Riadky druhého rádu.
Elipsa a jej kanonická rovnica. Kruh

Po dôkladnom preštudovaní rovné čiary v rovine pokračujeme v štúdiu geometrie dvojrozmerného sveta. Stávky sú dvojnásobné a pozývam vás na návštevu malebnej galérie elips, hyperbol, parabol, ktoré sú typickými predstaviteľmi linky druhého rádu. Prehliadka sa už začala a najskôr krátka informácia o celej expozícii na rôznych poschodiach múzea:

Pojem algebraickej priamky a jej poradie

Čiara na rovine sa nazýva algebraické, ak je v afinný súradnicový systém jeho rovnica má tvar , kde je polynóm pozostávajúci z členov tvaru ( je reálne číslo, sú nezáporné celé čísla).

Ako vidíte, rovnica algebraickej priamky neobsahuje sínus, kosínus, logaritmy a iné funkčné beau monde. Iba "x" a "y" v celé číslo nezáporné stupňa.

Poradie riadkov sa rovná maximálnej hodnote výrazov, ktoré sú v ňom zahrnuté.

Podľa zodpovedajúcej vety pojem algebraickej čiary, ako aj jej poradie, nezávisia od výberu afinný súradnicový systém, preto pre jednoduchosť uvažujeme, že všetky nasledujúce výpočty prebiehajú v Kartézske súradnice.

Všeobecná rovnica riadok druhého rádu má tvar , kde sú ľubovoľné reálne čísla (je zvykom písať s násobilkou - "dva") a koeficienty nie sú súčasne rovné nule.

Ak , potom sa rovnica zjednoduší na , a ak koeficienty nie sú súčasne rovné nule, potom je to presne toto všeobecná rovnica „plochej“ priamky, ktorý predstavuje riadok prvého poriadku.

Mnohí pochopili význam nových pojmov, ale napriek tomu, aby sme materiál 100% asimilovali, strčíme prsty do zásuvky. Ak chcete určiť poradie riadkov, opakujte všetky termíny jeho rovnice a pre každú z nich nájsť súčet právomocí prichádzajúce premenné.

Napríklad:

výraz obsahuje „x“ až po 1. stupeň;
pojem obsahuje "Y" do 1. stupňa;
v člene nie sú žiadne premenné, takže súčet ich mocnín je nulový.

Teraz poďme zistiť, prečo rovnica nastavuje čiaru druhý objednať:

pojem obsahuje "x" v 2. stupni;
člen má súčet stupňov premenných: 1 + 1 = 2;
pojem obsahuje "y" v 2. stupni;
všetky ostatné výrazy - menší stupňa.

Maximálna hodnota: 2

Ak k našej rovnici dodatočne pridáme, povedzme, potom to už určí riadok tretieho rádu. Je zrejmé, že všeobecný tvar čiarovej rovnice 3. rádu obsahuje „úplnú množinu“ členov, pričom súčet stupňov premenných sa rovná trom:
, kde koeficienty nie sú súčasne rovné nule.

V prípade, že sa pridá jeden alebo viac vhodných výrazov, ktoré obsahujú , potom sa o tom porozprávame riadky 4. rádu, atď.

S algebraickými čiarami 3., 4. a vyšších rádov sa budeme musieť vysporiadať viackrát, najmä pri oboznamovaní sa s polárny súradnicový systém.

Vráťme sa však k všeobecnej rovnici a pripomeňme si jej najjednoduchšie školské variácie. Príkladmi sú parabola, ktorej rovnica sa dá ľahko zredukovať na všeobecnú formu, a hyperbola s ekvivalentnou rovnicou. Nie všetko je však také hladké....

Významnou nevýhodou všeobecnej rovnice je, že takmer vždy nie je jasné, ktorú čiaru definuje. Ani v tom najjednoduchšom prípade si hneď neuvedomíte, že ide o hyperbolu. Takéto rozloženia sú dobré iba na maškaráde, preto sa v priebehu analytickej geometrie zvažuje typický problém redukcia priamkovej rovnice 2. rádu na kanonickú formu.

Aký je kanonický tvar rovnice?

Toto je všeobecne akceptovaná štandardná forma rovnice, keď je v priebehu niekoľkých sekúnd jasné, aký geometrický objekt definuje. Okrem toho je kanonická forma veľmi vhodná na riešenie mnohých praktických problémov. Teda napríklad podľa kanonickej rovnice „plochý“ rovný, po prvé je okamžite jasné, že ide o priamku, a po druhé, bod, ktorý k nej patrí, a smerový vektor sú jednoducho viditeľné.

Je zrejmé, že akékoľvek riadok 1. poriadku predstavuje priamku. Na druhom poschodí nás už nečaká školník, ale oveľa pestrejšia spoločnosť deviatich sôch:

Klasifikácia línií druhého rádu

Pomocou špeciálneho súboru akcií sa každá riadková rovnica druhého rádu zredukuje na jeden z nasledujúcich typov:

(a sú kladné reálne čísla)

1) je kanonická rovnica elipsy;

2) je kanonická rovnica hyperboly;

3) je kanonická rovnica paraboly;

4) – imaginárny elipsa;

5) - pár pretínajúcich sa čiar;

6) - pár imaginárny pretínajúce sa čiary (s jediným skutočným priesečníkom na začiatku);

7) - pár rovnobežných čiar;

8) - pár imaginárny rovnobežné čiary;

9) je dvojica zhodných čiar.

Niektorí čitatelia môžu mať dojem, že zoznam je neúplný. Napríklad v odseku číslo 7 rovnica nastavuje dvojicu priamy, rovnobežné s osou a vzniká otázka: kde je rovnica, ktorá určuje priamky rovnobežné s osou y? Odpovedz nepovažuje sa za kánonu. Priame čiary predstavujú rovnaký štandardný prípad otočený o 90 stupňov a dodatočný záznam v klasifikácii je nadbytočný, pretože neprináša nič zásadne nové.

Existuje teda deväť a iba deväť rôznych typov liniek 2. rádu, no v praxi sú najbežnejšie elipsa, hyperbola a parabola.

Najprv sa pozrime na elipsu. Ako obvykle sa sústredím na tie body, ktoré majú veľký význam pri riešení úloh, a ak potrebujete podrobné odvodenie vzorcov, dôkazy viet, pozrite si napríklad učebnicu Bazyleva / Atanasjana alebo Aleksandrova.

Elipsa a jej kanonická rovnica

Pravopis ... prosím neopakujte chyby niektorých používateľov Yandexu, ktorí sa zaujímajú o "ako postaviť elipsu", "rozdiel medzi elipsou a oválom" a "elebov výstrednosť".

Kanonická rovnica elipsy má tvar , kde sú kladné reálne čísla a . Definíciu elipsy sformulujem neskôr, ale zatiaľ je čas dať si pauzu od rozprávania a vyriešiť bežný problém:

Ako postaviť elipsu?

Áno, vezmite si to a nakreslite to. Zadanie je bežné a značná časť študentov sa s kresbou celkom kompetentne nevyrovná:

Príklad 1

Zostrojte elipsu danú rovnicou

rozhodnutie: najprv uvedieme rovnicu do kanonického tvaru:

Prečo priniesť? Jednou z výhod kanonickej rovnice je, že vám umožňuje okamžite určiť vrcholy elipsy, ktoré sú na bodoch . Je ľahké vidieť, že súradnice každého z týchto bodov spĺňajú rovnicu.

V tomto prípade :


Segment čiary volal hlavná os elipsa;
úsečka – vedľajšej osi;
číslo volal hlavná poloos elipsa;
číslo – vedľajšia os.
v našom príklade: .

Ak si chcete rýchlo predstaviť, ako vyzerá táto alebo tá elipsa, stačí sa pozrieť na hodnoty „a“ ​​a „be“ jej kanonickej rovnice.

Všetko je v poriadku, elegantné a krásne, ale je tu jedna výhrada: kresbu som dokončil pomocou programu. A môžete kresliť s akoukoľvek aplikáciou. V krutej realite však na stole leží károvaný papier a okolo rúk nám tancujú myši. Ľudia s umeleckým talentom sa samozrejme môžu hádať, ale máte aj myši (aj keď menšie). Nie nadarmo ľudstvo vynašlo pravítko, kružidlo, uhlomer a ďalšie jednoduché zariadenia na kreslenie.

Z tohto dôvodu je nepravdepodobné, že budeme schopní presne nakresliť elipsu, pričom poznáme iba vrcholy. Stále v poriadku, ak je elipsa malá, napríklad s poloosami. Prípadne môžete zmenšiť mierku a podľa toho aj rozmery výkresu. Vo všeobecnosti je však veľmi žiaduce nájsť ďalšie body.

Existujú dva prístupy ku konštrukcii elipsy – geometrický a algebraický. Nemám rád stavanie pomocou kružidla a pravítka kvôli krátkemu algoritmu a značnému neporiadku kresby. V prípade núdze si prosím pozrite učebnicu, ale v skutočnosti je oveľa racionálnejšie použiť nástroje algebry. Z rovnice elipsy na návrhu rýchlo vyjadríme:

Rovnica sa potom rozdelí na dve funkcie:
– definuje horný oblúk elipsy;
– definuje spodný oblúk elipsy.

