Koncept matematického očakávania možno zvážiť na príklade hodu kockou. Pri každom hode sa zaznamenávajú spadnuté body. Na ich vyjadrenie sa používajú prirodzené hodnoty v rozmedzí 1 - 6.

Po určitom počte hodov môžete pomocou jednoduchých výpočtov nájsť aritmetický priemer bodov, ktoré padli.

Okrem vypustenia ktorejkoľvek z hodnôt rozsahu bude táto hodnota náhodná.

A ak niekoľkokrát zvýšite počet hodov? Pri veľkom počte hodov sa aritmetický priemer bodov priblíži k určitému číslu, ktoré sa v teórii pravdepodobnosti nazýva matematické očakávanie.

Matematické očakávanie sa teda chápe ako priemerná hodnota náhodnej premennej. Tento ukazovateľ možno prezentovať aj ako vážený súčet pravdepodobných hodnôt.

Tento pojem má niekoľko synoným:

• priemerný;
• priemerná hodnota;
• centrálny trendový indikátor;
• prvý moment.

Inými slovami, nie je to nič iné ako číslo, okolo ktorého sú rozdelené hodnoty náhodnej premennej.

V rôznych sférach ľudskej činnosti budú prístupy k pochopeniu matematického očakávania trochu odlišné.

Dá sa na to pozerať takto:

• priemerný prospech získaný z prijatia rozhodnutia v prípade, ak sa takéto rozhodnutie posudzuje z hľadiska teórie veľkých čísel;
• možnú výšku výhry alebo prehry (teória hazardu), vypočítanú v priemere pre každú zo stávok. V slangu znejú ako „výhoda hráča“ (pozitívna pre hráča) alebo „výhoda kasína“ (negatíva pre hráča);
• percento zisku získaného z výhier.

Matematické očakávanie nie je povinné pre absolútne všetky náhodné premenné. Chýba pre tých, ktorí majú nezrovnalosť v zodpovedajúcom súčte alebo integráli.

Vlastnosti očakávania

Ako každý štatistický parameter, aj matematické očakávanie má nasledujúce vlastnosti:

Základné vzorce pre matematické očakávania

Výpočet matematického očakávania možno vykonať pre náhodné premenné charakterizované ako spojitosťou (vzorec A), tak aj diskrétnosťou (vzorec B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, kde xi sú hodnoty náhodnej premennej, pi sú pravdepodobnosti:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, kde f(x) je daná hustota pravdepodobnosti.

Príklady výpočtu matematického očakávania

Príklad A.

Je možné zistiť priemernú výšku škriatkov v rozprávke o Snehulienke. Je známe, že každý zo 7 gnómov mal určitú výšku: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 a 0,81 m.

Algoritmus výpočtu je pomerne jednoduchý:

• nájdite súčet všetkých hodnôt ukazovateľa rastu (náhodná premenná):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Výsledné množstvo sa vydelí počtom škriatkov:
  6,31:7=0,90.

Priemerná výška škriatkov v rozprávke je teda 90 cm Inými slovami, toto je matematické očakávanie rastu škriatkov.

Pracovný vzorec - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Praktická implementácia matematického očakávania

Výpočet štatistického ukazovateľa matematického očakávania sa používa v rôznych oblastiach praktickej činnosti. V prvom rade hovoríme o komerčnej sfére. Zavedenie tohto ukazovateľa Huygensom totiž súvisí s určením šancí, ktoré môžu byť pre nejakú udalosť priaznivé, alebo naopak nepriaznivé.

Tento parameter je široko používaný na hodnotenie rizika, najmä pokiaľ ide o finančné investície.
Takže v podnikaní funguje výpočet matematického očakávania ako metóda na hodnotenie rizika pri výpočte cien.

Tento ukazovateľ možno použiť aj pri výpočte účinnosti určitých opatrení, napríklad na ochranu práce. Vďaka nemu môžete vypočítať pravdepodobnosť výskytu udalosti.

Ďalšou oblasťou použitia tohto parametra je správa. Dá sa vypočítať aj pri kontrole kvality produktu. Napríklad pomocou mat. očakávania, môžete vypočítať možný počet výrobných chybných dielov.

Matematické očakávania sú nevyhnutné aj v priebehu štatistického spracovania výsledkov získaných v rámci vedeckého výskumu. Umožňuje tiež vypočítať pravdepodobnosť požadovaného alebo nežiaduceho výsledku experimentu alebo štúdie v závislosti od úrovne dosiahnutia cieľa. Koniec koncov, jeho dosiahnutie môže byť spojené so ziskom a prospechom a jeho nedosiahnutie - ako strata alebo strata.

Použitie matematických očakávaní na Forexe

Praktická aplikácia tohto štatistického parametra je možná pri vykonávaní transakcií na devízovom trhu. Môže sa použiť na analýzu úspešnosti obchodných transakcií. Navyše, zvýšenie hodnoty očakávania naznačuje zvýšenie ich úspechu.

Je tiež dôležité pamätať na to, že matematické očakávania by sa nemali považovať za jediný štatistický parameter používaný na analýzu výkonnosti obchodníka. Použitie niekoľkých štatistických parametrov spolu s priemernou hodnotou občas zvyšuje presnosť analýzy.

Tento parameter sa dobre osvedčil pri sledovaní obchodných účtov. Vďaka nemu sa vykonáva rýchle posúdenie práce vykonanej na vkladovom účte. V prípadoch, keď je činnosť obchodníka úspešná a vyhýba sa stratám, sa neodporúča používať iba výpočet matematického očakávania. V týchto prípadoch sa neberú do úvahy riziká, čo znižuje účinnosť analýzy.

Vykonané štúdie taktiky obchodníkov naznačujú, že:

• najúčinnejšia je taktika založená na náhodnom vstupe;
• najmenej efektívne sú taktiky založené na štruktúrovaných vstupoch.

Na dosiahnutie pozitívnych výsledkov je rovnako dôležité:

• taktiky hospodárenia s peniazmi;
• výstupné stratégie.

Pomocou takého ukazovateľa, akým je matematické očakávanie, môžeme predpokladať, aký bude zisk alebo strata pri investovaní 1 dolára. Je známe, že tento ukazovateľ, vypočítaný pre všetky hry praktizované v kasíne, je v prospech inštitúcie. To je to, čo vám umožňuje zarábať peniaze. V prípade dlhej série hier sa výrazne zvyšuje pravdepodobnosť straty peňazí zo strany klienta.

Hry profesionálnych hráčov sú obmedzené na krátke časové úseky, čo zvyšuje šancu na výhru a znižuje riziko prehry. Rovnaký model sa pozoruje pri vykonávaní investičných operácií.

Investor môže zarobiť značné množstvo s pozitívnym očakávaním a veľkým počtom transakcií v krátkom časovom období.

Očakávanie si možno predstaviť ako rozdiel medzi percentom zisku (PW) krát priemerný zisk (AW) a pravdepodobnosťou straty (PL) krát priemerná strata (AL).

Ako príklad zvážte nasledovné: pozícia - 12,5 tisíc dolárov, portfólio - 100 tisíc dolárov, riziko na vklad - 1%. Ziskovosť transakcií je 40 % prípadov s priemerným ziskom 20 %. V prípade straty je priemerná strata 5 %. Výpočet matematického očakávania pre obchod dáva hodnotu 625 USD.

Matematické očakávanie je rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej

Matematické očakávanie, definícia, matematické očakávanie diskrétnych a spojitých náhodných veličín, selektívne, podmienené očakávanie, výpočet, vlastnosti, úlohy, odhad očakávania, rozptyl, distribučná funkcia, vzorce, príklady výpočtu

Rozbaliť obsah

Zbaliť obsah

Matematické očakávanie je definícia

Jeden z najdôležitejších pojmov v matematickej štatistike a teórii pravdepodobnosti, charakterizujúci rozdelenie hodnôt alebo pravdepodobnosti náhodnej premennej. Zvyčajne sa vyjadruje ako vážený priemer všetkých možných parametrov náhodnej premennej. Je široko používaný v technickej analýze, štúdiu číselných radov, štúdiu kontinuálnych a dlhodobých procesov. Má význam pri hodnotení rizík, predikcii cenových ukazovateľov pri obchodovaní na finančných trhoch a využíva sa pri vývoji stratégií a metód hernej taktiky v teórii hazardných hier.

Matematické očakávanie je stredná hodnota náhodnej premennej sa v teórii pravdepodobnosti uvažuje o rozdelení pravdepodobnosti náhodnej premennej.

Matematické očakávanie je miera strednej hodnoty náhodnej premennej v teórii pravdepodobnosti. Matematické očakávanie náhodnej premennej X označené M(x).

Matematické očakávanie je

Matematické očakávanie je v teórii pravdepodobnosti vážený priemer všetkých možných hodnôt, ktoré môže táto náhodná premenná nadobudnúť.

Matematické očakávanie je súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej pravdepodobnosti týchto hodnôt.

Matematické očakávanie je priemerný úžitok z konkrétneho rozhodnutia za predpokladu, že takéto rozhodnutie možno uvažovať v rámci teórie veľkých čísel a veľkej vzdialenosti.

Matematické očakávanie je v teórii hazardných hier výška výhier, ktoré môže hráč v priemere zarobiť alebo stratiť za každú stávku. V gamblerskej reči sa to niekedy označuje ako „hra hráča“ (ak je pre hráča pozitívna) alebo „výhoda domu“ (ak je pre hráča negatívna).

Matematické očakávanie je Percento zisku na výhru vynásobené priemerným ziskom mínus pravdepodobnosť straty vynásobená priemernou stratou.

