Uvažujme tri lúče a, b, c, ktoré vychádzajú z rovnakého bodu a neležia v rovnakej rovine. Trojstenný uhol (abc) je obrazec zložený z „troch plochých uhlov (ab), (bc) a (ac) (obr. 2). Tieto uhly sa nazývajú strany trojstenného uhla a ich strany sú hrany, spoločný vrchol plochých uhlov sa nazýva Dihedrálne uhly tvorené plochami trojstenného uhla sa nazývajú dvojstenné uhly trojstenného uhla.

Pojem polyedrický uhol je definovaný podobne (obr. 3).

Mnohosten

V stereometrii sa študujú postavy v priestore, nazývané telesá. Vizuálne si (geometrické) teleso treba predstaviť ako časť priestoru, ktorú zaberá fyzické telo a ktorá je ohraničená povrchom.

Mnohosten je teleso, ktorého povrch pozostáva z konečného počtu plochých mnohouholníkov (obr. 4). Mnohosten sa nazýva konvexný, ak leží na jednej strane roviny každého plochého mnohouholníka na jeho povrchu. Spoločná časť takejto roviny a povrch konvexného mnohostenu sa nazýva tvár. Plochy konvexného mnohostenu sú ploché konvexné mnohouholníky. Strany plôch sa nazývajú okraje mnohostena a vrcholy sa nazývajú vrcholy mnohostena.

Vysvetlime si, čo bolo povedané na príklade známej kocky (obr. 5). Kocka je konvexný mnohosten. Jeho povrch tvorí šesť štvorcov: ABCD, BEFC, .... Sú to jeho tváre. Hrany kocky sú strany týchto štvorcov: AB, BC, BE,.... Vrcholy kocky sú vrcholy štvorcov: A, B, C, D, E, .... Kocka má šesť stien, dvanásť hrán a osem vrcholov.

Najjednoduchšie mnohosteny - hranoly a pyramídy, ktoré budú hlavným predmetom našej štúdie - uvedieme definície, ktoré v podstate nepoužívajú pojem telesa. Budú definované ako geometrické útvary s vyznačením všetkých bodov priestoru, ktoré k nim patria. Pojem geometrické teleso a jeho povrch v všeobecný prípad budú poskytnuté neskôr.

TEXTOVÉ VYSVETLENIE LEKCIE:

V planimetrii je jedným z predmetov štúdia uhol.

Uhol je geometrický útvar pozostávajúci z bodu - vrcholu uhla a dvoch lúčov vychádzajúcich z tohto bodu.

Dva uhly, jedna strana, ktoré sú spoločné a ďalšie dva sú pokračovaním jeden druhého, sa v planimetrii nazývajú susedné.

Kompas možno považovať za model plochého uhla.

Pripomeňme si pojem dihedrálneho uhla.

Toto je obrazec tvorený priamkou a a dvoma polrovinami so spoločnou hranicou a, ktoré v geometrii nepatria do rovnakej roviny, sa nazýva dihedrálny uhol. Polovičné roviny sú plochy dihedrálneho uhla. Priamka a je hrana dihedrálneho uhla.

Strecha domu jasne ukazuje dihedrálny uhol.

Ale strecha domu na obrázku 2 je vyrobená vo forme postavy tvorenej šiestimi plochými rohmi so spoločným vrcholom tak, že rohy sú zobraté v určitom poradí a každý pár susedných rohov, vrátane prvého a posledného, ​​má spoločná strana. Ako sa nazýva tento typ strechy?

V geometrii postava zložená z uhlov

A uhly, ktoré tvoria tento uhol, sa nazývajú ploché uhly. Strany plochých uhlov sa nazývajú hrany mnohostenného uhla. Bod O sa nazýva vrchol rohu.

Príklady mnohostenných uhlov možno nájsť v štvorstene a kvádri.

Plochy štvorstenu DBA, ABC, DBC zvierajú mnohostenný uhol BADC. Častejšie sa to nazýva trojstenný uhol.

V rovnobežnostene tvoria steny AA1D1D, ABCD, AA1B1B trojstenný uhol AA1DB.

No, strecha domu je vyrobená vo forme šesťhranného rohu. Skladá sa zo šiestich plochých rohov.

