Uhol, ktorý tvoria dve tetivy ťahané z toho istého bodu, sa nazýva vpísaný uhol.
TEOREMA Vpísaný uhol sa meria polovicou oblúka, ktorý pretína.
Dôsledky:
všetky vpísané uhly založené na rovnakom oblúku sú rovnaké;
Vpísaný uhol založený na priemere je pravý uhol.
TEOREMA Uhol, ktorého vrchol leží vo vnútri kruhu, sa meria polovicou súčtu dvoch oblúkov uzavretých medzi jeho stranami
TEOREMA Uhol, ktorého vrchol leží mimo kruhu a ktorého strany pretínajú kruh, sa meria polovičným rozdielom dvoch oblúkov uzavretých medzi jeho stranami.
TEOREMA Uhol tvorený dotyčnicou a tetivou sa meria polovicou oblúka obsiahnutého v uhle.
Úlohy s riešením
1. Nájdite uhol ABC. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Riešenie.
Zostrojte štvorec so stranou AC.
Potom je možné vidieť, že uhol ABC je založený na kruhoch, to znamená na oblúku 90º. Vpísaný uhol je polovica oblúka, ktorý zachytáva, takže 
2. Tetiva AB rozdeľuje kruh na dve časti, ktorých hodnoty stupňov sú vo vzťahu 6:12. Pod akým uhlom je táto tetiva viditeľná z bodu C, ktorý patrí menšiemu oblúku kružnice? Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Riešenie.
Z jedného bodu C akord AB videné pod uhlom ACB. Nech je najväčšia časť kruhu 12x, potom menšia je 6x. Celý kruh je 360º.
Dostaneme rovnicu 12x + 6x \u003d 360º. Odkiaľ x \u003d 20º.
Rohový DIA spočíva na veľkom oblúku kruhu, ktorý sa rovná 12 20º=240º.
Vpísaný uhol sa rovná polovici oblúka, na ktorom spočíva, čo znamená, že uhol spočíva na veľkom oblúku ACB rovná sa
Odpoveď 120º
3. Akord AB pretína oblúk kruhu pod uhlom 84º. Nájdite uhol ABC medzi touto tetivou a dotyčnicou ku kružnici cez bod B. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.
Riešenie.
Rohový ABC je uhol medzi dotyčnicou a tetivou. Meria sa polovicou oblúka uzavretého vo vnútri rohu. Oblúk vo vnútri uhla je 84º 
4. Do kruhu s polomerom 36 je nakreslená dotyčnica z bodu vzdialeného od stredu o vzdialenosť rovnajúcu sa 85. Nájdite dĺžku dotyčnice.
Nech OA = 36, OS = 85. Polomer nakreslený k bodu dotyku je kolmý na dotyčnicu. Z pravouhlého trojuholníka AOC podľa Pytagorovej vety získame
5. Do kruhu z bodu OD dotyčnica nakreslená mimo nej AU a sekant CD, pretínajúci sa kruh v bode AT. Súčet dĺžok dotyčnice a sečny je 30 cm a vnútorný segment sečny je o 2 cm kratší ako dotyčnica. Nájdite dĺžky dotyčnice a sečny.
Nechaj AC=x a CD=y. Potom x+y= 30 a DB=AC-2=X-2 , BC=AC-DB=y-DB=y-(x-2)=y-x+2. Podľa vety, ak sa k nemu vedie dotyčnica a sečna z bodu mimo kruhu, potom sa druhá mocnina dotyčnice rovná súčinu sečny jej vonkajšou časťou, tj. 
. Potom 
Dostávame systém 
. X=80 nie je vhodné, pretože pri>0 Preto dostávame
Tangenta AU=12, sekta CD=18.
Odpoveď 12 a 18
6. Nájdite oblasť S tieňovaného sektora. Uveďte svoju odpoveď S/π.
Na tomto výkrese postavme štvorec
Potom je zrejmé, že sektor je jedna štvrtina kruhu.
Polomer je polovica uhlopriečky štvorca, ktorého strana je 4.
