kde X* - jedno z riešení nehomogénneho systému (2) (napríklad (4)), (E-A + A) tvorí jadro (nulový priestor) matice A.

Urobme skeletový rozklad matrice (E-A + A):

E−A + A=Q S

kde Q n×n−r- hodnostná matica (Q) = n-r, S n-r×n-radová matica (S) = n-r.

Potom (13) môže byť napísané v nasledujúcom tvare:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

kde k=Sz.

takze všeobecný postup riešenia sústavy lineárnych rovníc využívajúce pseudoinverznú maticu možno znázorniť v tejto forme:

1. Vypočítajte pseudoinverznú maticu A + .
2. Vypočítame konkrétne riešenie nehomogénnej sústavy lineárnych rovníc (2): X*=A + b.
3. Kontrolujeme kompatibilitu systému. Na to počítame AA + b. Ak AA + b≠b, potom je systém nekonzistentný. V opačnom prípade pokračujeme v postupe.
4. vyssylyaem E-A+A.
5. Robiť rozklad kostry E-A + A=Q·S.
6. Budovanie riešenia

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

Riešenie sústavy lineárnych rovníc online

Online kalkulačka vám umožňuje nájsť všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc s podrobným vysvetlením.

Skúmať kompatibilitu systému lineárnych agebraických rovníc (SLAE) znamená zistiť, či má tento systém riešenia alebo nie. Ak existujú riešenia, uveďte koľko ich je.

Budeme potrebovať informácie z témy "Sústava lineárnych algebraických rovníc. Základné pojmy. Maticový zápis". Potrebné sú najmä také pojmy ako matica systému a rozšírená matica systému, pretože na nich je založená formulácia Kronecker-Capelliho vety. Ako obvykle, matica systému bude označená písmenom $A$ a rozšírená matica systému písmenom $\widetilde(A)$.

Kronecker-Capelliho veta

Systém lineárnych algebraických rovníc je konzistentný práve vtedy, ak sa hodnosť matice systému rovná hodnosti rozšírenej matice systému, t.j. $\rank A=\rang\widetilde(A)$.

Dovoľte mi pripomenúť, že systém sa nazýva spoločný, ak má aspoň jedno riešenie. Kronecker-Capelliho veta hovorí toto: ak $\rang A=\rang\widetilde(A)$, potom existuje riešenie; ak $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, potom tento SLAE nemá žiadne riešenia (je nekonzistentný). Odpoveď na otázku o počte týchto riešení dáva dôsledok Kronecker-Capelliho vety. Vyjadrenie následku používa písmeno $n$, ktoré sa rovná počtu premenných v danom SLAE.

Dôsledok Kronecker-Capelliho vety

1. Ak $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, potom je SLAE nekonzistentné (nemá žiadne riešenia).
2. Ak $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Ak $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, potom je SLAE určitý (má presne jedno riešenie).

Všimnite si, že formulovaná veta a jej dôsledok nenaznačujú, ako nájsť riešenie SLAE. S ich pomocou môžete len zistiť, či tieto riešenia existujú alebo nie, a ak existujú, tak koľko.

Príklad č. 1

Preskúmať SLAE $ \left \(\začiatok(zarovnané) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(zarovnané )\right.$ pre konzistenciu Ak je SLAE konzistentné, uveďte počet riešení.

Na zistenie existencie riešení daného SLAE používame Kroneckerovu-Capelliho vetu. Potrebujeme maticu systému $A$ a rozšírenú maticu systému $\widetilde(A)$, zapíšeme si ich:

$$ A=\left(\začiatok(pole) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(pole) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(pole) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \koniec(pole)\vpravo). $$

Musíme nájsť $\rang A$ a $\rang\widetilde(A)$. Existuje mnoho spôsobov, ako to urobiť, niektoré z nich sú uvedené v sekcii Matrix Rank. Na štúdium takýchto systémov sa zvyčajne používajú dve metódy: "Výpočet hodnosti matice podľa definície" alebo "Výpočet hodnosti matice metódou elementárnych transformácií".

Metóda číslo 1. Výpočet hodností podľa definície.

Podľa definície je hodnosť najvyšším poradím neplnoletých v matici , medzi ktorými je aspoň jeden iný ako nula. Štúdium zvyčajne začína s maloletými 1. rádu, ale tu je vhodnejšie pristúpiť hneď k výpočtu 3. rádu minor z matice $A$. Prvky moll tretieho rádu sú v priesečníku troch riadkov a troch stĺpcov uvažovanej matice. Keďže matica $A$ obsahuje len 3 riadky a 3 stĺpce, je determinantom matice $A$ menší tretí rád matice $A$, t.j. $\DeltaA$. Na výpočet determinantu použijeme vzorec č.2 z témy "Vzorce na výpočet determinantov druhého a tretieho rádu":

$$ \Delta A=\left| \začiatok(pole) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(pole) \right|=-21. $$

Existuje teda minorita tretieho rádu matice $A$, ktorá sa nerovná nule. Nemožno zložiť 4. rád, pretože vyžaduje 4 riadky a 4 stĺpce a matica $A$ má len 3 riadky a 3 stĺpce. Najvyšší rad minorov matice $A$, medzi ktorými je aspoň jedna nenulová jednotka, je teda rovný 3. Preto $\rang A=3$.

Musíme tiež nájsť $\rang\widetilde(A)$. Pozrime sa na štruktúru matice $\widetilde(A)$. Až po riadok v matici $\widetilde(A)$ sú prvky matice $A$ a zistili sme, že $\Delta A\neq 0$. Preto má matica $\widetilde(A)$ vedľajšiu hodnotu tretieho rádu, ktorá sa nerovná nule. Nemôžeme skladať neplnoleté deti štvrtého rádu matice $\widetilde(A)$, takže sme dospeli k záveru: $\rang\widetilde(A)=3$.

Keďže $\rang A=\rang\widetilde(A)$ je podľa Kronecker-Capelliho vety systém konzistentný, t.j. má riešenie (aspoň jedno). Na označenie počtu riešení berieme do úvahy, že náš SLAE obsahuje 3 neznáme: $x_1$, $x_2$ a $x_3$. Keďže počet neznámych je $n=3$, usúdime: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, teda podľa následku Kronecker-Capelliho vety je systém určitý, t.j. má unikátne riešenie.

