Keďže miera radiánu uhla je charakterizovaná nájdením veľkosti uhla cez dĺžku oblúka, je možné graficky znázorniť vzťah medzi mierou radiánu a mierou stupňov. Za týmto účelom nakreslite kružnicu s polomerom 1 na rovinu súradníc tak, aby jej stred bol v počiatku. Kladné uhly sa vykreslia proti smeru hodinových ručičiek a záporné uhly v smere hodinových ručičiek.
Stupňovú mieru uhla označujeme ako obvykle a radiánovú mieru pomocou oblúkov ležiacich na kružnici. P 0 - počiatok uhla. Zvyšok sú bodky. 
priesečník strán uhla s kružnicou.
Definícia: Kruh s polomerom 1 so stredom v počiatku sa nazýva jednotkový kruh.
Okrem označenia uhlov má tento kruh ešte jednu vlastnosť: môže predstavovať akékoľvek reálne číslo s jediným bodom tohto kruhu. Dá sa to urobiť presne rovnakým spôsobom ako na číselnej osi. Zdá sa, že číselnú os ohýbame tak, že leží na kruhu.
P 0 je počiatok, bod čísla 0. Kladné čísla sú označené v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek) a záporné čísla sú označené v zápornom smere (v smere hodinových ručičiek). Úsek rovný α je oblúk P 0 P α .
Akékoľvek číslo môže byť reprezentované bodom P α na kruhu a tento bod je pre každé číslo jedinečný, ale môžete vidieť, že množina čísel α+2πn, kde n je celé číslo, zodpovedá rovnakému bodu P α .
Každý bod má svoje súradnice, ktoré majú špeciálne názvy.
Definícia:Kosínus α sa nazýva úsečka bodu zodpovedajúceho číslu α na jednotkovej kružnici.
Definícia:Sínus α je ordináta bodu zodpovedajúceho číslu α na jednotkovej kružnici.
Pα (cosα, sinα).
Z geometrie:
Kosínus uhla v obdĺžniku trojuholník je pomer opačného uhla k prepone. V tomto prípade sa prepona rovná 1, to znamená, že kosínus uhla sa meria dĺžkou segmentu OA.
Sínus uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone. To znamená, že sínus sa meria dĺžkou segmentu OB.
Zapíšme si definície tangensu a kotangensu čísla.
Kde cos α≠0
Kde sinα≠0
Úloha nájsť hodnoty sínusu, kosínusu, tangensu a kotangens ľubovoľného čísla pomocou niektorých vzorcov sa redukuje na nájdenie hodnôt sinα, cosα, tgα a ctgα, kde 0≤α≤π/2 .
Tabuľka základných hodnôt goniometrických funkcií
| α | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2 π | |
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° | |
| sinα | |||||||
| cosα | ½ | -1 | |||||
| tgα | - | ||||||
| ctgα | - | - | - |
Nájdite hodnotu výrazov.
Jednou z oblastí matematiky, s ktorou sa školáci vyrovnávajú s najväčšími ťažkosťami, je trigonometria. Niet divu: na slobodné zvládnutie tejto oblasti vedomostí potrebujete priestorové myslenie, schopnosť nájsť sínusy, kosínusy, tangenty, kotangens pomocou vzorcov, zjednodušiť výrazy a vedieť použiť pri výpočtoch číslo pí. Navyše pri dokazovaní viet musíte vedieť aplikovať trigonometriu, a to si vyžaduje buď rozvinutú matematickú pamäť, alebo schopnosť odvodzovať zložité logické reťazce.
Počiatky trigonometrie
Zoznámenie sa s touto vedou by malo začať definíciou sínusu, kosínusu a tangensu uhla, ale najprv musíte zistiť, čo robí trigonometria vo všeobecnosti.
Historicky boli pravouhlé trojuholníky hlavným predmetom štúdia v tejto časti matematickej vedy. Prítomnosť uhla 90 stupňov umožňuje vykonávať rôzne operácie, ktoré umožňujú určiť hodnoty všetkých parametrov uvažovaného obrázku pomocou dvoch strán a jedného uhla alebo dvoch uhlov a jednej strany. V minulosti si tento vzor ľudia všimli a začali ho aktívne využívať pri stavbe budov, navigácii, astronómii a dokonca aj v umení.
Prvé štádium
Spočiatku ľudia hovorili o vzťahu uhlov a strán výlučne na príklade pravouhlých trojuholníkov. Potom boli objavené špeciálne vzorce, ktoré umožnili rozšíriť hranice použitia v každodennom živote tejto časti matematiky.
Štúdium trigonometrie v škole sa dnes začína pravouhlými trojuholníkmi, po ktorých nadobudnuté vedomosti využívajú študenti vo fyzike a riešení abstraktných goniometrických rovníc, práca s ktorými sa začína už na strednej škole.
Sférická trigonometria
Neskôr, keď sa veda dostala na ďalší stupeň vývoja, začali sa vzorce so sínusom, kosínusom, dotyčnicou, kotangensom používať v sférickej geometrii, kde platia iné pravidlá a súčet uhlov v trojuholníku je vždy viac ako 180 stupňov. Táto sekcia sa v škole neštuduje, ale je potrebné vedieť o jej existencii, prinajmenšom preto, že zemský povrch a povrch akejkoľvek inej planéty je konvexný, čo znamená, že akékoľvek povrchové označenie bude mať „oblúkový tvar“ v trojrozmerný priestor.
