Už sme sa naučili riešiť kvadratické rovnice. Rozšírme teraz študované metódy na racionálne rovnice.

Čo je to racionálne vyjadrenie? S týmto konceptom sme sa už stretli. Racionálne výrazy nazývané výrazy zložené z čísel, premenných, ich stupňov a znakov matematických operácií.

Podľa toho sú racionálne rovnice rovnicami tvaru: , kde - racionálne prejavy.

Predtým sme zvažovali iba tie racionálne rovnice, ktoré sa redukujú na lineárne. Teraz zvážime tie racionálne rovnice, ktoré možno zredukovať na kvadratické.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: .

rozhodnutie:

Zlomok je 0 práve vtedy, ak jeho čitateľ je 0 a jeho menovateľ nie je 0.

Získame nasledujúci systém:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica. Pred riešením vydelíme všetky jeho koeficienty 3. Dostaneme:

Získame dva korene: ; .

Keďže 2 sa nikdy nerovná 0, musia byť splnené dve podmienky: . Pretože žiadny z koreňov rovnice získanej vyššie nezodpovedá neplatným hodnotám premennej, ktoré boli získané pri riešení druhej nerovnosti, sú obe riešeniami tejto rovnice.

odpoveď:.

Poďme teda sformulovať algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu tak, aby na pravej strane bola 0.

2. Transformujte a zjednodušte ľavú stranu, priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi.

3. Výsledný zlomok prirovnajte k 0 podľa nasledujúceho algoritmu: .

4. Napíšte tie korene, ktoré sú získané v prvej rovnici a ako odpoveď spĺňajú druhú nerovnosť.

Pozrime sa na ďalší príklad.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: .

rozhodnutie

Hneď na začiatku prenesieme všetky pojmy na ľavú stranu tak, aby na pravej strane zostala 0. Dostaneme:

Teraz privedieme ľavú stranu rovnice k spoločnému menovateľovi:

Táto rovnica je ekvivalentná systému:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica.

Koeficienty tejto rovnice: . Vypočítame diskriminant:

Získame dva korene: ; .

Teraz vyriešme druhú nerovnosť: súčin faktorov sa nerovná 0 práve vtedy, ak žiadny z faktorov nie je rovný 0.

Musia byť splnené dve podmienky: . Dostaneme, že z dvoch koreňov prvej rovnice je vhodný iba jeden - 3.

odpoveď:.

V tejto lekcii sme si pripomenuli, čo je racionálny výraz, a tiež sme sa naučili riešiť racionálne rovnice, ktoré sú redukované na kvadratické rovnice.

V ďalšej lekcii budeme uvažovať o racionálnych rovniciach ako o modeloch reálnych situácií a tiež o pohybových problémoch.

Bibliografia

1. Bašmakov M.I. Algebra, 8. ročník. - M.: Osveta, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a kol., Algebra, 8. 5. vydanie. - M.: Vzdelávanie, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. ročník. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie. - M.: Vzdelávanie, 2006.

1. Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Domáca úloha

"Racionálne rovnice s polynómami" sú jednou z najčastejšie sa vyskytujúcich tém v testoch USE v matematike. Z tohto dôvodu by sa ich opakovaniu mala venovať osobitná pozornosť. Mnohí študenti sa stretávajú s problémom nájsť diskriminant, preniesť ukazovatele z pravej strany na ľavú a priviesť rovnicu k spoločnému menovateľovi, čo sťažuje splnenie takýchto úloh. Riešenie racionálnych rovníc pri príprave na skúšku na našej webovej stránke vám pomôže rýchlo zvládnuť úlohy akejkoľvek zložitosti a dokonale prejsť testom.

Vyberte si vzdelávací portál "Shkolkovo" pre úspešnú prípravu na jednotnú skúšku z matematiky!

Ak chcete poznať pravidlá výpočtu neznámych a ľahko získať správne výsledky, použite našu online službu. Portál Shkolkovo je jedinečná platforma, kde sa zhromažďujú materiály potrebné na prípravu na skúšku. Naši učitelia systematizovali a zrozumiteľnou formou prezentovali všetky matematické pravidlá. Okrem toho pozývame školákov, aby si vyskúšali riešenie typických racionálnych rovníc, ktorých základňa sa neustále aktualizuje a dopĺňa.

