Kandinsky systematizoval svoje názory na maľbu v knihe "Bod a čiara v lietadle"(1926). Štúdiom geometrických tvarov umelec zistil, že môžu byť použité na zlepšenie alebo oslabenie vlastností farby. Na tento obraz použil tlmenú paletu posunutú smerom k farbám nachádzajúcim sa v jednej časti spektra.

Citáty z knihy:
ČIARA
Geometrická čiara je neviditeľný objekt. Je to stopa pohybujúceho sa bodu, teda jeho produktu. Vznikol pohybom – totiž v dôsledku zničenia vyššieho, do seba uzavretého zvyšku bodu. Tu nastal skok zo statického do dynamického.
Čiara je teda najväčším opakom obrazového primárneho prvku – bodu. A možno ho s maximálnou presnosťou označiť ako sekundárny prvok.

ORIGIN
Sily prichádzajúce zvonku, transformujúce bod na priamku, môžu byť rôzne. Rozmanitosť čiar závisí od počtu týchto síl a ich kombinácií.
Nakoniec možno [pôvod] všetkých tvarov čiar zredukovať na dva prípady:
1. použitie jednej sily a
2. použitie dvoch síl:
a) jednorazové alebo viacnásobné striedavé pôsobenie oboch síl,
b) súčasné pôsobenie oboch síl.

ROVNÝ
Ak jedna sila prichádzajúca zvonka pohne bodom v ľubovoľnom smere, potom vznikne prvý typ čiary a zvolený smer zostane nezmenený a samotná čiara má tendenciu pohybovať sa po priamej dráhe donekonečna.
Toto je priamka, ktorá vo svojom napätí predstavuje najstlačenejšiu formu nekonečnej možnosti pohybu.
...
Medzi priamkami rozlišujeme tri typy, vo vzťahu ku ktorým sú všetky ostatné priamky iba odchýlkami.
1. Najjednoduchšia forma priamky je vodorovná. V ľudskej mysli zodpovedá línii alebo ploche, na ktorej človek stojí alebo sa pohybuje. Horizontálna je teda studená nosná základňa, ktorú je možné v rovine vysunúť v rôznych smeroch. Chlad a plochosť sú hlavnými zvukmi tejto línie, možno ju definovať ako najkratšiu formu neobmedzenej chladnej možnosti pohybu.
2. Úplne protiľahlá k tejto línii zvonku aj zvnútra kolmo k nej je vertikála, v ktorej je rovinnosť nahradená výškou, to znamená, že chlad je nahradený teplom. Vertikál je teda najkratšou formou neobmedzenej možnosti teplého pohybu.
3. Treťou typickou formou priamky je uhlopriečka, ktorá sa schematicky odchyľuje v rovnakom uhle od oboch vyššie uvedených a má teda rovnakú príťažlivosť k obom, čo určuje jej vnútorný zvuk, rovnomernú kombináciu chladu a tepla. Takže: najkratšia forma neobmedzenej tepelno-chladnej možnosti pohybu.. .

Geometrický obrazec- množina bodov na ploche (často na rovine), ktorá tvorí konečný počet priamok.

Hlavné geometrické obrazce v rovine sú bodka a rovno riadok. Úsečka, lúč, prerušovaná čiara sú najjednoduchšie geometrické útvary v rovine.

Bodka- najmenší geometrický útvar, ktorý je základom iných útvarov na akomkoľvek obrázku alebo kresbe.

Každá zložitejšia geometrický obrazec existuje množina bodov, ktoré majú určitú vlastnosť, charakteristickú len pre tento obrazec.

Priamka, alebo rovný - ide o nekonečnú množinu bodov na 1. úsečke, ktorá nemá začiatok ani koniec. Na hárku papiera môžete vidieť iba časť priamky, pretože. nemá to žiadne obmedzenie.

