícií.

Obr.12

Riešenie. Tyč má jeden stupeň voľnosti. Zovšeobecnená súradnica – uhol.

Vo vzťahu k dolnej, nulovej polohe, potenciálna energia P = Ph alebo

V rovnovážnej polohe by malo byť . Máme teda dve rovnovážne polohy zodpovedajúce uhlom a (polohám OA 1 a OA 2). Poďme preskúmať ich stabilitu. Nájdenie druhej derivácie. Samozrejme, s , . Rovnovážna poloha je stabilná. o , . Druhá rovnovážna poloha je nestabilná. Výsledky sú zrejmé.

Generalizované zotrvačné sily.

Použitím rovnakej metódy (8), akou boli vypočítané zovšeobecnené sily Q k, zodpovedajúce činným, špecifikovaným, silám, sú určené aj zovšeobecnené sily S k, zodpovedajúce zotrvačným silám bodov sústavy:

A odvtedy To

Niekoľko matematických transformácií.

samozrejme,

Pretože a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), potom

To znamená, že čiastočná derivácia rýchlosti vzhľadom na

Okrem toho v poslednom termíne (14) môžete zmeniť poradie diferenciácie:

Dosadením (15) a (16) do (14) a potom (14) do (13) dostaneme

Delením posledného súčtu dvoma a pamätaním na to, že súčet derivácií sa rovná derivácii súčtu, dostaneme

kde je kinetická energia systému a je zovšeobecnená rýchlosť.

Lagrangeove rovnice.

Podľa definície (7) a (12) zovšeobecnené sily

Ale na základe všeobecnej dynamickej rovnice (3) sa pravá strana rovnosti rovná nule. A keďže všetko ( k = 1,2,3,…,s) sa líšia od nuly, potom . Dosadením hodnoty zovšeobecnenej zotrvačnej sily (17) dostaneme rovnicu

Tieto rovnice sa nazývajú diferenciálne pohybové rovnice vo zovšeobecnených súradniciach, Lagrangeove rovnice druhého druhu alebo jednoducho – Lagrangeove rovnice.

Počet týchto rovníc sa rovná počtu stupňov voľnosti materiálového systému.

Ak je systém konzervatívny a pohybuje sa pod vplyvom potenciálnych síl poľa, keď sú zovšeobecnené sily , Lagrangeove rovnice môžu byť zostavené v tvare

Kde L = T– P sa volá Lagrangeova funkcia (predpokladá sa, že potenciálna energia P nezávisí od zovšeobecnených rýchlostí).

Často sa pri štúdiu pohybu hmotných systémov ukáže, že niektoré zovšeobecnené súradnice q j nie sú explicitne zahrnuté v Lagrangeovej funkcii (alebo v T a P). Takéto súradnice sa nazývajú cyklický. Lagrangeove rovnice zodpovedajúce týmto súradniciam sa získajú jednoduchšie.

Prvý integrál takýchto rovníc možno nájsť okamžite. Nazýva sa to cyklický integrál:

Ďalšie štúdie a transformácie Lagrangeových rovníc sú predmetom špeciálnej časti teoretickej mechaniky - „Analytická mechanika“.

Lagrangeove rovnice majú množstvo výhod v porovnaní s inými metódami štúdia pohybu systémov. Hlavné výhody: spôsob skladania rovníc je vo všetkých úlohách rovnaký, pri riešení úloh sa neberú do úvahy reakcie ideálnych spojení.

A ešte niečo - tieto rovnice sa dajú použiť na štúdium nielen mechanických, ale aj iných fyzikálnych systémov (elektrické, elektromagnetické, optické atď.).

Príklad 6. Pokračujme v štúdiu pohybu krúžku M na hojdacej tyči (príklad 4).

Sú priradené zovšeobecnené súradnice – as (obr. 13). Zovšeobecnené sily sú definované: a .

Obr.13

Riešenie. Kinetická energia prstenca Kde a .

Zostavíme dve Lagrangeove rovnice

potom rovnice vyzerajú takto:

Získali sme dve nelineárne diferenciálne rovnice druhého rádu, ktorých riešenie si vyžaduje špeciálne metódy.

Príklad 7. Vytvorme diferenciálnu pohybovú rovnicu lúča AB, ktorý sa valí bez kĺzania po valcovej ploche (obr. 14). Dĺžka lúča AB = l, hmotnosť - R.

V rovnovážnej polohe bol lúč vodorovný a ťažisko S bol umiestnený v hornom bode valca. Lúč má jeden stupeň voľnosti. Jeho polohu určuje zovšeobecnená súradnica – uhol (obr. 76).

Obr.14

Riešenie. Systém je konzervatívny. Preto zostavíme Lagrangeovu rovnicu pomocou potenciálnej energie P=mgh, vypočítanej vzhľadom na horizontálnu polohu. V bode dotyku je okamžitý stred rýchlostí a (rovnajúci sa dĺžke kruhového oblúka s uhlom).