Elipsa daná kanonickou rovnicou je symetrická vzhľadom na súradnicové osi, ako aj vzhľadom na počiatok. A to je skvelé – symetria je takmer vždy predzvesťou pozornosti. Je zrejmé, že sa stačí zaoberať 1. súradnicovým štvrťrokom, takže potrebujeme funkciu . Navrhuje nájsť ďalšie body pomocou úsečiek . Na kalkulačke sme narazili na tri SMS:

Samozrejme, je tiež príjemné, že ak dôjde k závažnej chybe vo výpočtoch, okamžite sa to prejaví pri stavbe.

Označte body na výkrese (červená farba), symetrické body na ostatných oblúkoch (modrá farba) a opatrne spojte celú spoločnosť čiarou:


Počiatočný náčrt je lepšie nakresliť tenko a tenko a až potom zatlačte na ceruzku. Výsledkom by mala byť celkom slušná elipsa. Mimochodom, chceli by ste vedieť, čo je to za krivku?

Definícia elipsy. Ohniská elipsy a excentricita elipsy

Elipsa je špeciálny prípad oválu. Slovo „ovál“ by sa nemalo chápať vo filistínskom zmysle („dieťa nakreslilo ovál“ atď.). Ide o matematický pojem s podrobnou formuláciou. Účelom tejto lekcie nie je uvažovať o teórii oválov a ich rôznych typoch, ktorým sa v štandardnom kurze analytickej geometrie prakticky nevenuje pozornosť. A v súlade s aktuálnejšími potrebami okamžite prejdeme k prísnej definícii elipsy:

Elipsa- je to množina všetkých bodov roviny, súčet vzdialeností ku každému z dvoch daných bodov, tzv. triky elipsa, je konštantná hodnota, ktorá sa číselne rovná dĺžke hlavnej osi tejto elipsy: .
V tomto prípade je vzdialenosť medzi ohniskami menšia ako táto hodnota: .

Teraz to bude jasnejšie:

Predstavte si, že modrá bodka „jazdí“ na elipse. Takže bez ohľadu na to, aký bod elipsy vezmeme, súčet dĺžok segmentov bude vždy rovnaký:

Uistime sa, že v našom príklade je hodnota súčtu skutočne rovná ôsmim. V duchu umiestnite bod "em" do pravého vrcholu elipsy, potom: , čo bolo potrebné skontrolovať.

Ďalší spôsob, ako nakresliť elipsu, je založený na definícii elipsy. Vyššia matematika je občas príčinou napätia a stresu, takže je čas na ďalšiu vybíjanú. Vezmite prosím kus papiera alebo veľký hárok kartónu a pripevnite ho na stôl dvoma klincami. To budú triky. Na vyčnievajúce hlavičky nechtov priviažte zelenú niť a ceruzkou ju potiahnite až na doraz. Krk ceruzky bude v určitom bode, ktorý patrí do elipsy. Teraz začnite viesť ceruzku cez list papiera, pričom držte zelenú niť veľmi napnutú. Pokračujte v procese, kým sa nevrátite na východiskový bod ... výborné ... výkres môže lekár odovzdať na overenie učiteľovi =)

Ako nájsť ohnisko elipsy?

Vo vyššie uvedenom príklade som zobrazil „pripravené“ zaostrovacie body a teraz sa naučíme, ako ich extrahovať z hĺbky geometrie.

Ak je elipsa daná kanonickou rovnicou, potom jej ohniská majú súradnice , kde to je vzdialenosť od každého ohniska k stredu symetrie elipsy.

Výpočty sú jednoduchšie ako dusená repa:

! S významom "ce" nie je možné identifikovať konkrétne súradnice trikov! Opakujem, toto je VZDIALENOSŤ od každého ohniska do stredu(ktorý vo všeobecnom prípade nemusí byť umiestnený presne v mieste pôvodu).
A preto ani vzdialenosť medzi ohniskami nemôže byť viazaná na kanonickú polohu elipsy. Inými slovami, elipsu je možné presunúť na iné miesto a hodnota zostane nezmenená, pričom ohniská prirodzene zmenia svoje súradnice. Prosím, majte to na pamäti pri ďalšom skúmaní témy.

Excentricita elipsy a jej geometrický význam

Excentricita elipsy je pomer, ktorý môže nadobúdať hodnoty v rámci .

V našom prípade:

Poďme zistiť, ako závisí tvar elipsy od jej excentricity. Pre to opraviť ľavý a pravý vrchol uvažovanej elipsy, to znamená, že hodnota hlavnej poloosi zostane konštantná. Potom bude mať vzorec excentricity tvar: .

Začnime približovať hodnotu excentricity k jednote. To je možné len vtedy, ak . Čo to znamená? ...pamätné triky . To znamená, že ohniská elipsy sa "rozptýlia" pozdĺž osi x k bočným vrcholom. A keďže „zelené segmenty nie sú gumené“, elipsa sa nevyhnutne začne sploštiť a zmení sa na tenšiu a tenšiu klobásu navlečenú na osi.

teda čím je excentricita elipsy bližšie k jednej, tým je elipsa podlhovastejšia.

Teraz simulujme opačný proces: ohniská elipsy išli k sebe, blížili sa k stredu. To znamená, že hodnota "ce" sa zmenšuje, a preto excentricita smeruje k nule: .
V tomto prípade sa „zelené segmenty“ naopak „preplnia“ a začnú „tlačiť“ líniu elipsy nahor a nadol.

teda čím bližšie je hodnota excentricity k nule, tým viac elipsa vyzerá... pozrite sa na obmedzujúci prípad, keď sa ohniská úspešne zjednotia v pôvodnom stave:

Kruh je špeciálny prípad elipsy

V prípade rovnosti poloosí totiž nadobudne tvar kanonická rovnica elipsy, ktorá sa reflexne transformuje na známu kruhovú rovnicu zo školy so stredom v počiatku polomeru „a“.

V praxi sa častejšie používa zápis s „hovoriacim“ písmenom „er“:. Polomer sa nazýva dĺžka segmentu, pričom každý bod kruhu je vzdialený od stredu o vzdialenosť polomeru.

Všimnite si, že definícia elipsy zostáva úplne správna: ohniská sa zhodujú a súčet dĺžok zhodných segmentov pre každý bod na kruhu je konštantná hodnota. Keďže vzdialenosť medzi ohniskami je excentricita akéhokoľvek kruhu je nulová.

Kruh sa stavia jednoducho a rýchlo, stačí sa vyzbrojiť kompasom. Napriek tomu je občas potrebné zistiť súradnice niektorých jej bodov, v tomto prípade ideme známou cestou – rovnicu privedieme do veselej Matanovej podoby:

je funkciou horného polkruhu;
je funkciou spodného polkruhu.

Potom nájdeme požadované hodnoty, diferencovateľné, integrovať a robiť iné dobré veci.

Článok je, samozrejme, len orientačný, ale ako sa dá vo svete žiť bez lásky? Kreatívna úloha pre samostatné riešenie

Príklad 2

Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak je známe jedno z jej ohnísk a vedľajšia os (stred je v počiatku). Nájdite vrcholy, ďalšie body a nakreslite čiaru na výkrese. Vypočítajte excentricitu.

Riešenie a kreslenie na konci hodiny

Pridajme akciu:

Otočte a preložte elipsu

Vráťme sa ku kanonickej rovnici elipsy, totiž k podmienke, ktorej hádanka trápi zvedavé mysle už od prvej zmienky o tejto krivke. Tu sme uvažovali o elipse , ale v praxi nemôže rovnica ? Koniec koncov, aj tu sa zdá byť ako elipsa!

Takáto rovnica je zriedkavá, ale vyskytuje sa. A definuje elipsu. Rozptýlime mystika:

V dôsledku konštrukcie sa získa naša natívna elipsa otočená o 90 stupňov. t.j. - Toto nekanonický záznam elipsa . Záznam!- rovnica neuvádza žiadnu inú elipsu, keďže na osi nie sú žiadne body (ohniská), ktoré by vyhovovali definícii elipsy.

Založme v rovine pravouhlý súradnicový systém a zvážme všeobecnú rovnicu druhého stupňa

kde
.

Zavolá sa množina všetkých bodov v rovine, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (8.4.1). nepoctivý (riadok) druhá objednávka.

Pre každú krivku druhého rádu existuje pravouhlý súradnicový systém, nazývaný kanonický, v ktorom rovnica tejto krivky má jednu z nasledujúcich foriem:

1)
(elipsa);

2)
(imaginárna elipsa);

3)
(dvojica pomyselných pretínajúcich sa čiar);

4)
(hyperbola);

5)
(dvojica pretínajúcich sa čiar);

6)
(parabola);

7)
(pár rovnobežných čiar);

8)
(dvojica imaginárnych rovnobežných čiar);

9)
(pár zhodných čiar).