Pre efektívnejšiu prípravu na testovanie odporúčame postupovať podľa našej špeciálnej metódy a začať s opakovaním pravidiel a riešením jednoduchých problémov, postupne prejsť k zložitejším. Absolvent tak bude môcť vyzdvihnúť pre seba najťažšie témy a sústrediť sa na ich štúdium.

Začnite sa pripravovať na záverečné testovanie so Shkolkovo už dnes a výsledok vás nenechá čakať! Vyberte najjednoduchší príklad z uvedených. Ak ste si rýchlo osvojili výraz, prejdite na ťažšiu úlohu. Môžete si tak zlepšiť svoje znalosti až po riešenie USE úloh v matematike na úrovni profilu.

Vzdelávanie je dostupné nielen pre absolventov z Moskvy, ale aj pre školákov z iných miest. Strávte pár hodín denne napríklad štúdiom na našom portáli a už čoskoro si budete vedieť poradiť s rovnicami akejkoľvek zložitosti!

Doteraz sme riešili len celočíselné rovnice vzhľadom na neznámu, teda také rovnice, v ktorých menovatele (ak nejaké sú) neznámu neobsahovali.

Často musíte riešiť rovnice, ktoré obsahujú neznámu v menovateľoch: takéto rovnice sa nazývajú zlomkové.

Aby sme túto rovnicu vyriešili, vynásobíme jej obe strany, to znamená polynómom obsahujúcim neznámu. Bude nová rovnica ekvivalentná danej rovnici? Aby sme odpovedali na otázku, vyriešme túto rovnicu.

Vynásobením oboch jeho strán číslom dostaneme:

Vyriešením tejto rovnice prvého stupňa zistíme:

Takže rovnica (2) má jeden koreň

Dosadením do rovnice (1) dostaneme:

Preto je tiež koreňom rovnice (1).

Rovnica (1) nemá žiadne iné korene. V našom príklade je to vidieť napríklad z toho, že v rovnici (1)

Ako sa neznámy deliteľ musí rovnať dividende 1 vydelenej podielom 2, t.j.

Takže rovnice (1) a (2) majú jeden koreň, a preto sú ekvivalentné.

2. Teraz riešime nasledujúcu rovnicu:

Najjednoduchší spoločný menovateľ: ; vynásobte ním všetky členy rovnice:

Po redukcii dostaneme:

Rozšírime zátvorky:

Prinášame podobné výrazy a máme:

Vyriešením tejto rovnice zistíme:

Dosadením do rovnice (1) dostaneme:

Na ľavej strane sme dostali výrazy, ktoré nedávajú zmysel.

Koreň rovnice (1) teda nie je. To znamená, že rovnice (1) a nie sú ekvivalentné.

V tomto prípade hovoríme, že rovnica (1) získala cudzí koreň.

Porovnajme riešenie rovnice (1) s riešením rovníc, ktoré sme uvažovali skôr (pozri § 51). Pri riešení tejto rovnice sme museli vykonať dve také operácie, ktoré sme doteraz nevideli: po prvé sme obe strany rovnice vynásobili výrazom obsahujúcim neznámu (spoločný menovateľ) a po druhé sme algebraické zlomky zredukovali o faktory obsahujúce neznámy.

Pri porovnaní rovnice (1) s rovnicou (2) vidíme, že nie všetky hodnoty x platné pre rovnicu (2) sú platné pre rovnicu (1).

Práve čísla 1 a 3 nie sú prípustnými hodnotami neznámej pre rovnicu (1) a v dôsledku transformácie sa stali prípustnými pre rovnicu (2). Jedno z týchto čísel sa ukázalo byť riešením rovnice (2), ale, samozrejme, nemôže byť riešením rovnice (1). Rovnica (1) nemá žiadne riešenia.

Tento príklad ukazuje, že pri vynásobení oboch častí rovnice faktorom obsahujúcim neznámu a pri redukcii algebraických zlomkov možno získať rovnicu, ktorá nie je ekvivalentná danej rovnici, a to: môžu sa objaviť cudzie korene.

Preto vyvodíme nasledujúci záver. Pri riešení rovnice obsahujúcej v menovateli neznámu treba výsledné korene skontrolovať dosadením do pôvodnej rovnice. Cudzie korene sa musia zlikvidovať.

Samotné rovnice so zlomkami nie sú ťažké a veľmi zaujímavé. Zvážte typy zlomkových rovníc a spôsoby ich riešenia.

