Text práce je umiestnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práce je dostupná v záložke „Súbory úloh“ vo formáte PDF

Úvod

Svet čísel je veľmi tajomný a zaujímavý. Čísla sú v našom svete veľmi dôležité. Chcem sa dozvedieť čo najviac o pôvode čísel, o ich význame v našom živote. Ako ich aplikovať a akú úlohu zohrávajú v našom živote?

Minulý rok sme na hodinách matematiky začali študovať tému „Kladné a záporné čísla“. Mal som otázku, kedy sa objavili záporné čísla, v ktorej krajine, ktorí vedci sa touto problematikou zaoberali. Na Wikipédii som sa dočítal, že záporné číslo je prvok množiny záporných čísel, ktorý sa (spolu s nulou) objavil v matematike pri rozširovaní množiny prirodzených čísel. Účelom rozšírenia je poskytnúť operáciu odčítania pre ľubovoľné čísla. V dôsledku expanzie sa získa množina (kruh) celých čísel, pozostávajúca z kladných (prirodzených) čísel, záporných čísel a nuly.

V dôsledku toho som sa rozhodol preskúmať históriu záporných čísel.

Účelom tejto práce je študovať históriu vzniku záporných a kladných čísel.

Predmet štúdia - záporné čísla a kladné čísla

História kladných a záporných čísel

Ľudia si dlho nevedeli zvyknúť na záporné čísla. Záporné čísla sa im zdali nepochopiteľné, nepoužívali sa, jednoducho v nich nevideli veľký význam. Tieto čísla sa objavili oveľa neskôr ako prirodzené čísla a obyčajné zlomky.

Prvé informácie o záporných číslach sa nachádzajú medzi čínskymi matematikmi v 2. storočí pred Kristom. pred Kr e. a potom boli známe iba pravidlá sčítania a odčítania kladných a záporných čísel; pravidlá násobenia a delenia sa neuplatňovali.

Pozitívne množstvá v čínskej matematike sa nazývali "chen", negatívne - "fu"; boli zobrazené v rôznych farbách: "chen" - červená, "fu" - čierna. To možno vidieť v knihe Aritmetika v deviatich kapitolách (autor Zhang Can). Tento spôsob zobrazovania sa používal v Číne do polovice 12. storočia, kým Li Ye nenavrhol vhodnejší zápis záporných čísel – čísla, ktoré znázorňovali záporné čísla, boli prečiarknuté pomlčkou šikmo sprava doľava.

Až v 7. stor Indickí matematici začali vo veľkej miere využívať záporné čísla, no brali ich s určitou nedôverou. Bhashara priamo napísal: "Ľudia neschvaľujú abstraktné záporné čísla ...". Tu je návod, ako indický matematik Brahmagupta stanovil pravidlá sčítania a odčítania: „majetok a majetok sú majetkom, súčet dvoch dlhov je dlh; súčet majetku a nula je majetok; súčet dvoch núl je nula... Dlh, ktorý sa odpočíta od nuly, sa stáva majetkom a majetok sa stáva dlhom. Ak je potrebné vziať majetok z dlhu a dlh z majetku, potom si vezmú svoju sumu. "Súčet dvoch vlastností je majetok."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Indovia nazývali kladné čísla „dhana“ alebo „swa“ (majetok) a záporné čísla – „rina“ alebo „kshaya“ (dlh). Indickí vedci, ktorí sa pokúšali nájsť príklady takéhoto odčítania v živote, ho interpretovali z hľadiska obchodných výpočtov. Ak má obchodník 5000 r. a nakupuje tovar za 3000 rubľov, má 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Ak má 3 000 rubľov a nakúpi za 5 000 rubľov, zostane v dlhu za 2 000 rubľov. V súlade s tým sa verilo, že sa tu odpočítava 3 000 - 5 000, ale výsledkom je číslo 2 000 s bodkou navrchu, čo znamená "dvatisícový dlh." Tento výklad bol umelý, obchodník nikdy nezistil výšku dlhu odpočítaním 3000 - 5000, ale vždy odpočítaním 5000 - 3000.

O niečo neskôr, v starovekej Indii a Číne, hádali namiesto slov „dlh 10 juanov“ jednoducho napísať „10 juanov“, ale tieto hieroglyfy nakreslili čiernym atramentom. A znamienka „+“ a „-“ v dávnych dobách neboli ani pre čísla, ani pre činy.

Gréci tiež spočiatku nepoužívali znaky. Staroveký grécky vedec Diophantus vôbec nerozoznával záporné čísla, a ak sa pri riešení rovnice dostal záporný koreň, potom ho zahodil ako „neprístupný“. A Diophantus sa snažil formulovať problémy a vytvárať rovnice tak, aby sa vyhol negatívnym koreňom, ale čoskoro Diophantus Alexandrijský začal označovať odčítanie znamienkom.

Pravidlá zaobchádzania s kladnými a zápornými číslami boli navrhnuté už v 3. storočí v Egypte. K zavedeniu negatívnych veličín prvýkrát došlo u Diophanta. Dokonca pre ne použil špeciálnu postavu. Diophantus zároveň používa také obraty reči ako „Pridajme negatív na obe strany“ a dokonca formuluje pravidlo o znakoch: „Negatív vynásobený negatívom dáva klad, kým zápor násobený kladom. negatív."

V Európe sa záporné čísla začali používať od 12. – 13. storočia, no až do 16. storočia. väčšina vedcov ich považovala za „nepravdivé“, „imaginárne“ alebo „absurdné“, na rozdiel od kladných čísel – „pravdivé“. Kladné čísla boli tiež interpretované ako "majetok" a záporné čísla - ako "dlh", "nedostatok". Dokonca aj slávny matematik Blaise Pascal tvrdil, že 0 − 4 = 0, pretože nič nemôže byť menej ako nič. V Európe sa Leonardo Fibonacci z Pisy na začiatku 13. storočia dostatočne priblížil myšlienke zápornej veličiny. V súťaži v riešení problémov s dvornými matematikmi Fridricha II bol Leonardo z Pisy požiadaný, aby vyriešil problém: bolo potrebné nájsť kapitál niekoľkých osôb. Fibonacci je negatívny. "Tento prípad," povedal Fibonacci, "je nemožný, okrem akceptovania toho, že človek nemal kapitál, ale dlh." Vyslovene záporné čísla však prvýkrát použil na konci 15. storočia francúzsky matematik Shuquet. Autor ručne písaného pojednania o aritmetike a algebre, Veda o číslach v troch častiach. Schückeho symbolika sa približuje k modernej.