Vezmite zemeguľu a nite. Pripevnite niť na ľubovoľné dva body na zemeguli tak, aby bola napnutá. Venujte pozornosť - získal tvar oblúka. Práve takýmito formami sa zaoberá sférická geometria, ktorá sa využíva v geodézii, astronómii a iných teoretických a aplikovaných odboroch.
Správny trojuholník
Keď sme sa trochu naučili o spôsoboch používania trigonometrie, vráťme sa k základnej trigonometrii, aby sme ďalej pochopili, čo sú sínus, kosínus, tangens, aké výpočty je možné s ich pomocou vykonať a aké vzorce použiť.
Prvým krokom je pochopenie pojmov súvisiacich s pravouhlým trojuholníkom. Po prvé, prepona je strana opačná k uhlu 90 stupňov. Je najdlhšia. Pamätáme si, že podľa Pytagorovej vety sa jej číselná hodnota rovná odmocnine súčtu štvorcov ostatných dvoch strán.
Napríklad, ak sú dve strany 3 a 4 centimetre, dĺžka prepony bude 5 centimetrov. Mimochodom, starí Egypťania o tom vedeli asi pred štyri a pol tisíc rokmi.
Dve zostávajúce strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Okrem toho si musíme uvedomiť, že súčet uhlov v trojuholníku v pravouhlom súradnicovom systéme je 180 stupňov.
Definícia
Nakoniec, so solídnym pochopením geometrickej základne, môžeme prejsť k definícii sínusu, kosínusu a tangensu uhla.
Sínus uhla je pomer protiľahlej vetvy (t.j. strany protiľahlej k požadovanému uhlu) k prepone. Kosínus uhla je pomer priľahlého ramena k prepone.
Pamätajte, že ani sínus, ani kosínus nemôžu byť väčšie ako jedna! prečo? Pretože prepona je štandardne najdlhšia, bez ohľadu na dĺžku nohy bude kratšia ako prepona, čo znamená, že ich pomer bude vždy menší ako jedna. Ak teda v odpovedi na úlohu dostanete sínus alebo kosínus s hodnotou väčšou ako 1, hľadajte chybu vo výpočtoch alebo uvažovaní. Táto odpoveď je jednoznačne nesprávna.
Nakoniec tangens uhla je pomer protiľahlej strany k susednej strane. Rovnaký výsledok poskytne delenie sínusu kosínusom. Pozrite sa: podľa vzorca delíme dĺžku strany preponou, potom delíme dĺžkou druhej strany a násobíme preponou. Dostaneme teda rovnaký pomer ako pri definícii dotyčnice.
Kotangens je pomer strany susediacej s rohom k opačnej strane. Rovnaký výsledok dostaneme vydelením jednotky dotyčnicou.
Takže sme zvážili definície toho, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens, a môžeme sa zaoberať vzorcami.
Najjednoduchšie vzorce
V trigonometrii sa bez vzorcov nezaobídeme – ako bez nich nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens? A to je presne to, čo sa vyžaduje pri riešení problémov.
Prvý vzorec, ktorý potrebujete vedieť, keď začnete študovať trigonometriu, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu uhla sa rovná jednej. Tento vzorec je priamym dôsledkom Pytagorovej vety, ale šetrí čas, ak chcete poznať hodnotu uhla, nie strany.
Mnoho študentov si nevie spomenúť na druhý vzorec, tiež veľmi obľúbený pri riešení školských úloh: súčet jednotky a druhej mocniny tangens uhla sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu uhla. Pozrime sa bližšie: ide predsa o rovnaký výrok ako v prvom vzorci, len obe strany identity boli rozdelené druhou mocninou kosínusu. Ukazuje sa, že jednoduchá matematická operácia úplne zmení goniometrický vzorec na nerozoznanie. Pamätajte: s vedomím, čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens, s pravidlami prevodu a niekoľkými základnými vzorcami, môžete kedykoľvek nezávisle odvodiť požadované zložitejšie vzorce na list papiera.
Vzorce dvojitého uhla a pridanie argumentov
Dva ďalšie vzorce, ktoré sa musíte naučiť, súvisia s hodnotami sínusu a kosínusu pre súčet a rozdiel uhlov. Sú znázornené na obrázku nižšie. Upozorňujeme, že v prvom prípade sa sínus a kosínus vynásobia v oboch prípadoch a v druhom prípade sa pripočíta párový súčin sínusu a kosínusu.
Existujú aj vzorce spojené s argumentmi dvojitého uhla. Sú úplne odvodené od predchádzajúcich - ako prax sa ich pokúste získať sami, pričom uhol alfa sa rovná uhlu beta.
Nakoniec si všimnite, že vzorce s dvojitým uhlom možno previesť na zníženie stupňa sínusu, kosínusu a dotyčnice alfa.
Vety
Dve hlavné vety v základnej trigonometrii sú sínusová a kosínusová. Pomocou týchto teorémov môžete ľahko pochopiť, ako nájsť sínus, kosínus a tangens, a teda aj plochu obrázku a veľkosť každej strany atď.