Čiara je nakreslená takto:

Časť priamky, ktorá je na 2 stranách ohraničená bodmi, sa nazýva segment rovné alebo rezané. Je zobrazený takto:

Ray je riadená polpriamka, ktorá má východiskový bod a ktorá nemá koniec. Lúč je zobrazený takto:

Ak umiestnite bod na priamku, potom tento bod rozdelí priamku na 2 opačne smerujúce lúče. Tieto lúče sú tzv dodatočné.

prerušovaná čiara- niekoľko segmentov, ktoré sú navzájom spojené takým spôsobom, že koniec 1. segmentu je začiatkom 2. segmentu a koniec 2. segmentu je začiatkom 3. segmentu atď. so susednými ( ktoré majú 1-jamku v spoločnom bode) sú segmenty umiestnené na rôznych priamkach. Ak sa koniec posledného segmentu nezhoduje so začiatkom prvého segmentu, potom sa táto prerušovaná čiara bude nazývať OTVORENÉ:

Keď sa koniec posledného segmentu lomenej čiary zhoduje so začiatkom 1., potom táto lomená čiara bude ZATVORENÉ. Príkladom uzavretej krivky je akýkoľvek mnohouholník:

Štvorčlánková uzavretá lomená čiara - štvoruholník (obdĺžnik):

Trojlinková uzavretá lomená čiara -

Téma lekcie

Geometrické postavy

Čo je geometrický útvar

Geometrické obrazce sú súborom mnohých bodov, čiar, plôch alebo telies, ktoré sa nachádzajú na ploche, rovine alebo priestore a tvoria konečný počet čiar.

Pojem „figura“ sa do určitej miery formálne vzťahuje na množinu bodov, ale spravidla je zvykom nazývať figúru také množiny, ktoré sú umiestnené v rovine a sú obmedzené na konečný počet čiar.

Bod a čiara sú hlavné geometrické útvary umiestnené v rovine.

Medzi najjednoduchšie geometrické útvary v rovine patrí segment, lúč a prerušovaná čiara.

Čo je geometria

Geometria je matematická veda, ktorá študuje vlastnosti geometrických tvarov. Ak doslovne preložíme výraz „geometria“ do ruštiny, potom to znamená „geometria“, pretože v staroveku bolo hlavnou úlohou geometrie ako vedy meranie vzdialeností a plôch na povrchu Zeme.

Praktická aplikácia geometrie je na nezaplatenie v každej dobe a bez ohľadu na profesiu. Bez znalosti geometrie sa nezaobíde ani robotník, ani inžinier, ani architekt a dokonca ani umelec.

V geometrii existuje taká časť, ktorá sa zaoberá štúdiom rôznych postáv v rovine a nazýva sa planimetria.

Už viete, že obrazec je ľubovoľná množina bodov umiestnených v rovine.

Geometrické útvary zahŕňajú: bod, priamku, úsečku, lúč, trojuholník, štvorec, kruh a ďalšie útvary, ktoré študuje planimetria.

Bodka

Z vyššie uvedeného materiálu už viete, že bod sa vzťahuje na hlavné geometrické tvary. A hoci ide o najmenší geometrický útvar, je nevyhnutný na zostavenie ďalších útvarov na rovine, kresbe alebo obrázku a je základom pre všetky ostatné konštrukcie. Konštrukcia zložitejších geometrických tvarov sa totiž skladá z mnohých bodov charakteristických pre daný obrazec.

V geometrii sa body označujú veľkými písmenami latinskej abecedy, napríklad: A, B, C, D ....

A teraz si to zhrňme, a teda z matematického hľadiska bod je taký abstraktný objekt v priestore, ktorý nemá objem, plochu, dĺžku a iné vlastnosti, ale zostáva jedným zo základných pojmov v matematike. Bod je nulový rozmerný objekt, ktorý nemá žiadnu definíciu. Podľa Euklidovej definície je bod niečo, čo nemožno definovať.

Rovno

Rovnako ako bod, čiara sa vzťahuje na čísla v rovine, ktorá nemá žiadnu definíciu, pretože pozostáva z nekonečného počtu bodov umiestnených na jednej čiare, ktorá nemá začiatok ani koniec. Dá sa tvrdiť, že priamka je nekonečná a nemá žiadne obmedzenie.

Ak priamka začína a končí bodom, potom to už nie je priamka a nazýva sa úsečka.

Ale niekedy má priamka na jednej strane bod a na druhej nie. V tomto prípade sa čiara zmení na lúč.

