Revolučné telesá, ktoré sa študovali v škole, sú valec, kužeľ a guľa.

Ak v úlohe USE v matematike potrebujete vypočítať objem kužeľa alebo plochu gule, považujte sa za šťastného.

Použite vzorce pre objem a povrch valca, kužeľa a gule. Všetky sú v našej tabuľke. Učiť sa naspamäť. Tu začína poznanie stereometrie.

Niekedy je dobré nakresliť pohľad zhora. Alebo, ako v tomto probléme, zdola.

2. Koľkokrát je objem kužeľa opísaný blízko správneho štvorhranná pyramída, väčší ako objem kužeľa vpísaného do tejto pyramídy?

Všetko je jednoduché - nakreslíme pohľad zdola. Vidíme, že polomer väčšieho kruhu je niekoľkonásobne väčší ako polomer menšieho kruhu. Výšky oboch kužeľov sú rovnaké. Preto objem väčší kužeľ bude dvakrát toľko.

Ďalší dôležitý bod. Pamätajte, že v úlohách časti B POUŽÍVAŤ možnosti v matematike sa odpoveď zapisuje ako celé číslo alebo konečná desatinný zlomok. Preto by ste vo svojej odpovedi v časti B nemali mať žiadne alebo. Nahradenie približnej hodnoty čísla tiež nie je potrebné! Musí sa znížiť! Z tohto dôvodu je v niektorých úlohách úloha formulovaná napríklad takto: „Nájdite plochu bočného povrchu valca delenú“.

A kde inde sa používajú vzorce pre objem a povrch rotačných telies? Samozrejme, v úlohe C2 (16). Aj o tom vám povieme.

Vieme, čo je kužeľ, skúsme nájsť jeho povrch. Prečo je potrebné riešiť takýto problém? Napríklad musíte pochopiť, koľko skúška prebehne urobiť vaflový kornútok? Alebo koľko tehál by bolo treba na položenie tehlovej strechy hradu?

Nie je ľahké zmerať bočnú plochu kužeľa. Ale predstavte si ten istý roh obalený látkou. Ak chcete nájsť oblasť kusu látky, musíte ju rozrezať a rozložiť na stôl. Ukázalo sa plochá postava, môžeme nájsť jeho oblasť.

Ryža. 1. Rez kužeľa pozdĺž tvoriacej priamky

To isté urobíme s kornútkom. Jeho bočnú plochu „prerežme“ napríklad pozdĺž ľubovoľnej tvoriacej priamky (pozri obr. 1).

Teraz „rozvinieme“ bočnú plochu na rovinu. Získame sektor. Stred tohto sektora je vrcholom kužeľa, polomer sektora sa rovná tvoriacej priamke kužeľa a dĺžka jeho oblúka sa zhoduje s obvodom základne kužeľa. Takýto sektor sa nazýva rozvinutie bočného povrchu kužeľa (pozri obr. 2).

Ryža. 2. Vývoj bočného povrchu

Ryža. 3. Meranie uhla v radiánoch

Pokúsme sa nájsť oblasť sektora podľa dostupných údajov. Najprv zaveďme zápis: nech je uhol v hornej časti sektora v radiánoch (pozri obr. 3).

S uhlom v hornej časti zákruty sa často stretneme v úlohách. Skúsme si zatiaľ odpovedať na otázku: nemôže byť tento uhol väčší ako 360 stupňov? To znamená, že sa neukáže, že sa zametanie prekryje? Samozrejme, že nie. Dokážme to matematicky. Zametanie nech sa samo "prekrýva". To znamená, že dĺžka oblúka je väčšia ako obvod polomeru. Ale, ako už bolo spomenuté, dĺžka oblúka zametania je obvodom polomeru. A polomer základne kužeľa je samozrejme menší ako tvoriaca čiara, napríklad, pretože rameno pravouhlého trojuholníka je menšie ako prepona

Potom si spomeňme na dva vzorce z kurzu planimetrie: dĺžka oblúka. Oblasť sektora: .

V našom prípade hrá rolu generatrix , a dĺžka oblúka sa rovná obvodu základne kužeľa, tj. Máme:

Nakoniec dostaneme:

Spolu s oblasťou bočného povrchu možno nájsť aj oblasť celoplošný. Za týmto účelom pridajte základnú plochu k bočnej ploche. Základom je však kruh s polomerom , ktorého plocha podľa vzorca je .

Nakoniec tu máme: , kde je polomer základne valca, je tvoriaca čiara.

Poďme vyriešiť pár problémov na daných vzorcoch.

Ryža. 4. Požadovaný uhol

Príklad 1. Vývoj bočného povrchu kužeľa je sektor s uhlom na vrchole. Nájdite tento uhol, ak je výška kužeľa 4 cm a polomer základne 3 cm (pozri obr. 4).

