TÉMA VOLITEĽNÉHO PREDMETU

KONVERZIA NUMERICKÝCH A PÍSMENNÝCH VÝRAZOV

Množstvo 34 hodín

vyšší učiteľ matematiky

MOU "Stredná škola č. 51"

Saratov, 2008

PROGRAM VOLITEĽNÝCH PREDMETOV

"KONVERZIA ČÍSELNÝCH A PÍSMENNÝCH VÝRAZOV"

Vysvetľujúca poznámka

V posledných rokoch sa záverečné skúšky na školách, ale aj prijímacie skúšky na vysoké školy uskutočňujú pomocou testov. Táto forma testovania je odlišná od klasickej skúšky a vyžaduje si špecifickú prípravu. Znakom testovania vo forme, ktorá sa doteraz vyvinula, je potreba odpovedať na veľké množstvo otázok v obmedzenom časovom období, to znamená, že je potrebné nielen odpovedať na položené otázky, ale aj rýchlo. Preto je dôležité zvládnuť rôzne techniky, metódy, ktoré umožňujú dosiahnuť požadovaný výsledok.

Pri riešení takmer akéhokoľvek školského problému musíte urobiť nejaké transformácie. Jeho zložitosť je často úplne určená stupňom zložitosti a množstvom transformácií, ktoré je potrebné vykonať. Nezriedka sa stáva, že študent nevie vyriešiť problém nie preto, že by nevedel, ako sa rieši, ale preto, že nevie urobiť všetky potrebné transformácie a výpočty v primeranom čase bez chýb.

Výberový predmet „Konverzia číselných a písmenných výrazov“ rozširuje a prehlbuje základný program z matematiky na strednej škole a je určený pre štúdium v ​​11. ročníku. Navrhovaný kurz má za cieľ rozvíjať výpočtové schopnosti a bystrosť myslenia. Kurz je určený pre študentov s vysokou alebo priemernou úrovňou matematickej prípravy a má im pomôcť pripraviť sa na prijatie na vysoké školy, prispieť k pokračovaniu seriózneho matematického vzdelávania.

Ciele a ciele:

Systematizácia, zovšeobecňovanie a rozširovanie vedomostí žiakov o číslach a úkonoch s nimi;

Rozvoj samostatnosti, tvorivého myslenia a kognitívneho záujmu žiakov;

Vytváranie záujmu o výpočtový proces;

Prispôsobenie študentov novým pravidlám vstupu na vysoké školy.

Očakávané výsledky:

znalosť klasifikácie čísel;

Zlepšenie zručností a schopností rýchleho počítania;

Schopnosť používať matematický aparát pri riešení rôznych problémov;

Výchovno-tematický plán

Plán je na 34 hodín. Je zostavený s prihliadnutím na tému diplomovky, preto sa berú do úvahy dve samostatné časti: číselné a abecedné vyjadrenia. Podľa uváženia učiteľa je možné v príslušných témach zvážiť abecedné výrazy spolu s číselnými.

		Počet hodín
	Číselné výrazy Celé čísla Metóda matematickej indukcie Racionálne čísla Desatinné periodické zlomky Iracionálne čísla Korene a stupne Logaritmy Goniometrické funkcie Inverzné goniometrické funkcie Komplexné čísla Test na tému "Číselné výrazy" Porovnávanie číselných výrazov Doslovné výrazy Konverzia výrazov s radikálmi Transformácia silového výrazu Konverzia logaritmických výrazov Prevod goniometrických výrazov Záverečný test

Celé čísla (4h)

Číselný riadok. Základná veta aritmetiky. NOD a NOC. znaky deliteľnosti. Metóda matematickej indukcie.

Racionálne čísla (2h)

Definícia racionálneho čísla. Základná vlastnosť zlomku. Skrátené vzorce násobenia. Definícia periodického zlomku. Pravidlo na prevod z desatinného periodického zlomku na obyčajný.

Iracionálne čísla. Radikáli. Stupne. Logaritmy (6 h)

Definícia iracionálneho čísla. Dôkaz iracionality čísla. Zbavenie sa iracionality v menovateli. Reálne čísla. Vlastnosti stupňa. Vlastnosti aritmetického koreňa n-tého stupňa. Definícia logaritmu. Vlastnosti logaritmov.

Goniometrické funkcie (4h)

Číselný kruh. Číselné hodnoty goniometrických funkcií základných uhlov. Prevod uhla zo stupňov na radiány a naopak. Základné goniometrické vzorce. Odlievacie vzorce. Inverzné goniometrické funkcie. Goniometrické operácie na oblúkových funkciách. Základné vzťahy medzi oblúkovými funkciami.

komplexné čísla (2h)

Koncept komplexného čísla. Operácie s komplexnými číslami. Trigonometrické a exponenciálne tvary komplexného čísla.

Stredné testovanie (2h)

Porovnanie číselných výrazov (4h)

Numerické nerovnosti na množine reálnych čísel. Vlastnosti numerických nerovností. Podpora nerovností. Metódy dokazovania numerických nerovností.

Výrazy písmen (8h)

Pravidlá pre transformáciu výrazov s premennými: polynómy; algebraické zlomky; iracionálne výrazy; trigonometrické a iné výrazy. Dôkazy identít a nerovností. Zjednodušenie výrazov.

1 časť výberového predmetu: "Číselné výrazy"

AKTIVITA 1(2 hodiny)

Téma lekcie: Celé čísla

Ciele lekcie: Zovšeobecňovať a systematizovať vedomosti žiakov o číslach; pripomenúť si pojmy GCD a NOC; rozšíriť vedomosti o znakoch deliteľnosti; považovať problémy za vyriešené v celých číslach.

Počas vyučovania

ja. Úvodná prednáška.

Klasifikácia čísel:

celé čísla;

Celé čísla;

Racionálne čísla;

reálne čísla;

Komplexné čísla.

Oboznámenie sa s číselným radom v škole začína pojmom prirodzené číslo. Čísla používané pri počítaní predmetov sa nazývajú prirodzené. Množinu prirodzených čísel označujeme N. Prirodzené čísla delíme na prvočísla a zložené. Prvočísla majú iba dvoch deliteľov jeden a samotné číslo, zatiaľ čo zložené čísla majú viac ako dvoch deliteľov. Základná veta aritmetiky uvádza: "Každé prirodzené číslo väčšie ako 1 môže byť reprezentované ako súčin prvočísel (nie nevyhnutne odlišných) a navyše jedinečným spôsobom (až do poradia faktorov)."

S prirodzenými číslami sú spojené dva ďalšie dôležité aritmetické pojmy: najväčší spoločný deliteľ (GCD) a najmenší spoločný násobok (LCM). Každý z týchto pojmov vlastne definuje sám seba. Riešenie mnohých problémov uľahčujú znaky deliteľnosti, na ktoré treba pamätať.

Znak deliteľnosti 2 . Číslo je deliteľné 2, ak je jeho posledná číslica párna alebo o.

Deliteľnosť 4 znamienkami . Číslo je deliteľné 4, ak sú posledné dve číslice nuly alebo tvoria číslo deliteľné 4.

Znak deliteľnosti 8. Číslo je deliteľné 8, ak sú jeho posledné tri číslice nuly alebo tvoria číslo deliteľné 8.

Kritériá deliteľnosti pre 3 a 9. 3 sú deliteľné len tie čísla, ktorých súčet cifier je deliteľný 3; 9 - iba tie, v ktorých je súčet číslic deliteľný 9.

Znak deliteľnosti 6. Číslo je deliteľné 6, ak je deliteľné 2 aj 3.

Znak deliteľnosti 5 . 5 sú deliteľné čísla, ktorých posledná číslica je 0 alebo 5.

Znak deliteľnosti 25. 25 deliteľné sú čísla, ktorých posledné dve číslice sú nuly alebo tvoria číslo, ktoré je deliteľné 25.

Znaky deliteľnosti 10 100 1000. Len tie čísla, ktorých posledná číslica je 0, sú deliteľné 10, iba tie čísla, ktorých posledné dve číslice sú 0, sú deliteľné 100, iba tie čísla, ktorých posledné tri číslice sú 0, sú deliteľné 1000.

Znak deliteľnosti 11 . 11 sú deliteľné iba tie čísla, v ktorých sa súčet číslic na nepárnych miestach rovná súčtu číslic na párnych miestach alebo sa od neho líši číslom deliteľným 11.

V prvej lekcii sa pozrieme na prirodzené a celé čísla. celýčísla sú prirodzené čísla, ich opačné čísla a nula. Množinu celých čísel označíme Z.

II. Riešenie problémov.

PRÍKLAD 1. Faktorizujte: a) 899; b) 1000027.

Riešenie: a) ;

b) PRÍKLAD 2. Nájdite GCD čísel 2585 a 7975.

Riešenie: Použime euklidovský algoritmus:

Ak https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

220 |165 -

165|55 -

Odpoveď: gcd(2585,7975) = 55.

PRÍKLAD 3 Vypočítajte:

Riešenie: = 1987100011989. Druhý súčin sa rovná rovnakej hodnote. Preto je rozdiel 0.