Potom vypočítame plochu sektora podľa vzorca
Potom sa požadovaná hodnota rovná
| Aký je vpísaný uhol založený na priemere kruhu? Uveďte svoju odpoveď v stupňoch. | Nájdite tetivu, na ktorej spočíva uhol 90º, vpísaný do kruhu s polomerom 1. |
Čo je ostrý vpísaný uhol, ktorý zachytáva tetivu rovnajúcu sa polomeru kružnice? Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  | Nájdite tetivu, na ktorej spočíva uhol 30º, vpísaný do kruhu s polomerom 3.  |
Aký je tupý vpísaný uhol zovretý tetivou, ktorá sa rovná polomeru kružnice? Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  | Polomer kružnice je 1. Nájdite hodnotu ostrého vpísaného uhla na základe tetivy rovnajúcej sa . Uveďte svoju odpoveď v stupňoch. |
Polomer kružnice je 1. Nájdite hodnotu tupého vpísaného uhla na základe tetivy rovnajúcej sa . Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  | Nájdite tetivu, na ktorej spočíva uhol 120º, vpísaný do kruhu s polomerom .  |
Stredový uhol je o 34° väčší ako ostrý vpísaný uhol založený na rovnakom kruhovom oblúku. Nájdite vpísaný uhol. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  |  |
Nájdite uhol ABC. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  | Nájdite hodnotu stupňa oblúka AC kružnice, na ktorej spočíva uhol ABC. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  |
| Nájdite hodnotu stupňa oblúka BC kruhu, na ktorom spočíva uhol BAC. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch. | Uhol ACO je 25º, kde O je stred kruhu. Jeho strana CA sa dotýka kruhu. Nájdite veľkosť menšieho oblúka AB kruhu obsiahnutého v tomto uhle. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  |
Nájdite uhol ACO, ak jeho strana CA je dotyčnicou ku kružnici, O je stred kružnice a hlavný oblúk AD kružnice obsiahnutej v tomto uhle je 110º. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  | Nájdite uhol ACB, ak sú vpísané uhly ADB a DAE založené na oblúkoch kruhu, ktorých hodnoty stupňov sú 116° a 36°. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  |
Uhol ACB je 50º. Hodnota stupňa oblúka AB kruhu, ktorý neobsahuje body D a E, sa rovná 130º. Nájdite uhol DAE. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  | Chord AB prepína kruhový oblúk pod uhlom 86º. Nájdite uhol ABC medzi touto tetivou a dotyčnicou ku kružnici cez bod B. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.  |
Uhol medzi tetivou AB a dotyčnicou BC ku kružnici je 28º. Nájdite veľkosť menšieho oblúka odčítanú od tetivy AB. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  | Tangenty AC a BC sú nakreslené cez konce A, B kruhového oblúka 72°. Nájdite uhol ACB. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  |
Tangenty CA a CB ku kružnici zvierajú uhol ACB rovný 112°. Nájdite hodnotu menšieho oblúka AB odpočítanú od bodov dotyku. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  | Nájdite uhol ACO, ak jeho strana CA je dotyčnicou ku kružnici, O je stred kružnice a menší oblúk kružnice AB obsiahnutý v tomto uhle sa rovná 62º. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.  |
Ciele lekcie: formovanie vedomostí o téme, organizácia práce na asimilácii pojmov, vedeckých faktov.
Vzdelávacie úlohy:
- zaviesť pojem vpísaného uhla;
- naučiť sa rozpoznávať vpísané uhly na výkresoch;
- predvídať dodatočnú konštrukciu obsahujúcu vpísaný uhol vedúci k riešeniu problému;
- zvážiť vetu o vpísanom uhle a jej dôsledky;
- ukázať aplikáciu vety pri riešení problémov;
- dozvedieť sa o optických ilúziách
Vzdelávacie úlohy: aktivácia samostatnej kognitívnej činnosti žiakov. formovanie zručností tímovej práce, rozvoj zmyslu pre zodpovednosť za svoje poznatky, kultúra komunikácie, oboznamovanie sa s poznatkami optického klamu a jeho aplikácie v praxi, výchova k estetickej kultúre.
Vývojové úlohy: pokračovať v rozvoji schopnosti analyzovať, porovnávať, porovnávať, zdôrazňovať hlavnú vec, vytvárať vzťahy medzi príčinami a následkami; zlepšiť grafickú kultúru.
Technológia: problematické štúdium s využitím informačných technológií.
Typ lekcie: lekcia o formovaní nových vedomostí.
Forma lekcie: lekcia - vyhlásenie o probléme.
Vybavenie hodiny: prezentácia: prezentácia, introspekčné hárky.
Etapy lekcií
- Motivácia k učebným aktivitám -1 minúta.
- Uveďte problém a vytvorte plán na jeho vyriešenie – 2 minúty.
- Aktualizácia vedomostí - 4 minúty.
- Objavenie nového konceptu – 10 minút.
- Výskumná práca na identifikáciu vlastností nového konceptu - 4 minúty.
- Aplikácia nových poznatkov – 11 minút.
- Hra "Veriť - neveriť" na upevnenie nového teoretického materiálu - 2 minúty.
- Individuálna práca s testom - 5 minút.
- Aplikácia nových poznatkov v neznámych situáciách – 4 minúty.