Matematické očakávanie náhodnej premennej v matematickej teórii

Jednou z dôležitých numerických charakteristík náhodnej premennej je matematické očakávanie. Predstavme si koncept systému náhodných premenných. Zvážte súbor náhodných premenných, ktoré sú výsledkom toho istého náhodného experimentu. Ak je jednou z možných hodnôt systému, potom udalosť zodpovedá určitej pravdepodobnosti, ktorá spĺňa Kolmogorovove axiómy. Funkcia definovaná pre všetky možné hodnoty náhodných premenných sa nazýva zákon spoločného rozdelenia. Táto funkcia vám umožňuje vypočítať pravdepodobnosti akýchkoľvek udalostí. Ide najmä o spoločný zákon rozdelenia náhodných premenných, ktoré nadobúdajú hodnoty z množiny a sú dané pravdepodobnosťami.

Pojem „očakávania“ zaviedol Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) a vznikol z pojmu „očakávaná hodnota odmeny“, ktorý sa prvýkrát objavil v 17. storočí v teórii hazardných hier v dielach Blaise Pascala a Christiana Huygensa. . Prvé úplné teoretické pochopenie a zhodnotenie tohto konceptu však podal Pafnuty Ľvovič Čebyšev (polovica 19. storočia).

Zákon rozdelenia náhodných numerických premenných (distribučná funkcia a distribučný rad alebo hustota pravdepodobnosti) úplne popisuje správanie náhodnej premennej. Ale v mnohých problémoch stačí poznať niektoré číselné charakteristiky skúmanej veličiny (napríklad jej priemernú hodnotu a prípadnú odchýlku od nej), aby sme odpovedali na položenú otázku. Hlavnými numerickými charakteristikami náhodných premenných sú matematické očakávania, rozptyl, modus a medián.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom produktov jej možných hodnôt a ich zodpovedajúcich pravdepodobností. Niekedy sa matematické očakávanie nazýva vážený priemer, pretože sa približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej počas veľkého počtu experimentov. Z definície matematického očakávania vyplýva, že jeho hodnota nie je menšia ako najmenšia možná hodnota náhodnej premennej a nie väčšia ako najväčšia. Matematické očakávanie náhodnej premennej je nenáhodná (konštantná) premenná.

Matematické očakávanie má jednoduchý fyzikálny význam: ak je jednotková hmotnosť umiestnená na priamke, umiestnením nejakej hmoty do niektorých bodov (pre diskrétne rozdelenie) alebo jej „rozmazaním“ určitou hustotou (pre absolútne spojité rozdelenie), potom bod zodpovedajúci matematickému očakávaniu bude priamočiara súradnica "ťažiska".

Priemerná hodnota náhodnej premennej je určité číslo, ktoré je akoby jej „reprezentantom“ a nahrádza ho v hrubých približných výpočtoch. Keď povieme: „priemerná doba prevádzky lampy je 100 hodín“ alebo „priemerný bod dopadu je posunutý vzhľadom na cieľ o 2 m doprava“, označujeme tým určitú číselnú charakteristiku náhodnej premennej, ktorá popisuje jej umiestnenie na číselnej osi, t.j. popis pozície.

Z charakteristík pozície v teórii pravdepodobnosti zohráva najdôležitejšiu úlohu matematické očakávanie náhodnej premennej, ktorá sa niekedy nazýva jednoducho priemerná hodnota náhodnej premennej.

Zvážte náhodnú premennú X, ktorý má možné hodnoty x1, x2, …, xn s pravdepodobnosťami p1, p2, …, pn. Musíme charakterizovať nejakým číslom polohu hodnôt náhodnej premennej na osi x, berúc do úvahy skutočnosť, že tieto hodnoty majú rôzne pravdepodobnosti. Na tento účel je prirodzené použiť takzvaný „vážený priemer“ hodnôt xi a každá hodnota xi počas spriemerovania by sa mala brať do úvahy s „váhou“ úmernou pravdepodobnosti tejto hodnoty. Vypočítame teda priemer náhodnej premennej X, ktorý budeme označovať M|X|:

Tento vážený priemer sa nazýva matematické očakávanie náhodnej premennej. Preto sme uviedli do úvahy jeden z najdôležitejších konceptov teórie pravdepodobnosti – koncept matematického očakávania. Matematické očakávanie náhodnej premennej je súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a pravdepodobnosti týchto hodnôt.

X kvôli zvláštnej závislosti s aritmetickým priemerom pozorovaných hodnôt náhodnej premennej s veľkým počtom experimentov. Táto závislosť je rovnakého typu ako závislosť medzi frekvenciou a pravdepodobnosťou, a to: pri veľkom počte experimentov sa aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej približuje (pravdepodobne konverguje) k jej matematickému očakávaniu. Z prítomnosti vzťahu medzi frekvenciou a pravdepodobnosťou možno v dôsledku toho odvodiť existenciu podobného vzťahu medzi aritmetickým priemerom a matematickým očakávaním. Skutočne, zvážte náhodnú premennú X, charakterizovaný radom distribúcií:

Nech sa vyrába N nezávislé experimenty, v každom z nich hodnotu X nadobúda určitú hodnotu. Predpokladajme hodnotu x1 objavil m1 krát, hodnota x2 objavil m2časy, všeobecný význam xi objavil sa mi krát. Vypočítajme aritmetický priemer pozorovaných hodnôt X, ktoré na rozdiel od matematického očakávania M|X| budeme označovať M*|X|:

S nárastom počtu experimentov N frekvencie pi sa bude približovať (pravdepodobne konvergovať) zodpovedajúcim pravdepodobnostiam. Preto aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej M|X| s nárastom počtu experimentov sa bude približovať (pravdepodobne konvergovať) k svojmu matematickému očakávaniu. Spojenie medzi aritmetickým priemerom a matematickým očakávaním formulovaným vyššie tvorí obsah jednej z foriem zákona veľkých čísel.

Už vieme, že všetky formy zákona veľkých čísel uvádzajú skutočnosť, že určité priemery sú stabilné počas veľkého počtu experimentov. Tu hovoríme o stabilite aritmetického priemeru zo série pozorovaní rovnakej hodnoty. Pri malom počte experimentov je aritmetický priemer ich výsledkov náhodný; pri dostatočnom zvýšení počtu experimentov sa stáva „takmer nie náhodným“ a stabilizujúc sa približuje konštantnej hodnote – matematickému očakávaniu.

Vlastnosť stability priemerov pre veľký počet experimentov je ľahko overiteľná experimentálne. Napríklad pri vážení akéhokoľvek telesa v laboratóriu na presných váhach dostaneme ako výsledok váženia zakaždým novú hodnotu; na zníženie chyby pozorovania teleso niekoľkokrát odvážime a použijeme aritmetický priemer získaných hodnôt. Je ľahké vidieť, že s ďalším zvyšovaním počtu experimentov (vážení) aritmetický priemer na tento nárast stále menej reaguje a pri dostatočne veľkom počte experimentov sa prakticky prestáva meniť.

Je potrebné poznamenať, že najdôležitejšia charakteristika pozície náhodnej premennej - matematické očakávanie - neexistuje pre všetky náhodné premenné. Je možné zostaviť príklady takých náhodných premenných, pre ktoré neexistuje matematické očakávanie, pretože príslušný súčet alebo integrál sa líšia. Pre prax však takéto prípady nie sú veľmi zaujímavé. Náhodné premenné, s ktorými sa zaoberáme, majú zvyčajne obmedzený rozsah možných hodnôt a, samozrejme, majú očakávania.

Okrem najdôležitejších charakteristík polohy náhodnej premennej - matematického očakávania, sa v praxi niekedy používajú aj ďalšie charakteristiky polohy, najmä modus a medián náhodnej premennej.

Mód náhodnej premennej je jej najpravdepodobnejšou hodnotou. Výraz „najpravdepodobnejšia hodnota“ sa v prísnom zmysle vzťahuje len na nespojité množstvá; pre spojitú veličinu je mod hodnota, pri ktorej je hustota pravdepodobnosti maximálna. Obrázky znázorňujú režim pre nespojité a spojité náhodné veličiny.

Ak má distribučný polygón (distribučná krivka) viac ako jedno maximum, distribúcia sa nazýva „polymodálna“.

Niekedy existujú distribúcie, ktoré majú v strede nie maximum, ale minimum. Takéto distribúcie sa nazývajú "antimodálne".

Vo všeobecnom prípade sa režim a matematické očakávanie náhodnej premennej nezhodujú. V konkrétnom prípade, keď je rozdelenie symetrické a modálne (t. j. má mód) a existuje matematické očakávanie, potom sa zhoduje s módom a stredom symetrie rozdelenia.

Často sa používa aj ďalšia charakteristika pozície – takzvaný medián náhodnej premennej. Táto charakteristika sa zvyčajne používa len pre spojité náhodné premenné, hoci ju možno formálne definovať aj pre nespojitú premennú. Geometricky je medián úsečkou bodu, v ktorom je oblasť ohraničená distribučnou krivkou rozpolená.

V prípade symetrického modálneho rozdelenia sa medián zhoduje s priemerom a modálom.

Matematické očakávanie je priemerná hodnota náhodnej premennej – číselná charakteristika rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej. Vo všeobecnosti ide o matematické očakávanie náhodnej premennej X(w) je definovaný ako Lebesgueov integrál vzhľadom na mieru pravdepodobnosti R v pôvodnom pravdepodobnostnom priestore:

Matematické očakávanie možno vypočítať aj ako Lebesgueov integrál X podľa rozdelenia pravdepodobnosti px množstvá X:

Prirodzeným spôsobom je možné definovať pojem náhodnej premennej s nekonečným matematickým očakávaním. Typickým príkladom sú časy návratu pri niektorých náhodných prechádzkach.