Problém je vyriešený. Aké sú nevýhody a výhody tejto metódy? Najprv si povedzme o plusoch. Najprv sme potrebovali nájsť iba jeden determinant. Potom sme okamžite urobili záver o počte riešení. Zvyčajne sa v štandardných typických výpočtoch uvádzajú sústavy rovníc, ktoré obsahujú tri neznáme a majú jediné riešenie. Pre takéto systémy je táto metóda veľmi pohodlná, pretože vopred vieme, že existuje riešenie (inak by v typickom výpočte nebol žiadny príklad). Tie. potrebujeme len čo najrýchlejšie ukázať existenciu riešenia. Po druhé, vypočítaná hodnota determinantu systémovej matice (t.j. $\Delta A$) sa nám bude hodiť neskôr: keď daný systém začneme riešiť Cramerovou metódou alebo pomocou inverznej matice .

Metóda výpočtu poradia je však podľa definície nežiaduca, ak je systémová matica $A$ pravouhlá. V tomto prípade je lepšie použiť druhú metódu, o ktorej sa bude diskutovať nižšie. Okrem toho, ak $\Delta A=0$, potom nebudeme môcť povedať nič o počte riešení pre daný nehomogénny SLAE. Možno má SLAE nekonečné množstvo riešení, možno žiadne. Ak $\Delta A=0$, potom je potrebný ďalší výskum, ktorý je často ťažkopádny.

Zhrnutím toho, čo bolo povedané, poznamenávam, že prvá metóda je dobrá pre tie SLAE, ktorých systémová matica je štvorcová. Samotný SLAE zároveň obsahuje tri alebo štyri neznáme a je prevzatý zo štandardných štandardných výpočtov alebo kontrolných prác.

Metóda číslo 2. Výpočet poradia metódou elementárnych transformácií.

Táto metóda je podrobne popísaná v príslušnej téme. Vypočítame hodnosť matice $\widetilde(A)$. Prečo matice $\widetilde(A)$ a nie $A$? Ide o to, že matica $A$ je súčasťou matice $\widetilde(A)$, takže výpočtom hodnosti matice $\widetilde(A)$ súčasne zistíme hodnosť matice $A$. .

\začiatok(zarovnané) &\widetilde(A) =\left(\začiatok(pole) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(pole) \right) \rightarrow \left|\text(zameniť prvý a druhý riadok)\vpravo| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\začiatok(pole) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(pole) \right) \begin(pole) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(pole) \rightarrow \left(\začiatok (pole) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(pole) \right) \begin(pole) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(pole)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(pole) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end (pole) \vpravo) \end (zarovnané)

Maticu $\widetilde(A)$ sme zredukovali na lichobežníkový tvar . Na hlavnej diagonále výslednej matice $\left(\begin(pole) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( pole) \right)$ obsahuje tri nenulové prvky: -1, 3 a -7. Záver: poradie matice $\widetilde(A)$ je 3, t.j. $\rank\widetilde(A)=3$. Pri transformáciách s prvkami matice $\widetilde(A)$ sme súčasne transformovali prvky matice $A$ umiestnené pred čiarou. Matica $A$ je tiež lichobežníková: $\left(\begin(pole) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(pole) \right ) $. Záver: poradie matice $A$ sa tiež rovná 3, t.j. $\rank A=3$.

Keďže $\rang A=\rang\widetilde(A)$ je podľa Kronecker-Capelliho vety systém konzistentný, t.j. má riešenie. Na označenie počtu riešení berieme do úvahy, že náš SLAE obsahuje 3 neznáme: $x_1$, $x_2$ a $x_3$. Keďže počet neznámych je $n=3$, usúdime: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, preto je podľa následku Kronecker-Capelliho vety systém definovaný, t.j. má unikátne riešenie.

Aké sú výhody druhej metódy? Hlavnou výhodou je jeho všestrannosť. Je nám jedno, či je matica sústavy štvorcová alebo nie. Okrem toho sme v skutočnosti vykonali transformácie Gaussovej metódy dopredu. Zostáva už len pár krokov a mohli by sme získať riešenie tohto SLAE. Úprimne povedané, druhý spôsob sa mi páči viac ako prvý, ale výber je vecou vkusu.

Odpoveď: Daný SLAE je konzistentný a definovaný.

Príklad č. 2

Preskúmať SLAE $ \left\( \začiatok(zarovnané) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(zarovnané) \right.$ kvôli konzistencii.

Hodnoty matice sústavy a rozšírenej matice sústavy nájdeme metódou elementárnych transformácií. Rozšírená systémová matica: $\widetilde(A)=\left(\begin(pole) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(pole) \vpravo)$. Poďme nájsť požadované úrovne transformáciou rozšírenej matice systému:

Rozšírená matica systému je zredukovaná na stupňovitú formu. Ak je matica zmenšená na stupňovitý tvar, potom sa jej poradie rovná počtu nenulových riadkov. Preto $\rank A=3$. Matica $A$ (až po čiaru) je redukovaná do lichobežníkového tvaru a jej poradie je rovné 2, $\rang A=2$.

Keďže $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, potom podľa Kronecker-Capelliho vety je systém nekonzistentný (tj nemá žiadne riešenia).

Odpoveď: Systém je nekonzistentný.

Príklad č. 3

Preskúmať SLAE $ \left\( \začiatok(zarovnané) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-6 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(zarovnané) \right.$ kvôli kompatibilite.

Rozšírená systémová matica je: $\widetilde(A)=\left(\begin(pole) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \koniec(pole)\vpravo)$. Vymeňte prvý a druhý riadok tejto matice tak, aby prvý prvok prvého riadka bol jeden: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \koniec (pole) \vpravo)$.

Rozšírenú maticu systému a maticu samotného systému sme zredukovali do lichobežníkového tvaru. Hodnosť rozšírenej matice systému je rovná trom, hodnosť matice systému je tiež rovná trom. Keďže systém obsahuje $n=5$ neznámych, t.j. $\rang\widetilde(A)=\rank A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Odpoveď: systém je neurčitý.

V druhej časti rozoberieme príklady, ktoré sú často súčasťou štandardných výpočtov alebo testov vo vyššej matematike: štúdia kompatibility a riešenie SLAE v závislosti od hodnôt parametrov, ktoré sú v nej zahrnuté.

Naďalej sa zaoberáme sústavami lineárnych rovníc. Doteraz sme zvažovali systémy, ktoré majú unikátne riešenie. Takéto systémy je možné vyriešiť akýmkoľvek spôsobom: substitučná metóda("škola") podľa Cramerových vzorcov, maticová metóda, Gaussova metóda. V praxi sú však rozšírené ďalšie dva prípady, keď:

1) systém je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia);

2) systém má nekonečne veľa riešení.