Ak vezmeme priamku a do jej stredu vložíme bod, potom priamku rozdelí na dva opačne smerujúce lúče. Tieto nosníky sú voliteľné.

Ak máte pred sebou niekoľko segmentov, prepojených tak, že koniec prvého segmentu sa stane začiatkom druhého a koniec druhého segmentu sa stane začiatkom tretieho atď., a tieto segmenty nie sú na rovnaká priamka a keď sú spojené, majú spoločný bod, potom je takáto reťaz prerušovaná čiara.

Cvičenie

Ktorá prerušovaná čiara sa nazýva otvorená?
Ako je definovaná čiara?
Ako sa volá prerušovaná čiara, ktorá má štyri uzavreté odkazy?
Ako sa volá prerušovaná čiara s tromi uzavretými odkazmi?

Keď sa koniec posledného segmentu lomenej čiary zhoduje so začiatkom 1. segmentu, potom sa takáto prerušovaná čiara nazýva uzavretá. Príkladom uzavretej lomenej čiary je ľubovoľný mnohouholník.

Lietadlo

Rovnako ako bod a priamka, aj rovina je primárnym pojmom, nemá žiadnu definíciu a nemožno v nej vidieť, že má začiatok alebo koniec. Preto pri rovine uvažujeme len tú jej časť, ktorá je ohraničená uzavretou prerušovanou čiarou. Akýkoľvek hladký povrch teda možno považovať za rovinu. Tento povrch môže byť kus papiera alebo stôl.

Rohový

Obrazec, ktorý má dva lúče a vrchol, sa nazýva uhol. Spojnica lúčov je vrcholom tohto uhla a lúče, ktoré tvoria tento uhol, sa považujú za jeho strany.

Cvičenie:

1. Ako je v texte označený uhol?
2. Aké jednotky môžu merať uhol?
3. Aké sú uhly?

Paralelogram

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné.

Obdĺžnik, štvorec a kosoštvorec sú špeciálne prípady rovnobežníka.

Rovnobežník s pravými uhlami rovnými 90 stupňom je obdĺžnik.

Štvorec je rovnaký rovnobežník a jeho uhly a strany sú rovnaké.

Čo sa týka definície kosoštvorca, je to taký geometrický útvar, ktorého všetky strany sú rovnaké.

Okrem toho by ste mali vedieť, že každý štvorec je kosoštvorec, ale nie každý kosoštvorec môže byť štvorec.

Hrazda

Keď uvažujeme o takom geometrickom útvare ako o lichobežníku, môžeme povedať, že najmä ako štvoruholník má jeden pár rovnobežných protiľahlých strán a je krivočiary.

Kruh a kruh

Kruh je miesto bodov v rovine, ktoré sú rovnako vzdialené od daného bodu, nazývaného stred, v danej nenulovej vzdialenosti, nazývanej jeho polomer.

Trojuholník

K jednoduchým geometrickým tvarom patrí aj trojuholník, ktorý už študujete. Ide o jeden z typov polygónov, v ktorých je časť roviny ohraničená tromi bodmi a tromi segmentmi, ktoré tieto body spájajú v pároch. Každý trojuholník má tri vrcholy a tri strany.

Cvičenie: Ktorý trojuholník sa nazýva degenerovaný?

Polygón

Polygóny zahŕňajú geometrické tvary rôznych tvarov, ktoré majú uzavretú prerušovanú čiaru.

V mnohouholníku sú všetky body, ktoré spájajú segmenty, jeho vrcholmi. A segmenty, ktoré tvoria mnohouholník, sú jeho strany.

Viete, že vznik geometrie siaha stáročia do minulosti a je spojený s rozvojom rôznych remesiel, kultúry, umenia a pozorovaním okolitého sveta. Áno, a názov geometrických tvarov je toho potvrdením, pretože ich pojmy nevznikli len tak, ale kvôli ich podobnosti a podobnosti.

Koniec koncov, výraz „lichobežník“ v preklade zo starovekého gréckeho jazyka zo slova „trapezion“ znamená stôl, jedlo a iné odvodené slová.