Ako riešiť rovnice so zlomkami - x v čitateli

Ak je daná zlomková rovnica, kde je neznáma v čitateli, riešenie nevyžaduje ďalšie podmienky a je vyriešené bez zbytočných problémov. Všeobecný tvar takejto rovnice je x/a + b = c, kde x je neznáma, a, b a c sú obyčajné čísla.

Nájdite x: x/5 + 10 = 70.

Ak chcete vyriešiť rovnicu, musíte sa zbaviť zlomkov. Vynásobte každý člen rovnice 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x a 5 sa zmenší, 10 a 70 vynásobíme 5 a dostaneme: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Nájdite x: x/5 + x/10 = 90.

Tento príklad je o niečo komplikovanejšou verziou prvého. Tu sú dve riešenia.

• Možnosť 1: Zbavte sa zlomkov vynásobením všetkých členov rovnice väčším menovateľom, teda 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Možnosť 2: Pridajte ľavú stranu rovnice. x/5 + x/10 = 90. Spoločný menovateľ je 10. Vydeľte 10 5, vynásobte x, dostaneme 2x. 10 delené 10, vynásobené x, dostaneme x: 2x+x/10 = 90. Preto 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Často existujú zlomkové rovnice, v ktorých sú x na opačných stranách znamienka rovnosti. V takejto situácii je potrebné preniesť všetky zlomky s x jedným smerom a čísla iným smerom.

• Nájsť x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Presuňte sa 2x/5 doprava s opačným znamienkom: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Zmenšíme 5x/5 a dostaneme: x = 130.

Ako vyriešiť rovnicu so zlomkami - x v menovateli

Tento typ zlomkových rovníc vyžaduje písanie ďalších podmienok. Uvedenie týchto podmienok je povinnou a neoddeliteľnou súčasťou správneho rozhodnutia. Ak ich nepriradíte, riskujete, pretože odpoveď (aj keď je správna) sa jednoducho nemusí započítať.

Všeobecný tvar zlomkových rovníc, kde x je v menovateli, je: a/x + b = c, kde x je neznáma, a, b, c sú obyčajné čísla. Upozorňujeme, že x nemusí byť žiadne číslo. Napríklad x nemôže byť nula, pretože nemôžete deliť 0. Toto je práve dodatočná podmienka, ktorú musíme špecifikovať. Toto sa nazýva rozsah prijateľných hodnôt, skrátene - ODZ.

Nájdite x: 15/x + 18 = 21.

Okamžite zapíšeme ODZ pre x: x ≠ 0. Teraz, keď je označená ODZ, riešime rovnicu podľa štandardnej schémy, pričom sa zbavíme zlomkov. Všetky členy rovnice vynásobíme x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Často existujú rovnice, kde menovateľ obsahuje nielen x, ale aj nejakú inú operáciu s ním, napríklad sčítanie alebo odčítanie.

Nájdite x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Už vieme, že menovateľ sa nemôže rovnať nule, čo znamená x-3 ≠ 0. -3 prenesieme na pravú stranu, pričom znamienko „-“ zmeníme na „+“ a dostaneme, že x ≠ 3. ODZ je uvedené.

Vyriešte rovnicu, všetko vynásobte x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Posuňte x doprava, čísla doľava: 24 = 3x => x = 8.

Poďme sa zoznámiť s racionálnymi a zlomkovými racionálnymi rovnicami, uviesť ich definíciu, uviesť príklady a tiež analyzovať najbežnejšie typy problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionálna rovnica: definícia a príklady

Oboznamovanie sa s racionálnymi výrazmi začína v 8. ročníku školy. V tejto dobe sa žiaci na hodinách algebry čoraz častejšie začínajú stretávať s úlohami s rovnicami, ktoré v poznámkach obsahujú racionálne vyjadrenia. Osviežme si pamäť, čo to je.

Definícia 1

racionálna rovnica je rovnica, v ktorej obe strany obsahujú racionálne výrazy.

V rôznych príručkách môžete nájsť iné znenie.

Definícia 2

racionálna rovnica- toto je rovnica, ktorej záznam na ľavej strane obsahuje racionálny výraz a na pravej strane je nula.

Definície, ktoré sme uviedli pre racionálne rovnice, sú ekvivalentné, pretože znamenajú to isté. Správnosť našich slov potvrdzuje fakt, že za akékoľvek racionálne vyjadrenia P a Q rovnice P=Q a P − Q = 0 budú ekvivalentné výrazy.

