Výpočet chýb v priamych a nepriamych meraniach
Meraním sa rozumie porovnanie nameranej hodnoty s inou hodnotou, branou ako merná jednotka. Merania sa vykonávajú empiricky pomocou špeciálnych technických prostriedkov.
Priame merania sa nazývajú merania, ktorých výsledok sa získava priamo z experimentálnych údajov (napríklad meranie dĺžky pravítkom, času stopkami, teploty teplomerom). Nepriame merania sú merania, pri ktorých sa požadovaná hodnota veličiny zistí na základe známeho vzťahu medzi touto veličinou a veličinami, ktorých hodnoty sa získavajú v procese priamych meraní (napríklad určovanie rýchlosti na prejdenej vzdialenosti a čas https://pandia.ru/text/78/ 464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).
Akékoľvek meranie, bez ohľadu na to, ako starostlivo sa vykonáva, je nevyhnutne sprevádzané chybou (chybou) - odchýlkou výsledku merania od skutočnej hodnoty meranej veličiny.
Systematické chyby sú chyby, ktorých veľkosť je rovnaká vo všetkých meraniach vykonaných tou istou metódou pomocou rovnakých meracích prístrojov za rovnakých podmienok. Vyskytujú sa systematické chyby:
V dôsledku nedokonalosti prístrojov používaných pri meraniach (napr. ručička ampérmetra sa môže pri absencii prúdu odchyľovať od nulového delenia; kladina môže mať nerovnaké ramená a pod.);
V dôsledku nedostatočného rozvoja teórie metódy merania, t. j. metóda merania obsahuje zdroj chýb (chyba vzniká napríklad vtedy, keď sa pri kalorimetrických prácach neberie do úvahy strata tepla do okolia alebo pri vážení na analytickom prístroji). rovnováha sa vykonáva bez zohľadnenia vztlakovej sily vzduchu);
V dôsledku toho, že sa neberie do úvahy zmena podmienok experimentu (napr. pri dlhodobom prechode prúdu obvodom sa v dôsledku tepelného účinku prúdu zmenia elektrické parametre). zmena okruhu).
Systematické chyby je možné eliminovať, ak sa študujú vlastnosti prístrojov, teória experimentu sa podrobnejšie rozvíja a na základe toho sa korigujú výsledky merania.
Náhodné chyby sú chyby, ktorých veľkosť je odlišná aj pre merania vykonané rovnakým spôsobom. Ich príčiny spočívajú tak v nedokonalosti našich zmyslov, ako aj v mnohých ďalších okolnostiach, ktoré merania sprevádzajú a ktoré nie je možné vopred vziať do úvahy (dochádza k náhodným chybám, napríklad ak je rovnosť osvetľovacích polí fotometra nastavená okom ak je okamih maximálnej výchylky matematického kyvadla určený okom; pri zistení okamihu zvukovej rezonancie sluchom; pri vážení na analytických váhach, ak sa na váhy prenášajú vibrácie podlahy a stien a pod.) .
Náhodným chybám sa nedá vyhnúť. Ich výskyt sa prejavuje tak, že pri opakovaní meraní rovnakej veličiny s rovnakou starostlivosťou sa získajú číselné výsledky, ktoré sa navzájom líšia. Ak sa teda pri opakovaní meraní získali rovnaké hodnoty, neznamená to neprítomnosť náhodných chýb, ale nedostatočnú citlivosť metódy merania.
Náhodné chyby menia výsledok v jednom aj v druhom smere od skutočnej hodnoty, preto, aby sa znížil vplyv náhodných chýb na výsledok merania, merania sa zvyčajne opakujú mnohokrát a aritmetický priemer všetkých výsledkov merania je prijaté.
Vedome nesprávne výsledky - k chybám dochádza v dôsledku porušenia základných podmienok merania, v dôsledku nepozornosti alebo nedbanlivosti experimentátora. Napríklad pri slabom osvetlení namiesto „3“ napíšte „8“; vzhľadom na to, že experimentátor je rozptýlený, môže pri počítaní počtu výkyvov kyvadla zablúdiť; z nedbanlivosti alebo nepozornosti si môže pomýliť hmotnosti bremien pri určovaní tuhosti pružiny atď. Vonkajším znakom vynechania je prudký rozdiel vo veľkosti od výsledkov iných meraní. Ak sa zistí chyba, výsledok merania by sa mal okamžite zahodiť a samotné meranie by sa malo zopakovať. Identifikáciu omylov napomáha aj porovnanie výsledkov meraní získaných rôznymi experimentátormi.
Merať fyzikálnu veličinu znamená nájsť interval spoľahlivosti, v ktorom leží jej skutočná hodnota https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21" >. .png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> prípadoch, skutočná hodnota nameranej hodnoty spadá do intervalu spoľahlivosti. hodnota je vyjadrená buď v zlomkoch jednotky alebo v percentách Väčšina meraní je obmedzená na úroveň spoľahlivosti 0,9 alebo 0,95. Niekedy, keď sa vyžaduje extrémne vysoký stupeň spoľahlivosti, sa používa úroveň spoľahlivosti 0,999 Spolu s úrovňou spoľahlivosti, často sa používa hladina významnosti, ktorá špecifikuje pravdepodobnosť, že skutočná hodnota nespadá do intervalu spoľahlivosti Výsledok merania je prezentovaný ako
kde https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> je absolútna chyba. Teda limity intervalu, https://pandia.ru / text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> leží v tomto rozsahu.
Ak chcete nájsť a , vykonajte sériu jednotlivých meraní. Zvážte konkrétny príklad..png" width="71" height="23 src=">; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height= " 23">.png" width="72" height="24">. Hodnoty sa môžu opakovať, napríklad hodnoty a https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4.png " width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21">. Podľa toho hladina významnosti .
Stredná hodnota nameranej hodnoty
K chybe merania prispieva aj merací prístroj. Táto chyba je spôsobená konštrukciou zariadenia (trenie v osi ukazovacieho zariadenia, zaoblenie vytvorené digitálnym alebo diskrétnym ukazovacím zariadením atď.). Svojou povahou ide o systematickú chybu, ale nie je známa ani jej veľkosť, ani jej znamenie pre tento konkrétny nástroj. Prístrojová chyba sa vyhodnocuje v procese testovania veľkej série nástrojov rovnakého typu.