Ryža. 5. Správny trojuholník tvoriaci kužeľ

Prvou akciou podľa Pytagorovej vety nájdeme tvoriacu čiaru: 5 cm (pozri obr. 5). Ďalej to vieme .

Príklad 2. Námestie axiálny rez kužeľ je, výška je. Nájdite celkovú plochu povrchu (pozri obr. 6).

Tu sú problémy s kužeľmi, stav súvisí s ich povrchom. Najmä v niektorých problémoch existuje otázka zmeny plochy so zvýšením (znížením) výšky kužeľa alebo polomeru jeho základne. Teória riešenia problémov v . Zvážte nasledujúce úlohy:

27135. Obvod základne kužeľa je 3, tvoriaca čiara je 2. Nájdite plochu bočnej plochy kužeľa.

Plocha bočného povrchu kužeľa je:

Zapojenie údajov:

75697. Koľkokrát sa plocha bočného povrchu kužeľa zväčší, ak sa jeho tvoriaca čiara zväčší 36-krát a polomer základne zostane rovnaký?

Plocha bočného povrchu kužeľa:

Generatrix sa zväčší 36-krát. Polomer zostáva rovnaký, čo znamená, že obvod základne sa nezmenil.

Takže plocha bočného povrchu upraveného kužeľa bude vyzerať takto:

Zvýši sa teda 36-krát.

*Závislosť je priamočiara, takže tento problém možno ľahko vyriešiť ústne.

27137. Koľkokrát sa zmenší plocha bočného povrchu kužeľa, ak sa polomer jeho základne zmenší 1,5-krát?

Plocha bočného povrchu kužeľa je:

Polomer sa zmenší 1,5-krát, to znamená:

Zistilo sa, že plocha bočného povrchu sa zmenšila 1,5-krát.

27159. Výška kužeľa je 6, tvoriaca čiara je 10. Nájdite plochu jeho celkového povrchu vydelenú pi.

Celý povrch kužeľa:

Nájdite polomer:

Výška a tvoriaca čiara sú známe, podľa Pytagorovej vety vypočítame polomer:

takto:

Výsledok vydeľte Pi a zapíšte odpoveď.

76299. Celková plocha kužeľa je 108. Paralelne so základňou kužeľa je nakreslený rez, ktorý delí výšku na polovicu. Nájdite celkovú plochu zrezaného kužeľa.

Sekcia prechádza strednou výškou rovnobežne so základňou. Polomer základne a tvoriaca čiara zrezaného kužeľa bude teda 2-násobok menší ako polomer a tvoriaca čiara pôvodného kužeľa. Zapíšme si, aká je plocha povrchu odrezaného kužeľa:

Spustil ju 4-krát menšiu plochu povrch originálu, to znamená 108:4 = 27.

* Keďže pôvodný a odrezaný kužeľ sú podobné telesá, bolo možné použiť aj vlastnosť podobnosti:

27167. Polomer základne kužeľa je 3, výška je 4. Nájdite celkovú plochu kužeľa delenú pi.

Vzorec pre celkový povrch kužeľa je:

Polomer je známy, je potrebné nájsť tvoriacu čiaru.

Podľa Pytagorovej vety:

takto:

Výsledok vydeľte Pi a zapíšte odpoveď.

Úloha. Bočný povrch kužeľa je štvornásobný väčšiu oblasť dôvodov. Nájsť čo rovná sa kosínusu uhol medzi tvoriacou čiarou kužeľa a rovinou základne.

Plocha základne kužeľa je:

To znamená, že kosínus sa bude rovnať:

Odpoveď: 0,25

Rozhodnite sa sami:

27136. Koľkokrát sa plocha bočného povrchu kužeľa zväčší, ak sa jeho tvoriaca čiara zväčší 3-krát?

27160. Plocha bočnej plochy kužeľa je dvojnásobkom plochy základne. Nájdite uhol medzi tvoriacou čiarou kužeľa a rovinou základne. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch. .

27161. Celková plocha kužeľa je 12. Paralelne so základňou kužeľa je nakreslený rez, ktorý delí výšku na polovicu. Nájdite celkovú plochu zrezaného kužeľa.

To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander.

*Zdieľajte informácie o stránke s priateľmi prostredníctvom sociálnych sietí.

Plocha povrchu kužeľa (alebo jednoducho povrch kužeľa) sa rovná súčtu plôch základne a bočného povrchu.

Plocha bočného povrchu kužeľa sa vypočíta podľa vzorca: S = πR l, kde R je polomer základne kužeľa a l- tvoriaca čiara kužeľa.

Pretože plocha základne kužeľa je πR 2 (ako plocha kruhu), potom sa plocha celého povrchu kužeľa bude rovnať : πR 2 + πR l= πR (R + l).