Sínusová veta hovorí, že ako výsledok delenia dĺžky každej zo strán trojuholníka hodnotou opačného uhla dostaneme rovnaké číslo. Navyše sa toto číslo bude rovnať dvom polomerom kružnice opísanej, teda kružnice obsahujúcej všetky body daného trojuholníka.
Kosínusová veta zovšeobecňuje Pytagorovu vetu a premieta ju na ľubovoľné trojuholníky. Ukazuje sa, že od súčtu štvorcov dvoch strán odpočítajte ich súčin vynásobený dvojitým kosínusom uhla, ktorý k nim prilieha - výsledná hodnota sa bude rovnať štvorcu tretej strany. Pytagorova veta sa teda ukazuje ako špeciálny prípad kosínusovej vety.
Chyby v dôsledku nepozornosti
Aj keď vieme, čo sú sínus, kosínus a tangenta, je ľahké urobiť chybu kvôli neprítomnosti alebo chybe v najjednoduchších výpočtoch. Aby sme sa vyhli takýmto chybám, zoznámime sa s najpopulárnejšími z nich.
Po prvé, nemali by ste prevádzať obyčajné zlomky na desatinné miesta, kým nedosiahnete konečný výsledok – odpoveď môžete ponechať ako obyčajný zlomok, pokiaľ nie je v podmienke uvedené inak. Takúto transformáciu nemožno nazvať chybou, ale treba mať na pamäti, že v každej fáze problému sa môžu objaviť nové korene, ktoré by sa podľa autorovho nápadu mali obmedziť. V tomto prípade budete strácať čas zbytočnými matematickými operáciami. To platí najmä pre hodnoty, ako je koreň troch alebo dvoch, pretože sa vyskytujú v úlohách na každom kroku. To isté platí aj o zaokrúhľovaní „škaredých“ čísel.
Ďalej si všimnite, že kosínusová veta sa vzťahuje na akýkoľvek trojuholník, ale nie na Pytagorovu vetu! Ak omylom zabudnete odpočítať dvojnásobok súčinu strán vynásobeného kosínusom uhla medzi nimi, dostanete nielen úplne nesprávny výsledok, ale preukážete aj úplné nepochopenie témy. Toto je horšie ako neopatrná chyba.
Po tretie, nezamieňajte hodnoty uhlov 30 a 60 stupňov pre sínusy, kosínusy, tangens, kotangens. Zapamätajte si tieto hodnoty, pretože sínus 30 stupňov sa rovná kosínusu 60 a naopak. Je ľahké ich zamiešať, v dôsledku čoho nevyhnutne získate chybný výsledok.
Aplikácia
Mnohí študenti sa neponáhľajú začať študovať trigonometriu, pretože nerozumejú jej aplikovanému významu. Čo je sínus, kosínus, tangens pre inžiniera alebo astronóma? Ide o koncepty, vďaka ktorým môžete vypočítať vzdialenosť k vzdialeným hviezdam, predpovedať pád meteoritu, poslať výskumnú sondu na inú planétu. Bez nich nie je možné postaviť budovu, navrhnúť auto, vypočítať zaťaženie povrchu alebo trajektóriu objektu. A to sú len tie najzreteľnejšie príklady! Koniec koncov, trigonometria v tej či onej forme sa používa všade, od hudby po medicínu.
Konečne
Takže ste sínus, kosínus, tangenta. Môžete ich použiť pri výpočtoch a úspešne vyriešiť školské úlohy.
Celá podstata trigonometrie sa scvrkáva na skutočnosť, že neznáme parametre sa musia vypočítať zo známych parametrov trojuholníka. Celkovo existuje šesť parametrov: dĺžky troch strán a veľkosti troch uhlov. Celý rozdiel v úlohách spočíva v tom, že sú dané rôzne vstupné údaje.
Ako nájsť sínus, kosínus, tangens na základe známych dĺžok nôh alebo prepony, teraz viete. Keďže tieto pojmy neznamenajú nič iné ako pomer a pomer je zlomok, hlavným cieľom trigonometrickej úlohy je nájsť korene obyčajnej rovnice alebo sústavy rovníc. A tu vám pomôže obyčajná školská matematika.
Pojmy sínus, kosínus, tangens a kotangens sú hlavnými kategóriami trigonometrie - odvetvia matematiky a sú neoddeliteľne spojené s definíciou uhla. Ovládanie tejto matematickej vedy si vyžaduje zapamätanie a pochopenie vzorcov a teorémov, ako aj rozvinuté priestorové myslenie. Preto trigonometrické výpočty často spôsobujú ťažkosti školákom a študentom. Aby ste ich prekonali, mali by ste sa lepšie oboznámiť s goniometrickými funkciami a vzorcami.
Pojmy v trigonometrii
Aby ste pochopili základné pojmy trigonometrie, musíte sa najprv rozhodnúť, čo je pravouhlý trojuholník a uhol v kruhu a prečo sú s nimi spojené všetky základné trigonometrické výpočty. Trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov 90 stupňov, je pravouhlý trojuholník. Historicky túto postavu často používali ľudia v architektúre, navigácii, umení, astronómii. V súlade s tým ľudia pri štúdiu a analýze vlastností tohto čísla dospeli k výpočtu zodpovedajúcich pomerov jeho parametrov.
