Vlastnosti stredových čiar trojuholníka a lichobežníka. stredná čiara

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

  • Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

  • Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
  • Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
  • Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
  • Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

  • V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
  • V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Trieda: 8

Ciele lekcie:

1) oboznámiť študentov s pojmom stredová čiara lichobežníka, zvážiť jeho vlastnosti a dokázať ich;

2) naučiť, ako postaviť strednú čiaru lichobežníka;

3) rozvíjať schopnosť žiakov využívať definíciu strednej čiary lichobežníka a vlastnosti strednej čiary lichobežníka pri riešení úloh;

4) pokračovať v rozvíjaní schopnosti žiakov správne hovoriť s využitím potrebných matematických výrazov; dokázať svoj názor;

5) rozvíjať logické myslenie, pamäť, pozornosť.

Počas vyučovania

1. Kontrola domácich úloh prebieha počas vyučovacej hodiny. Domáca úloha bola ústna, pamätajte:

a) definícia lichobežníka; druhy lichobežníka;

b) určenie stredovej čiary trojuholníka;

c) vlastnosť stredovej čiary trojuholníka;

d) znak stredovej čiary trojuholníka.

2. Učenie sa nového materiálu.

a) Lichobežník ABCD je zobrazený na doske.

b) Učiteľ ponúka zapamätať si definíciu lichobežníka. Každý stôl má náčrtovú schému, ktorá pomáha zapamätať si základné pojmy v téme „lichobežník“ (pozri prílohu 1). Príloha 1 je vydaná pre každý stôl.

Žiaci si do zošita nakreslia lichobežník ABCD.

c) Učiteľ navrhne pripomenúť si, v ktorej téme sa vyskytol pojem stredná čiara („Stredná čiara trojuholníka“). Žiaci si pripomenú definíciu stredovej čiary trojuholníka a jej vlastnosti.

e) Zapíšte si definíciu strednej čiary lichobežníka a znázornite ju do zošita.

stredná čiara Lichobežník sa nazýva segment spájajúci stredy jeho strán.

Vlastnosť strednej čiary lichobežníka v tejto fáze zostáva nepreukázaná, takže ďalšia fáza lekcie zahŕňa prácu na dôkaze vlastnosti strednej čiary lichobežníka.

Veta. Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná s jeho základňami a rovná sa polovici ich súčtu.

Vzhľadom na to: ABCD - lichobežník,

MN - stredná čiara ABCD

dokázať, čo:

1. pred Kr || MN || AD.

2. MN = (AD + BC).

Môžeme si zapísať niektoré dôsledky vyplývajúce z podmienok vety:

AM=MB, CN=ND, BC || AD.

Len na základe uvedených vlastností nie je možné dokázať, čo sa požaduje. Systém otázok a cvičení má viesť žiakov k túžbe spojiť stredovú čiaru lichobežníka so strednou čiarou nejakého trojuholníka, ktorého vlastnosti už poznajú. Ak neexistujú žiadne návrhy, môžeme si položiť otázku: ako zostrojiť trojuholník, pre ktorý by bol segment MN stredovou čiarou?

Napíšme dodatočnú konštrukciu pre jeden z prípadov.

Narysujme čiaru BN pretínajúcu predĺženie strany AD v bode K.

Objavujú sa ďalšie prvky - trojuholníky: ABD, BNM, DNK, BCN. Ak dokážeme, že BN = NK, potom to bude znamenať, že MN je stredná čiara ABD, a potom môžeme použiť vlastnosť strednej čiary trojuholníka a dokázať to potrebné.

dôkaz:

1. Zvážte BNC a DNK, v nich:

a) CNB =DNK (vlastnosť vertikálnych uhlov);

b) BCN = NDK (vlastnosť vnútorných priečnych uhlov);

c) CN = ND (podľa hypotézy vety).

Takže BNC = DNK (na strane a dvoch rohoch priľahlých k nej).

Q.E.D.

Dôkaz je možné vykonať ústne na vyučovacej hodine, obnoviť a zapísať do zošita doma (podľa uváženia učiteľa).

Je potrebné spomenúť ďalšie možné spôsoby dokázania tejto vety:

1. Nakreslite jednu z uhlopriečok lichobežníka a použite znamienko a vlastnosť strednej čiary trojuholníka.

2. Spustite CF || BA a zvážte rovnobežník ABCF a DCF.

3. Spustite EF || BA a zvážiť rovnosť FND a ENC.

g) V tejto fáze sa zadáva domáca úloha: str.84, učebnica, vyd. Atanasyan L.S. (dôkaz o vlastnosti stredovej čiary lichobežníka vektorovým spôsobom), zapíšte si do zošita.

h) Úlohy na použitie definície a vlastností stredovej čiary lichobežníka riešime podľa hotových výkresov (pozri prílohu 2). Každý študent dostane prílohu 2 a na ten istý list je vypracované riešenie úloh v skrátenej forme.