Pre mnohostenný uhol platí množstvo vlastností. Poďme ich sformulovať a dokázať. Hovorí sa tu, že vyhlásenie

Po prvé, pre akýkoľvek konvexný polyedrický uhol existuje rovina pretínajúca všetky jeho hrany.

Uvažujme ako dôkaz polyedrický uhol OA1A2 A3…An.

Podľa definície je konvexný. Uhol sa nazýva konvexný, ak leží na jednej strane roviny každého z jeho plochých uhlov.

Pretože podľa podmienky je tento uhol konvexný, potom body O, A1, A2, A3, An ležia na jednej strane roviny OA1A2

Nakreslíme stredovú čiaru KM trojuholníka OA1A2 a vyberieme z hrán OA3, OA4, OAn hranu, ktorá zviera najmenší uhol klinu s rovinou OCM. Nech je toto okraj OAi. (Oa celkom)

Uvažujme polrovinu α s hranicou CM rozdeľujúcu uhol klinu OKMAi na dva uhly klinu. Všetky vrcholy od A po An ležia na jednej strane roviny α a bod O na druhej strane. Preto rovina α pretína všetky hrany mnohostenného uhla. Tvrdenie bolo dokázané.

Konvexné polyedrické uhly majú ďalšiu dôležitú vlastnosť.

Súčet rovinných uhlov konvexného mnohostenného uhla je menší ako 360°.

Uvažujme konvexný polyedrický uhol s vrcholom v bode O. Na základe overeného tvrdenia existuje rovina, ktorá pretína všetky jej hrany.

Narysujme si takú rovinu α, nech pretína hrany uhla v bodoch A1, A2, A3 atď.

Rovina α odreže trojuholník z vonkajšej oblasti plochého uhla. Súčet uhlov je 180°. Dostaneme, že súčet všetkých rovinných uhlov od А1ОА2 po АnОА1 sa rovná výrazu, ktorý transformujeme, tento výraz preskupíme pojmy, dostaneme

V tomto výraze sú množstvá uvedené v zátvorkách súčtom rovinných uhlov trojstenného uhla a ako viete, sú väčšie ako tretí rovinný uhol.

Túto nerovnosť možno zapísať pre všetky trojstenné uhly tvoriace daný mnohostenný uhol.

Preto dostaneme nasledujúce pokračovanie rovnosti

Získaná odpoveď dokazuje, že súčet rovinných uhlov konvexného mnohostenného uhla je menší ako 360 stupňov.

№1 Dátum 05.09.14

Geometria predmetu

Trieda 11

Téma lekcie: Koncept mnohostenného uhla. trojuholníkový uhol.

Ciele lekcie:

zaviesť pojmy: „trojstenové uhly“, „mnohostenné uhly“, „mnohosten“;

oboznámiť študentov s prvkami trojstenného a mnohostenného uhla, mnohostenu, ako aj definíciami konvexného mnohostenného uhla a vlastnosťami plochých uhlov mnohostenného uhla;

pokračovať v práci na rozvoji priestorových zobrazení a priestorovej predstavivosti, ako aj logického myslenia žiakov.

Typ lekcie: učenie sa nového materiálu

POČAS VYUČOVANIA

1. Organizačný moment.

Pozdravenie študentov, kontrola pripravenosti triedy na hodinu, organizácia pozornosti študentov, zverejnenie všeobecných cieľov hodiny a jej plánu.

2. Formovanie nových konceptov a metód konania.

Úlohy: Zabezpečiť vnímanie, pochopenie a zapamätanie preberanej látky žiakmi. Zabezpečiť, aby študenti ovládali metodológiu reprodukcie študovaného materiálu, podporovať filozofické chápanie asimilovaných pojmov, zákonov, pravidiel, vzorcov. Zistiť správnosť a informovanosť študentov o študovanom materiáli, identifikovať medzery v primárnom chápaní, vykonať opravu. Zabezpečiť, aby študenti korelovali svoje subjektívne skúsenosti so znakmi vedeckého poznania.

Nech sa dajú tri lúčea, b as s spoločný východiskový bodO (obr. 1.1). Tieto tri lúče nemusia nevyhnutne ležať v rovnakej rovine. Na obrázku 1.2 sú lúčeb as ležať v lietadleR, lúča neleží v tejto rovine.