Hlavné kategórie spojené s pravouhlými trojuholníkmi sú prepona a nohy. Prepona je strana trojuholníka, ktorá je oproti pravému uhlu. Nohy sú ďalšie dve strany. Súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je vždy 180 stupňov.
Sférická trigonometria je časť trigonometrie, ktorá sa v škole neštuduje, ale v aplikovaných vedách ako astronómia a geodézia ju vedci využívajú. Znakom trojuholníka v sférickej trigonometrii je, že má vždy súčet uhlov väčší ako 180 stupňov.
Uhly trojuholníka
V pravouhlom trojuholníku je sínus uhla pomer nohy oproti požadovanému uhlu k prepone trojuholníka. V súlade s tým je kosínus pomerom susednej vetvy a prepony. Obe tieto hodnoty majú vždy hodnotu menšiu ako jedna, pretože prepona je vždy dlhšia ako noha.
Tangenta uhla je hodnota rovnajúca sa pomeru protiľahlého ramena k susednému ramenu požadovaného uhla alebo sínusu ku kosínusu. Kotangens je zase pomer priľahlého ramena požadovaného uhla k opačnému kaktetu. Kotangens uhla možno získať aj vydelením jednotky hodnotou dotyčnice.
jednotkový kruh
Jednotková kružnica v geometrii je kružnica, ktorej polomer sa rovná jednej. Takáto kružnica je zostrojená v karteziánskom súradnicovom systéme, pričom stred kružnice sa zhoduje s počiatočným bodom a počiatočná poloha vektora polomeru je určená kladným smerom osi X (os úsečka). Každý bod kružnice má dve súradnice: XX a YY, teda súradnice úsečky a ordináty. Označením ľubovoľného bodu na kružnici v rovine XX a znížením kolmice z nej na os x dostaneme pravouhlý trojuholník tvorený polomerom k vybranému bodu (označme ho písmenom C), kolmicu nakreslenú k os X (priesečník je označený písmenom G) a úsečka os x medzi počiatkom (bod je označený písmenom A) a priesečníkom G. Výsledný trojuholník ACG je pravouhlý trojuholník vpísaný do kruh, kde AG je prepona a AC a GC sú nohy. Uhol medzi polomerom kružnice AC a segmentom osi x s označením AG definujeme ako α (alfa). Takže, cos α = AG/AC. Vzhľadom na to, že AC je polomer jednotkovej kružnice a rovná sa jednej, ukáže sa, že cos α=AG. Podobne sin α=CG.
Navyše so znalosťou týchto údajov je možné určiť súradnicu bodu C na kružnici, keďže cos α=AG, a sin α=CG, čo znamená, že bod C má dané súradnice (cos α; sin α). Keď vieme, že dotyčnica sa rovná pomeru sínusu ku kosínusu, môžeme určiť, že tg α \u003d y / x a ctg α \u003d x / y. Vzhľadom na uhly v negatívnom súradnicovom systéme je možné vypočítať, že sínusové a kosínusové hodnoty niektorých uhlov môžu byť záporné.
Výpočty a základné vzorce
Hodnoty goniometrických funkcií
Po zvážení podstaty goniometrických funkcií cez jednotkový kruh môžeme odvodiť hodnoty týchto funkcií pre niektoré uhly. Hodnoty sú uvedené v tabuľke nižšie.
Najjednoduchšie trigonometrické identity
Rovnice, v ktorých je pod znamienkom goniometrickej funkcie neznáma hodnota, sa nazývajú trigonometrické. Totožnosti s hodnotou sin x = α, k je ľubovoľné celé číslo:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. hriech x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, žiadne riešenia.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Totožnosti s hodnotou cos x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, žiadne riešenia.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Totožnosti s hodnotou tg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Totožnosti s hodnotou ctg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Odlievané vzorce
Táto kategória konštantných vzorcov označuje metódy, pomocou ktorých môžete prejsť od goniometrických funkcií tvaru k funkciám argumentu, to znamená previesť sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla ľubovoľnej hodnoty na zodpovedajúce ukazovatele uhla uhla. interval od 0 do 90 stupňov pre väčšie pohodlie pri výpočtoch.
Vzorce na redukciu funkcií pre sínus uhla vyzerajú takto:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = hriech α.
Pre kosínus uhla:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + a) = -cos a;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Použitie vyššie uvedených vzorcov je možné pri dodržaní dvoch pravidiel. Po prvé, ak možno uhol znázorniť ako hodnotu (π/2 ± a) alebo (3π/2 ± a), hodnota funkcie sa zmení:
- od hriechu k cos;
- od cos k hriechu;
- od tg do ctg;
- z ctg do tg.
Hodnota funkcie zostáva nezmenená, ak možno uhol znázorniť ako (π ± a) alebo (2π ± a).
Po druhé, znamienko zníženej funkcie sa nemení: ak bolo pôvodne pozitívne, tak to zostane. To isté platí pre negatívne funkcie.
Vzorce na sčítanie
Tieto vzorce vyjadrujú hodnoty sínusu, kosínusu, tangensu a kotangens súčtu a rozdielu dvoch uhlov natočenia z hľadiska ich trigonometrických funkcií. Uhly sa zvyčajne označujú ako α a β.
Vzorce vyzerajú takto:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Tieto vzorce platia pre všetky uhly α a β.
