- vypočíta sa determinant matice A;
- pomocou algebraických sčítaní sa nájde inverzná matica A -1;
- v Exceli sa vytvorí šablóna riešenia;
Poučenie. Pre získanie riešenia metódou inverznej matice je potrebné špecifikovať rozmer matice. Ďalej v novom dialógovom okne vyplňte maticu A a výsledný vektor B .
Pozri tiež Riešenie maticových rovníc.Algoritmus riešenia
- Vypočíta sa determinant matice A. Ak je determinant nula, potom koniec riešenia. Systém má nekonečné množstvo riešení.
- Keď je determinant odlišný od nuly, inverzná matica A -1 sa nájde pomocou algebraických sčítaní.
- Rozhodovací vektor X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) získame vynásobením inverznej matice výsledným vektorom B .
Algebraické sčítania.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Vyšetrenie:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Téma 2. SYSTÉMY LINEÁRNYCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC.
Základné pojmy.
Definícia 1. systém m lineárne rovnice s n neznámy je systém tvaru:
kde a sú čísla.
Definícia 2. Riešenie sústavy (I) je taká množina neznámych, v ktorej sa každá rovnica tejto sústavy mení na identitu.
Definícia 3. Systém (I) sa nazýva kĺb ak má aspoň jedno riešenie a nezlučiteľné ak nemá riešenia. Kĺbový systém je tzv istý ak má jedinečné riešenie a neistý inak.
Definícia 4. Typ rovnice
volal nula a rovnica tvaru
volal nezlučiteľné. Je zrejmé, že systém rovníc obsahujúci nekonzistentnú rovnicu je nekonzistentný.
Definícia 5. Dva systémy lineárnych rovníc sa nazývajú ekvivalent ak každé riešenie jednej sústavy je riešením inej sústavy a naopak každé riešenie druhej sústavy je riešením prvej.
Maticový zápis sústavy lineárnych rovníc.
Zvážte systém (I) (pozri § 1).
Označiť:
Koeficientová matica pre neznáme
Matrix - stĺpec voľných členov
Matica - stĺpec neznámych
.
Definícia 1. Matica sa nazýva hlavná matica systému(I) a matica je rozšírená matica systému (I).
Podľa definície maticovej rovnosti systém (I) zodpovedá maticovej rovnosti:
.
Pravá strana tejto rovnosti podľa definície súčinu matíc ( pozri definíciu 3 § 5 kapitola 1) možno faktorizovať:
, t.j.
Rovnosť (2) volal maticový zápis systému (I).
Riešenie sústavy lineárnych rovníc Cramerovou metódou.
Vpustite systém (I) (pozri § 1) m=n, t.j. počet rovníc sa rovná počtu neznámych a hlavná matica systému je nedegenerovaná, t.j. . Potom systém (I) z §1 má unikátne riešenie
kde ∆ = det A volal hlavný systémový determinant(ja), ∆ i sa získa z determinantu Δ nahradením i-tý stĺpec do stĺpca voľných členov sústavy (I).
Príklad Vyriešte systém Cramerovou metódou:
.
Podľa vzorcov (3)
.
Vypočítame determinanty systému:
,
,
.
Aby sme získali determinant, nahradili sme prvý stĺpec v determinante stĺpcom voľných členov; nahradením 2. stĺpca v determinante stĺpcom voľných členov získame ; podobne nahradením 3. stĺpca v determinante stĺpcom voľných členov získame . Systémové riešenie:
Riešenie sústav lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.
Vpustite systém (I) (pozri § 1) m=n a hlavná matica systému je nedegenerovaná. Systém (I) píšeme v maticovom tvare ( pozri §2):
pretože matice A je nedegenerovaný, potom má inverznú maticu ( pozri vetu 1 § 6 kapitoly 1). Vynásobte obe strany rovnice (2) do matrice teda
Podľa definície inverznej matice . Z rovnosti (3) máme
Vyriešte systém pomocou inverznej matice
.
Označiť
V príklade (§ 3) sme vypočítali determinant , teda maticu A má inverznú maticu. Potom v platnosti (4) , t.j.
. (5)
Nájdite maticu ( pozri § 6 kapitola 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Gaussova metóda.
Nech je daný systém lineárnych rovníc:
. (ja)
Je potrebné nájsť všetky riešenia systému (I) alebo sa uistiť, že systém je nekonzistentný.