Normalizovaný rozsah tried presnosti meracích prístrojov zahŕňa tieto hodnoty: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Trieda presnosti zariadenia sa rovná relatívnej chybe zariadenia vyjadrenej v percentách vo vzťahu k celému rozsahu stupnice. Chyba pasu zariadenia
Akékoľvek merania sa vždy robia s nejakými chybami spojenými s obmedzenou presnosťou meracích prístrojov, nesprávnym výberom, a chybou meracej metódy, fyziológie experimentátora, charakteristikou meraných objektov, zmenami podmienok merania a pod. Preto úloha merania zahŕňa zistenie nielen samotnej veličiny, ale aj chyby merania, t.j. interval, v ktorom sa najpravdepodobnejšie nájde skutočná hodnota meranej veličiny. Napríklad pri meraní časového intervalu t stopkami s hodnotou delenia 0,2 s môžeme povedať, že jeho skutočná hodnota je v intervale od s do 
s Nameraná hodnota teda vždy obsahuje nejakú chybu 
, kde 
a X sú skutočné a namerané hodnoty skúmanej veličiny. Hodnota 
volal absolútna chyba(chybové) merania a výraz 
charakterizujúca presnosť merania je tzv relatívna chyba.
Pre experimentátora je celkom prirodzené, že sa snaží vykonať každé meranie s čo najväčšou dosiahnuteľnou presnosťou, ale takýto prístup nie je vždy vhodný. Čím presnejšie chceme tú či onú veličinu zmerať, čím zložitejšie prístroje musíme použiť, tým viac času si tieto merania vyžiadajú. Presnosť konečného výsledku by preto mala zodpovedať účelu experimentu. Teória chýb dáva odporúčania, ako by sa mali vykonávať merania a ako by sa mali spracovať výsledky, aby bola chybovosť čo najmenšia.
Všetky chyby vznikajúce pri meraniach sa zvyčajne delia na tri typy – systematické, náhodné a vynechané, čiže hrubé chyby.
Systematické chyby z dôvodu obmedzenej presnosti výroby prístrojov (chyby prístrojov), nedostatkov zvolenej metódy merania, nepresnosti výpočtového vzorca, nesprávnej inštalácie prístroja a pod. Systematické chyby sú teda spôsobené faktormi, ktoré pôsobia rovnakým spôsobom, keď sa rovnaké merania opakujú mnohokrát. Hodnota tejto chyby sa systematicky opakuje alebo mení podľa určitého zákona. Niektoré systematické chyby je možné eliminovať (v praxi je to vždy ľahko dosiahnuteľné) zmenou metódy merania, zavedením korekcií údajov prístrojov a zohľadnením neustáleho vplyvu vonkajších faktorov.
Systematická (inštrumentálna) chyba pri opakovaných meraniach síce udáva odchýlku nameranej hodnoty od skutočnej hodnoty v jednom smere, nikdy však nevieme, ktorým smerom. Preto sa inštrumentálna chyba zapisuje s dvojitým znamienkom
Náhodné chyby sú spôsobené veľkým množstvom náhodných príčin (zmeny teploty, tlaku, otrasy budovy a pod.), ktorých vplyv na každé meranie je iný a nie je možné ich vopred zohľadniť. Náhodné chyby vznikajú aj v dôsledku nedokonalosti zmyslových orgánov experimentátora. Medzi náhodné chyby patria aj chyby spôsobené vlastnosťami meraného objektu.
Nie je možné vylúčiť náhodné chyby jednotlivých meraní, ale je možné znížiť vplyv týchto chýb na konečný výsledok vykonaním viacerých meraní. Ak sa ukáže, že náhodná chyba je výrazne menšia ako inštrumentálna (systematická) chyba, potom nemá zmysel ďalej znižovať náhodnú chybu zvyšovaním počtu meraní. Ak je náhodná chyba väčšia ako inštrumentálna chyba, potom by sa mal počet meraní zvýšiť, aby sa znížila hodnota náhodnej chyby a aby bola menšia alebo o jeden rád s inštrumentálnou chybou.
Chyby alebo omyly- ide o nesprávne údaje na zariadení, nesprávne zaznamenanie odčítania atď. Chyby z uvedených dôvodov sú spravidla jasne viditeľné, pretože im zodpovedajúce hodnoty sa výrazne líšia od iných hodnôt. Chyby je potrebné eliminovať kontrolným meraním. Šírka intervalu, v ktorom ležia skutočné hodnoty meraných veličín, bude teda určená iba náhodnými a systematickými chybami.
2 . Odhad systematickej (inštrumentálnej) chyby
Pre priame merania hodnota meranej veličiny sa odčíta priamo na stupnici meracieho prístroja. Chyba čítania môže dosiahnuť niekoľko desatín dielika stupnice. Zvyčajne sa pri takýchto meraniach veľkosť systematickej chyby považuje za rovnajúcu sa polovici dielika stupnice meracieho prístroja. Napríklad pri meraní posuvným meradlom s hodnotou delenia 0,05 mm sa hodnota chyby prístrojového merania rovná 0,025 mm.
Digitálne meracie prístroje udávajú hodnotu veličín, ktoré merajú s chybou rovnajúcou sa hodnote jednej jednotky poslednej číslice na stupnici prístroja. Ak teda digitálny voltmeter ukazuje hodnotu 20,45 mV, potom je absolútna chyba merania 
mV.
Systematické chyby vznikajú aj pri použití konštantných hodnôt určených z tabuliek. V takýchto prípadoch sa chyba rovná polovici poslednej platnej číslice. Napríklad, ak je v tabuľke hodnota hustoty ocele daná hodnotou rovnajúcou sa 7,9∙10 3 kg / m 3, potom sa absolútna chyba v tomto prípade rovná 
kg/m3.
Niektoré funkcie pri výpočte inštrumentálnych chýb elektrických meracích prístrojov budú diskutované nižšie.