Nazývajú sa rovnice 1)–9). kanonické rovnice kriviek druhého rádu.

Riešenie problému redukcie rovnice krivky druhého rádu na kanonickú formu zahŕňa nájdenie kanonickej rovnice krivky a kanonického súradnicového systému. Redukcia na kanonickú formu umožňuje vypočítať parametre krivky a určiť jej umiestnenie vzhľadom na pôvodný súradnicový systém. Prechod z pôvodného pravouhlého súradnicového systému
na kanonické
sa uskutočňuje otáčaním osí pôvodného súradnicového systému okolo bodu O do určitého uhla  a následný paralelný prenos súradnicového systému.

Invarianty krivky druhého rádu(8.4.1) sa nazývajú také funkcie koeficientov jeho rovnice, ktorých hodnoty sa nemenia pri prechode z jedného pravouhlého súradnicového systému do druhého rovnakého systému.

Pre krivku druhého rádu (8.4.1) súčet koeficientov na štvorcových súradniciach

,

determinant zložený z koeficientov vedúcich členov

a determinant tretieho rádu

sú invarianty.

Hodnotu invariantov s, ,  možno použiť na určenie typu a zostavenie kanonickej rovnice krivky druhého rádu (tabuľka 8.1).

Tabuľka 8.1

Klasifikácia kriviek druhého rádu na základe invariantov

Pozrime sa bližšie na elipsu, hyperbolu a parabolu.

Elipsa(obr. 8.1) je ťažisko bodov v rovine, pre ktoré súčet vzdialeností dvoch pevných bodov
toto lietadlo, tzv elipsové triky, je konštantná hodnota (väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami). To nevylučuje zhodu ohnísk elipsy. Ak sú ohniská rovnaké, potom je elipsa kruh.

Polovičný súčet vzdialeností od bodu elipsy k jej ohniskám je označený a, polovica vzdialenosti medzi ohniskami - s. Ak je pravouhlý súradnicový systém v rovine zvolený tak, že sa elipsa zameriava na os OX symetrický podľa počiatku, potom v tomto súradnicovom systéme je elipsa daná rovnicou

, (8.4.2)

volal kanonická rovnica elipsy, kde
.

Ryža. 8.1

Pri špecifikovanom výbere pravouhlého súradnicového systému je elipsa symetrická podľa súradnicových osí a začiatku. Nazývajú to osi symetrie elipsy osi a stred symetrie je stred elipsy. Zároveň sa čísla 2 často nazývajú osi elipsy. a a 2 b a čísla a a b – veľký a vedľajšia os resp.

Priesečníky elipsy s jej osami sa nazývajú vrcholy elipsy. Vrcholy elipsy majú súradnice ( a, 0), (–a, 0), (0, b), (0, –b).

Výstrednosť elipsy zavolal na číslo

. (8.4.3)

Pretože 0 c < a, excentricita elipsy 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

To ukazuje, že excentricita charakterizuje tvar elipsy: čím bližšie  k nule, tým viac elipsa vyzerá ako kruh; ako sa  zväčšuje, elipsa sa predlžuje.

Nechať byť
je ľubovoľný bod elipsy,
a
- vzdialenosť od bodu M pred trikmi F 1 a F 2 resp. čísla r 1 a r 2 sa nazývajú bodové ohniskové polomery M elipsa a vypočítavajú sa podľa vzorcov

Riaditeľky iný ako kruh elipsa pri kanonickej rovnici (8.4.2) sa volaju dve priamky

.

Smerové čiary elipsy sú umiestnené mimo elipsy (obr. 8.1).

Pomer ohniskového polomeru bodovMelipsa do vzdialenosti  tejto elipsy (zameranie a priamka sa považujú za zodpovedajúce, ak sú umiestnené na rovnakej strane stredu elipsy).

Hyperbola(obr. 8.2) je ťažisko bodov roviny, pre ktoré je modul rozdielu vzdialeností dvoch pevných bodov a toto lietadlo, tzv ohniská hyperboly, je konštantná hodnota (nerovná sa nule a je menšia ako vzdialenosť medzi ohniskami).

Nech je vzdialenosť medzi ohniskami 2 s a špecifikovaný modul rozdielu vzdialeností je 2 a. Obdĺžnikový súradnicový systém volíme rovnako ako pri elipse. V tomto súradnicovom systéme je hyperbola daná rovnicou

, (8.4.4)

volal kanonická rovnica hyperboly, kde
.

Ryža. 8.2

Pri tejto voľbe pravouhlého súradnicového systému sú súradnicové osi osami symetrie hyperboly a počiatkom súradníc je jej stred symetrie. Osi symetrie hyperboly sa nazývajú osi a stred symetrie je stred hyperboly. Obdĺžnik s 2 stranami a a 2 b, umiestnené tak, ako je znázornené na obr. 8.2, tzv hlavný obdĺžnik hyperboly. Čísla 2 a a 2 b sú osi hyperboly a čísla a a b- jej nápravové hriadele. Vytvárajú sa priame čiary, ktoré sú pokračovaním uhlopriečok hlavného obdĺžnika asymptoty hyperboly

.

Priesečníky hyperboly s osou Vôl volal vrcholy hyperboly. Vrcholy hyperboly majú súradnice ( a, 0), (–a, 0).

Excentricita hyperboly zavolal na číslo

. (8.4.5)

Pokiaľ ide o s > a, excentricita hyperboly  > 1. Prepíšme rovnosť (8.4.5) ako

.

To ukazuje, že excentricita charakterizuje tvar hlavného obdĺžnika a následne aj tvar samotnej hyperboly: čím menšie , tým viac je predĺžený hlavný obdĺžnik a za ním samotná hyperbola pozdĺž osi. Vôl.

Nechať byť
je ľubovoľný bod hyperboly,
a
- vzdialenosť od bodu M pred trikmi F 1 a F 2 resp. čísla r 1 a r 2 sa nazývajú bodové ohniskové polomery M hyperbola a vypočítavajú sa podľa vzorcov

Riaditeľky hyperbola pri kanonickej rovnici (8.4.4) sa volaju dve priamky

.

Smerové čiary hyperboly pretínajú hlavný obdĺžnik a prechádzajú medzi stredom a príslušným vrcholom hyperboly (obr. 8.2).

O pomer ohniskového polomeru bodovM hyperboly na vzdialenosť z tohto bodu do príslušného ohniska directrix sa rovná excentricite túto hyperbolu (zameranie a priamka sa považujú za zodpovedajúce, ak sú umiestnené na rovnakej strane stredu hyperboly).

parabola(obr. 8.3) je ťažisko bodov v rovine, pre ktoré je vzdialenosť k nejakému pevnému bodu F (ohnisko paraboly) tejto roviny sa rovná vzdialenosti k nejakej pevnej čiare ( parabolové priame čiary), tiež umiestnený v uvažovanej rovine.

Vyberme si začiatok O pravouhlý súradnicový systém v strede segmentu [ FD], čo je kolmica vypadnutá z ohniska F do smerovky (predpokladá sa, že ohnisko nepatrí do smerovky), a os Vôl a Oj priamo, ako je znázornené na obr. 8.3. Nechajte dĺžku segmentu [ FD] rovná sa p. Potom vo zvolenom súradnicovom systéme
a rovnica kanonickej paraboly má formu

. (8.4.6)

Hodnota p volal parameter paraboly.

Parabola má os symetrie tzv os paraboly. Priesečník paraboly s jej osou sa nazýva vrchol paraboly. Ak je parabola daná svojou kanonickou rovnicou (8.4.6), potom osou paraboly je os Vôl. Je zrejmé, že vrchol paraboly je počiatkom.

Príklad 1 Bodka ALE= (2, –1) patrí elipse, bodke F= (1, 0) je jeho ohnisko, zodpovedajúce F smerová čiara je daná rovnicou
. Napíšte rovnicu pre túto elipsu.

rozhodnutie. Budeme predpokladať, že súradnicový systém je pravouhlý. Potom vzdialenosť z bodu ALE k pani riaditeľke
v súlade so vzťahom (8.1.8), v ktorom


, rovná sa

.

Vzdialenosť z bodu ALE zamerať F rovná sa

,

čo umožňuje určiť excentricitu elipsy

.

Nechať byť M = (X, r) je ľubovoľný bod elipsy. Potom vzdialenosť
z bodu M k pani riaditeľke
podľa vzorca (8.1.8) sa rovná

a vzdialenosť z bodu M zamerať F rovná sa

.

Pretože pre ľubovoľný bod elipsy je vzťah je konštantná hodnota rovnajúca sa excentricite elipsy, preto máme

,

Príklad 2 Krivka je daná rovnicou

v pravouhlom súradnicovom systéme. Nájdite kanonický súradnicový systém a kanonickú rovnicu tejto krivky. Definujte typ krivky.

rozhodnutie. kvadratická forma
má matricu

.

