V tomto článku je metóda považovaná za spôsob riešenia systémov lineárnych rovníc (SLAE). Metóda je analytická, to znamená, že vám umožňuje napísať všeobecný algoritmus riešenia a potom tam nahradiť hodnoty z konkrétnych príkladov. Na rozdiel od maticovej metódy alebo Cramerových vzorcov sa pri riešení sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy dá pracovať aj s takými, ktoré majú nekonečne veľa riešení. Alebo ho nemajú vôbec.

Čo znamená Gauss?

Najprv si musíte zapísať náš systém rovníc do Vyzerá to takto. Systém sa používa:

Koeficienty sú zapísané vo forme tabuľky a vpravo v samostatnom stĺpci - voľné členy. Stĺpec s voľnými členmi je pre pohodlie oddelený. Matica, ktorá obsahuje tento stĺpec, sa nazýva rozšírená.

Ďalej musí byť hlavná matica s koeficientmi zredukovaná na horný trojuholníkový tvar. Toto je hlavný bod riešenia systému Gaussovou metódou. Jednoducho povedané, po určitých manipuláciách by matica mala vyzerať takto, aby v jej ľavej dolnej časti boli iba nuly:

Potom, ak napíšete novú maticu znova ako sústavu rovníc, všimnete si, že posledný riadok už obsahuje hodnotu jedného z koreňov, ktorý sa potom dosadí do vyššie uvedenej rovnice, nájde sa ďalší koreň atď.

Toto je najvšeobecnejší popis riešenia Gaussovou metódou. A čo sa stane, ak zrazu systém nebude mať riešenie? Alebo ich je nekonečne veľa? Na zodpovedanie týchto a mnohých ďalších otázok je potrebné samostatne zvážiť všetky prvky použité pri riešení Gaussovou metódou.

Matrice, ich vlastnosti

V matrici nie je skrytý význam. Je to len pohodlný spôsob zaznamenávania údajov pre neskoršie operácie. Nemali by sa ich báť ani školáci.

Matica je vždy obdĺžniková, pretože je pohodlnejšia. Dokonca aj v Gaussovej metóde, kde sa všetko scvrkáva na vytvorenie trojuholníkovej matice, sa v zázname objaví obdĺžnik, len s nulami na mieste, kde nie sú žiadne čísla. Nuly môžu byť vynechané, ale sú implikované.

Matica má veľkosť. Jeho „šírka“ je počet riadkov (m), jeho „dĺžka“ je počet stĺpcov (n). Potom veľkosť matice A (na ich označenie sa zvyčajne používajú veľké latinské písmená) označíme ako A m×n . Ak m=n, potom je táto matica štvorcová a m=n je jej poradie. Podľa toho možno ľubovoľný prvok matice A označiť číslom jej riadku a stĺpca: a xy ; x - číslo riadku, zmeny , y - číslo stĺpca, zmeny .

B nie je hlavným bodom riešenia. V zásade je možné všetky operácie vykonávať priamo so samotnými rovnicami, ale zápis sa ukáže byť oveľa ťažkopádnejší a bude oveľa jednoduchšie sa v ňom zmiasť.

Determinant

Matica má tiež determinant. Toto je veľmi dôležitá vlastnosť. Zistiť jeho význam teraz nestojí za to, môžete jednoducho ukázať, ako sa vypočítava, a potom povedať, aké vlastnosti matice určuje. Najjednoduchší spôsob, ako nájsť determinant, je cez uhlopriečky. V matici sú nakreslené imaginárne uhlopriečky; prvky umiestnené na každom z nich sa vynásobia a potom sa pridajú výsledné produkty: uhlopriečky so sklonom doprava - so znamienkom "plus", so sklonom doľava - so znamienkom "mínus".

Je mimoriadne dôležité poznamenať, že determinant možno vypočítať iba pre štvorcovú maticu. Pre pravouhlú maticu môžete urobiť nasledovné: vybrať najmenší z počtu riadkov a počtu stĺpcov (nech je k) a potom náhodne označiť k stĺpcov a k riadkov v matici. Prvky umiestnené na priesečníku vybraných stĺpcov a riadkov vytvoria novú štvorcovú maticu. Ak je determinantom takejto matice číslo iné ako nula, potom sa nazýva základná minor pôvodnej pravouhlej matice.

Predtým, ako pristúpime k riešeniu sústavy rovníc Gaussovou metódou, nezaškodí vypočítať determinant. Ak sa ukáže, že je nula, potom môžeme okamžite povedať, že matica má buď nekonečný počet riešení, alebo neexistujú žiadne. V takom smutnom prípade treba ísť ďalej a informovať sa o hodnosti matice.

Klasifikácia systému

Existuje niečo ako hodnosť matice. Toto je maximálne poradie jej nenulového determinantu (pri zapamätaní si menšieho základu môžeme povedať, že poradie matice je poradie menšieho základu).

Podľa toho, ako je to s hodnosťou, možno SLAE rozdeliť na:

• Spoločný. o kĺbových systémov sa poradie hlavnej matice (pozostávajúcej len z koeficientov) zhoduje s poradím rozšírenej (so stĺpcom voľných členov). Takéto systémy majú riešenie, ale nie nevyhnutne jedno, preto sa kĺbové systémy navyše delia na:
• - istý- s jedinečným riešením. V určitých systémoch je poradie matice a počet neznámych (alebo počet stĺpcov, čo je to isté) rovnaké;
• - neurčitý - s nekonečným počtom riešení. Poradie matíc pre takéto systémy je menšie ako počet neznámych.
• Nekompatibilné. o V takýchto systémoch sa poradie hlavnej a rozšírenej matice nezhoduje. Nekompatibilné systémy nemajú riešenie.

Gaussova metóda je dobrá v tom, že umožňuje získať buď jednoznačný dôkaz nekonzistentnosti systému (bez výpočtu determinantov veľkých matíc), alebo všeobecné riešenie pre systém s nekonečným počtom riešení.