Pri určovaní systematickej (inštrumentálnej) chyby nepriamych meraní funkčná hodnota 
používa sa vzorec
, (1)
kde 
- prístrojové chyby priamych meraní veličiny 
, 
- parciálne derivácie funkcie vzhľadom na premennú .
Ako príklad získame vzorec na výpočet systematickej chyby pri meraní objemu valca. Vzorec na výpočet objemu valca je
.
Parciálne derivácie vzhľadom na premenné d a h budú rovné
, 
.
Vzorec na určenie absolútnej systematickej chyby pri meraní objemu valca podľa (2...) má teda nasledujúci tvar
,
kde 
a 
inštrumentálne chyby pri meraní priemeru a výšky valca
3. Náhodný odhad chyby.
Interval spoľahlivosti a pravdepodobnosť spoľahlivosti
Pre veľkú väčšinu jednoduchých meraní je celkom dobre splnený takzvaný normálny zákon náhodných chýb ( Gaussov zákon), odvodené z nasledujúcich empirických ustanovení.
chyby merania môžu mať súvislý rad hodnôt;
pri veľkom počte meraní sa rovnako často vyskytujú chyby rovnakej veľkosti, ale iného znamienka,
Čím väčšia je náhodná chyba, tým je menej pravdepodobné, že sa vyskytne.
Graf normálneho Gaussovho rozdelenia je na obr.1. Krivková rovnica má tvar
, (2)
kde 
- distribučná funkcia náhodných chýb (chýb), charakterizujúca pravdepodobnosť chyby 
, σ je stredná kvadratická chyba.
Hodnota σ nie je náhodná veličina a charakterizuje proces merania. Ak sa podmienky merania nezmenia, potom σ zostáva konštantné. Druhá mocnina tejto veličiny sa nazýva rozptyl meraní.Čím menší rozptyl, tým menší rozptyl jednotlivých hodnôt a tým vyššia presnosť merania.
Presná hodnota strednej kvadratickej chyby σ, ako aj skutočná hodnota meranej veličiny, nie sú známe. Existuje takzvaný štatistický odhad tohto parametra, podľa ktorého sa stredná štvorcová chyba rovná strednej štvorcovej chybe aritmetického priemeru. 
. Hodnota ktorej je určená vzorcom
, (3)
kde 
- výsledok i-tá dimenzia; 
- aritmetický priemer získaných hodnôt; n
je počet meraní.
Čím väčší je počet meraní, tým menší a viac sa približuje k σ. Ak je skutočná hodnota nameranej hodnoty μ, jej aritmetický priemer získaná ako výsledok meraní a náhodná absolútna chyba, potom sa výsledok merania zapíše ako 
.
Hodnotový interval od 
predtým 
, do ktorej spadá skutočná hodnota meranej veličiny μ, sa nazýva interval spoľahlivosti. Keďže ide o náhodnú premennú, skutočná hodnota spadá do intervalu spoľahlivosti s pravdepodobnosťou α, ktorá sa nazýva pravdepodobnosť spoľahlivosti, alebo spoľahlivosť merania. Táto hodnota sa číselne rovná ploche tieňovaného krivočiareho lichobežníka. (pozri obrázok.)
Toto všetko platí pre dostatočne veľký počet meraní, keď je blízko σ. Na nájdenie intervalu spoľahlivosti a úrovne spoľahlivosti pre malý počet meraní, ktorými sa zaoberáme v priebehu laboratórnych prác, používame Študentovo rozdelenie pravdepodobnosti. Toto je rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej 
volal Študentský koeficient, udáva hodnotu intervalu spoľahlivosti v zlomkoch strednej kvadratickej chyby aritmetického priemeru.
. (4)
Rozdelenie pravdepodobnosti tejto veličiny nezávisí od σ 2, ale v podstate závisí od počtu experimentov n. S nárastom počtu experimentov nŠtudentovo rozdelenie má tendenciu ku Gaussovmu rozdeleniu.
Distribučná funkcia je tabuľková (tabuľka 1). Hodnota Studentovho koeficientu je v priesečníku priamky zodpovedajúcej počtu meraní n a stĺpec zodpovedajúci hladine spoľahlivosti α
Stôl 1.
Pomocou údajov v tabuľke môžete:
určiť interval spoľahlivosti pri určitej pravdepodobnosti;
vyberte interval spoľahlivosti a určte úroveň spoľahlivosti.
Pre nepriame merania sa stredná kvadratická chyba aritmetického priemeru funkcie vypočíta podľa vzorca
. (5)
Interval spoľahlivosti a pravdepodobnosť spoľahlivosti sa určujú rovnakým spôsobom ako v prípade priamych meraní.
Odhad celkovej chyby merania. Zaznamenávanie konečného výsledku.
Celková chyba výsledku merania X bude definovaná ako stredná štvorcová hodnota systematických a náhodných chýb
, (6)
kde δx - prístrojová chyba, Δ X je náhodná chyba.
X môže byť priamo alebo nepriamo meraná veličina.
, α=…, Е=… (7)
Treba mať na pamäti, že samotné vzorce teórie chýb sú platné pre veľký počet meraní. Preto je hodnota náhody a následne celková chyba určená pre malú n s veľkou chybou. Pri výpočte Δ X s počtom meraní 
odporúča sa obmedziť na jednu platnú číslicu, ak je väčšia ako 3, a dve, ak je prvá platná číslica menšia ako 3. Napríklad, ak Δ X= 0,042, potom zahoďte 2 a zapíšte Δ X= 0,04, a ak A X=0,123, potom napíšeme Δ X=0,12.
Počet číslic výsledku a celková chyba musia byť rovnaké. Preto by mal byť aritmetický priemer chyby rovnaký. Preto sa najskôr vypočíta aritmetický priemer o jednu číslicu viac ako meranie a pri zaznamenávaní výsledku sa jeho hodnota spresní na počet číslic celkovej chyby.
4. Metodika výpočtu chýb merania.
Chyby priamych meraní
Pri spracovaní výsledkov priamych meraní sa odporúča prijať nasledovné poradie operácií.
. (8)
.
.