PRÍKLAD 4. Nájdite čísla GCD a LCM a) 5544 a 1404; b) 198, 504 a 780.

Odpovede: a) 36; 49896; b) 6; 360360.

PRÍKLAD 5. Nájdite podiel a zvyšok pri delení

a) 5 až 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

c) -529 až (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

e) 256 až (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">

Riešenie: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.

b)

Riešenie: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.

PRÍKLAD 7..gif" width="67" height="27 src="> o 17.

Riešenie: Zadáme záznam , čo znamená, že pri delení m dávajú čísla a, b, c, ... d rovnaký zvyšok.

Preto pre každé prirodzené k bude

Ale 1989=16124+5. znamená,

Odpoveď: Zvyšok je 12.

PRÍKLAD 8. Nájdite najmenšie prirodzené číslo väčšie ako 10, ktoré by po delení 24, 45 a 56 dalo zvyšok 1.

Odpoveď: LCM(24;45;56)+1=2521.

PRÍKLAD 9. Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné 7, a po delení 3, 4 a 5 dáva zvyšok 1.

Odpoveď: 301. Inštrukcia. Medzi číslami tvaru 60k + 1 musíte nájsť najmenšie deliteľné číslom 7; k = 5.

PRÍKLAD 10. Priraďte k 23 jednu číslicu sprava a zľava tak, aby výsledné štvorciferné číslo bolo deliteľné 9 a 11.

Odpoveď: 6237.

PRÍKLAD 11. Priraďte tri číslice na zadnú stranu čísla tak, aby výsledné číslo bolo deliteľné 7, 8 a 9.

Odpoveď: 304 alebo 808. Indikácia. Číslo pri delení = 789) dáva zvyšok 200. Ak k nemu teda pripočítate 304 alebo 808, vydelí sa číslom 504.

PRÍKLAD 12. Je možné preusporiadať číslice v trojcifernom čísle deliteľnom 37 tak, aby výsledné číslo bolo deliteľné aj 37?

Odpoveď: Môžete. Poznámka..gif" width="61" height="24"> je deliteľné aj 37. Máme A = 100a + 10b + c = 37k, odkiaľ c = 37k -100a - 10b. Potom B = 100b + 10c + a = 100b + k - 100a - 10b) + a \u003d 370k - 999a, to znamená, že B je deliteľné 37.

PRÍKLAD 13. Nájdite číslo, po delení ktorým čísla 1108, 1453, 1844 a 2281 dávajú rovnaký zvyšok.

Odpoveď: 23. Indikácia. Rozdiel ľubovoľných dvoch daných čísel je deliteľný požadovaným. To znamená, že je pre nás vhodný akýkoľvek spoločný deliteľ všetkých možných rozdielov údajov okrem 1

PRÍKLAD 14. Reprezentujte 19 ako rozdiel kociek prirodzených čísel.

PRÍKLAD 15. Druhá mocnina prirodzeného čísla sa rovná súčinu štyroch po sebe idúcich nepárnych čísel. Nájdite toto číslo.

odpoveď: .

PRÍKLAD 16..gif" width="115" height="27"> nie je deliteľné 10.

Odpoveď: a) Smer. Po zoskupení prvého a posledného člena, druhého a predposledného atď. použite vzorec pre súčet kociek.

b) Označenie..gif" width="120" height="20">.

4) Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel, ktorých GCD je 5 a LCM je 105.

Odpoveď: 5, 105 alebo 15, 35.

AKTIVITA 2(2 hodiny)

Téma lekcie: Metóda matematickej indukcie.

Účel lekcie: Zvážte matematické tvrdenia vyžadujúce dôkaz; oboznámiť študentov s metódou matematickej indukcie; rozvíjať logické myslenie.

Počas vyučovania

ja. Kontrola domácich úloh.

II. Vysvetlenie nového materiálu.

V školskom kurze matematiky sú popri úlohách „Nájdite hodnotu výrazu“ aj úlohy vo forme: „Dokážte rovnosť“. Jednou z najuniverzálnejších metód na dokazovanie matematických tvrdení, v ktorých sa vyskytujú slová „pre ľubovoľné prirodzené n“, je metóda úplnej matematickej indukcie.

Dôkaz pomocou tejto metódy vždy pozostáva z troch krokov:

1) Základ indukcie. Kontroluje sa platnosť výroku pre n = 1.

V niektorých prípadoch musíte na spustenie indukcie skontrolovať niekoľko

počiatočné hodnoty.

2) Predpoklad indukcie. Predpokladá sa, že tvrdenie je pravdivé pre každého

3) Indukčný krok. Dokazujeme platnosť tvrdenia pre

Teda vychádzajúc z n = 1 na základe dokázaného indukčného kroku získame platnosť dokazovaného tvrdenia pre

n = 2, 3,...t. e) pre akékoľvek n.

Pozrime sa na pár príkladov.

PRÍKLAD 1: Dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené n je číslo je deliteľné 7.

Dôkaz: Označte .

Krok 1..gif" width="143" height="37 src="> je deliteľný číslom 7.

Krok 3..gif" width="600" height="88">

Posledné číslo je deliteľné 7, pretože je to rozdiel medzi dvoma celými číslami deliteľnými 7.

PRÍKLAD 2: Dokážte rovnosť https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> sa získava z nahradenie n za k = 1.

III. Riešenie problémov

Na prvej hodine sa z nižšie uvedených úloh (č. 1-3) vyberie niekoľko na riešenie podľa uváženia učiteľa na analýzu na tabuli. Druhá lekcia sa zaoberá № 4.5; vykonáva sa samostatná práca z č. 1-3; č. 6 sa ponúka ako doplnkový, s povinným rozhodnutím rady.

1) Dokážte, že a) je deliteľné 83;

b) je deliteľné 13;

c) je deliteľné 20801.

2) Dokážte, že pre akékoľvek prirodzené n:

a) je deliteľné 120;

b) je deliteľné 27;

v) deliteľné číslom 84;

G) je deliteľné číslom 169;

e) je deliteľné 8;

f) je deliteľné 8;

g) je deliteľné 16;

h) deliteľné číslom 49;

a) je deliteľné 41;

do) je deliteľné 23;

l) je deliteľné 13;

m) deleno .

3) Dokážte, že:

G) ;

4) Vypíšte vzorec súčtu https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">.

6) Dokážte, že súčet členov každého riadku tabuľky

…………….

sa rovná druhej mocnine nepárneho čísla, ktorého číslo v riadku sa rovná číslu riadku od začiatku tabuľky.

Odpovede a pokyny.

1) Použime zadanie uvedené v príklade 4 predchádzajúcej lekcie.

a) . Preto je deliteľné 83 .

b) Pretože , potom ;

. teda .

c) Keďže je potrebné dokázať, že dané číslo je deliteľné 11, 31 a 61..gif" width="120" height="32 src=">. Deliteľnosť 11 a 31 sa dokazuje podobne.

2) a) Dokážme, že tento výraz je deliteľný 3, 8, 5. Deliteľnosť 3 vyplýva z toho, že a z troch po sebe idúcich prirodzených čísel je jedno deliteľné 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. Na kontrolu deliteľnosti 5 stačí zvážiť hodnoty n=0,1,2,3,4.

Písanie podmienok problémov pomocou notácie akceptovanej v matematike vedie k objaveniu sa takzvaných matematických výrazov, ktoré sa jednoducho nazývajú výrazy. V tomto článku budeme hovoriť podrobne o číselné, doslovné a premenné výrazy: uvedieme definície a uvedieme príklady výrazov každého typu.

Navigácia na stránke.

Číselné výrazy - čo to je?

Oboznámenie sa s číselnými výrazmi začína takmer od prvých hodín matematiky. Ale svoje meno - číselné výrazy - oficiálne získavajú o niečo neskôr. Napríklad, ak budete sledovať kurz M. I. Moro, potom sa to stane na stránkach učebnice matematiky pre 2. ročník. Tam je zastúpenie číselných výrazov uvedené takto: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 atď. - to je všetko číselné výrazy, a ak vykonáme naznačené akcie vo výraze, tak nájdeme hodnota výrazu.

Možno konštatovať, že v tomto štádiu štúdia matematiky sa číselné výrazy nazývajú záznamy, ktoré majú matematický význam, zložené z čísel, zátvoriek a znakov sčítania a odčítania.

O niečo neskôr, po oboznámení sa s násobením a delením, začnú zápisy číselných výrazov obsahovať znaky „·“ a „:“. Tu je niekoľko príkladov: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 atď.

A na strednej škole sa rozmanitosť hesiel pre číselné výrazy rozrastá ako snehová guľa kotúľajúca sa z hory. Objavujú sa v nich bežné a desatinné zlomky, zmiešané čísla a záporné čísla, mocniny, odmocniny, logaritmy, sínusy, kosínusy atď.

Zhrňme si všetky informácie v definícii číselného výrazu:

Definícia.

Číselné vyjadrenie je kombináciou čísel, znakov aritmetických operácií, zlomkov, koreňových znakov (radikálov), logaritmov, zápisu goniometrických, inverzných goniometrických a iných funkcií, ako aj zátvoriek a iných špeciálnych matematických symbolov, zostavených v súlade s pravidlami prijatými v matematiky.