Získanie vzorca pre oblasť bočného povrchu kužeľa možno vysvetliť takýmto uvažovaním. Nech je na výkrese znázornený vývoj bočného povrchu kužeľa. Rozdeľte oblúk AB na možné viac rovnakými dielmi a spojte všetky deliace body so stredom oblúka a priľahlé navzájom tetivami.

Dostávame sériu rovnaké trojuholníky. Plocha každého trojuholníka je Ach / 2, kde a- dĺžka základne trojuholníka, a h- jeho vysoká.

Súčet obsahov všetkých trojuholníkov je: Ach / 2 n = anh / 2, kde n je počet trojuholníkov.

o veľké čísla divízií, súčet plôch trojuholníkov sa veľmi približuje k oblasti vývoja, t.j. ploche bočného povrchu kužeľa. Súčet základov trojuholníkov, t.j. an, sa veľmi približuje k dĺžke oblúka AB, t.j. k obvodu základne kužeľa. Výška každého trojuholníka sa veľmi približuje k polomeru oblúka, teda k tvoriacej priamke kužeľa.

Zanedbaním malých rozdielov vo veľkostiach týchto množstiev získame vzorec pre plochu bočného povrchu kužeľa (S):

S=C l / 2, kde C je obvod základne kužeľa, l- tvoriaca čiara kužeľa.

Keď vieme, že C \u003d 2πR, kde R je polomer kruhu základne kužeľa, získame: S \u003d πR l.

Poznámka. Vo vzorci S = C l / 2 je uvedené znamienko presnej, a nie približnej rovnosti, aj keď na základe vyššie uvedenej úvahy by sme túto rovnosť mohli považovať za približnú. Ale na strednej škole stredná škola je dokázané, že rovnosť

S=C l / 2 je presný, nie približný.

Veta. Bočný povrch kužeľa sa rovná súčinu obvodu základne a polovice tvoriacej čiary.

Vpíšme do kužeľa (obr.) nejaké správna pyramída a označujú písmenami R a lčísla vyjadrujúce dĺžky obvodu podstavy a apotému tejto pyramídy.

Potom bočný povrch bude vyjadrená súčinom 1/2 R l .

Predpokladajme teraz, že počet strán mnohouholníka vpísaného do základne sa neobmedzene zvyšuje. Potom obvod R bude smerovať k limitu branému ako dĺžka C obvodu základne a apotému l bude mať ako limit kužeľový generátor (keďže ΔSAK znamená, že SA - SK
1 / 2 R l, bude mať tendenciu k hranici 1/2 C L. Tento limit sa berie ako hodnota bočného povrchu kužeľa. Označením bočného povrchu kužeľa písmenom S môžeme napísať:

S = 1/2 °C L = C 1/2 l

Dôsledky.
1) Od C \u003d 2 π R, potom je bočný povrch kužeľa vyjadrený vzorcom:

S = 1/2 2π R L= π RL

2) Plnú plochu kužeľa dostaneme, ak k základnej ploche pripočítame bočnú plochu; preto, keď označíme celý povrch T, budeme mať:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Veta. Bočný povrch zrezaný kužeľ sa rovná súčinu polovice súčtu obvodov základní a tvoriacej priamky.

Vpíšme do zrezaného kužeľa (obr.) nejaký pravidelný zrezaná pyramída a označujú písmenami r, r 1 a lčísla vyjadrujúce v rovnakých lineárnych jednotkách dĺžky obvodov spodnej a hornej základne a apotému tejto pyramídy.

Potom je bočný povrch vpísanej pyramídy 1/2 ( p + p 1) l

S neobmedzeným zvyšovaním počtu bočných plôch vpísanej pyramídy, obvodov R a R 1 smerujú k limitom braným ako dĺžky C a C 1 kružníc základov a apotém l má ako svoju hranicu tvoriacu čiaru L zrezaného kužeľa. V dôsledku toho sa hodnota bočnej plochy vpísanej pyramídy blíži k hranici rovnej (С + С 1) L. Táto hranica sa berie ako hodnota bočnej plochy zrezaného kužeľa. Označením bočného povrchu zrezaného kužeľa písmenom S budeme mať:

S \u003d 1/2 (C + C1) L

Dôsledky.
1) Ak R a R 1 znamenajú polomery kružníc spodnej a hornej základne, potom bude bočná plocha zrezaného kužeľa:

S = 1/2 (2 π R+2 π R1) L= π (R+R1)L.

2) Ak v lichobežníku OO 1 A 1 A (obr.), Z rotácie ktorého sa získa zrezaný kužeľ, nakreslíme stredná čiara BC, dostaneme:

BC \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R 1),

R + R1 = 2BC.

teda

S = 2 π BC L,

t.j. bočná plocha zrezaného kužeľa sa rovná súčinu obvodu priemernej časti a tvoriacej čiary.

3) Celkový povrch T zrezaného kužeľa je vyjadrený takto:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)