Stanoví sa celková chyba
Odhaduje sa relatívna chyba výsledku merania
.
Konečný výsledok je zapísaný ako
, pričom α=… E=… %.
5. Chyba nepriamych meraní
Pri vyhodnocovaní skutočnej hodnoty nepriamo meranej veličiny, ktorá je funkciou iných nezávislých veličín 
možno použiť dva spôsoby.
Prvý spôsob sa používa, ak hodnota r stanovené za rôznych experimentálnych podmienok. V tomto prípade pre každú z hodnôt 
a potom sa určí aritmetický priemer všetkých hodnôt r i
. (9)
Systematická (inštrumentálna) chyba sa zistí na základe známych inštrumentálnych chýb všetkých meraní podľa vzorca. Náhodná chyba je v tomto prípade definovaná ako priama chyba merania.
Druhý spôsob platí, ak funkcia r stanovené niekoľkokrát rovnakými meraniami. V tomto prípade sa hodnota vypočíta z priemerných hodnôt. V našej laboratórnej praxi sa častejšie používa druhý spôsob stanovenia nepriamo meranej veličiny r. Systematická (inštrumentálna) chyba, ako v prvej metóde, sa zistí na základe známych inštrumentálnych chýb všetkých meraní podľa vzorca
Na nájdenie náhodnej chyby nepriameho merania sa najprv vypočítajú stredné kvadratické chyby aritmetického priemeru jednotlivých meraní. Potom sa nájde stredná kvadratická chyba r. Nastavenie pravdepodobnosti spoľahlivosti α, zistenie Studentovho koeficientu, určenie náhodných a celkových chýb sa vykonáva rovnakým spôsobom ako v prípade priamych meraní. Podobne je vo formulári uvedený aj výsledok všetkých výpočtov
, pričom α=… E=… %.
6. Príklad návrhu laboratórnej práce
Laboratórium č. 1
STANOVENIE OBJEMU VALCA
Príslušenstvo: nónium s hodnotou delenia 0,05 mm, mikrometer s hodnotou delenia 0,01 mm, valcové telo.
Cieľ: oboznámenie sa s najjednoduchšími fyzikálnymi meraniami, určovanie objemu valca, výpočet chýb priamych a nepriamych meraní.
Zákazka
Vykonajte aspoň 5 meraní priemeru valca pomocou posuvného meradla a jeho výšky pomocou mikrometra.
Výpočtový vzorec na výpočet objemu valca
kde d je priemer valca; h je výška.
Výsledky merania
Tabuľka 2
Meranie č. | ||||||
| ; |
; 
.
; E = 0,5 %.
E = 0,5 %.
Vo väčšine prípadov je konečným cieľom laboratórnej práce vypočítať požadovanú hodnotu pomocou nejakého vzorca, ktorý zahŕňa množstvá, ktoré sa merajú priamo. Takéto merania sa nazývajú nepriame. Ako príklad uvádzame vzorec pre hustotu pevného valcového telesa
kde r je hustota telesa, m- telesná hmotnosť, d- priemer valca, h- jeho vysoká.
Závislosť (A.5) vo všeobecnej forme možno znázorniť takto:
kde Y je nepriamo meraná veličina, vo vzorci (A.5) je to hustota r; X 1 , X 2 ,... ,X n sú priamo merané veličiny, vo vzorci (A.5) sú tieto m, d a h.
Výsledok nepriameho merania nemôže byť presný, pretože výsledky priamych meraní veličín X 1 , x2, ... ,X n vždy obsahujú chyby. Preto je pre nepriame merania, ako aj pre priame merania potrebné odhadnúť interval spoľahlivosti (absolútnu chybu) získanej hodnoty D Y a relatívna chyba e.
Pri výpočte chýb v prípade nepriamych meraní je vhodné dodržať nasledujúcu postupnosť akcií:
1) získajte priemerné hodnoty každej priamo meranej veličiny á x1ñ, á x2ñ, …, á X nñ;
2) získajte priemernú hodnotu nepriamo meranej veličiny á Yñ dosadením do vzorca (A.6) priemerných hodnôt priamo meraných veličín;
3) na vyhodnotenie absolútnych chýb priamo meraných veličín DX 1 , DX 2 , ..., DXn pomocou vzorcov (A.2) a (A.3);
4) na základe explicitného tvaru funkcie (A.6) získajte vzorec na výpočet absolútnej chyby nepriamo meranej hodnoty D Y a vypočítajte to;
6) zapíšte si výsledok merania s prihliadnutím na chybu.
Nižšie je uvedený vzorec bez odvodenia, ktorý umožňuje získať vzorce na výpočet absolútnej chyby, ak je známy explicitný tvar funkcie (A.6):
kde ¶Y¤¶ x1 atď. - parciálne derivácie Y vzhľadom na všetky priamo merané veličiny X 1 , X 2 , …, X n (keď sa vezme parciálna derivácia, napr X 1, potom všetky ostatné množstvá X i sa vo vzorci považujú za konštantné), D X i– absolútne chyby priamo meraných veličín vypočítané podľa (A.3).
Po vypočítaní DY nájdu relatívnu chybu.
Ak je však funkcia (A.6) jednočlenná, potom je oveľa jednoduchšie najskôr vypočítať relatívnu chybu a potom absolútnu.
V skutočnosti vydelením oboch strán rovnosti (A.7) Y, dostaneme
Ale od , môžeme písať
Teraz, keď poznáte relatívnu chybu, určite absolútnu.
Ako príklad získame vzorec na výpočet chyby v hustote látky určenej vzorcom (A.5). Keďže (A.5) je monomický, potom, ako bolo uvedené vyššie, je jednoduchšie najskôr vypočítať relatívnu chybu merania podľa (A.8). V (A.8) pod odmocninou máme súčet druhých mocnín parciálnych derivácií z logaritmus merané množstvo, takže najprv nájdeme prirodzený logaritmus r:
ln r = ln 4 + ln m– ln p –2 ln d– ln h,
a potom použijeme vzorec (A.8) a získame to
Ako vidno, v (A.9) sú použité priemerné hodnoty priamo meraných veličín a ich absolútne chyby vypočítané metódou priamych meraní podľa (A.3). Chyba spôsobená číslom p sa neberie do úvahy, pretože jej hodnotu možno vždy brať s presnosťou presahujúcou presnosť merania všetkých ostatných veličín. Výpočtom e nájdeme .