Vysvetlime si všetky základné časti vyslovenej definície.

Na numerických výrazoch sa môžu zúčastniť absolútne akékoľvek čísla: od prirodzených po skutočné a dokonca aj zložité. Teda v číselných vyjadreniach sa možno stretnúť

Všetko je jasné so znakmi aritmetických operácií - to sú znaky sčítania, odčítania, násobenia a delenia, ktoré majú tvar "+", "−", "·" a ":". V numerických výrazoch môže byť prítomný jeden z týchto znakov, niektoré z nich alebo všetky naraz a viackrát. Tu sú príklady číselných výrazov s nimi: 3+6 , 2,2+3,3+4,4+5,5 , 41-2 4:2-5+12 3 2:2:3:12-1/12.

Čo sa týka zátvoriek, existujú číselné výrazy, v ktorých sú zátvorky, aj výrazy bez nich. Ak sú v číselnom výraze zátvorky, potom v podstate sú

A niekedy majú zátvorky v číselných výrazoch nejaký špecifický, samostatne uvedený špeciálny účel. Môžete napríklad nájsť hranaté zátvorky označujúce celú časť čísla, takže číselný výraz +2 znamená, že k celočíselnej časti čísla 1,75 sa pridá číslo 2.

Z definície číselného výrazu je tiež zrejmé, že výraz môže obsahovať , , log , ln , lg , označenia a pod. Tu sú príklady číselných výrazov s nimi: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 a .

Delenie v číselných výrazoch možno označiť pomocou . V tomto prípade existujú číselné výrazy so zlomkami. Tu sú príklady takýchto výrazov: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 a .

Ako špeciálne matematické symboly a zápisy, ktoré možno nájsť v číselných výrazoch, uvádzame. Ukážme si napríklad číselné vyjadrenie s modulom .

Čo sú doslovné výrazy?

Pojem spisovné výrazy je daný takmer okamžite po oboznámení sa s číselnými výrazmi. Zadáva sa takto. V určitom číselnom vyjadrení sa nezapíše jedno z čísel, ale na jeho miesto sa vloží kruh (alebo štvorec alebo niečo podobné), pričom sa hovorí, že kruh možno nahradiť určitým číslom. Zoberme si vstup ako príklad. Ak namiesto štvorca dáte napríklad číslo 2, dostanete číselné vyjadrenie 3 + 2. Takže namiesto kruhov, štvorcov atď. súhlasili s písaním listov a takéto výrazy s písmenami sa nazývali doslovné výrazy. Vráťme sa k nášmu príkladu, ak do tohto vstupu namiesto štvorca dáme písmeno a, dostaneme doslovné vyjadrenie v tvare 3+a.

Ak teda pripustíme v číselnom vyjadrení prítomnosť písmen, ktoré označujú nejaké čísla, dostaneme takzvaný doslovný výraz. Uveďme vhodnú definíciu.

Definícia.

Volá sa výraz obsahujúci písmená, ktoré označujú nejaké čísla doslovný výraz.

Z tejto definície je zrejmé, že doslovný výraz sa zásadne líši od číselného výrazu tým, že môže obsahovať písmená. Zvyčajne sa v doslovných výrazoch používajú malé písmená latinskej abecedy (a, b, c, ...) a pri označovaní uhlov malé písmená gréckej abecedy (α, β, γ, ...).

Doslovné výrazy sa teda môžu skladať z čísel, písmen a môžu obsahovať všetky matematické symboly, ktoré možno nájsť v číselných výrazoch, ako sú zátvorky, odmocniny, logaritmy, trigonometrické a iné funkcie atď. Samostatne zdôrazňujeme, že doslovný výraz obsahuje aspoň jedno písmeno. Môže však obsahovať aj niekoľko rovnakých alebo rôznych písmen.

Teraz uvedieme niekoľko príkladov doslovných výrazov. Napríklad a+b je doslovný výraz s písmenami a a b . Tu je ďalší príklad doslovného výrazu 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. A uvádzame príklad doslovného vyjadrenia komplexnej formy: .

Výrazy s premennými

Ak v doslovnom výraze písmeno označuje hodnotu, ktorá nenadobúda žiadnu konkrétnu hodnotu, ale môže nadobúdať rôzne hodnoty, potom sa toto písmeno nazýva premenlivý a výraz sa nazýva variabilný výraz.

Definícia.

Vyjadrenie s premennými je doslovný výraz, v ktorom písmená (všetky alebo niektoré) označujú veličiny, ktoré nadobúdajú rôzne hodnoty.

Napríklad nech vo výraze x 2 −1 písmeno x môže nadobúdať ľubovoľné prirodzené hodnoty z intervalu od 0 do 10, potom x je premenná a výraz x 2 −1 je výraz s premennou x .

Stojí za zmienku, že vo výraze môže byť niekoľko premenných. Napríklad, ak považujeme x a y za premenné, potom výraz je výraz s dvoma premennými x a y .

Vo všeobecnosti prechod od pojmu doslovný výraz k výrazu s premennými nastáva v 7. ročníku, keď začínajú študovať algebru. Až do tohto bodu doslovné výrazy modelovali niektoré špecifické úlohy. V algebre sa začnú na výraz pozerať všeobecnejšie, bez odkazu na konkrétnu úlohu, s tým, že tento výraz sa hodí na obrovské množstvo úloh.

Na záver tohto odseku venujme pozornosť ešte jednému bodu: pri výskyte doslovného výrazu nie je možné zistiť, či písmená v ňom obsiahnuté sú premenné alebo nie. Preto nám nič nebráni považovať tieto písmená za premenné. V tomto prípade zaniká rozdiel medzi pojmami „doslovný výraz“ a „výraz s premennými“.

Bibliografia.

• Matematika. 2 bunky Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie s adj. na elektrón. nosič. O 14. hodine 1. časť / [M. I. Moro, M. A. Bantová, G. V. Beltyuková a ďalší] - 3. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2012. - 96 s.: chor. - (Ruská škola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Matematika: štúdium. pre 5 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: chor. ISBN 5-346-00699-0.
• algebra: učebnica pre 7 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Doslovný výraz (alebo výraz s premennými) je matematický výraz, ktorý pozostáva z čísel, písmen a znakov matematických operácií. Napríklad nasledujúci výraz je doslovný:

a+b+4

Pomocou doslovných výrazov môžete zapisovať zákony, vzorce, rovnice a funkcie. Schopnosť manipulovať s doslovnými výrazmi je kľúčom k dobrej znalosti algebry a vyššej matematiky.

Akýkoľvek vážny problém v matematike sa týka riešenia rovníc. A aby ste mohli riešiť rovnice, musíte vedieť pracovať s doslovnými výrazmi.

Aby ste mohli pracovať s doslovnými výrazmi, musíte si dobre naštudovať základné aritmetiky: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, základné matematické zákony, zlomky, operácie so zlomkami, proporcie. A nielen študovať, ale dôkladne pochopiť.

Obsah lekcie

Premenné

Písmená, ktoré sú obsiahnuté v doslovných výrazoch, sa nazývajú premenné. Napríklad vo výraze a+b+ 4 premenné sú písmená a a b. Ak namiesto týchto premenných dosadíme ľubovoľné čísla, potom doslovný výraz a+b+ 4 sa zmení na číselný výraz, ktorého hodnotu možno nájsť.

Zavolajú sa čísla, ktoré sú nahradené premennými premenné hodnoty. Napríklad zmeňme hodnoty premenných a a b. Na zmenu hodnôt použite znak rovnosti

a = 2, b = 3

Zmenili sme hodnoty premenných a a b. premenlivý a priradená hodnota 2 , variabilný b priradená hodnota 3 . V dôsledku toho doslovný výraz a+b+4 prevedie na normálny číselný výraz 2+3+4 ktorých hodnotu možno nájsť:

Keď sa premenné vynásobia, zapíšu sa spolu. Napríklad vstup ab znamená to isté ako záznam a x b. Ak dosadíme namiesto premenných a a bčísla 2 a 3 , potom dostaneme 6

Spolu môžete napísať aj násobenie čísla výrazom v zátvorkách. Napríklad namiesto a×(b + c) dá sa napísať a(b + c). Aplikovaním distributívneho zákona násobenia dostaneme a(b + c)=ab+ac.

Šance

V doslovných výrazoch sa často môžete stretnúť so zápisom, v ktorom sa napríklad spolu zapisuje číslo a premenná 3a. V skutočnosti je to skratka pre násobenie čísla 3 premennou. a a tento záznam vyzerá 3×a .

Inými slovami, výraz 3a je súčin čísla 3 a premennej a. číslo 3 v tejto práci je tzv koeficient. Tento koeficient ukazuje, koľkokrát sa premenná zvýši a. Tento výraz možno čítať ako „ a trikrát alebo trikrát a", alebo "zvýšiť hodnotu premennej a trikrát“, ale najčastejšie sa číta ako „tri a«

Napríklad, ak premenná a rovná sa 5 , potom hodnotu výrazu 3a sa bude rovnať 15.

3 x 5 = 15

Zjednodušene povedané, koeficient je číslo, ktoré sa nachádza pred písmenom (pred premennou).

