Definícia 2.7. je dvojica náhodných čísel (X, Y), alebo bod na súradnicovej rovine (obr. 2.11).
Ryža. 2.11.
Dvojrozmerná náhodná premenná je špeciálny prípad viacrozmernej náhodnej premennej alebo náhodného vektora.
Definícia 2.8. Náhodný vektor - je to náhodná funkcia?,(/) s konečnou množinou možných hodnôt argumentov t, ktorého hodnota pre akúkoľvek hodnotu t je náhodná premenná.
Dvojrozmerná náhodná premenná sa nazýva spojitá, ak sú jej súradnice spojité, a diskrétna, ak sú jej súradnice diskrétne.
Stanoviť zákon distribúcie dvojrozmerných náhodných premenných znamená stanoviť súlad medzi ich možnými hodnotami a pravdepodobnosťou týchto hodnôt. Podľa spôsobov nastavenia sa náhodné veličiny delia na spojité a diskrétne, aj keď existujú všeobecné spôsoby, ako nastaviť distribučný zákon ľubovoľného RV.
Diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná
Diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná je špecifikovaná pomocou distribučnej tabuľky (tabuľka 2.1).
Tabuľka 2.1
Alokačná tabuľka (spoločná alokácia) CB ( X, U)
Prvky tabuľky sú definované vzorcom
Vlastnosti prvku distribučnej tabuľky:
Rozloženie na každej súradnici sa nazýva jednorozmerný alebo okrajový:
R 1> = P(X =.d,) - okrajová distribúcia SW X;
p^2) = P(Y= y,)- okrajová distribúcia SV U.
Komunikácia spoločnej distribúcie CB X a Y, dané množinou pravdepodobností [p () ), t.j = 1,..., n,j = 1,..., t(tabuľka rozdelenia) a okrajové rozdelenie.
Podobne pre SV U p-2)= X p, g
Problém 2.14. Vzhľadom na to:
Spojitá 2D náhodná premenná
/(X, y)dxdy- prvok pravdepodobnosti pre dvojrozmernú náhodnú premennú (X, Y) - pravdepodobnosť zásahu náhodnej premennej (X, Y) v obdĺžniku so stranami cbc, dy pri dx, dy -* 0:
f(x, y) - hustota distribúcie dvojrozmerná náhodná premenná (X, Y). Úloha /(x, y) dávame kompletnú informáciu o rozdelení dvojrozmernej náhodnej premennej.
Okrajové rozdelenia sú špecifikované nasledovne: pre X - hustotou rozdelenia CB X/,(x); na Y- hustota distribúcie SV f>(y).
Nastavenie distribučného zákona dvojrozmernej náhodnej premennej pomocou distribučnej funkcie
Univerzálnym spôsobom, ako špecifikovať distribučný zákon pre diskrétnu alebo spojitú dvojrozmernú náhodnú premennú, je distribučná funkcia F(x, y).
Definícia 2.9. Distribučná funkcia F(x, y)- pravdepodobnosť spoločného výskytu udalostí (Xy), t.j. F(x0,y n) = = P(X y), hodené na rovinu súradníc, spadajú do nekonečného kvadrantu s vrcholom v bode M(x 0, ty i)(v tieňovanej oblasti na obr. 2.12).
Ryža. 2.12. Ilustrácia distribučnej funkcie F( x, y)
Vlastnosti funkcie F(x, y)
- 1) 0 1;
- 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F( oo, oo) = 1;
- 3) F(x, y)- neklesanie v každom argumente;
- 4) F(x, y) - súvislé vľavo a dole;
- 5) konzistencia distribúcií:
F(x, X: F(x, oo) = F, (x); F(y, oo) - okrajová distribúcia nad Y F( oo y) = F2 (y). Pripojenie /(x, y) S F(x, y):
Vzťah medzi hustotou kĺbov a hraničnou hustotou. Dana f(x, y). Získame hraničné distribučné hustoty f (x), f 2 (y)".
Prípad nezávislých súradníc dvojrozmernej náhodnej premennej
Definícia 2.10. SW X a Y nezávislý(nc) či sú nejaké udalosti spojené s každým z týchto RV nezávislé. Z definície nc CB vyplýva:
- 1 )Pij = p X) pf
- 2 )F(x,y) = Fl(x)F2 (y).