Teraz poďme na príklady.

Príklad 1

Racionálne rovnice:

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

Racionálne rovnice, rovnako ako rovnice iných typov, môžu obsahovať ľubovoľný počet premenných od 1 do niekoľkých. Na začiatok sa pozrieme na jednoduché príklady, v ktorých budú rovnice obsahovať len jednu premennú. A potom začneme úlohu postupne komplikovať.

Racionálne rovnice sú rozdelené do dvoch veľkých skupín: celočíselné a zlomkové. Pozrime sa, ktoré rovnice budú platiť pre každú zo skupín.

Definícia 3

Racionálna rovnica bude celé číslo, ak záznam jej ľavej a pravej časti obsahuje celé racionálne výrazy.

Definícia 4

Racionálna rovnica bude zlomková, ak jedna alebo obe jej časti obsahujú zlomok.

Zlomkovo racionálne rovnice nevyhnutne obsahujú delenie premennou, alebo je premenná prítomná v menovateli. Pri písaní celočíselných rovníc takéto delenie neexistuje.

Príklad 2

3 x + 2 = 0 a (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0, 5 sú celé racionálne rovnice. Tu sú obe časti rovnice reprezentované celočíselnými výrazmi.

1 x - 1 = x 3 a x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sú zlomkové racionálne rovnice.

Celé racionálne rovnice zahŕňajú lineárne a kvadratické rovnice.

Riešenie celých rovníc

Riešenie takýchto rovníc sa zvyčajne redukuje na ich transformáciu na ekvivalentné algebraické rovnice. To sa dá dosiahnuť vykonaním ekvivalentných transformácií rovníc v súlade s nasledujúcim algoritmom:

• najprv dostaneme nulu na pravej strane rovnice, preto je potrebné preniesť výraz, ktorý je na pravej strane rovnice, na jej ľavú stranu a zmeniť znamienko;
• potom transformujeme výraz na ľavej strane rovnice do štandardného polynómu.

Musíme dostať algebraickú rovnicu. Táto rovnica bude ekvivalentná vzhľadom na pôvodnú rovnicu. Jednoduché prípady nám umožňujú vyriešiť problém redukciou celej rovnice na lineárnu alebo kvadratickú. Vo všeobecnom prípade riešime algebraickú rovnicu stupňa n.

Príklad 3

Je potrebné nájsť korene celej rovnice 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

rozhodnutie

Transformujme pôvodný výraz, aby sme získali ekvivalentnú algebraickú rovnicu. Za týmto účelom prenesieme výraz obsiahnutý v pravej strane rovnice na ľavú stranu a zmeníme znamienko na opačné. V dôsledku toho dostaneme: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Teraz transformujeme výraz na ľavej strane na polynóm štandardného tvaru a vykonáme potrebné akcie s týmto polynómom:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Riešenie pôvodnej rovnice sa nám podarilo zredukovať na riešenie kvadratickej rovnice tvaru x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminant tejto rovnice je kladný: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . To znamená, že budú existovať dva skutočné korene. Nájdite ich pomocou vzorca koreňov kvadratickej rovnice:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 alebo x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 alebo x 2 = - 1

Skontrolujme si správnosť koreňov rovnice, ktoré sme našli v priebehu riešenia. Za toto číslo, ktoré sme dostali, dosadíme do pôvodnej rovnice: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 a 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. V prvom prípade 63 = 63 , v druhom 0 = 0 . Korene x=6 a x = - 1 sú skutočne koreňmi rovnice uvedenej v príklade podmienky.

odpoveď: 6 , − 1 .

Pozrime sa, čo znamená „mocnosť celej rovnice“. S týmto pojmom sa často stretneme v prípadoch, keď potrebujeme reprezentovať celú rovnicu vo forme algebrickej. Definujme pojem.

Definícia 5

Stupeň celočíselnej rovnice je stupeň algebraickej rovnice ekvivalentný pôvodnej celej rovnici.

Ak sa pozriete na rovnice z vyššie uvedeného príkladu, môžete zistiť: stupeň celej tejto rovnice je druhý.