K rozpoznaniu záporných čísel prispela práca francúzskeho matematika, fyzika a filozofa Reného Descartesa. Navrhol geometrickú interpretáciu kladných a záporných čísel - zaviedol súradnicovú čiaru. (1637).

Kladné čísla sú na číselnej osi znázornené bodmi napravo od počiatku 0, záporné čísla vľavo. K ich rozpoznaniu prispela geometrická interpretácia kladných a záporných čísel.

V roku 1544 nemecký matematik Michael Stiefel po prvý raz považuje záporné čísla za čísla menšie ako nula (t. j. „menej ako nič“). Od tohto momentu sa na záporné čísla už nepozerá ako na dlh, ale úplne novým spôsobom. Sám Stiefel napísal: „Nula je medzi pravdivými a absurdnými číslami...“

Takmer súčasne so Stiefelom Bombelli Raffaele (približne 1530-1572), taliansky matematik a inžinier, ktorý znovu objavil Diophantovu prácu, obhajoval myšlienku záporných čísel.

Podobne Girard považoval záporné čísla za celkom prijateľné a užitočné, najmä na označenie nedostatku niečoho.

Každý fyzik sa neustále zaoberá číslami: stále niečo meria, počíta, počíta. Všade v jeho papieroch - čísla, čísla a čísla. Ak si pozorne prezriete záznamy fyzika, zistíte, že pri písaní čísel často používa znamienka „+“ a „-“. (Napríklad: teplomer, stupnica hĺbky a výšky)

Až na začiatku XIX storočia. teória záporných čísel dokončila svoj vývoj a „absurdné čísla“ sa dočkali všeobecného uznania.

Definícia pojmu číslo

V modernom svete človek neustále používa čísla bez toho, aby premýšľal o ich pôvode. Bez poznania minulosti nie je možné pochopiť prítomnosť. Číslo je jedným zo základných pojmov matematiky. Pojem čísla sa vyvinul v úzkej súvislosti so štúdiom veličín; toto spojenie trvá dodnes. Vo všetkých odvetviach modernej matematiky je potrebné zvážiť rôzne množstvá a použiť čísla. Číslo je abstrakcia používaná na kvantifikáciu objektov. Po tom, čo sa v primitívnej spoločnosti objavila potreba počítania, pojem čísla sa zmenil a obohatil a zmenil sa na najdôležitejší matematický pojem.

Existuje mnoho definícií pojmu „číslo“.

Prvú vedeckú definíciu čísla podal Euklides vo svojich Prvkoch, ktoré očividne zdedil po svojom krajanovi Eudoxovi z Knidu (asi 408 – asi 355 pred Kristom): „Jednotka je tá, podľa ktorej sa každá z existujúcich vecí nazýva jeden. Číslo je množina zložená z jednotiek. Takto definoval pojem čísla ruský matematik Magnitsky vo svojej Aritmetike (1703). Už pred Euklidesom dal Aristoteles nasledujúcu definíciu: "Číslo je množina, ktorá sa meria pomocou jednotiek." Veľký anglický fyzik, mechanik, astronóm a matematik Isaac Newton vo svojej „Všeobecnej aritmetike“ (1707) píše: „Číslom nemyslíme ani tak množinu jednotiek, ale abstraktný pomer nejakej veličiny k inej tej istej veličine. druh, braný ako jednotka . Existujú tri typy čísel: celé číslo, zlomkové a iracionálne. Celé číslo je číslo, ktoré sa meria jednotkou; zlomkový - násobok jednotky, iracionálny - číslo, ktoré nie je úmerné jednotke.

Mariupolský matematik S.F. Klyuykov tiež prispel k definícii pojmu číslo: "Čísla sú matematické modely skutočného sveta, ktoré vymyslel človek pre svoje znalosti." Do tradičnej klasifikácie čísel zaviedol aj takzvané „funkčné čísla“, čo znamená to, čo sa na celom svete zvyčajne nazýva funkciami.

Prirodzené čísla vznikli pri počítaní predmetov. Dozvedel som sa o tom v 5. ročníku. Potom som sa dozvedel, že ľudská potreba merať veličiny nie je vždy vyjadrená ako celé číslo. Po rozšírení množiny prirodzených čísel na zlomkové bolo možné deliť akékoľvek celé číslo iným celým číslom (s výnimkou delenia nulou). Existujú zlomkové čísla. Odčítať celé číslo od iného celého čísla, keď je odčítané väčšie ako redukované, sa dlho zdalo nemožné. Zaujímavý bol pre mňa fakt, že mnohí matematici dlho nepoznali záporné čísla v domnení, že nezodpovedajú žiadnym skutočným javom.

Pôvod slov „plus“ a „mínus“

Pojmy pochádzajú zo slov plus – „viac“, mínus – „menej“. Najprv sa akcie označovali prvými písmenami p; m. Mnohí matematici preferovali alebo Vznik moderných znakov „+“, „-“ nie je úplne jasný. Znak „+“ pravdepodobne pochádza zo skratky et, t.j. "a". Mohlo to však vyplynúť z obchodnej praxe: predané miery vína boli na sude označené znakom „-“ a po obnovení zásob boli prečiarknuté, získal sa znak „+“.

V Taliansku veksláci, požičiavajúci peniaze, dávajú pred meno dlžníka výšku dlhu a pomlčku, ako naše mínus, a keď dlžník peniaze vrátil, prečiarkli to, niečo ako naše plus.

Moderné znaky „+“ sa objavili v Nemecku v poslednom desaťročí 15. storočia. vo Widmannovej knihe, ktorá bola sprievodcom účtu pre obchodníkov (1489). Už Čech Jan Widman napísal "+" a "-" pre sčítanie a odčítanie.

O niečo neskôr napísal nemecký učenec Michel Stiefel Úplnú aritmetiku, ktorá vyšla v roku 1544. Obsahuje tieto položky pre čísla: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Čísla prvého druhu nazýval „menej ako nič“ alebo „nižšie ako nič“. Čísla druhého typu nazýval „viac ako nič“ alebo „vyššie ako nič“. Samozrejme, že týmto menám rozumiete, pretože „nič“ je 0.