Vzorce s dvojitým a trojitým uhlom
Goniometrické vzorce dvojitého a trojitého uhla sú vzorce, ktoré spájajú funkcie uhlov 2α a 3α s goniometrickými funkciami uhla α. Odvodené zo sčítacích vzorcov:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Prechod od sumy k produktu
Ak vezmeme do úvahy, že 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), zjednodušením tohto vzorca dostaneme identitu sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobne sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Prechod od produktu k sume
Tieto vzorce vyplývajú z identít pre prechod súčtu na súčin:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα* cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Redukčné vzorce
V týchto identitách môžu byť druhé mocniny a kubické mocniny sínusu a kosínusu vyjadrené ako sínus a kosínus prvej mocniny viacnásobného uhla:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Univerzálna náhrada
Univerzálne goniometrické substitučné vzorce vyjadrujú goniometrické funkcie ako tangens polovičného uhla.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), zatiaľ čo x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kde x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kde x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), zatiaľ čo x \u003d π + 2πn.
Špeciálne prípady
Konkrétne prípady najjednoduchších goniometrických rovníc sú uvedené nižšie (k je akékoľvek celé číslo).
Súkromné pre sínus:
| hodnota hriechu x | x hodnota |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk alebo 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk alebo -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk alebo 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk alebo -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk alebo 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk alebo -2π/3 + 2πk |
Kosínové kvocienty:
| hodnota cos x | x hodnota |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Súkromné pre dotyčnicu:
| hodnota tg x | x hodnota |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotangensové kvocienty:
| hodnota ctg x | x hodnota |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Vety
Sínusová veta
Existujú dve verzie vety - jednoduchá a rozšírená. Jednoduchá sínusová veta: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tomto prípade sú a, b, c strany trojuholníka a α, β, γ sú opačné uhly.
Rozšírená sínusová veta pre ľubovoľný trojuholník: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V tejto identite R označuje polomer kružnice, do ktorej je daný trojuholník vpísaný.
Kosínusová veta
Identita sa zobrazuje takto: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Vo vzorci sú a, b, c strany trojuholníka a α je uhol opačnej strany a.
Tangentová veta
Vzorec vyjadruje vzťah medzi dotyčnicami dvoch uhlov a dĺžkou strán proti nim. Strany sú označené a, b, c a zodpovedajúce opačné uhly sú α, β, γ. Vzorec tangensovej vety: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Kotangensová veta
Priradí polomer kružnice vpísanej trojuholníku k dĺžke jeho strán. Ak a, b, c sú strany trojuholníka a A, B, C sú ich opačné uhly, r je polomer vpísanej kružnice a p je polovica obvodu trojuholníka, nasledujúce identity držať:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Aplikácie
Trigonometria nie je len teoretická veda spojená s matematickými vzorcami. Jeho vlastnosti, vety a pravidlá využívajú v praxi rôzne odvetvia ľudskej činnosti – astronómia, letecká a námorná navigácia, hudobná teória, geodézia, chémia, akustika, optika, elektronika, architektúra, ekonómia, strojárstvo, meračské práce, počítačová grafika, kartografia, oceánografia a mnohé iné.
Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné pojmy trigonometrie, pomocou ktorých môžete matematicky vyjadriť vzťah medzi uhlami a dĺžkami strán v trojuholníku a nájsť požadované veličiny prostredníctvom identít, teorémov a pravidiel.
Myslím, že si zaslúžiš viac. Tu je môj kľúč k trigonometrii:
- Nakreslite kupolu, stenu a strop
- Goniometrické funkcie nie sú nič iné ako percentá týchto troch foriem.
Metafora pre sínus a kosínus: kupola
Namiesto toho, aby ste sa pozerali na samotné trojuholníky, predstavte si ich v akcii nájdením konkrétneho príkladu zo skutočného života.
Predstavte si, že ste uprostred kupoly a chcete zavesiť plátno filmového projektora. Ukážete prstom na kupolu v nejakom uhle "x" a z tohto bodu by mala byť zavesená obrazovka.
Uhol, na ktorý ukážete, určuje:
- sinus(x) = sin(x) = výška obrazovky (montážny bod od podlahy k kupole)
- cosine(x) = cos(x) = vzdialenosť od vás k obrazovke (podľa poschodia)
- prepona, vzdialenosť od vás k hornej časti obrazovky, vždy rovnaká, rovná sa polomeru kupoly
Chcete, aby bola obrazovka čo najväčšia? Zaveste to priamo nad seba.
Chcete, aby obrazovka visela čo najďalej od vás? Zaveste ho rovno kolmo. Obrazovka bude mať v tejto polohe nulovú výšku a bude visieť tak ďaleko, ako ste požadovali.
Výška a vzdialenosť od obrazovky sú nepriamo úmerné: čím bližšie bude obrazovka visieť, tým vyššia bude jej výška.
Sínus a kosínus sú percentá
Žiaľ, nikto počas môjho štúdia mi nevysvetlil, že goniometrické funkcie sínus a kosínus nie sú nič iné ako percentá. Ich hodnoty sa pohybujú od +100% do 0 až -100% alebo od kladného maxima po nulu po záporné maximum.
Povedzme, že som zaplatil daň 14 rubľov. Nevieš koľko to je. Ak si ale poviete, že som zaplatil 95 % na dani, pochopíte, že som bol jednoducho olúpaný ako lepkavý.