Pomocou matematického očakávania sa určuje veľa číselných a funkčných charakteristík rozdelenia (ako matematické očakávanie zodpovedajúcich funkcií náhodnej premennej), napríklad generujúca funkcia, charakteristická funkcia, momenty ľubovoľného rádu, najmä rozptyl. , kovariancia.

Matematické očakávanie je charakteristikou umiestnenia hodnôt náhodnej premennej (priemerná hodnota jej distribúcie). V tejto funkcii slúži matematické očakávanie ako nejaký "typický" distribučný parameter a jeho úloha je podobná úlohe statického momentu - súradnice ťažiska rozloženia hmoty - v mechanike. Od ostatných charakteristík miesta, pomocou ktorých je distribúcia popísaná vo všeobecných pojmoch - mediány, mody, sa matematické očakávanie líši vo väčšej hodnote, ktorú má ona a zodpovedajúca charakteristika rozptylu - disperzia - v limitných vetách teórie pravdepodobnosti. . S najväčšou úplnosťou odhaľuje zmysel matematického očakávania zákon veľkých čísel (Čebyševova nerovnosť) a zosilnený zákon veľkých čísel.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Nech existuje nejaká náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť jednu z niekoľkých číselných hodnôt (napríklad počet bodov v hode kockou môže byť 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6). Často v praxi pri takejto hodnote vyvstáva otázka: akú hodnotu má „v priemere“ pri veľkom počte testov? Aký bude náš priemerný výnos (alebo strata) z každej z rizikových operácií?

Povedzme, že existuje nejaký druh lotérie. Chceme pochopiť, či je rentabilné sa na ňom zúčastniť (alebo sa ho zúčastniť opakovane, pravidelne). Povedzme, že každý štvrtý lístok vyhrá, cena bude 300 rubľov a cena každého lístka bude 100 rubľov. Pri nekonečnom počte účastí sa to deje. V troch štvrtinách prípadov prehráme, každé tri straty budú stáť 300 rubľov. V každom štvrtom prípade vyhráme 200 rubľov. (cena mínus náklady), to znamená, že za štyri účasti stratíme v priemere 100 rubľov, za jednu - v priemere 25 rubľov. Celkovo bude priemerná sadzba našej ruiny 25 rubľov za lístok.

Hádžeme kockou. Ak nejde o podvádzanie (bez posunutia ťažiska a pod.), tak koľko bodov budeme mať v priemere naraz? Keďže každá možnosť je rovnako pravdepodobná, vezmeme hlúpy aritmetický priemer a dostaneme 3,5. Keďže ide o PRIEMER, netreba sa rozhorčovať, že žiaden konkrétny hod nedá 3,5 bodu – no, táto kocka nemá tvár s takým číslom!

Teraz si zhrňme naše príklady:

Pozrime sa na obrázok vyššie. Vľavo je tabuľka rozdelenia náhodnej premennej. Hodnota X môže nadobudnúť jednu z n možných hodnôt (uvedených v hornom riadku). Iné hodnoty nemôžu byť. Pod každou možnou hodnotou je nižšie podpísaná jej pravdepodobnosť. Vpravo je vzorec, kde M(X) sa nazýva matematické očakávanie. Význam tejto hodnoty je v tom, že pri veľkom počte pokusov (s veľkou vzorkou) bude priemerná hodnota smerovať práve k tomuto matematickému očakávaniu.

Vráťme sa k tej istej hracej kocke. Matematicky očakávaný počet bodov v hode je 3,5 (vypočítajte si sami pomocou vzorca, ak tomu neveríte). Povedzme, že ste to párkrát hodili. Vypadli 4 a 6. V priemere vyšlo 5, teda ďaleko od 3,5. Hodili to znova, vypadli 3, teda v priemere (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Akosi ďaleko od matematického očakávania. Teraz urobte bláznivý experiment - hoďte kockou 1000-krát! A ak priemer nebude presne 3,5, tak sa k tomu bude blížiť.

Vypočítajme matematické očakávanie pre vyššie opísanú lotériu. Tabuľka bude vyzerať takto:

Potom bude matematické očakávanie, ako sme uviedli vyššie.:

Ďalšia vec je, že je to aj "na prstoch", bez vzorca by to bolo ťažké, keby bolo viac možností. Povedzme, že 75 % prehralo, 20 % vyhralo a 5 % vyhralo.

Teraz niektoré vlastnosti matematického očakávania.

Je ľahké to dokázať:

Konštantný multiplikátor možno odstrániť zo znamenia očakávania, to znamená:

Toto je špeciálny prípad vlastnosti linearity matematického očakávania.

Ďalší dôsledok linearity matematického očakávania:

to znamená, že matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní náhodných premenných.

Nech X, Y sú nezávislé náhodné premenné, potom:

To sa dá tiež ľahko dokázať) XY sama o sebe je náhodná premenná, zatiaľ čo ak počiatočné hodnoty môžu nadobudnúť n a m hodnoty, resp XY môže nadobúdať hodnoty nm. Pravdepodobnosť každej z hodnôt sa vypočíta na základe skutočnosti, že pravdepodobnosti nezávislých udalostí sa vynásobia. V dôsledku toho dostaneme toto:

Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej

Spojité náhodné veličiny majú takú charakteristiku, ako je hustota distribúcie (hustota pravdepodobnosti). V skutočnosti charakterizuje situáciu, že náhodná premenná preberá niektoré hodnoty z množiny reálnych čísel častejšie, niektoré - menej často. Zvážte napríklad tento graf:

Tu X- vlastne náhodná premenná, f(x)- hustota distribúcie. Súdiac podľa tohto grafu, počas experimentov, hodnota X bude často číslo blízke nule. šance prekročiť 3 alebo byť menej -3 skôr čisto teoretické.

Napríklad, existuje rovnomerné rozdelenie:

To je celkom v súlade s intuitívnym chápaním. Povedzme, že ak dostaneme veľa náhodných reálnych čísel s rovnomerným rozdelením, každý zo segmentov |0; 1| , potom by mal byť aritmetický priemer približne 0,5.

Aj tu sú aplikovateľné vlastnosti matematického očakávania - linearita atď., použiteľné pre diskrétne náhodné premenné.

Vzťah matematického očakávania s inými štatistickými ukazovateľmi

V štatistickej analýze spolu s matematickým očakávaním existuje systém vzájomne závislých ukazovateľov, ktoré odrážajú homogenitu javov a stabilitu procesov. Ukazovatele variácií často nemajú nezávislý význam a používajú sa na ďalšiu analýzu údajov. Výnimkou je variačný koeficient, ktorý charakterizuje homogenitu údajov, čo je cenná štatistická charakteristika.

Mieru variability či stability procesov v štatistickej vede možno merať pomocou viacerých ukazovateľov.

Najdôležitejším ukazovateľom charakterizujúcim variabilitu náhodnej premennej je Disperzia, ktorá najviac a bezprostredne súvisí s matematickým očakávaním. Tento parameter sa aktívne používa v iných typoch štatistických analýz (testovanie hypotéz, analýza vzťahov príčin a následkov atď.). Rovnako ako priemerná lineárna odchýlka, rozptyl tiež odráža rozsah, v akom sa údaje šíria okolo priemeru.

Je užitočné preložiť jazyk znakov do jazyka slov. Ukazuje sa, že rozptyl je priemerný štvorec odchýlok. To znamená, že najprv sa vypočíta priemerná hodnota, potom sa vezme rozdiel medzi každou pôvodnou a priemernou hodnotou, umocní sa, sčíta sa a potom sa vydelí počtom hodnôt v tejto populácii. Rozdiel medzi jednotlivou hodnotou a priemerom odráža mieru odchýlky. Umocňuje sa, aby sa zabezpečilo, že všetky odchýlky sa stanú výlučne kladnými číslami a aby sa zabránilo vzájomnému zrušeniu kladných a záporných odchýlok pri ich sčítaní. Potom, vzhľadom na druhú mocninu odchýlok, jednoducho vypočítame aritmetický priemer. Priemer - štvorec - odchýlky. Odchýlky sú umocnené na druhú a berie sa do úvahy priemer. Odpoveďou na čarovné slovíčko „rozptyl“ sú len tri slová.

Vo svojej čistej forme, ako je napríklad aritmetický priemer alebo index, sa však disperzia nepoužíva. Je to skôr pomocný a prechodný ukazovateľ, ktorý sa používa pre iné typy štatistických analýz. Nemá ani normálnu mernú jednotku. Súdiac podľa vzorca, ide o druhú mocninu pôvodnej dátovej jednotky.

Poďme zmerať náhodnú premennú N krát, napríklad desaťkrát meriame rýchlosť vetra a chceme zistiť priemernú hodnotu. Ako súvisí stredná hodnota s distribučnou funkciou?

Alebo hodíme kockou veľakrát. Počet bodov, ktoré vypadnú na kocke počas každého hodu, je náhodná premenná a môže nadobudnúť akékoľvek prirodzené hodnoty od 1 do 6. N smeruje k veľmi konkrétnemu číslu – matematickému očakávaniu Mx. V tomto prípade Mx = 3,5.

Ako táto hodnota vznikla? Vpustiť N skúšok n1 keď padne 1 bod, n2časy - 2 body a tak ďalej. Potom počet výsledkov, pri ktorých padol jeden bod:

Podobne pre výsledky, keď vypadli 2, 3, 4, 5 a 6 bodov.

Predpokladajme teraz, že poznáme distribučný zákon náhodnej premennej x, teda vieme, že náhodná premenná x môže nadobúdať hodnoty x1, x2, ..., xk s pravdepodobnosťami p1, p2, ... , pk.