Môže tam byť viacero písmen, napr 5abc. Tu je koeficient číslo 5 . Tento koeficient ukazuje, že súčin premenných abc zvyšuje päťkrát. Tento výraz možno čítať ako „ abc päťkrát“ alebo „zvýšiť hodnotu výrazu abc päťkrát“ alebo „päť abc «.

Ak namiesto premenných abc dosaďte čísla 2, 3 a 4, potom hodnotu výrazu 5abc sa bude rovnať 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

Môžete si v duchu predstaviť, ako sa čísla 2, 3 a 4 najprv vynásobili a výsledná hodnota sa zvýšila päťkrát:

Znamienko koeficientu sa vzťahuje len na koeficient a neplatí pre premenné.

Zvážte výraz -6b. Mínus pred koeficientom 6 , vzťahuje sa len na koeficient 6 , a nevzťahuje sa na premennú b. Pochopenie tejto skutočnosti vám umožní v budúcnosti nerobiť chyby so znakmi.

Nájdite hodnotu výrazu -6b pri b = 3.

-6b −6×b. Pre prehľadnosť napíšeme výraz -6b v rozšírenej forme a nahradiť hodnotu premennej b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu -6b pri b = -5

Napíšeme výraz -6b v rozšírenej forme

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu −5a+b pri a = 3 a b = 2

−5a+b je skrátená forma pre −5 × a + b, preto pre názornosť píšeme výraz −5×a+b v rozšírenej forme a nahraďte hodnoty premenných a a b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Niekedy sa písmená píšu napríklad bez koeficientu a alebo ab. V tomto prípade je koeficient jeden:

ale jednotka sa tradične nezapisuje, tak len píšu a alebo ab

Ak je pred písmenom mínus, potom je koeficient číslo −1 . Napríklad výraz -a v skutočnosti vyzerá −1a. Toto je súčin mínus jedna a premennej a. Vyšlo to takto:

−1 × a = −1a

Tu je malý trik. Vo výraze -a mínus pred premennou a v skutočnosti odkazuje na "neviditeľnú jednotku" a nie na premennú a. Preto by ste pri riešení problémov mali byť opatrní.

Napríklad vzhľadom na výraz -a a žiada sa od nás, aby sme našli jeho hodnotu na a = 2, potom sme v škole namiesto premennej dosadili dvojku a a získajte odpoveď −2 , v skutočnosti sa nesústredím na to, ako to dopadlo. V skutočnosti došlo k vynásobeniu mínus jedna kladným číslom 2

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Ak je daný výraz -a a je potrebné nájsť jeho hodnotu na a = -2, potom nahradíme −2 namiesto premennej a

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × (–2) = 2

Aby sa predišlo chybám, najskôr neviditeľné jednotky môžu byť napísané explicitne.

Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu abc pri a=2 , b=3 a c=4

Výraz abc 1×a×b×c. Pre prehľadnosť napíšeme výraz abc a , b a c

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Príklad 5 Nájdite hodnotu výrazu abc pri a = -2, b = -3 a c=-4

Napíšeme výraz abc v rozšírenej forme a nahraďte hodnoty premenných a , b a c

1 × a × b × c = 1 × (–2) × (–3) × (–4) = –24

Príklad 6 Nájdite hodnotu výrazu − abc pri a=3, b=5 a c=7

Výraz − abc je skrátená forma pre −1×a×b×c. Pre prehľadnosť napíšeme výraz − abc v rozšírenej forme a nahraďte hodnoty premenných a , b a c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Príklad 7 Nájdite hodnotu výrazu − abc pri a=-2, b=-4 a c=-3

Napíšeme výraz − abc rozšírené:

−abc = −1 × a × b × c

Dosaďte hodnotu premenných a , b a c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (–2) × (–4) × (–3) = 24

Ako určiť koeficient

Niekedy je potrebné vyriešiť problém, v ktorom je potrebné určiť koeficient výrazu. V zásade je táto úloha veľmi jednoduchá. Stačí vedieť správne násobiť čísla.

Ak chcete určiť koeficient vo výraze, musíte samostatne vynásobiť čísla zahrnuté v tomto výraze a samostatne vynásobiť písmená. Výsledným číselným faktorom bude koeficient.

Príklad 1 7m × 5a × (-3) × n

Výraz sa skladá z niekoľkých faktorov. To možno jasne vidieť, ak je výraz napísaný v rozšírenej forme. To znamená, že funguje 7 m a 5a napíšte do formulára 7 × m a 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Aplikujeme asociatívny zákon násobenia, ktorý nám umožňuje násobiť faktory v ľubovoľnom poradí. Konkrétne vynásobte samostatne čísla a oddelene vynásobte písmená (premenné):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Koeficient je −105 . Po dokončení je časť písmena prednostne usporiadaná v abecednom poradí:

−105 hod

Príklad 2 Určte koeficient vo výraze: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeficient je 6.

Príklad 3 Určte koeficient vo výraze:

Vynásobme čísla a písmená oddelene:

Koeficient je -1. Upozorňujeme, že jednotka sa nezaznamenáva, pretože koeficient 1 sa zvyčajne nezaznamenáva.

Tieto zdanlivo jednoduché úlohy si s nami môžu zahrať veľmi krutý vtip. Často sa ukáže, že znamienko koeficientu je nastavené nesprávne: buď sa vynechá mínus, alebo sa naopak nastaví márne. Aby sa predišlo týmto nepríjemným chybám, musí sa študovať na dobrej úrovni.

Termíny v doslovných výrazoch

Keď sčítate niekoľko čísel, dostanete súčet týchto čísel. Čísla, ktoré sa sčítavajú, sa nazývajú pojmy. Termínov môže byť viacero, napr.

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Keď výraz pozostáva z členov, je oveľa jednoduchšie ho vypočítať, pretože je jednoduchšie sčítať ako odčítať. Ale výraz môže obsahovať nielen sčítanie, ale aj odčítanie, napríklad:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

V tomto výraze sú čísla 3 a 5 odčítané, nie sčítané. Ale nič nám nebráni nahradiť odčítanie sčítaním. Potom opäť dostaneme výraz pozostávajúci z výrazov:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Nezáleží na tom, že čísla -3 a -5 sú teraz so znamienkom mínus. Hlavná vec je, že všetky čísla v tomto výraze sú spojené znakom sčítania, to znamená, že výraz je súčet.

Oba výrazy 1 + 2 − 3 + 4 − 5 a 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) sa rovnajú rovnakej hodnote - mínus jedna

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Hodnota výrazu teda neutrpí tým, že odčítanie niekde nahradíme sčítaním.

Odčítanie môžete nahradiť aj sčítaním v doslovných výrazoch. Zvážte napríklad nasledujúci výraz:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s)

Pre akékoľvek hodnoty premenných a B C d a s výrazov 7a + 6b - 3c + 2d - 4s a 7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s) sa bude rovnať rovnakej hodnote.

Musíte byť pripravení na to, že učiteľ v škole alebo učiteľ na ústave môže nazývať termínmi aj tie čísla (alebo premenné), ktoré nimi nie sú.

Napríklad, ak je rozdiel napísaný na tabuli a-b, tak to učiteľ nepovie a je minuend a b- odpočítateľný. Nazve obe premenné jedným spoločným slovom - podmienky. A to všetko kvôli vyjadreniu formy a-b matematik vidí ako súčet a + (-b). V tomto prípade sa výraz stane súčtom a premennými a a (-b) stať sa komponentmi.

Podobné výrazy

Podobné výrazy sú výrazy, ktoré majú rovnakú časť písmena. Zvážte napríklad výraz 7a + 6b + 2a. Podmienky 7a a 2a majú rovnakú písmennú časť - premennú a. Takže podmienky 7a a 2a sú podobné.

Zvyčajne sa podobné výrazy pridávajú na zjednodušenie výrazu alebo vyriešenie rovnice. Táto operácia sa nazýva zníženie podobných podmienok.

Ak chcete získať podobné výrazy, musíte pridať koeficienty týchto výrazov a vynásobiť výsledok spoločnou písmenom.

Napríklad vo výraze uvádzame podobné výrazy 3a + 4a + 5a. V tomto prípade sú všetky pojmy podobné. Spočítame ich koeficienty a výsledok vynásobíme spoločnou písmenovou časťou – premennou a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Takéto výrazy sú zvyčajne uvedené v mysli a výsledok je okamžite zaznamenaný:

3a + 4a + 5a = 12a

Môžete tiež argumentovať takto:

Boli k nim 3 premenné a , 4 ďalšie premenné a a 5 ďalších premenných a. Výsledkom je 12 premenných a

Uvažujme o niekoľkých príkladoch redukcie podobných výrazov. Vzhľadom na to, že táto téma je veľmi dôležitá, najskôr si podrobne zapíšeme každý detail. Napriek tomu, že je tu všetko veľmi jednoduché, väčšina ľudí robí veľa chýb. Väčšinou kvôli nepozornosti, nie nevedomosti.