Preto (pozri obr. 76) a .

Kinetická energia (lúč prechádza planparalelným pohybom)

Nájdeme potrebné derivácie pre rovnicu a

Urobme rovnicu

alebo nakoniec

Samotestovacie otázky

Ako sa nazýva možný pohyb obmedzeného mechanického systému?

Ako súvisia možné a skutočné pohyby systému?

Ako sa nazývajú spojenia: a) stacionárne; b) ideálne?

Formulujte princíp možných pohybov. Zapíšte si jeho vzorový výraz.

Je možné aplikovať princíp virtuálnych pohybov na systémy s neideálnymi prepojeniami?

Aké sú zovšeobecnené súradnice mechanického systému?

Aký je počet stupňov voľnosti mechanického systému?

V akom prípade karteziánske súradnice bodov v systéme závisia nielen od zovšeobecnených súradníc, ale aj od času?

Ako sa nazývajú možné pohyby mechanického systému?

Závisia možné pohyby od síl pôsobiacich na systém?

Aké spojenia mechanického systému sa nazývajú ideálne?

Prečo spojenie vytvorené trením nie je ideálne?

Ako je formulovaný princíp možných pohybov?

Aké typy môže mať rovnica práce?

Prečo princíp možných posunov zjednodušuje odvodenie podmienok rovnováhy pre sily pôsobiace na viazané systémy pozostávajúce z veľkého počtu telies?

Ako sa zostavujú pracovné rovnice pre sily pôsobiace na mechanický systém s niekoľkými stupňami voľnosti?

Aký je vzťah medzi hnacou silou a odporovou silou v jednoduchých strojoch?

Ako je formulované zlaté pravidlo mechaniky?

Ako sa určujú reakcie spojení pomocou princípu možných pohybov?

Aké spojenia sa nazývajú holonomické?

Aký je počet stupňov voľnosti mechanického systému?

Aké sú zovšeobecnené súradnice systému?

Koľko zovšeobecnených súradníc má neslobodný mechanický systém?

Koľko stupňov voľnosti má volant auta?

Čo je zovšeobecnená sila?

Napíšte vzorec vyjadrujúci celkovú elementárnu prácu všetkých síl pôsobiacich na systém v zovšeobecnených súradniciach.

Ako sa určuje rozmer zovšeobecnenej sily?

Ako sa vypočítavajú zovšeobecnené sily v konzervatívnych systémoch?

Napíšte jeden zo vzorcov vyjadrujúcich všeobecnú rovnicu dynamiky systému s ideálnymi súvislosťami. Aký je fyzikálny význam tejto rovnice?

Aká je zovšeobecnená sila aktívnych síl aplikovaných na systém?

Čo je zovšeobecnená zotrvačná sila?

Formulujte d'Alembertov princíp v zovšeobecnených silách.

Aká je všeobecná rovnica dynamiky?

Čo sa nazýva zovšeobecnená sila zodpovedajúca nejakej zovšeobecnenej súradnici systému a aký má rozmer?

Aké sú zovšeobecnené reakcie ideálnych väzieb?

Odvoďte všeobecnú rovnicu dynamiky zovšeobecnených síl.

Akú formu majú rovnovážne podmienky pre sily pôsobiace na mechanický systém získané zo všeobecnej rovnice dynamiky zovšeobecnených síl?

Aké vzorce vyjadrujú zovšeobecnené sily prostredníctvom projekcií síl na pevné osi karteziánskych súradníc?

Ako sa určujú zovšeobecnené sily v prípade konzervatívnych a v prípade nekonzervatívnych síl?

Aké spojenia sa nazývajú geometrické?

Uveďte vektorovú reprezentáciu princípu možných posunov.

Vymenujte nevyhnutnú a postačujúcu podmienku pre rovnováhu mechanickej sústavy s ideálnymi stacionárnymi geometrickými väzbami.

Akú vlastnosť má silová funkcia konzervatívneho systému v rovnovážnom stave?

Napíšte sústavu Lagrangeových diferenciálnych rovníc druhého druhu.

Koľko Lagrangeových rovníc druhého druhu možno zostrojiť pre obmedzený mechanický systém?

Závisí počet Lagrangeových rovníc mechanického systému od počtu telies zahrnutých v systéme?

Aký je kinetický potenciál systému?

Pre ktoré mechanické systémy existuje Lagrangeova funkcia?

Aké argumenty sú funkciou vektora rýchlosti bodu patriaceho do mechanického systému s s stupne slobody?

Aká je parciálna derivácia vektora rýchlosti bodu v systéme vzhľadom na nejakú zovšeobecnenú rýchlosť?

Funkciou ktorých argumentov je kinetická energia systému vystavená holonomickým nestacionárnym obmedzeniam?