Matematické očakávanie Mx náhodnej premennej x je:

Matematické očakávanie nie je vždy rozumným odhadom nejakej náhodnej premennej. Na odhad priemernej mzdy je teda rozumnejšie použiť pojem medián, teda takú hodnotu, aby bol rovnaký počet ľudí, ktorí dostávajú menej ako medián platu a viac.

Pravdepodobnosť p1, že náhodná premenná x je menšia ako x1/2 a pravdepodobnosť p2, že náhodná premenná x je väčšia ako x1/2, sú rovnaké a rovné 1/2. Medián nie je jednoznačne určený pre všetky distribúcie.

Štandardná alebo štandardná odchýlka v štatistike sa miera odchýlky pozorovaných údajov alebo súborov od hodnoty PRIEMERNE nazýva. Označuje sa písmenami s alebo s. Malá štandardná odchýlka znamená, že údaje sú zoskupené okolo priemeru, a veľká štandardná odchýlka znamená, že počiatočné údaje sú od neho vzdialené. Smerodajná odchýlka sa rovná druhej odmocnine veličiny nazývanej rozptyl. Je to priemer súčtu štvorcových rozdielov počiatočných údajov odchyľujúcich sa od priemeru. Smerodajná odchýlka náhodnej premennej je druhá odmocnina rozptylu:

Príklad. V testovacích podmienkach pri streľbe na cieľ vypočítajte rozptyl a štandardnú odchýlku náhodnej premennej:

Variácia- kolísanie, variabilita hodnoty atribútu v jednotkách populácie. Samostatné číselné hodnoty znaku, ktoré sa vyskytujú v skúmanej populácii, sa nazývajú varianty hodnôt. Nedostatočnosť priemernej hodnoty na úplnú charakterizáciu populácie si vyžaduje doplnenie priemerných hodnôt ukazovateľmi, ktoré umožňujú posúdiť typickosť týchto priemerov meraním fluktuácie (variácie) študovaného znaku. Variačný koeficient sa vypočíta podľa vzorca:

Variácia rozpätia(R) je rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami znaku v skúmanej populácii. Tento ukazovateľ poskytuje najvšeobecnejšiu predstavu o kolísaní študovaného znaku, pretože ukazuje rozdiel iba medzi extrémnymi hodnotami možností. Závislosť od extrémnych hodnôt atribútu dáva rozsahu variácií nestabilný, náhodný charakter.

Priemerná lineárna odchýlka je aritmetický priemer absolútnych (modulo) odchýlok všetkých hodnôt analyzovanej populácie od ich priemernej hodnoty:

Matematické očakávania v teórii hazardných hier

Matematické očakávanie je priemerná suma peňazí, ktorú môže hráč vyhrať alebo prehrať pri danej stávke. Toto je pre hráča veľmi dôležitý pojem, pretože je základom pre hodnotenie väčšiny herných situácií. Matematické očakávania sú tiež najlepším nástrojom na analýzu základných rozložení kariet a herných situácií.

Povedzme, že hráte o mince s priateľom a zakaždým urobíte rovnakú stávku 1 $, bez ohľadu na to, čo príde. Chvosty - vyhráte, hlavy - prehráte. Šanca, že sa to skončí, je jedna ku jednej a vy tipujete 1 až 1 dolár. Vaše matematické očakávania sú teda nulové, pretože Matematicky vzaté, nemôžete vedieť, či budete viesť alebo prehrávať po dvoch hodoch alebo po 200.

Váš hodinový zisk je nula. Hodinová výplata je suma peňazí, ktorú očakávate, že vyhráte za hodinu. Za hodinu si môžete hodiť mincou 500-krát, ale nevyhráte ani neprehráte vaše šance nie sú ani pozitívne, ani negatívne. Ak sa pozriete, z pohľadu seriózneho hráča nie je takýto stávkový systém zlý. Ale je to len strata času.

Predpokladajme však, že niekto chce v tej istej hre staviť 2 doláre proti vášmu 1 doláru. Potom máte hneď pozitívne očakávanie 50 centov z každej stávky. Prečo 50 centov? V priemere jednu stávku vyhráte a druhú prehráte. Stavte prvý dolár a prehráte 1 dolár, vsaďte druhý a vyhrajte 2 doláre. Dvakrát ste stavili 1 dolár a máte náskok o 1 dolár. Takže každá z vašich jednodolárových stávok vám dala 50 centov.

Ak minca padne 500-krát za hodinu, váš hodinový zisk bude už 250 $, pretože. v priemere ste prehrali 1 250-krát a vyhrali 2 250-krát. 500 USD mínus 250 USD sa rovná 250 USD, čo je celková výhra. Upozorňujeme, že očakávaná hodnota, čo je suma, ktorú v priemere vyhráte na jednej stávke, je 50 centov. Vyhrali ste 250 $ stávkou 500-krát dolár, čo sa rovná 50 centom vašej stávky.

Matematické očakávania nemajú nič spoločné s krátkodobými výsledkami. Váš súper, ktorý sa rozhodol staviť proti vám 2 doláre, vás mohol poraziť v prvých desiatich hodoch v rade, ale vy, s výhodou stávkovania 2 ku 1, ak sú všetky ostatné rovnaké, zarobíte 50 centov z každej stávky 1 dolár za akúkoľvek okolnosti. Nezáleží na tom, či vyhráte alebo prehráte jednu stávku alebo niekoľko stávok, ale iba pod podmienkou, že máte dostatok hotovosti na jednoduché vyrovnanie nákladov. Ak budete stávkovať stále rovnakým spôsobom, potom sa vaše výhry po dlhšom čase budú rovnať súčtu očakávaných hodnôt v jednotlivých hodoch.

Zakaždým, keď urobíte najlepšiu stávku (stávku, ktorá môže byť z dlhodobého hľadiska zisková), keď je kurz vo váš prospech, musíte na ňom niečo vyhrať, či už to v danej ruke prehráte alebo nie. Naopak, ak ste uzavreli horšiu stávku (stávku, ktorá je z dlhodobého hľadiska nerentabilná), keď kurz nie je vo váš prospech, niečo stratíte, či už vyhráte alebo prehráte.

Tipujete s najlepším výsledkom, ak sú vaše očakávania pozitívne, a kladné je to vtedy, ak sú kurzy vo váš prospech. Pri stávkovaní s najhorším výsledkom máte negatívne očakávania, čo sa stane, keď sú kurzy proti vám. Seriózni hráči vsádzajú len s najlepším výsledkom, s najhorším - zakladajú. Čo znamená šanca vo váš prospech? Môžete nakoniec vyhrať viac, ako prináša skutočný kurz. Skutočné šance na zasiahnutie chvosta sú 1 ku 1, ale vďaka pomeru stávok dostanete 2 ku 1. V tomto prípade sú šance vo váš prospech. Najlepší výsledok určite dosiahnete s pozitívnym očakávaním 50 centov za stávku.

Tu je komplexnejší príklad matematického očakávania. Priateľ si zapíše čísla od jedna do päť a vsadí 5 USD proti vášmu 1 USD, že si číslo nevyberiete. Súhlasíte s takouto stávkou? Aké je tu očakávanie?

V priemere sa pomýlite štyrikrát. Na základe toho bude pravdepodobnosť, že uhádnete číslo, 4 ku 1. Pravdepodobnosť je taká, že prehráte jeden dolár na jeden pokus. Vyhrávate však 5 ku 1 s možnosťou prehry 4 ku 1. Preto je kurz vo váš prospech, môžete vziať stávku a dúfať v najlepší výsledok. Ak urobíte túto stávku päťkrát, v priemere štyrikrát prehráte 1 USD a raz vyhráte 5 USD. Na základe toho za všetkých päť pokusov zarobíte 1 $ s pozitívnym matematickým očakávaním 20 centov na stávku.

Hráč, ktorý vyhrá viac, ako vsadí, ako v príklade vyššie, chytí kurz. Naopak, zmarí šance, keď očakáva, že vyhrá menej, ako vsadí. Stávkujúci môže mať pozitívne alebo negatívne očakávania v závislosti od toho, či chytá alebo kazí kurz.

Ak vsadíte 50 USD na výhru 10 USD so šancou na výhru 4 ku 1, dostanete negatívne očakávanie 2 USD, pretože v priemere vyhráte štyrikrát 10 USD a raz prehráte 50 USD, čo ukazuje, že strata na stávku bude 10 USD. Ale ak vsadíte 30 USD na výhru 10 USD s rovnakým kurzom na výhru 4 ku 1, potom v tomto prípade máte pozitívne očakávanie 2 USD, pretože opäť vyhráte štyrikrát 10 USD a raz prehráte 30 USD so ziskom 10 USD. Tieto príklady ukazujú, že prvá stávka je zlá a druhá dobrá.

Matematické očakávania sú stredobodom každej hernej situácie. Keď stávková kancelária povzbudí futbalových fanúšikov, aby stavili 11 dolárov na výhru 10 dolárov, majú pozitívne očakávania 50 centov za každých 10 dolárov. Ak kasíno vypláca párne peniaze z rady Craps pass, potom pozitívne očakávanie domu je približne 1,40 USD za každých 100 USD; táto hra je štruktúrovaná tak, že každý, kto vsadí na túto líniu, prehrá v priemere 50,7 % a vyhrá 49,3 % prípadov. Nepochybne práve toto zdanlivo minimálne pozitívne očakávanie prináša majiteľom kasín po celom svete obrovské zisky. Ako poznamenal majiteľ kasína Vegas World Bob Stupak: „Jedna tisícina percenta negatívnej pravdepodobnosti na dostatočne dlhú vzdialenosť zbankrotuje najbohatšieho človeka na svete.“

Matematické očakávania pri hraní pokru

Hra Poker je najnázornejším a najnázornejším príkladom z hľadiska využitia teórie a vlastností matematického očakávania.