Príklad 1 3+ 2+ 6+ 8a

V tomto výraze spočítame koeficienty a výsledok vynásobíme spoločnou časťou písmena:

3+ 2+ 6+ 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19a

Stavba (3 + 2 + 6 + 8) × a nemôžete zapísať, takže odpoveď ihneď zapíšeme

3 + 2 + 6 + 8 a = 19 a

Príklad 2 Uveďte podobné výrazy vo výraze 2a+a

Druhý termín a napísané bez koeficientu, ale v skutočnosti mu predchádza koeficient 1 , ktorý nevidíme vďaka tomu, že nie je zaznamenaný. Takže výraz vyzerá takto:

2a + 1a

Teraz uvádzame podobné pojmy. To znamená, že spočítame koeficienty a vynásobíme výsledok spoločnou časťou písmena:

2a + 1a = (2 + 1) x a = 3a

Napíšme riešenie v skratke:

2a + a = 3a

2a+a, môžete argumentovať iným spôsobom:

Príklad 3 Uveďte podobné výrazy vo výraze 2a - a

Nahraďte odčítanie sčítaním:

2a + (-a)

Druhý termín (-a) napísané bez koeficientu, ale v skutočnosti to tak vyzerá (-1a). Koeficient −1 opäť neviditeľný kvôli tomu, že nie je zaznamenaný. Takže výraz vyzerá takto:

2a + (-1a)

Teraz uvádzame podobné pojmy. Spočítame koeficienty a výsledok vynásobíme spoločnou časťou písmena:

2a + (-1a) = (2 + (-1)) × a = 1a = a

Zvyčajne sa píše kratšie:

2a − a = a

Uvedenie podobných výrazov do výrazu 2a-a Môžete argumentovať aj inak:

Boli tam 2 premenné a , odpočítaná jedna premenná a , výsledkom čoho bola len jedna premenná a

Príklad 4 Uveďte podobné výrazy vo výraze 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Teraz uvádzame podobné pojmy. Koeficienty sčítame a výsledok vynásobíme spoločnou písmenovou časťou

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Napíšme riešenie v skratke:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Existujú výrazy, ktoré obsahujú niekoľko rôznych skupín podobných výrazov. Napríklad, 3a + 3b + 7a + 2b. Pre takéto výrazy platia rovnaké pravidlá ako pre ostatné, a to sčítanie koeficientov a vynásobenie výsledku spoločnou písmenovou časťou. Aby sa však predišlo chybám, je vhodné podčiarknuť rôzne skupiny pojmov rôznymi čiarami.

Napríklad vo výraze 3a + 3b + 7a + 2b tie výrazy, ktoré obsahujú premennú a, môžu byť podčiarknuté jedným riadkom a tie výrazy, ktoré obsahujú premennú b, možno podčiarknuť dvoma riadkami:

Teraz môžeme priniesť podobné podmienky. To znamená, že pridajte koeficienty a vynásobte výsledok spoločnou písmenom. Toto je potrebné urobiť pre obe skupiny výrazov: pre výrazy obsahujúce premennú a a pre výrazy obsahujúce premennú b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Znova opakujeme, že výraz je jednoduchý a v mysli sa dajú uviesť podobné výrazy:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Príklad 5 Uveďte podobné výrazy vo výraze 5a - 6a - 7b + b

Kde je to možné, nahrádzame odčítanie sčítaním:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Podčiarknite podobné výrazy rôznymi čiarami. Výrazy obsahujúce premenné a podčiarknite jedným riadkom a výrazy obsahujúce premenné b, podčiarknuté dvoma riadkami:

Teraz môžeme priniesť podobné podmienky. To znamená, že pridajte koeficienty a vynásobte výsledok spoločnou časťou písmena:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Ak výraz obsahuje obyčajné čísla bez abecedných faktorov, pridajú sa samostatne.

Príklad 6 Uveďte podobné výrazy vo výraze 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Kde je to možné, nahraďme odčítanie sčítaním:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (-5) + 2b + 7

Ukážeme si podobné pojmy. čísla −5 a 7 nemajú doslovné faktory, ale sú to podobné pojmy - stačí ich spočítať. A termín 2b zostane nezmenený, pretože ako jediný v tomto výraze má koeficient písmen b, a k tomu nie je čo dodať:

4a + 3a + (-5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (-5) + 7 = 7a + 2b + 2

Napíšme riešenie v skratke:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termíny je možné usporiadať tak, že termíny, ktoré majú rovnakú časť písmena, sa nachádzajú v rovnakej časti výrazu.

Príklad 7 Uveďte podobné výrazy vo výraze 5t+2x+3x+5t+x

Keďže výraz je súčtom niekoľkých pojmov, umožňuje nám to hodnotiť ho v ľubovoľnom poradí. Preto výrazy obsahujúce premennú t, možno napísať na začiatok výrazu a výrazy obsahujúce premennú X na konci výrazu:

5t+5t+2x+3x+x

Teraz môžeme pridať podobné výrazy:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Napíšme riešenie v skratke:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Súčet opačných čísel je nula. Toto pravidlo funguje aj pre doslovné výrazy. Ak výraz obsahuje rovnaké výrazy, ale s opačnými znamienkami, môžete sa ich zbaviť vo fáze znižovania podobných výrazov. Inými slovami, jednoducho ich vypustite z výrazu, pretože ich súčet je nula.

Príklad 8 Uveďte podobné výrazy vo výraze 3t − 4t − 3t + 2t

Kde je to možné, nahraďme odčítanie sčítaním:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Podmienky 3t a (-3t) sú opačné. Súčet opačných členov sa rovná nule. Ak túto nulu z výrazu odstránime, potom sa hodnota výrazu nezmení, preto ju odstránime. A odstránime ho obvyklým vymazaním podmienok 3t a (-3t)

V dôsledku toho budeme mať výraz (-4t) + 2t. V tomto výraze môžete pridať podobné výrazy a získať konečnú odpoveď:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Napíšme riešenie v skratke:

Zjednodušenie výrazov

"zjednodušiť výraz" a nasleduje výraz, ktorý sa má zjednodušiť. Zjednodušte výraz znamená to zjednodušiť a skrátiť.

V podstate sme sa už zaoberali zjednodušovaním výrazov pri redukcii zlomkov. Po zmenšení sa zlomok skrátil a bol ľahšie čitateľný.

Zvážte nasledujúci príklad. Zjednodušte výraz.

Túto úlohu možno doslova chápať takto: "Urobte s týmto výrazom všetko, čo môžete, ale urobte to jednoduchšie" .

V tomto prípade môžete zlomok zmenšiť, konkrétne vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku 2:

Čo sa dá ešte urobiť? Môžete vypočítať výsledný zlomok. Potom dostaneme desatinnú hodnotu 0,5

V dôsledku toho sa zlomok zjednodušil na 0,5.

Prvá otázka, ktorú si treba položiť pri riešení takýchto problémov, by mala byť "čo sa dá robiť?" . Pretože sú veci, ktoré môžeš a sú veci, ktoré nemôžeš.

Ďalším dôležitým bodom, ktorý treba mať na pamäti, je, že hodnota výrazu sa po zjednodušení výrazu nesmie zmeniť. Vráťme sa k výrazu. Tento výraz je delenie, ktoré možno vykonať. Po vykonaní tohto delenia dostaneme hodnotu tohto výrazu, ktorá sa rovná 0,5

Výraz sme však zjednodušili a dostali sme nový zjednodušený výraz. Hodnota nového zjednodušeného výrazu je stále 0,5

Ale snažili sme sa výraz zjednodušiť aj výpočtom. Výsledkom bolo, že konečná odpoveď bola 0,5.

Nech už teda výraz zjednodušíme akokoľvek, hodnota výsledných výrazov je stále 0,5. To znamená, že zjednodušenie bolo v každej fáze vykonané správne. O to sa treba pri zjednodušovaní výrazov snažiť – význam výrazu by nemal trpieť naším konaním.

Často je potrebné zjednodušiť doslovné výrazy. Pre nich platia rovnaké pravidlá zjednodušenia ako pre číselné výrazy. Môžete vykonať akúkoľvek platnú akciu, pokiaľ sa hodnota výrazu nezmení.

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad 1 Zjednodušte výraz 5,21 s × t × 2,5

Pre zjednodušenie tohto výrazu môžete násobiť čísla oddelene a násobiť písmená oddelene. Táto úloha je veľmi podobná tej, ktorú sme zvažovali, keď sme sa naučili určovať koeficient:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Takže výraz 5,21 s × t × 2,5 zjednodušené na 13,025 st.