Elementárne transformácie

Pred priamym pristúpením k riešeniu systému je možné ho urobiť menej ťažkopádnym a pohodlnejším pre výpočty. Dosahuje sa to elementárnymi transformáciami – takými, že ich implementácia nijako nemení konečnú odpoveď. Treba poznamenať, že niektoré z vyššie uvedených elementárnych transformácií sú platné len pre matice, ktorých zdrojom bol práve SLAE. Tu je zoznam týchto transformácií:

1. Permutácia reťazca. Je zrejmé, že ak zmeníme poradie rovníc v systémovom zázname, tak to nijako neovplyvní riešenie. V dôsledku toho je možné aj zamieňať riadky v matici tohto systému, samozrejme netreba zabúdať ani na stĺpec voľných členov.
2. Vynásobenie všetkých prvkov reťazca nejakým faktorom. Veľmi užitočný! Pomocou neho môžete zmenšiť veľké čísla v matici alebo odstrániť nuly. Súbor riešení sa ako obvykle nezmení a bude pohodlnejšie vykonávať ďalšie operácie. Hlavná vec je, že koeficient sa nerovná nule.
3. Vymažte riadky s proporcionálnymi koeficientmi. To čiastočne vyplýva z predchádzajúceho odseku. Ak majú dva alebo viac riadkov v matici proporcionálne koeficienty, potom pri vynásobení / delení jedného z riadkov koeficientom proporcionality sa získajú dva (alebo opäť viac) absolútne identické riadky a môžete odstrániť ďalšie riadky a ponechať iba jeden.
4. Odstránenie nulového riadku. Ak sa v priebehu transformácií niekde získa reťazec, v ktorom sú všetky prvky vrátane voľného člena nulové, potom možno takýto reťazec nazvať nulou a vyhodiť ho z matice.
5. Pridanie prvkov v jednom riadku prvkov druhého (v zodpovedajúcich stĺpcoch), vynásobených určitým koeficientom. Najobskúrnejšia a najdôležitejšia premena zo všetkých. Stojí za to venovať sa tomu podrobnejšie.

Pridanie reťazca vynásobeného faktorom

Pre ľahšie pochopenie stojí za to rozobrať tento proces krok za krokom. Z matice sú prevzaté dva riadky:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Predpokladajme, že musíte pridať prvý k druhému, vynásobený koeficientom "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Potom sa v matici druhý riadok nahradí novým a prvý zostane nezmenený.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Treba poznamenať, že koeficient násobenia možno zvoliť tak, že v dôsledku sčítania dvoch reťazcov sa jeden z prvkov nového reťazca rovná nule. Preto je možné získať rovnicu v sústave, kde bude o jednu neznámu menej. A ak dostanete dve takéto rovnice, potom je možné operáciu vykonať znova a získať rovnicu, ktorá už bude obsahovať o dve neznáme menej. A ak zakaždým otočíme na nulu o jeden koeficient pre všetky riadky, ktoré sú nižšie ako pôvodný, potom môžeme, ako po krokoch, ísť až na úplný spodok matice a dostať rovnicu s jednou neznámou. Toto sa nazýva riešenie systému pomocou Gaussovej metódy.

Všeobecne

Nech existuje systém. Má m rovníc a n neznámych koreňov. Môžete si to zapísať takto:

Hlavná matica je zostavená z koeficientov systému. Stĺpec voľných členov je pridaný do rozšírenej matice a oddelený čiarou pre pohodlie.

• prvý riadok matice sa vynásobí koeficientom k = (-a 21 / a 11);
• pridá sa prvý upravený riadok a druhý riadok matice;
• namiesto druhého riadku sa do matice vloží výsledok doplnenia z predchádzajúceho odseku;
• teraz je prvý koeficient v novom druhom riadku a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Teraz sa vykoná rovnaká séria transformácií, je zahrnutý iba prvý a tretí riadok. V súlade s tým je v každom kroku algoritmu prvok a21 nahradený prvkom a31. Potom sa všetko opakuje pre 41, ... a m1. Výsledkom je matica, kde sa prvý prvok v riadkoch rovná nule. Teraz musíme zabudnúť na riadok číslo jedna a spustiť rovnaký algoritmus od druhého riadku:

• koeficient k \u003d (-a 32 / a 22);
• druhý upravený riadok sa pridá k "aktuálnemu" riadku;
• výsledok sčítania je nahradený v treťom, štvrtom atď. riadkoch, pričom prvý a druhý zostávajú nezmenené;
• v riadkoch matice sú prvé dva prvky už rovné nule.

Algoritmus sa musí opakovať, kým sa neobjaví koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To znamená, že poslednýkrát bol algoritmus vykonaný iba pre nižšiu rovnicu. Teraz matica vyzerá ako trojuholník alebo má stupňovitý tvar. Spodný riadok obsahuje rovnosť a mn × x n = b m . Koeficient a voľný člen sú známe a pomocou nich sa vyjadruje koreň: x n = b m /a mn. Výsledný koreň sa dosadí do horného riadku, aby sa zistilo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . A tak ďalej analogicky: v každom ďalšom riadku je nový koreň a po dosiahnutí „vrcholu“ systému môžete nájsť veľa riešení. Bude to jediné.

Keď neexistujú riešenia

Ak sa v jednom z riadkov matice všetky prvky okrem voľného člena rovnajú nule, potom rovnica zodpovedajúca tomuto riadku vyzerá ako 0 = b. Nemá to riešenie. A keďže takáto rovnica je zahrnutá v systéme, potom je množina riešení celého systému prázdna, to znamená, že je degenerovaná.

Keď existuje nekonečné množstvo riešení

Môže sa ukázať, že v redukovanej trojuholníkovej matici nie sú žiadne riadky s jedným prvkom - koeficientom rovnice a jedným - voľným členom. Existujú iba reťazce, ktoré by po prepísaní vyzerali ako rovnica s dvoma alebo viacerými premennými. To znamená, že systém má nekonečné množstvo riešení. V tomto prípade môže byť odpoveď daná vo forme všeobecného riešenia. Ako to spraviť?

Všetky premenné v matici sú rozdelené na základné a voľné. Základné – to sú tie, ktoré stoja „na okraji“ riadkov v stupňovitej matici. Ostatné sú zadarmo. Vo všeobecnom riešení sú základné premenné zapísané v termínoch voľných.

Pre pohodlie je matica najprv prepísaná späť do systému rovníc. Potom v poslednom z nich, kde zostala práve jedna základná premenná, zostáva na jednej strane a všetko ostatné sa prenáša na druhú. Toto sa robí pre každú rovnicu s jednou základnou premennou. Potom sa vo zvyšku rovníc, kde je to možné, namiesto základnej premennej nahradí výraz získaný pre ňu. Ak je výsledkom opäť výraz obsahujúci iba jednu základnú premennú, je vyjadrený odtiaľ znova atď., kým sa každá základná premenná nezapíše ako výraz s voľnými premennými. Toto je všeobecné riešenie SLAE.