Očakávaná hodnota v pokri je priemerný úžitok z konkrétneho rozhodnutia za predpokladu, že takéto rozhodnutie možno zvážiť v rámci teórie veľkých čísel a veľkej vzdialenosti. Úspešný poker je o akceptovaní ťahov s pozitívnym matematickým očakávaním.

Matematický význam matematického očakávania pri hraní pokru spočíva v tom, že pri rozhodovaní sa často stretávame s náhodnými premennými (nevieme, ktoré karty sú v ruke súpera, ktoré karty prídu v nasledujúcich kolách stávok). Každé z riešení musíme zvážiť z pohľadu teórie veľkých čísel, ktorá hovorí, že pri dostatočne veľkej vzorke bude priemerná hodnota náhodnej premennej inklinovať k jej matematickému očakávaniu.

Spomedzi konkrétnych vzorcov na výpočet matematického očakávania je v pokri najviac použiteľné:

Pri hraní pokru je možné vypočítať matematické očakávania pre stávky aj cally. V prvom prípade by sa mala brať do úvahy fold equity, v druhom prípade vlastný kurz potu. Pri hodnotení matematického očakávania konkrétneho ťahu treba pamätať na to, že fold má vždy nulové matematické očakávanie. Zahodenie kariet bude teda vždy výnosnejším rozhodnutím ako akýkoľvek negatívny krok.

Očakávanie vám povie, čo môžete očakávať (zisk alebo strata) za každý dolár, ktorý riskujete. Kasína zarábajú, pretože matematické očakávania všetkých hier, ktoré sa v nich cvičia, sú v prospech kasína. Pri dostatočne dlhej sérii hier sa dá očakávať, že klient o svoje peniaze príde, keďže „pravdepodobnosť“ je v prospech kasína. Profesionálni hráči kasín však obmedzujú svoje hry na krátke časové úseky, čím zvyšujú šance v ich prospech. To isté platí pre investovanie. Ak sú vaše očakávania pozitívne, môžete zarobiť viac peňazí vykonaním mnohých obchodov v krátkom časovom období. Očakávanie je vaše percento zisku na výhru krát váš priemerný zisk mínus vaša pravdepodobnosť straty krát vaša priemerná strata.

Poker možno považovať aj z hľadiska matematického očakávania. Môžete predpokladať, že určitý ťah je ziskový, ale v niektorých prípadoch nemusí byť najlepší, pretože iný ťah je ziskovejší. Povedzme, že ste dosiahli plný počet v pokri s piatimi kartami. Váš súper vsádza. Viete, že ak zvýšite ante, zavolá. Zvyšovanie teda vyzerá ako najlepšia taktika. Ak však navýšite, zvyšní dvaja hráči určite založia. Ak však stávku dorovnáte, budete si úplne istí, že ďalší dvaja hráči po vás urobia to isté. Keď zvýšite stávku, získate jednu jednotku a jednoduchým dorovnaním získate dve. Takže dovolanie vám dáva vyššiu pozitívnu očakávanú hodnotu a je tou najlepšou taktikou.

Matematické očakávania môžu tiež poskytnúť predstavu o tom, ktoré pokrové taktiky sú menej ziskové a ktoré sú ziskovejšie. Napríklad, ak hráte konkrétnu kombináciu a myslíte si, že vaša priemerná strata je 75 centov vrátane ante, potom by ste mali hrať túto kombináciu, pretože je to lepšie ako zahodiť, keď je ante 1 dolár.

Ďalším dôležitým dôvodom na pochopenie očakávanej hodnoty je, že vám dáva pocit pokoja, či už stávku vyhráte alebo nie: ak ste urobili dobrú stávku alebo zložili karty včas, budete vedieť, že ste zarobili alebo našetrili určitú sumu peniaze, ktoré slabší hráč nedokázal zachrániť. Je oveľa ťažšie zahodiť, ak ste frustrovaní z toho, že váš súper má lepšie karty na draw. To znamená, že peniaze, ktoré ušetríte tým, že nebudete hrať, namiesto stávkovania, sa pripočítajú k vašim výhram cez noc alebo k mesačným výhram.

Len si pamätajte, že ak by ste si vymenili ruky, váš súper by vás dorovnal, a ako uvidíte v článku Fundamental Theorem of Poker, je to len jedna z vašich výhod. Mali by ste sa radovať, keď sa to stane. Môžete sa dokonca naučiť užívať si stratu ruky, pretože viete, že ostatní hráči vo vašej koži by stratili oveľa viac.

Ako je uvedené v príklade hry o mince na začiatku, hodinová miera návratnosti súvisí s matematickým očakávaním a tento koncept je obzvlášť dôležitý pre profesionálnych hráčov. Keď sa chystáte hrať poker, musíte v duchu odhadnúť, koľko môžete vyhrať za hodinu hry. Vo väčšine prípadov sa budete musieť spoľahnúť na svoju intuíciu a skúsenosti, ale môžete použiť aj nejaké matematické výpočty. Napríklad, ak hráte draw lowball a vidíte, že traja hráči vsadili 10 $ a potom ťahali dve karty, čo je veľmi zlá taktika, môžete si sami spočítať, že zakaždým, keď vsadia 10 $, prehrajú približne 2 $. Každý z nich to robí osemkrát za hodinu, čo znamená, že všetci traja stratia približne 48 dolárov za hodinu. Ste jedným zo zvyšných štyroch hráčov, ktorí sú si približne rovní, takže títo štyria hráči (a vy medzi nimi) si musia rozdeliť 48 $ a každý bude mať zisk 12 $ za hodinu. Vaša hodinová sadzba je v tomto prípade jednoducho váš podiel na množstve peňazí, ktoré prehrali traja zlí hráči za hodinu.

Počas dlhého časového obdobia sú celkové výhry hráča súčtom jeho matematických očakávaní v samostatných distribúciách. Čím viac hráte s pozitívnym očakávaním, tým viac vyhrávate a naopak, čím viac rúk hráte s negatívnym očakávaním, tým viac prehrávate. V dôsledku toho by ste mali uprednostniť hru, ktorá môže maximalizovať vaše pozitívne očakávania alebo negovať vaše negatívne, aby ste mohli maximalizovať svoj hodinový zisk.

Pozitívne matematické očakávania v hernej stratégii

Ak viete počítať karty, môžete mať oproti kasínu výhodu, ak si vás nevšimnú a vyhodia vás von. Kasína milujú opitých hazardných hráčov a neznesú počítanie kariet. Výhoda vám umožní viackrát vyhrať, ako časom prehrať. Dobrá správa peňazí pomocou výpočtov očakávaní vám môže pomôcť zúročiť vašu výhodu a znížiť straty. Bez výhody je lepšie dať peniaze na charitu. V hre na burze je výhoda daná systémom hry, ktorá vytvára väčší zisk ako straty, cenové rozdiely a provízie. Žiadna správa peňazí nezachráni zlý herný systém.

Pozitívne očakávanie je definované hodnotou väčšou ako nula. Čím väčšie je toto číslo, tým silnejšie sú štatistické očakávania. Ak je hodnota menšia ako nula, matematické očakávanie bude tiež záporné. Čím väčší je modul zápornej hodnoty, tým je situácia horšia. Ak je výsledok nula, potom je očakávanie zlomové. Vyhrať môžete len vtedy, keď máte pozitívne matematické očakávania, rozumný herný systém. Hra na intuíciu vedie ku katastrofe.

Matematické očakávania a obchodovanie s akciami

Matematické očakávania sú pomerne široko žiadaným a obľúbeným štatistickým ukazovateľom pri obchodovaní na burze na finančných trhoch. V prvom rade sa tento parameter používa na analýzu úspešnosti obchodovania. Nie je ťažké uhádnuť, že čím väčšia je táto hodnota, tým väčší dôvod považovať skúmaný obchod za úspešný. Analýzu práce obchodníka samozrejme nemožno vykonávať len pomocou tohto parametra. Vypočítaná hodnota však v kombinácii s inými metódami hodnotenia kvality práce môže výrazne zvýšiť presnosť analýzy.

Matematické očakávanie sa často počíta v službách monitorovania obchodných účtov, čo vám umožňuje rýchlo vyhodnotiť prácu vykonanú na vklade. Ako výnimky môžeme uviesť stratégie, ktoré využívajú „overstaying“ stratových obchodov. Obchodník môže mať nejaký čas šťastie, a preto v jeho práci nemusí dôjsť k žiadnym stratám. V tomto prípade sa nebude dať orientovať len podľa očakávania, pretože sa nebudú brať do úvahy riziká, ktoré sa pri práci používajú.

Pri obchodovaní na trhu sa matematické očakávanie používa najčastejšie pri predikcii ziskovosti obchodnej stratégie alebo pri predikcii príjmu obchodníka na základe štatistík jeho predchádzajúcich obchodov.

Pokiaľ ide o správu peňazí, je veľmi dôležité pochopiť, že pri obchodovaní s negatívnymi očakávaniami neexistuje schéma správy peňazí, ktorá by určite mohla priniesť vysoké zisky. Ak budete pokračovať v hraní burzy za týchto podmienok, potom bez ohľadu na to, ako spravujete svoje peniaze, prídete o celý svoj účet, bez ohľadu na to, aký veľký bol na začiatku.

Táto axióma neplatí len pre hry alebo obchody s negatívnym očakávaním, ale platí aj pre hry s párnymi kurzami. Preto jediný prípad, kedy máte šancu z dlhodobého hľadiska profitovať, je uzatváranie obchodov s pozitívnym matematickým očakávaním.