Lúčea, b as dvojice definujú tri ploché uhly odlíšené oblúkmi (obr. 1.3).

Uvažujme obrázok pozostávajúci z troch vyššie uvedených uhlov a časti priestoru ohraničeného týmito plochými uhlami. Tento priestorový obrazec je tzvtrojstenný uhol (obr. 2).

Lúčea, b a s volalokraje trojstenného uhla, a rohy: = AOC, = AOB,

= BOC , obmedzenie trojstenného uhla, - jehotváre. Tieto rohy sa tvoriatrojstenný povrch. BodkaO volalvrchol trojstenného uhla. Trojstenný uhol možno označiť takto: OABC

Po dôkladnom preskúmaní všetkých polyedrických uhlov znázornených na obrázku 3 môžeme dospieť k záveru, že každý z polyedrických uhlov má rovnaký počet hrán a plôch:

4 tváre a jeden vrchol;

päťstranný roh má 5 hrán, 5 plôch a jeden vrchol;

• 
  šesťhranný roh má 6 hrán, 6 plôch a jeden vrchol atď.

Polyedrické uhly sú konvexné a nekonvexné.

Predstavte si, že sme zobrali štyri lúče so spoločným pôvodom, ako na obrázku 4. V tomto prípade sme dostalinekonvexný polyedrický uhol.

Definícia 1. Mnohostenný uhol sa nazýva konvexný uhol,Ak onleží na jednej strane roviny každej z jej plôch.

Inými slovami, konvexný polyedrický uhol môže byť vždy umiestnený ktoroukoľvek z jeho plôch v nejakej rovine. Môžete vidieť, že v prípade znázornenom na obrázku 4 to nie je vždy možné. Tetraedrický uhol znázornený na obrázku 4 nie je konvexný.

Všimnite si, že ak v našom návode povieme „polyhedrálny uhol“, myslíme tým, že je konvexný. Ak uvažovaný polyedrický uhol nie je konvexný, bude to diskutované samostatne.

Vlastnosti rovinných rohov polyedrického rohu

Veta 1.Každý plochý uhol trojstenného uhla je menší ako súčet ostatných dvoch plochých uhlov.

Veta 2.Súčet hodnôt všetkých rovinných uhlov konvexného mnohostenného uhla je menší ako 360°.

3. Aplikácia. Formovanie zručností a schopností.

Ciele: Zabezpečiť, aby žiaci uplatňovali poznatky a metódy konania, ktoré potrebujú pre SW, vytvárať žiakom podmienky na identifikáciu jednotlivých spôsobov aplikácie naučeného.

6. Etapové informácie o domácich úlohách.

Ciele: Zabezpečiť, aby študenti rozumeli účelu, obsahu a metódam domácich úloh.

§1(1.1, 1.2) s. 4, č. 9.

7. Zhrnutie lekcie.

Cieľ: Kvalitne posúdiť prácu triedy a jednotlivých žiakov.

8. Štádium reflexie.

Úlohy: Iniciovať u žiakov reflexiu sebahodnotenia svojich aktivít. Zabezpečiť, aby si žiaci osvojili princípy sebaregulácie a spolupráce.

Konverzácia na:

Čo vás na lekcii zaujalo?

Čo nie je jasné?

Na čo by si mal učiteľ dávať pozor na nasledujúcej hodine?

Ako by ste ohodnotili svoju prácu v triede?

snímka 1

Obrazec tvorený špecifikovanou plochou a jednou z dvoch častí priestoru ňou ohraničených sa nazýva polyedrický uhol. Spoločný vrchol S sa nazýva vrchol mnohostenného uhla. Lúče SA1, ..., SAn sa nazývajú hrany mnohostenného uhla a samotné rovinné uhly A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 sa nazývajú steny mnohostenného uhla. Mnohostenný uhol je označený písmenami SA1…An, ktoré označujú vrchol a body na jeho okrajoch. Povrch tvorený konečnou množinou rovinných uhlov A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 so spoločným vrcholom S, v ktorom susedné uhly nemajú žiadne spoločné body, okrem bodov spoločného lúča, a nesusedné uhly majú žiadne spoločné body, okrem spoločného vrcholu, budeme nazývať polyedrickou plochou.