Môžete tiež nájsť základné riešenie systému - zadajte voľným premenným ľubovoľné hodnoty a potom pre tento konkrétny prípad vypočítajte hodnoty základných premenných. Existuje nekonečne veľa konkrétnych riešení.

Riešenie s konkrétnymi príkladmi

Tu je systém rovníc.

Pre pohodlie je lepšie okamžite vytvoriť maticu

Je známe, že pri riešení Gaussovou metódou zostane rovnica zodpovedajúca prvému riadku na konci transformácií nezmenená. Preto bude výhodnejšie, ak bude ľavý horný prvok matice najmenší - potom sa prvé prvky zostávajúcich riadkov po operáciách zmenia na nulu. To znamená, že v zostavenej matici bude výhodné umiestniť druhú na miesto prvého riadku.

druhý riadok: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

tretí riadok: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Teraz, aby nedošlo k zámene, je potrebné zapísať maticu s medzivýsledkami transformácií.

Je zrejmé, že takáto matica môže byť pomocou niektorých operácií vhodnejšia na vnímanie. Môžete napríklad odstrániť všetky "mínusy" z druhého riadku vynásobením každého prvku "-1".

Za zmienku tiež stojí, že v treťom rade sú všetky prvky násobkom troch. Potom môžete reťazec znížiť o toto číslo vynásobením každého prvku "-1/3" (mínus - súčasne sa odstránia záporné hodnoty).

Vyzerá oveľa krajšie. Teraz musíme nechať prvý riadok a pracovať s druhým a tretím. Úlohou je pridať druhý riadok k tretiemu riadku, vynásobený takým faktorom, aby sa prvok a 32 rovnal nule.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 zlomkov a až potom, keď dostanete odpovede, sa rozhodnite, či zaokrúhlite nahor a preložíte do inej formy zápisu)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matica sa znova zapíše s novými hodnotami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Ako vidíte, výsledná matica už má stupňovitý tvar. Preto nie sú potrebné ďalšie transformácie systému Gaussovou metódou. Čo tu možno urobiť, je odstrániť celkový koeficient "-1/7" z tretieho riadku.

Teraz je všetko krásne. Pointa je malá - napíšte maticu opäť vo forme sústavy rovníc a vypočítajte korene

x + 2y + 4z = 12(1)

7r + 11z = 24 (2)

Algoritmus, pomocou ktorého sa teraz nachádzajú korene, sa v Gaussovej metóde nazýva spätný pohyb. Rovnica (3) obsahuje hodnotu z:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

A prvá rovnica vám umožňuje nájsť x:

x = (12 - 4z - 2r)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Máme právo nazývať takýto systém spoločným, a dokonca určitým, to znamená, že má jedinečné riešenie. Odpoveď je napísaná v nasledujúcom tvare:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Príklad neurčitého systému

Variant riešenia určitej sústavy Gaussovou metódou bol analyzovaný, teraz je potrebné zvážiť prípad, ak je sústava neurčitá, teda možno pre ňu nájsť nekonečne veľa riešení.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Už samotná forma systému je alarmujúca, pretože počet neznámych je n = 5 a poradie matice systému je už presne menšie ako toto číslo, pretože počet riadkov je m = 4, tj. najväčší rád štvorcového determinantu je 4. To znamená, že riešení je nekonečne veľa a je potrebné hľadať jeho všeobecný tvar. Gaussova metóda pre lineárne rovnice to umožňuje.

Najprv sa ako obvykle zostaví rozšírená matica.

Druhý riadok: koeficient k = (-a 21 / a 11) = -3. V treťom riadku je prvý prvok pred transformáciami, takže sa nemusíte ničoho dotýkať, musíte to nechať tak. Štvrtý riadok: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Postupným vynásobením prvkov prvého riadku každým z ich koeficientov a ich pridaním do požadovaných riadkov získame maticu nasledujúceho tvaru:

Ako vidíte, druhý, tretí a štvrtý riadok pozostáva z prvkov, ktoré sú navzájom proporcionálne. Druhý a štvrtý sú vo všeobecnosti rovnaké, takže jeden z nich môže byť okamžite odstránený a zvyšok sa vynásobí koeficientom "-1" a získa sa číslo riadku 3. A opäť ponechajte jeden z dvoch rovnakých riadkov.

Ukázalo sa, že taká matrica. Systém ešte nebol zapísaný, tu je potrebné určiť základné premenné - stojace pri koeficientoch a 11 \u003d 1 a 22 \u003d 1 a zadarmo - všetko ostatné.

Druhá rovnica má iba jednu základnú premennú - x 2 . Dá sa teda vyjadriť odtiaľ, zapísaním cez premenné x 3 , x 4 , x 5 , ktoré sú voľné.

Výsledný výraz dosadíme do prvej rovnice.

Ukázalo sa rovnicu, v ktorej je jedinou základnou premennou x 1. Urobme s ním to isté ako s x 2 .

Všetky základné premenné, z ktorých sú dve, sú vyjadrené tromi voľnými, teraz môžete odpoveď napísať vo všeobecnej forme.

Môžete tiež zadať jedno z konkrétnych riešení systému. V takýchto prípadoch sa ako hodnoty pre voľné premenné spravidla vyberajú nuly. Potom bude odpoveď:

16, 23, 0, 0, 0.

Príklad nekompatibilného systému

Najrýchlejšie je riešenie nesúrodých sústav rovníc Gaussovou metódou. Končí, akonáhle sa v niektorej z fáz získa rovnica, ktorá nemá riešenie. To znamená, že fáza s výpočtom koreňov, ktorá je dosť dlhá a bezútešná, zmizne. Do úvahy prichádza nasledujúci systém:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ako obvykle, matica je zostavená:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

A je zredukovaný na stupňovitú formu:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po prvej transformácii obsahuje tretí riadok rovnicu tvaru

nemajuce riesenie. Preto je systém nekonzistentný a odpoveďou je prázdna množina.

Výhody a nevýhody metódy

Ak si vyberiete metódu na vyriešenie SLAE na papieri perom, potom metóda, ktorá bola zvažovaná v tomto článku, vyzerá najatraktívnejšie. V elementárnych transformáciách je oveľa ťažšie zmiasť, ako sa to stáva, ak musíte manuálne hľadať determinant alebo nejakú zložitú inverznú maticu. Ak však používate programy na prácu s údajmi tohto typu, napríklad tabuľky, potom sa ukazuje, že takéto programy už obsahujú algoritmy na výpočet hlavných parametrov matíc - determinant, vedľajšie, inverzné atď. A ak ste si istí, že stroj tieto hodnoty vypočíta sám a neurobí chybu, je vhodnejšie použiť maticovú metódu alebo Cramerove vzorce, pretože ich aplikácia začína a končí výpočtom determinantov a inverzných matíc.

