Akékoľvek merania sa vždy robia s nejakými chybami spojenými s obmedzenou presnosťou meracích prístrojov, nesprávnym výberom, a chybou meracej metódy, fyziológie experimentátora, charakteristikou meraných objektov, zmenami podmienok merania a pod. Preto úloha merania zahŕňa zistenie nielen samotnej veličiny, ale aj chyby merania, t.j. interval, v ktorom sa najpravdepodobnejšie nájde skutočná hodnota meranej veličiny. Napríklad pri meraní časového intervalu t stopkami s hodnotou delenia 0,2 s môžeme povedať, že jeho skutočná hodnota je v intervale od s do 
s Nameraná hodnota teda vždy obsahuje nejakú chybu 
, kde 
a X sú skutočné a namerané hodnoty skúmanej veličiny. Hodnota 
volal absolútna chyba(chybové) merania a výraz 
charakterizujúca presnosť merania je tzv relatívna chyba.
Pre experimentátora je celkom prirodzené, že sa snaží vykonať každé meranie s čo najväčšou dosiahnuteľnou presnosťou, ale takýto prístup nie je vždy vhodný. Čím presnejšie chceme tú či onú veličinu zmerať, čím zložitejšie prístroje musíme použiť, tým viac času si tieto merania vyžiadajú. Presnosť konečného výsledku by preto mala zodpovedať účelu experimentu. Teória chýb dáva odporúčania, ako by sa mali vykonávať merania a ako by sa mali spracovať výsledky, aby bola chybovosť čo najmenšia.
Všetky chyby vznikajúce pri meraniach sa zvyčajne delia na tri typy – systematické, náhodné a vynechané, čiže hrubé chyby.
Systematické chyby z dôvodu obmedzenej presnosti výroby prístrojov (chyby prístrojov), nedostatkov zvolenej metódy merania, nepresnosti výpočtového vzorca, nesprávnej inštalácie prístroja a pod. Systematické chyby sú teda spôsobené faktormi, ktoré pôsobia rovnakým spôsobom, keď sa rovnaké merania opakujú mnohokrát. Hodnota tejto chyby sa systematicky opakuje alebo mení podľa určitého zákona. Niektoré systematické chyby je možné eliminovať (v praxi je to vždy ľahko dosiahnuteľné) zmenou metódy merania, zavedením korekcií údajov prístrojov a zohľadnením neustáleho vplyvu vonkajších faktorov.
Systematická (inštrumentálna) chyba pri opakovaných meraniach síce udáva odchýlku nameranej hodnoty od skutočnej hodnoty v jednom smere, nikdy však nevieme, ktorým smerom. Preto sa inštrumentálna chyba zapisuje s dvojitým znamienkom
Náhodné chyby sú spôsobené veľkým množstvom náhodných príčin (zmeny teploty, tlaku, otrasy budovy a pod.), ktorých vplyv na každé meranie je iný a nie je možné ich vopred zohľadniť. Náhodné chyby vznikajú aj v dôsledku nedokonalosti zmyslových orgánov experimentátora. Medzi náhodné chyby patria aj chyby spôsobené vlastnosťami meraného objektu.
Nie je možné vylúčiť náhodné chyby jednotlivých meraní, ale je možné znížiť vplyv týchto chýb na konečný výsledok vykonaním viacerých meraní. Ak sa ukáže, že náhodná chyba je výrazne menšia ako inštrumentálna (systematická) chyba, potom nemá zmysel ďalej znižovať náhodnú chybu zvyšovaním počtu meraní. Ak je náhodná chyba väčšia ako inštrumentálna chyba, potom by sa mal počet meraní zvýšiť, aby sa znížila hodnota náhodnej chyby a aby bola menšia alebo o jeden rád s inštrumentálnou chybou.
Chyby alebo omyly- ide o nesprávne údaje na zariadení, nesprávne zaznamenanie odčítania atď. Chyby z uvedených dôvodov sú spravidla jasne viditeľné, pretože im zodpovedajúce hodnoty sa výrazne líšia od iných hodnôt. Chyby je potrebné eliminovať kontrolným meraním. Šírka intervalu, v ktorom ležia skutočné hodnoty meraných veličín, bude teda určená iba náhodnými a systematickými chybami.