- Odraz - 3 minúty.
Počas vyučovania
1. Motivácia k učebným aktivitám
Ahojte chalani. Sadni si. Dúfam, že vedomosti, ktoré získate v lekcii, vám budú v živote užitočné.
2. Uveďte problém a vytvorte plán jeho riešenia
Vzhľadom na kvetinový záhon okrúhleho tvaru, na jednom z akordov, z ktorých sú vysadené ruže. Na aké rôzne miesta v záhone by mali byť zasadené tri ružové kríky tak, aby z týchto bodov boli všetky ruže viditeľné z rovnakého uhla? (Snímka 2). Prezentácia
Aké riešenia máte na tento problém?
Nastáva problémová situácia. Študentom chýbajú vedomosti.
Ak chcete odpovedať na túto otázku, musíte použiť vlastnosti vpísaného uhla. Potom si spoločne zostavme plán hodiny. Aké sú ciele lekcie a ako ich dosiahneme? Počas diskusie sa na obrazovke objaví plán hodiny. (C ležať 3)
3. Aktualizácia vedomostí
Učiteľ: Definujte uhol. Čo sa nazýva stredový uhol? (C ležať 4)
Úlohy (Snímka 5
4. Objavenie nového konceptu
Teraz vidíte šesť kresieb. Do akých skupín by ste ich rozdelili a prečo? (Snímka 6)
Ostré, rovné, tupé.
Rohy 1, 3, 5 a 2, 4, 6 podľa umiestnenia vrchola rohu? Ako sa nazývajú uhly 1, 3, 5?
A uhly 2, 4, 6 sa nazývajú vpísané. O tom si dnes povieme.
V čom sú si uhly ABC a KRO podobné a v čom sa líšia? (Snímka 7)
Po zodpovedaní tejto otázky sa študenti pokúsia definovať vpísaný uhol, po ktorom učiteľ zobrazí formuláciu, pričom zdôrazní dôležité body: (C ležať 8)
- vrchol leží na kruhu,
- strany pretínajú kruh.
Nájdite obrázky, ktoré zobrazujú vpísané uhly.
Cvičenie. Vyjadrite hodnotu vpísaného uhla, pričom viete, ako je hodnota stredového uhla vyjadrená cez oblúk, na ktorom spočíva. Pracujúci s snímka 10
Akú dodatočnú budovu je potrebné urobiť na dokončenie špecifikovanej úlohy? Ak študenti hneď neuhádnu, objasnite: ktorý stredový uhol by mal byť spojený s týmto vpísaným uhlom?
Ďalej študenti vidia, že výsledný stredový uhol je vonkajším uhlom rovnoramenného trojuholníka a dospejú k záveru, že jeden z uhlov (najmä vpísaný), rovný ich polovičnému súčtu, sa rovná polovici stredného, t.j. polovice oblúka, na ktorom spočíva.
Je daná presná formulácia vety a premietnutá na obrazovku. (C ležať 11).
Žiaci prenesú kresbu do zošita ( snímka 12), potom si zapíšte stav do zošita. Jeden zo študentov komentuje poznámky. Ďalší študent zapíše a komentuje dôkaz vety. Konzistentnosť a úplnosť návrhu sa kontroluje pomocou snímka 12). Dôkaz vety je teda formalizovaný pre prípad, keď strana vpísaného uhla prechádza stredom kružnice.
Prípad, keď stred kruhu leží vo vnútri rohu, sa považuje za slovne použitie snímka 13.
Ďalší prípad, keď stred kruhu leží mimo rohu, učiteľ ponúka, že si to zdôvodníte sami pri domácej príprave. (C ležať 14). V triede podľa nákresu snímka 15 zistite, že daný vpísaný uhol možno považovať za rozdiel dvoch uhlov, z ktorých každý má jednu stranu, ktorá je ľubovoľnou stranou daného uhla a druhá strana je spoločná a prechádza stredom kružnice.
5. Výskumná práca na identifikáciu vlastností nového konceptu
Pracujúci s snímka 15.
Cvičenie. Ako rýchlo zostrojiť niekoľko uhlov rovných danému uhlu pomocou kružidla a pravítka? Všimli si, že ich spôsoby nie sú racionálne. Vzniká problematická situácia: staré poznatky neposkytujú racionálne riešenie problému.