Definícia 1.Nazvime elementárnu transformáciu systému(I) ktorýkoľvek z troch úkonov:
1) vypustenie nulovej rovnice;
2) pridanie zodpovedajúcich častí druhej rovnice k obom častiam rovnice, vynásobené číslom l;
3) prehodenie pojmov v rovniciach sústavy tak, aby neznáme s rovnakými číslami vo všetkých rovniciach zaberali rovnaké miesta, t.j. ak sme napríklad v 1. rovnici zmenili 2. a 3. člen, tak to isté treba urobiť vo všetkých rovniciach sústavy.
Gaussova metóda spočíva v tom, že systém (I) sa pomocou elementárnych transformácií redukuje na ekvivalentný systém, ktorého riešenie sa priamo nájde alebo sa zistí jeho neriešiteľnosť.
Ako je opísané v § 2, systém (I) je jednoznačne určený svojou rozšírenou maticou a každá elementárna transformácia systému (I) zodpovedá elementárnej transformácii rozšírenej matice:
.
Transformácia 1) zodpovedá vymazaniu nulového riadku v matici , transformácia 2) je ekvivalentná pripočítaniu ďalšieho riadku k príslušnému riadku matice vynásobenému číslom l, transformácia 3) je ekvivalentná preskupeniu stĺpcov v matici .
Je ľahké vidieť, že naopak, každá elementárna transformácia matice zodpovedá elementárnej transformácii systému (I). Vzhľadom na to, čo bolo povedané, namiesto operácií so systémom (I) budeme pracovať s rozšírenou maticou tohto systému.
V matici tvoria 1. stĺpec koeficienty at x 1, 2. stĺpec - z koeficientov at x 2 atď. V prípade preskupenia stĺpov treba brať do úvahy, že táto podmienka je porušená. Napríklad, ak zameníme 1. a 2. stĺpec, tak teraz v 1. stĺpci budú koeficienty na x 2, a v 2. stĺpci - koeficienty pri x 1.
Systém (I) budeme riešiť Gaussovou metódou.
1. Prečiarknite všetky nulové riadky v matici, ak nejaké sú (t. j. prečiarknite všetky nulové rovnice v sústave (I).
2. Skontrolujte, či medzi riadkami matice existuje riadok, v ktorom sú všetky prvky okrem posledného rovné nule (nazvime takýto riadok nekonzistentný). Je zrejmé, že takáto čiara zodpovedá nekonzistentnej rovnici v systéme (I), preto systém (I) nemá žiadne riešenia a tu sa proces končí.
3. Nech matica neobsahuje nekonzistentné riadky (systém (I) neobsahuje nekonzistentné rovnice). Ak a 11 = 0, potom nájdeme v 1. riadku nejaký prvok (okrem posledného), ktorý je odlišný od nuly a preusporiadame stĺpce tak, aby v 1. riadku na 1. mieste nebola nula. Teraz predpokladáme, že (t. j. zameníme zodpovedajúce členy v rovniciach systému (I)).
4. 1. riadok vynásobte a výsledok pridajte do 2. riadku, potom vynásobte 1. riadok a výsledok pridajte do 3. riadku atď. Je zrejmé, že tento proces je ekvivalentný odstraňovaniu neznámeho x 1 zo všetkých rovníc sústavy (I), okrem 1. V novej matici dostaneme nuly v 1. stĺpci pod prvkom 11:
.
5. Prečiarknite všetky nulové riadky v matici, ak nejaké sú, skontrolujte, či tam nie je nesúladný riadok (ak existuje, potom je systém nekonzistentný a tam sa riešenie končí). Skontrolujeme, či a 22/=0, ak áno, potom nájdeme prvok v 2. riadku, ktorý je iný ako nula a preusporiadame stĺpce tak, aby . Ďalej vynásobíme prvky 2. riadku o 
a sčítajte so zodpovedajúcimi prvkami 3. riadku, potom - prvky 2. riadku ďalej a sčítajte so zodpovedajúcimi prvkami 4. riadku atď., kým nedostaneme nuly pod 22/
.
Vykonané akcie sú ekvivalentné eliminácii neznámeho x 2 zo všetkých rovníc sústavy (I), okrem 1. a 2. Keďže počet riadkov je konečný, tak po konečnom počte krokov dostaneme, že buď je systém nekonzistentný, alebo skončíme s krokovou maticou ( pozri definíciu 2 § 7 kapitola 1) :
,
Zapíšme si sústavu rovníc zodpovedajúcu matici. Tento systém je ekvivalentný systému (I)
.