Ukazuje sa, že pre nezávislé SW X a Y dokončené a
3 )f(x,y) = J(x)f,(y).
Dokážme, že pre nezávislé SW X a Y2) 3). dôkaz, a) Nech 2), t.j.
v rovnakom čase F(x,y) = f J f(u,v)dudv, odkiaľ vyplýva 3);
b) nechajme teda 3 teraz držať
tie. pravda 2).
Uvažujme o úlohách.
Problém 2.15. Rozdelenie je uvedené v nasledujúcej tabuľke:
Vytvárame okrajové distribúcie:
Dostaneme P(X = 3, U = 4) = 0,17 * P(X = 3) P (Y \u003d 4) \u003d 0,1485 => => SV X a závislé osoby.
Distribučná funkcia:
Problém 2.16. Rozdelenie je uvedené v nasledujúcej tabuľke:
Dostaneme P tl = 0,2 0,3 = 0,06; P 12 \u003d 0,2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => SW X a Y nz.
Problém 2.17. Dana /(x, y) = 1/st exp| -0,5 (d "+ 2xy + 5d/2)]. Nájsť oh) a /Ay)-
Riešenie
(spočítajte si sami).
Pomerne často sa pri štúdiu náhodných premenných musíme vysporiadať s dvomi, tromi alebo dokonca viacerými náhodnými premennými. Napríklad dvojrozmerná náhodná premenná $\left(X,\ Y\right)$ bude popisovať bod zásahu projektilu, kde náhodné premenné $X,\Y$ sú úsečka a ordináta. Výkon náhodného študenta počas relácie charakterizuje $n$-rozmerná náhodná premenná $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, kde náhodné premenné sú $X_1,\ X_2 ,\ \bodky ,\ X_n $ - toto sú známky zapisované do triednej knihy v rôznych disciplínach.
Množina $n$ náhodných premenných $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ sa nazýva náhodný vektor. Obmedzujeme sa na veľkosť písmen $\left(X,\ Y\right)$.
Nech $X$ je diskrétna náhodná premenná s možnými hodnotami $x_1,x_2,\\bodky,\x_n$ a $Y$ je diskrétna náhodná premenná s možnými hodnotami $y_1,y_2,\ \bodky, \ y_n$.
Potom môže diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná $\left(X,\ Y\right)$ nadobúdať hodnoty $\left(x_i,\ y_j\right)$ s pravdepodobnosťou $p_(ij)=P\left( \left(X=x_i \right)\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right)P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$. Tu $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ je podmienená pravdepodobnosť, že náhodná premenná $Y$ nadobudne hodnotu $y_j$ za predpokladu, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu $x_i$.
Pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu $x_i$, sa rovná $p_i=\sum_j(p_(ij))$. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná $Y$ nadobudne hodnotu $y_j$, sa rovná $q_j=\sum_i(p_(ij))$.
$$P\vľavo(X=x_i|Y=y_j\vpravo)=((P\vľavo(\vľavo(X=x_i\vpravo)\vľavo(Y=y_j\vpravo)\vpravo))\nad (P\ vľavo(Y=y_j\vpravo)))=((p_(ij))\nad (q_j)).$$
$$P\vľavo(Y=y_j|X=x_i\vpravo)=((P\vľavo(\vľavo(X=x_i\vpravo)\vľavo(Y=y_j\vpravo)\vpravo))\nad (P\ vľavo(X=x_i\vpravo)))=((p_(ij))\nad (p_i)).$$
Príklad 1 . Rozdelenie dvojrozmernej náhodnej premennej je dané:
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X\obrátená lomka Y & 2 & 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(pole)$
Definujme distribučné zákony pre náhodné premenné $X$ a $Y$. Nájdite podmienené rozdelenia náhodnej premennej $X$ pod podmienkou $Y=2$ a náhodnej premennej $Y$ za podmienky $X=0$.