Ak by sa náš kurz obmedzil na riešenie rovníc druhého stupňa, tu by sa úvaha o téme mohla dokončiť. Ale všetko nie je také jednoduché. Riešenie rovníc tretieho stupňa je plné ťažkostí. A pre rovnice nad štvrtým stupňom neexistujú vôbec žiadne všeobecné vzorce pre korene. V tomto smere si riešenie celých rovníc tretieho, štvrtého a ďalších stupňov vyžaduje použitie množstva ďalších techník a metód.

Najčastejšie používaný prístup k riešeniu celých racionálnych rovníc je založený na metóde faktorizácie. Algoritmus akcií v tomto prípade je nasledujúci:

• výraz prenesieme z pravej strany na ľavú tak, aby na pravej strane záznamu zostala nula;
• reprezentujeme výraz na ľavej strane ako súčin faktorov a potom prejdeme k množine niekoľkých jednoduchších rovníc.

Príklad 4

Nájdite riešenie rovnice (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

rozhodnutie

Výraz prenesieme z pravej strany záznamu na ľavú stranu s opačným znamienkom: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Prevod ľavej strany na polynóm štandardného tvaru je nepraktický, pretože dostaneme algebraickú rovnicu štvrtého stupňa: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Jednoduchosť transformácie neospravedlňuje všetky ťažkosti s riešením takejto rovnice.

Je oveľa jednoduchšie ísť opačným smerom: odstránime spoločný faktor x 2 - 10 x + 13 . Tak sa dostávame k rovnici tvaru (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Teraz nahradíme výslednú rovnicu súborom dvoch kvadratických rovníc x 2 − 10 x + 13 = 0 a x 2 − 2 x − 1 = 0 a nájsť ich korene cez diskriminant: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

odpoveď: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Podobne môžeme použiť metódu zavedenia novej premennej. Táto metóda nám umožňuje prejsť na ekvivalentné rovnice s mocninami nižšími, ako sú v pôvodnej celej rovnici.

Príklad 5

Má rovnica korene? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

rozhodnutie

Ak sa teraz pokúsime zredukovať celú racionálnu rovnicu na algebraickú, dostaneme rovnicu 4. stupňa, ktorá nemá žiadne racionálne korene. Preto bude pre nás jednoduchšie ísť inou cestou: zaviesť novú premennú y, ktorá nahradí výraz v rovnici x 2 + 3 x.

Teraz budeme pracovať s celou rovnicou (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Pravú stranu rovnice prenesieme na ľavú stranu s opačným znamienkom a vykonáme potrebné transformácie. Dostaneme: y2 + 4 y + 3 = 0. Poďme nájsť korene kvadratickej rovnice: y = - 1 a y = - 3.

Teraz urobme opačnú substitúciu. Dostaneme dve rovnice x 2 + 3 x = − 1 a x 2 + 3 x = -3. Prepíšme ich ako x 2 + 3 x + 1 = 0 a x 2 + 3 x + 3 = 0. Na nájdenie koreňov prvej získanej rovnice použijeme vzorec koreňov kvadratickej rovnice: - 3 ± 5 2 . Diskriminant druhej rovnice je záporný. To znamená, že druhá rovnica nemá žiadne skutočné korene.

odpoveď:- 3 ± 5 2

Celočíselné rovnice vysokých stupňov sa vyskytujú v problémoch pomerne často. Netreba sa ich báť. Musíte byť pripravení aplikovať neštandardnú metódu ich riešenia, vrátane množstva umelých transformácií.

Riešenie zlomkovo racionálnych rovníc

Našu úvahu o tejto podtéme začneme algoritmom na riešenie zlomkovo racionálnych rovníc v tvare p (x) q (x) = 0 , kde p(x) a q(x) sú celočíselné racionálne výrazy. Riešenie iných zlomkovo racionálnych rovníc možno vždy zredukovať na riešenie rovníc uvedeného tvaru.

Najčastejšie používaná metóda riešenia rovníc p (x) q (x) = 0 je založená na tomto tvrdení: číselný zlomok u v, kde v je číslo, ktoré sa líši od nuly, rovná sa nule iba v prípadoch, keď sa čitateľ zlomku rovná nule. Podľa logiky vyššie uvedeného tvrdenia môžeme tvrdiť, že riešenie rovnice p (x) q (x) = 0 možno redukovať na splnenie dvoch podmienok: p(x)=0 a q(x) ≠ 0. Na tom je postavený algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc v tvare p (x) q (x) = 0:

• nájdeme riešenie celej racionálnej rovnice p(x)=0;
• skontrolujeme, či je podmienka splnená pre korene nájdené pri riešení q(x) ≠ 0.