Z poslednej rovnice vyjadríme ; dosadíme do predchádzajúcej rovnice, nájdeme atď., až kým nedostaneme .
Poznámka 1. Pri riešení sústavy (I) Gaussovou metódou sa teda dostávame k jednému z nasledujúcich prípadov.
1. Systém (I) je nekonzistentný.
2. Systém (I) má jedinečné riešenie, ak sa počet riadkov v matici rovná počtu neznámych ().
3. Systém (I) má nekonečný počet riešení, ak je počet riadkov v matici menší ako počet neznámych ().
Preto platí nasledujúca veta.
Veta. Systém lineárnych rovníc je buď nekonzistentný, alebo má jedinečné riešenie, alebo existuje nekonečná množina riešení.
Príklady. Vyriešte sústavu rovníc Gaussovou metódou alebo dokážte jej nekonzistentnosť:
b) 
;
a) Prepíšme daný systém do tvaru:
.
Pre zjednodušenie výpočtov sme zamenili 1. a 2. rovnicu pôvodného systému (namiesto zlomkov budeme pri takejto permutácii pracovať len s celými číslami).
Zostavíme rozšírenú maticu:
.
Neexistujú žiadne nulové riadky; žiadne nekompatibilné linky, ; zo všetkých rovníc sústavy okrem 1. vylúčime 1. neznámu. Aby sme to urobili, vynásobíme prvky 1. riadku matice "-2" a pridáme ich k zodpovedajúcim prvkom 2. riadku, čo je ekvivalentné vynásobeniu 1. rovnice "-2" a jej pripočítaniu do 2. rovnica. Potom prvky 1. riadku vynásobíme "-3" a pripočítame k zodpovedajúcim prvkom tretieho radu, t.j. vynásobte 2. rovnicu danej sústavy "-3" a pridajte ju k 3. rovnici. Získajte
.
Matica zodpovedá sústave rovníc). - (pozri definíciu 3 § 7 kapitoly 1).
Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi nazývaný systém formulára
kde aij a b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sú niektoré známe čísla a x 1,…,x n- neznámy. V zápise koeficientov aij prvý index i označuje číslo rovnice a druhé j je počet neznámych, pri ktorých tento koeficient stojí.
Koeficienty pre neznáme budú zapísané vo forme matice 
, ktorú budeme volať systémová matica.
Čísla na pravej strane rovníc b1,...,b m volal voľných členov.
Agregátne nčísla c 1,…,c n volal rozhodnutie tejto sústavy, ak sa každá rovnica sústavy stane rovnosťou po dosadení čísel do nej c 1,…,c n namiesto zodpovedajúcich neznámych x 1,…,x n.
Našou úlohou bude nájsť riešenia systému. V tomto prípade môžu nastať tri situácie:
Systém lineárnych rovníc, ktorý má aspoň jedno riešenie, sa nazýva kĺb. V opačnom prípade, t.j. ak systém nemá riešenia, tak sa volá nezlučiteľné.
Zvážte spôsoby, ako nájsť riešenia systému.
MATICOVÁ METÓDA NA RIEŠENIE SYSTÉMOV LINEÁRNYCH ROVNIC
Matice umožňujú stručne zapísať sústavu lineárnych rovníc. Nech je daný systém 3 rovníc s tromi neznámymi:
Zvážte maticu systému 
a maticové stĺpce neznámych a voľných členov 
Poďme nájsť produkt
tie. ako výsledok súčinu získame ľavé strany rovníc tohto systému. Potom pomocou definície maticovej rovnosti možno tento systém zapísať ako
alebo kratšie A∙X = B.
Tu matice A a B sú známe a matice X neznámy. Treba ju nájsť, pretože. jeho prvky sú riešením tohto systému. Táto rovnica sa nazýva maticová rovnica.
Nech je determinant matice odlišný od nuly | A| ≠ 0. Potom sa maticová rovnica vyrieši nasledovne. Vynásobte obe strany rovnice vľavo maticou A-1, inverzná k matici A: . Pretože A-1 A = E a E∙X=X, potom získame riešenie maticovej rovnice v tvare X = A-1 B .