Pre tieto systémy sa používa najuniverzálnejšia zo všetkých metód riešenia - Gaussova metóda. V podstate k odpovedi povedie aj „školská“ metóda, no vo vyššej matematike je zvykom používať Gaussovu metódu postupného odstraňovania neznámych. Tí, ktorí nie sú oboznámení s algoritmom Gaussovej metódy, si najskôr preštudujte lekciu Gaussova metóda

Samotné transformácie elementárnej matice sú úplne rovnaké, rozdiel bude na konci riešenia. Najprv zvážte niekoľko príkladov, kde systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné).

Príklad 1

Čo vám na tomto systéme okamžite padne do oka? Počet rovníc je menší ako počet premenných. Existuje teorém, ktorý hovorí: „Ak je počet rovníc v systéme menší ako počet premenných, potom je systém buď nekonzistentný, alebo má nekonečne veľa riešení. A zostáva len zistiť.

Začiatok riešenia je celkom obyčajný - napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru:

(jeden). V ľavom hornom kroku musíme dostať (+1) alebo (-1). V prvom stĺpci nie sú žiadne takéto čísla, takže preusporiadanie riadkov nebude fungovať. Jednotka bude musieť byť organizovaná nezávisle, a to možno vykonať niekoľkými spôsobmi. Urobili sme tak. K prvému riadku pridáme tretí riadok, vynásobený (-1).

(2). Teraz dostaneme dve nuly v prvom stĺpci. K druhému riadku pridajte prvý riadok vynásobený 3. K tretiemu riadku pridajte prvý vynásobený 5.

(3). Po dokončení transformácie je vždy vhodné zistiť, či je možné zjednodušiť výsledné reťazce? Môcť. Druhý riadok vydelíme 2 a zároveň získame požadovaný (-1) v druhom kroku. Tretí riadok vydeľte (-3).

(4). Pridajte druhý riadok k tretiemu riadku. Pravdepodobne každý venoval pozornosť zlej línii, ktorá sa ukázala v dôsledku základných transformácií:

. Je jasné, že to tak nemôže byť.

Výslednú maticu skutočne prepíšeme

späť k systému lineárnych rovníc:

Ak je výsledkom elementárnych transformácií reťazec tvaru , kdeλ je nenulové číslo, potom je systém nekonzistentný (nemá riešenia).

Ako zaznamenať koniec úlohy? Musíte si zapísať frázu:

„V dôsledku elementárnych transformácií sa získa reťazec tvaru, kde λ ≠ 0 ". Odpoveď: "Systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné)."

Upozorňujeme, že v tomto prípade neexistuje spätný pohyb Gaussovho algoritmu, neexistujú žiadne riešenia a jednoducho nie je čo nájsť.

Príklad 2

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Opäť pripomíname, že váš rozhodovací proces sa môže líšiť od nášho rozhodovacieho procesu, Gaussova metóda nestanovuje jednoznačný algoritmus, postup a samotné akcie si musíte v každom prípade uhádnuť sami.

Ešte jedna technická vlastnosť riešenia: elementárne transformácie je možné zastaviť Naraz, akonáhle riadok ako , kde λ ≠ 0 . Zvážte podmienený príklad: predpokladajme, že po prvej transformácii dostaneme maticu

.

Táto matica ešte nebola zredukovaná na stupňovitú formu, ale nie sú potrebné ďalšie elementárne transformácie, pretože sa objavila čiara formy, kde λ ≠ 0 . Malo by sa okamžite odpovedať, že systém je nekompatibilný.

Keď systém lineárnych rovníc nemá riešenia, je to takmer dar pre študenta, pretože sa získa krátke riešenie, niekedy doslova v 2-3 krokoch. Ale všetko na tomto svete je vyvážené a problém, v ktorom má systém nekonečne veľa riešení, je len dlhší.

Príklad 3:

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Existujú 4 rovnice a 4 neznáme, takže systém môže mať buď jediné riešenie, alebo nemá žiadne riešenia, alebo môže mať nekonečne veľa riešení. Čokoľvek to bolo, ale Gaussova metóda nás v každom prípade privedie k odpovedi. Toto je jeho všestrannosť.

Začiatok je opäť štandardný. Napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju uvedieme do stupňovitého tvaru:

To je všetko a báli ste sa.

(jeden). Upozorňujeme, že všetky čísla v prvom stĺpci sú deliteľné 2, takže v ľavom hornom kroku sa uspokojíme aj s dvojkou. K druhému riadku pridáme prvý riadok, vynásobený (-4). Do tretieho riadku pridáme prvý riadok, vynásobený (-2). Do štvrtého riadku pridáme prvý riadok, vynásobený (-1).

Pozor! Mnohí môžu byť v pokušení od štvrtého riadku odčítať prvá línia. Dá sa to urobiť, ale nie je to potrebné, skúsenosti ukazujú, že pravdepodobnosť chyby vo výpočtoch sa niekoľkokrát zvyšuje. Len pridáme: do štvrtého riadku pridáme prvý riadok, vynásobený (-1) - presne tak!

(2). Posledné tri riadky sú proporcionálne, dva z nich je možné vymazať. Tu je opäť potrebné ukázať zvýšená pozornosť, ale sú čiary skutočne proporcionálne? V prípade zaistenia nebude zbytočné vynásobiť druhý riadok (-1) a štvrtý riadok rozdeliť 2, čím vzniknú tri rovnaké riadky. A až potom odstráňte dve z nich. V dôsledku elementárnych transformácií sa rozšírená matica systému redukuje na stupňovitú formu:

Pri plnení úlohy v zošite je vhodné robiť si rovnaké poznámky ceruzkou kvôli prehľadnosti.

Prepíšeme zodpovedajúci systém rovníc:

„Zvyčajné“ jediné riešenie systému tu nezapácha. Zlá linka kde λ ≠ 0, tiež č. Toto je teda tretí zostávajúci prípad – systém má nekonečne veľa riešení.

Nekonečná množina riešení sústavy je stručne zapísaná vo forme tzv všeobecné systémové riešenie.

Všeobecné riešenie sústavy nájdeme pomocou spätného pohybu Gaussovej metódy. Pre sústavy rovníc s nekonečnou množinou riešení sa objavujú nové pojmy: "základné premenné" a "voľné premenné". Najprv si definujme, aké premenné máme základné a aké premenné - zadarmo. Pojmy lineárnej algebry nie je potrebné podrobne vysvetľovať, stačí si uvedomiť, že také existujú bázické premenné a voľné premenné.

Základné premenné vždy „sedia“ striktne na krokoch matice. V tomto príklade sú to základné premenné X 1 a X 3 .

Voľné premenné sú všetko zostávajúce premenné, ktoré nedostali ani krok. V našom prípade sú dve: X 2 a X 4 - voľné premenné.