Jeho charakteristický polynóm

má korene  1 = 4 a  2 = 9. Preto v ortonormálnom základe maticových vlastných vektorov ALE uvažovaná kvadratická forma má kanonickú formu

.

Pristúpme ku konštrukcii matice ortogonálnej transformácie premenných, ktorá redukuje uvažovaný kvadratický tvar na zadaný kanonický tvar. Za týmto účelom zostrojíme fundamentálne sústavy riešení homogénnych sústav rovníc
a ortonormalizovať ich.

o
tento systém vyzerá

Jeho všeobecné riešenie je
. Je tu jedna voľná premenná. Preto základný systém riešení pozostáva z jedného vektora, napríklad vektora
. Normalizáciou dostaneme vektor

.

o
zostrojíme aj vektor

.

vektory a sú už ortogonálne, pretože sa vzťahujú na rôzne vlastné hodnoty symetrickej matice ALE. Tvoria kanonický ortonormálny základ danej kvadratickej formy. Zo stĺpcov ich súradníc sa zostaví požadovaná ortogonálna matica (rotačná matica).

.

Skontrolujte správnosť nájdenia matice R podľa vzorca
, kde
je matica kvadratickej formy v zákl
:

Matrix R nájdené správne.

Vykonajte transformáciu premenných

a napíšte rovnicu tejto krivky do nového pravouhlého súradnicového systému so starými stredovými a smerovými vektormi
:

kde
.

Dostali sme kanonickú rovnicu elipsy

.

Vzhľadom na to, že výslednú transformáciu pravouhlých súradníc určujú vzorce

,

,

kanonický súradnicový systém
má začiatok
a smerové vektory
.

Príklad 3 Pomocou invariantnej teórie určte typ a napíšte kanonickú rovnicu krivky

rozhodnutie. Pokiaľ ide o

,

v súlade s tabuľkou. 8.1 sme dospeli k záveru, že ide o hyperbolu.

Pretože s = 0, charakteristický polynóm matice kvadratickej formy

jeho korene
a
nám umožňujú napísať kanonickú rovnicu krivky

kde S sa zistí zo stavu

,

.

Požadovaná kanonická rovnica krivky

.

V problémoch tejto časti súradniceX, rpredpokladá sa, že sú pravouhlé.

8.4.1. Pre elipsy
a
Nájsť:

a) polovičné hriadele;

b) triky;

c) excentricita;

d) priamkové rovnice.

8.4.2. Napíšte rovnice elipsy a poznajte jej zameranie
zodpovedajúce smerovej čiare X= 8 a excentricita . Nájdite druhé ohnisko a druhú smerovú čiaru elipsy.

8.4.3. Napíšte rovnicu pre elipsu, ktorej ohniská sú (1, 0) a (0, 1) a ktorej hlavná os je dve.

8.4.4. Dana hyperbola
. Nájsť:

a) nápravy a a b;

b) triky;

c) excentricita;

d) asymptotné rovnice;

e) priamkové rovnice.

8.4.5. Dana hyperbola
. Nájsť:

a) nápravy a a b;

b) triky;

c) excentricita;

d) asymptotné rovnice;

e) priamkové rovnice.

8.4.6. Bodka
patrí k hyperbole, ktorej zameranie je
a zodpovedajúca smerová čiara je daná rovnicou
. Napíšte rovnicu pre túto hyperbolu.

8.4.7. Napíšte rovnicu pre parabolu vzhľadom na jej zameranie
a riaditeľka
.

8.4.8. Vzhľadom na vrchol paraboly
a priamková rovnica
. Napíšte rovnicu pre túto parabolu.

8.4.9. Napíšte rovnicu pre parabolu, ktorej ohnisko je v bode

a smerová čiara je daná rovnicou
.

8.4.10. Napíšte rovnicu pre krivku druhého rádu, pričom poznáte jej excentricitu
, zamerať sa
a príslušnému riaditeľovi
.

8.4.11. Určte typ krivky druhého rádu, napíšte jej kanonickú rovnicu a nájdite kanonický súradnicový systém:

G)
;

8.4.12.

je elipsa. Nájdite dĺžky poloosi a excentricitu tejto elipsy, súradnice stredu a ohnísk, napíšte rovnice osí a smerových čiar.

8.4.13. Dokážte, že krivka druhého rádu je daná rovnicou

je hyperbola. Nájdite dĺžky poloosi a excentricitu tejto hyperboly, súradnice stredu a ohnísk, napíšte rovnice pre osi, smerové čiary a asymptoty.

8.4.14. Dokážte, že krivka druhého rádu je daná rovnicou

,

je parabola. Nájdite parameter tejto paraboly, súradnice vrcholov a ohniska, napíšte rovnice pre os a smernicu.

8.4.15. Preveďte každú z nasledujúcich rovníc do kanonickej podoby. Nakreslite na výkres zodpovedajúcu krivku druhého rádu vzhľadom na pôvodný pravouhlý súradnicový systém:

8.4.16. Pomocou invariantnej teórie určte typ a napíšte kanonickú rovnicu krivky.

11.1. Základné pojmy

Zvážte čiary definované rovnicami druhého stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice

Koeficienty rovnice sú reálne čísla, ale aspoň jedno z čísel A, B alebo C je nenulové. Takéto čiary sa nazývajú čiary (krivky) druhého rádu. Ďalej bude stanovené, že rovnica (11.1) definuje v rovine kružnicu, elipsu, hyperbolu alebo parabolu. Skôr ako pristúpime k tomuto tvrdeniu, preštudujme si vlastnosti vymenovaných kriviek.

11.2. Kruh

Najjednoduchšia krivka druhého rádu je kruh. Pripomeňme, že kružnica s polomerom R so stredom v bode je množinou všetkých bodov Μ roviny, ktoré spĺňajú podmienku. Nech má bod v pravouhlom súradnicovom systéme súradnice x 0, y 0 a - ľubovoľný bod kružnice (pozri obr. 48).

Potom z podmienky získame rovnicu

(11.2)

Rovnicu (11.2) spĺňajú súradnice ľubovoľného bodu na danej kružnici a nevyhovujú jej súradnice žiadneho bodu, ktorý neleží na kružnici.

Volá sa rovnica (11.2). kanonická rovnica kruhu

Konkrétne, za predpokladu a , dostaneme rovnicu kruhu so stredom v počiatku .

Kruhová rovnica (11.2) bude mať po jednoduchých transformáciách tvar . Pri porovnaní tejto rovnice so všeobecnou rovnicou (11.1) krivky druhého rádu je ľahké vidieť, že pre rovnicu kruhu sú splnené dve podmienky:

1) koeficienty pri x2 a y2 sa navzájom rovnajú;

2) neexistuje žiadny člen obsahujúci súčin xy aktuálnych súradníc.

Zoberme si inverzný problém. Vložením do rovnice (11.1) dostaneme hodnoty a

Transformujme túto rovnicu:

(11.4)

Z toho vyplýva, že rovnica (11.3) definuje kruh pod podmienkou . Jeho stred je v bode a polomer

.

Ak , potom má rovnica (11.3) tvar

.

Vyhovujú mu súradnice jedného bodu . V tomto prípade hovoria: „kruh sa zvrhol do bodu“ (má nulový polomer).

Ak , potom rovnica (11.4), a teda ekvivalentná rovnica (11.3), nebude určovať žiadnu priamku, pretože pravá strana rovnice (11.4) je záporná a ľavá strana nie je záporná (povedzme: „imaginárny kruh“).

11.3. Elipsa

Kanonická rovnica elipsy

Elipsa je množina všetkých bodov roviny, súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom tejto roviny, tzv. triky , je konštantná hodnota väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami.

Označte ohniská podľa F1 a F2, vzdialenosť medzi nimi v 2 c a súčet vzdialeností od ľubovoľného bodu elipsy k ohnisku - až 2 a(pozri obr. 49). Podľa definície 2 a > 2c, t.j. a > c.

Na odvodenie rovnice elipsy zvolíme súradnicový systém tak, že ohniská F1 a F2 ležia na osi a počiatok sa zhoduje so stredom segmentu Ž 1 Ž 2. Potom budú mať ohniská tieto súradnice: a .

Nech je ľubovoľný bod elipsy. Potom podľa definície elipsy, t.j.

Toto je v skutočnosti rovnica elipsy.

Rovnicu (11.5) transformujeme do jednoduchšieho tvaru takto:

Ako a>s, potom . Položme

(11.6)

Potom posledná rovnica nadobúda tvar resp

(11.7)

Dá sa dokázať, že rovnica (11.7) je ekvivalentná pôvodnej rovnici. Volá sa kanonická rovnica elipsy .

Elipsa je krivka druhého rádu.

Štúdium tvaru elipsy podľa jej rovnice

Stanovme tvar elipsy pomocou jej kanonickej rovnice.

1. Rovnica (11.7) obsahuje x a y len v párnych mocninách, takže ak bod patrí elipse, patria do nej aj body ,,. Z toho vyplýva, že elipsa je symetrická vzhľadom na osi a , ako aj vzhľadom na bod , ktorý sa nazýva stred elipsy.