2 . Odhad systematickej (inštrumentálnej) chyby
Na priame merania hodnota meranej veličiny sa odčíta priamo na stupnici meracieho prístroja. Chyba čítania môže dosiahnuť niekoľko desatín dielika stupnice. Zvyčajne sa pri takýchto meraniach veľkosť systematickej chyby považuje za rovnajúcu sa polovici dielika stupnice meracieho prístroja. Napríklad pri meraní posuvným meradlom s hodnotou delenia 0,05 mm sa hodnota chyby prístrojového merania rovná 0,025 mm.
Digitálne meracie prístroje udávajú hodnotu veličín, ktoré merajú, s chybou rovnajúcou sa hodnote jednej jednotky poslednej číslice na stupnici prístroja. Ak teda digitálny voltmeter ukazuje hodnotu 20,45 mV, potom je absolútna chyba merania 
mV.
Systematické chyby vznikajú aj pri použití konštantných hodnôt určených z tabuliek. V takýchto prípadoch sa chyba rovná polovici poslednej platnej číslice. Napríklad, ak je v tabuľke hodnota hustoty ocele daná hodnotou rovnajúcou sa 7,9∙10 3 kg / m 3, potom sa absolútna chyba v tomto prípade rovná 
kg/m3.
Niektoré funkcie pri výpočte inštrumentálnych chýb elektrických meracích prístrojov budú diskutované nižšie.
Pri určovaní systematickej (inštrumentálnej) chyby nepriamych meraní funkčná hodnota 
používa sa vzorec
, (1)
kde 
- prístrojové chyby priamych meraní veličiny 
, 
- parciálne derivácie funkcie vzhľadom na premennú .
Ako príklad získame vzorec na výpočet systematickej chyby pri meraní objemu valca. Vzorec na výpočet objemu valca je
.
Parciálne derivácie vzhľadom na premenné d a h budú rovné
, 
.
Vzorec na určenie absolútnej systematickej chyby pri meraní objemu valca podľa (2...) má teda nasledujúci tvar
,
kde 
a 
inštrumentálne chyby pri meraní priemeru a výšky valca
3. Náhodný odhad chyby.
Interval spoľahlivosti a pravdepodobnosť spoľahlivosti
Pre veľkú väčšinu jednoduchých meraní je celkom dobre splnený takzvaný normálny zákon náhodných chýb ( Gaussov zákon), odvodené z nasledujúcich empirických ustanovení.
chyby merania môžu mať súvislý rad hodnôt;
pri veľkom počte meraní sa rovnako často vyskytujú chyby rovnakej veľkosti, ale iného znamienka,
Čím väčšia je náhodná chyba, tým je menej pravdepodobné, že sa vyskytne.
Graf normálneho Gaussovho rozdelenia je na obr.1. Krivková rovnica má tvar
, (2)
kde 
- distribučná funkcia náhodných chýb (chýb), charakterizujúca pravdepodobnosť chyby 
, σ je stredná kvadratická chyba.
Hodnota σ nie je náhodná veličina a charakterizuje proces merania. Ak sa podmienky merania nezmenia, potom σ zostáva konštantné. Druhá mocnina tejto veličiny sa nazýva rozptyl meraní.Čím menší rozptyl, tým menší rozptyl jednotlivých hodnôt a tým vyššia presnosť merania.
Presná hodnota strednej kvadratickej chyby σ, ako aj skutočná hodnota meranej veličiny, nie sú známe. Existuje takzvaný štatistický odhad tohto parametra, podľa ktorého sa stredná štvorcová chyba rovná strednej štvorcovej chybe aritmetického priemeru. 
. Hodnota ktorej je určená vzorcom
, (3)
kde 
- výsledok i-tá dimenzia; 
- aritmetický priemer získaných hodnôt; n
je počet meraní.
Čím väčší je počet meraní, tým menší a viac sa približuje k σ. Ak je skutočná hodnota nameranej hodnoty μ, jej aritmetický priemer získaná ako výsledok meraní a náhodná absolútna chyba, potom sa výsledok merania zapíše ako 
.
Hodnotový interval od 
predtým 
, do ktorej spadá skutočná hodnota meranej veličiny μ, sa nazýva interval spoľahlivosti. Keďže ide o náhodnú premennú, skutočná hodnota spadá do intervalu spoľahlivosti s pravdepodobnosťou α, ktorá sa nazýva pravdepodobnosť spoľahlivosti, alebo spoľahlivosť merania. Táto hodnota sa číselne rovná ploche tieňovaného krivočiareho lichobežníka. (pozri obrázok.)
