Vzdialenosť od bodu k rovine: definícia a príklady nájdenia. Vzdialenosť od bodu k rovine

Nájdenie vzdialenosti od bodu k rovine je bežným problémom, ktorý vzniká pri riešení rôznych problémov analytickej geometrie; napríklad tento problém možno zredukovať na nájdenie vzdialenosti medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami alebo medzi priamkou a rovinou rovnobežnou s to.

Uvažujme rovinu $β$ a bod $M_0$ so súradnicami $(x_0;y_0; z_0)$, ktorý nepatrí do roviny $β$.

Definícia 1

Najkratšia vzdialenosť medzi bodom a rovinou bude kolmica vedená z bodu $M_0$ k rovine $β$.

Obrázok 1. Vzdialenosť od bodu k rovine. Author24 - online výmena študentských prác

Nižšie diskutujeme o tom, ako nájsť vzdialenosť od bodu k rovine pomocou metódy súradníc.

Odvodenie vzorca pre súradnicovú metódu zisťovania vzdialenosti od bodu k rovine v priestore

Kolmica z bodu $M_0$ pretínajúca rovinu $β$ v bode $M_1$ so súradnicami $(x_1;y_1; z_1)$ leží na priamke, ktorej smerový vektor je normálový vektor roviny $β$. V tomto prípade je dĺžka jednotkového vektora $n$ rovná jednej. Podľa toho bude vzdialenosť od $β$ k bodu $M_0$:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, kde $\vec(M_1M_0)$ je normálny vektor roviny $β$ a $\vec( n)$ je jednotkový normálový vektor uvažovanej roviny.

V prípade, že rovnica roviny je daná vo všeobecnom tvare $Ax+ By + Cz + D=0$, súradnicami normálového vektora roviny sú koeficienty rovnice $\(A;B;C\ )$ a jednotkový normálny vektor má v tomto prípade súradnice vypočítané pomocou nasledujúcej rovnice:

$\vec(n)= \frac($A;B;C$)(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Teraz môžeme nájsť súradnice normálneho vektora $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= $x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1$\vľavo(3\vpravo)$.

Koeficient $D$ vyjadríme aj pomocou súradníc bodu ležiaceho v rovine $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Súradnice jednotkového normálového vektora z rovnosti $(2)$ môžeme dosadiť do rovnice roviny $β$, potom máme:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\vľavo(4\vpravo)$

Rovnosť $(4)$ je vzorec na zistenie vzdialenosti od bodu k rovine v priestore.

Všeobecný algoritmus na nájdenie vzdialenosti od bodu $M_0$ k rovine

Ak rovnica roviny nie je daná vo všeobecnom tvare, najprv ju musíte zredukovať na všeobecnú formu.
Potom je potrebné zo všeobecnej rovnice roviny vyjadriť normálový vektor danej roviny cez bod $M_0$ a bod patriaci do danej roviny, na to musíme použiť rovnosť $(3)$ .
Ďalšou fázou je hľadanie súradníc jednotkového normálového vektora roviny pomocou vzorca $(2)$.
Nakoniec môžete začať zisťovať vzdialenosť od bodu k rovine, to sa vykonáva výpočtom skalárneho súčinu vektorov $\vec(n)$ a $\vec(M_1M_0)$.

Určenie vzdialenosti medzi: 1 - bodom a rovinou; 2 - rovné a ploché; 3 - lietadlá; 4 - križujúce sa priamky sú posudzované spoločne, pretože algoritmus riešenia všetkých týchto úloh je v podstate rovnaký a pozostáva z geometrických konštrukcií, ktoré je potrebné vykonať na určenie vzdialenosti medzi daným bodom A a rovinou α. Ak existuje nejaký rozdiel, spočíva iba v tom, že v prípadoch 2 a 3 by ste pred začatím riešenia problému mali označiť ľubovoľný bod A na priamke m (prípad 2) alebo rovine β (prípad 3). vzdialenosti medzi pretínajúcimi sa čiarami, najprv ich uzavrieme do rovnobežných rovín α a β a potom určíme vzdialenosť medzi týmito rovinami.