Vyplňme nasledujúcu tabuľku:
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X\obrátená lomka Y & 2 & 3 & p_i & p_(ij)/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(pole)$
Vysvetlíme si, ako sa plní tabuľka. Hodnoty prvých troch stĺpcov prvých štyroch riadkov sú prevzaté z podmienky. Súčet čísel $2$th a $3$th stĺpcov $2$th ($3$th) riadku je uvedený v $4$th stĺpci $2$th ($3$th) riadku. Súčet čísel v $2$-tom a $3$-tom stĺpci $4$-teho riadku je uvedený v $4$-tom stĺpci $4$-teho riadku.
Súčet čísel v $2$th, $3$th a $4$th riadkoch v $2$th ($3$th) stĺpci je zapísaný v $5$-tom riadku v $2$th ($3$th) stĺpci. Každé číslo v stĺpci $2$th sa vydelí $q_1=0,52$, výsledok sa zaokrúhli na dve desatinné miesta nahor a zapíše sa do stĺpca $5$th. Čísla z $2$th a $3$th stĺpca $3$th riadku sa vydelia $p_2=0,41$, výsledok sa zaokrúhli na dve desatinné miesta nahor a zapíše sa do posledného riadku.
Potom zákon rozdelenia náhodnej premennej $X$ má nasledujúci tvar.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,41 & 0,19 \\
\hline
\end(pole)$
Zákon rozdelenia náhodnej premennej $Y$.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 \\
\hline
\end(pole)$
Podmienené rozdelenie náhodnej premennej $X$ pod podmienkou $Y=2$ má nasledujúci tvar.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_(ij)/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\end(pole)$
Podmienené rozdelenie náhodnej premennej $Y$ pod podmienkou $X=0$ má nasledujúci tvar.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 \\
\hline
\end(pole)$
Príklad 2 . Máme šesť ceruziek, z toho dve sú červené. Ceruzky vložíme do dvoch škatúľ. Do prvého sa vložia 2$ kúsky a do druhého dva. $X$ je počet červených ceruziek v prvom poli a $Y$ je v druhom. Napíšte distribučný zákon pre sústavu náhodných premenných $(X,\ Y)$.
Nech je diskrétna náhodná premenná $X$ počet červených ceruziek v prvom poli a diskrétna náhodná premenná $Y$ je počet červených ceruziek v druhom poli. Možné hodnoty náhodných premenných $X,\Y$ sú $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Potom môže diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná $\left(X,\ Y\right)$ nadobúdať hodnoty $\left(x,\ y\right)$ s pravdepodobnosťou $P=P\left(\left( X=x\vpravo) \krát \ľavý(Y=y\vpravo)\vpravo)=P\ľavý (X=x\vpravo)\krát P\ľavý (Y=y|X=x\vpravo)$, kde $P\left(Y =y|X=x\right)$ - podmienená pravdepodobnosť, že náhodná premenná $Y$ nadobudne hodnotu $y$ za predpokladu, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu $x$. Predstavme si korešpondenciu medzi hodnotami $\left(x,\y\right)$ a pravdepodobnosťami $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right) \right)$ podľa nasledujúcich tabuliek.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X\obrátená lomka Y & 0 & 1 & 2 \\
\hline
0 & ((1)\nad (15)) & ((4)\nad (15)) & ((1)\nad (15)) \\
\hline
1 & ((4)\nad (15)) & ((4)\nad (15)) & 0 \\
\hline
2 & ((1)\nad (15)) & 0 & 0 \\
\hline
\end(pole)$
Riadky takejto tabuľky označujú hodnoty $X$ a stĺpce označujú hodnoty $Y$, potom pravdepodobnosti $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y =y\vpravo)\vpravo)$ sú uvedené v priesečníku príslušného riadka a stĺpca. Vypočítajme pravdepodobnosti pomocou klasickej definície pravdepodobnosti a vety o súčine pravdepodobností závislých udalostí.