Aplikácia

Keďže Gaussovo riešenie je algoritmus a matica je v skutočnosti dvojrozmerné pole, možno ho použiť pri programovaní. Ale keďže sa článok stavia ako návod „pre hlúpych“, treba povedať, že najjednoduchšie miesto, kam túto metódu strčiť, sú tabuľky, napríklad Excel. Opäť platí, že každý SLAE zadaný do tabuľky vo forme matice bude Excel považovať za dvojrozmerné pole. A na operácie s nimi existuje veľa pekných príkazov: sčítanie (môžete sčítať len matice rovnakej veľkosti!), Násobenie číslom, násobenie matice (aj s určitými obmedzeniami), hľadanie inverzných a transponovaných matíc a hlavne , výpočet determinantu. Ak je táto časovo náročná úloha nahradená jediným príkazom, je oveľa rýchlejšie určiť hodnosť matice, a teda určiť jej kompatibilitu alebo nekonzistenciu.

Už od začiatku 16. – 18. storočia sa matematici začali intenzívne zaoberať funkciami, vďaka ktorým sa toho v našich životoch toľko zmenilo. Počítačová technika bez týchto znalostí by jednoducho neexistovala. Na riešenie zložitých problémov, lineárnych rovníc a funkcií boli vytvorené rôzne koncepty, vety a techniky riešenia. Jednou z takýchto univerzálnych a racionálnych metód a techník na riešenie lineárnych rovníc a ich sústav bola Gaussova metóda. Matice, ich poradie, determinant - všetko sa dá vypočítať bez použitia zložitých operácií.

Čo je SLAU

V matematike existuje pojem SLAE – systém lineárnych algebraických rovníc. Čo predstavuje? Ide o súbor m rovníc s požadovanými n neznámymi, zvyčajne označovanými ako x, y, z alebo x 1 , x 2 ... x n alebo iné symboly. Riešiť tento systém Gaussovou metódou znamená nájsť všetky neznáme. Ak má systém rovnaký počet neznámych a rovníc, potom sa nazýva systém n-tého rádu.

Najpopulárnejšie metódy riešenia SLAE

Vo vzdelávacích inštitúciách stredného vzdelávania sa študujú rôzne metódy riešenia takýchto systémov. Najčastejšie ide o jednoduché rovnice pozostávajúce z dvoch neznámych, takže akákoľvek existujúca metóda na nájdenie odpovede na ne nezaberie veľa času. Môže to byť ako substitučná metóda, keď sa z jednej rovnice odvodí ďalšia rovnica a dosadí sa do pôvodnej. Alebo výraz za výrazom odčítanie a sčítanie. Ale Gaussova metóda je považovaná za najjednoduchšiu a najuniverzálnejšiu. Umožňuje riešiť rovnice s ľubovoľným počtom neznámych. Prečo sa táto technika považuje za racionálnu? Všetko je jednoduché. Maticová metóda je dobrá, pretože nevyžaduje niekoľkokrát prepisovanie nepotrebných znakov vo forme neznámych, stačí robiť aritmetické operácie s koeficientmi - a dostanete spoľahlivý výsledok.

Kde sa SLAE používajú v praxi?

Riešením SLAE sú priesečníky priamok na grafoch funkcií. V našej high-tech počítačovej dobe ľudia, ktorí sa úzko zaoberajú vývojom hier a iných programov, potrebujú vedieť, ako takéto systémy riešiť, čo predstavujú a ako kontrolovať správnosť výsledného výsledku. Programátori najčastejšie vyvíjajú špeciálne kalkulačky lineárnej algebry, vrátane systému lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať všetky existujúce riešenia. Používajú sa aj iné zjednodušené vzorce a techniky.

Kritérium kompatibility SLAE

Takýto systém je možné vyriešiť len vtedy, ak je kompatibilný. Pre prehľadnosť uvádzame SLAE v tvare Ax=b. Má riešenie, ak sa rang(A) rovná rang(A,b). V tomto prípade (A,b) je matica rozšíreného tvaru, ktorú možno získať z matice A jej prepísaním voľnými členmi. Ukazuje sa, že riešenie lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Možno niektorý zápis nie je úplne jasný, preto je potrebné všetko zvážiť na príklade. Povedzme, že existuje systém: x+y=1; 2x-3y=6. Pozostáva len z dvoch rovníc, v ktorých sú 2 neznáme. Systém bude mať riešenie iba vtedy, ak sa úroveň jeho matice rovná hodnote rozšírenej matice. čo je hodnosť? Toto je počet nezávislých riadkov systému. V našom prípade je poradie matice 2. Matica A bude pozostávať z koeficientov umiestnených v blízkosti neznámych a koeficienty za znakom „=“ sa tiež zmestia do rozšírenej matice.

Prečo môže byť SLAE reprezentovaný v maticovej forme

Na základe kritéria kompatibility podľa osvedčenej Kronecker-Capelliho vety je možné sústavu lineárnych algebraických rovníc reprezentovať v maticovom tvare. Pomocou metódy Gaussovej kaskády môžete vyriešiť maticu a získať jedinú spoľahlivú odpoveď pre celý systém. Ak sa hodnosť bežnej matice rovná hodnote jej rozšírenej matice, ale je menšia ako počet neznámych, potom má systém nekonečný počet odpovedí.

Maticové transformácie

Predtým, ako prejdeme k riešeniu matíc, je potrebné vedieť, aké akcie je možné vykonať s ich prvkami. Existuje niekoľko základných transformácií:

• Prepísaním systému do maticového tvaru a vykonaním jeho riešenia je možné vynásobiť všetky prvky radu rovnakým koeficientom.
• Aby bolo možné previesť maticu na kanonickú formu, je možné vymeniť dva paralelné riadky. Kanonická forma znamená, že všetky prvky matice, ktoré sa nachádzajú pozdĺž hlavnej uhlopriečky, sa stanú jednotkami a zvyšné sa stanú nulami.
• Zodpovedajúce prvky rovnobežných riadkov matice možno pridávať jeden k druhému.