„Kužeľ“ pochádza z gréckeho slova „konos“, čo v preklade znie ako šiška.

„Line“ má latinské korene a pochádza zo slova „linum“, v preklade to znie ako ľanová niť.

Vedeli ste, že ak vezmete geometrické útvary s rovnakým obvodom, potom medzi nimi bol majiteľ najväčšej plochy kruh.

Geometrický obrazec definované ako ľubovoľná množina bodov.

Ak všetky body geometrického útvaru patria do rovnakej roviny, nazýva sa plochý. Napríklad segment, obdĺžnik sú ploché postavy. Existujú čísla, ktoré nie sú ploché. Ide napríklad o kocku, guľu, pyramídu.

Keďže pojem geometrického útvaru je definovaný pojmom množina, môžeme povedať, že jeden útvar je obsiahnutý v inom (alebo je obsiahnutý v inom), môžeme uvažovať o spojení, priesečníku a rozdiele útvarov.

Pointa je nedefinovateľný pojem. Bod sa zvyčajne zavádza nakreslením alebo prepichnutím perom v kúsku papiera. Bod sa považuje za bod, ktorý nemá dĺžku, šírku ani plochu.

Linka je nedefinovaný pojem. Líniu zavádzajú modelovaním zo šnúry alebo obkresľovaním na doske, na papier. Hlavná vlastnosť priamky: priamka je nekonečná. Zakrivené čiary môžu byť zatvorené alebo otvorené.

Ray je časť priamky ohraničená na jednej strane.

Segment čiary- časť priamky uzavretá medzi dvoma bodmi - koncami úsečky.

prerušovaná čiara- rad segmentov zapojených do série pod uhlom navzájom. Spojením prerušovanej čiary je segment. Spojovacie body prepojení sa nazývajú vrcholy lomenej čiary.

Rohový- Ide o geometrický útvar, ktorý pozostáva z bodu a dvoch lúčov vychádzajúcich z tohto bodu. Lúče sa nazývajú strany uhla a ich spoločným začiatkom je jeho vrchol. Uhol sa označuje rôznymi spôsobmi: buď jeho vrchol, alebo jeho strany, alebo sú označené tri body: vrchol a dva body na stranách uhla.

Uhol sa nazýva rovný, ak jeho strany ležia na rovnakej priamke. Uhol, ktorý je polovicou priameho uhla, sa nazýva pravý uhol. Uhol menší ako pravý sa nazýva ostrý uhol. Uhol väčší ako pravý, ale menší ako priamy uhol sa nazýva tupý uhol.

Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné strany týchto uhlov sú doplnkové polpriamky.

Trojuholník je jedným z najjednoduchších geometrických tvarov. Trojuholník je geometrický útvar, ktorý pozostáva z troch bodov, ktoré neležia na rovnakej priamke, a troch párových segmentov, ktoré ich spájajú. V každom trojuholníku sa rozlišujú tieto prvky: strany, uhly, výšky, osy, stredy, stredové čiary.

Ostrý trojuholník je trojuholník, v ktorom sú všetky uhly ostré. Pravý uhol – trojuholník, ktorý má pravý uhol. Trojuholník, ktorý má tupý uhol, sa nazýva tupý trojuholník. O trojuholníkoch sa hovorí, že sú zhodné, ak sú ich zodpovedajúce strany a zodpovedajúce uhly rovnaké. V tomto prípade musia zodpovedajúce uhly ležať na zodpovedajúcich stranách. Trojuholník sa nazýva rovnoramenný, ak sú jeho dve strany rovnaké. Tieto rovnaké strany sa nazývajú strany a tretia strana sa nazýva základňa trojuholníka.

štvoruholník Obrazec sa nazýva obrazec, ktorý pozostáva zo štyroch bodov a štyroch segmentov, ktoré ich spájajú v sérii, pričom žiadne tri z týchto bodov by nemali ležať na jednej priamke a segmenty, ktoré ich spájajú, by sa nemali pretínať. Tieto body sa nazývajú vrcholy štvoruholníka a segmenty, ktoré ich spájajú, sa nazývajú strany.

Diagonála je úsečka spájajúca opačné vrcholy mnohouholníka.