Pozrime sa na každý z uvedených prípadov riešenia problému.

1. Určenie vzdialenosti medzi bodom a rovinou.

Vzdialenosť od bodu k rovine je určená dĺžkou kolmého segmentu vedeného z bodu do roviny.

Preto riešenie tohto problému spočíva v postupnom vykonávaní nasledujúcich grafických operácií:

1) z bodu A spustíme kolmicu na rovinu α (obr. 269);

2) nájdite priesečník M tejto kolmice s rovinou M = a ∩ α;

3) určiť dĺžku segmentu.

Ak je rovina α vo všeobecnej polohe, potom na spustenie kolmice na túto rovinu je potrebné najprv určiť smer horizontálneho a čelného priemetu tejto roviny. Nájdenie bodu stretnutia tejto kolmice s rovinou si tiež vyžaduje dodatočné geometrické konštrukcie.

Riešenie problému je zjednodušené, ak rovina α zaujíma určitú polohu vzhľadom na premietacie roviny. V tomto prípade sa premietanie kolmice aj nájdenie bodu jej stretu s rovinou vykonáva bez ďalších pomocných konštrukcií.

PRÍKLAD 1. Určte vzdialenosť bodu A k čelne vyčnievajúcej rovine α (obr. 270).

RIEŠENIE. Cez A" nakreslíme vodorovný priemet kolmice l" ⊥ h 0α a cez A" - jej čelný priemet l" ⊥ f 0α. Označíme bod M" = l" ∩ f 0α . Od AM || π 2, potom [A" M"] == |AM| = d.

Z uvažovaného príkladu je zrejmé, ako jednoducho je problém vyriešený, keď rovina zaujíma vyčnievajúcu polohu. Preto, ak je v zdrojových údajoch špecifikovaná všeobecná rovina polohy, potom pred pokračovaním v riešení by sa rovina mala presunúť do polohy kolmej na akúkoľvek projekčnú rovinu.

PRÍKLAD 2. Určte vzdialenosť od bodu K k rovine určenej ΔАВС (obr. 271).

1. Prenesieme rovinu ΔАВС do projekčnej polohy *. Aby sme to dosiahli, prejdeme zo systému xπ 2 /π 1 na x 1 π 3 /π 1: smer novej osi x 1 zvolíme kolmo na vodorovný priemet vodorovnej roviny trojuholníka.

2. Premietnite ΔABC na novú rovinu π 3 (rovina ΔABC sa premietne na π 3 v [ C " 1 B " 1 ]).

3. Premietnite bod K na rovnakú rovinu (K" → K" 1).

4. Cez bod K" 1 nakreslíme (K" 1 M" 1)⊥ segment [C" 1 B" 1]. Požadovaná vzdialenosť d = |K" 1 M" 1 |

Riešenie problému je zjednodušené, ak je rovina definovaná stopami, pretože nie je potrebné kresliť projekcie nivelačných čiar.

PRÍKLAD 3. Určte vzdialenosť od bodu K k rovine α, určenú stopami (obr. 272).

* Najracionálnejším spôsobom, ako preniesť rovinu trojuholníka do premietacej polohy, je nahradiť projekčné roviny, keďže v tomto prípade stačí zostrojiť len jednu pomocnú projekciu.

RIEŠENIE. Rovinu π 1 nahradíme rovinou π 3, preto nakreslíme novú os x 1 ⊥ f 0α. Na h 0α označíme ľubovoľný bod 1" a určíme jeho nový vodorovný priemet do roviny π 3 (1" 1). Cez body X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) a 1" 1 nakreslíme h 0α 1. Určíme nový vodorovný priemet bodu K → K" 1. Z bodu K" 1 spustíme kolmicu na h 0α 1 a bod jej priesečníka označíme h 0α 1 - M" 1. Dĺžka segmentu K" 1 M" 1 bude udávať požadovanú vzdialenosť.