Záporné čísla v Egypte

Napriek takýmto pochybnostiam však boli pravidlá pre nakladanie s kladnými a zápornými číslami navrhnuté už v 3. storočí v Egypte. K zavedeniu negatívnych veličín prvýkrát došlo u Diophanta. Dokonca pre ne použil aj špeciálny znak (teraz na to používame znamienko mínus). Je pravda, že vedci sa hádajú, či diofantínsky symbol označoval presne záporné číslo alebo jednoducho operáciu odčítania, pretože v Diofantovi sa záporné čísla nevyskytujú izolovane, ale iba vo forme kladných rozdielov; a za odpovede v problémoch považuje len racionálne kladné čísla. Zároveň však Diophantus používa také obraty reči ako „Pridajme negatív na obe strany“ a dokonca formuluje pravidlo znakov: „Negatív vynásobený negatívom dáva pozitívum, zatiaľ čo negatív vynásobený pozitívom. dáva zápor“ (to, čo sa teraz bežne formuluje: „mínus a mínus dáva plus, mínus plus plus dáva mínus“).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Záporné čísla v starovekej Ázii

Pozitívne množstvá v čínskej matematike sa nazývali "chen", negatívne - "fu"; boli zobrazené v rôznych farbách: "chen" - červená, "fu" - čierna. Tento spôsob znázornenia sa používal v Číne do polovice 12. storočia, kým Li Ye nenavrhol vhodnejší zápis záporných čísel – čísla, ktoré znázorňovali záporné čísla, boli prečiarknuté pomlčkou šikmo sprava doľava. Indickí vedci, ktorí sa pokúšali nájsť príklady takéhoto odčítania v živote, ho interpretovali z hľadiska obchodných výpočtov.

Ak má obchodník 5000 r. a nakupuje tovar za 3000 rubľov, má 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Ak má 3 000 rubľov a nakúpi za 5 000 rubľov, zostane v dlhu za 2 000 rubľov. V súlade s tým sa verilo, že sa tu odpočítava 3 000 - 5 000, ale výsledkom je číslo 2 000 s bodkou navrchu, čo znamená "dvatisícový dlh."

Tento výklad mal umelý charakter, obchodník nikdy nezistil výšku dlhu odpočítaním 3000 - 5000, ale vždy odpočítal 5000 - 3000. Navyše na tomto základe bolo možné s napätím vysvetliť len pravidlá pričítania a odpočítania. "čísla s bodkami", ale v žiadnom prípade nemal vysvetľovať pravidlá násobenia alebo delenia.

V storočiach V-VI sa v indickej matematike objavujú záporné čísla a sú veľmi rozšírené. V Indii sa záporné čísla systematicky používali v podstate rovnakým spôsobom ako my teraz. Indickí matematici používali záporné čísla už od 7. storočia. n. e.: Brahmagupta s nimi sformuloval pravidlá pre aritmetické operácie. V jeho diele čítame: „majetok a majetok sú majetkom, súčet dvoch dlhov je dlh; súčet majetku a nula je majetok; súčet dvoch núl je nula... Dlh, ktorý sa odpočíta od nuly, sa stáva majetkom a majetok sa stáva dlhom. Ak je potrebné vziať majetok z dlhu a dlh z majetku, potom si vezmú svoju sumu.

Indovia nazývali kladné čísla „dhana“ alebo „swa“ (majetok) a záporné čísla – „rina“ alebo „kshaya“ (dlh). V Indii však boli problémy s pochopením a akceptovaním záporných čísel.

Záporné čísla v Európe

Európski matematici ich dlho neschvaľovali, pretože výklad „majetkového dlhu“ vyvolával zmätok a pochybnosti. Skutočne, ako možno „pričítať“ alebo „odčítať“ majetok a dlhy, aký skutočný význam môže mať „násobenie“ alebo „delenie“ majetku dlhom? (G.I. Glazer, Dejiny matematiky v školských ročníkoch IV-VI. Moskva, Školstvo, 1981)

Preto si záporné čísla vydobyli svoje miesto v matematike len veľmi ťažko. V Európe sa Leonardo Fibonacci z Pisy na začiatku 13. storočia dostatočne priblížil myšlienke zápornej veličiny, ale explicitné použitie záporných čísel prvýkrát použil na konci 15. storočia francúzsky matematik Shuquet. Autor ručne písaného pojednania o aritmetike a algebre, Veda o číslach v troch častiach. Schukeho symbolika sa približuje moderne (Matematický encyklopedický slovník. M., Sov. Encyklopédia, 1988)

Moderná interpretácia záporných čísel

V roku 1544 nemecký matematik Michael Stiefel po prvý raz považuje záporné čísla za čísla menšie ako nula (t. j. „menej ako nič“). Od tohto momentu sa na záporné čísla už nepozerá ako na dlh, ale úplne novým spôsobom. Sám Stiefel napísal: „Nula je medzi pravdivými a absurdnými číslami...“ (G.I. Glazer, Dejiny matematiky v ročníkoch IV-VI. Moskva, Vzdelávanie, 1981)

Potom sa Stiefel venuje výlučne matematike, v ktorej bol vynikajúcim samoukom. Jeden z prvých v Európe po tom, čo Nikola Shuke začal operovať so zápornými číslami.

Slávny francúzsky matematik René Descartes v Geometrii (1637) opisuje geometrickú interpretáciu kladných a záporných čísel; kladné čísla sú na číselnej osi znázornené bodmi napravo od počiatku 0, záporné vľavo. Geometrická interpretácia kladných a záporných čísel viedla k jasnejšiemu pochopeniu podstaty záporných čísel a prispela k ich rozpoznaniu.

Takmer súčasne so Stiefelom obhajoval myšlienku záporných čísel R. Bombelli Raffaele (okolo 1530-1572), taliansky matematik a inžinier, ktorý znovu objavil Diophantovu prácu.

Bombelli a Girard naopak považovali záporné čísla za celkom prijateľné a užitočné, najmä na označenie nedostatku niečoho. Moderné označenie kladných a záporných čísel znamienkami „+“ a „-“ použil nemecký matematik Widman. Výraz „nižšie ako nič“ ukazuje, že Stiefel a niektorí ďalší si v duchu predstavovali kladné a záporné čísla ako body na vertikálnej stupnici (ako stupnica teplomera). Myšlienka, ktorú neskôr rozvinul matematik A. Girard o záporných číslach ako bodoch na určitej priamke, ktoré sa nachádzajú na druhej strane nuly ako kladné, sa ukázala ako rozhodujúca pri poskytovaní práv občianstva týmto číslam, najmä ako výsledok vývoja súradnicovej metódy P. Fermata a R. Descartesa .