Toto všetko platí pre dostatočne veľký počet meraní, keď je blízko σ. Na nájdenie intervalu spoľahlivosti a úrovne spoľahlivosti pre malý počet meraní, ktorými sa zaoberáme v priebehu laboratórnych prác, používame Študentovo rozdelenie pravdepodobnosti. Toto je rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej 
volal Študentský koeficient, udáva hodnotu intervalu spoľahlivosti v zlomkoch strednej kvadratickej chyby aritmetického priemeru.
. (4)
Rozdelenie pravdepodobnosti tejto veličiny nezávisí od σ 2, ale v podstate závisí od počtu experimentov n. S nárastom počtu experimentov nŠtudentovo rozdelenie má tendenciu ku Gaussovmu rozdeleniu.
Distribučná funkcia je tabuľková (tabuľka 1). Hodnota Studentovho koeficientu je v priesečníku priamky zodpovedajúcej počtu meraní n a stĺpec zodpovedajúci hladine spoľahlivosti α
Stôl 1.
Pomocou údajov v tabuľke môžete:
určiť interval spoľahlivosti pri určitej pravdepodobnosti;
vyberte interval spoľahlivosti a určte úroveň spoľahlivosti.
Pre nepriame merania sa stredná kvadratická chyba aritmetického priemeru funkcie vypočíta podľa vzorca
. (5)
Interval spoľahlivosti a pravdepodobnosť spoľahlivosti sa určujú rovnakým spôsobom ako v prípade priamych meraní.
Odhad celkovej chyby merania. Zaznamenávanie konečného výsledku.
Celková chyba výsledku merania X bude definovaná ako stredná štvorcová hodnota systematických a náhodných chýb
, (6)
kde δx - prístrojová chyba, Δ X je náhodná chyba.
X môže byť priamo alebo nepriamo meraná veličina.
, α=…, Е=… (7)
Treba mať na pamäti, že samotné vzorce teórie chýb sú platné pre veľký počet meraní. Preto je hodnota náhody a následne celková chyba určená pre malú n s veľkou chybou. Pri výpočte Δ X s počtom meraní 
odporúča sa obmedziť jednu platnú číslicu, ak je väčšia ako 3, a dve, ak je prvá platná číslica menšia ako 3. Napríklad, ak Δ X= 0,042, potom zahoďte 2 a zapíšte Δ X= 0,04, a ak A X=0,123, potom napíšeme Δ X=0,12.
Počet číslic výsledku a celková chyba musia byť rovnaké. Preto by mal byť aritmetický priemer chyby rovnaký. Preto sa najskôr vypočíta aritmetický priemer o jednu číslicu viac ako meranie a pri zaznamenávaní výsledku sa jeho hodnota spresní na počet číslic celkovej chyby.
4. Metodika výpočtu chýb merania.
Chyby priamych meraní
Pri spracovaní výsledkov priamych meraní sa odporúča prijať nasledovné poradie operácií.
. (8)
.
.
Stanoví sa celková chyba
Odhaduje sa relatívna chyba výsledku merania
.
Konečný výsledok je zapísaný ako
, pričom α=… E=… %.
5. Chyba nepriamych meraní
Pri vyhodnocovaní skutočnej hodnoty nepriamo meranej veličiny, ktorá je funkciou iných nezávislých veličín 
možno použiť dva spôsoby.
Prvý spôsob sa používa, ak hodnota r stanovené za rôznych experimentálnych podmienok. V tomto prípade pre každú z hodnôt 
a potom sa určí aritmetický priemer všetkých hodnôt r i
. (9)
Systematická (inštrumentálna) chyba sa zistí na základe známych inštrumentálnych chýb všetkých meraní podľa vzorca. Náhodná chyba je v tomto prípade definovaná ako priama chyba merania.
Druhý spôsob platí, ak funkcia r stanovené niekoľkokrát rovnakými meraniami. V tomto prípade sa hodnota vypočíta z priemerných hodnôt. V našej laboratórnej praxi sa častejšie používa druhý spôsob stanovenia nepriamo meranej veličiny r. Systematická (inštrumentálna) chyba, ako v prvej metóde, sa zistí na základe známych inštrumentálnych chýb všetkých meraní podľa vzorca
Na nájdenie náhodnej chyby nepriameho merania sa najprv vypočítajú stredné kvadratické chyby aritmetického priemeru jednotlivých meraní. Potom sa nájde stredná kvadratická chyba r. Nastavenie pravdepodobnosti spoľahlivosti α, zistenie Studentovho koeficientu, určenie náhodných a celkových chýb sa vykonáva rovnakým spôsobom ako v prípade priamych meraní. Podobne je vo formulári uvedený aj výsledok všetkých výpočtov
, pričom α=… E=… %.