Obdĺžnik Nazýva sa štvoruholník, v ktorom sú všetky uhly pravé.

Námestie m je obdĺžnik, v ktorom sú všetky strany rovnaké.

mnohouholník sa nazýva jednoduchá uzavretá prerušovaná čiara, ak jej susedné články neležia na rovnakej priamke. Vrcholy lomenej čiary sa nazývajú vrcholy mnohouholníka a jej spojnice sa nazývajú jej strany. Segmenty spájajúce nesusedov sa nazývajú diagonály.

obvod nazývaný útvar, ktorý pozostáva zo všetkých bodov roviny rovnako vzdialených od daného bodu, ktorý sa nazýva stred. Keďže však táto klasická definícia nie je uvedená v základných ročníkoch, oboznámenie sa s kruhom sa vykonáva metódou demonštrácie, ktorá sa spája s priamou praktickou činnosťou pri kreslení kruhu pomocou kružidla. Vzdialenosť od bodov k jeho stredu sa nazýva polomer. Úsečka spájajúca dva body na kružnici sa nazýva tetiva. Tetiva prechádzajúca stredom sa nazýva priemer.

Kruhčasť roviny ohraničená kružnicou.

Rovnobežníkovité Hranol, ktorého základňou je rovnobežník.

Kocka je pravouhlý rovnobežnosten, ktorého všetky hrany sú rovnaké.

Pyramída- mnohosten, v ktorom jedna plocha (nazýva sa to základňa) je akýmsi mnohouholníkom a zvyšné plochy (nazývajú sa bočné) sú trojuholníky so spoločným vrcholom.

Valec- geometrické teleso tvorené úsečkami všetkých rovnobežných priamok uzavretých medzi dvoma rovnobežnými rovinami, pretínajúcimi kružnicu v jednej z rovín a kolmými na roviny podstav. Kužeľ je teleso tvorené všetkými segmentmi spájajúcimi daný bod - jeho vrchol - s bodmi určitej kružnice - základne kužeľa.

Lopta je množina bodov v priestore umiestnených vo vzdialenosti nie väčšej ako určitá kladná vzdialenosť od daného bodu. Daný bod je stredom gule a daná vzdialenosť je polomer.

Geometrické obrazce sú komplexom bodov, čiar, telies alebo plôch. Tieto prvky môžu byť umiestnené v rovine aj v priestore a tvoria konečný počet čiar.

Pojem "figura" znamená niekoľko súborov bodov. Musia byť umiestnené na jednej alebo viacerých rovinách a súčasne obmedzené na určitý počet dokončených riadkov.

Hlavnými geometrickými útvarmi sú bod a čiara. Sú ploché. Okrem nich sa medzi jednoduchými postavami rozlišuje lúč, prerušovaná čiara a segment.

Bodka

Toto je jedna z hlavných postáv geometrie. Je veľmi malý, ale vždy sa používa na stavbu rôznych foriem na rovine. Pointa je hlavnou postavou pre úplne všetky stavby, dokonca aj pre najvyššiu zložitosť. V geometrii sa zvyčajne označuje písmenom latinskej abecedy, napríklad A, B, K, L.

Z hľadiska matematiky je bod abstraktný priestorový objekt, ktorý nemá také charakteristiky ako plocha, objem, no zároveň zostáva základným pojmom v geometrii. Tento nulový objekt jednoducho nemá žiadnu definíciu.

Rovno

Táto postava je úplne umiestnená v jednej rovine. Priama čiara nemá špecifickú matematickú definíciu, pretože pozostáva z veľkého počtu bodov umiestnených na jednej nekonečnej čiare, ktorá nemá žiadne obmedzenia a hranice.

Nechýba ani strih. Toto je tiež priamka, ale začína a končí bodom, čo znamená, že má geometrické obmedzenia.

Linka sa tiež môže zmeniť na smerový lúč. To sa stane, keď čiara začína od bodu, ale nemá jasný koniec. Ak umiestnite bod do stredu čiary, rozdelí sa na dva lúče (dodatočné), navyše opačne nasmerované k sebe.