Rozdiel medzi negatívnym očakávaním a pozitívnym očakávaním je rozdiel medzi životom a smrťou. Nezáleží na tom, aké pozitívne alebo negatívne je očakávanie; dôležité je, či je to pozitívne alebo negatívne. Preto pred zvažovaním správy peňazí musíte nájsť hru s pozitívnym očakávaním.

Ak túto hru nemáte, nezachráni vás žiadna správa peňazí na svete. Na druhej strane, ak máte pozitívne očakávania, potom je možné pomocou správneho money managementu ich premeniť na funkciu exponenciálneho rastu. Nezáleží na tom, aké malé je pozitívne očakávanie! Inými slovami, nezáleží na tom, aký ziskový je obchodný systém založený na jednom kontrakte. Ak máte systém, ktorý vyhráva 10 USD za kontrakt na jeden obchod (po poplatkoch a sklze), môžete použiť techniky správy peňazí, aby bol ziskovejší ako systém, ktorý vykazuje priemerný zisk 1 000 USD na obchod (po odpočítaní provízií a sklz).

Nie je dôležité, nakoľko bol systém ziskový, ale s akou istotou sa dá povedať, že systém bude v budúcnosti vykazovať aspoň minimálny zisk. Preto najdôležitejšou prípravou, ktorú môže obchodník urobiť, je uistiť sa, že systém bude v budúcnosti vykazovať pozitívnu očakávanú hodnotu.

Aby ste mali v budúcnosti pozitívnu očakávanú hodnotu, je veľmi dôležité neobmedzovať stupne voľnosti vášho systému. To sa dosiahne nielen odstránením alebo znížením počtu parametrov, ktoré sa majú optimalizovať, ale aj znížením čo najväčšieho počtu systémových pravidiel. Každý parameter, ktorý pridáte, každé pravidlo, ktoré urobíte, každá malá zmena, ktorú vykonáte v systéme, znižuje počet stupňov voľnosti. V ideálnom prípade chcete vybudovať pomerne primitívny a jednoduchý systém, ktorý bude neustále prinášať malý zisk na takmer akomkoľvek trhu. Opäť je dôležité, aby ste pochopili, že nezáleží na tom, aký je systém ziskový, pokiaľ je ziskový. Peniaze, ktoré zarobíte obchodovaním, získate efektívnym hospodárením s peniazmi.

Obchodný systém je jednoducho nástroj, ktorý vám dáva pozitívne matematické očakávania, aby bolo možné použiť správu peňazí. Systémy, ktoré fungujú (vykazujú aspoň minimálny zisk) len na jednom alebo niekoľkých trhoch, prípadne majú rôzne pravidlá či parametre pre rôzne trhy, s najväčšou pravdepodobnosťou nebudú fungovať v reálnom čase dlho. Problém väčšiny technických obchodníkov je, že trávia príliš veľa času a úsilia optimalizáciou rôznych pravidiel a parametrov obchodného systému. To dáva úplne opačné výsledky. Namiesto plytvania energiou a počítačovým časom na zvyšovanie ziskov obchodného systému nasmerujte svoju energiu na zvyšovanie úrovne spoľahlivosti získavania minimálneho zisku.

S vedomím, že money management je len hra s číslami, ktorá si vyžaduje využitie pozitívnych očakávaní, môže obchodník prestať hľadať „svätý grál“ obchodovania s akciami. Namiesto toho môže začať testovať svoju obchodnú metódu, zistiť, ako je táto metóda logicky správna, či dáva pozitívne očakávania. Správne metódy správy peňazí aplikované na akékoľvek, dokonca aj veľmi priemerné obchodné metódy, urobia zvyšok práce.

Každý obchodník, aby uspel vo svojej práci, potrebuje vyriešiť tri najdôležitejšie úlohy: . Zabezpečiť, aby počet úspešných transakcií prevýšil nevyhnutné chyby a nesprávne výpočty; Nastavte svoj obchodný systém tak, aby príležitosť zarábať peniaze bola čo najčastejšie; Dosiahnite stabilný pozitívny výsledok vašich operácií.

A tu, pre nás, pracujúcich obchodníkov, môže matematické očakávanie poskytnúť dobrú pomoc. Tento pojem v teórii pravdepodobnosti je jedným z kľúčových. Pomocou neho môžete poskytnúť priemerný odhad nejakej náhodnej hodnoty. Matematické očakávanie náhodnej premennej je ako ťažisko, ak si všetky možné pravdepodobnosti predstavíme ako body s rôznou hmotnosťou.

Vo vzťahu k obchodnej stratégii sa na hodnotenie jej efektívnosti najčastejšie používa matematické očakávanie zisku (alebo straty). Tento parameter je definovaný ako súčet súčinov daných úrovní zisku a straty a pravdepodobnosti ich výskytu. Napríklad vyvinutá obchodná stratégia predpokladá, že 37 % všetkých operácií prinesie zisk a zvyšná časť – 63 % – bude nerentabilných. Priemerný príjem z úspešnej transakcie bude zároveň 7 USD a priemerná strata 1,4 USD. Vypočítajme matematické očakávania obchodovania pomocou nasledujúceho systému:

Čo znamená toto číslo? Hovorí sa, že podľa pravidiel tohto systému dostaneme v priemere 1,708 dolára z každej uzavretej transakcie. Keďže výsledné skóre efektívnosti je väčšie ako nula, takýto systém je možné použiť na reálnu prácu. Ak sa v dôsledku výpočtu ukáže, že matematické očakávanie je záporné, znamená to už priemernú stratu a takéto obchodovanie povedie k krachu.

Výšku zisku na jeden obchod je možné vyjadriť aj ako relatívnu hodnotu vo forme %. Napríklad:

– percento príjmu na 1 transakciu – 5 %;

– percento úspešných obchodných operácií – 62 %;

– percento straty na 1 obchod – 3 %;

- percento neúspešných transakcií - 38 %;

To znamená, že priemerná transakcia prinesie 1,96 %.

Je možné vyvinúť systém, ktorý aj napriek prevahe stratových obchodov prinesie kladný výsledok, keďže jeho MO>0.

Samotné čakanie však nestačí. Je ťažké zarobiť peniaze, ak systém dáva veľmi málo obchodných signálov. V tomto prípade bude jeho ziskovosť porovnateľná s bankovým úrokom. Nech každá operácia prinesie v priemere len 0,5 dolára, ale čo ak systém predpokladá 1000 transakcií za rok? V relatívne krátkom čase to bude veľmi vážna suma. Z toho logicky vyplýva, že za ďalší znak dobrého obchodného systému možno považovať krátku dobu držania.

Zdroje a odkazy

dic.academic.ru - akademický online slovník

mathematics.ru - vzdelávacia stránka o matematike

nsu.ru – vzdelávacia stránka Štátnej univerzity v Novosibirsku

webmath.ru je vzdelávací portál pre študentov, uchádzačov a školákov.

Vzdelávacia matematická webová stránka exponenta.ru

ru.tradimo.com - bezplatná online obchodná škola

crypto.hut2.ru - multidisciplinárny informačný zdroj

poker-wiki.ru - bezplatná encyklopédia pokru

sernam.ru - Vedecká knižnica vybraných prírodovedných publikácií

reshim.su - webová stránka RIEŠIŤ úlohy kontrolujú kurz

unfx.ru – Forex na UNFX: vzdelávanie, obchodné signály, správa dôvery

slovopedia.com - Veľký encyklopedický slovník

pokermansion.3dn.ru - Váš sprievodca svetom pokru

statanaliz.info - informačný blog "Štatistická analýza údajov"

forex-trader.rf - portál Forex-Trader

megafx.ru - aktuálna analýza Forexu

fx-by.com - všetko pre obchodníka

01.02.2018

Očakávaná hodnota. Len o komplexe. Základy obchodovania.

Pri uzatváraní stávok akéhokoľvek druhu vždy existuje určitá pravdepodobnosť zisku a riziko neúspechu. Pozitívny výsledok transakcie a riziko straty peňazí sú neoddeliteľne spojené s matematickým očakávaním. V tomto článku sa podrobne zameriame na tieto dva aspekty obchodovania.

Očakávaná hodnota- s počtom vzoriek alebo počtom jeho meraní (niekedy hovoria - počtom testov) inklinujúcim k nekonečnu.

Ide o to, že kladná očakávaná hodnota vedie k pozitívnemu (zvyšovaniu zisku) obchodovaniu, zatiaľ čo nulová alebo záporná očakávaná hodnota znamená žiadne obchodovanie.

Aby sme uľahčili pochopenie tejto problematiky, pouvažujme nad konceptom matematického očakávania pri hraní rulety. Príklad rulety je veľmi ľahko pochopiteľný.

ruleta- (Krupiér odpáli loptičku v opačnom smere, než je rotácia kolesa, z čísla, na ktoré loptička padla predtým, pričom táto loptička musí spadnúť do jednej z očíslovaných buniek, pričom okolo kolesa urobí aspoň tri celé otáčky.

Bunky očíslované od 1 do 36 sú zafarbené čiernou a červenou farbou. Čísla nie sú v poradí, hoci farby buniek sa striktne striedajú, počnúc 1 - červenou. Bunka označená číslom 0 je zafarbená na zeleno a nazýva sa nula.

Ruleta je hra s negatívnym matematickým očakávaním. Všetko kvôli poľu nula „0“, ktoré nie je ani čierne, ani červené.

Pretože (vo všeobecnosti), ak sa nepoužije žiadna zmena stávky, hráč stratí 1 $ za každých 37 otočení kolesa (pri stávkovaní 1 $ naraz), čo vedie k lineárnej strate -2,7 %, ktorá sa zvyšuje so zvyšujúcim sa počtom stávok (priemer ).