Aký tvar majú Lagrangeove rovnice druhého druhu? Aký je počet týchto rovníc pre každý mechanický systém?

Akú podobu majú Lagrangeove rovnice druhého druhu v prípade, keď na systém súčasne pôsobia konzervatívne a nekonzervatívne sily?

Čo je Lagrangeova funkcia alebo kinetický potenciál?

Akú formu majú Lagrangeove rovnice druhého druhu pre konzervatívny systém?

V závislosti od akých premenných by mala byť vyjadrená kinetická energia mechanického systému pri zostavovaní Lagrangeových rovníc?

Ako sa určuje potenciálna energia mechanického systému pod vplyvom elastických síl?

Problémy riešiť samostatne

Úloha 1. Pomocou princípu možných posunov určte reakcie spojov kompozitných konštrukcií. Štrukturálne schémy sú znázornené na obr. 15 a údaje potrebné na riešenie sú uvedené v tabuľke. 1. Na obrázkoch sú všetky rozmery v metroch.

stôl 1

R 1, kN R 2, kN q, kN/m M, kNm R 1, kN R 2, kN q, kN/m M, kNm

Možnosť 1 Možnosť 2

Možnosť 3 Možnosť 4

Možnosť 5 Možnosť 6

Možnosť 7 Možnosť 8

Obr.16 Obr.17

Riešenie. Je ľahké overiť, že v tomto probléme sú splnené všetky podmienky pre uplatnenie Lagrangeovho princípu (systém je v rovnováhe, spojenia sú stacionárne, holonomické, obmedzujúce a ideálne).

Osloboďme sa od spojenia zodpovedajúceho reakcii X A (obr. 17). Aby sa to dosiahlo, v bode A by mal byť pevný záves nahradený napríklad podperou tyče, v tomto prípade systém dostane jeden stupeň voľnosti. Ako už bolo uvedené, možný pohyb systému je určený obmedzeniami, ktoré sú naň kladené, a nezávisí od aplikovaných síl. Preto je určenie možných posunov kinematickým problémom. Keďže v tomto príklade sa rám môže pohybovať iba v rovine obrazu, jeho možné pohyby sú tiež rovinné. Pri rovinnom pohybe možno pohyb telesa považovať za rotáciu okolo okamžitého stredu rýchlostí. Ak okamžitý stred rýchlostí leží v nekonečne, potom to zodpovedá prípadu okamžitého translačného pohybu, keď sú posuny všetkých bodov telesa rovnaké.

Na nájdenie okamžitého stredu rýchlostí je potrebné poznať smery rýchlostí ľubovoľných dvoch bodov telesa. Stanovenie možných posunov kompozitnej konštrukcie by preto malo začať nájdením možných posunov prvku, pre ktoré sú takéto rýchlosti známe. V tomto prípade by ste mali začať s rámom CDB, od svojho bodu IN je nehybný, a preto možný pohyb tohto rámu je jeho rotácia o uhol okolo osi prechádzajúcej cez záves B. Teraz, keď poznáme možný pohyb bodu S(patria súčasne do oboch rámcov systému) a prípadný pohyb bodu A(možný pohyb bodu A je jeho pohyb pozdĺž osi X), nájdite stred okamžitej rýchlosti C 1 snímky AES. Teda možný pohyb rámu AES je jeho rotácia okolo bodu C 1 o uhol . Spojenie medzi uhlami a je určené pohybom bodu C (pozri obr. 17)

Z podobnosti trojuholníkov EC 1 C a BCD máme

V dôsledku toho dostaneme závislosti:

Podľa princípu možných pohybov

Poďme postupne vypočítať možné úlohy, ktoré sú tu zahrnuté:

Q=2q – výslednica rozloženého zaťaženia, ktorej miesto pôsobenia je znázornené na obr. 79; možná práca ním vykonaná je rovnaká.

Uvažujme mechanickú sústavu pozostávajúcu z hmotných bodov, na ktoré pôsobia sily, sústava má s stupňov voľnosti a jej poloha bude určená zovšeobecnenými súradnicami (104). Informujme systém o takom nezávislom možnom pohybe, pri ktorom súradnica dostane prírastok a zvyšné súradnice sa nemenia. Potom každý z vektorov polomeru bodov systému dostane elementárny prírastok. Keďže podľa rovnosti (106), , a počas uvažovaného pohybu sa menia iba súradnice (ostatné zostávajú konštantné hodnoty), počíta sa ako čiastočný diferenciál, a preto

Pomocou tejto rovnosti a vzorca (42) z § 87 vypočítame súčet elementárnych prác všetkých pôsobiacich síl na uvažovaný posun, ktorý označíme Získame

Keď zo zátvoriek vyberieme spoločný faktor, konečne nájdeme

kde je uvedené

Analogicky s rovnosťou definujúcou elementárnu prácu sily F sa množstvo nazýva zovšeobecnená sila zodpovedajúca súradnici

Informovaním systému o ďalšom nezávislom možnom pohybe, pri ktorom sa mení iba súradnica, získame vyjadrenie pre elementárnu prácu všetkých síl pôsobiacich na tento pohyb.