Niekoľko segmentov, ktoré sú postupne navzájom spojené koncami v spoločnom bode a nie sú umiestnené na rovnakej priamke, sa bežne nazývajú prerušovaná čiara.

Rohový

Geometrické tvary, ktorých názvy sme diskutovali vyššie, sú považované za kľúčové prvky používané pri konštrukcii zložitejších modelov.

Uhol je konštrukcia pozostávajúca z vrcholu a dvoch lúčov, ktoré z neho vychádzajú. To znamená, že strany tohto obrázku sú spojené v jednom bode.

Lietadlo

Zvážte ďalší primárny koncept. Rovina je obrazec, ktorý nemá koniec ani začiatok, rovnako ako priamku a bod. Pri posudzovaní tohto geometrického prvku sa berie do úvahy len jeho časť, ohraničená obrysmi prerušovanej uzavretej čiary.

Akýkoľvek hladký ohraničený povrch možno považovať za rovinu. Môže to byť žehliaca doska, list papiera alebo dokonca dvere.

Štvoruholníky

Rovnobežník je geometrický útvar, ktorého protiľahlé strany sú v pároch navzájom rovnobežné. Medzi súkromnými typmi tohto dizajnu sa rozlišuje kosoštvorec, obdĺžnik a štvorec.

Obdĺžnik je rovnobežník, v ktorom sa všetky strany dotýkajú v pravom uhle.

Štvorec je štvoruholník s rovnakými stranami a uhlami.

Kosoštvorec je postava, v ktorej sú všetky tváre rovnaké. V tomto prípade môžu byť uhly úplne odlišné, ale v pároch. Každý štvorec sa považuje za kosoštvorec. Ale v opačnom smere toto pravidlo nie vždy funguje. Nie každý kosoštvorec je štvorec.

Hrazda

Geometrické tvary sú úplne odlišné a bizarné. Každý z nich má jedinečný tvar a vlastnosti.

Lichobežník je obrazec, ktorý je trochu podobný štvoruholníku. Má dve rovnobežné protiľahlé strany a považuje sa za krivočiare.

Kruh

Tento geometrický obrazec naznačuje umiestnenie bodov v rovnakej rovine, ktoré sú rovnako vzdialené od jeho stredu. V tomto prípade sa daný nenulový segment zvyčajne nazýva polomer.

Trojuholník

Ide o jednoduchý geometrický útvar, s ktorým sa veľmi často stretávame a študujeme.

Trojuholník sa považuje za poddruh mnohouholníka, ktorý sa nachádza v rovnakej rovine a je obmedzený tromi plochami a tromi bodmi kontaktu. Tieto prvky sú spojené v pároch.

Polygón

Vrcholy polygónov sú body spájajúce segmenty. A tí druhí sú zase považovaní za strany.

Objemové geometrické tvary

• hranol;
• guľa;
• kužeľ;
• valec;
• pyramída;

Tieto telá majú niečo spoločné. Všetky sú obmedzené na uzavretý povrch, vo vnútri ktorého je veľa bodov.

Objemové telesá sa skúmajú nielen v geometrii, ale aj v kryštalografii.

Zaujímavé fakty

Určite vás bude zaujímať čítanie nižšie uvedených informácií.

• Geometria sa formovala ako veda v staroveku. Tento jav sa zvyčajne spája s rozvojom umenia a rôznych remesiel. A názvy geometrických tvarov naznačujú použitie princípov určovania podobnosti a podobnosti.
• V preklade zo starogréčtiny výraz „lichobežník“ znamená stôl na jedlo.
• Ak vezmete rôzne figúrky, ktorých obvod je rovnaký, potom má kruh zaručene najväčšiu plochu.
• V preklade z gréčtiny výraz „šiška“ znamená šišku.
• Nachádza sa tu slávny obraz Kazemira Malevicha, ktorý od minulého storočia priťahuje pozornosť mnohých maliarov. Dielo "Čierne námestie" bolo vždy mystické a tajomné. Geometrický obrazec na bielom plátne teší a udivuje zároveň.

Existuje veľké množstvo geometrických tvarov. Všetky sa líšia parametrami a niekedy dokonca prekvapia formami.