Teraz potrebujete všetkybázické premenné expresné len cezvoľné premenné. Spätný pohyb Gaussovho algoritmu tradične funguje zdola nahor. Z druhej rovnice sústavy vyjadríme základnú premennú X 3:

Teraz sa pozrite na prvú rovnicu: . Najprv doň dosadíme nájdený výraz:

Zostáva vyjadriť základnú premennú X 1 cez voľné premenné X 2 a X 4:

Výsledok je to, čo potrebujete - všetky základné premenné ( X 1 a X 3) vyjadrené len cez voľné premenné ( X 2 a X 4):

V skutočnosti je všeobecné riešenie pripravené:

.

Ako napísať všeobecné riešenie? V prvom rade sa voľné premenné zapisujú do všeobecného riešenia „samy“ a striktne na svoje miesta. V tomto prípade voľné premenné X 2 a X 4 treba napísať na druhú a štvrtú pozíciu:

.

Výsledné výrazy pre základné premenné a samozrejme musí byť napísané na prvom a treťom mieste:

Zo všeobecného riešenia systému sa dá nájsť nekonečne veľa súkromné ​​rozhodnutia. Je to veľmi jednoduché. voľné premenné X 2 a X 4 sa tak volajú, lebo sa dajú dať akékoľvek konečné hodnoty. Najpopulárnejšie hodnoty sú nulové hodnoty, pretože je to najjednoduchší spôsob, ako získať konkrétne riešenie.

Nahrádzanie ( X 2 = 0; X 4 = 0) do všeobecného riešenia dostaneme jedno z konkrétnych riešení:

alebo ide o konkrétne riešenie zodpovedajúce voľným premenným s hodnotami ( X 2 = 0; X 4 = 0).

Jedni sú ďalší sladký pár, poďme nahradiť ( X 2 = 1 a X 4 = 1) do všeobecného riešenia:

t.j. (-1; 1; 1; 1) je ďalšie konkrétne riešenie.

Je ľahké vidieť, že systém rovníc má nekonečne veľa riešení pretože môžeme dať voľné premenné akýkoľvek hodnoty.

Každý konkrétne riešenie musí spĺňať každému systémová rovnica. To je základ pre „rýchlu“ kontrolu správnosti riešenia. Vezmite si napríklad konkrétne riešenie (-1; 1; 1; 1) a dosaďte ho na ľavú stranu každej rovnice v pôvodnom systéme:

Všetko sa musí spojiť. A s akýmkoľvek konkrétnym riešením, ktoré dostanete, by sa všetko malo zhodovať.

Prísne vzaté, overenie konkrétneho riešenia niekedy klame, t.j. nejaké konkrétne riešenie môže splniť každú rovnicu systému a samotné všeobecné riešenie sa v skutočnosti nájde nesprávne. Preto je overenie všeobecného riešenia v prvom rade dôkladnejšie a spoľahlivejšie.

Ako skontrolovať výsledné všeobecné riešenie ?

Nie je to ťažké, ale vyžaduje si to dosť dlhú premenu. Musíme prijať výrazy základné premenné, v tomto prípade a , a dosaďte ich na ľavú stranu každej rovnice systému.

Naľavo od prvej rovnice systému:

Získa sa pravá strana pôvodnej prvej rovnice systému.

Na ľavú stranu druhej rovnice systému:

Získa sa pravá strana pôvodnej druhej rovnice systému.

A ďalej - vľavo časti tretej a štvrtej rovnice systému. Táto kontrola je dlhšia, ale zaručuje 100% správnosť celkového riešenia. Okrem toho je v niektorých úlohách potrebné skontrolovať všeobecné riešenie.

Príklad 4:

Vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy. Nájdite všeobecné riešenie a dve súkromné. Skontrolujte celkové riešenie.

Toto je príklad „urob si sám“. Tu je mimochodom opäť počet rovníc menší ako počet neznámych, čo znamená, že je hneď jasné, že systém bude buď nekonzistentný, alebo s nekonečným počtom riešení.

Príklad 5:

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc. Ak má systém nekonečne veľa riešení, nájdite dve konkrétne riešenia a skontrolujte všeobecné riešenie

rozhodnutie: Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju prenesme do stupňovitého tvaru:

(jeden). Pridajte prvý riadok k druhému riadku. Do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený 2. Do štvrtého riadku pridáme prvý riadok vynásobený 3.

(2). K tretiemu riadku pridáme druhý riadok, vynásobený (-5). Do štvrtého riadku pridáme druhý riadok, vynásobený (-7).

(3). Tretí a štvrtý riadok sú rovnaké, jeden z nich vymažeme. Tu je taká krása:

Základné premenné sedia na schodoch, takže sú základnými premennými.

Existuje len jedna voľná premenná, ktorá nedostala krok: .

(4). Spätný pohyb. Základné premenné vyjadrujeme pomocou voľnej premennej:

Z tretej rovnice:

Zvážte druhú rovnicu a dosaďte do nej nájdený výraz:

, , ,

Zvážte prvú rovnicu a nahraďte nájdené výrazy a do nej:

Teda všeobecné riešenie s jednou voľnou premennou X 4:

Ešte raz, ako sa to stalo? voľná premenná X 4 sedí sám na svojom právoplatnom štvrtom mieste. Výsledné výrazy pre základné premenné , , sú tiež na svojich miestach.

Poďme okamžite skontrolovať všeobecné riešenie.

Do ľavej strany každej rovnice systému dosadíme základné premenné , , :

Získajú sa zodpovedajúce pravé strany rovníc, čím sa nájde správne všeobecné riešenie.

Teraz z nájdeného všeobecného riešenia dostaneme dve konkrétne riešenia. Všetky premenné sú tu vyjadrené prostredníctvom jediného voľná premenná x 4. Netreba si lámať hlavu.

Nechať byť X 4 = 0 teda je prvé konkrétne riešenie.

Nechať byť X 4 = 1 teda je ďalšie konkrétne riešenie.

odpoveď: Spoločné rozhodnutie: . Súkromné ​​riešenia:

a .

Príklad 6:

Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Všeobecné riešenie sme už skontrolovali, na odpoveď sa dá spoľahnúť. Váš postup sa môže líšiť od nášho postupu. Hlavná vec je, že všeobecné riešenia sa zhodujú. Pravdepodobne si mnohí všimli nepríjemný moment v riešeniach: veľmi často sme sa pri opačnom priebehu Gaussovej metódy museli pohrávať s obyčajnými zlomkami. V praxi to platí, prípady, keď nie sú žiadne zlomky, sú oveľa menej bežné. Pripravte sa psychicky, a čo je najdôležitejšie, technicky.