6. Príklad návrhu laboratórnej práce
Laboratórium č. 1
STANOVENIE OBJEMU VALCA
Príslušenstvo: nónium s hodnotou delenia 0,05 mm, mikrometer s hodnotou delenia 0,01 mm, valcové telo.
Cieľ: oboznámenie sa s najjednoduchšími fyzikálnymi meraniami, určovanie objemu valca, výpočet chýb priamych a nepriamych meraní.
Zákazka
Vykonajte aspoň 5 meraní priemeru valca pomocou posuvného meradla a jeho výšky pomocou mikrometra.
Výpočtový vzorec na výpočet objemu valca
kde d je priemer valca; h je výška.
Výsledky merania
Tabuľka 2
Meranie č. | ||||||
| ; |
; 
.
; E = 0,5 %.
E = 0,5 %.
Ak sa požadovaná fyzikálna veličina nedá merať priamo prístrojom, ale je vyjadrená prostredníctvom vzorca prostredníctvom meraných veličín, potom sa takéto merania nazývajú nepriamy.
Rovnako ako pri priamych meraniach môžete vypočítať strednú absolútnu (aritmetickú strednú) chybu alebo odmocninu z nepriamych meraní.
Všeobecné pravidlá pre výpočet chýb pre oba prípady sú odvodené pomocou diferenciálneho počtu.
Nech fyzikálna veličina j( X, y, z, ...) je funkciou množstva nezávislých argumentov x, y, z, ..., z ktorých každý môže byť určený experimentálne. Množstvá sa určia priamym meraním a vyhodnotia sa ich stredné absolútne chyby alebo odmocniny.
Priemerná absolútna chyba nepriamych meraní fyzikálnej veličiny j sa vypočíta podľa vzorca
kde sú parciálne derivácie φ vzhľadom na x, y, z vypočítané pre priemerné hodnoty zodpovedajúcich argumentov.
Keďže vzorec používa absolútne hodnoty všetkých členov súčtu, výraz pre vyhodnocuje maximálnu chybu merania funkcie pre dané maximálne chyby nezávislých premenných.
Stredná kvadratická chyba nepriamych meraní fyzikálnej veličiny j
Relatívna maximálna chyba nepriamych meraní fyzikálnej veličiny j
kde atď.
Podobne môžeme zapísať relatívnu odmocninu z nepriamych meraní j
Ak vzorec predstavuje výraz vhodný na logaritmy (t. j. súčin, zlomok, mocnina), potom je vhodnejšie najprv vypočítať relatívnu chybu. Aby ste to dosiahli (v prípade priemernej absolútnej chyby), je potrebné urobiť nasledovné.
1. Zoberte logaritmus výrazu pre nepriame meranie fyzikálnej veličiny.
2. Rozlišujte to.
3. Skombinujte všetky pojmy s rovnakým diferenciálom a vyberte ho zo zátvoriek.
4. Vezmite výraz pred rôznymi modulovými diferenciálmi.
5. Formálne nahraďte ikony diferenciálov ikonami absolútnej chyby D.
Potom, keď poznáme e, môžeme podľa vzorca vypočítať absolútnu chybu Dj
Príklad 1 Odvodenie vzorca na výpočet maximálnej relatívnej chyby nepriamych meraní objemu valca.
Výraz na nepriame meranie fyzikálnej veličiny (počiatočný vzorec)
Hodnota priemeru D a výška valca h merané priamo prístrojmi s priamou chybou merania, resp D a D h.
Zoberieme logaritmus pôvodného vzorca a dostaneme
Diferencujte výslednú rovnicu
Nahradením ikon diferenciálov ikonami absolútnej chyby D nakoniec získame vzorec na výpočet maximálnej relatívnej chyby nepriamych meraní objemu valca.
Teraz je potrebné zvážiť otázku, ako nájsť chybu fyzikálnej veličiny U, ktorý sa zisťuje nepriamymi meraniami. Všeobecný pohľad na rovnicu merania
Y=f(X 1 , X 2 , … , X n), (1.4)
kde X j- rôzne fyzikálne veličiny, ktoré experimentátor získava priamym meraním, alebo fyzikálne konštanty známe s danou presnosťou. Vo vzorci sú to funkčné argumenty.