Jordan-Gaussova metóda

Podstatou riešenia sústav lineárnych homogénnych a nehomogénnych rovníc Gaussovou metódou je postupné odstraňovanie neznámych. Povedzme, že máme systém dvoch rovníc, v ktorých sú dve neznáme. Ak ich chcete nájsť, musíte skontrolovať kompatibilitu systému. Gaussova rovnica sa rieši veľmi jednoducho. Koeficienty nachádzajúce sa blízko každej neznámej je potrebné zapísať do maticového tvaru. Ak chcete vyriešiť systém, musíte vypísať rozšírenú maticu. Ak jedna z rovníc obsahuje menší počet neznámych, potom treba namiesto chýbajúceho prvku vložiť "0". Na maticu sú aplikované všetky známe transformačné metódy: násobenie, delenie číslom, sčítanie zodpovedajúcich prvkov riadkov k sebe a iné. Ukazuje sa, že v každom riadku je potrebné ponechať jednu premennú s hodnotou "1", zvyšok by sa mal znížiť na nulu. Pre presnejšie pochopenie je potrebné zvážiť Gaussovu metódu s príkladmi.

Jednoduchý príklad riešenia systému 2x2

Na začiatok si zoberme jednoduchú sústavu algebraických rovníc, v ktorej budú 2 neznáme.

Prepíšme to do rozšírenej matice.

Na vyriešenie tohto systému lineárnych rovníc sú potrebné iba dve operácie. Potrebujeme uviesť maticu do kanonickej formy, aby boli jednotky pozdĺž hlavnej diagonály. Takže pri prevode z maticového tvaru späť do systému dostaneme rovnice: 1x+0y=b1 a 0x+1y=b2, kde b1 a b2 sú odpovede získané v procese riešenia.

1. Prvý krok pri riešení rozšírenej matice bude nasledovný: prvý riadok je potrebné vynásobiť -7 a príslušné prvky pridať do druhého riadku, aby sme sa zbavili jednej neznámej v druhej rovnici.
2. Keďže riešenie rovníc Gaussovou metódou znamená uvedenie matice do kanonického tvaru, potom je potrebné urobiť rovnaké operácie s prvou rovnicou a odstrániť druhú premennú. Aby sme to urobili, odpočítame druhý riadok od prvého a získame potrebnú odpoveď - riešenie SLAE. Alebo, ako je znázornené na obrázku, vynásobíme druhý riadok koeficientom -1 a pripočítame prvky druhého riadku k prvému riadku. Toto je to isté.

Ako vidíte, náš systém je riešený Jordan-Gaussovou metódou. Prepíšeme ho do požadovaného tvaru: x=-5, y=7.

Príklad riešenia SLAE 3x3

Predpokladajme, že máme zložitejší systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať odpoveď aj pre na prvý pohľad neprehľadný systém. Preto, aby sme sa hlbšie ponorili do metodiky výpočtu, môžeme prejsť na zložitejší príklad s tromi neznámymi.

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade prepíšeme systém vo forme rozšírenej matice a začneme ju prenášať do kanonickej formy.

Na vyriešenie tohto systému budete musieť vykonať oveľa viac akcií ako v predchádzajúcom príklade.

1. Najprv musíte urobiť v prvom stĺpci jeden jediný prvok a zvyšok nuly. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu -1 a pridajte k nej druhú rovnicu. Je dôležité si uvedomiť, že prvý riadok prepisujeme v jeho pôvodnej podobe a druhý - už v upravenej podobe.
2. Ďalej odstránime rovnakú prvú neznámu z tretej rovnice. Aby sme to dosiahli, vynásobíme prvky prvého riadku -2 a pridáme ich do tretieho radu. Teraz sú prvý a druhý riadok prepísané do pôvodnej podoby a tretí - už so zmenami. Ako vidíte z výsledku, prvú sme dostali na začiatok hlavnej uhlopriečky matice a zvyšok sú nuly. Ešte pár akcií a systém rovníc Gaussovou metódou bude spoľahlivo vyriešený.
3. Teraz musíte vykonať operácie na iných prvkoch riadkov. Tretí a štvrtý krok je možné spojiť do jedného. Musíme vydeliť druhý a tretí riadok -1, aby sme sa zbavili negatívnych na diagonále. Tretí riadok sme už priviedli do požadovanej podoby.
4. Ďalej kanonizujeme druhý riadok. Aby sme to dosiahli, vynásobíme prvky tretieho riadku -3 a pridáme ich do druhého riadku matice. Z výsledku je vidieť, že aj druhý riadok je zmenšený do podoby, akú potrebujeme. Zostáva urobiť niekoľko ďalších operácií a odstrániť koeficienty neznámych z prvého riadku.
5. Ak chcete vytvoriť 0 z druhého prvku riadku, musíte vynásobiť tretí riadok -3 a pridať ho k prvému riadku.
6. Ďalším rozhodujúcim krokom je pridanie potrebných prvkov druhého radu do prvého radu. Dostaneme teda kanonickú formu matice a podľa toho aj odpoveď.

Ako vidíte, riešenie rovníc Gaussovou metódou je celkom jednoduché.

Príklad riešenia sústavy rovníc 4x4

Niektoré zložitejšie sústavy rovníc je možné riešiť Gaussovou metódou pomocou počítačových programov. Do existujúcich prázdnych buniek je potrebné vložiť koeficienty pre neznáme a program krok za krokom vypočíta požadovaný výsledok s podrobným popisom každej akcie.

Pokyny krok za krokom na riešenie takéhoto príkladu sú popísané nižšie.

V prvom kroku sa do prázdnych buniek zadajú voľné koeficienty a čísla pre neznáme. Takto dostaneme rovnakú rozšírenú maticu, ktorú píšeme ručne.

A vykonajú sa všetky potrebné aritmetické operácie, aby sa rozšírená matica dostala do kanonickej formy. Je potrebné pochopiť, že odpoveďou na systém rovníc nie sú vždy celé čísla. Niekedy môže byť riešenie zo zlomkových čísel.

Kontrola správnosti riešenia

Jordan-Gaussova metóda umožňuje kontrolu správnosti výsledku. Aby ste zistili, či sú koeficienty vypočítané správne, stačí výsledok dosadiť do pôvodnej sústavy rovníc. Ľavá strana rovnice sa musí zhodovať s pravou stranou, ktorá je za znamienkom rovnosti. Ak sa odpovede nezhodujú, musíte prepočítať systém alebo skúsiť použiť iný známy spôsob riešenia SLAE, ako je substitúcia alebo odčítanie a sčítanie po členoch. Matematika je predsa veda, ktorá má obrovské množstvo rôznych metód riešenia. Ale pamätajte: výsledok by mal byť vždy rovnaký, bez ohľadu na to, aký spôsob riešenia ste použili.