Samozrejme, hráč na prestávke, napríklad v 1000 hrách, môže mať sériu víťazstiev a človek sa môže začať mylne domnievať, že môže zarobiť peniaze porážkou kasína a sériou porážok. Séria víťazstiev môže v tomto prípade zvýšiť kapitál hráča o väčšiu hodnotu, ako mal pôvodne, v tomto prípade, ak mal hráč 1 000 $, po 10 hrách po 1 $ by mu malo zostať v priemere 973 $. Ale ak v takomto scenári má hráč menej alebo viac peňazí, nazveme takýto rozdiel medzi aktuálnym kapitálovým rozptylom. Ruletou sa dá zarábať len v rámci rozptylu, ak hráč bude pokračovať v tejto stratégii, nakoniec zostane bez peňazí a kasíno bude fungovať.

Druhým príkladom sú známe binárne opcie. Môžete urobiť stávku, s úspešným výsledkom si zoberiete až 90 percent k svojej stávke a ak neuspejete, prehráte všetkých 100. A potom musia majitelia BO len čakať, trh a záporné očakávanie matu urobí svoju prácu. A časový rozptyl dá nádej obchodníkovi s binárnymi opciami, že na tomto trhu je možné zarobiť peniaze. Ale toto je dočasné.

Aká je výhoda obchodovania s kryptomenami (ako aj obchodovania na burze)?

Človek si môže vytvoriť systém sám. Sám môže obmedziť svoje riziko a pokúsiť sa získať z trhu maximálny možný zisk. (Navyše, ak je situácia s druhým dosť kontroverzná, potom musí byť riziko veľmi jasne kontrolované.)

Aby ste pochopili, akým smerom vás vaša stratégia vedie, musíte si viesť štatistiky. Obchodník potrebuje vedieť:

1. Počet vašich obchodov. Čím väčší je počet obchodov pre danú stratégiu, tým presnejšie budú matematické očakávania.
2. Frekvencia úspešných záznamov. (pravdepodobnosť) (R)
3. Váš zisk za každú pozitívnu transakciu.
4. Zaujatosť (výherný pomer) (B)
5. Priemerná výška vašej stávky (stop objednávka) (S)

Očakávanie (E) = B * R - (1 - B) = B * (1 + R) -1

Na približné zistenie vášho konečného zárobku alebo straty na účte (EE) napríklad na vzdialenosť 1000 obchodov použijeme vzorec.

Kde N je počet obchodov, ktoré plánujeme vykonať.

Zoberme si napríklad počiatočné údaje:

stop loss - 30 dolárov.

zisk - 100 dolárov.

Počet transakcií 30

Matematické očakávanie je negatívne iba vtedy, ak je pomer ziskových a stratových obchodov (R) 20%/80% alebo horší, v ostatných prípadoch je pozitívny.

Teraz nech je zisk 150. Potom bude očakávanie negatívne v pomere 16%/84%. Alebo nižšie.

Záver.

čo s tým robiť? Začnite si viesť štatistiky, ak ste tak ešte neurobili. Skontrolujte svoje obchody, určte svoje očakávanie matu. Nájdite niečo, čo sa dá zlepšiť (počet správnych záznamov, pridávanie ziskov, zníženie strát)

Vyvinutý spoločnosťou Expertcoin

Predpovedanie trhov pomocou fundamentálnej analýzy je trochu zložitejšie, ale dá sa to ľahko pochopiť. Mnohí z vás už o tejto metóde počuli. Pre väčšinu začínajúcich obchodníkov je však fundamentálna analýza veľmi zložitou metódou prognózovania. Fundamentálna analýza má dlhú históriu, keďže sa na finančných trhoch používa už viac ako 100 rokov. Môžete ho použiť na všetky finančné…

Existuje mnoho metód, ktoré môžu investori a obchodníci použiť na nájdenie ziskových pozícií. Od jednoduchých hodnôt obrazovky až po zložitejšie systémy ako CANSLIM. Tieto metódy možno použiť na nájdenie akcií a iných aktív na nákup. Tu je všetka nádej, že metóda investora im pomôže nasmerovať ich k veľkým ziskom a zbaviť emócie ...

Ralph Nelson Elliot bol profesionál, zastával rôzne účtovnícke a obchodné pozície, kým neochorel v Strednej Amerike, čo viedlo k nechcenému odchodu do dôchodku vo veku 58 rokov. Teraz mal dostatok času a Elliot začal študovať 75 rokov správania na burze na začiatku 20. storočia, aby určil ročné, mesačné, týždenné, denné, hodinové alebo…

Predstavte si, že stratíte viac ako 660 000 $ len za 30 sekúnd! V januári 2014 to isté dokázal aj profesionálny obchodník s akciami HSBC vďaka tučným prstom a nenasadeniu hornej cenovej hranice na svoj obchod. V tomto prípade by sa obchodník pravdepodobne mohol vyhnúť stratám zadaním limitného pokynu namiesto trhového pokynu, teda…

Ak plánujete investovať, aby ste sa uživili po odchode do dôchodku, jediné, čoho sa obávate, je, či nakoniec budete mať dostatok peňazí na uspokojenie svojich dlhodobých potrieb. Plánovanie odchodu do dôchodku zahŕňa výpočty, aby ste pochopili, koľko a ako rýchlo budú vaše peniaze rásť v priebehu času. Zložené úročenie...

Každý obchodník čelí pri obchodovaní cenovému sklzu, či už ide o obchodovanie s akciami, forex alebo futures. Sklz je, keď dostanete cenu odlišnú od ceny, ktorú ste očakávali pri vstupe do obchodu alebo pri výstupe z neho. Ak je rozpätie ponuky a dopytu akcie 49,36 až 49,37 USD a zadáte trhový príkaz na nákup 500 akcií, potom by ste očakávali…

Prevedieme vás rôznymi typmi obchodovania s akciami, aby ste sa mohli rozhodnúť, čo a ako analyzovať. Otázkou je, akým typom obchodníka s cennými papiermi sa chcete stať. Závisí to od vášho chápania „vy“ a vašich znalostí o rôznych typoch obchodovania. Rôzne typy obchodovania si vyžadujú rôzne typy osobnosti, množstvo času a investície. Preto sa musíte rozhodnúť, že...

Pohyby v smere trendu sa nazývajú impulzy, zatiaľ čo pohyby proti trendu sa nazývajú retracementy. Úrovne Fibonacciho retracementu zvýrazňujú niekoľko oblastí, kde sa retracement môže obrátiť v smere trendu, vďaka čomu sú užitočné na potvrdenie vstupných bodov trendu. Pôvod Fibonacciho úrovní Fibonacciho úrovne sú prevzaté zo série čísel, ktoré vynašiel taliansky matematik Leonardo Pisano Bogolo v…

Fundamentálna analýza

Fundamentálna analýza je metóda zisťovania stavu účtovnej závierky, zameriava sa na silné a slabé stránky spoločnosti bez zohľadnenia denných zmien cien a objemu obchodov. Čo je fundamentálna analýza akcií? Fundamentálna analýza je metóda analýzy, pri ktorej informácie z minulých správ o majetku, príjmoch, produktoch, predaji, manažmente, trhoch a legislatíve týkajúcej sa výroby…

- počet chlapcov medzi 10 novorodencami.

Je celkom jasné, že toto číslo nie je vopred známe a v nasledujúcich desiatich narodených deťoch môžu byť:

Alebo chlapci - jeden a len jeden z uvedených možností.

A aby ste sa udržali vo forme, trochu telesnej výchovy:

- vzdialenosť skoku do diaľky (v niektorých jednotkách).

Ani majster športu to nevie odhadnúť :)

Aké sú však vaše hypotézy?

2) Spojitá náhodná veličina – berie všetkyčíselné hodnoty z nejakého konečného alebo nekonečného rozsahu.

Poznámka : skratky DSV a NSV sú populárne v náučnej literatúre

Najprv analyzujme diskrétnu náhodnú premennú, potom - nepretržitý.

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej

- toto je zhoda medzi možnými hodnotami tejto veličiny a ich pravdepodobnosťou. Zákon je najčastejšie napísaný v tabuľke:

Termín je celkom bežný riadok distribúcia, no v niektorých situáciách to vyznieva dvojzmyselne, a preto sa budem držať „zákona“.

A teraz veľmi dôležitý bod: od náhodnej premennej nevyhnutne prijme jedna z hodnôt, potom sa vytvoria zodpovedajúce udalosti celá skupina a súčet pravdepodobností ich výskytu sa rovná jednej:

alebo ak je napísané zložené:

Napríklad zákon rozdelenia pravdepodobnosti bodov na kocke má nasledujúci tvar:

Bez komentára.

Môžete mať dojem, že diskrétna náhodná premenná môže nadobudnúť iba „dobré“ celočíselné hodnoty. Poďme rozptýliť ilúziu - môžu to byť čokoľvek:

Príklad 1

Niektoré hry majú nasledujúci zákon o distribúcii výplat:

...asi o takýchto úlohách snívaš už dlho :) Prezradím ti tajomstvo - ja tiež. Najmä po ukončení prác na teória poľa.

Riešenie: keďže náhodná premenná môže nadobudnúť iba jednu z troch hodnôt, tvoria sa zodpovedajúce udalosti celá skupina, čo znamená, že súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej:

Odhaľujeme „partizána“:

– teda pravdepodobnosť výhry konvenčných jednotiek je 0,4.

Kontrola: čo sa musíte uistiť.