Všimnite si, že keďže inverznú maticu možno nájsť len pre štvorcové matice, maticová metóda môže riešiť len tie systémy, v ktorých počet rovníc je rovnaký ako počet neznámych. Maticový zápis sústavy je však možný aj v prípade, keď sa počet rovníc nerovná počtu neznámych, potom matica A nie je štvorcový a preto nie je možné nájsť riešenie systému vo forme X = A-1 B.
Príklady. Riešiť sústavy rovníc.
CRAMEROVO PRAVIDLO
Uvažujme systém 3 lineárnych rovníc s tromi neznámymi:
Determinant tretieho rádu zodpovedajúci matici systému, t.j. zložené z koeficientov pri neznámych,
volal systémový determinant.
Ďalšie tri determinanty poskladáme takto: postupne nahradíme 1, 2 a 3 stĺpce v determinante D stĺpcom voľných členov
Potom môžeme dokázať nasledujúci výsledok.
Veta (Cramerovo pravidlo). Ak je determinantom systému Δ ≠ 0, potom uvažovaný systém má len jedno riešenie a
Dôkaz. Uvažujme teda o systéme 3 rovníc s tromi neznámymi. Vynásobte 1. rovnicu sústavy algebraickým doplnkom A 11 prvok 11, 2. rovnica - zap A21 a 3. - dňa A 31:
Pridajme tieto rovnice:
Zvážte každú zo zátvoriek a pravú stranu tejto rovnice. Podľa vety o expanzii determinantu z hľadiska prvkov 1. stĺpca
Podobne možno ukázať, že a .
Nakoniec je ľahké to vidieť 
Dostaneme teda rovnosť: .
V dôsledku toho, .
Rovnosti a sú odvodené podobne, odkiaľ nasleduje tvrdenie vety.
Poznamenávame teda, že ak je determinant systému Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie a naopak. Ak je determinant sústavy rovný nule, tak sústava má buď nekonečnú množinu riešení, alebo nemá riešenia, t.j. nezlučiteľné.
Príklady. Vyriešte sústavu rovníc
GAUSSOVÁ METÓDA
Predtým uvažované metódy možno použiť na riešenie iba tých systémov, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych a determinant systému musí byť odlišný od nuly. Gaussova metóda je univerzálnejšia a je vhodná pre sústavy s ľubovoľným počtom rovníc. Spočíva v postupnom odstraňovaní neznámych z rovníc sústavy.
Zvážte znova systém troch rovníc s tromi neznámymi:
.
Prvú rovnicu necháme nezmenenú a z 2. a 3. vylúčime členy obsahujúce x 1. Aby sme to dosiahli, vydelíme druhú rovnicu o a 21 a vynásobte - a 11 a potom pridajte s 1. rovnicou. Podobne rozdelíme aj tretiu rovnicu na a 31 a vynásobte - a 11 a potom ho pridajte k prvému. V dôsledku toho bude mať pôvodný systém podobu:
Teraz z poslednej rovnice vylúčime člen obsahujúci x2. Ak to chcete urobiť, vydeľte tretiu rovnicu číslom, vynásobte číslom a pridajte ho k druhému. Potom budeme mať systém rovníc:
Z poslednej rovnice je teda ľahké ju nájsť x 3, potom z 2. rovnice x2 a nakoniec od 1. x 1.
Pri použití Gaussovej metódy je možné rovnice v prípade potreby zameniť.
Často sa namiesto písania nového systému rovníc obmedzujú na písanie rozšírenej matice systému:
a potom ho pomocou elementárnych transformácií priviesť do trojuholníkového alebo diagonálneho tvaru.
Komu elementárne transformácie matice zahŕňajú nasledujúce transformácie:
- permutácia riadkov alebo stĺpcov;
- násobenie reťazca nenulovým číslom;
- pridávanie ďalších riadkov do jedného riadku.
Príklady: Riešiť sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy.
Systém má teda nekonečné množstvo riešení.
Zvážte sústava lineárnych algebraických rovníc(POMALY) týkajúci sa n neznámy X 1 , X 2 , ..., X n :
Tento systém v „zloženom“ tvare možno napísať takto:
S n i=1 a ij X j = b i , i=1,2, ..., n.
V súlade s pravidlom násobenia matíc je možné zapísať uvažovaný systém lineárnych rovníc matricový formulár ax=b, kde
,
,.