Gaussova metóda: najčastejšie chyby pri riešení SLAE

Pri riešení lineárnych sústav rovníc najčastejšie dochádza k chybám, ako je nesprávny prenos koeficientov do maticového tvaru. Existujú systémy, v ktorých niektoré neznáme chýbajú v jednej z rovníc, potom sa pri prenose údajov do rozšírenej matice môžu stratiť. Výsledkom je, že pri riešení tohto systému nemusí výsledok zodpovedať skutočnému.

Ďalšou z hlavných chýb môže byť nesprávne vypísanie konečného výsledku. Musí byť jasné, že prvý koeficient bude zodpovedať prvému neznámemu zo systému, druhému - druhému atď.

Gaussova metóda podrobne popisuje riešenie lineárnych rovníc. Vďaka nemu je ľahké vykonať potrebné operácie a nájsť správny výsledok. Navyše ide o univerzálny nástroj na nájdenie spoľahlivej odpovede na rovnice akejkoľvek zložitosti. Možno práve preto sa tak často používa pri riešení SLAE.

Nech je daný systém lineárnych algebraických rovníc, ktorý je potrebné vyriešiť (nájdite také hodnoty neznámych хi, ktoré menia každú rovnicu systému na rovnosť).

Vieme, že systém lineárnych algebraických rovníc môže:

1) Nemať žiadne riešenia (buď nezlučiteľné).
2) Mať nekonečne veľa riešení.
3) Majte jedinečné riešenie.

Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a maticová metóda sú nevhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. Gaussova metóda – najvýkonnejší a najuniverzálnejší nástroj na hľadanie riešení akéhokoľvek systému lineárnych rovníc, ktorý v každom prípade veď nás k odpovedi! Algoritmus metódy vo všetkých troch prípadoch funguje rovnako. Ak Cramerova a maticová metóda vyžadujú znalosť determinantov, potom aplikácia Gaussovej metódy vyžaduje znalosť iba aritmetických operácií, čo ju sprístupňuje aj žiakom základných škôl.

Rozšírené maticové transformácie ( toto je matica systému - matica zložená len z koeficientov neznámych plus stĺpec voľných členov) sústavy lineárnych algebraických rovníc v Gaussovej metóde:

1) s troky matice môcť preusporiadať Miesta.

2) ak v matici existujú (alebo sú) proporcionálne (ako špeciálny prípad - identické) riadky, potom nasleduje vymazať z matice, všetky tieto riadky okrem jedného.

3) ak sa pri transformáciách objavil v matici nulový riadok, tak to tiež nasleduje vymazať.

4) riadok matice môže násobiť (deliť) na akékoľvek číslo iné ako nula.

5) do riadku matice, môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly.

V Gaussovej metóde elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc.

Gaussova metóda pozostáva z dvoch krokov:

1. "Priamy pohyb" - pomocou elementárnych transformácií priveďte rozšírenú maticu systému lineárnych algebraických rovníc do "trojuholníkového" stupňovitého tvaru: prvky rozšírenej matice umiestnené pod hlavnou uhlopriečkou sa rovnajú nule (pohyb zhora nadol ). Napríklad k tomuto druhu:

Ak to chcete urobiť, vykonajte nasledujúce kroky:

1) Uvažujme prvú rovnicu sústavy lineárnych algebraických rovníc a koeficient v x 1 sa rovná K. Druhá, tretia atď. rovnice transformujeme nasledovne: každú rovnicu (koeficienty pre neznáme, vrátane voľných členov) vydelíme koeficientom pre neznámu x 1, ktorý je v každej rovnici a vynásobíme K. Potom odčítame prvú od druhej rovnice ( koeficienty pre neznáme a voľné termíny). Dostaneme pri x 1 v druhej rovnici koeficient 0. Od tretej transformovanej rovnice odčítame prvú rovnicu, takže kým všetky rovnice okrem prvej s neznámym x 1 nebudú mať koeficient 0.

2) Prejdite na ďalšiu rovnicu. Nech je to druhá rovnica a koeficient na x 2 sa rovná M. So všetkými „podriadenými“ rovnicami postupujeme tak, ako je popísané vyššie. Teda „pod“ neznámou x 2 vo všetkých rovniciach budú nuly.

3) Prejdeme k ďalšej rovnici a tak ďalej, kým nezostane posledný neznámy a transformovaný voľný člen.

1. "Spätným pohybom" Gaussovej metódy je získanie riešenia systému lineárnych algebraických rovníc (pohyb "zdola nahor"). Z poslednej „dolnej“ rovnice dostaneme prvé riešenie – neznámu x n. Aby sme to dosiahli, riešime elementárnu rovnicu A * x n \u003d B. Vo vyššie uvedenom príklade x 3 \u003d 4. Nájdenú hodnotu dosadíme do „hornej“ nasledujúcej rovnice a vyriešime ju vzhľadom na ďalšiu neznámu. Napríklad x 2 - 4 \u003d 1, t.j. x 2 \u003d 5. A tak ďalej, kým nenájdeme všetky neznáme.

Príklad.

Systém lineárnych rovníc riešime Gaussovou metódou, ako radia niektorí autori:

Napíšeme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju uvedieme do stupňovitého tvaru:

Pozeráme sa na ľavý horný "krok". Tam by sme mali mať jednotku. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne, takže preskupením riadkov sa nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Zvyčajne sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Urobme to takto:
1 krok . K prvému riadku pridáme druhý riadok, vynásobený -1. To znamená, že druhý riadok sme v duchu vynásobili -1 a vykonali sčítanie prvého a druhého riadku, pričom druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore „mínus jedna“, čo nám úplne vyhovuje. Kto chce získať +1, môže vykonať dodatočnú akciu: vynásobiť prvý riadok -1 (zmeniť jeho znamienko).

2 krok . Prvý riadok vynásobený 5 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

3 krok . Prvý riadok bol vynásobený -1, v zásade je to pre krásu. Znak tretieho riadku bol tiež zmenený a posunutý na druhé miesto, čím sme na druhom „kroku“ mali želanú jednotku.

4 krok . K tretiemu riadku pridajte druhý riadok vynásobený 2.