Ak sú nepriame merania nezávislé (podmienky každého nasledujúceho experimentu sa líšia od podmienok predchádzajúceho), potom hodnoty množstva Y vypočítané pre každý jednotlivý experiment. Po výrobe n skúsenosti, získať n hodnoty Y i. Ďalej, brať každú z hodnôt Y i(kde i- počet skúseností) pre výsledok priameho merania vypočítajte á Yñ a D Y podľa vzorcov (A.1) a (A.2).
Konečný výsledok priamych aj nepriamych meraní by mal vyzerať takto:
kde m- exponent, u– merné jednotky Y.
CHYBY MERANÍ FYZIKÁLNYCH VELIČIN A
SPRACOVANIE VÝSLEDKOV MERANÍ
meraním nazývané zisťovanie hodnôt fyzikálnych veličín empiricky pomocou špeciálnych technických prostriedkov. Merania sú buď priame alebo nepriame. o priamy meraním sa požadovaná hodnota fyzikálnej veličiny zisťuje priamo pomocou meracích prístrojov (napríklad meranie rozmerov telies pomocou posuvného meradla). Nepriame nazývané meranie, pri ktorom sa požadovaná hodnota fyzikálnej veličiny zisťuje na základe známeho funkčného vzťahu medzi meranou veličinou a veličinami podrobenými priamym meraniam. Napríklad pri určovaní objemu V valca sa meria jeho priemer D a výška H a potom podľa vzorca p D 2 /4 vypočítajte jeho objem.
V dôsledku nepresnosti meracích prístrojov a ťažkostí pri zohľadnení všetkých vedľajších účinkov pri meraniach nevyhnutne vznikajú chyby merania. chyba alebo omyl meranie sa vzťahuje na odchýlku výsledku merania od skutočnej hodnoty meranej fyzikálnej veličiny. Chyba merania je zvyčajne neznáma, rovnako ako skutočná hodnota meranej veličiny. Úlohou elementárneho spracovania výsledkov meraní je preto stanoviť interval, v ktorom sa s danou pravdepodobnosťou nachádza skutočná hodnota meranej fyzikálnej veličiny.
Klasifikácia chýb merania
Chyby sú rozdelené do troch typov:
1) hrubé alebo chýbajúce,
2) systematické,
3) náhodný.
hrubé chyby- ide o chybné merania vyplývajúce z neopatrného odčítania na prístroji, nečitateľný záznam odpočtov. Napríklad zapísanie výsledku 26,5 namiesto 2,65; čítanie na stupnici 18 namiesto 13 atď. Ak sa zistí hrubá chyba, výsledok tohto merania by sa mal okamžite zahodiť a samotné meranie by sa malo zopakovať.
Systematické chyby- chyby, ktoré pri opakovaných meraniach zostávajú konštantné alebo sa menia podľa určitého zákona. Tieto chyby môžu byť spôsobené nesprávnym výberom metódy merania, nedokonalosťou alebo nesprávnou funkciou prístrojov (napríklad merania pomocou prístroja, ktorý má nulový posun). Aby sme čo najviac eliminovali systematické chyby, treba vždy dôkladne analyzovať metódu merania, porovnávať prístroje s normami. V budúcnosti budeme predpokladať, že všetky systematické chyby boli odstránené, okrem tých, ktoré sú spôsobené nepresnosťami pri výrobe zariadení a chybami pri čítaní. Túto chybu nazveme hardvér.
Náhodné chyby - Ide o chyby, ktorých príčinu nemožno vopred zohľadniť. Náhodné chyby závisia od nedokonalosti našich zmyslových orgánov, od neustáleho pôsobenia meniacich sa vonkajších podmienok (zmeny teploty, tlaku, vlhkosti, vibrácie vzduchu atď.). Náhodným chybám sa nedá vyhnúť, sú nevyhnutne prítomné vo všetkých meraniach, ale dajú sa odhadnúť pomocou metód teórie pravdepodobnosti.
Spracovanie výsledkov priamych meraní
Nech sa ako výsledok priamych meraní fyzikálnej veličiny získa séria jej hodnôt:
x 1 , x 2 , ... x n .
Keď poznáte túto sériu čísel, musíte uviesť hodnotu, ktorá je najbližšie k skutočnej hodnote nameranej hodnoty, a nájsť hodnotu náhodnej chyby. Tento problém je riešený na základe teórie pravdepodobnosti, ktorej podrobná prezentácia presahuje rámec nášho kurzu.
Najpravdepodobnejšia hodnota meranej fyzikálnej veličiny (blízka skutočnej hodnote) je aritmetický priemer
. (1)
Tu x i je výsledok i-tého merania; n je počet meraní. Náhodnú chybu merania možno odhadnúť na základe absolútnej chyby D x, ktorý sa vypočíta podľa vzorca
,
(2)
kde t(a ,n) - Studentov koeficient, v závislosti od počtu meraní n a hladiny spoľahlivosti a . Hodnota sebavedomia a nastavené experimentátorom.
Pravdepodobnosť náhodná udalosť je pomer počtu prípadov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu rovnako pravdepodobných prípadov. Pravdepodobnosť istej udalosti je 1 a nemožná je 0.
Hodnota Studentovho koeficientu zodpovedajúca danej hladine spoľahlivosti a a určitý počet meraní n, nájdite podľa tabuľky. jeden.
stôl 1
|
číslo merania n |
Pravdepodobnosť spoľahlivosti a |
|||
|
0,95 |
0,98 |
|||
|
1,38 |
12,7 |
31,8 |
||
|
1,06 |
||||
|
0,98 |
||||
|
0,94 |
||||
|
0,92 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,88 |
||||
|
0,84 |
||||
Z tabuľky. 1 je vidieť, že hodnota Studentovho koeficientu a náhodnej chyby merania sú tým menšie, čím väčšie n a tým menšie a . Prakticky si vyberte a = 0,95. Jednoduché zvýšenie počtu meraní však nemôže znížiť celkovú chybu na nulu, pretože akékoľvek meracie zariadenie dáva chybu.