Zastavme sa pri črtách riešenia, ktoré sa v riešených príkladoch nenašli. Všeobecné riešenie systému môže niekedy obsahovať konštantu (alebo konštanty).

Napríklad všeobecné riešenie: . Tu sa jedna zo základných premenných rovná konštantnému číslu: . Nie je v tom nič exotické, to sa stáva. Je zrejmé, že v tomto prípade bude každé konkrétne riešenie obsahovať päťku na prvej pozícii.

Zriedkavo, ale existujú systémy, v ktorých počet rovníc väčšie množstvo premenné. Gaussova metóda však funguje aj v najťažších podmienkach. Rozšírenú maticu systému by ste mali pokojne uviesť do stupňovitého tvaru podľa štandardného algoritmu. Takýto systém môže byť nekonzistentný, môže mať nekonečne veľa riešení a napodiv môže mať jedinečné riešenie.

V našej rade opakujeme - aby ste sa pri riešení systému Gaussovou metódou cítili pohodlne, mali by ste si naplniť ruku a vyriešiť aspoň tucet systémov.

Riešenia a odpovede:

Príklad 2:

rozhodnutie:Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru.

Vykonané elementárne transformácie:

(1) Prvý a tretí riadok boli vymenené.

(2) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený (-6). Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený (-7).

(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený (-1).

Výsledkom elementárnych transformácií je reťazec tvaru, kde λ ≠ 0 .Systém je teda nekonzistentný.odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Príklad 4:

rozhodnutie:Napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju uvedieme do stupňovitého tvaru:

Vykonané konverzie:

(jeden). Prvý riadok vynásobený 2 bol pridaný k druhému riadku a prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

Pre druhý krok neexistuje žiadna jednotka a transformácia (2) je zameraná na jej získanie.

(2). Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený -3.

(3). Druhý a tretí riadok sa vymenili (výsledné -1 sa presunulo do druhého kroku)

(4). Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 3.

(5). Znamienko prvých dvoch riadkov bolo zmenené (vynásobené -1), tretí riadok bol vydelený 14.

Spätný pohyb:

(jeden). Tu sú základné premenné (ktoré sú na krokoch) a sú voľné premenné (kto nedostal krok).

(2). Základné premenné vyjadrujeme pomocou voľných premenných:

Z tretej rovnice: .

(3). Zvážte druhú rovnicu:, konkrétne riešenia:

odpoveď: Spoločné rozhodnutie:

Komplexné čísla

V tejto časti predstavíme koncept komplexné číslo, zvážte algebraické, trigonometrické a indikatívna forma komplexné číslo. Naučte sa tiež vykonávať operácie s komplexnými číslami: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocňovanie a odmocňovanie.

Na zvládnutie komplexných čísel nepotrebujete žiadne špeciálne znalosti z kurzu vyššej matematiky a materiál je dostupný aj pre školáka. Stačí vedieť vykonávať algebraické operácie s „obyčajnými“ číslami a zapamätať si trigonometriu.

Najprv si spomeňme na „obyčajné“ Čísla. V matematike sú tzv súbor reálnych čísel a sú označené písmenom R, alebo R (hrubé). Všetky reálne čísla sedia na známej číselnej osi:

Spoločnosť reálnych čísel je veľmi farebná - tu sú celé čísla, zlomky a iracionálne čísla. V tomto prípade každý bod číselnej osi nevyhnutne zodpovedá nejakému reálnemu číslu.

§jedna. Sústavy lineárnych rovníc.

systém zobrazenia

nazývaný systém m lineárne rovnice s n neznámy.

Tu
- neznámy, - koeficienty pre neznáme,
- voľné členy rovníc.

Ak sú všetky voľné členy rovníc rovné nule, systém sa nazýva homogénne.rozhodnutie systém sa nazýva množina čísel
, pri ich dosadení do systému namiesto neznámych sa všetky rovnice zmenia na identity. Systém je tzv kĺb ak má aspoň jedno riešenie. Kĺbový systém s unikátnym riešením je tzv istý. Tieto dva systémy sa nazývajú ekvivalent ak sú množiny ich riešení rovnaké.

Systém (1) môže byť reprezentovaný v maticovej forme pomocou rovnice

(2)

.

§2. Kompatibilita sústav lineárnych rovníc.

Rozšírenú maticu systému (1) nazývame maticou

Kroneckerova - Capelliho veta. Systém (1) je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa hodnosť systémovej matice rovná hodnote rozšírenej matice:

.

§3. Systémové riešenien lineárne rovnice sn neznámy.

Uvažujme o nehomogénnom systéme n lineárne rovnice s n neznámy:

(3)

Cramerova veta.Ak je hlavným determinantom systému (3)
, potom má systém jedinečné riešenie určené vzorcami:

tie.
,

kde - determinant získaný z determinantu výmena stĺpca do stĺpca voľných členov.

Ak
a aspoň jeden z nich ≠0, potom systém nemá žiadne riešenia.

Ak
, potom má systém nekonečne veľa riešení.

Sústavu (3) je možné riešiť pomocou jej maticového zápisu (2). Ak hodnosť matice ALE rovná sa n, t.j.
, potom matica ALE má inverznú
. Násobenie maticovej rovnice
do matice
vľavo dostaneme:

.

Posledná rovnosť vyjadruje spôsob riešenia sústav lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.

Príklad. Riešte sústavu rovníc pomocou inverznej matice.

rozhodnutie. Matrix
nedegenerované, pretože
, takže existuje inverzná matica. Vypočítajme inverznú maticu:
.

,

Cvičenie. Vyriešte systém Cramerovou metódou.

§4. Riešenie ľubovoľných sústav lineárnych rovníc.

Nech je daný nehomogénny systém lineárnych rovníc tvaru (1).

Predpokladajme, že systém je konzistentný, t.j. podmienka Kronecker-Capelliho vety je splnená:
. Ak hodnosť matice
(do počtu neznámych), potom má systém unikátne riešenie. Ak
, potom má systém nekonečne veľa riešení. Poďme si to vysvetliť.

Nech hodnosť matice r(A)= r< n. Pokiaľ ide o
, potom existuje nejaký nenulový menší poriadok r. Nazvime to základný moll. Neznáme, ktorých koeficienty tvoria základnú minor, sa nazývajú základné premenné. Zvyšné neznáme sa nazývajú voľné premenné. Preusporiadame rovnice a prečíslujeme premenné tak, aby sa táto vedľajšia nachádzala v ľavom hornom rohu matice systému:

.

najprv r riadky sú lineárne nezávislé, ostatné sú vyjadrené cez ne. Preto môžu byť tieto čiary (rovnice) vyradené. Dostaneme:

Dajme voľným premenným ľubovoľné číselné hodnoty: . Na ľavej strane necháme len základné premenné a voľné premenné presunieme na pravú stranu.