Pojem stredová čiara lichobežníka

Najprv si pripomeňme, aký obrazec sa nazýva lichobežník.

Definícia 1

Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve nie sú rovnobežné.

V tomto prípade sa rovnobežné strany nazývajú základne lichobežníka a nie rovnobežné - strany lichobežníka.

Definícia 2

Stredová čiara lichobežníka je úsečka, ktorá spája stredné body strán lichobežníka.

Trapézový teorém strednej čiary

Teraz zavedieme vetu o strednej čiare lichobežníka a dokážeme ju vektorovou metódou.

Veta 1

Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a rovná sa polovici ich súčtu.

Dôkaz.

Dajme nám lichobežník $ABCD$ so základňami $AD\ a\ BC$. A nech je $MN$ stredovou čiarou tohto lichobežníka (obr. 1).

Obrázok 1. Stredná čiara lichobežníka

Dokážme, že $MN||AD\ a\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Uvažujme vektor $\overrightarrow(MN)$. Ďalej použijeme pravidlo mnohouholníka na sčítanie vektorov. Na jednej strane to chápeme

Na druhej strane

Pridaním posledných dvoch rovnosti dostaneme

Keďže $M$ a $N$ sú stredy strán lichobežníka, máme

Dostaneme:

V dôsledku toho

Z rovnakej rovnosti (keďže $\overrightarrow(BC)$ a $\overrightarrow(AD)$ sú kosmerné, a teda kolineárne), dostaneme $MN||AD$.

Veta bola dokázaná.

Príklady úloh k pojmu stredová čiara lichobežníka

Príklad 1

Strany lichobežníka sú $15\cm$ a $17\cm$. Obvod lichobežníka je $52\cm$. Nájdite dĺžku stredovej čiary lichobežníka.

Riešenie.

Označte stredovú čiaru lichobežníka $n$.

Súčet strán je

Preto, keďže obvod je $52\cm$, súčet základov je

Podľa vety 1 teda dostaneme

odpoveď: 10 $\cm$.

Príklad 2

Konce priemeru kruhu sú od dotyčnice $9$ cm a $5$ cm. Nájdite priemer tohto kruhu.

Riešenie.

Dostaneme kružnicu so stredom $O$ a priemerom $AB$. Nakreslite dotyčnicu $l$ a zostrojte vzdialenosti $AD=9\ cm$ a $BC=5\ cm$. Nakreslíme si polomer $OH$ (obr. 2).

Obrázok 2

Pretože $AD$ a $BC$ sú vzdialenosti k dotyčnici, potom $AD\bot l$ a $BC\bot l$ a keďže $OH$ je polomer, potom $OH\bot l$, teda $OH | \left|AD\right||BC$. Z toho všetkého dostaneme, že $ABCD$ je lichobežník a $OH$ je jeho stredová čiara. Podľa vety 1 dostaneme

Pojem stredová čiara lichobežníka

Najprv si pripomeňme, aký obrazec sa nazýva lichobežník.

Definícia 1

Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve nie sú rovnobežné.

V tomto prípade sa rovnobežné strany nazývajú základne lichobežníka a nie rovnobežné - strany lichobežníka.

Definícia 2

Stredová čiara lichobežníka je úsečka, ktorá spája stredné body strán lichobežníka.

Trapézový teorém strednej čiary

Teraz zavedieme vetu o strednej čiare lichobežníka a dokážeme ju vektorovou metódou.

Veta 1

Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a rovná sa polovici ich súčtu.

Dôkaz.

Dajme nám lichobežník $ABCD$ so základňami $AD\ a\ BC$. A nech je $MN$ stredovou čiarou tohto lichobežníka (obr. 1).

Obrázok 1. Stredná čiara lichobežníka

Dokážme, že $MN||AD\ a\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Uvažujme vektor $\overrightarrow(MN)$. Ďalej použijeme pravidlo mnohouholníka na sčítanie vektorov. Na jednej strane to chápeme

Na druhej strane

Pridaním posledných dvoch rovnosti dostaneme

Keďže $M$ a $N$ sú stredy strán lichobežníka, máme

Dostaneme:

V dôsledku toho

Z rovnakej rovnosti (keďže $\overrightarrow(BC)$ a $\overrightarrow(AD)$ sú kosmerné, a teda kolineárne), dostaneme $MN||AD$.

Veta bola dokázaná.

