V problémoch v geometrii úspech nezávisí len od znalosti teórie, ale od kvalitného výkresu.
Pri plochých kresbách je všetko viac-menej jasné. Ale v stereometrii je situácia komplikovanejšia. Koniec koncov, je potrebné znázorniť trojrozmerný telo na plochý kresba, a to takým spôsobom, aby ste vy aj ten, kto sa na vašu kresbu pozerá, videli rovnaké trojrozmerné telo.

Ako to spraviť?
Samozrejme, akýkoľvek obraz trojrozmerného tela v rovine bude podmienený. Existuje však určitý súbor pravidiel. Existuje všeobecne uznávaný spôsob vytvárania plánov − paralelná projekcia.

Vezmime si pevné telo.
Poďme si vybrať projekčná rovina.
Cez každý bod objemového telesa nakreslíme priame čiary, ktoré sú navzájom rovnobežné a pretínajú rovinu premietania pod určitým uhlom. Každá z týchto čiar v určitom bode pretína projekčnú rovinu. Spoločne tieto body tvoria projekcia objemové teleso na rovine, teda jeho plochý obraz.

Ako zostaviť projekcie objemových telies?
Predstavte si, že máte rám z trojrozmerného telesa – hranol, pyramídu alebo valec. Osvetlením paralelným lúčom svetla získame obraz - tieň na stene alebo na obrazovke. Všimnite si, že rôzne obrázky sa získavajú z rôznych uhlov, ale niektoré vzory sú stále prítomné:

Projekcia segmentu bude segmentom.

Samozrejme, ak je segment kolmý na rovinu premietania, zobrazí sa v jednom bode.

Vo všeobecnom prípade bude projekcia kruhu elipsa.

Priemet obdĺžnika je rovnobežník.

Takto vyzerá projekcia kocky na rovinu:

Tu sú predná a zadná strana rovnobežné s rovinou premietania

Môžete to urobiť inak:

Akýkoľvek uhol si vyberieme, projekcie rovnobežných segmentov na výkrese budú tiež rovnobežnými segmentmi. Toto je jeden z princípov paralelného premietania.

Kreslíme projekcie pyramídy,

valec:

Ešte raz si zopakujeme základný princíp paralelného premietania. Vyberieme premietaciu rovinu a nakreslíme rovné čiary navzájom rovnobežné cez každý bod objemového telesa. Tieto čiary pretínajú rovinu premietania pod určitým uhlom. Ak je tento uhol 90°, tak je pravouhlé premietanie. Pomocou pravouhlej projekcie sa vytvárajú výkresy trojrozmerných častí v strojárstve. V tomto prípade hovoríme o pohľade zhora, spredu a zboku.

Kapitola IV. Priame čiary a roviny v priestore. Polyhedra

§ 55. Premietacia plocha polygónu.

Pripomeňme si, že uhol medzi priamkou a rovinou je uhol medzi danou priamkou a jej priemetom do roviny (obr. 164).

Veta. Plocha ortogonálneho priemetu mnohouholníka do roviny sa rovná ploche premietnutého mnohouholníka vynásobenej kosínusom uhla, ktorý zviera rovina mnohouholníka a rovina premietania.

Každý mnohouholník možno rozdeliť na trojuholníky, ktorých súčet plôch sa rovná ploche mnohouholníka. Preto stačí dokázať vetu o trojuholníku.

Nechaj /\ ABC sa premieta do roviny R. Zvážte dva prípady:
a) jedna zo strán /\ ABC je rovnobežná s rovinou R;
b) žiadna zo strán /\ ABC nie je paralelné R.

Zvážte prvý prípad: nech [AB] || R.

Nakreslite rovinu (AB). R 1 || R a premietať ortogonálne /\ ABC zapnuté R 1 a ďalej R(obr. 165); dostaneme /\ ABC 1 a /\ A"B"S".
Podľa projekčnej vlastnosti máme /\ ABC 1 /\ A"B"C" a teda

S /\ ABC1=S /\ A"B"C"

Nakreslíme _|_ a úsečku D 1 C 1 . Potom _|_ , a = φ je uhol medzi rovinou /\ ABC a lietadlo R jeden . Preto

S /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

a teda S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Prejdime k úvahe druhý prípad. Nakreslite rovinu R 1 || R cez ten vrchol /\ ABC, vzdialenosť od ktorej k rovine R najmenší (nech je to vrchol A).
Navrhneme /\ ABC v lietadle R 1 a R(obr. 166); nech sú jeho projekcie resp /\ AB 1 C 1 a /\ A"B"S".

Nechajte (slnko) p 1 = D. Potom

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Úloha. Cez stranu podstavy pravidelného trojuholníkového hranolu je vedená rovina pod uhlom φ = 30° k rovine jeho podstavy. Nájdite plochu výslednej časti, ak je strana základne hranola a= 6 cm.