V meracej praxi sú široko používané dva spôsoby výpočtu chyby nepriamych meraní. Obe metódy poskytujú takmer rovnaký výsledok.
Metóda 1. Najprv sa nájde absolútne D, potom relatívne d chyby. Táto metóda sa odporúča pre meracie rovnice, ktoré obsahujú súčty a rozdiely argumentov.
Všeobecný vzorec na výpočet absolútnej chyby pri nepriamych meraniach fyzikálnej veličiny Y pre svojvoľný pohľad f funkcia vyzera takto:
kde parciálne derivácie funkcií Y=f(X 1 , X 2 , … , X n) argumentom X j,
Celková chyba priamych meraní veličiny X j.
Ak chcete nájsť relatívnu chybu, musíte najprv nájsť priemernú hodnotu množstva Y. Na tento účel je potrebné nahradiť aritmetické stredné hodnoty veličín do rovnice merania (1.4) Xj.
Teda priemerná hodnota hodnoty Y rovná sa: . Teraz je ľahké nájsť relatívnu chybu: .
Príklad: nájsť chybu v meraní objemu V valec. Výška h a priemer D valca sa považujú za určené priamymi meraniami a počet meraní n= 10.
Vzorec na výpočet objemu valca, to znamená rovnica merania, je:
Nechajte pri P= 0,68;
o P= 0,68.
Potom nahradením priemerných hodnôt do vzorca (1.5) nájdeme:
Chyba D V v tomto príklade závisí, ako je vidieť, hlavne od chyby merania priemeru.
Priemerný objem je: , relatívna chyba d V rovná sa:
Alebo d V = 19%.
V=(47±9) mm 3 , d V = 19%, P= 0,68.
Metóda 2. Tento spôsob určenia chyby nepriamych meraní sa od prvého spôsobu líši menšími matematickými ťažkosťami, preto sa častejšie používa.
Najprv nájdite relatívnu chybu d, a až potom absolútny D. Táto metóda je vhodná najmä vtedy, ak rovnica merania obsahuje iba súčin a pomery argumentov.
Postup možno zvážiť na rovnakom konkrétnom príklade - určenie chyby pri meraní objemu valca
Všetky číselné hodnoty veličín zahrnutých vo vzorci zachováme rovnaké ako vo výpočtoch pre spôsob 1.
Nechať byť mm, ; pri P= 0,68;
; pri P = 0,68.
Chyba zaokrúhľovania čísla p(pozri obr. 1.1)
Použitím spôsob 2 by sa mala správať takto:
1) vezmite logaritmus rovnice merania (berieme prirodzený logaritmus)
nájsť diferenciály ľavej a pravej časti s ohľadom na nezávislé premenné,
2) nahraďte diferenciál každej hodnoty absolútnou chybou rovnakej hodnoty a znamienka „mínus“, ak sú pred chybami, nahraďte „plus“:
3) zdalo by sa, že pomocou tohto vzorca je už možné odhadnúť relatívnu chybu, ale nie je to tak. Je potrebné odhadnúť chybu takým spôsobom, aby sa pravdepodobnosť spoľahlivosti tohto odhadu zhodovala s pravdepodobnosťou spoľahlivosti odhadu chýb tých členov, ktoré sú na pravej strane vzorca. Ak to chcete urobiť, aby bola táto podmienka splnená, musíte odmocniť všetky členy posledného vzorca a potom extrahovať druhú odmocninu z oboch strán rovnice:
Alebo v inom zápise je relatívna chyba objemu:
navyše, pravdepodobnosť tohto odhadu objemovej chyby sa bude zhodovať s pravdepodobnosťou odhadu chýb výrazov zahrnutých v radikálovom výraze:
Po vykonaní výpočtov sa ubezpečíme, že výsledok sa zhoduje s odhadom o metóda 1:
Teraz, keď poznáme relatívnu chybu, nájdeme absolútnu:
D V= 0,19 47 = 9,4 mm 3 , P=0,68.
Konečný výsledok po zaokrúhlení:
V\u003d (47 ± 9) mm 3, d V = 19%, P=0,68.
testovacie otázky
1. Čo je úlohou fyzikálnych meraní?
2. Aké typy meraní sa rozlišujú?
3. Ako sa klasifikujú chyby merania?
4. Čo sú absolútne a relatívne chyby?
5. Čo sú chyby, systematické a náhodné chyby?