snímka 2


V závislosti od počtu plôch sú polyedrické uhly trojstenné, štvorstenné, päťstenné atď.

snímka 3

TRIHEDRAL ROHY

Veta. Každý plochý uhol trojstenného uhla je menší ako súčet jeho ďalších dvoch plochých uhlov. Dôkaz Zvážte trojstenný uhol SABC. Nech je najväčší z jeho plochých uhlov uhol ASC. Potom nerovnosti ASB ASC

snímka 4


Nehnuteľnosť. Súčet rovinných uhlov trojstenného uhla je menší ako 360°. Podobne pre trojstenné uhly s vrcholmi B a C platia nasledujúce nerovnosti: ABС

snímka 5

KONVEXNÉ LYHEDRÁLNE UHLY

Mnohostenný uhol sa nazýva konvexný, ak ide o konvexný obrazec, t. j. spolu s ľubovoľnými dvoma bodmi obsahuje celý segment, ktorý ich spája. Obrázok ukazuje príklady konvexných a nekonvexných mnohostenných uhlov. Vlastnosť: Súčet všetkých rovinných uhlov konvexného mnohostenného uhla je menší ako 360°. Dôkaz je podobný dôkazu zodpovedajúcej vlastnosti pre trojstenný uhol.

snímka 6

Vertikálne polyedrické uhly

Obrázky znázorňujú príklady trojstenných, štvorstenných a päťstenných vertikálnych uhlov. Vertikálne uhly sú rovnaké.

Snímka 7

Meranie polyedrických uhlov

Pretože hodnota stupňov rozvinutého dihedrálneho uhla je meraná hodnotou stupňa zodpovedajúceho lineárneho uhla a rovná sa 180°, budeme predpokladať, že hodnota stupňa celého priestoru, ktorý pozostáva z dvoch rozvinutých dihedrálnych uhlov, je 360°. . Hodnota polyedrického uhla vyjadrená v stupňoch ukazuje, akú časť priestoru daný polyedrický uhol zaberá. Napríklad trojstenný uhol kocky zaberá jednu osminu priestoru, a preto je jeho hodnota stupňov 360o:8 = 45o. Trojstenný uhol v pravidelnom n-gonálnom hranole sa rovná polovici uhla dvojstenu na bočnom okraji. Ak vezmeme do úvahy, že tento dihedrálny uhol je rovnaký, dostaneme, že trojstenný uhol hranola je rovnaký.

Snímka 8

Meranie trojstenných uhlov*

Odvodíme vzorec vyjadrujúci hodnotu trojstenného uhla v zmysle jeho dvojstenných uhlov. Opíšme jednotkovú guľu blízko vrcholu S trojstenného uhla a označme priesečníky hrán trojstenného uhla s touto guľou A, B, C. Roviny plôch trojstenného uhla rozdeľujú túto guľu na šesť párovo rovnaké guľové digony zodpovedajúce dihedrálnym uhlom daného trojstenného uhla. Sférický trojuholník ABC a s ním symetrický sférický trojuholník A "B" C sú priesečníkom troch uhlopriečok. Preto je dvojnásobný súčet uhlov dvojsteny 360o plus štvornásobná hodnota trojstenného uhla, čiže  SA + SB + SC = 180o + 2SABC.

Snímka 9

Meranie polyedrických uhlov*

Nech SA1...An je konvexný n-čelný uhol. Keď to rozdelíme na triedrické uhly, nakreslíme uhlopriečky A1A3, …, A1An-1 a použijeme na ne výsledný vzorec, dostaneme:  SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Polyedrické uhly možno merať aj číslami. Skutočne, tristošesťdesiat stupňov celého priestoru zodpovedá číslu 2π. Prechodom zo stupňov na čísla vo výslednom vzorci budeme mať: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

Snímka 10

Cvičenie 1

Môže existovať trojstenný uhol s plochými rohmi: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Žiadna odpoveď; b) nie; c) áno.