2. Určenie vzdialenosti medzi priamkou a rovinou.

Vzdialenosť medzi priamkou a rovinou je určená dĺžkou kolmého segmentu spusteného z ľubovoľného bodu na priamke k rovine (pozri obr. 248).

Preto sa riešenie problému určenia vzdialenosti medzi priamkou m a rovinou α nelíši od príkladov diskutovaných v odseku 1 na určenie vzdialenosti medzi bodom a rovinou (pozri obr. 270 ... 272). Ako bod môžete vziať ľubovoľný bod patriaci do priamky m.

3. Určenie vzdialenosti medzi rovinami.

Vzdialenosť medzi rovinami je určená veľkosťou kolmého segmentu spadnutého z bodu v jednej rovine do inej roviny.

Z tejto definície vyplýva, že algoritmus na riešenie úlohy určenia vzdialenosti medzi rovinami α a β sa líši od podobného algoritmu na riešenie úlohy určenia vzdialenosti medzi priamkou m a rovinou α len tým, že priamka m musí patriť do roviny α. , t. j. na určenie vzdialenosti medzi rovinami α a β:

1) vezmite priamku m v rovine α;

2) vyberte ľubovoľný bod A na priamke m;

3) z bodu A spustite kolmicu l na rovinu β;

4) určte bod M - bod stretnutia kolmice l s rovinou β;

5) určiť veľkosť segmentu.

V praxi je vhodné použiť iný algoritmus riešenia, ktorý sa bude líšiť od uvedeného len tým, že pred prvým krokom by sa roviny mali preniesť do projekčnej polohy.

Zahrnutie tejto dodatočnej operácie do algoritmu zjednodušuje vykonávanie všetkých ostatných bodov bez výnimky, čo v konečnom dôsledku vedie k jednoduchšiemu riešeniu.

PRÍKLAD 1. Určte vzdialenosť medzi rovinami α a β (obr. 273).

RIEŠENIE. Prejdeme zo systému xπ 2 /π 1 do x 1 π 1 /π 3. Vzhľadom na novú rovinu π 3 roviny α a β zaujímajú vyčnievajúcu polohu, preto je vzdialenosť medzi novými čelnými stopami f 0α 1 a f 0 β 1 požadovaná.

V inžinierskej praxi je často potrebné riešiť problém zostrojenia roviny rovnobežnej s danou rovinou a od nej odstránenej v danej vzdialenosti. Príklad 2 nižšie ilustruje riešenie takéhoto problému.

PRÍKLAD 2. Je potrebné zostrojiť priemety roviny β rovnobežnej s danou rovinou α (m || n), ak je známe, že vzdialenosť medzi nimi je d (obr. 274).

1. V rovine α nakreslite ľubovoľné vodorovné čiary h (1, 3) a predné čiary f (1,2).

2. Z bodu 1 obnovíme kolmicu l na rovinu α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Na kolmici l označíme ľubovoľný bod A.

4. Určte dĺžku úsečky - (poloha udáva na diagrame metricky neskreslený smer priamky l).

5. Položte segment = d na priamku (1"A 0) z bodu 1".

6. Vyznačte na výbežkoch l" a l" body B" a B", zodpovedajúce bodu B 0.

7. Bodom B vedieme rovinu β (h 1 ∩ f 1). Do β || α, je potrebné dodržať podmienku h 1 || h a f 1 || f.

4. Určenie vzdialenosti medzi pretínajúcimi sa čiarami.

Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami je určená dĺžkou kolmice obsiahnutej medzi rovnobežnými rovinami, ku ktorým patria pretínajúce sa čiary.