Mám systém r lineárne rovnice s r neznámy, ktorého determinant je odlišný od 0. Má jedinečné riešenie.

Táto sústava sa nazýva všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc (1). Inak: vyjadrenie základných premenných z hľadiska voľných sa nazýva spoločné riešenie systémov. Z toho môžete získať nekonečné číslo súkromné ​​rozhodnutia, čím sa voľným premenným dajú ľubovoľné hodnoty. Zavolá sa konkrétne riešenie získané zo všeobecného pri nulových hodnotách voľných premenných základné riešenie. Počet rôznych základných riešení nepresahuje
. Základné riešenie s nezápornými zložkami je tzv kľúčový systémové riešenie.

Príklad.

,r=2.

Premenné
- základný,
- zadarmo.

Pridajme rovnice; expresné
cez
:

- spoločné rozhodnutie.

- súkromné ​​riešenie
.

- základné riešenie, základný.

§5. Gaussova metóda.

Gaussova metóda je univerzálna metóda na štúdium a riešenie ľubovoľných systémov lineárnych rovníc. Spočíva v privedení systému do diagonálnej (alebo trojuholníkovej) formy postupnou elimináciou neznámych pomocou elementárnych transformácií, ktoré neporušujú ekvivalenciu systémov. Premenná sa považuje za vylúčenú, ak je obsiahnutá iba v jednej rovnici systému s koeficientom 1.

Elementárne transformácie systémy sú:

Násobenie rovnice nenulovým číslom;

Pridanie rovnice vynásobenej ľubovoľným číslom s inou rovnicou;

Preskupenie rovníc;

Vypustenie rovnice 0 = 0.

Elementárne transformácie možno vykonávať nie na rovniciach, ale na rozšírených maticiach výsledných ekvivalentných systémov.

Príklad.

rozhodnutie. Napíšeme rozšírenú maticu systému:

.

Vykonaním elementárnych transformácií privedieme ľavú stranu matice do jednotkového tvaru: vytvoríme jednotky na hlavnej diagonále a nuly mimo nej.

Komentujte. Ak je pri vykonávaní elementárnych transformácií rovnica v tvare 0 = do(kde do0), potom je systém nekonzistentný.

Riešenie sústav lineárnych rovníc metódou postupného odstraňovania neznámych možno formalizovať vo forme tabuľky.

Ľavý stĺpec tabuľky obsahuje informácie o vylúčených (základných) premenných. Zvyšné stĺpce obsahujú koeficienty neznámych a voľné členy rovníc.

Rozšírená matica systému sa zapíše do zdrojovej tabuľky. Ďalej pokračujte v implementácii Jordanových transformácií:

1. Vyberte premennú , ktorý sa stane základom. Príslušný stĺpec sa nazýva kľúčový stĺpec. Vyberte rovnicu, v ktorej táto premenná zostane a bude vylúčená z iných rovníc. Príslušný riadok tabuľky sa nazýva kľúčový riadok. Koeficient Znak , ktorý sa nachádza na priesečníku kľúčového radu a kľúčového stĺpca, sa nazýva kľúč.

2. Prvky kľúčového reťazca sú rozdelené podľa kľúčového prvku.

3. Kľúčový stĺpec je vyplnený nulami.

4. Zvyšné prvky sa vypočítajú podľa pravidla obdĺžnika. Tvoria obdĺžnik, na ktorého protiľahlých vrcholoch je kľúčový prvok a prepočítaný prvok; od súčinu prvkov na uhlopriečke obdĺžnika s kľúčovým prvkom sa odpočíta súčin prvkov inej uhlopriečky, výsledný rozdiel sa vydelí kľúčovým prvkom.

Príklad. Nájdite všeobecné riešenie a základné riešenie sústavy rovníc:

rozhodnutie.

Všeobecné riešenie systému:

Základné riešenie:
.

Jednorazová substitučná transformácia umožňuje prejsť z jednej bázy systému na druhú: namiesto jednej z hlavných premenných sa do bázy zavedie jedna z voľných premenných. Na tento účel sa v stĺpci voľnej premennej vyberie kľúčový prvok a vykonajú sa transformácie podľa vyššie uvedeného algoritmu.

§6. Hľadanie riešení podpory

Referenčné riešenie sústavy lineárnych rovníc je základné riešenie, ktoré neobsahuje záporné zložky.

Podporné riešenia systému sa nachádzajú Gaussovou metódou za nasledujúcich podmienok.

1. V pôvodnom systéme musia byť všetky voľné termíny nezáporné:
.

2. Kľúčový prvok je vybraný spomedzi kladných koeficientov.

3. Ak má premenná zavedená do bázy niekoľko kladných koeficientov, potom kľúčovým reťazcom je ten, v ktorom je pomer voľného člena ku kladnému koeficientu najmenší.

Poznámka 1. Ak sa v procese odstraňovania neznámych objaví rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty kladné, a voľný člen
, potom systém nemá žiadne nezáporné riešenia.

Poznámka 2. Ak sa v stĺpcoch koeficientov pre voľné premenné nenachádza ani jeden kladný prvok, potom je prechod na iné referenčné riešenie nemožný.

Príklad.

V praxi sú však rozšírené ďalšie dva prípady:

– Systém je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia);
Systém je konzistentný a má nekonečne veľa riešení.

Poznámka : výraz „konzistentnosť“ znamená, že systém má aspoň nejaké riešenie. V mnohých úlohách je potrebné predbežne preskúmať kompatibilitu systému, ako to urobiť - pozri článok o maticová hodnosť.

Pre tieto systémy sa používa najuniverzálnejšia zo všetkých metód riešenia - Gaussova metóda. V podstate k odpovedi povedie aj „školská“ metóda, no vo vyššej matematike je zvykom používať Gaussovu metódu postupného odstraňovania neznámych. Tí, ktorí nie sú oboznámení s algoritmom Gaussovej metódy, si najskôr preštudujte lekciu Gaussova metóda pre figuríny.

Samotné transformácie elementárnej matice sú úplne rovnaké, rozdiel bude na konci riešenia. Najprv zvážte niekoľko príkladov, kde systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné).

Príklad 1

Čo vám na tomto systéme okamžite padne do oka? Počet rovníc je menší ako počet premenných. Ak je počet rovníc menší ako počet premenných, potom môžeme okamžite povedať, že systém je buď nekonzistentný, alebo má nekonečne veľa riešení. A zostáva len zistiť.