Ak je táto podmienka splnená, potom nájdený koreň. Ak nie, potom koreň nie je riešením problému.

Príklad 6

Nájdite korene rovnice 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

rozhodnutie

Ide o zlomkovú racionálnu rovnicu tvaru p (x) q (x) = 0 , v ktorej p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Začnime riešiť lineárnu rovnicu 3 x - 2 = 0. Koreň tejto rovnice bude x = 2 3.

Skontrolujme nájdený koreň, či spĺňa podmienku 5 x 2 - 2 ≠ 0. Ak to chcete urobiť, nahraďte do výrazu číselnú hodnotu. Získame: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Podmienka je splnená. Znamená to, že x = 2 3 je koreň pôvodnej rovnice.

odpoveď: 2 3 .

Existuje ešte jedna možnosť riešenia zlomkových racionálnych rovníc p (x) q (x) = 0 . Pripomeňme, že táto rovnica je ekvivalentná celej rovnici p(x)=0 o rozsahu prípustných hodnôt premennej x pôvodnej rovnice. To nám umožňuje použiť nasledujúci algoritmus pri riešení rovníc p(x) q(x) = 0:

• vyriešiť rovnicu p(x)=0;
• nájdite rozsah prijateľných hodnôt pre premennú x;
• berieme korene, ktoré ležia v oblasti prípustných hodnôt premennej x, ako požadované korene pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.

Príklad 7

Vyriešte rovnicu x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

rozhodnutie

Najprv vyriešme kvadratickú rovnicu x 2 − 2 x − 11 = 0. Na výpočet jeho koreňov používame koreňový vzorec pre párny druhý koeficient. Dostaneme D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 a x = 1 ± 23.

Teraz môžeme nájsť ODV x pre pôvodnú rovnicu. To všetko sú čísla, pre ktoré x 2 + 3 x ≠ 0. Je to rovnaké ako x (x + 3) ≠ 0, odkiaľ x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Teraz skontrolujeme, či korene x = 1 ± 2 3 získané v prvej fáze riešenia sú v rozsahu prijateľných hodnôt premennej x . Vidíme, čo prichádza. To znamená, že pôvodná zlomková racionálna rovnica má dva korene x = 1 ± 2 3 .

odpoveď: x = 1 ± 2 3

Druhá opísaná metóda riešenia je jednoduchšia ako prvá v prípadoch, keď sa dá ľahko nájsť oblasť prípustných hodnôt premennej x a korene rovnice p(x)=0 iracionálny. Napríklad 7 ± 4 26 9 . Korene môžu byť racionálne, ale s veľkým čitateľom alebo menovateľom. Napríklad, 127 1101 a − 31 59 . To šetrí čas na kontrolu stavu. q(x) ≠ 0: oveľa jednoduchšie je podľa ODZ vylúčiť korene, ktoré nesedia.

Keď korene rovnice p(x)=0 sú celé čísla, na riešenie rovníc v tvare p (x) q (x) = 0 je účelnejšie použiť prvý z opísaných algoritmov. Rýchlejšie nájdenie koreňov celej rovnice p(x)=0 a potom skontrolujte, či je pre ne splnená podmienka q(x) ≠ 0, a nie nájsť ODZ, a potom vyriešiť rovnicu p(x)=0 na tejto ODZ. Je to spôsobené tým, že v takýchto prípadoch je väčšinou jednoduchšie vykonať kontrolu ako nájsť ODZ.

Príklad 8

Nájdite korene rovnice (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

rozhodnutie

Začneme tým, že zvážime celú rovnicu (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 a hľadanie jeho koreňov. Na tento účel aplikujeme metódu riešenia rovníc pomocou faktorizácie. Ukazuje sa, že pôvodná rovnica je ekvivalentná množine štyroch rovníc 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, z ktorých tri sú lineárne a jeden je štvorcový. Nájdeme korene: z prvej rovnice x = 12, z druhej x=6, od tretieho - x \u003d 7, x \u003d - 2, od štvrtého - x = - 1.

Skontrolujeme získané korene. V tomto prípade je pre nás ťažké určiť ODZ, pretože na to budeme musieť vyriešiť algebraickú rovnicu piateho stupňa. Jednoduchšie bude kontrolovať podmienku, podľa ktorej by nemal zaniknúť menovateľ zlomku, ktorý je na ľavej strane rovnice.