2. Nájdite priesečníky elipsy so súradnicovými osami. Uvedením nájdeme dva body a , v ktorých os pretína elipsu (pozri obr. 50). Vložením rovnice (11.7) nájdeme priesečníky elipsy s osou: a . bodov A 1 , A2 , B1, B2 volal vrcholy elipsy. Segmenty A 1 A2 a B1 B2, ako aj ich dĺžky 2 a a 2 b sa nazývajú resp hlavné a vedľajšie osi elipsa. čísla a a b sa nazývajú veľké a malé, resp. nápravové hriadele elipsa.

3. Z rovnice (11.7) vyplýva, že každý člen na ľavej strane nepresahuje jednu, t.j. existujú nerovnosti a alebo a . Preto všetky body elipsy ležia vo vnútri obdĺžnika tvoreného priamkami.

4. V rovnici (11.7) je súčet nezáporných členov a rovný jednej. V dôsledku toho, keď jeden člen rastie, druhý klesá, to znamená, že ak sa zvyšuje, potom klesá a naopak.

Z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že elipsa má tvar znázornený na obr. 50 (oválny uzavretý oblúk).

Viac o elipse

Tvar elipsy závisí od pomeru. Keď sa elipsa zmení na kruh, rovnica elipsy (11.7) nadobudne tvar . Ako charakteristika tvaru elipsy sa častejšie používa pomer. Pomer polovice vzdialenosti medzi ohniskami k hlavnej poloosi elipsy sa nazýva excentricita elipsy a o6o sa označuje písmenom ε ("epsilon"):

s 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

To ukazuje, že čím menšia je excentricita elipsy, tým menej sploštená bude elipsa; ak dáme ε = 0, potom sa elipsa zmení na kruh.

Nech M(x; y) je ľubovoľný bod elipsy s ohniskami F 1 a F 2 (pozri obr. 51). Dĺžky segmentov F 1 M=r 1 a F 2 M = r 2 sa nazývajú ohniskové polomery bodu M. samozrejme,

Existujú vzorce

Priame čiary sú tzv

Veta 11.1. Ak je vzdialenosť od ľubovoľného bodu elipsy k nejakému ohnisku, d je vzdialenosť od toho istého bodu k priamke zodpovedajúcej tomuto ohnisku, potom pomer je konštantná hodnota rovnajúca sa excentricite elipsy:

Z rovnosti (11.6) vyplýva, že . Ak , potom rovnica (11.7) definuje elipsu, ktorej hlavná os leží na osi Oy a vedľajšia os leží na osi Ox (pozri obr. 52). Ohniská takejto elipsy sú v bodoch a , kde .

11.4. Hyperbola

Kanonická rovnica hyperboly

Hyperbola množina všetkých bodov roviny sa nazýva modul rozdielu vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom tejto roviny, tzv. triky , je konštantná hodnota, menšia ako vzdialenosť medzi ohniskami.

Označte ohniská podľa F1 a F2 vzdialenosť medzi nimi 2s a modul rozdielu vzdialeností od každého bodu hyperboly k ohniskám 2a. A-priorstvo 2a < 2s, t.j. a < c.

Na odvodenie rovnice hyperboly zvolíme súradnicový systém tak, že ohniská F1 a F2 ležať na osi a počiatok sa zhodoval so stredom segmentu Ž 1 Ž 2(pozri obr. 53). Potom budú mať ohniská súradnice a

Nech je ľubovoľný bod hyperboly. Potom podľa definície hyperboly alebo , t.j. po zjednodušeniach, ako sa to urobilo pri odvodení rovnice elipsy, dostaneme kanonická rovnica hyperboly

(11.9)

(11.10)

Hyperbola je priamka druhého rádu.

Skúmanie tvaru hyperboly podľa jej rovnice

Stanovme tvar hyperboly pomocou jej kakonickej rovnice.

1. Rovnica (11.9) obsahuje x a y len v párnych mocninách. Preto je hyperbola symetrická vzhľadom na osi a , ako aj vzhľadom na bod , ktorý je tzv. stred hyperboly.

2. Nájdite priesečníky hyperboly so súradnicovými osami. Ak dosadíme rovnicu (11.9), nájdeme dva priesečníky hyperboly s osou : a . Vložením (11.9) dostaneme , čo nemôže byť. Preto hyperbola nepretína os y.

Body a sú tzv vrcholy hyperboly a segment

reálna os , úsečka - skutočná poloos hyperbola.

Úsečka spájajúca body sa nazýva pomyselná os , číslo b - pomyselná os . Obdĺžnik so stranami 2a a 2b volal hlavný obdĺžnik hyperboly .

3. Z rovnice (11.9) vyplýva, že minuend nie je menší ako jedna, t.j. že alebo . To znamená, že body hyperboly sú umiestnené napravo od priamky (pravá vetva hyperboly) a naľavo od priamky (ľavá vetva hyperboly).

4. Z rovnice (11.9) hyperboly vidno, že keď sa zväčší, potom aj zväčší. Vyplýva to zo skutočnosti, že rozdiel si udržiava konštantnú hodnotu rovnú jednej.

Z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že hyperbola má tvar znázornený na obrázku 54 (krivka pozostávajúca z dvoch neohraničených vetiev).

Asymptoty hyperboly

Čiara L sa nazýva asymptota neohraničenej krivky K, ak vzdialenosť d od bodu M krivky K k tejto priamke smeruje k nule, keď sa bod M pohybuje pozdĺž krivky K od začiatku neurčito. Obrázok 55 znázorňuje koncept asymptoty: priamka L je asymptota krivky K.

Ukážme, že hyperbola má dve asymptoty:

(11.11)

Keďže priamky (11.11) a hyperbola (11.9) sú vzhľadom na súradnicové osi symetrické, stačí uvažovať len tie body naznačených priamok, ktoré sa nachádzajú v prvom kvadrante.

Vezmite na priamku bod N, ktorý má rovnakú os x ako bod na hyperbole (pozri obr. 56) a nájdite rozdiel ΜN medzi ordinátami priamky a vetvou hyperboly:

Ako vidíte, ako sa x zvyšuje, menovateľ zlomku sa zvyšuje; čitateľ je konštantná hodnota. Preto dĺžka segmentu ΜN má tendenciu k nule. Pretože ΜN je väčšia ako vzdialenosť d od bodu Μ k priamke, potom d ešte viac smeruje k nule. Čiary sú teda asymptoty hyperboly (11.9).

Pri konštrukcii hyperboly (11.9) je vhodné najskôr zostrojiť hlavný obdĺžnik hyperboly (pozri obr. 57), nakresliť čiary prechádzajúce protiľahlými vrcholmi tohto obdĺžnika - asymptoty hyperboly a označiť vrcholy a , hyperbolu. .

Rovnica rovnostrannej hyperboly.

ktorých asymptoty sú súradnicové osi

Hyperbola (11.9) sa nazýva rovnostranná, ak sú jej poloosi rovnaké (). Jeho kanonická rovnica

(11.12)

Asymptoty rovnostrannej hyperboly majú rovnice, a preto sú osi súradnicových uhlov.

Uvažujme rovnicu tejto hyperboly v novom súradnicovom systéme (pozri obr. 58), získanom zo starého pootočením súradnicových osí o uhol. Na otáčanie súradnicových osí používame vzorce:

Dosadíme hodnoty x a y do rovnice (11.12):

Rovnica rovnostrannej hyperboly, pre ktorú sú osi Ox a Oy asymptoty, bude mať tvar .

Viac o hyperbole

výstrednosť hyperbola (11.9) je pomer vzdialenosti medzi ohniskami k hodnote skutočnej osi hyperboly, označený ε:

Pretože pre hyperbolu je excentricita hyperboly väčšia ako jedna: . Excentricita charakterizuje tvar hyperboly. Z rovnosti (11.10) totiž vyplýva, že t.j. a .

To ukazuje, že čím menšia je excentricita hyperboly, tým menší je pomer jej poloosí, čo znamená, že čím viac je jej hlavný obdĺžnik predĺžený.

Excentricita rovnostrannej hyperboly je . naozaj,

Ohniskové polomery a pre body pravej vetvy hyperboly majú tvar a a pre ľavú - a .

Priame čiary sa nazývajú smerové čiary hyperboly. Keďže pre hyperbolu ε > 1, potom . To znamená, že pravá smerová čiara je umiestnená medzi stredom a pravým vrcholom hyperboly, ľavá smerová čiara je medzi stredom a ľavým vrcholom.

Smerové čiary hyperboly majú rovnakú vlastnosť ako smerové čiary elipsy.

Krivka definovaná rovnicou je tiež hyperbola, ktorej skutočná os 2b je umiestnená na osi Oy a imaginárna os 2 a- na osi Ox. Na obrázku 59 je znázornená ako bodkovaná čiara.