Záver

Vo svojej práci som skúmal históriu záporných čísel. Počas môjho výskumu som dospel k záveru:

Moderná veda sa stretáva s veličinami tak zložitého charakteru, že pre ich štúdium je potrebné vynájsť nové typy čísel.

Pri zavádzaní nových čísel sú veľmi dôležité dve okolnosti:

a) pravidlá konania o nich musia byť úplne definované a nesmú viesť k rozporom;

b) nové číselné sústavy by mali prispieť buď k riešeniu nových problémov, alebo zlepšiť už známe riešenia.

K dnešnému dňu existuje sedem všeobecne akceptovaných úrovní zovšeobecnenia čísel: prirodzené, racionálne, reálne, komplexné, vektorové, maticové a transfinitné čísla. Niektorí vedci navrhujú považovať funkcie za funkčné čísla a rozšíriť stupeň zovšeobecnenia čísel na dvanásť úrovní.

Pokúsim sa preštudovať všetky tieto sady čísel.

Dodatok

POEM

"Sčítanie záporných čísel a čísel s rôznymi znamienkami"

Ak by ste chceli zložiť

Čísla sú záporné, nie je čo smútiť:

Potrebujeme rýchlo zistiť súčet modulov,

Potom vezmite znamienko mínus a pridajte ho k nemu.

Ak sú uvedené čísla s rôznymi znamienkami,

Aby sme našli ich súčet, sme tam všetci.

Väčší modul je rýchlo veľmi voliteľný.

Od neho odpočítame ten menší.

Najdôležitejšie je nezabudnúť na znamenie!

Ktorý si dáte? - chceme sa opýtať

Prezradíme vám tajomstvo, nie je to jednoduchšie,

Znamienko, kde je modul väčší, napíšte do odpovede.

Pravidlá sčítania kladných a záporných čísel

Pridajte mínus s mínusom,

Môžete dostať mínus.

Ak pridáte mínus, plus,

To sa ukáže ako trapas?!

Vyberte znamenie čísla

Čo je silnejšie, nezívajte!

Zoberte im moduly

Áno, zmierte sa so všetkými číslami!

Pravidlá násobenia možno interpretovať aj takto:

„Priateľ môjho priateľa je môj priateľ“: + ∙ + = + .

„Nepriateľ môjho nepriateľa je môj priateľ“: ─ ∙ ─ = +.

„Priateľ môjho nepriateľa je môj nepriateľ“: + ∙ ─ = ─.

„Nepriateľ môjho priateľa je môj nepriateľ“: ─ ∙ + = ─.

Znak násobenia je bodka, má tri znaky:

Dve z nich zakryte, tretia dá odpoveď.

Napríklad.

Ako určiť znamienko súčinu 2∙(-3)?

Zatvorme znamienka plus a mínus rukami. Je tam znamienko mínus

Bibliografia

"História starovekého sveta", 5. ročník. Kolpakov, Selunskaya.

"Dejiny matematiky v staroveku", E. Kolman.

„Príručka pre študentov“. Vydavateľstvo VES, Petrohrad. 2003

Veľká matematická encyklopédia. Yakusheva G.M. atď.

Vigasin A.A., Goder G.I., "História starovekého sveta", učebnica 5. ročníka, 2001

Wikipedia. Bezplatná encyklopédia.

Vznik a rozvoj matematickej vedy: Kniha. Pre učiteľa. - M.: Osveta, 1987.

Gelfman E.G. "Pozitívne a záporné čísla", učebnica matematiky pre 6. ročník, 2001.

Hlava. vyd. M. D. Aksyonová. - M.: Avanta +, 1998.

Glazer G. I. "História matematiky v škole", Moskva, "Prosveshchenie", 1981

Detská encyklopédia „Poznám svet“, Moskva, „Osvietenie“, 1995.

Dejiny matematiky v škole, IV-VI ročník. G.I. Glazer, Moskva, Vzdelávanie, 1981.

Moskva: Filol. O-vo "WORD": OLMA-PRESS, 2005.

Malygin K.A.

Matematický encyklopedický slovník. M., Sov. encyklopédia, 1988.

Nurk E.R., Telgmaa A.E. "Matematická trieda 6", Moskva, "Osvietenie", 1989

Učebnica 5. ročník. Vilenkin, Žochov, Česnokov, Schwarzburd.

Fridman L. M.: "Štúdium matematiky", vzdelávacie vydanie, 1994

napr. Gelfman a kol., Kladné a záporné čísla v divadle Pinocchio. Učebnica matematiky pre 6. ročník. 3. vydanie, opravené, - Tomsk: Vydavateľstvo Univerzity Tomsk, 1998.

Encyklopédia pre deti. T.11. Matematika

Kladné a záporné čísla
Súradnicová čiara
Poďme rovno. Označíme na ňom bod 0 (nulu) a tento bod berieme ako počiatok.

Označme šípkou smer pohybu po priamke napravo od začiatku. V tomto smere od bodu 0 odložíme kladné čísla.

To znamená, že čísla, ktoré sú nám už známe, okrem nuly, sa nazývajú pozitívne.

Niekedy sa kladné čísla píšu so znamienkom „+“. Napríklad „+8“.

Pre stručnosť sa znamienko „+“ pred kladným číslom zvyčajne vynecháva a namiesto „+8“ jednoducho napíšu 8.

Preto sú „+3“ a „3“ rovnaké čísla, len sú inak označené.

Vyberieme si nejaký segment, ktorého dĺžku budeme brať ako jednotu a odložíme ho niekoľkokrát napravo od bodu 0. Na konci prvého segmentu je napísané číslo 1, na konci druhého - číslo 2 atď.

Po umiestnení jedného segmentu naľavo od počiatku dostaneme záporné čísla: -1; -2; atď.

Záporné čísla používa sa na označenie rôznych veličín, ako sú: teplota (pod nulou), prietok – teda záporný príjem, hĺbka – záporná výška a iné.

Ako je zrejmé z obrázku, záporné čísla sú nám už známe čísla, len so znamienkom mínus: -8; -5,25 atď.

• Číslo 0 nie je ani kladné, ani záporné.

Číselná os je zvyčajne umiestnená horizontálne alebo vertikálne.