Veličina predstavuje zovšeobecnenú silu zodpovedajúcu súradnici atď.

Je zrejmé, že ak systém dostane taký možný pohyb, ktorý súčasne zmení všetky jeho zovšeobecnené súradnice, potom súčet základných prác aplikovaných síl na tento pohyb bude určený rovnosťou

Vzorec (112) vyjadruje celkovú elementárnu prácu všetkých síl pôsobiacich na systém vo zovšeobecnených súradniciach. Z tejto rovnosti je zrejmé, že zovšeobecnené sily sú veličiny rovné koeficientom pre prírastky zovšeobecnených súradníc pri vyjadrení celkovej elementárnej práce síl pôsobiacich na sústavu.

Ak sú všetky súvislosti kladené na systém ideálne, potom prácu pri možných pohyboch vykonávajú iba aktívne sily a veličiny budú predstavovať zovšeobecnené aktívne sily systému.

Rozmer zovšeobecnenej sily závisí od rozmeru zodpovedajúcej zovšeobecnenej súradnice. Keďže produkt a teda má rozmer práce, teda

to znamená, že rozmer zovšeobecnenej sily sa rovná rozmeru práce vydelenému rozmerom zodpovedajúcej zovšeobecnenej súradnice. Z toho je zrejmé, že ak je q lineárna veličina, potom Q má rozmer obyčajnej sily (v SI sa meria v newtonoch), ak je q uhol (nemerateľná veličina), potom Q sa bude merať v a má dimenzia momentu; ak je q objem (napríklad polohu piestu vo valci je možné určiť objemom priestoru piestu), potom Q bude merané v a má rozmer tlaku atď.

Ako vidíme, analogicky so zovšeobecnenou rýchlosťou zahŕňa pojem zovšeobecnená sila všetky veličiny, ktoré sa predtým vyskytovali ako miery mechanickej interakcie hmotných telies (sila, moment sily, tlak).

Zovšeobecnené sily vypočítame pomocou vzorcov v tvare (108), (110), čo sa zredukuje na výpočet možnej elementárnej práce (pozri § 140). Najprv by ste mali určiť, aký je počet stupňov voľnosti systému, vybrať zovšeobecnené súradnice a na výkrese znázorniť všetky aktívne sily a trecie sily aplikované na systém (ak fungujú). Potom na určenie je potrebné informovať systém o takom možnom pohybe, pri ktorom sa zmení iba súradnica, pričom dostane kladný prírastok, vypočítať súčet elementárnych prác všetkých síl pôsobiacich na tento pohyb podľa vzorcov (101) a výsledný výraz prezentujte v tvare (108). Potom koeficient pre a dáva požadovanú hodnotu. Vypočítajte podobne

Príklad 1. Vypočítajme zovšeobecnenú silu pre systém znázornený na obr. 366, kde závažie A prechádza pozdĺž hladkej naklonenej roviny a závažie B prechádza pozdĺž hrubej horizontálnej roviny, pričom koeficient trenia je rovný

Závažia sú spojené závitom prehodeným cez blok O. Hmotnosť závitu a bloku zanedbávame. Systém má jeden stupeň voľnosti, poloha je určená súradnicou (kladný smer referencie je znázornený šípkou). Na určenie informujeme systém o možnom posunutí, pri ktorom a vypočítame elementárnu prácu síl na tomto posunutí, zvyšné sily nepracujú. Odvtedy

teda

Príklad 2. Zanedbaním trenia nájdeme zovšeobecnené sily pre systém znázornený na obr. 367. Homogénna tyč A B má dĺžku l a hmotnosť P a môže sa otáčať okolo osi A vo vertikálnej rovine. Lopta M na nej navlečená má váhu. Dĺžka pružiny AM je rovnaká v nenapnutom stave a tuhosť je cca.

Systém má dva stupne voľnosti (pohyb loptičky po tyči a rotácia tyče okolo osi A sú nezávislé). Ako zovšeobecnené súradnice volíme uhol a vzdialenosť gule od konca nenapnutej pružiny, kladné smery súradníc sú znázornené šípkami.

Najprv informujeme systém o možnom pohybe, pri ktorom sa uhol zvyšuje. Na tomto pohybe vykonávajú prácu sily. Pomocou druhého zo vzorcov (101) nájdeme (tu znamienko mínus, pretože smer momentu je opačný ako smer)

teda

Teraz informujeme systém o možnom pohybe, počas ktorého sa mení iba súradnica, prijíma prírastok a uhol. Na tomto premiestnení sa vykonáva práca gravitáciou a pružnou silou, ktorej modul je Potom

Uvažujme mechanický systém s ideálnymi spojeniami. Nech sú aktívne sily systému. Dajme mechanickému systému virtuálne posunutie a vypočítajme elementárnu prácu systémových síl na tomto posunutí:

.