Príklad 2 Zjednodušte výraz −0,4×(−6,3b)×2

Druhá práca (-6,3b) možno preložiť do pre nás zrozumiteľnej formy, a to napísanej vo forme ( −6,3)×b, potom oddelene vynásobte čísla a oddelene vynásobte písmená:

− 0,4 × (-6,3b) × 2 = − 0,4 × (-6,3) × b × 2 = 5,04b

Takže výraz −0,4×(−6,3b)×2 zjednodušené na 5.04b

Príklad 3 Zjednodušte výraz

Napíšme tento výraz podrobnejšie, aby sme jasne videli, kde sú čísla a kde sú písmená:

Teraz vynásobíme čísla oddelene a vynásobíme písmená oddelene:

Takže výraz zjednodušené na −abc. Toto riešenie možno napísať kratšie:

Pri zjednodušovaní výrazov je možné zlomky zmenšiť už v procese riešenia a nie až na samom konci, ako sme to robili pri obyčajných zlomkoch. Napríklad, ak v priebehu riešenia narazíme na výraz vo forme , potom vôbec nie je potrebné počítať čitateľa a menovateľa a robiť niečo také:

Zlomok možno zmenšiť výberom faktora v čitateli aj menovateli a znížením týchto faktorov o ich najväčšieho spoločného deliteľa. Inými slovami, použite , v ktorom podrobne nepopisujeme, na čo sa delil čitateľ a menovateľ.

Napríklad v čitateli, súčiniteľ 12 a v menovateli možno súčiniteľ 4 zmenšiť o 4. Štvorku si ponecháme v pamäti a vydelením 12 a 4 touto štvorkou napíšeme odpovede k týmto číslam, keď ich predtým preškrtol

Teraz môžete výsledné malé faktory vynásobiť. V tomto prípade ich nie je veľa a môžete si ich v duchu znásobiť:

Časom sa vám môže stať, že pri riešení konkrétneho problému výrazy začnú „tucnúť“, preto je vhodné zvyknúť si na rýchle výpočty. Čo sa dá vypočítať v mysli, musí sa spočítať v mysli. Čo sa dá rýchlo rezať, treba rýchlo rezať.

Príklad 4 Zjednodušte výraz

Takže výraz zjednodušené na

Príklad 5 Zjednodušte výraz

Čísla násobíme zvlášť a písmená zvlášť:

Takže výraz zjednodušené na mn.

Príklad 6 Zjednodušte výraz

Napíšme tento výraz podrobnejšie, aby sme jasne videli, kde sú čísla a kde sú písmená:

Teraz vynásobíme čísla zvlášť a písmená zvlášť. Pre uľahčenie výpočtov je možné desatinný zlomok -6,4 a zmiešané číslo previesť na bežné zlomky:

Takže výraz zjednodušené na

Riešenie tohto príkladu možno napísať oveľa stručnejšie. Bude to vyzerať takto:

Príklad 7 Zjednodušte výraz

Samostatne násobíme čísla a zvlášť písmená. Pre uľahčenie výpočtu je možné zmiešané číslo a desatinné zlomky 0,1 a 0,6 previesť na bežné zlomky:

Takže výraz zjednodušené na a B C d. Ak preskočíte podrobnosti, toto riešenie možno napísať oveľa kratšie:

Všimnite si, ako sa zlomok zmenšil. Nové multiplikátory, ktoré sa získajú znížením predchádzajúcich multiplikátorov, môžu byť tiež znížené.

Teraz si povedzme, čo nerobiť. Pri zjednodušovaní výrazov je prísne zakázané násobiť čísla a písmená, ak je výrazom súčet a nie súčin.

Napríklad, ak chcete zjednodušiť výraz 5a + 4b, potom to nemôže byť napísané takto:

To je ekvivalentné tomu, že keby sme boli požiadaní o sčítanie dvoch čísel, namiesto sčítania by sme ich vynásobili.

Pri nahrádzaní akýchkoľvek hodnôt premenných a a b výraz 5a+4b sa zmení na jednoduchý číselný výraz. Predpokladajme premenné a a b majú nasledujúce významy:

a = 2, b = 3

Potom bude hodnota výrazu 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Najprv sa vykoná násobenie a potom sa pridajú výsledky. A ak by sme sa pokúsili tento výraz zjednodušiť vynásobením čísel a písmen, dostali by sme nasledovné:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Ukazuje sa úplne iný význam výrazu. V prvom prípade sa to ukázalo 22 , v druhom prípade 120 . To znamená, že zjednodušenie výrazu 5a + 4b bola vykonaná nesprávne.

Po zjednodušení výrazu by sa jeho hodnota nemala meniť s rovnakými hodnotami premenných. Ak sa pri nahradení akýchkoľvek hodnôt premenných do pôvodného výrazu získa jedna hodnota, potom po zjednodušení výrazu by sa mala získať rovnaká hodnota ako pred zjednodušením.

S výrazom 5a + 4b vlastne sa nedá nič robiť. Ľahšie to už nejde.

Ak výraz obsahuje podobné výrazy, možno ich pridať, ak je naším cieľom výraz zjednodušiť.

Príklad 8 Zjednodušte výraz 0,3a-0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

alebo kratšie: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Takže výraz 0,3a-0,4a+a zjednodušené na 0,9a

Príklad 9 Zjednodušte výraz −7,5a − 2,5b + 4a

Na zjednodušenie tohto výrazu môžete pridať podobné výrazy:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

alebo kratšie −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

termín (-2,5b) zostal nezmenený, keďže ho nebolo čím zložiť.

Príklad 10 Zjednodušte výraz

Na zjednodušenie tohto výrazu môžete pridať podobné výrazy:

Koeficient bol pre pohodlie výpočtu.

Takže výraz zjednodušené na

Príklad 11. Zjednodušte výraz

Na zjednodušenie tohto výrazu môžete pridať podobné výrazy:

Takže výraz zjednodušené na .

V tomto príklade by bolo zmysluplnejšie najprv pridať prvý a posledný koeficient. V tomto prípade by sme dostali krátke riešenie. Vyzeralo by to takto:

Príklad 12. Zjednodušte výraz

Na zjednodušenie tohto výrazu môžete pridať podobné výrazy:

Takže výraz zjednodušené na .

Termín zostal nezmenený, keďže k nemu nebolo čo dodať.

Toto riešenie možno napísať oveľa kratšie. Bude to vyzerať takto:

Krátke riešenie vynecháva kroky nahradenia odčítania sčítaním a podrobný záznam toho, ako boli zlomky zredukované na spoločného menovateľa.

Ďalším rozdielom je, že v podrobnom riešení vyzerá odpoveď takto , ale v skratke ako . V skutočnosti je to rovnaký výraz. Rozdiel je v tom, že v prvom prípade sa odčítanie nahrádza sčítaním, pretože na začiatku, keď sme si riešenie podrobne zapísali, sme odčítanie všade tam, kde to bolo možné, nahradili sčítaním a táto náhrada zostala zachovaná aj pre odpoveď.

identity. Identické rovnaké výrazy

Po zjednodušení akéhokoľvek výrazu sa stáva jednoduchším a kratším. Na kontrolu správnosti zjednodušenia výrazu stačí dosadiť ľubovoľné hodnoty premenných najskôr do predchádzajúceho výrazu, ktorý bolo potrebné zjednodušiť, a potom do nového, ktorý bol zjednodušený. Ak je hodnota v oboch výrazoch rovnaká, potom je výraz správne zjednodušený.

Uvažujme o najjednoduchšom príklade. Nech sa vyžaduje zjednodušenie výrazu 2a x 7b. Na zjednodušenie tohto výrazu môžete samostatne vynásobiť čísla a písmená:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Skontrolujeme, či sme výraz zjednodušili správne. Ak to chcete urobiť, nahraďte ľubovoľné hodnoty premenných a a b najprv na prvý výraz, ktorý bolo potrebné zjednodušiť a potom na druhý, ktorý sa zjednodušil.

Nechajte hodnoty premenných a , b bude nasledovný:

a = 4, b = 5

Nahraďte ich v prvom výraze 2a x 7b

Teraz dosaďte rovnaké hodnoty premenných do výrazu, ktorý vyplynul zo zjednodušenia 2a × 7b, a to vo výraze 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Vidíme to na a=4 a b = 5 hodnotu prvého výrazu 2a × 7b a hodnotu druhého výrazu 14ab rovný

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

To isté sa stane s akýmikoľvek inými hodnotami. Napríklad nech a=1 a b = 2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Teda pre akékoľvek hodnoty premenných, výrazy 2a × 7b a 14ab sa rovnajú rovnakej hodnote. Takéto výrazy sa nazývajú identicky rovnaké.

Usudzujeme, že medzi výrazmi 2a × 7b a 14ab môžete dať znamienko rovnosti, pretože sa rovnajú rovnakej hodnote.

2a × 7b = 14ab

Rovnosť je akýkoľvek výraz, ktorý je spojený znakom rovnosti (=).

A rovnosť formy 2a × 7b = 14ab volal identity.

Identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky hodnoty premenných.

Ďalšie príklady identít:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Áno, zákony matematiky, ktoré sme študovali, sú identity.

Skutočné číselné rovnosti sú tiež identity. Napríklad:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Pri riešení zložitého problému, aby sa uľahčil výpočet, je zložitý výraz nahradený jednoduchším výrazom, ktorý je identicky rovnaký ako predchádzajúci. Takáto náhrada je tzv identická transformácia výrazu alebo jednoducho konverzia výrazu.

Napríklad sme zjednodušili výraz 2a x 7b a získajte jednoduchší výraz 14ab. Toto zjednodušenie možno nazvať transformáciou identity.