Vysvetlime si význam pojmov absolútna chyba D x a úroveň spoľahlivosti a pomocou číselného radu. Nech je priemerná hodnota meranej veličiny
Obr.1
Ak sa merania tej istej veličiny opakujú rovnakými prístrojmi za rovnakých podmienok, potom skutočná hodnota meranej veličiny x ist bude spadať do rovnakého intervalu spoľahlivosti, ale zhoda nebude spoľahlivá, ale s pravdepodobnosťou a.
Výpočet veľkosti absolútnej chyby D x podľa vzorca (2), skutočnú hodnotu x meranej fyzikálnej veličiny môžeme zapísať ako x=
Na posúdenie presnosti merania fyzikálnej veličiny vypočítajte relatívna chyba ktorý sa zvyčajne vyjadruje v percentách
. (3)
Pri spracovaní výsledkov priamych meraní je teda potrebné urobiť nasledovné:
1. Vykonajte merania n-krát.
2. Vypočítajte aritmetický priemer pomocou vzorca (1).
3. Nastavte úroveň spoľahlivosti a (zvyčajne platí a = 0,95).
4. Podľa tabuľky 1 nájdite Studentov koeficient zodpovedajúci danej hladine spoľahlivosti a a počet rozmerov n.
5. Vypočítajte absolútnu chybu pomocou vzorca (2) a porovnajte ju s inštrumentálnou chybou. Pre ďalšie výpočty vezmite ten, ktorý je väčší.
6. Pomocou vzorca (3) vypočítajte relatívnu chybu e.
7. Zapíšte si konečný výsledok
x=
Spracovanie výsledkov nepriamych meraní
Nech je požadovaná fyzikálna veličina y spojená s inými veličinami x 1 , x 2 , ... x k nejakou funkčnou závislosťou
Y=f(x1, x 2, ... x k) (4)
Medzi hodnotami x 1, x 2, ... x k sú hodnoty získané z priamych meraní a tabuľkové údaje. Je potrebné určiť absolútnu D y a relatívne e chyby v hodnote y.
Vo väčšine prípadov je jednoduchšie najskôr vypočítať relatívnu chybu a potom absolútnu chybu. Z teórie pravdepodobnosti relatívna chyba nepriameho merania
.
(5)
Tu 
, kde je parciálna derivácia funkcie vzhľadom na premennú x i, pri výpočte ktorej sa všetky hodnoty okrem x i považujú za konštantné; D x i je absolútna chyba x i . Ak sa x i získa ako výsledok priamych meraní, potom jeho priemerná hodnota
Napíšeme konečný výsledok:
y=
Tu
Zvyčajne sú v reálnych meraniach prítomné náhodné aj systematické (inštrumentálne) chyby. Ak sa vypočítaná náhodná chyba priamych meraní rovná nule alebo je menšia ako chyba hardvéru dvakrát alebo viackrát, potom by sa pri výpočte chyby nepriamych meraní mala brať do úvahy chyba hardvéru. Ak sa tieto chyby líšia menej ako dvakrát, potom sa absolútna chyba vypočíta podľa vzorca
.
Zvážte príklad. Nech je potrebné vypočítať objem valca:
. (6)
Tu D je priemer valca, H je jeho výška, meraná pomocou posuvného meradla s hodnotou delenia 0,1 mm. V dôsledku opakovaných meraní zistíme priemerné hodnoty
,
(7)
kde D D a D H sú absolútne chyby priamych meraní priemeru a výšky. Ich hodnoty sa vypočítajú podľa vzorca (2): D D = 0,01 mm; D H = 0,13 mm. Porovnajme vypočítané chyby s hardvérovou, ktorá sa rovná deliacej hodnote posuvného meradla. D D<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо D D nie je 0,01 mm, ale 0,1 mm.
p hodnota musí byť zvolená tak, aby relatívna chyba Dp/p vo vzorci (7) možno zanedbať. Z analýzy nameraných hodnôt a vypočítaných absolútnych chýb DD a D H, možno vidieť, že chyba merania výšky najviac prispieva k relatívnej chybe merania objemu. Výpočet chyby relatívnej výšky dáva e H = 0,01. Preto hodnota p treba si dať 3.14. V tomto prípade Dp / p » 0,001 (Dp = 3,142-3,14 = 0,002).
V absolútnej chybe zostáva jedno významné číslo.
Poznámky.
1. Ak sa merania uskutočnia raz alebo výsledky viacerých meraní sú rovnaké, potom ako prístrojovú chybu treba brať absolútnu chybu merania, ktorá sa pre väčšinu používaných prístrojov rovná deliacej hodnote prístroja (pre viac podrobnosti o chybe prístroja nájdete v časti „Meracie prístroje“).
2. Ak sú tabuľkové alebo experimentálne údaje uvedené bez špecifikácie chyby, potom sa absolútna chyba takýchto čísel rovná polovici rádu poslednej platnej číslice.
Akcie s približnými číslami
Otázka rozdielnej presnosti výpočtu je veľmi dôležitá, pretože nadhodnotenie presnosti výpočtu vedie k veľkému množstvu zbytočnej práce. Študenti často vypočítavajú hľadanú hodnotu s presnosťou na päť alebo viac platných číslic. Malo by byť zrejmé, že táto presnosť je nadmerná. Nemá zmysel vykonávať výpočty nad hranicou presnosti, ktorú poskytuje presnosť určenia priamo meraných veličín. Po spracovaní meraní často nevypočítajú chyby jednotlivých výsledkov a posúdia chybu približnej hodnoty veličiny s uvedením počtu správnych platných číslic v tomto čísle.
Významné čísla Približné číslo sa nazýva všetky číslice okrem nuly, ako aj nula v dvoch prípadoch:
1) keď stojí medzi platnými číslicami (napríklad v čísle 1071 - štyri platné číslice);
2) keď stojí na konci čísla a keď je známe, že jednotka zodpovedajúcej číslice nie je v danom čísle k dispozícii. Príklad. V čísle 5.20 sú tri platné číslice, čo znamená, že pri meraní sme brali do úvahy nielen jednotky, ale aj desatiny a stotiny, a v čísle 5.2 iba dve platné číslice, čo znamená, že sme brali do úvahy iba celé čísla. a desatiny.