Znázornime rez týmto hranolom (obr. 167). Keďže hranol je pravidelný, jeho bočné hrany sú kolmé na rovinu podstavy. znamená, /\ ABC je projekcia /\ ADC, takže

Podrobný dôkaz vety o ortogonálnej projekcii mnohouholníka

Ak - projekcia bytu n -gon do roviny, teda, kde je uhol medzi rovinami polygnov a. Inými slovami, projekčná plocha plochého mnohouholníka sa rovná súčinu plochy premietnutého mnohouholníka a kosínusu uhla medzi rovinou premietania a rovinou premietnutého mnohouholníka.

Dôkaz. ja etapa. Najprv urobme dôkaz pre trojuholník. Zoberme si 5 prípadov.

1 prípad. ležať v projekčnej rovine .

Nech sú projekcie bodov do roviny, resp. V našom prípade. Predpokladajme, že. Nech - výška, potom z vety o troch kolmiciach môžeme usúdiť, že - výška (- priemet naklonenej, - jej základňa a priamka navyše prechádza podstavou naklonenej).

Zvážte. Je obdĺžnikový. Podľa definície kosínusu:

Na druhej strane, keďže a teda, podľa definície, je lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú polroviny rovín a hraničnej čiary, a preto je jeho miera tiež mierou uhla medzi projekčné roviny trojuholníka a samotný trojuholník, tzn.

Nájdite pomer plochy k:

Všimnite si, že vzorec zostáva pravdivý, aj keď . V tomto prípade

2. prípad. Leží iba v rovine premietania a je rovnobežná s rovinou premietania .

Nech sú projekcie bodov do roviny, resp. V našom prípade.

Nakreslíme priamku cez bod. V našom prípade priamka pretína projekčnú rovinu, čo v leme znamená, že priamka pretína aj premietaciu rovinu. Nech je v bode Keďže potom body ležia v tej istej rovine, a keďže je rovnobežná s premietacou rovinou, zo znamienka rovnobežnosti priamky a roviny vyplýva, že. Preto je rovnobežník. Zvážte a. Sú rovnaké na troch stranách (- spoločné, ako protiľahlé strany rovnobežníka). Všimnite si, že štvoruholník je obdĺžnik a je rovnaký (pozdĺž nohy a prepony), preto je rovnaký na troch stranách. Preto.

Pre 1 prípad platí: t.j.

3. prípad. Leží len v rovine premietania a nie je rovnobežná s rovinou premietania .

Nech je bod priesečníkom priamky s premietacou rovinou. Všimnime si, že i. Pri 1 príležitosti: i. Tak to dostaneme

4 prípad. Vrcholy neležia v projekčnej rovine . Zvážte kolmice. Vezmite najmenšiu z týchto kolmic. Nech je kolmá. Môže sa ukázať, že buď len, alebo len. Potom ešte berieme.

Vyčleňme bod z bodu na úsečke tak, a z bodu na úsečke, bod, aby. Takáto konštrukcia je možná, pretože - najmenšia z kolmíc. Všimnite si, že ide o projekciu a podľa konštrukcie. Dokážme to a sme si rovní.

Zoberme si štvoruholník. Podmienkou - kolmicami na jednu rovinu teda podľa vety teda. Pretože konštrukciou, potom na základe rovnobežníka (na rovnobežných a rovnakých opačných stranách), môžeme dospieť k záveru, že - rovnobežník. Znamená, . Podobne je dokázané, že . Preto a sú rovnaké na troch stranách. Preto. Všimnite si, že a ako protiľahlé strany rovnobežníkov, teda na základe rovnobežnosti rovín, . Keďže sú tieto roviny rovnobežné, zvierajú s rovinou premietania rovnaký uhol.

Pre predchádzajúce prípady platí:

5 prípad. Rovina premietania pretína strany . Pozrime sa na rovné čiary. Sú kolmé na premietaciu rovinu, takže podľa vety sú rovnobežné. Na spoločne nasmerovaných lúčoch s počiatkami v bodoch vyčleňujeme rovnaké úsečky tak, aby vrcholy ležali mimo rovinu premietania. Všimnite si, že ide o projekciu a podľa konštrukcie. Ukážme, že je to rovné.

Od a podľa konštrukcie teda. Preto na základe rovnobežníka (na dvoch rovnakých a rovnobežných stranách) - rovnobežníka. Podobne možno dokázať, že a sú rovnobežníky. Ale potom, a (ako protiľahlé strany), teda, je rovnaký v troch stranách. Znamená, .

Okrem toho, a teda na základe rovnobežnosti rovín. Keďže sú tieto roviny rovnobežné, zvierajú s rovinou premietania rovnaký uhol.

Pre príslušný prípad 4:.

II etapa. Rozdeľme plochý mnohouholník na trojuholníky pomocou uhlopriečok nakreslených z vrcholu: Potom podľa predchádzajúcich prípadov pre trojuholníky: .

Q.E.D.