Na nakreslenie vzájomne rovnobežných rovín α a β cez pretínajúce sa priamky m a f stačí nakresliť cez bod A (A ∈ m) priamku p rovnobežnú s priamkou f a cez bod B (B ∈ f) priamka k rovnobežná s priamou m . Priesečníky m a p, f a k vymedzujú vzájomne rovnobežné roviny α a β (pozri obr. 248, e). Vzdialenosť medzi rovinami α a β sa rovná požadovanej vzdialenosti medzi čiarami kríženia m a f.

Na určenie vzdialenosti medzi pretínajúcimi sa čiarami možno navrhnúť iný spôsob, ktorý spočíva v tom, že pomocou nejakého spôsobu transformácie kolmých priemetov sa jedna z priesečníkov prenesie do priemetne. V tomto prípade sa jedna projekcia priamky zvrhne do bodu. Vzdialenosť medzi novými priemetmi krížiacich sa čiar (bod A" 2 a segment C" 2 D" 2) je požadovaná.

Na obr. 275 ukazuje riešenie problému určenia vzdialenosti medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b, danými segmentmi [AB] a [CD]. Riešenie sa vykonáva v nasledujúcom poradí:

1. Presuňte jednu z pretínajúcich sa čiar (a) do polohy rovnobežnej s rovinou π 3; Za týmto účelom prejdite zo sústavy rovín premietania xπ 2 /π 1 do nového x 1 π 1 /π 3, pričom os x 1 je rovnobežná s horizontálnym priemetom priamky a. Určite a" 1 [A" 1 B" 1 ] a b" 1.

2. Nahradením roviny π 1 rovinou π 4 preložíme priamku

a do polohy a" 2, kolmo na rovinu π 4 (nová os x 2 je nakreslená kolmo na a" 1).

3. Zostrojte nový horizontálny priemet priamky b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Vzdialenosť od bodu A" 2 k priamke C" 2 D" 2 (segment (A" 2 M" 2 ] (je požadovaná.

Treba mať na pamäti, že premiestnenie jednej z pretínajúcich sa čiar do vyčnievajúcej polohy nie je nič iné ako presunutie rovín rovnobežnosti, v ktorých môžu byť priamky a a b uzavreté, tiež do vyčnievajúcej polohy.

V skutočnosti posunutím priamky a do polohy kolmej na rovinu π 4 zabezpečíme, aby každá rovina obsahujúca priamku a bola kolmá na rovinu π 4, vrátane roviny α definovanej priamkami a a m (a ∩ m, m | | b). Ak teraz nakreslíme priamku n, rovnobežnú s a a pretínajúcu sa s priamkou b, potom dostaneme rovinu β, čo je druhá rovina rovnobežnosti, ktorá obsahuje priesečníky a a b. Od β || α, potom β ⊥ π 4 .

ÚLOHY C2 JEDNOTNEJ ŠTÁTNEJ SKÚŠKY Z MATEMATIKY NÁJSŤ VZDIALENOSŤ OD BODU K lietadlu

Kuliková Anastasia Jurievna

Študent 5. ročníka, odbor matematika. analýza, algebra a geometria EI KFU, Ruská federácia, Tatarská republika, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

vedecký školiteľ, Ph.D. ped. vedy, docent EI KFU, Ruská federácia, Tatarská republika, Elabuga

V posledných rokoch sa v úlohách Jednotnej štátnej skúšky z matematiky objavili úlohy na výpočet vzdialenosti od bodu k rovine. V tomto článku sa na príklade jedného problému zvažujú rôzne metódy na zistenie vzdialenosti od bodu k rovine. Najvhodnejšia metóda môže byť použitá na riešenie rôznych problémov. Po vyriešení problému pomocou jednej metódy môžete skontrolovať správnosť výsledku pomocou inej metódy.

Definícia. Vzdialenosť od bodu k rovine, ktorá neobsahuje tento bod, je dĺžka kolmého segmentu vedeného z tohto bodu do danej roviny.

Úloha. Vzhľadom k tomu, obdĺžnikový rovnobežnosten ABSD.A. 1 B 1 C 1 D 1 so stranami AB=2, B.C.=4, A.A. 1 = 6. Nájdite vzdialenosť od bodu D do lietadla ACD 1 .