Pomocou rovnosti (17.2) vyjadríme variáciu
vektor polomeru bodov M k prostredníctvom variácií
zovšeobecnené súradnice:

teda,

. (17.6)

Zmeňme poradie sčítania v rovnosti (17.6):

. (17.7)

Označme vo výraze (17.7)

. (17.8)

.

Všeobecnými silami Q j vymenovať koeficienty pre variácie zovšeobecnených súradníc pri vyjadrení elementárnej práce systémových síl.

V závislosti od dimenzie variácií zovšeobecnených súradníc
zovšeobecnené sily Q j môže mať rozmery sily, momentu atď.

Metódy výpočtu zovšeobecnených síl

Uvažujme tri spôsoby výpočtu zovšeobecnených síl.

1. Stanovenie zovšeobecnených síl pomocou základného vzorca(17.8)

. (17.9)

Vzorec (17.9) sa v praxi používa zriedka. Pri riešení problémov sa najčastejšie používa druhý spôsob.

2. Metóda „zmrazenia“ zovšeobecnených súradníc.

Dajme mechanickému systému virtuálne posunutie také, že všetky variácie zovšeobecnených súradníc okrem
sa rovnajú nule:

Vypočítajme prácu pre tento pohyb
všetky aktívne sily pôsobiace na systém

.

Podľa definície multiplikátor pre variáciu
rovná prvej zovšeobecnenej sile Q 1 .

a definovať druhú zovšeobecnenú silu Q 2, po vypočítaní virtuálnej práce všetkých síl systému

.

Podobne vypočítajme všetky ostatné zovšeobecnené sily systému.

3. Prípad potenciálneho silového poľa.

Predpokladajme, že potenciálna energia mechanického systému je známa

Potom
a podľa vzorca (32.8)

Princíp virtuálnych pohybov statiky vo zovšeobecnených súradniciach

Podľa princípu virtuálnych posunov statiky je pre rovnováhu systému s ideálnym držaním holonomických, stacionárnych spojení nevyhnutná a postačujúca podmienka:

pri nulových počiatočných otáčkach.

Prejdením na zovšeobecnené súradnice dostaneme

. (17.11)

Keďže variácie zovšeobecnených súradníc sú nezávislé, rovnosť k nule vyjadrenia (17.11) je možná len v prípade, keď sú všetky koeficienty pre variácie zovšeobecnených súradníc rovné nule:

teda Aby bol mechanický systém s ideálnymi, holonomickými, stacionárnymi a obmedzujúcimi spojeniami v rovnováhe, je potrebné a postačujúce, aby všetky zovšeobecnené sily systému boli rovné nule (pri nulových počiatočných rýchlostiach systému).

Lagrangeove rovnice vo zovšeobecnených súradniciach (Lagrangeove rovnice druhého druhu)

Lagrangeove rovnice sú odvodené zo všeobecnej rovnice dynamiky nahradením virtuálnych posunov ich vyjadreniami prostredníctvom variácií zovšeobecnených súradníc. Predstavujú systém diferenciálnych pohybových rovníc mechanického systému vo zovšeobecnených súradniciach:

. (17.13)

Kde
- všeobecné rýchlosti,

T kinetická energia systému, prezentovaná ako funkcia zovšeobecnených súradníc a zovšeobecnených rýchlostí

Q j- zovšeobecnené sily.

Počet rovníc sústavy (17.13) je určený počtom stupňov voľnosti a nezávisí od počtu telies zaradených do sústavy. Pri ideálnych spojeniach budú do pravej strany rovníc vstupovať iba aktívne sily. Ak spojenia nie sú ideálne, potom ich reakcie treba klasifikovať ako aktívne sily.

V prípade potenciálnych síl pôsobiacich na mechanický systém majú rovnice (17.13) tvar

.

Ak si predstavíme Lagrangeovu funkciu L = T  P, potom ak vezmeme do úvahy, že potenciálna energia nezávisí od zovšeobecnených rýchlostí, získame Lagrangeove rovnice druhého druhu pre prípad potenciálnych síl v nasledujúcom tvare

.

Pri zostavovaní Lagrangeových rovníc druhého druhu musíte vykonať nasledujúce kroky:

Nastavte počet stupňov voľnosti mechanického systému a vyberte jeho zovšeobecnené súradnice.

Zostavte výraz pre kinetickú energiu systému a reprezentujte ju ako funkciu zovšeobecnených súradníc a zovšeobecnených rýchlostí.

Pomocou vyššie uvedených metód nájdite zovšeobecnené aktívne sily systému.

Vykonajte všetky operácie diferenciácie potrebné v Lagrangeových rovniciach.

Príklad.

Kde J z moment zotrvačnosti telesa voči osi otáčania z,
- uhlová rýchlosť telesa.

3. Definujme zovšeobecnenú silu. Dajme telesu virtuálny posun  a vypočítajme virtuálnu prácu všetkých aktívnych síl sústavy:

teda Q = M z hlavný moment aktívnych síl sústavy vzhľadom na os rotácie telesa.

4. Vykonajte operácie diferenciácie v Lagrangeovej rovnici

: (17.14)

. (17.15)

Dosadenie rovnosti (17.15) do rovnice (173

14) získame diferenciálnu rovnicu rotačného pohybu telesa

.

Definícia zovšeobecnených síl

Pre systém s jedným stupňom voľnosti zovšeobecnená sila zodpovedajúca zovšeobecnenej súradnici q, sa nazýva množstvo určené vzorcom

kde d q– malý prírastok zovšeobecnených súradníc; – súčet elementárnych prác síl sústavy na jej možnom pohybe.

Pripomeňme si, že možný pohyb sústavy je definovaný ako pohyb sústavy do nekonečne blízkej polohy, ktorú umožňujú spojenia v danom časovom okamihu (podrobnejšie v prílohe 1).

Je známe, že súčet práce vykonanej reakčnými silami ideálnych väzieb pri akomkoľvek možnom posunutí systému sa rovná nule. Preto pre systém s ideálnymi spojeniami by sa mala vo výraze brať do úvahy iba práca aktívnych síl systému. Ak spojenia nie sú ideálne, potom sa ich reakčné sily, napríklad trecie sily, bežne považujú za aktívne sily (pozri nižšie pokyny k diagramu na obr. 1.5). Patrí sem elementárna práca aktívnych síl a elementárna práca momentov aktívnych dvojíc síl. Zapíšme si vzorce na určenie týchto prác. Povedzme sila ( F kx ,F ky ,F kz) aplikovaný v bode TO, ktorého vektor polomeru je ( x k , y k , z k) a možný posun – ​​(d xk, d y k , d z k). Elementárna práca sily na možnom posunutí sa rovná skalárnemu súčinu, ktorý v analytickej forme zodpovedá výrazu

d A( ) = F až d r na cos(), (1.3a)

a v súradnicovom tvare – výraz

d A( ) = F kx d x k + F ky d y k + F kz d z k. (1.3b)

Ak pár síl s chvíľou M aplikovaný na rotujúce teleso, ktorého uhlová súradnica je j a možné posunutie je dj, potom elementárna práca momentu M o možnom posune dj sa určuje podľa vzorca

d A(M) = ± M d j. (1,3v)

Tu znamienko (+) zodpovedá prípadu, keď je moment M a možný pohyb dj sa zhodujú v smere; znak (–), ak sú v opačnom smere.

Aby bolo možné určiť zovšeobecnenú silu pomocou vzorca (1.3), je potrebné vyjadriť možné pohyby telies a bodov v pomocou malého prírastku zovšeobecnenej súradnice d q, pomocou závislostí (1)…(7) adj. 1.

Definícia zovšeobecnenej sily Q, zodpovedajúce vybranej zovšeobecnenej súradnici q, odporúča sa to urobiť v nasledujúcom poradí.

· Nakreslite do návrhového diagramu všetky aktívne sily systému.

· Dajte malý prírastok k zovšeobecnenej súradnici d q> 0; znázornite na výpočtovom diagrame zodpovedajúce možné posuny všetkých bodov, v ktorých pôsobia sily, a možné uhlové posuny všetkých telies, na ktoré pôsobia momenty dvojíc síl.

· Zostavte výraz pre elementárnu prácu všetkých aktívnych síl systému na týchto pohyboch, vyjadrite možné pohyby v cez d q.

· Určte zovšeobecnenú silu pomocou vzorca (1.3).

Príklad 1.4 (pozri podmienku na Obr. 1.1).

Definujme zovšeobecnenú silu zodpovedajúcu zovšeobecnenej súradnici s(obr. 1.4).

Aktívne sily pôsobia na systém: P- hmotnosť nákladu; G– hmotnosť a krútiaci moment bubna M.

Hrubá naklonená rovina je určená pre zaťaženie A nedokonalé spojenie. Kĺzavá trecia sila F tr, pôsobiace na záťaž A z tohto spojenia sa rovná Ftr = f N.

Na určenie sily N normálový tlak bremena na rovinu pri pohybe, používame D'Alembertov princíp: ak na každý bod sústavy pôsobí okrem aktívnych aktívnych síl a reakčných síl spojov aj podmienená zotrvačná sila, potom výsledný súbor sily budú vyvážené a dynamické rovnice môžu mať formu rovníc statickej rovnováhy. Podľa známeho spôsobu aplikácie tohto princípu znázorníme všetky sily pôsobiace na zaťaženie A(obr. 1.5), – a , kde je sila ťahu kábla.