Približné výpočty by sa mali vykonať v súlade s nasledujúcimi pravidlami.
1. Pri pridávaní a odčítaní v dôsledku toho ponechajte toľko desatinných miest, koľko je v čísle s najmenším počtom desatinných miest. Napríklad: 0,8934+3,24+1,188=5,3214» 5.32. Sumu treba zaokrúhliť na stotiny, t.j. brať 5,32.
2. Pri násobení a delení výsledkom je, že sa zachová toľko platných číslic, koľko má približné číslo s najmenším počtom platných číslic. Napríklad musíte vynásobiť 8,632'2,8' 3.53. Namiesto toho by sa mali hodnotiť výrazy
8,6 ' 2,8 ' 3,5 » 81.
Pri výpočte medzivýsledkov ušetria o jednu číslicu viac, ako odporúčajú pravidlá (tzv. náhradná číslica). V konečnom výsledku sa náhradná číslica zahodí. Ak chcete objasniť hodnotu poslednej významnej číslice výsledku, musíte vypočítať číslicu za ňou. Ak sa ukáže, že je menej ako päť, malo by sa jednoducho vyradiť, a ak päť alebo viac ako päť, potom by sa po vyradení mala predchádzajúca hodnota zvýšiť o jednu. Zvyčajne sa v absolútnej chybe ponechá jedna platná číslica a nameraná hodnota sa zaokrúhli nahor na číslicu, v ktorej sa nachádza platná číslica absolútnej chyby.
3. Výsledok výpočtu hodnôt funkcií x n , , lg( X) nejaké približné číslo X musí obsahovať toľko platných číslic, koľko je v čísle X. Napríklad: 
.
Plotovanie
Výsledky získané pri vykonávaní laboratórnych prác sú často dôležité a musia byť prezentované v grafickom vzťahu. Na zostavenie grafu je potrebné na základe vykonaných meraní zostaviť tabuľku, v ktorej každá hodnota jednej z veličín zodpovedá určitej hodnote druhej.
Grafy sa robia na milimetrový papier. Pri zostavovaní grafu by mali byť hodnoty nezávislej premennej vynesené na úsečku a hodnoty funkcie na zvislej osi. V blízkosti každej osi je potrebné napísať označenie zobrazenej hodnoty a uviesť, v akých jednotkách sa meria (obr. 2).
Obr.2
Pre správnu konštrukciu grafu je dôležitá voľba mierky: krivka zaberá celý list a rozmery grafu na dĺžku a výšku sú približne rovnaké. Mierka by mala byť jednoduchá. Najjednoduchšie je, ak jednotka nameranej hodnoty (0,1; 10; 100 atď.) zodpovedá 1, 2 alebo 5 cm.Treba mať na pamäti, že priesečník súradnicových osí sa nemusí zhodovať s nulové hodnoty vykresľovaných hodnôt (obr. 2).
Každá získaná experimentálna hodnota je vynesená do grafu pomerne zreteľným spôsobom: bodka, krížik atď.
Chyby sú indikované pre namerané hodnoty vo forme segmentov s dĺžkou intervalu spoľahlivosti, v strede ktorých sú umiestnené experimentálne body. Keďže indikácia chýb zahlcuje graf, robí sa to len vtedy, keď sú informácie o chybách skutočne potrebné: pri konštrukcii krivky z experimentálnych bodov, pri určovaní chýb pomocou grafu, pri porovnávaní experimentálnych údajov s teoretickou krivkou (obrázok 2) . Často stačí špecifikovať chybu pre jeden alebo viac bodov.
Cez experimentálne body je potrebné nakresliť hladkú krivku. Často sú experimentálne body spojené jednoduchou prerušovanou čiarou. Je teda naznačené, že množstvá na sebe nejakým skokom závisia. A toto je neuveriteľné. Krivka musí byť hladká a môže prechádzať nie cez vyznačené body, ale tesne pri nich tak, aby tieto body boli na oboch stranách krivky v rovnakej vzdialenosti od nej. Ak niektorý bod silne vypadne z grafu, potom by sa toto meranie malo zopakovať. Preto je žiaduce zostaviť graf priamo počas experimentu. Graf potom môže slúžiť na kontrolu a zlepšenie pozorovaní.
MERACIE PRÍSTROJE A ÚČTOVANIE ICH CHYB
Meracie prístroje slúžia na priame merania fyzikálnych veličín. Akékoľvek meracie prístroje neudávajú skutočnú hodnotu meranej veličiny. Je to spôsobené jednak tým, že nie je možné presne odčítať nameranú hodnotu na stupnici prístroja, a jednak nepresnosťou pri výrobe meracích prístrojov. Aby sa zohľadnil prvý faktor, zavedie sa chyba čítania Δx o, pre druhú - prípustnú chybuΔ x d. Súčet týchto chýb tvorí inštrumentálnu alebo absolútnu chybu zariadeniaΔ X:
.
Prípustná chyba je normalizovaná štátnymi normami a uvedená v pase alebo popise zariadenia.
Chyba čítania sa zvyčajne rovná polovici delenia prístroja, ale pre niektoré prístroje (stopky, aneroidný barometer) - rovná deleniu prístroja (keďže poloha šípky týchto prístrojov sa skokom mení o jeden dielik) a dokonca aj niekoľko dielikov stupnice, ak podmienky experimentu neumožňujú s istotou počítať až do jedného dielika (napríklad s hrubým ukazovateľom alebo zlým osvetlením). Chybu počítania teda nastavuje sám experimentátor, v skutočnosti odráža podmienky konkrétneho experimentu.
Ak je povolená chyba oveľa menšia ako chyba čítania, možno ju ignorovať. Zvyčajne sa absolútna chyba prístroja rovná deleniu stupnice prístroja.