Na druhej strane nahraďte korene namiesto premennej x vo výraze x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 a vypočítajte jeho hodnotu:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 032 ≠

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Vykonané overenie nám umožňuje stanoviť, že korene pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice sú 1 2, 6 a − 2 .

odpoveď: 1 2 , 6 , - 2

Príklad 9

Nájdite korene zlomkovej racionálnej rovnice 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

rozhodnutie

Začnime rovnicou (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Poďme nájsť jeho korene. Je pre nás jednoduchšie reprezentovať túto rovnicu ako kombináciu kvadratických a lineárnych rovníc 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 a x - 2 = 0.

Na nájdenie koreňov používame vzorec koreňov kvadratickej rovnice. Z prvej rovnice dostaneme dva korene x = 7 ± 69 10 az druhej x=2.

Dosadenie hodnoty koreňov do pôvodnej rovnice na kontrolu podmienok bude pre nás dosť náročné. Jednoduchšie bude určiť LPV premennej x . V tomto prípade sú DPV premennej x všetky čísla, okrem tých, pre ktoré je podmienka splnená x 2 + 5 x − 14 = 0. Dostaneme: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Teraz skontrolujme, či korene, ktoré sme našli, patria do rozsahu prijateľných hodnôt pre premennú x.

Korene x = 7 ± 69 10 - patria, teda sú koreňmi pôvodnej rovnice a x=2- nepatrí, teda je to cudzí koreň.

odpoveď: x = 7 ± 6910.

Preskúmajme oddelene prípady, keď čitateľ zlomkovej racionálnej rovnice tvaru p (x) q (x) = 0 obsahuje číslo. V takýchto prípadoch, ak čitateľ obsahuje číslo iné ako nula, potom rovnica nebude mať korene. Ak sa toto číslo rovná nule, potom koreňom rovnice bude ľubovoľné číslo z ODZ.

Príklad 10

Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

rozhodnutie

Táto rovnica nebude mať korene, pretože čitateľ zlomku z ľavej strany rovnice obsahuje nenulové číslo. To znamená, že pre žiadne hodnoty x sa hodnota zlomku uvedená v podmienke problému nebude rovnať nule.

odpoveď:žiadne korene.

Príklad 11

Vyriešte rovnicu 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

rozhodnutie

Keďže čitateľ zlomku je nula, riešením rovnice bude ľubovoľná hodnota x z premennej ODZ x.

Teraz definujme ODZ. Bude obsahovať všetkých x hodnôt, pre ktoré x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Riešenia rovníc x 4 + 5 x 3 = 0 sú 0 a − 5 , keďže táto rovnica je ekvivalentná rovnici x 3 (x + 5) = 0, a to je zase ekvivalentné množine dvoch rovníc x 3 = 0 a x + 5 = 0 kde sú tieto korene viditeľné. Dospeli sme k záveru, že požadovaný rozsah prijateľných hodnôt je ľubovoľný x, okrem x=0 a x = -5.

Ukazuje sa, že zlomková racionálna rovnica 0 x 4 + 5 x 3 = 0 má nekonečný počet riešení, ktoré sú ľubovoľné čísla okrem nuly a - 5.

odpoveď: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Teraz hovorme o zlomkových racionálnych rovniciach ľubovoľného tvaru a metódach ich riešenia. Môžu byť napísané ako r(x) = s(x), kde r(x) a s(x) sú racionálne výrazy a aspoň jeden z nich je zlomkový. Riešenie takýchto rovníc sa redukuje na riešenie rovníc v tvare p (x) q (x) = 0 .

Už vieme, že ekvivalentnú rovnicu získame prenesením výrazu z pravej strany rovnice na ľavú stranu s opačným znamienkom. To znamená, že rovnica r(x) = s(x) je ekvivalentná rovnici r (x) − s (x) = 0. Už sme tiež diskutovali o tom, ako previesť racionálny výraz na racionálny zlomok. Vďaka tomu môžeme rovnicu jednoducho transformovať r (x) − s (x) = 0 na jeho identický racionálny zlomok tvaru p (x) q (x) .

Prejdeme teda od pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice r(x) = s(x) na rovnicu v tvare p (x) q (x) = 0 , ktorú sme sa už naučili riešiť.