Absolútna výška nič neznamená. Ale ak je sínusová hodnota 0,95, potom chápem, že televízor visí takmer na vrchu vašej kupoly. Veľmi skoro dosiahne svoju maximálnu výšku v strede kupoly a potom začne opäť klesať.
Ako môžeme vypočítať toto percento? Veľmi jednoduché: vydeľte aktuálnu výšku obrazovky maximálnou možnou hodnotou (polomer kupoly, nazývaný aj prepona).
Preto hovorí sa nám, že „kosínus = opačná noha / prepona“. To všetko preto, aby ste získali percentá! Najlepší spôsob, ako definovať sínus, je „percento aktuálnej výšky z maximálnej možnej“. (Sínus sa stáva záporným, ak váš uhol smeruje „pod zem“. Kosínus sa stáva záporným, ak uhol ukazuje na kopulovitý bod za vami.)
Zjednodušme výpočty za predpokladu, že sme v strede jednotkovej kružnice (polomer = 1). Delenie môžeme preskočiť a vezmeme si sínus rovný výške.
Každý kruh je v skutočnosti jeden, zväčšený alebo zmenšený na požadovanú veľkosť. Takže určite vzťahy na jednotkovej kružnici a aplikujte výsledky na vašu konkrétnu veľkosť kruhu.
Experiment: vezmite ľubovoľný roh a zistite, aké percento výšky k šírke sa zobrazuje:
Graf rastu hodnoty sínusu nie je len priamka. Prvých 45 stupňov pokrýva 70% výšky a posledných 10 stupňov (od 80° do 90°) pokrýva len 2%.
To vám bude jasnejšie: ak idete v kruhu, pri 0 ° stúpate takmer kolmo, ale ako sa blížite k vrcholu kupoly, výška sa mení čoraz menej.
Tangenta a sečna. Stena
Jedného dňa sused postavil múr presne chrbtom k sebe do tvojej kupole. Preplakal si výhľad z okna a dobrú predajnú cenu!
Je však možné v tejto situácii nejako vyhrať?
Samozrejme áno. Čo ak zavesíme filmové plátno priamo na susedovu stenu? Zamierite na roh (x) a získate:
- tan(x) = tan(x) = výška obrazovky na stene
- vzdialenosť od vás k stene: 1 (toto je polomer vašej kupoly, stena sa od vás nikam neposúva, však?)
- secant(x) = sec(x) = „dĺžka rebríka“ od vás stojaceho v strede kupoly po vrch zavesenej zásteny
Vyjasnime si pár vecí o dotyčnici alebo výške obrazovky.
- začína na 0 a môže ísť nekonečne vysoko. Obrazovku môžete na stenu natiahnuť stále vyššie a získate tak len nekonečné plátno na sledovanie vášho obľúbeného filmu! (Na taký obrovský, samozrejme, budete musieť minúť veľa peňazí).
- dotyčnica je len zväčšená verzia sínusu! A zatiaľ čo rast sínusu sa spomaľuje, keď sa pohybujete smerom k vrcholu kupoly, dotyčnica naďalej rastie!
Sekansu sa má tiež čím pochváliť:
- sečna začína na 1 (rebrík je na podlahe, od vás smerom k stene) a odtiaľ začína stúpať
- Sečna je vždy dlhšia ako dotyčnica. Šikmý rebrík, na ktorý zavesíte obrazovku, musí byť dlhší ako samotná obrazovka, však? (V nereálnych veľkostiach, keď je zástena táááák dlhá a rebrík treba umiestniť takmer zvislo, sú ich veľkosti takmer rovnaké. Ale aj tak bude sečnica trochu dlhšia).
Pamätajte, že hodnoty sú percent. Ak sa rozhodnete zavesiť obrazovku pod uhlom 50 stupňov, tan(50)=1,19. Vaša obrazovka je o 19 % väčšia ako vzdialenosť od steny (polomer kupoly).
(Zadajte x=0 a otestujte svoju intuíciu - tan(0) = 0 a sek(0) = 1.)
Kotangens a kosekans. Strop
Je neuveriteľné, že váš sused sa teraz rozhodol postaviť strop nad vašou kupolou. (Čo je s ním? Zrejme nechce, aby ste naňho nakukovali, keď sa bude prechádzať po dvore nahý...)
No je čas postaviť východ na strechu a porozprávať sa so susedom. Vyberiete si uhol sklonu a začnete stavať:
- vertikálna vzdialenosť medzi strešným výstupom a podlahou je vždy 1 (polomer kupoly)
- kotangens(x) = cot(x) = vzdialenosť medzi vrcholom kupoly a výstupným bodom
- cosecant(x) = csc(x) = dĺžka vašej cesty na strechu
Tangenta a sečna opisujú stenu, zatiaľ čo kotangensa a kosekans opisujú podlahu.
Naše intuitívne závery sú tentokrát podobné tým predchádzajúcim:
- Ak zoberiete uhol 0°, váš výstup na strechu bude trvať večnosť, pretože nikdy nedosiahne strop. Problém.
- Najkratšie „schodisko“ na strechu získate, ak ho postavíte pod uhlom 90 stupňov k podlahe. Kotangens sa bude rovnať 0 (po streche sa vôbec nepohybujeme, vychádzame striktne kolmo) a kosekant sa bude rovnať 1 („dĺžka rebríka“ bude minimálna).