Ak je súradnicová čiara vertikálna, smer nahor od počiatku sa zvyčajne považuje za kladný a nadol od počiatku - záporný.

Šípka ukazuje kladný smer.

Rovná čiara označená:
. referenčný bod (bod 0);
. jeden segment;
. šípka označuje kladný smer;
volal súradnicová čiara alebo číselný rad.

Opačné čísla na súradnicovej čiare
Označme na súradnicovej čiare dva body A a B, ktoré sa nachádzajú v rovnakej vzdialenosti od bodu 0 vpravo a vľavo.

V tomto prípade sú dĺžky segmentov OA a OB rovnaké.

To znamená, že súradnice bodov A a B sa líšia iba znamienkom.


O bodoch A a B sa tiež hovorí, že sú symetrické podľa pôvodu.
Súradnica bodu A je kladná "+2", súradnica bodu B má znamienko mínus "-2".
A (+2), B (-2).

• Čísla, ktoré sa líšia iba znamienkom, sa nazývajú opačné čísla. Zodpovedajúce body číselnej (súradnicovej) osi sú symetrické voči počiatku.

Každé číslo má jediné opačné číslo. Iba číslo 0 nemá protiklad, ale môžeme povedať, že je protikladné k sebe samému.

Označenie "-a" znamená opak "a". Pamätajte, že písmeno môže skrývať kladné aj záporné číslo.

Príklad:
-3 je opakom 3.

Píšeme to ako výraz:
-3 = -(+3)

Príklad:
-(-6) - číslo opačné k zápornému číslu -6. Takže -(-6) je kladné číslo 6.

Píšeme to ako výraz:
-(-6) = 6

Pridanie záporných čísel
Sčítanie kladných a záporných čísel možno analyzovať pomocou číselnej osi.

Sčítanie malých modulových čísel sa pohodlne vykonáva na súradnicovej línii, v duchu si predstavte, ako sa bod označujúci číslo pohybuje pozdĺž číselnej osi.

Zoberme si nejaké číslo, napríklad 3. Označme ho na číselnej osi bodom A.

K číslu pripočítajme kladné číslo 2. To bude znamenať, že bod A musí byť posunutý o dva segmenty jednotky kladným smerom, teda doprava. V dôsledku toho dostaneme bod B so súradnicou 5.
3 + (+ 2) = 5

Ak chcete k kladnému číslu pridať záporné číslo (-5), napríklad ku 3, bod A sa musí posunúť o 5 jednotiek dĺžky v zápornom smere, teda doľava.

V tomto prípade je súradnica bodu B -2.

Takže poradie pridávania racionálnych čísel pomocou číselnej osi bude nasledovné:
. vyznačte bod A na súradnicovej čiare so súradnicou rovnajúcou sa prvému členu;
. posuňte ho o vzdialenosť rovnajúcu sa modulu druhého členu v smere, ktorý zodpovedá znamienku pred druhým číslom (plus - pohyb doprava, mínus - doľava);
. bod B získaný na osi bude mať súradnicu, ktorá sa bude rovnať súčtu týchto čísel.

Príklad.
- 2 + (- 6) =

Pohybom z bodu - 2 doľava (keďže pred 6 je znamienko mínus), dostaneme - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Sčítanie čísel s rovnakými znakmi
Pridávanie racionálnych čísel je jednoduchšie, ak používate koncept modulu.

Predpokladajme, že potrebujeme pridať čísla, ktoré majú rovnaké znamienko.
Aby sme to urobili, zahodíme znaky čísel a vezmeme moduly týchto čísel. Moduly sčítame a znamienko dáme pred súčet, ktorý bol spoločný pre tieto čísla.

Príklad.

Príklad sčítania záporných čísel.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• Ak chcete pridať čísla rovnakého znamienka, musíte pridať ich moduly a umiestniť znamienko pred súčet, ktorý bol pred pojmami.

Sčítanie čísel s rôznymi znakmi
Ak majú čísla rôzne znamienka, potom konáme trochu inak ako pri sčítaní čísel s rovnakými znamienkami.
. Značky pred číslami vyhodíme, to znamená, že vezmeme ich moduly.
. Odčítajte menšie od väčšieho.
. Pred rozdiel sme dali znamienko, ktoré malo číslo s väčším modulom.

Príklad sčítania záporného a kladného čísla.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Príklad sčítania zmiešaných čísel.

Ak chcete pridať čísla rôznych znakov:
. odpočítať menší modul od väčšieho modulu;
. pred výsledný rozdiel vložte znamienko čísla, ktoré má väčší modul.

Odčítanie záporných čísel
Ako viete, odčítanie je opakom sčítania.
Ak sú a a b kladné čísla, potom odčítanie čísla b od čísla a znamená nájsť číslo c, ktoré po pripočítaní k číslu b dostane číslo a.
a - b = c alebo c + b = a

Definícia odčítania platí pre všetky racionálne čísla. T.j odčítanie kladných a záporných čísel možno nahradiť pridaním.

• Ak chcete od jedného čísla odpočítať ďalšie, musíte k menovke pridať opačné číslo.

Alebo iným spôsobom môžeme povedať, že odčítanie čísla b je rovnaké sčítanie, ale s číslom opačným k číslu b.
a - b = a + (- b)

Príklad.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Príklad.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• Oplatí sa zapamätať si nižšie uvedené výrazy.
• 0 - a = - a
• a - 0 = a
• a - a = 0

Pravidlá pre odčítanie záporných čísel
Ako môžete vidieť z vyššie uvedených príkladov, odčítanie čísla b je sčítanie s číslom opačným k číslu b.
Toto pravidlo sa zachováva nielen pri odčítaní menšieho čísla od väčšieho čísla, ale umožňuje aj odčítanie väčšieho čísla od menšieho čísla, to znamená, že vždy nájdete rozdiel medzi dvoma číslami.

Rozdiel môže byť kladné číslo, záporné číslo alebo nula.

Príklady odčítania záporných a kladných čísel.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Je vhodné si zapamätať pravidlo znamienka, ktoré vám umožňuje znížiť počet zátvoriek.
Znamienko plus nemení znamienko čísla, takže ak je pred zátvorkou plus, znamienko v zátvorke sa nemení.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Znamienko mínus pred zátvorkou obráti znamienko čísla v zátvorke.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Z rovnosti je zrejmé, že ak sú pred a vo vnútri zátvoriek rovnaké znamienka, dostaneme „+“ a ak sú znamienka odlišné, dostaneme „-“.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Pravidlo o znamienkach je zachované aj vtedy, ak v zátvorke nie je jedno číslo, ale algebraický súčet čísel.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Upozorňujeme, že ak je v zátvorkách niekoľko čísel a pred zátvorkami je znamienko mínus, znamienka pred všetkými číslami v týchto zátvorkách sa musia zmeniť.