Odpoveď:

Nie je nezvyčajné, keď zákon o rozdeľovaní treba zostaviť samostatne. Na toto použitie klasická definícia pravdepodobnosti, násobiace / sčítacie teorémy pre pravdepodobnosti udalostí a iné čipy tervera:

Príklad 2

V krabici je 50 lotériových lístkov, z ktorých 12 je výherných a 2 z nich vyhrávajú každý po 1000 rubľov a zvyšok - každý po 100 rubľov. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej premennej - veľkosť výhry, ak sa náhodne vyžrebuje jeden tiket z krabice.

Riešenie: ako ste si všimli, je zvykom umiestňovať hodnoty náhodnej premennej vzostupné poradie. Preto začíname s najmenšími výhrami, a to rubľmi.

Celkovo je takýchto lístkov 50 - 12 = 38 a podľa klasická definícia:
je pravdepodobnosť, že náhodne vyžrebovaný tiket nevyhrá.

Ostatné prípady sú jednoduché. Pravdepodobnosť výhry rubľov je:

Kontrola: - a to je obzvlášť príjemný moment takýchto úloh!

Odpoveď: požadovaný zákon o rozdeľovaní výplat:

Nasledujúca úloha pre nezávislé rozhodnutie:

Príklad 3

Pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, je . Vytvorte distribučný zákon pre náhodnú premennú - počet zásahov po 2 výstreloch.

... vedel som, že ti chýbal :) Spomíname vety o násobení a sčítaní. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Zákon o rozdelení úplne popisuje náhodnú premennú, ale v praxi je užitočné (a niekedy užitočnejšie) poznať len niektoré z nich. číselné charakteristiky .

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Zjednodušene povedané, toto priemerná očakávaná hodnota s opakovaným testovaním. Nech náhodná premenná nadobúda hodnoty s pravdepodobnosťou resp. Potom sa matematické očakávanie tejto náhodnej premennej rovná súčet produktov všetky jeho hodnoty podľa zodpovedajúcich pravdepodobností:

alebo v zloženom tvare:

Vypočítajme napríklad matematické očakávanie náhodnej premennej - počtu bodov, ktoré padne na kocke:

Teraz si pripomeňme našu hypotetickú hru:

Vynára sa otázka: je vôbec výhodné hrať túto hru? ... kto má nejaké dojmy? Takže nemôžete povedať „offhand“! Ale túto otázku možno ľahko zodpovedať výpočtom matematického očakávania, v podstate - Vážený priemer pravdepodobnosť výhry:

Teda matematické očakávania tejto hry stratiť.

Neverte dojmom – dôverujte číslam!

Áno, tu môžete vyhrať 10 a dokonca 20-30 krát za sebou, ale z dlhodobého hľadiska budeme nevyhnutne zničení. A také hry by som ti neradil :) No možno len pre zábavu.

Zo všetkého vyššie uvedeného vyplýva, že matematické očakávanie NIE JE NÁHODNÁ hodnota.

Kreatívna úloha pre nezávislý výskum:

Príklad 4

Pán X hrá európsku ruletu podľa nasledujúceho systému: neustále vsádza 100 rubľov na červenú. Zostavte zákon rozdelenia náhodnej veličiny – jej výplatu. Vypočítajte matematické očakávania výhier a zaokrúhlite ich na kopejky. Ako priemer prehráva hráč za každú stovku stávok?

Odkaz : Európska ruleta obsahuje 18 červených, 18 čiernych a 1 zelený sektor („nula“). V prípade vypadnutia „červenej“ dostane hráč dvojitú stávku, inak ide do príjmu kasína

Existuje mnoho ďalších ruletových systémov, pre ktoré si môžete vytvoriť svoje vlastné pravdepodobnostné tabuľky. Ale to je prípad, keď nepotrebujeme žiadne distribučné zákony a tabuľky, pretože je isté, že matematické očakávania hráča budú úplne rovnaké. Iba zmeny zo systému na systém

Ako už bolo známe, distribučný zákon úplne charakterizuje náhodnú premennú. Zákon o distribúcii je však často neznámy a človek sa musí obmedziť na menej informácií. Niekedy je ešte výhodnejšie použiť čísla, ktoré opisujú náhodnú premennú ako celok; takéto čísla sa volajú číselné charakteristiky náhodnej premennej. Matematické očakávanie je jednou z dôležitých číselných charakteristík.

Matematické očakávanie, ako bude uvedené nižšie, sa približne rovná priemernej hodnote náhodnej premennej. Na vyriešenie mnohých problémov stačí poznať matematické očakávanie. Napríklad, ak je známe, že matematické očakávanie počtu bodov dosiahnutého prvým strelcom je väčšie ako u druhého strelca, potom prvý strelec v priemere vyradí viac bodov ako druhý, a preto strieľa lepšie ako druhy. Matematické očakávanie síce dáva oveľa menej informácií o náhodnej premennej ako zákon jej rozdelenia, ale na riešenie problémov, ako je ten daný a mnohé ďalšie, stačí znalosť matematického očakávania.

§ 2. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

matematické očakávanie Diskrétna náhodná premenná sa nazýva súčet súčinov všetkých jej možných hodnôt a ich pravdepodobností.

Nech náhodná premenná X môže nadobudnúť iba hodnoty X 1 , X 2 , ..., X P , ktorých pravdepodobnosti sú v tomto poradí rovnaké R 1 , R 2 , . . ., R P . Potom matematické očakávania M(X) náhodná premenná X je definovaná rovnosťou

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X n p n .

Ak ide o diskrétnu náhodnú premennú X nadobudne spočítateľnú množinu možných hodnôt

M(X)=

navyše, matematické očakávanie existuje, ak rad na pravej strane rovnosti absolútne konverguje.

Komentujte. Z definície vyplýva, že matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je nenáhodná (konštantná) premenná. Odporúčame vám zapamätať si toto vyhlásenie, pretože sa neskôr opakovane používa. Neskôr sa ukáže, že matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej je tiež konštantná hodnota.

Príklad 1 Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej X, poznať zákon jeho distribúcie:

Riešenie. Požadované matematické očakávanie sa rovná súčtu súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a ich pravdepodobnosti:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Príklad 2 Nájdite matematické očakávanie počtu výskytov udalosti ALE v jednom pokuse, ak je pravdepodobnosť udalosti ALE rovná sa R.

Riešenie. Náhodná hodnota X - počet výskytov udalosti ALE v jednom teste - môže nadobudnúť iba dve hodnoty: X 1 = 1 (udalosť ALE stalo) s pravdepodobnosťou R a X 2 = 0 (udalosť ALE nenastalo) s pravdepodobnosťou q= 1 -R. Požadované matematické očakávanie

M(X)= 1* p+ 0* q= p

takze matematické očakávanie počtu výskytov udalosti v jednom pokuse sa rovná pravdepodobnosti tejto udalosti. Tento výsledok sa použije nižšie.

§ 3. Pravdepodobný význam matematického očakávania

Nechajte vyrobiť P testy, v ktorých náhodná premenná X prijatý t 1 krát hodnotu X 1 , t 2 krát hodnotu X 2 ,...,m k krát hodnotu X k , a t 1 + t 2 + …+t do = p. Potom súčet všetkých prijatých hodnôt X, rovná sa

X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X do t do .

Nájdite aritmetický priemer všetkých hodnôt akceptovaných ako náhodná premenná, pre ktorú zistený súčet vydelíme celkovým počtom pokusov:

= (X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X do t do)/P,

= X 1 (m 1 / n) + X 2 (m 2 / n) + ... + X do (t do /P). (*)

Všímajúc si, že vzťah m 1 / n- relatívna frekvencia W 1 hodnoty X 1 , m 2 / n - relatívna frekvencia W 2 hodnoty X 2 atď., vzťah (*) zapíšeme takto:

=X 1 W 1 + X 2 W 2 + .. . + X do W k . (**)

Predpokladajme, že počet pokusov je dostatočne veľký. Potom sa relatívna frekvencia rovná približne pravdepodobnosti výskytu udalosti (toto bude dokázané v kapitole IX, § 6):

W 1 p 1 , W 2 p 2 , …, W k p k .

Nahradením relatívnych početností vo vzťahu (**) zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami dostaneme

X 1 p 1 + X 2 R 2 + … + X do R do .

Pravá strana tejto približnej rovnosti je M(X). takze

M(X).

Pravdepodobný význam získaného výsledku je nasledujúci: matematické očakávanie sa približne rovná(čím presnejšie, tým väčší počet pokusov) aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej.

Poznámka 1. Je ľahké vidieť, že matematické očakávania sú väčšie ako najmenšie a menšie ako najväčšie možné hodnoty. Inými slovami, na číselnej osi sú možné hodnoty umiestnené vľavo a vpravo od očakávanej hodnoty. Očakávanie v tomto zmysle charakterizuje umiestnenie distribúcie a preto sa často označuje ako distribučné centrum.

Tento výraz je vypožičaný z mechaniky: ak masy R 1 , R 2 , ..., R P umiestnené v bodoch s úsečkami X 1 , X 2 , ..., X n a
potom úsečka ťažiska

X c =
.

Vzhľadom na to
= M (X) a
dostaneme M(X)= x S .

Matematické očakávanie je teda úsečka ťažiska systému hmotných bodov, ktorých úsečky sa rovnajú možným hodnotám náhodnej premennej a hmotnosti sa rovnajú ich pravdepodobnosti.

Poznámka 2. Pôvod pojmu „očakávanie“ sa spája s počiatočným obdobím vzniku teórie pravdepodobnosti (XVI.-XVII. storočie), keď sa jej rozsah obmedzoval na hazardné hry. Hráča zaujímala priemerná hodnota očakávanej výplaty, alebo inak povedané, matematické očakávanie výplaty.