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^1_2\ cdot C^1_2)\over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((2\cdot 2)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)=((C^2_4)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((1)\over (6))=((1)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^2_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((3)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^1_1\cdot C^1_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((1\cdot 3)\over (6))=(( 4)\over(15));$$
$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_2)\over (C^2_6))\cdot ((C^2_4) \over (C^2_4))=((1)\over (15))\cdot 1=((1)\over (15)).$$
Keďže v zákone o rozdelení (výslednej tabuľke) tvorí celá množina udalostí ucelenú skupinu udalostí, súčet pravdepodobností by sa mal rovnať 1. Overme si to:
$$\sum_(i,\ j)(p_(ij))=((1)\nad (15))+((4)\nad (15))+((1)\nad (15))+ ((4)\viac ako (15))+((4)\viac ako (15))+((1)\viac ako (15))=1,$$
Distribučná funkcia dvojrozmernej náhodnej premennej
distribučná funkcia Dvojrozmerná náhodná premenná $\left(X,\ Y\right)$ je funkcia $F\left(x,\ y\right)$, ktorá sa pre akékoľvek reálne čísla $x$ a $y$ rovná pravdepodobnosť spoločného vykonania dvoch udalostí $ \left\(X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению
$$F\left(x,\y\right)=P\left\(X< x,\ Y < y\right\}.$$
Pre diskrétnu dvojrozmernú náhodnú premennú sa distribučná funkcia nájde súčtom všetkých pravdepodobností $p_(ij)$, pre ktoré $x_i< x,\ y_j < y$, то есть
$$F\left(x,\y\right)=\sum_(x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$
Vlastnosti distribučnej funkcie dvojrozmernej náhodnej premennej.
1 . Distribučná funkcia $F\left(x,\ y\right)$ je ohraničená, teda $0\le F\left(x,\ y\right)\le 1$.
2 . $F\left(x,\ y\right)$ neklesajúci pre každý z jeho argumentov s druhým pevným, t.j. $F\left(x_2,\ y\right)\ge F\left(x_1,\ y\ vpravo )$ za $x_2>x_1$, $F\left(x,\ y_2\right)\ge F\left(x,\ y_1\right)$ za $y_2>y_1$.
3 . Ak aspoň jeden z argumentov nadobudne hodnotu $-\infty $, potom sa distribučná funkcia bude rovnať nule, t.j. $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x,\ - \infty \right ),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.
4 . Ak oba argumenty nadobúdajú hodnotu $+\infty $, potom sa distribučná funkcia bude rovnať $1$, t.j. $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.
5 . V prípade, že práve jeden z argumentov nadobudne hodnotu $+\infty $, distribučná funkcia $F\left(x,\ y\right)$ sa stane distribučnou funkciou náhodnej premennej zodpovedajúcej druhému prvku, t.j. $ F\left(x ,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left (+\infty ,\y\right)=F_y\left (y\vpravo) =F_Y\vľavo(y\vpravo)$.
6 . $F\left(x,\ y\right)$ zostáva spojité pre každý z jeho argumentov, t.j.
$$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) F\left(x,\y\right)\ )=F\left(x_0,\y\right),\ (\mathop(lim) _(y\do y_0-0) F\vľavo(x,\ y\vpravo)\ )=F\vľavo(x,\ y_0\vpravo).$$
Príklad 3 . Nech je diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná $\left(X,\ Y\right)$ daná distribučným radom.
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X\obrátená lomka Y & 0 & 1 \\
\hline
0 & ((1)\nad (6)) & ((2)\nad (6)) \\
\hline
1 & ((2)\nad (6)) & ((1)\nad (6)) \\
\hline
\end(pole)$
Potom distribučná funkcia:
$F(x,y)=\vľavo\(\začiatok(matica)
0,\ at\ x\le 0,\ y\le 0 \\
0,\ at\ x\le 0,\ 0< y\le 1 \\
0,\ pre\ x\le 0,\ y>1 \\
0,\ na\ 0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1)\over (6)),\ at\ 0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1)\nad (6))+((2)\nad (6))=((1)\viac ako (2)),\ keď\ 0< x\le 1,\ y>1 \\
0,\ pre\ x>1,\ y\le 0 \\
((1)\nad (6))+((2)\nad (6))=((1)\viac ako (2)),\ keď\ x>1,\ 0< y\le 1 \\
((1)\viac ako (6))+((2)\viac ako (6))+((2)\viac ako (6))+((1)\viac ako (6))=1,\ pre\ x >1,\ y>1 \\
\end(matica)\right.$
dvojrozmerné diskrétne rozdelenie náhodný
Často je výsledok experimentu opísaný niekoľkými náhodnými premennými: . Napríklad počasie na danom mieste v určitú dennú dobu možno charakterizovať nasledujúcimi náhodnými premennými: X 1 - teplota, X 2 - tlak, X 3 - vlhkosť vzduchu, X 4 - rýchlosť vetra.