Aby ste si zapamätali pravidlo znakov, môžete si vytvoriť tabuľku na určenie znakov čísla.
Podpísať pravidlo pre čísla

Alebo sa naučte jednoduché pravidlo.

• Dva zápory potvrdzujú,
• Plus krát mínus sa rovná mínus.

Násobenie záporných čísel
Pomocou konceptu modulu čísla formulujeme pravidlá pre násobenie kladných a záporných čísel.

Násobenie čísel s rovnakými znamienkami
Prvý prípad, s ktorým sa môžete stretnúť, je násobenie čísel s rovnakými znamienkami.
Ak chcete vynásobiť dve čísla rovnakým znamienkom:
. násobiť moduly čísel;
. pred výsledný súčin vložte znamienko „+“ (pri písaní odpovede možno znamienko plus pred prvým číslom vľavo vynechať).

Príklady násobenia záporných a kladných čísel.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Násobenie čísel rôznymi znakmi
Druhým možným prípadom je násobenie čísel s rôznymi znamienkami.
Ak chcete vynásobiť dve čísla rôznymi znamienkami:
. násobiť moduly čísel;
. dať pred výsledné dielo znak „-“.
Príklady násobenia záporných a kladných čísel.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Pravidlá pre znaky pre násobenie
Zapamätať si pravidlo znakov pre násobenie je veľmi jednoduché. Toto pravidlo je rovnaké ako pravidlo rozšírenia zátvoriek.

• Dva zápory potvrdzujú,
• Plus krát mínus sa rovná mínus.

V "dlhých" príkladoch, v ktorých dochádza iba k násobeniu, môže byť znamienko súčinu určené počtom negatívnych faktorov.

o dokonca počet negatívnych faktorov, výsledok bude pozitívny a s zvláštny množstvo je záporné.
Príklad.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

V príklade je päť záporných násobiteľov. Takže znamienko výsledku bude mínus.
Teraz vypočítame súčin modulov, ignorujúc znamienka.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Konečný výsledok vynásobenia pôvodných čísel bude:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Násobenie nulou a jednotkou
Ak je medzi faktormi číslo nula alebo kladné číslo, potom sa násobenie vykoná podľa známych pravidiel.
. 0 a = 0
. a. 0 = 0
. a. 1 = a
Príklady:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Osobitnú úlohu pri násobení racionálnych čísel zohráva záporná jednotka (- 1).

• Po vynásobení (- 1) sa číslo obráti.

Doslovne možno túto vlastnosť zapísať:
a. (-1) = (-1). a = - a

Pri sčítaní, odčítaní a násobení racionálnych čísel sa zachová poradie operácií stanovené pre kladné čísla a nulu.

Príklad násobenia záporných a kladných čísel.

Delenie záporných čísel
Ako deliť záporné čísla je ľahké pochopiť, nezabudnite, že delenie je opakom násobenia.

Ak sú a a b kladné čísla, potom delenie čísla a číslom b znamená nájdenie čísla c, ktoré po vynásobení b dostane číslo a.

Táto definícia delenia je platná pre akékoľvek racionálne čísla, pokiaľ sú deliteľ nenulový.

Preto napríklad vydeliť číslo (- 15) číslom 5 znamená nájsť číslo, ktoré po vynásobení číslom 5 dostane číslo (- 15). Toto číslo bude (- 3), od r
(- 3) . 5 = - 15

znamená

(- 15) : 5 = - 3

Príklady delenia racionálnych čísel.
1. 10 : 5 = 2 od 2 . 5 = 10
2. (- 4): (- 2) = 2 od 2 . (-2) = -4
3. (- 18) : 3 = - 6 od (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, keďže (- 3) . (-4) = 12

Z príkladov je vidieť, že podiel dvoch čísel s rovnakými znamienkami je kladné číslo (príklady 1, 2) a podiel dvoch čísel s rôznymi znamienkami je záporné číslo (príklady 3, 4).

Pravidlá delenia záporných čísel
Ak chcete nájsť modul kvocientu, musíte vydeliť modul deliteľa modulom deliča.
Ak teda chcete rozdeliť dve čísla rovnakými znamienkami, potrebujete:

. pred výsledok uveďte znamienko „+“.
Príklady delenia čísel s rovnakými znamienkami:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Rozdelenie dvoch čísel rôznymi znamienkami:
. vydeľte modul deliteľa modulom deliča;
. pred výsledok uveďte znak „-“.
Príklady delenia čísel rôznymi znamienkami:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Na určenie podielového znaku môžete použiť aj nasledujúcu tabuľku.
Pravidlo znakov pri delení

Pri výpočte "dlhých" výrazov, v ktorých sa objavuje iba násobenie a delenie, je veľmi vhodné použiť pravidlo znamienka. Napríklad na výpočet zlomku

Môžete venovať pozornosť tomu, že v čitateli sú 2 znamienka „mínus“, ktoré po vynásobení dávajú „plus“. V menovateli sú aj tri znamienka mínus, ktoré po vynásobení dávajú mínus. Preto bude nakoniec výsledok so znamienkom mínus.

Zníženie zlomkov (ďalšie akcie s modulmi čísel) sa vykonáva rovnakým spôsobom ako predtým:

• Podiel delenia nuly nenulovým číslom je nula.
• 0: a = 0, a ≠ 0
• NEDELTE nulou!

Všetky doteraz známe pravidlá delenia jednotkou platia aj pre množinu racionálnych čísel.
. a: 1 = a
. a: (- 1) = - a
. a: a = 1
kde a je ľubovoľné racionálne číslo.

Závislosti medzi výsledkami násobenia a delenia, známe pre kladné čísla, sú zachované aj pre všetky racionálne čísla (okrem čísla nula):
. Ak . b = c; a = c: b; b = c: a;
. ak a: b = c; a = s. b; b=a:c
Tieto závislosti sa používajú na nájdenie neznámeho činiteľa, deliteľa a deliteľa (pri riešení rovníc), ako aj na kontrolu výsledkov násobenia a delenia.