Zamyslite sa nad tým, ako môžete tento problém vyriešiť pomocou nového materiálu. Je možné nakresliť kružnicu prechádzajúcu vrcholom uhla bez určenia stredu a zostrojiť rôzne vpísané uhly založené na rovnakom oblúku. Problémová situácia je vyriešená. Potom je formulovaný dôsledok 1: „Vpísané uhly založené na rovnakom oblúku sú rovnaké.“
Práca vedúca k formulácii záveru 2 sa vykonáva podobne. (C ležať 16)
Ako rýchlo nakresliť pravý uhol pomocou kružidla a pravítka? Objasňuje sa, že „rýchlo“ by sa malo chápať ako „minimálny počet krokov“. Dostávame sa k iracionalite tejto konštrukcie. Ak žiaci neuhádli, ako stavbu dokončiť, učiteľ položí otázku: na ktorom oblúku má spočívať pravý vpísaný uhol? Potom študenti načrtnú postup výstavby krok za krokom:
- Nakreslite kružnicu s ľubovoľným polomerom.
- Nakreslite priemer.
- Vyberte ľubovoľný bod na kruhu okrem koncov priemeru.
- Nakreslite lúče z vybraného bodu cez konce priemeru.
Potom učiteľ hovorí, že v tejto konštrukcii bol použitý dôsledok 2 z vety o vpísanom uhle. Skúste to sformulovať.
Upravené znenie sa premieta na obrazovku. ( Snímky 17-19)
6. Uplatňovanie nových poznatkov
Riešenie problémov na konsolidáciu nového materiálu. Pracujúci s snímky 20-26.
7. Hra na opakovanie na upevnenie teoretického materiálu. (C ležať 27)
Hra "Veriť - neveriť"
- Veríte, že ak je hodnota stredového uhla 90˚, potom je uhol vpísaný na základe tohto oblúka 45˚?
- Veríte, že úsečky dotyčníc ku kružnici sú rovnaké a zvierajú rovnaké uhly s priamkou prechádzajúcou stredom kružnice? Veríte, že uhol prechádzajúci stredom kružnice sa nazýva jej stredový uhol?
- Veríte, že vpísaný uhol sa meria polovicou oblúka, ktorý preklenie?
- Veríte, že veľkosť stredového uhla je dvakrát väčšia ako veľkosť oblúka, na ktorom spočíva?
- Veríte, že vpísaný uhol založený na polkruhu je 180˚?
- Veríte, že uhol, ktorého strany pretínajú kruh nazývaný vpísaný uhol?
- Veríte, že vpísané uhly založené na rovnakom oblúku sú rovnaké?
- Veríte, že pri ďalšom štúdiu materiálu budú s kruhom spojené nielen uhly, ale aj trojuholníky a štvoruholníky?
8. Samostatná práca s testom. (C leží 28-30)
Odpoveďové hárky sa odovzdajú vyučujúcemu. Učiteľ potom komentuje riešenia.
Možnosť 1.
1. Uhol DAB je o 38° menší ako uhol AOB. Nájdite súčet uhlov AOB a DAB
a) 96°; b) 114°; c) 104°; d) 76°;
2. MP - priemer, O - stred kruhu. OM=OK=MK. Nájdite uhol RKO.
a) 60°; b) 40°; c) 30°; d) 45°;
3. Uhol ABC je vpísaný, uhol AOC je stredový. Nájdite uhol ABC, ak uhol AOC=126°
a) 112°; b) 123°; c) 117°; d) 113°;
Možnosť 2.
1. Uhol MSC je o 34 ° menší ako uhol IOC. Nájdite súčet uhlov MSC a IOC.
a) 112°; b) 102°; c) 96°; d) 68°;
2. AC je priemer kruhu, O je jeho stred. AB=OB=OA. Nájdite uhol OBC.
a) 50°; b) 60°; c) 30°; d) 45°;
3. O - stred kruhu, uhol L = 136 °. Nájdite uhol B.
a) 292°; b) 224°; c) 112°; d) 146°;
Odpovede na úlohy sa kontrolujú po vyplnení testu.
| Úlohy | 1 | 2 | 3 |
| 1 možnosť | B | AT | AT |
| Možnosť 2 | B | AT | AT |
9. Uplatňovanie nových poznatkov v neznámych situáciách
a) Práca s snímky 31-33.
Učiteľ: „Doma ste riešili problém výpočtu uhlov päťcípej hviezdy vpísanej do kruhu. Ako si to vyriešil?"
Ako vyriešiť tento problém pomocou vety o vpísanom uhle.
Metóda II: Keď vrcholy päťuholníkovej hviezdy rozdelia kruh na rovnaké oblúky, problém sa vyrieši veľmi jednoducho: 360°: 5:2 *5=180°.
b) Analýza matematického sofizmu o aplikácii vety o hodnote vpísaného uhla.
Tetiva, ktorá neprechádza stredom, sa rovná priemeru. (C ležal 34-36) Nájdite chybu v uvažovaní.