V tomto prípade sa hovorí o viacrozmernej náhodnej premennej alebo o systéme náhodných premenných.
Zvážte dvojrozmernú náhodnú premennú, ktorej možné hodnoty sú dvojice čísel. Geometricky možno dvojrozmernú náhodnú premennú interpretovať ako náhodný bod v rovine.
Ak sú komponenty X a Y sú diskrétne náhodné premenné, potom je diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná a ak X a Y sú spojité, potom je spojitá dvojrozmerná náhodná premenná.
Zákon rozdelenia pravdepodobnosti dvojrozmernej náhodnej premennej je zhoda medzi možnými hodnotami a ich pravdepodobnosťami.
Distribučný zákon dvojrozmernej diskrétnej náhodnej premennej môže byť uvedený vo forme dvojitej tabuľky (pozri tabuľku 6.1), kde je pravdepodobnosť, že zložka X nadobudol význam X i a komponent Y- význam r j .
Tabuľka 6.1.1.
|
r 1 |
r 2 |
r j |
r m |
|||
|
X 1 |
p 11 |
p 12 |
p 1j |
p 1 m |
||
|
X 2 |
p 21 |
p 22 |
p 2j |
p 2 m |
||
|
X i |
p i1 |
p i2 |
p ij |
p im |
||
|
X n |
p n1 |
p n2 |
p nj |
p nm |
Keďže udalosti tvoria kompletnú skupinu párovo nekompatibilných udalostí, súčet pravdepodobností sa rovná 1, t.j.
V tabuľke 6.1 môžete nájsť zákony rozloženia jednorozmerných komponentov X a Y.
Príklad 6.1.1 . Nájdite zákony distribúcie komponentov X a Y, ak je rozdelenie dvojrozmernej náhodnej premennej uvedené vo forme tabuľky 6.1.2.
Tabuľka 6.1.2.
Ak zafixujeme napríklad hodnotu jedného z argumentov, tak výsledné rozdelenie veličiny X sa nazýva podmienené rozdelenie. Podmienené rozdelenie je definované podobne Y.
Príklad 6.1.2 . Podľa rozdelenia dvojrozmernej náhodnej premennej uvedenej v tabuľke. 6.1.2, nájdite: a) zákon podmieneného rozdelenia komponentu X za podmienky; b) zákon o podmienenom rozdelení Y za predpokladu, že.
Riešenie. Podmienené pravdepodobnosti komponentov X a Y vypočítané podľa vzorcov
Zákon o podmienenej distribúcii X podmienka má tvar
Ovládanie: .
Distribučný zákon dvojrozmernej náhodnej premennej môže byť daný ako distribučných funkcií, ktorý určuje pre každú dvojicu čísel pravdepodobnosť, že X nadobúda hodnotu menšiu ako X a kde Y nadobúda hodnotu menšiu ako r:
Geometricky funkcia znamená pravdepodobnosť pádu náhodného bodu do nekonečného štvorca s vrcholom v bode (obr. 6.1.1).
Všimnime si vlastnosti.
- 1. Rozsah funkcie - , t.j. .
- 2. Funkcia - neklesajúca funkcia pre každý argument.
- 3. Existujú obmedzujúce vzťahy:
Pri , sa distribučná funkcia systému rovná distribučnej funkcii komponentu X, t.j. .
Podobne, .
Keď viete, môžete nájsť pravdepodobnosť náhodného bodu spadajúceho do obdĺžnika ABCD.
menovite
Príklad 6.1.3. Dvojrozmerná diskrétna náhodná premenná definovaná distribučnou tabuľkou
Nájdite distribučnú funkciu.