Matrix A, ktorého stĺpce sú koeficienty pre zodpovedajúce neznáme a riadky sú koeficienty pre neznáme v zodpovedajúcej rovnici sa nazýva systémová matica. stĺpcová matica b, ktorej prvky sú pravými časťami rovníc sústavy, sa nazýva matica pravej časti alebo jednoducho pravej strane systému. stĺpcová matica X , ktorého prvky sú neznáme neznáme, sa nazýva systémové riešenie.
Systém lineárnych algebraických rovníc napísaný ako ax=b, je maticová rovnica.
Ak matica systému nedegenerované, potom má inverznú maticu a potom riešenie systému ax=b je daný vzorcom:
x=A -1 b.
Príklad Vyriešte systém 
maticová metóda.
Riešenie nájdite inverznú maticu pre maticu koeficientov systému
Vypočítajte determinant rozšírením cez prvý riadok:
Pretože Δ ≠ 0 , potom A -1 existuje.
Inverzná matica je nájdená správne.
Poďme nájsť riešenie systému 
v dôsledku toho X 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Vyšetrenie: 
7. Kroneckerova-Capelliho veta o kompatibilite sústavy lineárnych algebraických rovníc.
Systém lineárnych rovníc vyzerá ako:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .
Tu sú uvedené a i j a b i (i = ; j = ) a x j sú neznáme reálne čísla. Pomocou konceptu súčinu matíc môžeme prepísať systém (5.1) do tvaru:
kde A = (a i j) je matica pozostávajúca z koeficientov neznámych sústavy (5.1), ktorá je tzv. systémová matica, X = (x 1, x 2,..., x n) T, B = (b 1, b 2,..., b m) T-stĺpcové vektory zložené z neznámych x j a voľných členov b i.
Objednaný odber n nazývame reálne čísla (c 1 , c 2 ,..., c n). systémové riešenie(5.1) ak sa v dôsledku substitúcie týchto čísel namiesto zodpovedajúcich premenných x 1 , x 2 ,..., x n zmení každá rovnica systému na aritmetickú identitu; inými slovami, ak existuje vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T taký, že AC B.
Zavolá sa systém (5.1). kĺb, alebo riešiteľný ak má aspoň jedno riešenie. Systém je tzv nezlučiteľné, alebo nerozpustný ak nemá riešenia.
,
vytvorený priradením stĺpca voľných členov k matici A vpravo, je tzv rozšírený maticový systém.
Otázku kompatibility systému (5.1) rieši nasledujúca veta.
Kronecker-Capelliho veta . Sústava lineárnych rovníc je konzistentná práve vtedy, ak sa rady matíc A a A zhodujú, t.j. r(A) = r(A) = r.
Pre množinu M riešení systému (5.1) existujú tri možnosti:
1) M = (v tomto prípade je systém nekonzistentný);
2) M pozostáva z jedného prvku, t.j. systém má jedinečné riešenie (v tomto prípade je systém tzv istý);
3) M pozostáva z viac ako jedného prvku (potom sa systém nazýva neistý). V treťom prípade má systém (5.1) nekonečný počet riešení.