Riešenie. Nech je priemer AB nakreslený v kruhu. Cez bod B nakreslíme nejakú tetivu BC, ktorá neprechádza stredom, potom cez stred tejto tetivy D a bod A nakreslíme novú tetivu AE. Nakoniec sú body E a C spojené priamkou. Zvážte ▲ABD a ▲EDC. V týchto trojuholníkoch: BD = DC (podľa konštrukcie), Ð A = Ð C (ako je napísané, založené na rovnakom oblúku). Okrem toho Ð BDA = Ð EDC (ako vertikálne). Ak sa strana a dva uhly jedného trojuholníka rovnajú strane a dvom uhlom iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné. znamená,
▲ BDA = ▲ EDC av rovnakých trojuholníkoch protiľahlé rovnaké uhly ležia rovnaké strany.
Preto AB=EC.
Nájdite chybu v uvažovaní.
c) Test na optickú ilúziu podľa nákresov s alternatívnou odpoveďou. ( Snímky 37-39)
Ukážte, akú iluzórnu deformáciu spôsobujú ostré stredové uhly a vpísané uhly.
Test1. Tu je iluzórna deformácia spôsobená ostrými stredovými uhlami. Uhly AOB, BOC, COD sú síce rovnaké, ale kvôli mnohým ostrým uhlom, pri ktorých sú tieto dva uhly zlomené, predstierajú, že sú väčšie ako priemerný uhol.
Test 2-3. Dominantné sú tu kruhy. Uhly vpísané do kruhu tvoria v prvom prípade štvorec a v druhom pravidelný trojuholník. Tieto figúry sa v dôsledku mnohých kruhov dávajú do podoby figúrok blízko štvorca a trojuholníka. Strany sa zdajú byť dovnútra konkávne.
Takže ilúziu môžeme aplikovať v praxi, v každodennom živote. Napríklad s jeho pomocou môžete skryť nedostatky v tvare tváre, postavy.
10. Reflexia
Vráťme sa k plánu hodiny a uvidíme, či sme odpovedali na všetky otázky?
Neodpovedali sme na jednu otázku. Ako teda zasadiť tri ruže? (Snímka 40 – 41)
Po zvládnutí vety o hodnote vpísaného uhla v kruhu sme dospeli k záveru, pretože zo všetkých bodov kružnice, okrem koncov tetivy, je táto tetiva viditeľná pod rovnakým uhlom, kríky ruží môžeme vysadiť v ktoromkoľvek bode kruhu záhona, okrem bodov M a N. Toto je jeden praktických aplikácií vety o hodnote vpísaného uhla v kruhu.
Na konci hodiny môžu študenti dostať na vyplnenie dotazník, ktorý im umožňuje vykonať sebaanalýzu, kvalitatívne a kvantitatívne hodnotenie hodiny, pričom okrem toho môžu byť formulované úlohy na zdôvodnenie ich odpoveď:
1. Na hodine som pracoval ...;
2. S mojou prácou na lekcii som ...;
3. Lekcia sa mi zdala ...;
4. Na lekciu I ...;
5. Materiál na lekciu pre mňa bol...;
6. Domáca úloha sa mi zdá ...
Domáca úloha. (C ležať 42)
- S. 71, naučte sa definíciu vpísaného uhla;
- naučiť sa vetu o vpísanom uhle (zapísaním dôkazu 3 prípadov) a dva dôsledky z nej;
- № 654 № 656 № 657.
Bibliografia:
- Geometria: Proc. Pre 7-9 buniek. všeobecné obrázky. inštitúcie / L.S.Atanasyan, V.F.Butuzov, S.B. Kadomtsev a ďalší - 12. vyd., - M .: Vzdelávanie, 2002
- Ziv B.G., Meyler V.M., Didaktické materiály o geometrii pre 8. ročník. – 6. vyd. - M .: Vzdelávanie, 2002
- Smirnova I.M., Smirnov V.A. Ústne cvičenia z geometrie pre ročníky 7-11. Kniha pre učiteľa. M.; Osvietenie, 2003
- Rabinovič E.M. Úlohy a cvičenia na hotových výkresoch. Geometria ročníky 7–9. "Ileksa", "Gymnasium", Moskva-Charkov, 2003
COR a internetové stránky:
- Dielňa. Multimediálne prezentácie na hodiny matematiky. http://www.intergu.ru/infoteka/
- Internetový stav učiteľov v infotéke-matematike. http://www.intergu.ru/infoteka/
- CER z portálu Creative Teachers Network.