Často môžete nájsť úlohu, ktorá hovorí "dokázať, že rovnosť je identita" a potom je daná rovnosť, ktorá sa má dokázať. Zvyčajne sa táto rovnosť skladá z dvoch častí: ľavej a pravej časti rovnosti. Našou úlohou je vykonať identické transformácie s jednou z častí rovnosti a získať druhú časť. Alebo vykonajte identické transformácie s oboma časťami rovnosti a uistite sa, že obe časti rovnosti obsahujú rovnaké výrazy.

Dokážme napríklad, že rovnosť 0,5a × 5b = 2,5ab je identita.

Zjednodušte ľavú stranu tejto rovnosti. Ak to chcete urobiť, vynásobte čísla a písmená oddelene:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

V dôsledku malej transformácie identity sa ľavá strana rovnosti stala rovnocennou s pravou stranou rovnosti. Takže sme dokázali, že rovnosť 0,5a × 5b = 2,5ab je identita.

Z identických transformácií sme sa naučili sčítať, odčítať, násobiť a deliť čísla, zmenšovať zlomky, prinášať podobné pojmy a tiež zjednodušovať niektoré výrazy.

Ale to zďaleka nie sú všetky identické transformácie, ktoré existujú v matematike. Rovnakých premien je oveľa viac. V budúcnosti to znova a znova uvidíme.

Úlohy na samostatné riešenie:

Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine Vkontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie

Výrazy, konverzia výrazov

Mocninné výrazy (výrazy s mocninami) a ich premena

V tomto článku budeme hovoriť o transformácii výrazov pomocou mocničiek. Najprv sa zameriame na transformácie, ktoré sa vykonávajú s výrazmi akéhokoľvek druhu, vrátane mocninných výrazov, ako sú otváracie zátvorky, redukujúce podobné výrazy. A potom budeme analyzovať transformácie spojené s výrazmi s mocninami: práca so základom a exponentom, používanie vlastností mocničiek atď.

Navigácia na stránke.

Čo sú mocenské výrazy?

Pojem „mocenské výrazy“ sa v školských učebniciach matematiky prakticky nevyskytuje, často sa však vyskytuje v zbierkach úloh, najmä na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku a napr. OGE. Po analýze úloh, v ktorých je potrebné vykonať akékoľvek akcie s mocenskými výrazmi, je jasné, že mocenské výrazy sa chápu ako výrazy, ktoré vo svojich záznamoch obsahujú stupne. Preto si pre seba môžete vziať nasledujúcu definíciu:

Definícia.

Mocenské výrazy sú výrazy obsahujúce mocniny.

Poďme priniesť príklady mocenských výrazov. Navyše ich predstavíme podľa toho, ako sa názory vyvinú od stupňa s prirodzeným ukazovateľom po stupeň so skutočným ukazovateľom.

Ako viete, najprv je oboznámenie sa so stupňom čísla s prirodzeným exponentom, v tejto fáze sú prvé najjednoduchšie mocninné výrazy typu 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 atď.

O niečo neskôr sa študuje mocnina čísla s celočíselným exponentom, čo vedie k objaveniu sa mocninných výrazov so zápornými celočíselnými mocninami, ako napríklad: 3 −2, a -2 +2 b -3 + c2.

Vo vyšších ročníkoch sa opäť vracajú k titulom. Tam je zavedený stupeň s racionálnym exponentom, ktorý vedie k objaveniu sa zodpovedajúcich mocninných výrazov: , , atď. Nakoniec sa uvažujú stupne s iracionálnymi exponentmi a výrazy, ktoré ich obsahujú: , .

Vec sa neobmedzuje len na uvedené mocninné výrazy: ďalej premenná preniká do exponentu a existujú napríklad také výrazy 2 x 2 +1 resp. . A po oboznámení sa s tým sa začnú objavovať výrazy s mocninami a logaritmami, napríklad x 2 lgx −5 x lgx.

Takže sme prišli na otázku, čo sú výrazy moci. Ďalej sa naučíme, ako ich transformovať.

Hlavné typy transformácií mocenských výrazov

Pomocou mocenských výrazov môžete vykonávať akúkoľvek zo základných transformácií identity výrazov. Môžete napríklad rozšíriť zátvorky, nahradiť číselné výrazy ich hodnotami, pridať podobné výrazy atď. Prirodzene, v tomto prípade je potrebné dodržať prijatý postup vykonávania úkonov. Uveďme si príklady.

Príklad.

Vypočítajte hodnotu mocninného výrazu 2 3 ·(4 2 −12) .

rozhodnutie.

Podľa poradia akcií najskôr vykonáme akcie v zátvorkách. Tam po prvé nahradíme mocninu 4 2 jej hodnotou 16 (prípadne pozri) a po druhé vypočítame rozdiel 16−12=4 . Máme 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Vo výslednom výraze nahradíme mocninu 2 3 jej hodnotou 8 , po čom vypočítame súčin 8·4=32 . Toto je požadovaná hodnota.

takze 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

odpoveď:

2 3 (4 2 - 12) = 32 .

Príklad.

Zjednodušte mocenské výrazy 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

rozhodnutie.

Je zrejmé, že tento výraz obsahuje podobné výrazy 3 · a 4 · b − 7 a 2 · a 4 · b − 7 a môžeme ich zredukovať: .

odpoveď:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Príklad.

Vyjadrite výraz so schopnosťami ako produkt.

rozhodnutie.

Vyrovnať sa s úlohou umožňuje znázornenie čísla 9 ako mocniny 3 2 a následné použitie redukovaného vzorca násobenia, rozdielu štvorcov:

odpoveď:

Existuje tiež množstvo identických transformácií, ktoré sú súčasťou mocenských výrazov. Ďalej ich budeme analyzovať.

Práca so základom a exponentom

Existujú stupne, ktorých základom a / alebo indikátorom nie sú len čísla alebo premenné, ale niektoré výrazy. Ako príklad si napíšme (2+0,3 7) 5−3,7 a (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Pri práci s takýmito výrazmi je možné nahradiť výraz v základe stupňa aj výraz v ukazovateli zhodne rovnakým výrazom na DPV jeho premenných. Inými slovami, podľa pravidiel, ktoré sú nám známe, môžeme samostatne previesť základ stupňa a samostatne - indikátor. Je zrejmé, že v dôsledku tejto transformácie sa získa výraz, ktorý je identicky rovnaký ako pôvodný.

Takéto transformácie nám umožňujú zjednodušiť vyjadrenia pomocou právomocí alebo dosiahnuť iné ciele, ktoré potrebujeme. Napríklad vo vyššie uvedenom mocnine (2+0,3 7) 5−3,7 môžete vykonávať operácie s číslami v základe a exponente, čo vám umožní prejsť na mocninu 4,1 1,3. A po otvorení zátvoriek a vložení podobných výrazov do základne stupňa (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) dostaneme mocninné vyjadrenie jednoduchšieho tvaru a 2·(x+1 ).

Používanie vlastností napájania

Jedným z hlavných nástrojov na transformáciu výrazov pomocou právomocí sú rovnosti, ktoré odrážajú . Pripomeňme si tie hlavné. Pre všetky kladné čísla a a b a ľubovoľné reálne čísla r a s platia nasledujúce mocninné vlastnosti:

• a r a s =a r+s;
• a r:a s =a r−s ;
• (ab) r = a r b r;
• (a:b) r = a r: br;
• (a r) s = a r s .

Všimnite si, že pre prirodzené, celé a kladné exponenty nemusia byť obmedzenia pre čísla a a b také prísne. Napríklad pre prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m a n =a m+n nielen pre kladné a , ale aj záporné a pre a=0 .

V škole sa hlavná pozornosť pri transformácii mocenských prejavov sústreďuje práve na schopnosť vybrať si vhodnú vlastnosť a správne ju aplikovať. V tomto prípade sú základy stupňov väčšinou kladné, čo umožňuje využívať vlastnosti stupňov bez obmedzení. To isté platí pre transformáciu výrazov obsahujúcich premenné v základoch stupňov - rozsah prijateľných hodnôt premenných je zvyčajne taký, že základy na ňom nadobúdajú iba kladné hodnoty, čo vám umožňuje voľne používať vlastnosti stupňov. Vo všeobecnosti si treba neustále klásť otázku, či je možné v tomto prípade uplatniť nejakú vlastnosť stupňov, pretože nepresné použitie vlastností môže viesť k zúženiu ODZ a iným nepríjemnostiam. Tieto body sú podrobne a s príkladmi rozobraté v článku transformácia výrazov pomocou vlastností stupňov. Tu sa obmedzíme na niekoľko jednoduchých príkladov.

Príklad.

Vyjadrite výraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ako mocninu so základom a .

rozhodnutie.

Najprv transformujeme druhý faktor (a 2) −3 vlastnosťou zvýšenia mocniny na mocninu: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. V tomto prípade bude mať počiatočné vyjadrenie mocniny tvar a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Je zrejmé, že zostáva použiť vlastnosti násobenia a delenia právomocí s rovnakým základom, aký máme
a 2,5 a -6: a -5,5 =
a 2,5-6:a-5,5 =a-3,5:a-5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a2.

odpoveď:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Vlastnosti mocniny sa používajú pri transformácii mocninných výrazov zľava doprava a sprava doľava.