Príklad hľadania neznámeho.
X . (-5) = 10

x=10: (-5)

x = -2

Znamienko mínus v zlomkoch
Vydeľte číslo (- 5) 6 a číslo 5 (- 6).

Pripomíname, že čiara v zápise obyčajného zlomku je rovnakým deliacim znakom a podiel každého z týchto akcií zapisujeme ako záporný zlomok.

Znamienko mínus v zlomku teda môže byť:
. pred zlomkom
. v čitateli;
. v menovateli.

• Pri písaní záporných zlomkov môžete pred zlomok umiestniť znamienko mínus, preniesť ho z čitateľa do menovateľa alebo z menovateľa do čitateľa.

Toto sa často používa pri vykonávaní operácií so zlomkami, čo uľahčuje výpočty.

Príklad. Upozorňujeme, že po umiestnení znamienka mínus pred zátvorku odčítame menšie od väčšieho modulu podľa pravidiel pre sčítanie čísel s rôznymi znamienkami.


Pomocou opísanej vlastnosti prenosu znamienka v zlomkoch môžete konať bez toho, aby ste zistili, ktorý modul z týchto zlomkových čísel je väčší.

Pozostáva z kladných (prirodzených) čísel, záporných čísel a nuly.

Všetky záporné čísla a iba oni sú menšie ako nula. Na číselnej osi sú záporné čísla umiestnené naľavo od nuly. Pre ne, rovnako ako pre kladné čísla, je definovaný poradový vzťah, ktorý umožňuje porovnávať jedno celé číslo s druhým.

Pre každé prirodzené číslo n existuje iba jedno záporné číslo označené ako -n, ktorý dopĺňa n na nulu:

Kompletná a dosť rigorózna teória záporných čísel bola vytvorená až v 19. storočí (William Hamilton a Hermann Grassmann).

Slávne záporné čísla

pozri tiež

Literatúra

• Vygodsky M. Ya. Príručka elementárnej matematiky. - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glazer G.I. História matematiky v škole. - M .: Školstvo, 1964. - 376 s.

Poznámky

Nadácia Wikimedia. 2010.

• Kameň
• Ozón (jednoznačnosť)

Pozrite si, čo je „záporné číslo“ v iných slovníkoch:

NEGATÍVNE ČÍSLO- reálne číslo a menšie ako nula, t.j. vyhovujúce nerovnici a ... Veľká polytechnická encyklopédia- 1,50. záporné binomické rozdelenie Rozdelenie pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej X také, že pre x = 0, 1, 2, ... a parametre c > 0 (kladné celé číslo), 0< p < 1, где Примечания 1. Название… … Slovník-príručka termínov normatívnej a technickej dokumentácie

Vlčie číslo- (W) kvantitatívna charakteristika stupňa slnečnej aktivity; predstavuje počet slnečných škvŕn a ich skupín vyjadrený vo forme podmieneného ukazovateľa: W \u003d k (m + 10n), kde m je celkový počet všetkých slnečných škvŕn usporiadaných v skupinách alebo umiestnených ... ... ekológia človeka

Záporné čísla sú čísla so znamienkom mínus (-), napríklad -1, -2, -3. Číta sa ako: mínus jeden, mínus dva, mínus tri.

Príklad aplikácie záporné čísla je teplomer ukazujúci teplotu tela, vzduchu, pôdy alebo vody. V zime, keď je vonku veľmi chladno, je teplota negatívna (alebo, ako sa hovorí, „mínus“).

Napríklad -10 stupňov chladu:

Zvyčajné čísla, ktoré sme uvažovali skôr, ako napríklad 1, 2, 3, sa nazývajú kladné. Kladné čísla sú čísla so znamienkom plus (+).

Pri písaní kladných čísel sa znamienko + nezapisuje, preto vidíme nám známe čísla 1, 2, 3. Treba však mať na pamäti, že tieto kladné čísla vyzerajú takto: +1, + 2, +3.

Obsah lekcie

Toto je priamka, na ktorej sú umiestnené všetky čísla: záporné aj kladné. Nasledovne:

Tu sú zobrazené čísla od -5 do 5. V skutočnosti je súradnicová čiara nekonečná. Na obrázku je zobrazený len jeho malý fragment.

Čísla na súradnicovej čiare sú označené ako bodky. Na obrázku je východiskovým bodom tučná čierna bodka. Odpočítavanie začína od nuly. Naľavo od referenčného bodu sú označené záporné čísla a napravo kladné čísla.

Súradnicová čiara pokračuje neobmedzene na oboch stranách. Nekonečno sa v matematike označuje symbolom ∞. Záporný smer bude označený symbolom −∞ a pozitívny smer symbolom +∞. Potom môžeme povedať, že všetky čísla od mínus nekonečna do plus nekonečna sa nachádzajú na súradnicovej čiare:

Každý bod na súradnicovej čiare má svoj vlastný názov a súradnicu. názov je akékoľvek latinské písmeno. Koordinovať je číslo, ktoré udáva polohu bodu na tejto priamke. Jednoducho povedané, súradnica je rovnaké číslo, ktoré chceme označiť na súradnicovej čiare.

Napríklad bod A(2) znie ako "bod A so súradnicou 2" a bude označený na súradnicovej čiare takto:

Tu A je názov bodu, 2 je súradnica bodu A.

Príklad 2 Bod B(4) znie takto "bod B na súradnici 4"

Tu B je názov bodu, 4 je súradnica bodu b.

Príklad 3 Bod M(−3) sa číta ako "bod M so súradnicou mínus tri" a bude označený na súradnicovej čiare takto:

Tu M je názov bodu, −3 je súradnica bodu M .

Body môžu byť označené ľubovoľnými písmenami. Je však všeobecne akceptované označovať ich veľkými latinskými písmenami. Navyše začiatok správy, ktorá sa inak nazýva pôvodu zvyčajne sa označuje veľkým písmenom O

Je ľahké vidieť, že záporné čísla ležia naľavo od počiatku a kladné čísla napravo.

Existujú frázy ako "čím viac doľava, tým menej" a "čím viac vpravo, tým viac". Pravdepodobne ste už uhádli, o čom hovoríme. S každým krokom doľava sa číslo bude znižovať smerom nadol. A s každým krokom doprava sa číslo bude zvyšovať. Šípka smerujúca doprava označuje kladný smer počítania.

Porovnanie záporných a kladných čísel

Pravidlo 1 Akékoľvek záporné číslo je menšie ako akékoľvek kladné číslo.