Treba poznamenať, že pri vykonávaní prechodov z r (x) − s (x) = 0 do p (x) q (x) = 0 a potom do p(x)=0 nesmieme brať do úvahy rozšírenie rozsahu platných hodnôt premennej x .

Je celkom reálne, že pôvodná rovnica r(x) = s(x) a rovnica p(x)=0 v dôsledku premien prestanú byť rovnocenné. Potom riešenie rovnice p(x)=0 nám môže dať korene, ktoré budú cudzie r(x) = s(x). V tomto ohľade je v každom prípade potrebné vykonať kontrolu ktoroukoľvek z vyššie opísaných metód.

Aby sme vám uľahčili štúdium témy, zovšeobecnili sme všetky informácie do algoritmu na riešenie zlomkovej racionálnej rovnice tvaru r(x) = s(x):

• prenesieme výraz z pravej strany s opačným znamienkom a dostaneme nulu vpravo;
• pôvodný výraz transformujeme na racionálny zlomok p (x) q (x) , pričom postupne vykonávame operácie so zlomkami a polynómami;
• vyriešiť rovnicu p(x)=0;
• cudzie korene odhalíme kontrolou ich príslušnosti k ODZ alebo dosadením do pôvodnej rovnice.

Vizuálne bude reťazec akcií vyzerať takto:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → vypadnutie r o n d e r o o n s

Príklad 12

Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu x x + 1 = 1 x + 1 .

rozhodnutie

Prejdime k rovnici x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Transformujme zlomkový racionálny výraz na ľavej strane rovnice na tvar p (x) q (x) .

Aby sme to dosiahli, musíme zredukovať racionálne zlomky na spoločného menovateľa a zjednodušiť výraz:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Aby sme našli korene rovnice - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, musíme vyriešiť rovnicu − 2 x − 1 = 0. Získame jeden koreň x = -12.

Zostáva nám vykonať kontrolu ktoroukoľvek z metód. Zvážme ich oboch.

Výslednú hodnotu dosaďte do pôvodnej rovnice. Dostávame - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Dospeli sme k správnej číselnej rovnosti − 1 = − 1 . Znamená to, že x = − 1 2 je koreň pôvodnej rovnice.

Teraz skontrolujeme cez ODZ. Definujme rozsah prijateľných hodnôt pre premennú x. Toto bude celá množina čísel s výnimkou − 1 a 0 (pre x = − 1 a x = 0 menovatele zlomkov zmiznú). Koreň, ktorý sme dostali x = − 1 2 patrí do ODZ. To znamená, že je to koreň pôvodnej rovnice.

odpoveď: − 1 2 .

Príklad 13

Nájdite korene rovnice x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

rozhodnutie

Máme čo do činenia s zlomkovou racionálnou rovnicou. Preto budeme konať podľa algoritmu.

Presuňme výraz z pravej strany na ľavú s opačným znamienkom: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Vykonajte potrebné transformácie: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Dostávame sa k rovnici x=0. Koreň tejto rovnice je nula.

Skontrolujme, či tento koreň nie je pre pôvodnú rovnicu cudzí. Do pôvodnej rovnice dosaďte hodnotu: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Ako vidíte, výsledná rovnica nedáva zmysel. To znamená, že 0 je cudzí koreň a pôvodná zlomková racionálna rovnica nemá žiadne korene.

odpoveď:žiadne korene.

Ak sme do algoritmu nezahrnuli iné ekvivalentné transformácie, vôbec to neznamená, že ich nemožno použiť. Algoritmus je univerzálny, ale je navrhnutý tak, aby pomáhal, nie obmedzoval.

Príklad 14

Vyriešte rovnicu 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

rozhodnutie

Najjednoduchšie bude riešiť danú zlomkovú racionálnu rovnicu podľa algoritmu. Existuje však aj iný spôsob. Zvážme to.

Odčítaním od pravej a ľavej časti 7 dostaneme: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Z toho môžeme usúdiť, že výraz v menovateli ľavej strany by sa mal rovnať číslu prevrátenému k číslu z pravej strany, teda 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Odčítajte od oboch častí 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Analogicky 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, odkiaľ 1 5 - x 2 = 1 3 a ďalej 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Skontrolujme, či nájdené korene sú koreňmi pôvodnej rovnice.

odpoveď: x = ± 2

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter