Grafom funkcie 2 premenných z = f(x,y) je plocha premietnutá do roviny XOY do definičného oboru funkcie D.
Zvážte povrch σ , daný rovnicou z = f(x,y), kde f(x,y) je diferencovateľná funkcia a nech M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) je pevný bod na ploche σ, t.j. z 0 = f(x 0, y 0). Účel. Online kalkulačka je určená na hľadanie rovnice dotykovej roviny a normály povrchu. Riešenie je vypracované vo formáte Word. Ak potrebujete nájsť rovnicu dotyčnice ku krivke (y = f(x)), musíte použiť túto službu.

Pravidlá pre zadávanie funkcií:

Pravidlá pre zadávanie funkcií:

Dotyková rovina k povrchu σ v jej bode M 0 je rovina, v ktorej ležia dotyčnice všetkých kriviek nakreslených na povrchu σ cez bod M 0 .
Rovnica dotykovej roviny k ploche definovanej rovnicou z = f(x,y) v bode M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) má tvar:

z – z 0 = f’ x (x 0, y 0) (x – x 0) + f’ y (x 0, y 0) (y – y 0)

Vektor sa nazýva povrchový normálový vektor σ v bode M0. Normálny vektor je kolmý na dotykovú rovinu.
Normálne na povrch σ v bode M 0 je priamka prechádzajúca týmto bodom a má smer vektora N.
Kanonické rovnice normály k povrchu definované rovnicou z = f(x,y) v bode M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), kde z 0 = f(x 0 ,y 0), mať tvar:

Príklad č.1. Povrch je daný rovnicou x 3 +5y. Nájdite rovnicu dotykovej roviny k povrchu v bode M 0 (0;1).
Riešenie. Dotykové rovnice napíšme vo všeobecnom tvare: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Podľa podmienok úlohy x 0 = 0, y 0 = 1, potom z 0 = 5
Nájdite parciálne derivácie funkcie z = x^3+5*y:
f" x (x, y) = (x 3 + 5 y)" x = 3 x 2
f" x (x, y) = (x 3 + 5 y)" y = 5
V bode M 0 (0,1) sú hodnoty parciálnych derivácií:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Pomocou vzorca získame rovnicu dotykovej roviny k povrchu v bode M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) alebo -5 y+z = 0

Príklad č.2. Povrch je definovaný implicitne y 2 -1/2*x 3 -8z. Nájdite rovnicu dotykovej roviny k povrchu v bode M 0 (1;0;1).
Riešenie. Hľadanie parciálnych derivácií funkcie. Keďže funkcia je špecifikovaná implicitne, hľadáme deriváty pomocou vzorca:

Pre našu funkciu:

potom:

V bode M 0 (1,0,1) hodnoty parciálnych derivácií:
f" x (1;0;1) = -3/16
f" y(1;0;1) = 0
Pomocou vzorca získame rovnicu dotykovej roviny k povrchu v bode M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) alebo 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Príklad. Povrch σ daný rovnicou z= y/x + xy – 5X 3. Nájdite rovnicu dotykovej roviny a normály k povrchu σ v bode M 0 (X 0 ,r 0 ,z 0), ktoré jej patria, ak X 0 = –1, r 0 = 2.
Poďme nájsť parciálne derivácie funkcie z= f(X,r) = y/x + xy – 5X 3:
f x '( X,r) = (y/x + xy – 5X 3)' x = – y/x 2 + r – 15X 2 ;
f y “ ( X,r) = (y/x + xy – 5X 3)' y = 1/x + X.
Bodka M 0 (X 0 ,r 0 ,z 0) patrí k povrchu σ , takže môžeme počítať z 0 , nahradením daného X 0 = –1 a r 0 = 2 do rovnice povrchu:

z= y/x + xy – 5X 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Na mieste M 0 (–1, 2, 1) hodnôt parciálnych derivácií:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y '( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Pomocou vzorca (5) získame rovnicu dotykovej roviny k povrchu σ v bode M 0:
z – 1= –15(X + 1) – 2(r – 2) z – 1= –15X – 15 – 2y + 4 15X + 2r + z + 10 = 0.
Pomocou vzorca (6) získame kanonické rovnice normály k povrchu σ v bode M 0: .
Odpovede: rovnica dotykovej roviny: 15 X + 2r + z+ 10 = 0; normálne rovnice: .

Príklad č.1. Daná je funkcia z=f(x,y) a dva body A(x 0, y 0) a B(x 1, y 1). Vyžaduje sa: 1) vypočítať hodnotu z 1 funkcie v bode B; 2) vypočítajte približnú hodnotu z 1 funkcie v bode B na základe hodnoty z 0 funkcie v bode A, pričom nahradíte prírastok funkcie pri presune z bodu A do bodu B diferenciálom; 3) vytvorte rovnicu pre dotykovú rovinu k ploche z = f(x,y) v bode C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Riešenie.
Napíšme tangensové rovnice vo všeobecnom tvare:
z - z 0 = f" x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
Podľa podmienok úlohy x 0 = 1, y 0 = 2, potom z 0 = 25
Nájdite parciálne derivácie funkcie z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x + 3 y 3
f" x (x, y) = (x 2 +3 x y + y 2)" y = 9 x y 2
V bode M 0 (1,2) sú hodnoty parciálnych derivácií:
f" x (1;2) = 26
f" y(1;2) = 36
Pomocou vzorca získame rovnicu dotykovej roviny k povrchu v bode M 0:
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
alebo
-26 x-36 y+z+73 = 0

Príklad č.2. Napíšte rovnice dotykovej roviny a normály k eliptickému paraboloidu z = 2x 2 + y 2 v bode (1;-1;3).

Majme plochu definovanú rovnicou tvaru

Uveďme si nasledujúcu definíciu.

Definícia 1. Priamka sa nazýva dotyčnica k povrchu v určitom bode, ak je

dotyčnica k ľubovoľnej krivke ležiacej na povrchu a prechádzajúcej bodom.

Keďže bodom P prechádza nekonečne veľa rôznych kriviek ležiacich na povrchu, potom, všeobecne povedané, bude existovať nekonečný počet dotyčníc k povrchu prechádzajúcich týmto bodom.

Predstavme si pojem singulárne a obyčajné body plochy

Ak sú v určitom bode všetky tri derivácie rovné nule alebo aspoň jedna z týchto derivácií neexistuje, potom sa bod M nazýva singulárny bod plochy. Ak v určitom bode existujú všetky tri derivácie a sú spojité a aspoň jedna z nich sa líši od nuly, potom sa bod M nazýva obyčajným bodom plochy.

Teraz môžeme sformulovať nasledujúcu vetu.

Veta. Všetky dotyčnice k danej ploche (1) v jej obyčajnom bode P ležia v rovnakej rovine.

Dôkaz. Uvažujme určitú priamku L na ploche (obr. 206) prechádzajúcu daným bodom P plochy. Nech je uvažovaná krivka daná parametrickými rovnicami

Tangenta ku krivke bude dotyčnica k povrchu. Rovnice tejto dotyčnice majú tvar

Ak sa do rovnice (1) dosadia výrazy (2), potom sa táto rovnica zmení na identitu vzhľadom na t, keďže krivka (2) leží na ploche (1). Rozlíšiť to tým, že dostaneme

Projekcie tohto vektora závisia od - súradníc bodu P; všimnite si, že keďže bod P je obyčajný, tieto projekcie v bode P súčasne nezmiznú a preto

dotyčnica ku krivke prechádzajúcej bodom P a ležiacej na povrchu. Projekcie tohto vektora sú vypočítané na základe rovníc (2) pri hodnote parametra t zodpovedajúcej bodu P.

Vypočítajme skalárny súčin vektorov N, ktorý sa rovná súčtu súčinov rovnomenných projekcií:

Na základe rovnosti (3) sa výraz na pravej strane rovná nule, preto

Z poslednej rovnosti vyplýva, že vektor LG a vektor dotyčnice ku krivke (2) v bode P sú kolmé. Vyššie uvedená úvaha platí pre akúkoľvek krivku (2), ktorá prechádza bodom P a leží na povrchu. V dôsledku toho je každá dotyčnica k povrchu v bode P kolmá na rovnaký vektor N a preto všetky tieto dotyčnice ležia v rovnakej rovine kolmej na vektor LG. Veta bola dokázaná.

Definícia 2. Rovina, v ktorej sa nachádzajú všetky dotyčnice k priamkam na ploche prechádzajúcich jej daným bodom P, sa nazýva dotyková rovina plochy v bode P (obr. 207).

Všimnite si, že v singulárnych bodoch povrchu nemusí existovať dotyková rovina. V takýchto bodoch nemusia dotyčnice k povrchu ležať v rovnakej rovine. Napríklad vrchol kužeľovej plochy je singulárny bod.

Tangenty ku kužeľovej ploche v tomto bode neležia v rovnakej rovine (samotné tvoria kužeľovú plochu).

Napíšme rovnicu dotykovej roviny k ploche (1) v obyčajnom bode. Keďže táto rovina je kolmá na vektor (4), jej rovnica má tvar

Ak je rovnica povrchu uvedená v tvare alebo rovnica dotykovej roviny v tomto prípade má tvar

Komentujte. Ak zadáme vzorec (6), potom tento vzorec bude mať tvar

jeho pravá strana je úplným diferenciálom funkcie. Preto, . Totálny diferenciál funkcie dvoch premenných v bode zodpovedajúcom prírastkom nezávislých premenných x a y sa teda rovná zodpovedajúcemu prírastku aplikácie dotyčnicovej roviny k povrchu, čo je graf tejto funkcie.

Definícia 3. Priamka vedená bodom na ploche (1) kolmým na dotykovú rovinu sa nazýva normála k ploche (obr. 207).

Napíšeme normálne rovnice. Keďže jeho smer sa zhoduje so smerom vektora N, jeho rovnice budú mať tvar

Definícia 1 : Dotyková rovina k povrchu v danom bode P (x 0, y 0, z 0) je rovina prechádzajúca bodom P a obsahujúca všetky dotyčnice zostrojené v bode P ku všetkým možným krivkám na tomto povrchu prechádzajúcich bodom P.

Nech je plocha s daná rovnicou F (X, pri, z) = 0 a bod P (X 0 , r 0 , z 0) patrí k tomuto povrchu. Vyberme nejakú krivku na povrchu L, prechádzajúci bodom R.

Nechaj X = X(t), pri = pri(t), z = z(t) - parametrické rovnice priamky L.

Predpokladajme, že: 1) funkcia F(X, pri, z) je v bode rozlíšiteľné R a nie všetky jeho parciálne derivácie sa v tomto bode rovnajú nule; 2) funkcie X(t), pri(t), z(t) sú tiež rozlíšiteľné.

Keďže krivka patrí k ploche s, súradnice ľubovoľného bodu na tejto krivke, ktoré sú dosadené do rovnice plochy, z nej urobia identitu. Platí teda rovnaká rovnosť: F [X(t), pri(t), z (t)]= 0.

Rozlíšenie tejto identity vzhľadom na premennú t pomocou reťazového pravidla získame novú identickú rovnosť platnú vo všetkých bodoch krivky, vrátane bodu P (X 0 , r 0 , z 0):

Nech bod P zodpovedá hodnote parametra t 0, tj X 0 = X (t 0), r 0 = r (t 0), z 0 = z (t 0). Potom posledný vzťah vypočítaný v bode R, bude mať formu

Tento vzorec je skalárnym súčinom dvoch vektorov. Prvým z nich je konštantný vektor

nezávisle od výberu krivky na povrchu.

Druhý vektor je dotyčnica v bode R k čiare L, čo znamená, že závisí od výberu čiary na ploche, to znamená, že ide o premenný vektor.

So zavedeným zápisom je rovnosť:

napíšeme ako.

Jeho význam je tento: skalárny súčin sa rovná nule, preto sú vektory kolmé. Výber všetkých možných kriviek prechádzajúcich bodom R na ploche s budeme mať v bode zostrojené rôzne vektory dotyčníc R k týmto riadkom; vektor nezávisí od tejto voľby a bude kolmý na ktorýkoľvek z nich, to znamená, že všetky dotyčnicové vektory sú umiestnené v rovnakej rovine, ktorá je podľa definície dotyčnicou k povrchu s a bodu R v tomto prípade sa nazýva dotykový bod. Vektor je vektor smeru normály povrchu.

Definícia 2: Normálou na plochu s v bode P je priamka prechádzajúca bodom P a kolmá na dotykovú rovinu zostrojenú v tomto bode.

Dokázali sme existenciu dotykovej roviny, a teda normály k povrchu. Zapíšme si ich rovnice:

Rovnica dotykovej roviny zostrojenej v bode P (x0, y0, z0) k ploche s je daná rovnicou F(x, y, z) = 0;

Rovnica normály zostrojená v bode R na povrch s.

Príklad: Nájdite rovnicu povrchu tvorenej rotáciou paraboly:

z 2 = 2p (y +2)

okolo osi y, vypočítajte za predpokladu, že bod M(3; 1; - 3) patrí k povrchu. Nájdite rovnice normály a dotykovej roviny k povrchu v bode M.

Riešenie. Pomocou pravidla na písanie rotačnej plochy získame:

z 2 + X 2 = 2p (y +2) .

Dosadením súradníc bodu M do tejto rovnice vypočítame hodnotu parametra p: 9 + 9 = 2R (1 + 2) . Zaznamenávame konečný pohľad na rotačnú plochu prechádzajúcu bodom M:

z 2 + X 2 = 6 (r +2).

Teraz nájdeme rovnice normálnej a dotyčnicovej roviny pomocou vzorcov, pre ktoré najprv vypočítame parciálne derivácie funkcie:

F(x, y) = z 2 + X 2- 6 (r +2):

Potom rovnica dotykovej roviny nadobudne tvar 6(x - 3) - 6 (y - 1) - 6 (z + 3) = 0 alebo x - y - z - 5 = 0;

1°

1°. Rovnice dotykovej roviny a normály pre prípad explicitnej definície povrchu.

Uvažujme jednu z geometrických aplikácií parciálnych derivácií funkcie dvoch premenných. Nechajte funkciu z = f (X ;y) v bode rozlíšiteľné (x 0; y 0) nejaká oblasť DÎ R 2. Narežeme povrch S, reprezentujúci funkciu z, lietadlá x = x 0 A y = y 0(obr. 11).

Lietadlo X = x 0 pretína povrch S pozdĺž nejakej línie z 0 (y), ktorého rovnicu získame dosadením do výrazu pôvodnej funkcie z ==f (X ;y) namiesto Xčísla x 0. Bodka M 0 (x 0;r 0,f (x 0;y 0)) patrí do krivky z 0 (y). Kvôli diferencovateľnej funkcii z v bode M 0 funkciu z 0 (y) je tiež v bode diferencovateľná y = y 0. Preto v tomto bode v rovine x = x 0 do zákruty z 0 (y) možno nakresliť dotyčnicu l 1.

Uskutočnenie podobného zdôvodnenia pre sekciu pri = r 0, postavme tangentu l 2 do zákruty z 0 (X) v bode X = x 0 - Priamy 1 1 A 1 2 definovať rovinu tzv dotyková rovina na povrch S v bode M 0.

Vytvorme jeho rovnicu. Keďže rovina prechádza bodom Mo(x 0;yo;z 0), potom jeho rovnicu možno zapísať ako

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

ktorý sa dá prepísať takto:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(rozdelenie rovnice -C a označenie ).

nájdeme A 1 a B1.

Tangentové rovnice 1 1 A 1 2 vyzerať ako

resp.

Tangenta l 1 leží v rovine a , teda súradnice všetkých bodov l 1 splniť rovnicu (1). Táto skutočnosť môže byť zapísaná vo forme systému

Vyriešením tejto sústavy vzhľadom na B 1 dostaneme toto l 3, je ľahké to zistiť.

Nahradenie hodnôt A 1 a B 1 do rovnice (1), získame požadovanú rovnicu dotyčnicovej roviny:

Čiara prechádzajúca bodom M 0 a kolmá na dotykovú rovinu zostrojenú v tomto bode povrchu sa nazýva jeho normálne.

Pomocou podmienky kolmosti priamky a roviny je ľahké získať kanonické normálne rovnice:

Komentujte. Vzorce pre dotykovú rovinu a normálu k povrchu sa získajú pre obyčajné, t. j. nešpeciálne body povrchu. Bodka M 0 povrch sa nazýva špeciálne, ak sa v tomto bode všetky parciálne derivácie rovnajú nule alebo aspoň jedna z nich neexistuje. Takéto body neberieme do úvahy.