Je zrejmé, že hyperboly a majú spoločné asymptoty. Takéto hyperboly sa nazývajú konjugované.

11.5. Parabola

Rovnica kanonickej paraboly

Parabola je množina všetkých bodov v rovine, z ktorých každý je rovnako vzdialený od daného bodu, nazývaného ohnisko, a danej priamky, nazývanej priamka. Vzdialenosť od ohniska F k smerovej priamke sa nazýva parameter paraboly a označuje sa p (p > 0).

Na odvodenie parabolickej rovnice zvolíme súradnicový systém Oxy tak, že os Oxy prechádza ohniskom F kolmo na smerovú čiaru v smere od smerovej čiary k F a počiatok O sa nachádza v strede medzi ohniskom a smerovou čiarou. (pozri obr. 60). Vo vybranom systéme má ohnisko F súradnice a rovnica smerovej čiary má tvar , alebo .

1. V rovnici (11.13) je premenná y zahrnutá v párnom stupni, čo znamená, že parabola je symetrická podľa osi Ox; os x je os symetrie paraboly.

2. Keďže ρ > 0, z (11.13) vyplýva, že . Preto je parabola umiestnená napravo od osi y.

3. Keď máme y \u003d 0. Parabola teda prechádza počiatkom.

4. S neobmedzeným nárastom x sa neobmedzene zvyšuje aj modul y. Parabola má tvar (tvar) znázornený na obrázku 61. Bod O (0; 0) sa nazýva vrchol paraboly, segment FM \u003d r sa nazýva ohniskový polomer bodu M.

Rovnice , , ( p>0) definujú aj paraboly, sú znázornené na obrázku 62

Je ľahké ukázať, že graf štvorcovej trojčlenky, kde , B a C sú ľubovoľné reálne čísla, je parabolou v zmysle jej definície vyššie.

11.6. Všeobecná rovnica čiar druhého rádu

Rovnice kriviek druhého rádu s osami symetrie rovnobežnými so súradnicovými osami

Najprv nájdime rovnicu elipsy so stredom v bode, ktorého osi symetrie sú rovnobežné so súradnicovými osami Ox a Oy a poloosi sa rovnajú a a b. Umiestnime do stredu elipsy O 1 počiatok nového súradnicového systému, ktorého osi a poloosi a a b(pozri obr. 64):

A nakoniec, paraboly zobrazené na obrázku 65 majú zodpovedajúce rovnice.

Rovnica

Rovnice elipsy, hyperboly, paraboly a rovnice kružnice po transformáciách (otvoriť zátvorky, presunúť všetky členy rovnice jedným smerom, priniesť rovnaké členy, zaviesť nový zápis pre koeficienty) možno napísať pomocou jedinej rovnice formulár

kde koeficienty A a C sa súčasne nerovnajú nule.

Vzniká otázka: určuje niektorá rovnica tvaru (11.14) jednu z kriviek (kružnica, elipsa, hyperbola, parabola) druhého rádu? Odpoveď dáva nasledujúca veta.

Veta 11.2. Rovnica (11.14) vždy definuje: buď kružnicu (pre A = C), alebo elipsu (pre A C > 0), alebo hyperbolu (pre A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Všeobecná rovnica druhého rádu

Zvážte teraz všeobecnú rovnicu druhého stupňa s dvoma neznámymi:

Od rovnice (11.14) sa líši prítomnosťou člena so súčinom súradníc (B¹ 0). Pootočením súradnicových osí o uhol a je možné túto rovnicu transformovať tak, aby v nej chýbal člen so súčinom súradníc.

Použitie vzorcov pre sústružnícke osi

Vyjadrime staré súradnice z hľadiska nových:

Uhol a volíme tak, aby koeficient pri x "y" zanikol, t.j. aby rovnosť

Keď sa teda osi pootočia o uhol a, ktorý spĺňa podmienku (11.17), rovnica (11.15) sa zredukuje na rovnicu (11.14).

Záver: všeobecná rovnica druhého rádu (11.15) definuje na rovine (okrem prípadov degenerácie a rozpadu) tieto krivky: kružnica, elipsa, hyperbola, parabola.

Poznámka: Ak A = C, potom rovnica (11.17) stráca zmysel. V tomto prípade cos2α = 0 (pozri (11.16)), potom 2α = 90°, t.j. α = 45°. Takže pri A = C by mal byť súradnicový systém otočený o 45 °.

1. Priamky druhého rádu na euklidovskej rovine.

2. Invarianty rovníc priamok druhého rádu.

3. Určenie typu čiar druhého rádu z invariantov jeho rovnice.

4. Čiary druhého rádu na afinnej rovine. Teorém jedinečnosti.

5. Stredy čiar druhého rádu.

6. Asymptoty a priemery čiar 2. rádu.

7. Redukcia rovníc priamok druhého rádu na najjednoduchšie.

8. Hlavné smery a priemery čiar 2. rádu.

BIBLIOGRAFIA

1. Priamky druhého rádu v euklidovskej rovine.

Definícia:

Euklidovská rovina je priestor dimenzie 2,

(dvojrozmerný reálny priestor).

Čiary druhého rádu sú priesečníky kruhového kužeľa s rovinami, ktoré neprechádzajú jeho vrcholom.

Tieto riadky sa často nachádzajú v rôznych otázkach prírodných vied. Napríklad pohyb hmotného bodu pod vplyvom centrálneho gravitačného poľa nastáva pozdĺž jednej z týchto čiar.

Ak rovina rezu pretína všetky priamočiare generátory jednej dutiny kužeľa, potom v reze vznikne priamka, tzv. elipsa(obr. 1.1, a). Ak rovina rezu pretína generátory oboch dutín kužeľa, potom v reze vznikne čiara, tzv. hyperbola(obr. 1.1.6). A nakoniec, ak je sečná rovina rovnobežná s jedným z generátorov kužeľa (o 1,1, v- toto je generátor AB), potom v sekcii dostanete riadok tzv parabola. Ryža. 1.1 poskytuje vizuálne znázornenie tvaru uvažovaných čiar.

Obrázok 1.1

Všeobecná rovnica čiary druhého rádu má nasledujúci tvar:

(1)

(1*)

Elipsa je množina bodov v rovine, pre ktorú je súčet vzdialeností dva pevné body F 1 a F 2 táto rovina, nazývaná ohniská, má konštantnú hodnotu.

To nevylučuje zhodu ohnísk elipsy. Samozrejme ak sú ohniská rovnaké, potom je elipsa kruh.

Na odvodenie kanonickej rovnice elipsy zvolíme počiatok O karteziánskeho súradnicového systému v strede segmentu F 1 F 2 , osi Oh a OU priamo, ako je znázornené na obr. 1.2 (ak triky F 1 a F 2 sa zhoduje, potom sa O zhoduje s F 1 a F 2 a pre os Oh dá sa vziať akákoľvek os prechádzajúca cez O).

Nechajte dĺžku segmentu F 1 F 2 F 1 a F 2 majú súradnice (-c, 0) a (c, 0). Označiť podľa 2a konštanta uvedená v definícii elipsy. Je zrejmé, že 2a > 2c, t.j. a > c ( Ak M- bod elipsy (pozri obr. 1.2), potom | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a , a keďže súčet dvoch strán MF 1 a MF 2 trojuholník MF 1 F 2 viac ako tretia strana F 1 F 2 = 2c, potom 2a > 2c. Je prirodzené vylúčiť prípad 2a = 2c, odvtedy bod M umiestnený na segmente F 1 F 2 a elipsa degeneruje do segmentu. ).

Nechať byť M- bod roviny so súradnicami (x, y)(obr. 1.2). Označme r 1 a r 2 vzdialenosti od bodu M na body F 1 a F 2 resp. Podľa definície elipsy rovnosť

r 1 + r 2 = 2a (1.1)

je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre umiestnenie bodu M(x, y) na danej elipse.

Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi dostaneme

(1.2)

Z (1.1) a (1.2) vyplýva, že pomer

(1.3)

predstavuje nevyhnutnú a postačujúcu podmienku pre umiestnenie bodu M so súradnicami x a y na danej elipse. Vzťah (1.3) preto možno považovať za elipsová rovnica. Použitím štandardnej metódy „zničenia radikálov“ sa táto rovnica zredukuje do tvaru

(1.4) (1.5)

Keďže rovnica (1.4) je algebraický dôsledok rovnica elipsy (1.3), potom súradnice x a y akýkoľvek bod M elipsa bude spĺňať aj rovnicu (1.4). Keďže počas algebraických transformácií spojených s zbavovaním sa radikálov sa môžu objaviť „extra korene“, musíme sa uistiť, že M, ktorého súradnice spĺňajú rovnicu (1.4) sa nachádza na danej elipse. Na to zjavne stačí dokázať, že množstvá r 1 a r 2 pre každý bod splniť vzťah (1.1). Tak nech súradnice X a pri bodov M splniť rovnicu (1.4). Náhradná hodnota o 2 z (1.4) na pravú stranu výrazu (1.2) pre r 1 po jednoduchých transformáciách zistíme, že

, potom .