5 krok . Tretí riadok je delený 3.

Znak, ktorý označuje chybu vo výpočtoch (menej často preklep), je „zlý“ spodný riadok. To znamená, že ak dostaneme niečo ako (0 0 11 | 23) nižšie, a teda 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, potom s vysokou pravdepodobnosťou môžeme povedať, že chyba sa stala počas základnej transformácií.

Vykonávame spätný pohyb, pri návrhu príkladov sa často neprepisuje samotný systém a rovnice sa „preberajú priamo z danej matice“. Pripomínam vám, že spätný pohyb funguje „zdola nahor“. V tomto príklade sa dar ukázal:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, teda x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Odpoveď:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Vyriešme rovnaký systém pomocou navrhovaného algoritmu. Dostaneme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Vydeľte druhú rovnicu 5 a tretiu 3. Dostaneme:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Vynásobením druhej a tretej rovnice číslom 4 dostaneme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Odčítaním prvej rovnice od druhej a tretej rovnice máme:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Vydeľte tretiu rovnicu číslom 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Vynásobte tretiu rovnicu číslom 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Odčítaním druhej rovnice od tretej rovnice dostaneme „stupňovitú“ rozšírenú maticu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Keďže sa v procese výpočtov nahromadila chyba, dostaneme x 3 \u003d 0,96 alebo približne 1.

x 2 \u003d 3 a x 1 \u003d -1.

Pri takomto riešení sa nikdy nebudete vo výpočtoch zmiasť a aj napriek chybám vo výpočtoch dostanete výsledok.

Tento spôsob riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc je ľahko programovateľný a nezohľadňuje špecifické vlastnosti koeficientov pre neznáme, pretože v praxi (v ekonomických a technických výpočtoch) sa treba zaoberať neceločíselnými koeficientmi.

Veľa šťastia! Uvidíme sa v triede! Tútor Dmitrij Aistrakhanov.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Dva systémy lineárnych rovníc sa považujú za ekvivalentné, ak je množina všetkých ich riešení rovnaká.

Elementárne transformácie sústavy rovníc sú:

1. Vypustenie zo sústavy triviálnych rovníc, t.j. tie, pre ktoré sú všetky koeficienty rovné nule;
2. Násobenie ľubovoľnej rovnice nenulovým číslom;
3. Sčítanie ľubovoľnej i -tej rovnice ľubovoľnej j -tej rovnice vynásobené ľubovoľným číslom.

Premenná x i sa nazýva voľná, ak táto premenná nie je povolená, a je povolený celý systém rovníc.

Veta. Elementárne transformácie transformujú sústavu rovníc na ekvivalentnú.

Zmyslom Gaussovej metódy je transformovať pôvodný systém rovníc a získať ekvivalentný povolený alebo ekvivalentný nekonzistentný systém.

Gaussova metóda teda pozostáva z nasledujúcich krokov:

1. Zvážte prvú rovnicu. Vyberieme prvý nenulový koeficient a vydelíme ním celú rovnicu. Získame rovnicu, do ktorej vstupuje nejaká premenná x i s koeficientom 1;
2. Odčítajme túto rovnicu od všetkých ostatných a vynásobme ju číslami tak, aby koeficienty pre premennú x i v zostávajúcich rovniciach boli nulové. Dostaneme systém, ktorý je vyriešený vzhľadom na premennú x i a je ekvivalentný pôvodnej;
3. Ak vzniknú triviálne rovnice (zriedka, ale stáva sa to; napríklad 0 = 0), vymažeme ich zo systému. Výsledkom je, že rovnice sú o jednu menej;
4. Predchádzajúce kroky opakujeme maximálne n-krát, kde n je počet rovníc v sústave. Zakaždým, keď vyberieme novú premennú na „spracovanie“. Ak vzniknú konfliktné rovnice (napríklad 0 = 8), systém je nekonzistentný.

Výsledkom je, že po niekoľkých krokoch získame buď povolený systém (prípadne s voľnými premennými), alebo nekonzistentný. Povolené systémy spadajú do dvoch prípadov:

1. Počet premenných sa rovná počtu rovníc. Takže systém je definovaný;
2. Počet premenných je väčší ako počet rovníc. Všetky voľné premenné zhromažďujeme vpravo – dostávame vzorce pre povolené premenné. Tieto vzorce sú napísané v odpovedi.

To je všetko! Sústava lineárnych rovníc je vyriešená! Ide o pomerne jednoduchý algoritmus a na jeho zvládnutie nie je potrebné kontaktovať učiteľa matematiky. Zvážte príklad:

Úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

Popis krokov:

1. Od druhej a tretej odčítame prvú rovnicu – dostaneme povolenú premennú x 1;
2. Druhú rovnicu vynásobíme (−1), tretiu rovnicu vydelíme (−3) – dostaneme dve rovnice, do ktorých vstupuje premenná x 2 s koeficientom 1;
3. K prvej pripočítame druhú rovnicu a od tretej odpočítame. Zoberme si povolenú premennú x 2 ;
4. Nakoniec od prvej odčítame tretiu rovnicu – dostaneme povolenú premennú x 3 ;
5. Dostali sme autorizovaný systém, odpoveď zapisujeme.

Všeobecné riešenie spojeného systému lineárnych rovníc je nový systém, ekvivalentný pôvodnému, v ktorom sú všetky povolené premenné vyjadrené ako voľné.

Kedy môže byť potrebné všeobecné riešenie? Ak musíte urobiť menej krokov ako k (k je celkový počet rovníc). Avšak dôvody, prečo proces končí v niektorom kroku l< k , может быть две:

1. Po l -tom kroku dostaneme sústavu, ktorá neobsahuje rovnicu s číslom (l + 1). V skutočnosti je to dobré, pretože. vyriešený systém dostane aj tak – aj o pár krokov skôr.
2. Po l -tom kroku sa získa rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty premenných rovné nule a voľný koeficient je odlišný od nuly. Toto je nekonzistentná rovnica, a preto je systém nekonzistentný.

Je dôležité pochopiť, že výskyt nekonzistentnej rovnice Gaussovou metódou je dostatočným dôvodom nekonzistentnosti. Zároveň podotýkame, že v dôsledku l -tého kroku nemôžu zostať triviálne rovnice - všetky sú priamo v procese vymazané.