Príklady úloh k pojmu stredová čiara lichobežníka

Príklad 1

Strany lichobežníka sú $15\cm$ a $17\cm$. Obvod lichobežníka je $52\cm$. Nájdite dĺžku stredovej čiary lichobežníka.

Riešenie.

Označte stredovú čiaru lichobežníka $n$.

Súčet strán je

Preto, keďže obvod je $52\cm$, súčet základov je

Podľa vety 1 teda dostaneme

odpoveď: 10 $\cm$.

Príklad 2

Konce priemeru kruhu sú od dotyčnice $9$ cm a $5$ cm. Nájdite priemer tohto kruhu.

Riešenie.

Dostaneme kružnicu so stredom $O$ a priemerom $AB$. Nakreslite dotyčnicu $l$ a zostrojte vzdialenosti $AD=9\ cm$ a $BC=5\ cm$. Nakreslíme si polomer $OH$ (obr. 2).

Obrázok 2

Pretože $AD$ a $BC$ sú vzdialenosti k dotyčnici, potom $AD\bot l$ a $BC\bot l$ a keďže $OH$ je polomer, potom $OH\bot l$, teda $OH | \left|AD\right||BC$. Z toho všetkého dostaneme, že $ABCD$ je lichobežník a $OH$ je jeho stredová čiara. Podľa vety 1 dostaneme

stredná čiara figúry v planimetrii - segment spájajúci stredy dvoch strán danej figúry. Pojem sa používa pre nasledujúce obrázky: trojuholník, štvoruholník, lichobežník.

Encyklopedický YouTube

    1 / 3

    ✪ Stupeň 8, Lekcia 25, Stredná čiara trojuholníka

    ✪ geometria STREDNÁ ČIARA TROJUHOLNÍKA Atanasyan Grade 8

    ✪ Stredná čiara trojuholníka | Geometria 7-9 ročník #62 | info lekcia

    titulky

Stredná čiara trojuholníka

Vlastnosti

  • stredná čiara trojuholníka je rovnobežná so základňou a rovná sa jej polovici.
  • v priesečníku všetkých troch stredných čiar vzniknú 4 rovnaké trojuholníky, podobné (aj homotetické) pôvodnému s koeficientom 1/2.
  • stredná čiara odreže trojuholník, ktorý je podobný danému trojuholníku a jeho plocha sa rovná jednej štvrtine plochy pôvodného trojuholníka.
  • Tri stredné čiary trojuholník ho rozdelí na 4 rovnaké (identické) trojuholníky, podobné pôvodnému trojuholníku. Všetky 4 takéto identické trojuholníky sa nazývajú stredné trojuholníky. Stredný z týchto 4 rovnakých trojuholníkov sa nazýva doplnkový trojuholník.

znamenia

  • ak je úsečka rovnobežná s jednou zo strán trojuholníka a spája stred jednej strany trojuholníka s bodom ležiacim na druhej strane trojuholníka, potom je to stredová čiara.

Stredná čiara štvoruholníka

Stredná čiara štvoruholníkaÚsečka, ktorá spája stredy protiľahlých strán štvoruholníka.

Vlastnosti

Prvý riadok spája 2 protiľahlé strany. Druhá spája 2 ďalšie protiľahlé strany. Tretia spája stredy dvoch uhlopriečok (nie vo všetkých štvoruholníkoch sú uhlopriečky rozpolené priesečníkom).

  • Ak v konvexnom štvoruholníku tvorí stredová čiara rovnaké uhly s uhlopriečkami štvoruholníka, potom sú uhlopriečky rovnaké.
  • Dĺžka stredovej čiary štvoruholníka je menšia alebo rovná polovici súčtu ostatných dvoch strán, ak sú tieto strany rovnobežné, a to iba v tomto prípade.
  • Stredy strán ľubovoľného štvoruholníka sú vrcholy rovnobežníka. Jeho plocha sa rovná polovici plochy štvoruholníka a jeho stred leží v priesečníku stredových čiar. Tento rovnobežník sa nazýva Varignonov rovnobežník;
  • Posledný bod znamená nasledovné: V konvexnom štvoruholníku štyri stredné čiary druhého druhu. Stredné línie druhého druhu- štyri segmenty vo vnútri štvoruholníka prechádzajúce stredmi jeho priľahlých strán rovnobežne s uhlopriečkami. Štyri stredné čiary druhého druhu konvexný štvoruholník ho rozrežte na štyri trojuholníky a jeden stredový štvoruholník. Tento centrálny štvoruholník je rovnobežníkom Varignonu.
  • Priesečník stredových línií štvoruholníka je ich spoločným stredom a pretína úsečku spájajúcu stredy uhlopriečok. Okrem toho je

SÚVISIACE ČLÁNKY