Ryža. 1.4 Obr. 1.5

Pridajme silu zotrvačnosti, kde je zrýchlenie záťaže. Rovnica d'Alembertovho princípu v projekcii na os r vyzerá ako N-Pcos a = 0.

Odtiaľ N = Pcos a. Posuvná trecia sila môže byť teraz určená vzorcom Ftr = f P cos a.

Dajme zovšeobecnenú súradnicu s malý prírastok d s> 0. V tomto prípade sa zaťaženie (obr. 1.4) posunie po naklonenej rovine do vzdialenosti d s a bubon sa otočí proti smeru hodinových ručičiek o uhol dj.

Pomocou vzorcov ako (1.3a) a (1.3c) zostavme výraz pre súčet elementárnych krútiacich momentov M, sila P A F tr:

Vyjadrime dj v tejto rovnici cez d s: , Potom

zovšeobecnenú silu definujeme pomocou vzorca (1.3)

Zoberme do úvahy predtým napísaný vzorec pre F tr a konečne dostaneme

Ak v tom istom príklade vezmeme uhol j ako zovšeobecnenú súradnicu, potom zovšeobecnenú silu Q j vyjadrené vzorcom

1.4.2. Stanovenie zovšeobecnených systémových síl
s dvoma stupňami voľnosti

Ak má systém n stupňa voľnosti je určená jeho poloha n zovšeobecnené súradnice. Každá súradnica čchi(i = 1,2,…,n) zodpovedá jeho zovšeobecnenej sile Q i, ktorý je určený vzorcom

kde je súčet elementárnych prác činných síl na i-tý možný pohyb systému, keď d q i > 0 a zostávajúce zovšeobecnené súradnice sú nezmenené.

Pri určovaní je potrebné brať do úvahy návod na určenie zovšeobecnených síl podľa vzorca (1.3).

Odporúča sa určiť zovšeobecnené sily systému s dvoma stupňami voľnosti v nasledujúcom poradí.

· Zobrazte na návrhovom diagrame všetky aktívne sily systému.

· Určte prvú zovšeobecnenú silu Q 1. Aby ste to dosiahli, dajte systému prvý možný pohyb, keď d q 1 > 0 a d q 2 =q 1 možné pohyby všetkých telies a bodov systému; skladať - vyjadrenie elementárnej práce síl sústavy na prvom možnom posunutí; možné pohyby v vyjadrené prostredníctvom d q 1; Nájsť Q 1 podľa vzorca (1.4), pričom i = 1.

· Určte druhú zovšeobecnenú silu Q 2. Za týmto účelom dajte systému druhý možný pohyb, keď d q 2 > 0 a d q 1 = 0; ukážte zodpovedajúce d na schéme návrhu q 2 možné pohyby všetkých telies a bodov systému; skladať - vyjadrenie elementárnej práce systémových síl na druhom možnom posunutí; možné pohyby v vyjadrené prostredníctvom d q 2; Nájsť Q 2 podľa vzorca (1.4), pričom i = 2.

Príklad 1.5 (pozri podmienku na Obr. 1.2)

Poďme definovať Q 1 A Q 2, zodpovedajúce zovšeobecneným súradniciam xD A x A(Obr. 1.6, A).

Na systém pôsobia tri aktívne sily: PA = 2P, P B = P D = P.

Definícia Q 1. Dajme sústave prvý možný pohyb, keď d xD> 0, d x A = 0 (obr. 1.6, A). Zároveň záťaž D xD, blokovať B sa bude otáčať proti smeru hodinových ručičiek o uhol dj B, os valca A zostane nehybný, valec A sa bude otáčať okolo osi A pod uhlom dj A v smere hodinových ručičiek. Zostavme súčet práce na uvedených pohyboch:

definujme

Poďme definovať Q 2. Dajme systému druhý možný pohyb, keď d x D = 0, d xA> 0 (obr. 1.6, b). V tomto prípade os valca A sa bude pohybovať vertikálne nadol o vzdialenosť d x A, valec A sa bude otáčať okolo osi A v smere hodinových ručičiek do uhla dj A, blokovať B a náklad D zostane nehybný. Zostavme súčet práce na uvedených pohyboch:

definujme

Príklad 1.6 (pozri podmienku na Obr. 1.3)

Poďme definovať Q 1 A Q 2, zodpovedajúce zovšeobecneným súradniciam j, s(Obr. 1.7, A). Na systém pôsobia štyri aktívne sily: hmotnosť tyče P, hmotnosť gule, elastická sila pružiny a .

Zoberme si to do úvahy. Modul elastických síl je určený vzorcom (a).