1 spôsob. Použitím definícia. Nájdite vzdialenosť r( D, ACD 1) z bodu D do lietadla ACD 1 (obr. 1).

Obrázok 1. Prvý spôsob

Poďme uskutočniť D.H.⊥AC, teda vetou o troch odvesniciach D 1 H⊥AC A (DD 1 H)⊥AC. Poďme uskutočniť priamy D.T. kolmý D 1 H. Rovno D.T. leží v rovine DD 1 H, teda D.T.⊥A.C.. teda D.T.⊥ACD 1.

ADC nájdime preponu AC a výška D.H.

Z pravouhlého trojuholníka D 1 D.H. nájdime preponu D 1 H a výška D.T.

Odpoveď: .

Metóda 2.Objemová metóda (použitie pomocnej pyramídy). Problém tohto typu možno zredukovať na problém výpočtu výšky pyramídy, kde výška pyramídy je požadovaná vzdialenosť od bodu k rovine. Dokážte, že táto výška je požadovaná vzdialenosť; nájdite objem tejto pyramídy dvoma spôsobmi a vyjadrite túto výšku.

Všimnite si, že pri tejto metóde nie je potrebné zostrojiť kolmicu z daného bodu na danú rovinu.

Kváder je kváder, ktorého všetky strany sú obdĺžniky.

AB=CD=2, B.C.=AD=4, A.A. 1 =6.

Požadovaná vzdialenosť bude výška h pyramídy ACD 1 D, spustený zhora D na základni ACD 1 (obr. 2).

Vypočítajme objem pyramídy ACD 1 D dve cesty.

Pri výpočte prvým spôsobom berieme ako základ ∆ ACD 1 potom

Pri výpočte druhým spôsobom berieme ako základ ∆ ACD, Potom

Dajme rovnítko medzi pravé strany posledných dvoch rovníc a získajme

Obrázok 2. Druhá metóda

Z pravouhlých trojuholníkov ACD, PRIDAŤ 1 , CDD 1 nájdite preponu pomocou Pytagorovej vety

ACD

Vypočítajte obsah trojuholníka ACD 1 pomocou Heronovho vzorca

Odpoveď: .

3 spôsob. Súradnicová metóda.

Nech je daný bod M(X 0 ,r 0 ,z 0) a lietadlo α , daný rovnicou sekera+podľa+cz+d=0 v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Vzdialenosť od bodu M k rovine α možno vypočítať pomocou vzorca:

Zavedieme si súradnicový systém (obr. 3). Počiatok súradníc v bode IN;

Rovno AB- os X, rovný slnko- os r, rovný BB 1 - os z.

Obrázok 3. Tretia metóda

B(0,0,0), A(2,0,0), S(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Nechaj ax+podľa+ cz+ d=0 – rovinná rovnica ACD 1. Dosadzovanie súradníc bodov do nej A, C, D 1 dostaneme:

Rovinná rovnica ACD 1 bude mať formu

Odpoveď: .

4 spôsobom. Vektorová metóda.

Uveďme si základ (obr. 4) , .

Obrázok 4. Štvrtá metóda

, Súťaž „Prezentácia na lekciu“

Trieda: 11

Prezentácia na lekciu

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Ciele:

zovšeobecňovanie a systematizácia vedomostí a zručností žiakov;
rozvoj schopností analyzovať, porovnávať, vyvodzovať závery.

Vybavenie:

multimediálny projektor;
počítač;
hárky s problémovými textami

POKROK TRIEDY

I. Organizačný moment

II. Fáza aktualizácie vedomostí(snímka 2)

Zopakujeme, ako sa určuje vzdialenosť od bodu k rovine

III. Prednáška(snímky 3-15)

V tejto lekcii sa pozrieme na rôzne spôsoby, ako nájsť vzdialenosť od bodu k rovine.