Presne rovnakým spôsobom to zistíme

. Teda pre uvažovaný bod M , (1.6)

t.j. r 1 + r 2 = 2a, a preto sa bod M nachádza na elipse. Volá sa rovnica (1.4). kanonická rovnica elipsy. množstvá a a b sa nazývajú resp hlavné a vedľajšie polosi elipsy(Názov „veľký“ a „malý“ sa vysvetľuje tým, že a > b).

Komentujte. Ak poloosi elipsy a a b sú rovnaké, potom je elipsa kružnica, ktorej polomer sa rovná R = a = b a stred sa zhoduje s pôvodom.

Hyperbola je množina bodov v rovine, pre ktorú je absolútna hodnota rozdielu vzdialeností dvoch pevných bodov, F 1 a F 2 táto rovina, nazývaná ohniská, má konštantnú hodnotu ( Zameriava sa F 1 a F 2 je prirodzené považovať hyperboly za odlišné, pretože ak konštanta uvedená v definícii hyperboly nie je rovná nule, potom neexistuje jediný bod roviny, keď F 1 a F 2 , ktorý by spĺňal požiadavky definície hyperboly. Ak je táto konštanta nula a F 1 sa zhoduje s F 2 , potom ktorýkoľvek bod roviny spĺňa požiadavky definície hyperboly. ).

Na odvodenie kanonickej rovnice hyperboly zvolíme počiatok súradníc v strede segmentu F 1 F 2 , osi Oh a OU priamo, ako je znázornené na obr. 1.2. Nechajte dĺžku segmentu F 1 F 2 sa rovná 2 s. Potom vo zvolenom súradnicovom systéme body F 1 a F 2 majú súradnice (-с, 0) a (с, 0) Označte 2 a konštanta uvedená v definícii hyperboly. Zjavne 2a< 2с, т. е. a < с. Musíme sa uistiť, že rovnica (1.9), získaná algebraickými transformáciami rovnice (1.8), nezískala nové korene. Na to stačí dokázať, že pre každý bod M, súradnice X a pri ktoré spĺňajú rovnicu (1.9), veličiny r 1 a r 2 spĺňajú vzťah (1.7). Ak použijeme argumenty podobné tým, ktoré sa použili pri odvodzovaní vzorcov (1.6), nájdeme nasledujúce výrazy pre veličiny r 1 a r 2, ktoré nás zaujímajú:

(1.11)

Teda pre uvažovaný bod M máme

, a preto sa nachádza na hyperbole.

Volá sa rovnica (1.9). kanonická rovnica hyperboly. množstvá a a b sa nazývajú skutočné a imaginárne, resp. poloosi hyperboly.

parabola je množina bodov v rovine, pre ktorú je vzdialenosť k nejakému pevnému bodu F táto rovina sa rovná vzdialenosti k nejakej pevnej priamke, ktorá sa tiež nachádza v uvažovanej rovine.

Rovnice krivky sú bohaté pri čítaní ekonomickej literatúry.Poukazujme na niektoré z týchto kriviek.

indiferenčná krivka - krivka znázorňujúca rôzne kombinácie dvoch produktov, ktoré majú pre spotrebiteľa rovnakú spotrebiteľskú hodnotu, prípadne úžitkovú hodnotu.

Krivka spotrebiteľského rozpočtu je krivka zobrazujúca rôzne kombinácie množstiev dvoch tovarov, ktoré si môže spotrebiteľ kúpiť pri danej úrovni svojho peňažného príjmu.

Krivka výrobnej možnosti - krivka znázorňujúca rôzne kombinácie dvoch tovarov alebo služieb, ktoré je možné vyrobiť za podmienok plnej zamestnanosti a plnej produkcie v ekonomike s konštantnými zásobami zdrojov a nezmenenou technológiou.

Krivka investičného dopytu - krivka znázorňujúca dynamiku úrokovej sadzby a objem investícií pri rôznych úrokových sadzbách.

Phillipsova krivka- krivka znázorňujúca existenciu stabilného vzťahu medzi mierou nezamestnanosti a mierou inflácie.

Lafferova krivka- krivka znázorňujúca vzťah medzi daňovými sadzbami a daňovými príjmami, odhaľujúca takú sadzbu dane, pri ktorej daňové príjmy dosahujú maximum.

Už jednoduchý výpočet pojmov ukazuje, aké dôležité je, aby ekonómovia dokázali zostavovať grafy a analyzovať rovnice kriviek, ktorými sú priamky a krivky druhého rádu – kružnica, elipsa, hyperbola, parabola. Okrem toho pri riešení veľkej triedy problémov je potrebné vybrať oblasť na rovine ohraničenú nejakými krivkami, ktorých rovnice sú dané. Najčastejšie sú tieto úlohy formulované nasledovne: nájsť najlepší plán výroby pre dané zdroje. Priradenie zdrojov má zvyčajne podobu nerovností, ktorých rovnice sú dané. Preto je potrebné hľadať najväčšie alebo najmenšie hodnoty, ktoré naberá nejaká funkcia v oblasti určenej rovnicami systému nerovností.

V analytickej geometrii čiara v lietadle je definovaný ako množina bodov, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu F(x,y)=0. V tomto prípade treba na funkciu F zaviesť obmedzenia, aby na jednej strane mala táto rovnica nekonečnú množinu riešení a na druhej strane, aby táto množina riešení nevypĺňala „kúsok roviny “. Dôležitou triedou priamok sú tie, pre ktoré je funkcia F(x,y) polynómom v dvoch premenných, vtedy sa nazýva priamka definovaná rovnicou F(x,y)=0. algebraické. Algebraické čiary dané rovnicou prvého stupňa sú priamky. Rovnica druhého stupňa, ktorá má nekonečný počet riešení, definuje elipsu, hyperbolu, parabolu alebo priamku deliacu sa na dve priame čiary.

Nech je v rovine daný pravouhlý karteziánsky súradnicový systém. Priamka na rovine môže byť daná jednou z rovníc:

desať . Všeobecná rovnica priamky

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vektor n(А,В) je kolmé na priamku, čísla A a B sa zároveň nerovnajú nule.

20. Čiarová rovnica so sklonom

y - y o = k (x - x o), (2,2)

kde k je sklon priamky, t.j. k = tg a , kde a - hodnota uhla, ktorý zviera priamka s osou Оx, M (x o , y o) - nejaký bod patriaci priamke.

Rovnica (2.2) má tvar y = kx + b, ak M (0, b) je priesečník priamky s osou Oy.

tridsať . Rovnica priamky v segmentoch

x/a + y/b = 1, (2,3)

kde a a b sú hodnoty segmentov odrezaných priamkou na súradnicových osiach.

40 . Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je A(x1,y1) a B(x2,y2):

. (2.4)

päťdesiat . Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(x 1 , y 1) rovnobežne s daným vektorom a(m, n)

. (2.5)

60 . Normálna rovnica priamky

rn o - p = 0, (2,6)

kde r je polomer ľubovoľného bodu M(x, y) tejto priamky, n o je jednotkový vektor ortogonálny k tejto priamke a nasmerovaný od začiatku k priamke; p je vzdialenosť od začiatku k priamke.

Normál v súradnicovom tvare má tvar:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

kde - hodnota uhla, ktorý zviera priamka s osou x.

Rovnica ceruzky s čiarami so stredom v bode A (x 1, y 1) má tvar:

y-y 1 = l (x-x 1),

kde l je parameter lúča. Ak je lúč daný dvoma pretínajúcimi sa čiarami A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, potom má jeho rovnica tvar:

l (A1x + B1y + C1) + m (A2x + B2y + C2)=0,

kde l a m sú parametre lúča, ktoré sa súčasne nenastavia na 0.

Uhol medzi čiarami y \u003d kx + b a y \u003d k 1 x + b 1 je daný vzorcom:

tg j = .

Rovnosť 1 + k 1 k = 0 je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou, aby boli priamky kolmé.

Aby sme vytvorili dve rovnice

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2,7)

A2x + B2y + C2 = 0, (2,8)

nastaviť rovnakú priamku, je potrebné a postačujúce, aby ich koeficienty boli úmerné:

A1/A2 = B1/B2 = C1/C2.

Rovnice (2.7), (2.8) definujú dve rôzne rovnobežky, ak A 1 /A 2 = B 1 /B 2 a B 1 /B 2¹ C1/C2; čiary sa pretínajú, ak A 1 / A 2¹B1/B2.

Vzdialenosť d od bodu M o (x o, y o) k priamke je dĺžka kolmice vedenej z bodu M o k priamke. Ak je priamka daná normálnou rovnicou, potom d =ê r o n o - r ê , kde r o je polomerový vektor bodu M o alebo v súradnicovom tvare d =ê x o cos a + y o sin a - r ê .

Všeobecná rovnica krivky druhého rádu má tvar

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x + 2a 2 y + a = 0.

Predpokladá sa, že medzi koeficientmi rovnice a11, a12, a22 sú iné ako nulové.