Riešenie. Hodnota v prípade diskrétnych komponentov X a Y sa zistí súčtom všetkých pravdepodobností s indexmi i a j, pre ktoré, . Potom, ak a, potom (udalosti a sú nemožné). Podobne dostaneme:
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom;
ak a potom.
Získané výsledky sú prezentované vo forme tabuľky (6.1.3) hodnôt:
Pre dvojrozmerný spojitý náhodná premenná sa zavádza pojem hustota pravdepodobnosti
Hustota geometrickej pravdepodobnosti je distribučný povrch v priestore
Dvojrozmerná hustota pravdepodobnosti má nasledujúce vlastnosti:
3. Distribučnú funkciu možno vyjadriť pomocou vzorca
4. Pravdepodobnosť zasiahnutia spojitej náhodnej premennej v oblasti sa rovná
5. V súlade s vlastnosťou (4) funkcie platia vzorce:
Príklad 6.1.4. Je daná distribučná funkcia dvojrozmernej náhodnej premennej
Usporiadaný pár (X , Y) náhodných premenných X a Y sa nazýva dvojrozmerná náhodná premenná alebo náhodný vektor dvojrozmerného priestoru. Dvojrozmerná náhodná premenná (X,Y) sa nazýva aj systém náhodných premenných X a Y. Množina všetkých možných hodnôt diskrétnej náhodnej premennej s ich pravdepodobnosťami sa nazýva distribučný zákon tejto náhodnej premennej. Diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná (X, Y) sa považuje za danú, ak je známy jej distribučný zákon:
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m
Pridelenie služby. Pomocou služby podľa daného distribučného zákona môžete nájsť:
- distribučné rady X a Y, matematické očakávanie M[X], M[Y], rozptyl D[X], D[Y];
- kovariancia cov(x,y), korelačný koeficient r x,y , podmienený distribučný rad X, podmienené očakávanie M;
Poučenie. Zadajte rozmer matice rozdelenia pravdepodobnosti (počet riadkov a stĺpcov) a jej tvar. Výsledné riešenie sa uloží do súboru programu Word.
Príklad č. 1. Dvojrozmerná diskrétna náhodná premenná má distribučnú tabuľku:
| Y/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
Riešenie. Hodnotu q nájdeme z podmienky Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91 + q = 1. Odkiaľ q = 0,09
Pomocou vzorca ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), nájdite distribučný rad X.
M[y] = 1*0,05 + 2*0,46 + 3*0,34 + 4*0,15 = 2,59
Disperzia D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Smerodajná odchýlkaσ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0,64) = 0,801
kovariancia cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 20 0,02 + 1 30 20 302 + 1 30 2 302 + 3 30 0,08 + 4 30 0,01 + 1 40 0,03 + 2 40 0,11 + 3 40 0,05 + 4 40 0,09 - 25,2 2,59 = -0,068
Korelačný koeficient rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736
Príklad 2. Údaje štatistického spracovania informácií o dvoch ukazovateľoch X a Y sú premietnuté do korelačnej tabuľky. Požadovaný:
- zapíšte distribučné série pre X a Y a vypočítajte priemery vzoriek a vzorové štandardné odchýlky pre ne;
- zapíšte podmienené distribučné rady Y/x a vypočítajte podmienené priemery Y/x;
- graficky znázornite závislosť podmienených priemerov Y/x od hodnôt X;
- vypočítajte výberový korelačný koeficient Y na X;
- napíšte vzorovú rovnicu priamej regresie;
- reprezentovať geometricky údaje z korelačnej tabuľky a zostaviť regresnú priamku.
Množina všetkých možných hodnôt diskrétnej náhodnej premennej s ich pravdepodobnosťami sa nazýva distribučný zákon tejto náhodnej premennej.
Diskrétna dvojrozmerná náhodná premenná (X,Y) sa považuje za danú, ak je známy jej distribučný zákon:
P(X=x i, Y=y j) = p ij, i=1,2...,n, j=1,2...,m
| X/Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. Závislosť náhodných veličín X a Y.
Nájdite distribučné série X a Y.
Pomocou vzorca ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), nájdite distribučný rad X. Matematické očakávania M[Y].
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42,3
Disperzia D[Y].