6. Ako vyhodnotiť systematickú chybu?
7. Aký je aritmetický priemer nameranej hodnoty?
8. Ako odhadnúť veľkosť náhodnej chyby, ako súvisí so štandardnou odchýlkou?
9. Aká je pravdepodobnosť zistenia skutočnej hodnoty nameranej hodnoty v intervale od X cf - s predtým X cf + s?
10. Ak ako odhad náhodnej chyby zvolíme hodnotu 2s alebo 3 s, potom s akou pravdepodobnosťou bude skutočná hodnota spadať do intervalov určených týmito odhadmi?
11. Ako zhrnúť chyby a kedy to treba urobiť?
12. Ako zaokrúhliť absolútnu chybu a priemernú hodnotu výsledku merania?
13. Aké metódy existujú na odhadovanie chýb v nepriamych meraniach? Ako v tomto postupovať?
14. Čo by sa malo zaznamenať ako výsledok merania? Aké hodnoty uviesť?
Prednáška č. 8
Spracovanie výsledkov meraní
Priame jedno a viacnásobné merania.
1. Priame jednotlivé merania .
Vo všeobecnom prípade sa úloha odhadu chyby získaného výsledku zvyčajne vykonáva na základe informácií o hranici hlavnej chyby meracieho prístroja (podľa regulačnej a technickej dokumentácie pre použité meracie prístroje) a známe hodnoty dodatočných chýb z vplyvu ovplyvňujúcich veličín. Maximálnu hodnotu celkovej chyby výsledku merania (bez zohľadnenia znamienka) možno zistiť súčtom komponentov v absolútnej hodnote:
Reálnejší odhad chyby možno získať štatistickým sčítaním zložiek chyby:
kde je hranica i-tej nevylúčenej zložky systematickej chyby; k- koeficient určený akceptovanou pravdepodobnosťou spoľahlivosti (pri P = 0,95, koeficient k=1,11); m je počet nevylúčených komponentov.
Výsledok merania sa zaznamená podľa prvej formy zaznamenávania výsledkov:
kde je výsledok jedného merania; - celková chyba výsledku merania; Р - pravdepodobnosť spoľahlivosti (pri Р = 0,95 nemusia byť špecifikované).
Pri meraní za normálnych podmienok môžeme predpokladať
2. Priame viacnásobné merania.
Skutočnú hodnotu meranej veličiny je možné presne posúdiť len jej viacnásobným meraním a vhodným spracovaním ich výsledkov. Správne spracovanie získaných výsledkov pozorovaní znamená získanie čo najpresnejšieho odhadu skutočnej hodnoty meranej veličiny a intervalu spoľahlivosti, v ktorom sa nachádza jej skutočná hodnota.
V procese spracovania výsledkov pozorovaní je potrebné dôsledne riešiť tieto hlavné úlohy:
Určte bodové a integrálne odhady zákona o rozdelení výsledkov meraní podľa vzorcov:
kde D(x) je bodový odhad rozptylu;
eliminovať „nevynechané“ (podľa jedného z kritérií);
eliminovať systematické chyby merania;
Stanovte medze spoľahlivosti nevylúčeného zostatku systematickej zložky, náhodnej zložky a celkovej chyby výsledku merania;
Zaznamenajte výsledok merania.
Odhad chyby nepriamych meraní. Základné princípy a fázy výpočtov. GOST na spracovanie výsledkov.
Chyby nepriamych meraní
Odhad chýb vyplývajúcich z nepriamych meraní je založený na nasledujúcich predpokladoch:
1. Relatívne chyby hodnôt získaných priamym meraním a zahrnutých do výpočtu požadovanej hodnoty musia byť malé v porovnaní s jednotkou (v praxi by nemali prekročiť 10%).
2. Pre chyby všetkých veličín zahrnutých do výpočtu sa akceptuje rovnaká pravdepodobnosť spoľahlivosti. Chyba požadovanej hodnoty bude mať tiež rovnakú pravdepodobnosť spoľahlivosti.
3. Najpravdepodobnejšia hodnota požadovanej hodnoty sa získa, ak sa na jej výpočet použijú najpravdepodobnejšie hodnoty počiatočných hodnôt, t.j. ich aritmetický priemer.
Chyba v prípade jednej počiatočnej hodnoty.
Absolútna chyba. Nechajte požadovanú hodnotu r, merané nepriamo, závisí len od jednej veličiny a získané priamym meraním. Hranice intervalu, v ktorom leží hodnota s danou pravdepodobnosťou a, sú určené aritmetickým priemerom a celkovou absolútnou chybou a množstvá a. To znamená, že hodnota a môže ležať v intervale s hranicami ± a.