Začiatok riešenia je celkom obyčajný - napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru:

(1) V ľavom hornom kroku musíme získať +1 alebo -1. V prvom stĺpci nie sú žiadne takéto čísla, takže preusporiadanie riadkov nebude fungovať. Jednotka bude musieť byť organizovaná nezávisle, a to možno vykonať niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto: K prvému riadku pridajte tretí riadok vynásobený -1.

(2) Teraz dostaneme dve nuly v prvom stĺpci. Do druhého riadku pridáme prvý riadok vynásobený 3. Do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený 5.

(3) Po dokončení transformácie je vždy vhodné zistiť, či je možné zjednodušiť výsledné reťazce? Môcť. Druhý riadok vydelíme 2 a zároveň získame požadovanú -1 v druhom kroku. Tretí riadok vydeľte -3.

(4) Pridajte druhý riadok k tretiemu riadku.

Pravdepodobne každý venoval pozornosť zlej línii, ktorá sa ukázala v dôsledku základných transformácií: . Je jasné, že to tak nemôže byť. Výslednú maticu skutočne prepíšeme späť k systému lineárnych rovníc:

Ak sa v dôsledku elementárnych transformácií získa reťazec tvaru, kde je nenulové číslo, potom je systém nekonzistentný (nemá riešenia) .

Ako zaznamenať koniec úlohy? Nakreslime bielou kriedou: „v dôsledku elementárnych transformácií sa získa čiara tvaru, kde“ a odpovedzme: systém nemá riešenia (nekonzistentné).

Ak je podľa podmienky potrebné PRESKÚMAŤ kompatibilitu systému, potom je potrebné vydať riešenie v pevnejšom štýle zahŕňajúcom koncept poradie matice a Kronecker-Capelliho veta.

Upozorňujeme, že tu neexistuje žiadny spätný pohyb Gaussovho algoritmu - neexistujú žiadne riešenia a jednoducho nie je čo nájsť.

Príklad 2

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny. Opäť vám pripomínam, že vaša cesta riešenia sa môže líšiť od mojej cesty riešenia, Gaussov algoritmus nemá silnú „tuhosť“.

Ešte jedna technická vlastnosť riešenia: elementárne transformácie je možné zastaviť Naraz, akonáhle riadok ako , kde . Zvážte podmienený príklad: predpokladajme, že po prvej transformácii dostaneme maticu . Matica ešte nebola zredukovaná na stupňovitú formu, ale nie sú potrebné ďalšie elementárne transformácie, keďže sa objavila čiara formy, kde . Malo by sa okamžite odpovedať, že systém je nekompatibilný.

Keď systém lineárnych rovníc nemá riešenia, je to takmer dar, pretože sa získa krátke riešenie, niekedy doslova v 2-3 krokoch.

Ale všetko na tomto svete je vyvážené a problém, v ktorom má systém nekonečne veľa riešení, je len dlhší.

Príklad 3

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Existujú 4 rovnice a 4 neznáme, takže systém môže mať buď jediné riešenie, alebo nemá žiadne riešenia, alebo môže mať nekonečne veľa riešení. Čokoľvek to bolo, ale Gaussova metóda nás v každom prípade privedie k odpovedi. V tom spočíva jeho všestrannosť.

Začiatok je opäť štandardný. Napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju uvedieme do stupňovitého tvaru:

To je všetko a báli ste sa.

(1) Všimnite si, že všetky čísla v prvom stĺpci sú deliteľné 2, takže 2 je v poriadku na ľavom hornom stĺpci. K druhému riadku pridáme prvý riadok, vynásobený -4. Do tretieho riadku pridáme prvý riadok, vynásobený -2. Do štvrtého riadku pridáme prvý riadok, vynásobený -1.

Pozor! Mnohí môžu byť v pokušení od štvrtého riadku odčítať prvá línia. Dá sa to urobiť, ale nie je to potrebné, skúsenosti ukazujú, že pravdepodobnosť chyby vo výpočtoch sa niekoľkokrát zvyšuje. Stačí sčítať: Do štvrtého riadku pridajte prvý riadok vynásobený -1 - presne tak!

(2) Posledné tri riadky sú pomerné, dva z nich možno vymazať.

Tu je opäť potrebné ukázať zvýšená pozornosť, ale sú čiary skutočne proporcionálne? Pre zaistenie (najmä pre čajník) by nebolo zbytočné vynásobiť druhý rad číslom -1 a štvrtý rad rozdeliť číslom 2, čím by vznikli tri rovnaké riadky. A až potom odstráňte dve z nich.

V dôsledku elementárnych transformácií sa rozšírená matica systému redukuje na stupňovitú formu:

Pri plnení úlohy v zošite je vhodné robiť si rovnaké poznámky ceruzkou kvôli prehľadnosti.

Prepíšeme zodpovedajúci systém rovníc:

„Zvyčajné“ jediné riešenie systému tu nezapácha. Neexistuje ani zlá línia. To znamená, že toto je tretí zostávajúci prípad – systém má nekonečne veľa riešení. Niekedy je podľa podmienky potrebné preskúmať kompatibilitu systému (t.j. dokázať, že riešenie vôbec existuje), o tom si môžete prečítať v poslednom odseku článku Ako zistiť hodnosť matice? Ale teraz si rozoberme základy:

Nekonečná množina riešení sústavy je stručne zapísaná vo forme tzv všeobecné systémové riešenie .

Všeobecné riešenie sústavy nájdeme pomocou spätného pohybu Gaussovej metódy.

Najprv musíme určiť, aké premenné máme základné a ktoré premenné zadarmo. Nie je potrebné sa trápiť s pojmami lineárnej algebry, stačí si uvedomiť, že také existujú bázické premenné a voľné premenné.

Základné premenné vždy „sedia“ striktne na krokoch matice.
V tomto príklade sú základnými premennými a

Voľné premenné sú všetko zostávajúce premenné, ktoré nedostali ani krok. V našom prípade sú to dve z nich: - voľné premenné.

Teraz potrebujete všetky bázické premenné expresné len cez voľné premenné.

Spätný pohyb Gaussovho algoritmu tradične funguje zdola nahor.
Z druhej rovnice sústavy vyjadríme základnú premennú:

Teraz sa pozrite na prvú rovnicu: . Najprv doň dosadíme nájdený výraz:

Zostáva vyjadriť základnú premennú pomocou voľných premenných:

Výsledok je to, čo potrebujete - všetky sú vyjadrené základné premenné ( a ). len cez voľné premenné:

V skutočnosti je všeobecné riešenie pripravené:

Ako napísať všeobecné riešenie?
Voľné premenné sa do všeobecného riešenia zapisujú „samé“ a striktne na svoje miesta. V tomto prípade by sa voľné premenné mali zapísať na druhú a štvrtú pozíciu:
.