Vpísané uhly Veta o vpísanom uhle 1 prípad Lúč BO sa zhoduje so stranou uhla ABC Veta o vpísanom uhle 1 prípad Lúč BO sa zhoduje so stranou uhla ABC AOB je rovnoramenný, pretože OB \u003d OA \u003d R, čo znamená B \u003d A. 2. COA je vonkajší uhol, preto COA \u003d OVA + OAB COA \u003d 2 OVA, čo znamená OVA \u003d ½ SOA CBA \u003d ½ AC.
°
Opakovanie hry „Verte tomu alebo nie“ Veríte, že ak je hodnota stredového uhla 90˚, potom je uhol vpísaný na základe tohto oblúka 45˚? Veríte, že úsečky dotyčníc ku kružnici sú rovnaké a zvierajú rovnaké uhly s priamkou prechádzajúcou stredom kružnice? Veríte, že uhol prechádzajúci stredom kruhu sa nazýva jeho stredový uhol? Veríte, že vpísaný uhol sa meria polovicou oblúka, ktorý preklenie? Veríte, že veľkosť stredového uhla je dvakrát väčšia ako veľkosť oblúka, na ktorom spočíva? Veríte, že vpísaný uhol založený na polkruhu je 180˚? Veríte, že uhol, ktorého strany pretínajú kružnicu, sa nazýva vpísaný uhol? Veríte, že vpísané uhly založené na rovnakom oblúku sú rovnaké? Veríte, že pri ďalšom štúdiu materiálu budú s kruhom spojené nielen uhly, ale aj trojuholníky a štvoruholníky? Nie, segmenty dotyčníc ku kružnici (nakreslené z jedného bodu) sú rovnaké a zvierajú rovnaké uhly s priamkou prechádzajúcou cez (tento bod a) stred kružnice. ÁNO, ak je hodnota stredového uhla 90˚, potom je uhol vpísaný na základe tohto oblúka 45˚. Nie, uhol prechádzajúci (vychádzajúci) stredom kruhu sa nazýva jeho stredový uhol. Áno, vpísaný uhol sa meria polovicou oblúka, ktorý pokrýva. Nie, hodnota stredového uhla je dvakrát väčšia (rovná sa) ako hodnota oblúka, na ktorom spočíva. Nie, vpísaný uhol založený na polkruhu je 180˚ (vpravo). Nie, uhol, ktorého strany pretínajú kružnicu (a vrchol leží na kružnici), sa nazýva vpísaný uhol. Áno, vpísané uhly zvierajúce rovnaký oblúk sú rovnaké. Áno, pri ďalšom štúdiu materiálu budú s kruhom spojené nielen uhly, ale aj trojuholníky a štvoruholníky.
Vpísané uhly Práca na teste s naprogramovanou kontrolou riešenia. Variant Angle DAB je o 38° menší ako uhol AOB. Nájdite súčet uhlov AOB a DAB a) 96 °; b) 114 °; c) 104°; d) 76°; 2. MP - priemer, O - stred kruhu. OM=OK=MK. Nájdite uhol RKO. a) 60°; b) 40°; c) 30°; d) 45°; 3. Uhol ABC je vpísaný, uhol AOC je stredový. Nájdite uhol ABC, ak je uhol AOC \u003d 126 ° a) 112 °; b) 123°; c) 117°; d) 113°; Variant Uhol MSC je o 34° menší ako uhol IOC. Nájdite súčet uhlov MSC a IOC. a) 112°; b) 102°; c) 96°; d) 68°; 2. AC je priemer kruhu, O je jeho stred. AB=OB=OA. Nájdite uhol OBC. a) 50°; b) 60°; c) 30°; d) 45°; 3. O - stred kruhu, uhol L = 136 °. Nájdite uhol B. a) 292 °; b) 224°; c) 112°; d) 146°;
Tetiva, ktorá neprechádza stredom, sa rovná priemeru. Nech je priemer AB nakreslený v kruhu. Cez bod B nakreslíme tetivu BC neprechádzajúcu stredom, potom stredom tejto tetivy D a bod A nakreslíme novú tetivu AE. Nakoniec sú body E a C spojené priamkou. Zvážte ABD a EDC. V týchto trojuholníkoch: BD = DC (podľa konštrukcie), A = C (ako je napísané, založené na rovnakom oblúku). Okrem toho, BDA = EDC (ako vertikálne). Ak sa strana a dva uhly jedného trojuholníka rovnajú strane a dvom uhlom iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné. To znamená, že BDA \u003d EDC a rovnaké strany ležia v rovnakých trojuholníkoch oproti rovnakým uhlom. Preto AB=EC.
Nájdite chybu Podľa vety o rovnosti trojuholníka: Ak sa strana a dva susediace uhly jedného trojuholníka rovnajú strane a dva priľahlé uhly iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké. A v našom prípade uhol A nesusedí so stranou BD.