Príklad.

Nájdite hodnotu mocninného výrazu.

rozhodnutie.

Rovnosť (a·b) r =a r ·b r , aplikovaná sprava doľava, umožňuje prejsť od pôvodného výrazu k súčinu formy a ďalej. A pri vynásobení mocnín s rovnakým základom sa ukazovatele sčítajú: .

Transformáciu pôvodného výrazu bolo možné vykonať iným spôsobom:

odpoveď:

.

Príklad.

Vzhľadom na mocninný výraz a 1,5 −a 0,5 −6 , zadajte novú premennú t=a 0,5 .

rozhodnutie.

Stupeň a 1,5 možno znázorniť ako a 0,5 3 a ďalej na základe vlastnosti stupňa v stupni (a r) s =ar s aplikovaný sprava doľava previesť do tvaru (a 0,5) 3 . teda a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Teraz je jednoduché zaviesť novú premennú t=a 0,5 , dostaneme t 3 −t−6 .

odpoveď:

t3−t−6.

Prevod zlomkov obsahujúcich mocniny

Mocninné výrazy môžu obsahovať zlomky s mocninami alebo takéto zlomky reprezentovať. Akákoľvek zo základných transformácií zlomkov, ktoré sú vlastné zlomkom akéhokoľvek druhu, je plne aplikovateľná na takéto zlomky. To znamená, že zlomky, ktoré obsahujú stupne, sa dajú zmenšiť, zredukovať na nového menovateľa, pracovať oddelene s ich čitateľom a oddelene s menovateľom atď. Na ilustráciu vyššie uvedených slov zvážte riešenia niekoľkých príkladov.

Príklad.

Zjednodušte vyjadrenie sily .

rozhodnutie.

Tento výraz sily je zlomok. Pracujme s jeho čitateľom a menovateľom. V čitateli otvoríme zátvorky a následne získaný výraz zjednodušíme pomocou vlastností mocnin a v menovateli uvádzame podobné pojmy:

A tiež zmeníme znamienko menovateľa tak, že pred zlomok umiestnime mínus: .

odpoveď:

.

Redukcia zlomkov obsahujúcich mocniny na nového menovateľa sa vykonáva podobne ako redukcia racionálnych zlomkov na nového menovateľa. Zároveň sa nájde aj ďalší faktor a vynásobí sa ním čitateľ a menovateľ zlomku. Pri vykonávaní tejto akcie je potrebné pripomenúť, že zníženie na nového menovateľa môže viesť k zúženiu DPV. Aby sa tomu zabránilo, je potrebné, aby dodatočný faktor nezmizol pre žiadne hodnoty premenných z premenných ODZ pre pôvodný výraz.

Príklad.

Preneste zlomky do nového menovateľa: a) do menovateľa a, b) na menovateľa.

rozhodnutie.

a) V tomto prípade je celkom ľahké zistiť, ktorý dodatočný faktor pomáha dosiahnuť požadovaný výsledok. Toto je násobiteľ a 0,3, pretože a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Všimnite si, že v rozsahu prijateľných hodnôt premennej a (toto je množina všetkých kladných reálnych čísel) nezaniká stupeň a 0,3, preto máme právo násobiť čitateľa a menovateľa daného zlomku týmto dodatočným faktorom:

b) Pri bližšom pohľade na menovateľa zistíme, že

a vynásobením tohto výrazu dostaneme súčet kociek a , teda . A toto je nový menovateľ, ku ktorému musíme priviesť pôvodný zlomok.

Tak sme našli ďalší faktor. Výraz nezaniká v rozsahu prijateľných hodnôt premenných x a y, preto ním môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku:

odpoveď:

a) , b) .

Nič nové nie je ani v redukcii zlomkov obsahujúcich stupne: čitateľ a menovateľ sú reprezentované ako určitý počet faktorov a tie isté faktory čitateľa a menovateľa sú redukované.

Príklad.

Znížte zlomok: a) , b).

rozhodnutie.

a) Najprv je možné čitateľa a menovateľa zmenšiť o čísla 30 a 45, čo sa rovná 15. Tiež, samozrejme, môžete znížiť o x 0,5 +1 a o . Tu je to, čo máme:

b) V tomto prípade tie isté faktory v čitateli a menovateli nie sú okamžite viditeľné. Aby ste ich získali, musíte vykonať predbežné transformácie. V tomto prípade spočívajú v rozklade menovateľa na faktory podľa vzorca rozdielu štvorcov:

odpoveď:

a)

b) .

Redukcia zlomkov na nový menovateľ a redukcia zlomkov sa používa najmä na vykonávanie operácií so zlomkami. Akcie sa vykonávajú podľa známych pravidiel. Pri sčítaní (odčítaní) zlomkov sa tieto zredukujú na spoločného menovateľa, po ktorom sa pripočítajú (odčítajú) čitatelia a menovateľ zostáva rovnaký. Výsledkom je zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov. Delenie zlomkom je násobenie jeho recipročným.

Príklad.

Nasleduj kroky .

rozhodnutie.

Najprv odčítame zlomky v zátvorkách. Aby sme to dosiahli, privádzame ich k spoločnému menovateľovi, ktorým je , potom odčítajte čitateľov:

Teraz vynásobíme zlomky:

Je zrejmé, že je možné zníženie o výkon x 1/2, po ktorom máme .

Výraz mocniny v menovateli môžete tiež zjednodušiť pomocou vzorca rozdielu štvorcov: .

odpoveď:

Príklad.

Zjednodušte vyjadrenie sily .

rozhodnutie.

Je zrejmé, že tento zlomok môže byť znížený o (x 2,7 + 1) 2, čím sa získa zlomok . Je jasné, že s mocninami x treba urobiť niečo iné. Aby sme to dosiahli, prevedieme výslednú frakciu na produkt. To nám dáva možnosť využiť vlastnosť delenia mocnín s rovnakými základmi: . A na konci procesu prechádzame od posledného produktu k frakcii.

odpoveď:

.

A dodávame, že je možné a v mnohých prípadoch žiadúce preniesť faktory so zápornými exponentmi z čitateľa do menovateľa alebo z menovateľa do čitateľa zmenou znamienka exponenta. Takéto transformácie často zjednodušujú ďalšie činnosti. Napríklad mocninný výraz možno nahradiť výrazom .

Konverzia výrazov s koreňmi a mocninami

Často vo výrazoch, v ktorých sa vyžadujú niektoré transformácie, spolu so stupňami so zlomkovými exponentmi, sú aj korene. Na prevod takéhoto výrazu do požadovanej podoby vo väčšine prípadov stačí prejsť len ku koreňom alebo len k mocninám. Ale keďže je pohodlnejšie pracovať so stupňami, zvyčajne sa pohybujú od koreňov k stupňom. Je však vhodné vykonať takýto prechod vtedy, keď ODZ premenných pre pôvodný výraz umožňuje nahradiť korene stupňami bez nutnosti prístupu do modulu alebo rozdelenia ODZ do viacerých intervalov (podrobne sme to rozobrali v článok, prechod od odmocniny k mocninám a naopak Po oboznámení sa so stupňom s racionálnym exponentom sa zavádza stupeň s iracionálnym ukazovateľom, ktorý umožňuje hovoriť o stupňoch s ľubovoľným reálnym ukazovateľom. škola začína študovať exponenciálna funkcia, ktorý je analyticky daný stupňom, na základe ktorého existuje číslo a v ukazovateli - premenná. Stretávame sa teda s exponenciálnymi výrazmi obsahujúcimi čísla v základe stupňa a v exponente - výrazy s premennými a prirodzene vzniká potreba vykonávať transformácie takýchto výrazov.

Treba povedať, že transformáciu výrazov naznačeného typu treba väčšinou vykonať pri riešení exponenciálne rovnice a exponenciálne nerovnosti a tieto transformácie sú celkom jednoduché. Vo veľkej väčšine prípadov vychádzajú z vlastností stupňa a sú zamerané väčšinou na zavedenie novej premennej v budúcnosti. Rovnica nám ich umožní demonštrovať 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Najprv sa exponenty, v ktorých exponentoch sa nachádza súčet nejakej premennej (alebo výraz s premennými) a čísla, nahradia súčinmi. Platí to pre prvý a posledný výraz výrazu na ľavej strane:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Ďalej sú obe časti rovnosti delené výrazom 7 2 x , ktorý nadobúda iba kladné hodnoty na ODZ premennej x pre pôvodnú rovnicu (toto je štandardná technika riešenia rovníc tohto druhu, nie sme keď o tom teraz hovoríme, tak sa zamerajte na následné transformácie výrazov s mocninami):

Teraz sú zlomky s mocninami zrušené, čo dáva .

Nakoniec sa pomer mocnin s rovnakými exponentmi nahradí mocninami pomerov, čo vedie k rovnici , čo je ekvivalentné s . Vykonané transformácie nám umožňujú zaviesť novú premennú, ktorá redukuje riešenie pôvodnej exponenciálnej rovnice na riešenie kvadratickej rovnice.

I. V. Boikov, L. D. Romanová Zbierka úloh na prípravu na skúšku. Časť 1. Penza 2003.