Meracie pravítka majú zvyčajne milimetrové delenie. Na meranie sa odporúča použiť oceľové alebo rysovacie pravítka so skosením. Prípustná chyba takýchto pravítok je 0,1 mm a možno ju ignorovať, pretože je oveľa menšia ako chyba čítania rovná ± 0,5 mm. Prípustná chyba drevených a plastových pravítok± 1 mm.
Prípustná chyba merania mikrometra závisí od hornej hranice merania a môže byť ± (3-4) µm (pre mikrometre s rozsahom merania 0-25 mm). Polovica hodnoty delenia sa považuje za chybu čítania. Absolútna chyba mikrometra sa teda môže rovnať hodnote delenia, t.j. 0,01 mm.
Pri vážení je dovolená chyba technických váh závislá od zaťaženia a je 50 mg pre zaťaženie 20 až 200 g a 25 mg pre zaťaženie menšie ako 20 g.
Chyba digitálnych prístrojov je určená triedou presnosti.
Vzorce na výpočet chýb nepriamych meraní sú založené na reprezentáciách diferenciálneho počtu.
Nech je závislosť množstva Y z nameranej hodnoty Z má jednoduchý tvar: .
Tu a sú to konštanty, ktorých hodnoty sú známe. Ak sa z zvýši alebo zníži o nejaké číslo, zmení sa na:
Ak - chyba nameranej hodnoty Z, potom bude chyba vypočítanej hodnoty Y.
Získame vzorec pre absolútnu chybu vo všeobecnom prípade funkcie jednej premennej. Nech má graf tejto funkcie tvar znázornený na obr.1. Presná hodnota argumentu z 0 zodpovedá presnej hodnote funkcie y 0 = f(z 0).
Nameraná hodnota argumentu sa v dôsledku chýb merania líši od presnej hodnoty argumentu o hodnotu Δz. Hodnota funkcie sa bude líšiť od presnej hodnoty o Δy.
Z geometrického významu derivácie ako dotyčnice sklonu dotyčnice ku krivke v danom bode (obr. 1) vyplýva:
. (10)
Vzorec pre relatívnu chybu nepriameho merania v prípade funkcie jednej premennej bude: 
. (11)
Vzhľadom na to, že diferenciál funkcie je , dostaneme
(12)
Ak je nepriame meranie funkciou m premenné 
, potom bude chyba nepriameho merania závisieť od chýb priamych meraní. Označujeme čiastočnú chybu spojenú s chybou merania argumentu . Predstavuje prírastok funkcie prírastkom za predpokladu, že všetky ostatné argumenty sú nezmenené. Čiastočnú absolútnu chybu podľa (10) teda zapíšeme v nasledujúcom tvare:
(13)
Aby sme teda našli parciálnu chybu nepriameho merania, je potrebné podľa (13) vynásobiť parciálnu deriváciu chybou priameho merania. Pri výpočte parciálnej derivácie funkcie vzhľadom na zostávajúce argumenty sa považujú za konštantné.
Výsledná absolútna chyba nepriameho merania je určená vzorcom, ktorý zahŕňa druhé mocniny čiastkových chýb
nepriame meranie:
alebo berúc do úvahy (13)
(14)
Relatívna chyba nepriameho merania je určená vzorcom:
Alebo berúc do úvahy (11) a (12)
. (15)
Pomocou (14) a (15) sa nájde jedna z chýb, absolútna alebo relatívna, v závislosti od vhodnosti výpočtov. Ak má teda pracovný vzorec napríklad formu súčinu, pomeru meraných veličín, je ľahké urobiť logaritmus a použiť vzorec (15) na určenie relatívnej chyby nepriameho merania. Potom vypočítajte absolútnu chybu pomocou vzorca (16):
Pre ilustráciu vyššie uvedeného postupu určenia chyby nepriamych meraní sa vráťme k virtuálnej laboratórnej práci „Stanovenie zrýchlenia voľného pádu pomocou matematického kyvadla“.
Pracovný vzorec (1) má tvar pomeru nameraných hodnôt:
Preto začneme s definíciou relatívnej chyby. Aby sme to dosiahli, vezmeme logaritmus tohto výrazu a potom vypočítame parciálne derivácie:
; ; 
.
Substitúcia do vzorca (15) vedie k vzorcu pre relatívnu chybu nepriameho merania:
(17)
Po dosadení výsledkov priamych meraní
{ 
; 
) v (17) dostaneme:
(18)
Na výpočet absolútnej chyby použijeme výraz (16) a predtým vypočítanú hodnotu (9) tiažového zrýchlenia. g:
Výsledok výpočtu absolútnej chyby sa zaokrúhľuje na jedno platné číslo. Vypočítaná hodnota absolútnej chyby určuje presnosť zaznamenania konečného výsledku:
, α ≈ 1. (19)
V tomto prípade je pravdepodobnosť spoľahlivosti určená pravdepodobnosťou spoľahlivosti tých priamych meraní, ktoré rozhodujúcim spôsobom prispeli k chybe nepriameho merania. V tomto prípade ide o dobové merania.
Teda s pravdepodobnosťou blízkou 1, hodnota g leží medzi 8 a 12.
Na získanie presnejšej hodnoty zrýchlenia voľného pádu g je potrebné zlepšiť techniku merania. Na tento účel je potrebné znížiť relatívnu chybu , ktorá, ako vyplýva zo vzorca (18), je určená hlavne chybou merania času.
K tomu je potrebné zmerať čas nie jedného úplného kmitu, ale napríklad 10 úplných kmitov. Potom, ako vyplýva z (2), vzorec relatívnej chyby bude mať tvar:
. (20)
Tabuľka 4 uvádza výsledky merania času pre N = 10
Pre množstvo L vezmite výsledky merania z tabuľky 2. Dosadením výsledkov priamych meraní do vzorca (20) zistíme relatívnu chybu nepriamych meraní:
Pomocou vzorca (2) vypočítame hodnotu nepriamo meranej veličiny:
.
.
Konečný výsledok je napísaný takto:
; ; .
Tento príklad ukazuje úlohu vzorca relatívnej chyby pri analýze možných smerov na zlepšenie techniky merania.