Prvý spôsob: výpočtové krok za krokom

Vzdialenosť od bodu M k rovine α:
– rovná vzdialenosti od roviny α od ľubovoľného bodu P ležiaceho na priamke a, ktorá prechádza bodom M a je rovnobežná s rovinou α;
– sa rovná vzdialenosti od roviny α od ľubovoľného bodu P ležiaceho v rovine β, ktorý prechádza bodom M a je rovnobežný s rovinou α.

Vyriešime nasledovné problémy:

№1. V kocke A...D 1 nájdite vzdialenosť bodu C 1 k rovine AB 1 C.

Zostáva vypočítať hodnotu dĺžky segmentu O 1 N.

№2. V pravidelnom šesťhrannom hranole A...F 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť bodu A k rovine DEA 1.

Ďalší spôsob: objemová metóda.

Ak je objem pyramídy ABCM rovný V, potom vzdialenosť od bodu M k rovine α obsahujúcej ∆ABC sa vypočíta podľa vzorca ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Pri riešení úloh používame rovnosť objemov jedného útvaru vyjadrenú dvoma rôznymi spôsobmi.

Poďme vyriešiť nasledujúci problém:

№3. Hrana AD pyramídy DABC je kolmá na základnú rovinu ABC. Nájdite vzdialenosť od A k rovine prechádzajúcej stredmi hrán AB, AC a AD, ak.

Pri riešení problémov súradnicová metóda vzdialenosť od bodu M k rovine α možno vypočítať pomocou vzorca ρ(M; α) = , kde M(x 0; y 0; z 0), a rovina je daná rovnicou ax + by + cz + d = 0

Poďme vyriešiť nasledujúci problém:

№4. V jednotkovej kocke A...D 1 nájdite vzdialenosť bodu A 1 k rovine BDC 1.

Zavedieme súradnicový systém s počiatkom v bode A, os y bude prebiehať pozdĺž hrany AB, os x pozdĺž hrany AD a os z pozdĺž hrany AA 1. Potom súradnice bodov B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Vytvorme rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi B, D, C 1.

Potom – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Preto ρ =

Nasledujúca metóda, ktorú možno použiť na riešenie problémov tohto typu, je spôsob podpory problémov.

Aplikácia tejto metódy spočíva vo využití známych referenčných problémov, ktoré sú formulované ako vety.

Poďme vyriešiť nasledujúci problém:

№5. V jednotkovej kocke A...D 1 nájdite vzdialenosť bodu D 1 k rovine AB 1 C.

Uvažujme o aplikácii vektorová metóda.

№6. V jednotkovej kocke A...D 1 nájdite vzdialenosť bodu A 1 k rovine BDC 1.

Pozreli sme sa teda na rôzne metódy, ktoré možno použiť na riešenie tohto typu problému. Výber jednej alebo druhej metódy závisí od konkrétnej úlohy a vašich preferencií.

IV. Skupinová práca

Skúste problém vyriešiť rôznymi spôsobmi.

№1. Hrana kocky A...D 1 sa rovná . Nájdite vzdialenosť od vrcholu C k rovine BDC 1.

№2. V pravidelnom štvorstene ABCD s hranou nájdite vzdialenosť od bodu A k rovine BDC

№3. V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť od A k rovine BCA 1.

№4. V pravidelnom štvorbokom ihlane SABCD, ktorého všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť od A k rovine SCD.

V. Zhrnutie hodiny, domáca úloha, reflexia

Nech je tam lietadlo . Nakreslíme normálne
cez počiatok súradníc O. Nech je daný
– uhly zvierané normálou so súradnicovými osami.
. Nechaj – dĺžka normálneho segmentu
kým sa nepretne s rovinou. Za predpokladu, že sú známe smerové kosínusy normály , odvodíme rovnicu roviny .

Nechaj
) je ľubovoľný bod na rovine. Jednotkový normálový vektor má súradnice. Nájdeme projekciu vektora
do normálu.