Vpísané uhly Test optickej ilúzie na základe nákresov s alternatívnou odpoveďou. Optický klam pomerne často pozorujeme a dokonca ho aj využívame v praxi, no o jeho podstate vieme veľmi málo. Ilúziu vízie využívajú architekti pri stavbe budov, módni návrhári pri tvorbe modelov a umelci pri tvorbe scenérií. Vieme, že svetlo sfarbené telo vyzerá väčšie ako tmavo sfarbené telo rovnakej veľkosti. Existujú dôvody, ktoré spôsobujú optické ilúzie. Vpísané uhly Test 2 Test 3 Test 2 Test 3 Vpísané do kruhu: 1. štvorec 2. postava blízko štvorca Test 2, 3: Dominantné sú tu kruhy. Uhly vpísané do kruhu tvoria v prvom prípade štvorec a v druhom pravidelný trojuholník. Tieto figúry sa v dôsledku mnohých kruhov dávajú do podoby figúrok blízko štvorca a trojuholníka. Strany sa zdajú byť dovnútra konkávne. Takže ilúziu môžeme aplikovať v praxi, v každodennom živote. Napríklad s jeho pomocou môžete skryť nedostatky v tvare tváre, postavy. Do kruhu vpísané: 1. trojuholník 2. obrazec blízko trojuholníka
Vpísané uhly zo všetkých bodov kružnice, okrem koncov tetivy, je táto tetiva viditeľná pod rovnakým uhlom, kríky ruží môžeme vysadiť v ktoromkoľvek bode kruhu záhona, okrem bodov M a N. Toto je jeden praktických aplikácií vety o hodnote vpísaného uhla v kruhu.
Domáca úloha vpísaných uhlov. 71, naučte sa definíciu vpísaného uhla; naučiť sa vetu o vpísanom uhle (zapísaním dôkazu 3 prípadov) a dva dôsledky z nej;
Výpočet uhla II
- Uhol A štvoruholníka ABCD vpísaného do kruhu je 126 o . Nájdite uhol C tohto štvoruholníka. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Strany štvoruholníka ABCD AB, BC, CD a AD pretínajú oblúky opísanej kružnice, ktorej hodnoty stupňov sú 63 o, 62 o, 90 o a 145 o. Nájdite uhol B tohto štvoruholníka. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Body A, B, C a D, umiestnené na kružnici, rozdeľujú túto kružnicu na štyri oblúky AB, BC, CD a AD, ktorých hodnoty stupňov súvisia ako 1: 4: 12: 19. Nájdite uhol A štvoruholníka ABCD. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Body A, B, C a D, umiestnené na kružnici, rozdeľujú túto kružnicu na štyri oblúky AB, BC, CD a AD, ktorých hodnoty stupňov súvisia ako 1: 5: 10: 20. Nájdite uhol A štvoruholníka ABCD. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Štvoruholník ABCD je vpísaný do kruhu. Uhol ABC je 58o, uhol CAD je 43o. Nájdite uhol ABD. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Dva uhly štvoruholníka vpísaného do kruhu sú 25 o a 51 o . Nájdite najväčší zo zostávajúcich rohov. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Uhly A, B a C štvoruholníka ABCD sú vo vzťahu 1 : 13 : 17. Nájdite uhol D, ak je možné okolo tohto štvoruholníka opísať kružnicu. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Stredový uhol je o 45° väčší ako ostrý vpísaný uhol založený na rovnakom kruhovom oblúku. Nájdite vpísaný uhol. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Stredový uhol je o 47° väčší ako ostrý vpísaný uhol založený na rovnakom kruhovom oblúku. Nájdite vpísaný uhol. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Nájdite vpísaný uhol na základe oblúka, ktorý tvorí kruh. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Nájdite vpísaný uhol na základe oblúka, ktorý je 20% kruhu. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Nájdite vpísaný uhol založený na oblúku, ktorý je 10% kruhu. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Oblúk kružnice AC, ktorá neobsahuje bod B, je 180 o. A oblúk kruhu BC, ktorý neobsahuje bod A, je 45 o . Nájdite vpísaný uhol ACB. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Body A, B a C, ktoré sa nachádzajú na kruhu, ho rozdeľujú na tri oblúky, ktorých hodnoty stupňov súvisia ako 1: 4: 13. Nájdite najväčší uhol trojuholníka ABC. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- AC a BD sú priemery kruhu so stredom O. Uhol DIA je 35 o. Nájdite uhol AOD. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- AC a BD sú priemery kruhu so stredom O. Uhol DIA je 39 o. Nájdite uhol AOD. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Tetiva AB odpočítava oblúk kružnice do 6 o. Nájdite ostrý uhol ABC medzi touto tetivou a dotyčnicou ku kružnici cez bod B. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.