S nepriamym meraním množstva r(a) také hranice budú určené jej najpravdepodobnejšou hodnotou =y() a chyba r, t.j. hodnoty r ležia vo vnútri intervalu s hranicami ± r. Horná hranica pre r(s monotónnym nárastom) bude hodnota zodpovedajúca hornej hranici a, t.j. hodnota + r= r( + a). Teda absolútna chyba r množstvá r má formu prírastku funkcie y(a) spôsobené zintenzívnením jeho argumentu a podľa sumy a jeho absolútna chyba. Preto môžeme použiť pravidlá diferenciálneho počtu, podľa ktorých pre malé hodnoty a prírastok r možno približne vyjadriť ako
Tu je derivát vzhľadom na a funkcie y(a) pri a = .
Absolútna chyba konečného výsledku sa teda môže vypočítať pomocou vzorca (1) a pravdepodobnosť spoľahlivosti zodpovedá pravdepodobnosti spoľahlivosti, a.
Relatívna chyba. Na nájdenie relatívnej chyby hodnoty r, deliť (1) podľa r a berte to do úvahy
je derivát vzhľadom na a prirodzený logaritmus r. Výsledkom bude
Ak do tohto výrazu dosadíme a= a r= , potom jeho hodnota bude relatívna chyba veličiny r.
Na spracovanie výsledkov meraní sa používa GOST 8.207-76 „GSI. Priame merania s viacerými pozorovaniami. Metódy spracovania výsledkov pozorovaní.
8.3. Výsledok merania a odhad jeho štandardnej odchýlky:
1. Metódy zisťovania hrubých chýb by mali byť špecifikované v postupe merania. Ak možno výsledky pozorovaní považovať za patriace do normálneho rozdelenia, hrubé chyby sú vylúčené.
2. Výsledok merania sa berie ako aritmetický priemer výsledkov pozorovania, v ktorom boli predtým zavedené korekcie na odstránenie systematických chýb.
3. Smerodajná odchýlka S výsledok pozorovania sa hodnotí podľa NTD.
4. Smerodajná odchýlka výsledku merania sa odhaduje podľa vzorca
,
kde x i - i-tý výsledok pozorovania;
Výsledok merania (aritmetický priemer korigovaných výsledkov pozorovania);
n- počet výsledkov pozorovania;
Odhad smerodajnej odchýlky výsledku merania.
8.4. Hranice spoľahlivosti náhodnej chyby výsledku merania:
1. Limity spoľahlivosti pre náhodnú chybu výsledku merania v súlade s touto medzinárodnou normou sú stanovené pre výsledky pozorovaní patriacich do normálneho rozdelenia. Ak táto podmienka nie je splnená, v postupe vykonávania špecifických meraní by sa mali špecifikovať metódy na výpočet hraníc spoľahlivosti náhodnej chyby.
1.1. S počtom výsledkov pozorovania n>50, aby ste skontrolovali, či patria do normálneho rozdelenia podľa NTD, je vhodnejšie jedno z kritérií: χ 2 Pearson alebo ω 2 Mises - Smirnov.
Pri spracovaní výsledkov nepriamych meraní fyzikálnej veličiny, ktorá funkčne súvisí s fyzikálnymi veličinami A, B a C, ktoré sa merajú priamym spôsobom, najprv pomocou vzorcov určte relatívnu chybu nepriameho merania e = DX / X pr uvedené v tabuľke (bez dôkazov).
Absolútna chyba je určená vzorcom DX \u003d X pr * e,
kde e je vyjadrené ako desatinné číslo, nie ako percento.
Konečný výsledok sa zaznamená rovnakým spôsobom ako v prípade priamych meraní.
| Typ funkcie | Vzorec |
| X = A + B + C | |
| X = A-B | |
| X=A*B*C | |
| X = A n | |
| X = A/B | |
| X= |
(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm užitočné) Ako vykonať merania http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220
Príklad: Vypočítajme chybu pri meraní koeficientu trenia pomocou dynamometra. Skúsenosť je taká, že tyč sa rovnomerne ťahá pozdĺž vodorovného povrchu a meria sa použitá sila: rovná sa sile klzného trenia.
Pomocou dynamometra vážime tyč so záťažou: 1,8 N. F tr \u003d 0,6 N
μ=0,33. Prístrojová chyba dynamometra (nájdite z tabuľky) je Δ a \u003d 0,05 N, Chyba čítania (polovica dielika stupnice)
Δ o \u003d 0,05 N. Absolútna chyba merania hmotnosti a trecej sily je 0,1 N.