Rovnica kruhu so stredom v bode C(a, b) a s polomerom rovným R:

(x-a)2+ (y-b)2 = R2. (2.9)

Elipsanazýva sa ťažisko bodov, ktorých súčet vzdialeností od dvoch daných bodov F 1 a F 2 (ohniská) je konštantná hodnota rovná 2a.

Kanonická (najjednoduchšia) rovnica elipsy

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Elipsa daná rovnicou (2.10) je symetrická vzhľadom na súradnicové osi. možnosti a a b volal nápravové hriadele elipsa.

Nech a>b, potom sú ohniská F 1 a F 2 na osi Ox vo vzdialenosti
c= od pôvodu. Pomer c/a = e < 1 называется výstrednosť elipsa. Vzdialenosti od bodu M(x, y) elipsy k jej ohniskám (vektory ohniskových polomerov) sú určené vzorcami:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

Ak< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

Ak a = b, potom elipsa je kružnica so stredom v počiatku polomeru a.

Hyperbolanazýva sa ťažisko bodov, ktorých rozdiel vzdialeností od dvoch daných bodov F 1 a F 2 (ohniská) sa v absolútnej hodnote rovná danému číslu 2a.

Kanonická rovnica hyperboly

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Hyperbola daná rovnicou (2.11) je symetrická vzhľadom na súradnicové osi. Pretína os Ox v bodoch A (a,0) a A (-a,0) - vrcholoch hyperboly a nepretína os Oy. Parameter a volal skutočná poloos, b -pomyselná os. Parameter c= je vzdialenosť od ohniska k počiatku. Pomer c/a = e >1 sa volá výstrednosť hyperbola. Priamky, ktorých rovnice y =± b/a x sa nazývajú asymptoty hyperbola. Vzdialenosti od bodu M(x,y) hyperboly k jej ohniskám (vektory ohniskových polomerov) sú určené vzorcami:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

Hyperbola s a = b sa nazýva rovnostranný, jeho rovnica x 2 - y 2 \u003d a 2 a rovnica asymptot y \u003d± X. Hyperboly x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 a
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 sa nazývajú konjugovaný.

parabolaje ťažisko bodov rovnako vzdialených od daného bodu (ohniska) a danej priamky (smernice).

Kanonická rovnica paraboly má dve formy:

1) y 2 \u003d 2px - parabola je symetrická okolo osi Ox.

2) x 2 \u003d 2py - parabola je symetrická okolo osi Oy.

V oboch prípadoch p>0 a vrchol paraboly, teda bod ležiaci na osi symetrie, sa nachádza v počiatku.

Parabola, ktorej rovnica y 2 = 2рx má ohnisko F(р/2,0) a priamku x = - р/2, vektor ohniskového polomeru bodu M(x, y) na nej r = x+ р/2.

Parabola, ktorej rovnica x 2 = 2py má ohnisko F(0, p/2) a priamku y = - p/2; vektor ohniskového polomeru bodu M(x, y) paraboly je r = y + p/2.

Rovnica F(x, y) = 0 definuje priamku, ktorá rozdeľuje rovinu na dve alebo viac častí. V jednej z týchto častí je nerovnosť F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Inými slovami, riadok
F(x, y)=0 oddeľuje časť roviny, kde F(x, y)>0, od časti roviny, kde F(x, y)<0.

Priamka, ktorej rovnica je Ax+By+C = 0, rozdeľuje rovinu na dve polroviny. V praxi zistiť, v ktorej polrovine máme Ax + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, použite metódu bodu prerušenia. Aby ste to urobili, vezmite si kontrolný bod (samozrejme, ktorý neleží na priamke, ktorého rovnica je Ax + By + C = 0) a skontrolujte, aké znamienko má v tomto bode výraz Ax + By + C. Rovnaký znak má uvedený výraz v celej polrovine, kde leží kontrolný bod. V druhej polrovine Ax+By+C má opačné znamienko.

Rovnakým spôsobom sa riešia nelineárne nerovnosti s dvoma neznámymi.

Vyriešme napríklad nerovnosť x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Dá sa prepísať ako (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Rovnica (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 definuje kružnicu so stredom v bode C(2,-3) a polomerom 5. Kružnica rozdeľuje rovinu na dve časti - vnútornú a vonkajšie. Aby sme zistili, v ktorom z nich sa táto nerovnosť vyskytuje, vezmeme kontrolný bod vo vnútornej oblasti, napríklad stred C(2,-3) nášho kruhu. Dosadením súradníc bodu C do ľavej strany nerovnosti dostaneme záporné číslo -25. Vo všetkých bodoch ležiacich vo vnútri kruhu teda nerovnosť
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Príklad 1.5.Zostavte rovnice priamok prechádzajúcich bodom A(3,1) a sklonených k priamke 2x+3y-1 = 0 pod uhlom 45 o .

rozhodnutie.Budeme hľadať v tvare y=kx+b. Keďže priamka prechádza bodom A, jej súradnice vyhovujú rovnici priamky, t.j. 1=3k+b,Þ b = 1-3k. Uhol medzi čiarami
y= k 1 x+b 1 a y= kx+b je definované vzorcom tg j = . Pretože sklon k 1 pôvodnej priamky 2x+3y-1=0 je -2/3 a uhol j = 45 o , potom máme rovnicu na určenie k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 alebo (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Máme dve hodnoty k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Nájdením zodpovedajúcich hodnôt b podľa vzorca b=1-3k dostaneme dva požadované riadky, ktorých rovnice sú: x - 5y + 2 = 0 a
5x + y - 16 = 0.

Príklad 1.6. Pri akej hodnote parametra t priamky, ktorých rovnice 3tx-8y+1 = 0 a (1+t)x-2ty = 0 sú rovnobežné?

rozhodnutie.Priamky dané všeobecnými rovnicami sú rovnobežné, ak sú koeficienty at X a r proporcionálne, t.j. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Vyriešením výslednej rovnice zistíme t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Príklad 1.7. Nájdite rovnicu spoločnej tetivy dvoch kružníc:
x2+y2=10 a x2+y2-10x-10y+30=0.

rozhodnutie.Nájdite priesečníky kružníc, preto riešime systém rovníc:

Pri riešení prvej rovnice nájdeme hodnoty x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. Z druhej rovnice - zodpovedajúce hodnoty r: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Teraz dostaneme rovnicu spoločnej akordy, pričom poznáme dva body A (3,1) a B (1,3) patriace do tejto čiary: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3), alebo y+ x - 4 = 0.

Príklad 1.8. Ako sú umiestnené body na rovine, ktorých súradnice spĺňajú podmienky (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

rozhodnutie.Prvá nerovnosť sústavy vymedzuje vnútro kruhu, bez hranice, t.j. kružnica so stredom v bode (3,3) a polomerom . Druhá nerovnosť definuje polrovinu definovanú priamkou, ktorej rovnica je x = y, a keďže nerovnosť je prísna, samotné body priamky nepatria do polroviny a všetky body pod touto priamkou priamka patrí do polroviny. Keďže hľadáme body, ktoré vyhovujú obom nerovnostiam, potom je želanou oblasťou vnútro polkruhu.

Príklad 1.9.Vypočítajte dĺžku strany štvorca vpísanej do elipsy, ktorej rovnica je x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1.

rozhodnutie.Nechať byť M(s, s)- vrchol štvorca, ležiaci v prvej štvrtine. Potom bude strana štvorca 2 s. Pretože bodka M patrí do elipsy, jej súradnice spĺňajú rovnicu elipsy c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, odkiaľ
c = ab/; takže strana štvorca je 2ab/ .

Príklad 1.10.Poznanie rovnice asymptot hyperboly y =± 0,5 x a jeden z jej bodov M (12, 3) zostavte rovnicu hyperboly.

rozhodnutie.Kanonickú rovnicu hyperboly zapíšeme: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Asymptoty hyperboly sú dané rovnicami y =± 0,5 x, takže b/a = 1/2, teda a = 2b. Pokiaľ ide o M- bod hyperboly, potom jej súradnice vyhovujú rovnici hyperboly, t.j. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Vzhľadom na to, že a = 2b, nájdeme b: b 2 =9Þ b = 3 a a = 6. Potom rovnica hyperboly je x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Príklad 1.11.Vypočítajte dĺžku strany pravidelného trojuholníka ABC vpísaného do paraboly s parametrom R, za predpokladu, že bod A sa zhoduje s vrcholom paraboly.

rozhodnutie.Kanonická rovnica paraboly s parametrom R má tvar y 2 = 2рx, jeho vrchol sa zhoduje s počiatkom a parabola je symetrická podľa osi x. Keďže priamka AB zviera s osou Ox uhol 30 o, rovnica priamky je: y = x. veľa grafov

Súradnice bodu B teda môžeme nájsť riešením sústavy rovníc y 2 =2px, y = x, odkiaľ x = 6p, y = 2p. Vzdialenosť medzi bodmi A(0,0) a B(6p,2p) je teda 4p.