Vizualizujte spojenia
Ak sú všetky tri prípady nakreslené v kombinácii kupola-stena-podlaha, získate nasledovné:
No, wow, je to všetko rovnaký trojuholník, zväčšený tak, aby dosiahol na stenu a strop. Máme vertikálne strany (sínus, tangens), horizontálne strany (kosínus, kotangens) a „hypotenusy“ (sekant, kosekans). (Podľa šípok môžete vidieť, ako ďaleko každý prvok dosahuje. Kosekant je celková vzdialenosť od vás k streche).
Trochu mágie. Všetky trojuholníky majú rovnakú rovnosť:
Z Pytagorovej vety (a 2 + b 2 = c 2) vidíme, ako sú strany každého trojuholníka spojené. Okrem toho musia byť pomery výšky a šírky rovnaké pre všetky trojuholníky. (Stačí odstúpiť od najväčšieho trojuholníka k menšiemu. Áno, veľkosť sa zmenila, ale proporcie strán zostanú rovnaké).
Keď vieme, ktorá strana v každom trojuholníku je 1 (polomer kupoly), môžeme ľahko vypočítať, že "sin/cos = tan/1".
Vždy som sa snažil zapamätať si tieto skutočnosti prostredníctvom jednoduchej vizualizácie. Na obrázku môžete jasne vidieť tieto závislosti a pochopiť, odkiaľ pochádzajú. Táto technika je oveľa lepšia ako zapamätanie si suchých vzorcov.
Nezabudnite na iné uhly
Pst... Netreba sa zavesiť na jeden graf, mysliac si, že dotyčnica je vždy menšia ako 1. Ak zväčšíte uhol, môžete dosiahnuť strop bez toho, aby ste sa dostali na stenu:
Pythagorejské spojenia vždy fungujú, ale relatívne veľkosti sa môžu líšiť.
(Pravdepodobne ste si všimli, že pomer sínusu a kosínusu je vždy najmenší, pretože sú uzavreté v kupole.)
Aby som to zhrnul: čo si musíme zapamätať?
Pre väčšinu z nás by som povedal, že toto bude stačiť:
- trigonometria vysvetľuje anatómiu matematických objektov, ako sú kruhy a opakujúce sa intervaly
- analógia kupola/stena/strecha ukazuje vzťah medzi rôznymi trigonometrickými funkciami
- výsledkom goniometrických funkcií sú percentá, ktoré aplikujeme na náš scenár.
Nemusíte si pamätať vzorce ako 1 2 + detská postieľka 2 = csc 2 . Hodia sa len na hlúpe testy, v ktorých sa znalosť skutočnosti prezentuje ako jej pochopenie. Venujte chvíľu tomu, aby ste nakreslili polkruh v podobe kupoly, steny a strechy, podpíšte prvky a všetky vzorce budú od vás žiadané na papieri.
Aplikácia: Inverzné funkcie
Akákoľvek goniometrická funkcia berie ako vstup uhol a vracia výsledok v percentách. sin(30) = 0,5. To znamená, že uhol 30 stupňov zaberá 50 % maximálnej výšky.
Inverzná goniometrická funkcia sa zapisuje ako sin -1 alebo arcsin („arxín“). Často je tiež napísaný v rôznych programovacích jazykoch.
Ak je naša výška 25% výšky kupoly, aký je náš uhol?
V našej tabuľke proporcií nájdete pomer, v ktorom je sečna delená 1. Napríklad sečna o 1 (prepona k horizontále) sa bude rovnať 1 delenej kosínusom:
Povedzme, že náš sekant je 3,5, t.j. 350 % polomeru jednotkovej kružnice. Akému uhlu sklonu k stene zodpovedá táto hodnota?
Dodatok: Niekoľko príkladov
Príklad: Nájdite sínus uhla x.
Nudná úloha. Skomplikujme banálne „nájdi sínus“ na „Aká je výška ako percento z maxima (hypotenza)?“.
Najprv si všimnite, že trojuholník je otočený. Na tom nie je nič zlé. Trojuholník má aj výšku, na obrázku je znázornený zelenou farbou.
Čomu sa rovná prepona? Podľa Pytagorovej vety vieme, že:
3 2 + 4 2 = prepona 2 25 = prepona 2 5 = prepona
Dobre! Sínus je percento výšky z najdlhšej strany trojuholníka alebo prepony. V našom príklade je sínus 3/5 alebo 0,60.
Samozrejme, môžeme ísť niekoľkými spôsobmi. Teraz vieme, že sínus je 0,60 a môžeme jednoducho nájsť arcsínus:
Asín (0,6) = 36,9
A tu je ďalší prístup. Všimnite si, že trojuholník je "tvárou v tvár k stene", takže namiesto sínusu môžeme použiť tangens. Výška je 3, vzdialenosť od steny je 4, takže dotyčnica je ¾ alebo 75%. Arkustangens môžeme použiť na prechod z percent späť na uhol:
Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Príklad: Budete plávať na breh?