Relatívna chyba merania (5. riadok v tabuľke)
Preto absolútna chyba nepriameho merania μ je 0,22*0,33=0,074
odpoveď:
Merať fyzikálnu veličinu znamená porovnávať ju s inou homogénnou veličinou branou ako merná jednotka. Meranie je možné vykonať pomocou:
1. miery, čo sú vzorky mernej jednotky (meter, hmotnosť, litrová nádoba atď.),
2. meracie prístroje (ampérmeter, tlakomer atď.),
3. meracie inštalácie, ktorými sa rozumie súbor meradiel, meracích prístrojov a pomocných prvkov.
Merania sú buď priame alebo nepriame. Pri priamych meraniach fyzikálna veličina sa meria priamo. Priame merania sú napríklad meranie dĺžky pravítkom, času stopkami, sila prúdu ampérmetrom.
Pri nepriamych meraniach priamo nemerajú veličinu, ktorej hodnotu treba poznať, ale iné veličiny, s ktorými je požadovaná veličina spojená s určitou matematickou závislosťou. Napríklad hustota telesa sa určuje meraním jeho hmotnosti a objemu a odpor sa určuje meraním prúdu a napätia.
Pre nedokonalosť mier a meracích prístrojov, ako aj našich zmyslových orgánov nemožno merania vykonávať presne, t.j. akékoľvek meranie poskytuje len približný výsledok. Okrem toho je často príčinou odchýlky výsledkov merania povaha samotnej meranej veličiny. Napríklad teplota nameraná teplomerom alebo termočlánkom v určitom bode pece kolíše v dôsledku konvekcie a tepelnej vodivosti v určitých medziach. Mierou na posúdenie správnosti výsledku merania je chyba merania (chyba merania).
Na posúdenie presnosti sa uvádza buď absolútna chyba alebo relatívna chyba merania. Absolútna chyba vyjadrené v jednotkách meranej veličiny. Napríklad segment dráhy, ktorú telo prejde, sa meria s absolútnou chybou. Relatívna chyba merania je pomer absolútnej chyby k hodnote meranej veličiny. V uvedenom príklade je relatívna chyba . Čím je chyba merania menšia, tým je presnosť merania vyššia.
Podľa zdrojov ich vzniku sa chyby merania delia na systematické, náhodné a hrubé (chyby).
1. Systematické chyby- chyby merania, ktorých hodnota zostáva konštantná počas opakovaných meraní vykonaných tou istou metódou s použitím rovnakých meracích prístrojov. Dôvody systematických chýb sú:
poruchy, nepresnosti meracích prístrojov
nezákonnosť, nepresnosť použitej techniky merania
Príkladom systematických chýb môže byť meranie teploty teplomerom s posunutým nulovým bodom, meranie prúdu nesprávne kalibrovaným ampérmetrom, váženie telesa na váhach pomocou závaží bez zohľadnenia Archimedovej vztlakovej sily.
Na odstránenie alebo zníženie systematických chýb je potrebné starostlivo kontrolovať meracie prístroje, merať rovnaké veličiny rôznymi metódami a pri známych chybách zaviesť korekcie (korekcie vztlakovej sily, korekcie údajov teplomera).
2. Hrubé chyby (chyby)- výrazné prekročenie chyby očakávanej za daných podmienok merania. Chyby sa objavujú v dôsledku nesprávneho zaznamenávania údajov prístroja, nesprávnych údajov na prístroji, v dôsledku chýb vo výpočtoch počas nepriamych meraní. Zdrojom chýb je nepozornosť experimentátora. Cestou k odstráneniu týchto chýb je presnosť experimentátora, vylúčenie prepisovania meracích protokolov.
3. Náhodné chyby- chyby, ktorých hodnota sa náhodne mení pri opakovanom meraní tej istej hodnoty rovnakou metódou pomocou rovnakých prístrojov. Zdrojom náhodných chýb je nekontrolovaná reprodukovateľnosť podmienok merania. Počas merania sa napríklad môže nekontrolovane meniť teplota, vlhkosť, atmosférický tlak, napätie v elektrickej sieti, stav zmyslov experimentátora. Nie je možné vylúčiť náhodné chyby. Pri opakovaných meraniach sa náhodné chyby riadia štatistickými zákonmi a ich vplyv je možné zohľadniť.