Od veci M patrí teda do lietadla

Ide o rovnicu danej roviny, tzv normálne .

Vzdialenosť od bodu k rovine

Nech je dané lietadlo ,M*
- bod v priestore, d – jeho vzdialenosť od roviny.

Definícia. Odchýlka bodov M* z lietadla sa nazýva číslo ( + d), Ak M* leží na druhej strane roviny, kde smeruje kladný smer normály a číslo (- d), ak sa bod nachádza na druhej strane roviny:

Veta. Nechajte lietadlo s normálnou jednotkou je dané normálnou rovnicou:

Nechaj M*
– bod v priestore Odchýlka t. M* z roviny je dané výrazom

Dôkaz. Projekcia t.
* označujeme ako normálne Q. Bodová odchýlka M* z roviny sa rovná

Pravidlo. Nájsť odchýlka T. M* z roviny je potrebné dosadiť súradnice t do normálnej rovnice roviny. M* . Vzdialenosť od bodu k rovine je .

Redukcia všeobecnej rovinnej rovnice na normálnu formu

Nech je tá istá rovina definovaná dvoma rovnicami:

Všeobecná rovnica

Normálna rovnica.

Keďže obe rovnice definujú rovnakú rovinu, ich koeficienty sú úmerné:

Odmocnime prvé tri rovnosti a spočítajme ich:

Odtiaľto nájdeme - normalizačný faktor:

. (10)

Vynásobením všeobecnej rovnice roviny normalizačným faktorom dostaneme normálnu rovnicu roviny:

Príklady problémov na tému „Rovina“.

Príklad 1 Vytvorte rovnicu roviny prechádza cez daný bod
(2,1,-1) a rovnobežne s rovinou.

Riešenie. Normálne do lietadla :
. Keďže roviny sú rovnobežné, potom normálna je tiež normálna k požadovanej rovine . Pomocou rovnice roviny prechádzajúcej daným bodom (3) dostaneme pre rovinu rovnica:

odpoveď:

Príklad 2 Základňa kolmice klesla z počiatku do roviny , je pointa
. Nájdite rovnicu roviny .

Riešenie. Vektor
je normálne pre lietadlo . Bodka M 0 patrí do lietadla. Môžete použiť rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom (3):

odpoveď:

Príklad 3 Konštruovať rovinu , prechádzajúci cez body

a kolmo na rovinu :.

Preto do určitého bodu M (X, r, z) patril lietadlu , je potrebné, aby tri vektory
boli koplanárne:

=0.

Zostáva odhaliť determinant a výsledný výraz uviesť do podoby všeobecnej rovnice (1).

Príklad 4. Lietadlo je dané všeobecnou rovnicou:

Nájdite odchýlku bodu
z danej roviny.

Riešenie. Uveďme rovnicu roviny do normálneho tvaru.

Dosaďte súradnice bodu do výslednej normálovej rovnice M*.

odpoveď:
.

Príklad 5. Pretína rovina segment?

Riešenie. Rezať AB prekročil rovinu, odchýlky A z lietadla musí mať rôzne znaky:

Príklad 6. Priesečník troch rovín v jednom bode.

Systém má unikátne riešenie, preto majú tri roviny jeden spoločný bod.

Príklad 7. Nájdenie osí dihedrálneho uhla, ktorý tvoria dve dané roviny.

Nechaj A - odchýlka nejakého bodu
z prvej a druhej roviny.

Na jednej z rovín osy (zodpovedajúcej uhlu, v ktorom leží počiatok súradníc) sú tieto odchýlky rovnaké vo veľkosti a znamienku a na druhej sú rovnaké vo veľkosti a v opačnom znamienku.

Toto je rovnica prvej osovej roviny.

Toto je rovnica druhej osovej roviny.

Príklad 8. Určenie polohy dvoch daných bodov A vzhľadom k dihedrálnym uhlom tvoreným týmito rovinami.