Napríklad porovnajme dve čísla: −5 a 3. Mínus päť menšie ako tri, napriek tomu, že päťka upúta na prvom mieste ako číslo väčšie ako tri.

Je to preto, že −5 je záporné a 3 kladné. Na súradnicovej čiare môžete vidieť, kde sa nachádzajú čísla −5 a 3

Je vidieť, že −5 leží vľavo a 3 vpravo. A to sme povedali "čím viac doľava, tým menej" . A pravidlo hovorí, že akékoľvek záporné číslo je menšie ako akékoľvek kladné číslo. Z toho teda vyplýva

−5 < 3

"Mínus päť je menej ako tri"

Pravidlo 2 Z dvoch záporných čísel je menšie to, ktoré sa nachádza vľavo na súradnicovej čiare.

Napríklad porovnajme čísla -4 a -1. mínus štyri menšie ako mínus jedna.

Je to opäť spôsobené tým, že na súradnicovej čiare −4 sa nachádza viac vľavo ako −1

Je vidieť, že -4 leží vľavo a -1 vpravo. A to sme povedali "čím viac doľava, tým menej" . A pravidlo hovorí, že z dvoch záporných čísel je to, ktoré sa nachádza vľavo na súradnicovej čiare, menšie. Z toho teda vyplýva

Mínus štyri je menej ako mínus jedna

Pravidlo 3 Nula je väčšia ako akékoľvek záporné číslo.

Napríklad porovnajme 0 a -3. nula viac ako mínus tri. Je to spôsobené tým, že na súradnicovej čiare je 0 umiestnená vpravo ako -3

Je vidieť, že 0 leží vpravo a −3 vľavo. A to sme povedali "čím viac vpravo, tým viac" . A pravidlo hovorí, že nula je väčšia ako akékoľvek záporné číslo. Z toho teda vyplýva

Nula je väčšia ako mínus tri

Pravidlo 4 Nula je menšia ako akékoľvek kladné číslo.

Napríklad porovnajte 0 a 4. Nula menšie ako 4. V zásade je to jasné a pravdivé. Ale skúsime to vidieť na vlastné oči, opäť na súradnicovej čiare:

Je vidieť, že na súradnicovej čiare je 0 umiestnená vľavo a 4 vpravo. A to sme povedali "čím viac doľava, tým menej" . A pravidlo hovorí, že nula je menšia ako akékoľvek kladné číslo. Z toho teda vyplýva

Nula je menšia ako štyri

Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine Vkontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie

Ako špeciálne číslo nemá žiadne znamienko.

Príklady písania číslic: + 36,6; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ -273;\ 142.) Posledné číslo nemá žiadne znamienko, a preto je kladné.

Všimnite si, že plus a mínus označujú znamienko pre čísla, ale nie pre doslovné premenné alebo algebraické výrazy. Napríklad vo vzorcoch -t; a + b − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) symboly plus a mínus neurčujú znamienko výrazu, ktorému predchádza, ale znamienko aritmetickej operácie, takže znamienko výsledku môže byť ľubovoľné, určuje sa až po vyhodnotení výrazu.

Okrem aritmetiky sa pojem znamienka používa aj v iných odvetviach matematiky, a to aj pre nečíselné matematické objekty (pozri nižšie). Koncept znaku je dôležitý aj v tých odvetviach fyziky, kde sú fyzikálne veličiny rozdelené do dvoch tried, podmienečne nazývaných pozitívne a negatívne - napríklad elektrické náboje, pozitívna a negatívna spätná väzba, rôzne sily príťažlivosti a odpudzovania.

Znak čísla

Kladné a záporné čísla

Nule nie je priradené žiadne znamienko, tzn + 0 (\displaystyle +0) a − 0 (\displaystyle -0) je rovnaké číslo v aritmetike. V matematickej analýze význam symbolov + 0 (\displaystyle +0) a − 0 (\displaystyle -0) môže sa líšiť, pozri o tom Záporná a kladná nula ; v informatike sa počítačové kódovanie dvoch núl (typ celé číslo) môže líšiť, pozri priamy kód.

V súvislosti s vyššie uvedeným sa zavádza niekoľko ďalších užitočných pojmov:

• číslo nezáporné ak je väčší alebo rovný nule.
• číslo nepozitívne ak je menšie alebo rovné nule.
• Kladné nenulové čísla a záporné nenulové čísla sa niekedy (aby sa zdôraznilo, že sú nenulové) nazývajú „prísne pozitívne“ a „prísne negatívne“.

Rovnaká terminológia sa niekedy používa pre skutočné funkcie. Napríklad funkcia sa volá pozitívne ak sú všetky jeho hodnoty kladné, nezáporné, ak sú všetky jej hodnoty nezáporné atď. Tiež hovoria, že funkcia je kladná/záporná v danom intervale jej definície.

Príklad použitia funkcie nájdete v článku Druhá odmocnina#Komplexné čísla .

Modul (absolútna hodnota) čísla

Ak číslo x (\displaystyle x) zahodí znamienko, zavolá sa výsledná hodnota modul alebo absolútna hodnotačísla x (\displaystyle x), označuje sa | x | . (\displaystyle |x|.) Príklady: | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.)

Pre akékoľvek reálne čísla a , b (\displaystyle a,b) platia nasledujúce vlastnosti.

Znak nečíselných objektov

Znak uhla

Hodnota uhla v rovine sa považuje za kladnú, ak sa meria proti smeru hodinových ručičiek, v opačnom prípade je záporná. Dva prípady rotácie sú podobne klasifikované:

• rotácia v rovine - napríklad rotácia o (–90°) je v smere hodinových ručičiek;
• rotácia v priestore okolo orientovanej osi sa spravidla považuje za pozitívnu, ak je splnené „pravidlo gimlet“, inak sa považuje za negatívnu.

smerová tabuľa

V analytickej geometrii a fyzike sú pokroky pozdĺž danej priamky alebo krivky často podmienene rozdelené na pozitívne a negatívne. Takéto rozdelenie môže závisieť od formulácie problému alebo od zvoleného súradnicového systému. Napríklad pri výpočte dĺžky oblúka krivky je často vhodné priradiť tejto dĺžke znamienko mínus v jednom z dvoch možných smerov.

Prihláste sa do počítača

najvýznamnejší kúsok
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Väčšina počítačov používa na vyjadrenie znamienka celého čísla