- Tetiva AB odpočítava oblúk kružnice na 114 o. Nájdite ostrý uhol ABC medzi touto tetivou a dotyčnicou ku kružnici cez bod B. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.
- Do uhla C s hodnotou 107 o je vpísaná kružnica, ktorá sa dotýka strán uhla v bodoch A a B. Nájdite uhol AOB, kde bod O je stred kružnice. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Dotyčnice v bode A a B ku kružnici so stredom O sa pretínajú pod uhlom 2 o. Nájdite uhol ABO. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Nájdite uhol CDB, ak sú vpísané uhly ADB a ADC založené na kruhových oblúkoch, ktorých hodnoty stupňov sú 67 o a 25 o. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
- Uhol medzi stranou pravidelného uholníka vpísaného do kruhu a polomerom tejto kružnice nakreslenej do jedného z vrcholov strany je 75 o. Nájsť .
- Uhol medzi stranou pravidelného uholníka vpísaného do kruhu a polomerom tejto kružnice nakreslenej do jedného z vrcholov strany je 54 o. Nájsť .
- Uhol medzi stranou pravidelného uholníka vpísaného do kruhu a polomerom tejto kružnice nakreslenej do jedného z vrcholov strany je 30 o. Nájsť .
Centrálny roh je uhol, ktorého vrchol je v strede kruhu.
Vpísaný uhol Uhol, ktorého vrchol leží na kružnici a ktorého strany ju pretínajú.
Na obrázku sú znázornené stredové a vpísané uhly, ako aj ich najdôležitejšie vlastnosti.
takze hodnota stredového uhla sa rovná uhlovej hodnote oblúka, na ktorom spočíva. To znamená, že stredový uhol 90 stupňov bude založený na oblúku rovnajúcom sa 90 °, teda kruhu. Stredový uhol rovný 60° je založený na oblúku 60 stupňov, teda na šiestej časti kruhu.
Hodnota vpísaného uhla je dvakrát menšia ako stredový uhol založený na rovnakom oblúku.
Na vyriešenie problémov tiež potrebujeme pojem „akord“.
Rovnaké stredové uhly sú podporené rovnakými tetivami.
1. Aký je vpísaný uhol založený na priemere kruhu? Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Vpísaný uhol založený na priemere je pravý uhol.
2. Stredový uhol je o 36° väčší ako ostrý vpísaný uhol založený na rovnakom kruhovom oblúku. Nájdite vpísaný uhol. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Stredový uhol nech je x a vpísaný uhol založený na tom istom oblúku je y.
Vieme, že x = 2y.
Preto 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Polomer kružnice je 1. Nájdite hodnotu tupého vpísaného uhla na základe tetivy rovnajúcej sa . Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Nech je akord AB . Tupý vpísaný uhol založený na tejto tetive bude označený α.
V trojuholníku AOB sa strany AO a OB rovnajú 1, strana AB sa rovná . Takéto trojuholníky sme už videli. Je zrejmé, že trojuholník AOB je pravouhlý a rovnoramenný, to znamená, že uhol AOB je 90 °.
Potom sa oblúk ASV rovná 90° a oblúk AKB sa rovná 360° - 90° = 270°.
Vpísaný uhol α spočíva na oblúku AKB a rovná sa polovici uhlovej hodnoty tohto oblúka, t.j. 135°.
odpoveď: 135.
4. Tetiva AB rozdeľuje kruh na dve časti, ktorých hodnoty stupňov sú vo vzťahu 5:7. Pod akým uhlom je táto tetiva viditeľná z bodu C, ktorý patrí menšiemu oblúku kružnice? Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Hlavnou vecou v tejto úlohe je správne kreslenie a pochopenie stavu. Ako chápete otázku: "Pod akým uhlom je tetiva viditeľná z bodu C?"
Predstavte si, že sedíte v bode C a potrebujete vidieť všetko, čo sa deje na akorde AB. Takže ako keby akord AB bol plátno v kine :-)
Je zrejmé, že musíte nájsť uhol ACB.
Súčet dvoch oblúkov, na ktoré tetiva AB rozdeľuje kružnicu, je 360°, t.j.
5x + 7x = 360°
Preto x = 30° a potom vpísaný uhol ACB spočíva na oblúku rovnajúcom sa 210°.
Hodnota vpísaného uhla sa rovná polovici uhlovej hodnoty oblúka, na ktorom spočíva, čo znamená, že uhol ACB sa rovná 105°.