Systém má jednoznačné riešenie len vtedy, ak r(A) = n. V tomto prípade počet rovníc nie je menší ako počet neznámych (mn); ak m>n, potom m-n rovníc je dôsledkom zvyšku. Ak 0 Na riešenie ľubovoľnej sústavy lineárnych rovníc treba vedieť riešiť sústavy, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych, tzv. Systémy typu Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Systémy (5.3) sa riešia jedným z nasledujúcich spôsobov: 1) Gaussovou metódou, alebo metódou eliminácie neznámych; 2) podľa Cramerových vzorcov; 3) maticovou metódou. Príklad 2.12. Preskúmajte systém rovníc a vyriešte ho, ak je kompatibilný: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1, x 1 – 3 x 2 – 6 x 3 + 5 x 4 = 0. Riešenie. Vypíšeme rozšírenú maticu systému:
Vypočítajme poradie hlavnej matice systému. Je zrejmé, že napríklad vedľajší druh druhého rádu v ľavom hornom rohu = 7 0; maloletí tretieho rádu, ktorí ho obsahujú, sa rovnajú nule: Preto je poradie hlavnej matice systému 2, t.j. r(A) = 2. Na výpočet poradia rozšírenej matice A zvážte hraničnú vedľajšiu preto je poradie rozšírenej matice r(A) = 3. Keďže r(A) r(A), systém je nekonzistentný. (niekedy sa táto metóda nazýva aj maticová metóda alebo metóda inverznej matice) si vyžaduje predchádzajúce oboznámenie sa s takou koncepciou, akou je maticová forma zápisu SLAE. Metóda inverznej matice je určená na riešenie tých sústav lineárnych algebraických rovníc, pre ktoré je determinant matice sústavy nenulový. Prirodzene z toho vyplýva, že matica systému je štvorcová (koncept determinantu existuje len pre štvorcové matice). Podstatu metódy inverznej matice možno vyjadriť v troch bodoch: Akýkoľvek SLAE môže byť napísaný v maticovej forme ako $A\cdot X=B$, kde $A$ je matica systému, $B$ je matica voľných výrazov, $X$ je matica neznámych. Nech existuje matica $A^(-1)$. Vynásobte obe strany rovnosti $A\cdot X=B$ maticou $A^(-1)$ vľavo: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Keďže $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ je matica identity), vyššie napísaná rovnosť bude: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Keďže $E\cdot X=X$, potom: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Príklad č. 1 Vyriešte SLAE $ \left \( \začiatok(zarovnané) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(zarovnané) \right.$ pomocou inverznej matice. $$ A=\left(\začiatok(pole) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \koniec(pole)\vpravo);\; B=\left(\začiatok(pole) (c) 29\\ -11 \koniec(pole)\vpravo);\; X=\vľavo(\začiatok(pole) (c) x_1\\ x_2 \koniec(pole)\vpravo). $$ Nájdime inverznú maticu k matici sústavy, t.j. vypočítajte $A^(-1)$. V príklade č.2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\začiatok(pole)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\koniec (pole)\vpravo) . $$ Teraz dosaďte všetky tri matice ($X$, $A^(-1)$, $B$) do rovnice $X=A^(-1)\cdot B$. Potom vykonáme násobenie matice $$ \left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \end(pole)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(pole)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\koniec (pole)\vpravo)\cdot \left(\začiatok (pole) (c) 29\\ -11 \koniec (pole)\vpravo)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(pole) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \koniec(pole)\vpravo)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\začiatok(pole) (c) 309\\ -206 \end(pole)\vpravo)=\vľavo( \začiatok(pole) (c) -3\\ 2\koniec (pole)\vpravo). $$ Takže máme $\left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \end(pole)\right)=\left(\begin(pole) (c) -3\\ 2\end(pole )\ vpravo) $. Z tejto rovnosti máme: $x_1=-3$, $x_2=2$. Odpoveď: $x_1=-3$, $x_2=2$. Príklad č. 2 Vyriešte SLAE $ \left\(\začiatok(zarovnané) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(zarovnané)\vpravo .$ metódou inverznej matice. Zapíšme si maticu sústavy $A$, maticu voľných členov $B$ a maticu neznámych $X$. $$ A=\left(\začiatok(pole) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\koniec (pole)\vpravo);\; B=\left(\začiatok(pole) (c) -1\\0\\6\koniec (pole)\vpravo);\; X=\vľavo(\začiatok(pole) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \koniec(pole)\vpravo). $$ Teraz je čas nájsť inverznú maticu matice systému, t.j. nájsť $A^(-1)$. V príklade č. 3 na stránke venovanej hľadaniu inverzných matíc už bola inverzná matica nájdená. Využime hotový výsledok a napíšme $A^(-1)$: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 a 37\koniec (pole)\vpravo). $$ Teraz dosadíme všetky tri matice ($X$, $A^(-1)$, $B$) do rovnosti $X=A^(-1)\cdot B$, potom vykonáme násobenie matice vpravo strane tejto rovnosti. $$ \left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(pole)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\koniec (pole) \vpravo)\cdot \left(\začiatok(pole) (c) -1\\0\ \6\end(pole)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(pole)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\začiatok(pole) (c) 0\\-104\\234\end(pole)\right)=\left( \začiatok(pole) (c) 0\\-4\\9\koniec (pole)\vpravo) $$ Takže máme $\left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(pole)\right)=\left(\begin(pole) (c) 0\\-4\ \9 \koniec(pole)\vpravo)$. Z tejto rovnosti máme: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
.