Všimnite si, že miesto pôsobenia sily F 2 je nehybná, preto je práca tejto sily na akomkoľvek možnom posunutí sústavy nulová, vo vyjadrení zovšeobecnených síl sila F 2 nepôjde dnu.

Definícia Q 1. Dajme systému prvý možný pohyb, keď dj > 0, d s = 0 (obr. 1.7, A). V tomto prípade prút AB sa bude otáčať okolo osi z proti smeru hodinových ručičiek o uhol dj, možné pohyby lopty D a stred E tyče sú nasmerované kolmo na segment AD, dĺžka pružiny sa nezmení. Dajme to do súradnicového tvaru [pozri. vzorec (1.3b)]:

(Upozorňujeme, že preto práca vykonaná touto silou pri prvom možnom posunutí je nulová).

Vyjadrime posuny d x E a d xD cez dj. Aby sme to urobili, najprv napíšeme

Potom v súlade so vzorcom (7) adj. 1 nájdeme

Nahradením nájdených hodnôt do , dostaneme

Pomocou vzorca (1.4), berúc do úvahy, že určíme

Definícia Q 2. Dajme systému druhý možný pohyb, keď dj = 0, d s> 0 (obr. 1.7, b). V tomto prípade prút AB zostane nehybný a lopta M sa posunie pozdĺž tyče o vzdialenosť d s. Zostavme súčet práce na uvedených pohyboch:

definujme

nahradenie hodnoty sily F 1 zo vzorca (a) dostaneme

1.5. Vyjadrenie kinetickej energie sústavy
v zovšeobecnených súradniciach

Kinetická energia sústavy sa rovná súčtu kinetických energií jej telies a bodov (príloha 2). Získať za T Výraz (1.2) by mal vyjadrovať rýchlosti všetkých telies a bodov sústavy prostredníctvom zovšeobecnených rýchlostí pomocou kinematických metód. V tomto prípade sa systém považuje za v ľubovoľnej polohe, všetky jeho zovšeobecnené rýchlosti sa považujú za pozitívne, t. j. smerujúce k zvyšovaniu zovšeobecnených súradníc.

Príklad 1 7 (pozri podmienku na obr. 1.1)

Určme kinetickú energiu systému (obr. 1.8), pričom vzdialenosť berieme ako zovšeobecnenú súradnicu s,

T = TA + T B.

Podľa vzorcov (2) a (3) adj. 2 máme: .

Nahradením týchto údajov do T a ak to vezmeme do úvahy, dostaneme

Príklad 1.8(pozri stav na obr. 1.2)

Určme kinetickú energiu systému na obr. 1.9, berúc ako zovšeobecnené súradnice množstvá xD A x A,

T = TA + T B + T D.

Podľa vzorcov (2), (3), (4) adj. 2 si zapíšeme

Vyjadrime sa VA , V D , w B a W A cez :

Pri určovaní w A berie sa do úvahy, že bod O(obr. 1.9) – okamžitý stred otáčok valcov A A Vk = VD(pozri príslušné vysvetlenia, napríklad 2 príloha 2).

Nahradením získaných výsledkov do T a vzhľadom na to

definujme

Príklad 1.9(pozri podmienku na obr. 1.3)

Určme kinetickú energiu systému na obr. 1.10, pričom j a sú zovšeobecnené súradnice s,

T = T AB + T D.

Podľa vzorcov (1) a (3) adj. 2 máme

Vyjadrime w AB A V D cez a :

kde je prenosová rýchlosť lopty D, jeho modul je určený vzorcom

Nasmerované kolmo na segment AD v smere zväčšujúceho sa uhla j; – relatívna rýchlosť lopty, jej modul je určený vzorcom, smerujúcim k rastúcim súradniciam s. Všimnite si preto, že je kolmá

Nahradením týchto výsledkov do T a vzhľadom na to

1.6. Zostavovanie diferenciálnych rovníc
pohyb mechanických systémov

Na získanie požadovaných rovníc je potrebné dosadiť do Lagrangeových rovníc (1.1) predtým nájdený výraz pre kinetickú energiu systému vo zovšeobecnených súradniciach a zovšeobecnených silách. Q 1 , Q 2 , … , Qn.

Pri hľadaní parciálnych derivátov T pri použití zovšeobecnených súradníc a zovšeobecnených rýchlostí je potrebné vziať do úvahy, že premenné q 1 , q 2 , … , q n; sa považujú za navzájom nezávislé. To znamená, že pri definovaní parciálnej derivácie T pre jednu z týchto premenných všetky ostatné premenné vo výraze pre T treba považovať za konštanty.

Pri vykonávaní operácie musia byť všetky premenné zahrnuté v premennej časovo diferencované.

Zdôrazňujeme, že Lagrangeove rovnice sú napísané pre každú zovšeobecnenú súradnicu čchi (i = 1, 2,…n) systémy.