Ste na lodi a máte dostatok paliva na preplávanie 2 km. Teraz ste 0,25 km od pobrežia. V akom maximálnom uhle k brehu k nemu môžete doplávať, aby ste mali dostatok paliva? Dodatok k podmienke problému: máme len tabuľku hodnôt oblúkového kosínusu.
čo máme? Pobrežie môže byť znázornené ako „stena“ v našom slávnom trojuholníku a „dĺžka schodov“ pripevnených k stene môže byť reprezentovaná ako maximálna možná vzdialenosť loďou od pobrežia (2 km). Objaví sa sekant.
Najprv musíte prejsť na percentá. Máme 2 / 0,25 = 8, čo znamená, že môžeme plávať 8-násobok priamej vzdialenosti k brehu (alebo k stene).
Vynára sa otázka „Čo je to sekant 8?“. Ale na to nemôžeme dať odpoveď, pretože máme iba oblúkové kosínusy.
Používame naše predtým odvodené závislosti na mapovanie sekantu na kosínus: „sec/1 = 1/cos“
Sekans 8 sa rovná kosínusu ⅛. Uhol, ktorého kosínus je ⅛, je acos(1/8) = 82,8. A to je najväčší uhol, ktorý si na lodi s uvedeným množstvom paliva môžeme dovoliť.
Nie je to zlé, však? Bez analógie kupola-stena-strop by som bol zmätený v množstve vzorcov a výpočtov. Vizualizácia problému výrazne zjednodušuje hľadanie riešenia, okrem toho je zaujímavé sledovať, ktorá goniometrická funkcia nakoniec pomôže.
Pri každej úlohe premýšľajte takto: zaujíma ma kupola (sin/cos), stena (tan/sec) alebo strop (cot/csc)?
A trigonometria bude oveľa príjemnejšia. Jednoduché výpočty pre vás!
Tam, kde sa zvažovali úlohy na riešenie pravouhlého trojuholníka, som sľúbil predstaviť techniku na zapamätanie si definícií sínusu a kosínusu. Pomocou nej si vždy rýchlo zapamätáte, ktorá noha patrí do prepony (susednej alebo opačnej). Rozhodla som sa to neodkladať na neurčito, potrebný materiál je nižšie, prečítajte si ho 😉
Faktom je, že som opakovane pozoroval, ako žiaci 10. – 11. ročníka majú problém zapamätať si tieto definície. Veľmi dobre si pamätajú, že noha odkazuje na preponu, ale na ktorú- zabudnúť a zmätený. Cenou za chybu, ako viete na skúške, je stratené skóre.
Informácie, ktoré uvediem priamo do matematiky, nemajú nič spoločné. Je spojená s obrazným myslením a metódami verbálno-logického spojenia. Presne tak, ja sám som si raz a navždy spomenuldefiničné údaje. Ak ich stále zabudnete, pomocou prezentovaných techník je vždy ľahké si ich zapamätať.
Dovoľte mi pripomenúť vám definície sínusov a kosínusov v pravouhlom trojuholníku:
Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone:
Sinus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone:
Aké asociácie vo vás teda vyvoláva slovo kosínus?
Asi každý má tú svojuZapamätajte si odkaz:
Takto budete mať okamžite v pamäti výraz -
«… pomer priľahlej nohy k prepone».
Problém s definíciou kosínusu je vyriešený.
Ak si potrebujete zapamätať definíciu sínusu v pravouhlom trojuholníku a potom si zapamätať definíciu kosínusu, môžete ľahko zistiť, že sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone. Koniec koncov, existujú iba dve nohy, ak je susedná noha „obsadená“ kosínusom, pre sínus zostáva iba opačná strana.
A čo tangens a kotangens? Rovnaký zmätok. Študenti vedia, že ide o pomer nôh, ale problém je zapamätať si, ktorá sa vzťahuje na ktorú – buď opačne k susednej, alebo naopak.
Definície:
Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k susednej vetve:
Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej nohy k opačnej strane:
Ako si zapamätať? Sú dva spôsoby. Jeden používa aj verbálno-logické spojenie, druhý - matematický.
MATEMATICKÁ METÓDA
Existuje taká definícia - dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:
* Keď si pamätáte vzorec, môžete vždy určiť, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomerom protiľahlej vetvy k susednej.
Podobne.Kotangens ostrého uhla je pomer kosínusu uhla k jeho sínusu:
Takže! Zapamätaním si týchto vzorcov môžete vždy určiť, že:
- dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k susednej
- kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k protiľahlej.
VERBÁLNO-LOGICKÁ METÓDA
O dotyčnici. Zapamätajte si odkaz:
To znamená, že ak si potrebujete zapamätať definíciu dotyčnice, pomocou tohto logického spojenia si ľahko zapamätáte, čo to je
"... pomer protiľahlej nohy k susednej"
Pokiaľ ide o kotangens, potom, keď si zapamätáte definíciu tangentu, môžete ľahko vyjadriť definíciu kotangensu -
"... pomer susednej nohy k opačnej"
Na stránke je zaujímavá technika na zapamätanie tangens a kotangens " Matematický tandem " pozri.
METÓDA UNIVERZÁLNA
Môžete len brúsiť.Ale ako ukazuje prax, vďaka verbálno-logickým spojeniam si človek dlho pamätá informácie, a to nielen matematické.
Dúfam, že materiál bol pre vás užitočný.
S pozdravom Alexander Krutitskikh
P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.