Príklad. Napíšte rovnice pre dotykovú rovinu a normálu k povrchu v jej bode M(2; -1; 1).

Riešenie. Nájdite parciálne derivácie tejto funkcie a ich hodnoty v bode M

Odtiaľ, použitím vzorcov (2) a (3), budeme mať: z-1=2(x-2)+2(y+1) alebo 2x+2u-z-1=0- rovnica dotykovej roviny a - normálne rovnice.

2°. Rovnice dotykovej roviny a normály pre prípad implicitnej definície plochy.

Ak povrch S daný rovnicou F (X ; y;z)= 0, potom rovnice (2) a (3), berúc do úvahy skutočnosť, že parciálne derivácie možno nájsť ako derivácie implicitnej funkcie.

Rovnica normálnej roviny

1.

4.

Dotyková rovina a normála povrchu

Nech je daný nejaký povrch, A je pevný bod povrchu a B je premenný bod povrchu,

(obr. 1).

Nenulový vektor

→

n

volal normálny vektor na povrch v bode A, ak

lim B → A j = π 2 .

Povrchový bod F (x, y, z) = 0 sa nazýva obyčajný, ak je v tomto bode

1. parciálne derivácie F " x , F " y , F " z sú spojité;
2. (F" x)2 + (F" y)2 + (F" z)2 ≠ 0.

Ak je porušená aspoň jedna z týchto podmienok, volá sa povrchový bod špeciálny bod povrchu .

Veta 1. Ak M(x 0 , y 0 , z 0 ) je obyčajný bod plochy F (x , y , z) = 0 , potom vektor

→ n = grad F (x 0, y 0, z 0 ) = F " x (x 0, y 0, z 0 ) → i + F "y (x 0, y 0, z 0) → j + F "z (x 0, y 0, z 0) → k

(1)

je kolmá na túto plochu v bode M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Dôkaz uvedený v knihe I.M. Petruško, L.A. Kuznecovová, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Kurz vyššej matematiky: Integrálny počet. Funkcie viacerých premenných. Diferenciálne rovnice. M.: Vydavateľstvo MPEI, 2002 (s. 128).

Normálne na povrch v určitom bode existuje priamka, ktorej smerový vektor je v tomto bode kolmý na povrch a ktorá prechádza týmto bodom.

Kanonický normálne rovnice môžu byť zastúpené vo forme

x - x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y – y 0 F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Dotyková rovina k povrchu v určitom bode je rovina, ktorá prechádza týmto bodom kolmá na normálu k povrchu v tomto bode.

Z tejto definície vyplýva, že rovnica dotykovej roviny má tvar:

(3)

Ak je bod na povrchu singulárny, potom v tomto bode nemusí existovať vektor kolmý na povrch, a preto povrch nemusí mať normálnu a dotykovú rovinu.

Geometrický význam celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných

Nech je funkcia z = f (x, y) diferencovateľná v bode a (x 0, y 0). Jeho grafom je povrch

f (x, y) − z = 0.

Dajme z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Potom bod A (x 0 , y 0 , z 0 ) patrí ploche.

Parciálne derivácie funkcie F (x, y, z) = f (x, y) − z sú

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

a v bode A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. sú kontinuálne;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Preto je A obyčajný bod plochy F (x, y, z) a v tomto bode je k ploche dotyková rovina. Podľa (3) má rovnica dotykovej roviny tvar:

f" x (x 0, y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0, y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Vertikálne posunutie bodu na dotyčnicovej rovine pri pohybe z bodu a (x 0, y 0) do ľubovoľného bodu p (x, y) je B Q (obr. 2). Zodpovedajúci prírastok aplikácií je

(z − z 0 ) = f " x (x 0, y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0, y 0 ) (y − y 0 )

Tu na pravej strane je diferenciál d z funkcie z = f (x, y) v bode a (x 0, x 0). teda
d f (x 0, y 0). je prírastok aplikácie bodu dotykovej roviny ku grafu funkcie f (x, y) v bode (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Z definície diferenciálu vyplýva, že vzdialenosť medzi bodom P na grafe funkcie a bodom Q na dotyčnicovej rovine je infinitezimálom vyššieho rádu ako vzdialenosť bodu p k bodu a.