Popis krokov:

1. Odčítajte prvú rovnicu krát 4 od druhej. A tiež pridajte prvú rovnicu do tretej - dostaneme povolenú premennú x 1;
2. Od druhej odčítame tretiu rovnicu vynásobenú 2 - dostaneme protichodnú rovnicu 0 = −5.

Takže systém je nekonzistentný, pretože sa našla nekonzistentná rovnica.

Úloha. Preskúmajte kompatibilitu a nájdite všeobecné riešenie systému:

Popis krokov:

1. Prvú rovnicu odpočítame od druhej (po vynásobení dvomi) a tretiu - dostaneme povolenú premennú x 1;
2. Odpočítajte druhú rovnicu od tretej. Keďže všetky koeficienty v týchto rovniciach sú rovnaké, tretia rovnica sa stáva triviálnou. Zároveň druhú rovnicu vynásobíme (−1);
3. Od prvej rovnice odčítame druhú rovnicu – dostaneme povolenú premennú x 2. Celý systém rovníc je teraz tiež vyriešený;
4. Keďže premenné x 3 a x 4 sú voľné, presunieme ich doprava, aby sme vyjadrili povolené premenné. Toto je odpoveď.

Systém je teda spojený a neurčitý, keďže existujú dve povolené premenné (x 1 a x 2) a dve voľné (x 3 a x 4).

Jedným z najjednoduchších spôsobov riešenia sústavy lineárnych rovníc je metóda založená na výpočte determinantov ( Cramerovo pravidlo). Jeho výhodou je, že umožňuje okamžite zaznamenať riešenie, je to výhodné najmä v prípadoch, keď systémové koeficienty nie sú čísla, ale nejaké parametre. Jeho nevýhodou je ťažkopádnosť výpočtov v prípade veľkého množstva rovníc, navyše Cramerovo pravidlo nie je priamo aplikovateľné na systémy, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych. V takýchto prípadoch sa zvyčajne používa Gaussova metóda.

Sústavy lineárnych rovníc, ktoré majú rovnakú množinu riešení, sa nazývajú ekvivalent. Je zrejmé, že množina riešení lineárneho systému sa nezmení, ak dôjde k zámene rovníc, alebo ak sa jedna z rovníc vynásobí nejakým nenulovým číslom, alebo ak sa jedna rovnica pridá k druhej.

Gaussova metóda (metóda postupného odstraňovania neznámych) spočíva v tom, že pomocou elementárnych transformácií sa systém redukuje na ekvivalentný stupňovitý systém. Najprv pomocou 1. rovnice X 1 všetkých nasledujúcich rovníc systému. Potom pomocou 2. rovnice eliminujeme X 2 z 3. a všetky nasledujúce rovnice. Tento proces, tzv priama Gaussova metóda, pokračuje, kým na ľavej strane poslednej rovnice nezostane iba jedna neznáma x n. Potom je vyrobený Gaussov reverz– riešenie poslednej rovnice, nájdeme x n; potom pomocou tejto hodnoty vypočítame z predposlednej rovnice x n-1 atď. Naposledy nájdeme X 1 z prvej rovnice.

Gaussove transformácie sa pohodlne vykonávajú vykonávaním transformácií nie pomocou samotných rovníc, ale s maticami ich koeficientov. Zvážte maticu:

volal rozšírený maticový systém, pretože okrem hlavnej matice systému obsahuje stĺpec voľných členov. Gaussova metóda je založená na uvedení hlavnej matice systému do trojuholníkového tvaru (alebo lichobežníkového tvaru v prípade neštvorcových systémov) pomocou elementárnych riadkových transformácií (!) rozšírenej matice systému.

Príklad 5.1. Vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy:

rozhodnutie. Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou prvého riadku potom nastavíme ostatné prvky na nulu:

dostaneme nuly v 2., 3. a 4. riadku prvého stĺpca:

Teraz potrebujeme, aby sa všetky prvky v druhom stĺpci pod 2. riadkom rovnali nule. Ak to chcete urobiť, môžete vynásobiť druhý riadok -4/7 a pridať k tretiemu riadku. Aby sme sa však nezaoberali zlomkami, v 2. riadku druhého stĺpca vytvoríme jednotku a len

Teraz, aby ste získali trojuholníkovú maticu, musíte vynulovať prvok štvrtého riadku 3. stĺpca, na tento účel môžete vynásobiť tretí riadok 8/54 a pridať ho do štvrtého. Aby sme sa však nezaoberali zlomkami, prehodíme 3. a 4. riadok a 3. a 4. stĺpec a až potom vynulujeme zadaný prvok. Všimnite si, že keď sú stĺpce preusporiadané, zodpovedajúce premenné sú vymenené, a to je potrebné mať na pamäti; iné elementárne transformácie so stĺpcami (sčítanie a násobenie číslom) nie je možné vykonať!

Posledná zjednodušená matica zodpovedá sústave rovníc ekvivalentnej tej pôvodnej:

Odtiaľto pomocou opačného priebehu Gaussovej metódy zistíme zo štvrtej rovnice X 3 = -1; z tretieho X 4 = -2, od druhého X 2 = 2 az prvej rovnice X 1 = 1. V maticovom tvare sa odpoveď zapíše ako

Uvažovali sme o prípade, keď je systém určitý, t.j. keď je len jedno riešenie. Pozrime sa, čo sa stane, ak je systém nekonzistentný alebo neurčitý.

Príklad 5.2. Preskúmajte systém pomocou Gaussovej metódy:

rozhodnutie. Vypíšeme a transformujeme rozšírenú maticu systému

Napíšeme zjednodušený systém rovníc:

Tu v poslednej rovnici vyšlo, že 0=4, t.j. rozpor. Preto systém nemá riešenie, t.j. ona je nezlučiteľné. à

Príklad 5.3. Preskúmajte a vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy:

rozhodnutie. Vypíšeme a transformujeme rozšírenú maticu systému:

V dôsledku transformácií boli v poslednom riadku získané iba nuly. To znamená, že počet rovníc sa znížil o jednu:

Po zjednodušeniach teda zostávajú dve rovnice a štyri neznáme, t.j. dve neznáme „navyše“. Nech je „nadbytočné“, alebo, ako sa hovorí, voľné premenné, bude X 3 a X 4. Potom

Za predpokladu X 3 = 2a a X 4 = b, dostaneme X 2 = 1–a a X 1 = 2b–a; alebo v matricovej forme

Takto napísané riešenie sa nazýva všeobecný, pretože zadaním parametrov a a b rôzne hodnoty, je možné popísať všetky možné riešenia systému. a