Výsledné výrazy pre základné premenné a samozrejme musí byť napísané na prvom a treťom mieste:

Poskytovanie voľných premenných ľubovoľné hodnoty, je ich nekonečne veľa súkromné ​​rozhodnutia. Najpopulárnejšie hodnoty sú nuly, pretože konkrétne riešenie je najjednoduchšie získať. Nahraďte vo všeobecnom riešení:

je súkromné ​​rozhodnutie.

Jedny sú ďalším sladkým párom, dosaďte do všeobecného riešenia:

je ďalšie konkrétne riešenie.

Je ľahké vidieť, že systém rovníc má nekonečne veľa riešení(keďže môžeme dať voľné premenné akýkoľvek hodnoty)

Každý konkrétne riešenie musí spĺňať každému systémová rovnica. To je základ pre „rýchlu“ kontrolu správnosti riešenia. Vezmite si napríklad konkrétne riešenie a dosaďte ho na ľavú stranu každej rovnice v pôvodnom systéme:

Všetko sa musí spojiť. A s akýmkoľvek konkrétnym riešením, ktoré dostanete, by sa všetko malo zhodovať.

Ale prísne vzaté, overenie konkrétneho riešenia niekedy klame; nejaké konkrétne riešenie môže splniť každú rovnicu systému a samotné všeobecné riešenie sa v skutočnosti nájde nesprávne.

Preto je overenie všeobecného riešenia dôkladnejšie a spoľahlivejšie. Ako skontrolovať výsledné všeobecné riešenie ?

Je to jednoduché, ale dosť únavné. Musíme prijať výrazy základné premenné, v tomto prípade a , a dosaďte ich na ľavú stranu každej rovnice systému.

Naľavo od prvej rovnice systému:

Na ľavú stranu druhej rovnice systému:


Získa sa pravá strana pôvodnej rovnice.

Príklad 4

Vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy. Nájdite všeobecné riešenie a dve súkromné. Skontrolujte celkové riešenie.

Toto je príklad „urob si sám“. Tu je mimochodom opäť počet rovníc menší ako počet neznámych, čo znamená, že je hneď jasné, že systém bude buď nekonzistentný, alebo s nekonečným počtom riešení. Čo je dôležité v samotnom rozhodovacom procese? Pozor a ešte raz pozornosť. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

A ešte pár príkladov na posilnenie materiálu

Príklad 5

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc. Ak má systém nekonečne veľa riešení, nájdite dve konkrétne riešenia a skontrolujte všeobecné riešenie

rozhodnutie: Napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do stupňovitého tvaru:

(1) Pridajte prvý riadok k druhému riadku. Do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený 2. Do štvrtého riadku pridáme prvý riadok vynásobený 3.
(2) K tretiemu riadku pridajte druhý riadok vynásobený -5. Do štvrtého riadku pridáme druhý riadok, vynásobený -7.
(3) Tretí a štvrtý riadok sú rovnaké, jeden z nich vymažeme.

Tu je taká krása:

Základné premenné sedia na schodoch, takže sú základnými premennými.
Existuje len jedna voľná premenná, ktorá nedostala krok:

Spätný pohyb:
Základné premenné vyjadrujeme pomocou voľnej premennej:
Z tretej rovnice:

Zvážte druhú rovnicu a dosaďte do nej nájdený výraz:

Zvážte prvú rovnicu a nahraďte nájdené výrazy a do nej:

Áno, kalkulačka, ktorá počíta obyčajné zlomky, je stále pohodlná.

Takže všeobecné riešenie je:

Ešte raz, ako sa to stalo? Voľná ​​premenná je sama na svojom právoplatnom štvrtom mieste. Výsledné výrazy pre základné premenné tiež zaujali svoje poradové miesto.

Poďme okamžite skontrolovať všeobecné riešenie. Práca pre černochov, ale už som to urobil, tak sa chyťte =)

Na ľavú stranu každej rovnice systému dosadíme troch hrdinov , :

Získajú sa zodpovedajúce pravé strany rovníc, takže všeobecné riešenie sa nájde správne.

Teraz z nájdeného všeobecného riešenia dostaneme dve konkrétne riešenia. Šéfkuchár je tu jediná bezplatná premenná. Netreba si lámať hlavu.

Nechaj potom je súkromné ​​rozhodnutie.
Nechaj potom je ďalšie konkrétne riešenie.

Odpoveď: Spoločné rozhodnutie: , konkrétne riešenia: , .

Nemal som si tu spomínať na černochov ... ... lebo sa mi v hlave vynárali všelijaké sadistické motívy a spomenul som si na známu fotožhabu, v ktorej sa Ku Klux Klansmen v bielych kombinézach preháňa po ihrisku po čiernom futbale. hráč. Sedím a potichu sa usmievam. Viete, aké rušivé…

Veľa matematiky škodí, takže podobný záverečný príklad na samostatné riešenie.

Príklad 6

Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Všeobecné riešenie som už skontroloval, na odpoveď sa dá spoľahnúť. Vaše riešenie sa môže líšiť od môjho riešenia, hlavná vec je, že všeobecné riešenia sa zhodujú.

Pravdepodobne si mnohí všimli nepríjemný moment v riešeniach: veľmi často sme sa pri opačnom priebehu Gaussovej metódy museli pohrávať s obyčajnými zlomkami. V praxi to platí, prípady, keď nie sú žiadne zlomky, sú oveľa menej bežné. Pripravte sa psychicky, a čo je najdôležitejšie, technicky.

Pozastavím sa pri niektorých vlastnostiach riešenia, ktoré sa v riešených príkladoch nenašli.

Všeobecné riešenie systému môže niekedy obsahovať konštantu (alebo konštanty), napríklad: . Tu sa jedna zo základných premenných rovná konštantnému číslu: . Nie je v tom nič exotické, to sa stáva. Je zrejmé, že v tomto prípade bude každé konkrétne riešenie obsahovať päťku na prvej pozícii.

Zriedkavo, ale existujú systémy, v ktorých počet rovníc je väčší ako počet premenných. Gaussova metóda funguje v najťažších podmienkach, treba pokojne uviesť rozšírenú maticu systému do stupňovitého tvaru podľa štandardného algoritmu. Takýto systém môže byť nekonzistentný, môže mať nekonečne veľa riešení a napodiv môže mať jedinečné riešenie.