D[Y] = (20 2 * 6 + 30 2 * 9 + 40 2 * 55 + 50 2 * 16 + 60 2 * 14)/100 - 42,3 2 = 99,71
Smerodajná odchýlka σ(y).
Pretože P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, potom náhodné premenné X a Y závislý.
2. Zákon o podmienenom rozdelení X.
Zákon podmieneného rozdelenia X(Y=20).
P(X = 11/Y = 20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Podmienené očakávanie M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Podmienený rozptyl D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Zákon podmieneného rozdelenia X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Podmienené očakávanie M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Podmienený rozptyl D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Zákon podmieneného rozdelenia X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Podmienené očakávanie M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Podmienený rozptyl D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Zákon podmieneného rozdelenia X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Podmienené očakávanie M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Podmienený rozptyl D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Zákon podmieneného rozdelenia X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Podmienené očakávanie M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Podmienený rozptyl D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Zákon o podmienenom rozdelení Y.
Zákon podmieneného rozdelenia Y(X=11).
P(Y=20/X=ll) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=ll) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=ll) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=ll) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=ll) = 0/2 = 0
Podmienené očakávanie M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Podmienený rozptyl D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Zákon podmieneného rozdelenia Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Podmienené očakávanie M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Podmienený rozptyl D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Zákon podmieneného rozdelenia Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Podmienené očakávanie M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Podmienený rozptyl D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Zákon podmieneného rozdelenia Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Podmienené očakávanie M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Podmienený rozptyl D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Zákon podmieneného rozdelenia Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Podmienené očakávanie M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Podmienený rozptyl D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Zákon podmieneného rozdelenia Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Podmienené očakávanie M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Podmienený rozptyl D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
kovariancia.
cov(X,Y) = M - M[X] M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 4 + 40 501 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Ak sú náhodné premenné nezávislé, ich kovariancia je nulová. V našom prípade cov(X,Y) ≠ 0.
Korelačný koeficient.
Rovnica lineárnej regresie od y do x je:
Rovnica lineárnej regresie od x do y je:
Nájdite potrebné číselné charakteristiky.
Vzorka znamená:
x = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 25,3
disperzie:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Kde získame štandardné odchýlky:
σ x = 9,99 a σ y = 4,9
a kovariancia:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 4 + 40 10 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Definujme korelačný koeficient:
Zapíšme si rovnice regresných priamok y(x):
a výpočtom dostaneme:
yx = 0,38x + 9,14
Zapíšme si rovnice regresných priamok x(y):
a výpočtom dostaneme:
x y = 1,59 y + 2,15
Ak zostavíme body definované tabuľkou a regresné priamky, uvidíme, že obe priamky prechádzajú bodom so súradnicami (42.3; 25.3) a body sa nachádzajú blízko regresných priamok.
Význam korelačného koeficientu.
Podľa Studentovej tabuľky s hladinou významnosti α=0,05 a stupňami voľnosti k=100-m-1 = 98 zistíme t krit:
t krit (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
kde m = 1 je počet vysvetľujúcich premenných.
Ak je t obs > t kritické, potom sa získaná hodnota korelačného koeficientu považuje za významnú (nulová hypotéza tvrdiaca, že korelačný koeficient sa rovná nule je zamietnutá).
Keďže t obl > t crit, zamietame hypotézu, že korelačný koeficient sa rovná 0. Inými slovami, korelačný koeficient je štatisticky významný.
Cvičenie. Počet zásahov párov hodnôt náhodných premenných X a Y v zodpovedajúcich intervaloch je uvedený v tabuľke. Z týchto údajov nájdite vzorový korelačný koeficient a vzorové rovnice priamych regresných priamok Y na X a X na Y .
Riešenie
Príklad. Rozdelenie pravdepodobnosti dvojrozmernej náhodnej premennej (X, Y) je dané tabuľkou. Nájdite zákony rozdelenia komponentových veličín X, Y a korelačného koeficientu p(X, Y).
Stiahnite si riešenie
Cvičenie. Dvojrozmerná diskrétna hodnota (X, Y) je daná distribučným zákonom. Nájdite distribučné zákony X a Y komponentov, kovariancie a korelačného koeficientu.