snímka 11

Cvičenie 2

Uveďte príklady mnohostenov, ktorých steny, pretínajúce sa vo vrcholoch, tvoria iba: a) trojstenné uhly; b) štvorstenné rohy; c) päťstranné rohy. Odpoveď: a) Štvorsten, kocka, dvanásťsten; b) oktaedrón; c) dvadsaťsten.

snímka 12

Cvičenie 3

Dva rovinné uhly trojstenného uhla sú 70° a 80°. Aká je hranica tretieho rovinného uhla? Odpoveď: 10o

snímka 13

Cvičenie 4

Rovinné uhly trojstenného uhla sú 45°, 45° a 60°. Nájdite uhol medzi rovinami plochých uhlov 45°. Odpoveď: 90o.

Snímka 14

Cvičenie 5

V trojstennom uhle majú dva rovinné uhly každý 45°; dihedrálny uhol medzi nimi je správny. Nájdite tretí plochý roh. Odpoveď: 60o.

snímka 15

Cvičenie 6

Rovinné uhly trojstenného uhla sú 60°, 60° a 90°. Na jeho okrajoch od vrcholu sú vynesené rovnaké segmenty OA, OB, OC. Nájdite dihedrálny uhol medzi rovinou uhla 90° a rovinou ABC. Odpoveď: 90o.

snímka 16

Cvičenie 7

Každý plochý uhol trojstenného uhla je 60°. Na jednom z jeho okrajov sa zhora odloží segment rovnajúci sa 3 cm a z jeho konca sa spustí kolmica na opačnú stranu. Nájdite dĺžku tejto kolmice. odpoveď: pozri

Snímka 17

Cvičenie 8

Nájdite miesto vnútorných bodov trojstenného uhla rovnako vzdialeného od jeho plôch. Odpoveď: Lúč, ktorého vrchol je vrcholom trojstenného uhla ležiaceho na priesečníku rovín deliacich uhly dvojstena na polovicu.

Snímka 18

Cvičenie 9

Nájdite miesto vnútorných bodov trojstenného uhla rovnako vzdialeného od jeho okrajov. Odpoveď: Lúč, ktorého vrchol je vrcholom trojstenného uhla ležiaceho na priesečníku rovín prechádzajúcich osami rovinných uhlov a kolmých na roviny týchto uhlov.

Snímka 19

Cvičenie 10

Pre dvojstenné uhly štvorstenu máme: , odkiaľ je 70o30". Pre trojstenné uhly štvorstenu máme: 15o45". Odpoveď: 15o45". Nájdite približné hodnoty trojstenných uhlov štvorstenu.

Snímka 20

Cvičenie 11

Nájdite približné hodnoty štvorstenných uhlov osemstenu. Pre dvojstenné uhly osemstenu máme: , odkiaľ je 109o30". Pre štvorstenné uhly osemstenu máme: 38o56". Odpoveď: 38o56".

snímka 21

Cvičenie 12

Nájdite približné hodnoty päťstranných uhlov dvadsaťstenu. Pre dvojstenné uhly dvadsaťstenu máme: , odkiaľ je 138o11". Pre päťstenné uhly dvadsaťstena máme: 75o28". Odpoveď: 75o28".

snímka 22

Cvičenie 13

Pre dvojstenné uhly dvanástnika máme: , odkiaľ 116o34". Pre trojstenné uhly dvanásťstena máme: 84o51". Odpoveď: 84o51". Nájdite približné hodnoty trojstenných uhlov dvanástnika.

snímka 23

Cvičenie 14

V pravidelnom štvorhrannom ihlane SABCD je strana základne 2 cm, výška 1 cm Nájdite štvorstenný uhol na vrchole tejto pyramídy. Riešenie: Uvedené pyramídy rozdeľujú kocku na šesť rovnakých pyramíd s vrcholmi v strede kocky. Preto je 4-stranný uhol na vrchole pyramídy jedna šestina uhla 360°, t.j. rovný 60o. Odpoveď: 60o.

snímka 24

Cvičenie 15

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde sú bočné hrany rovné 1, uhly na vrchole sú 90o. Nájdite trojstenný uhol na vrchole tejto pyramídy. Riešenie: Uvedené pyramídy rozdeľujú osemsten na osem rovnakých ihlanov s vrcholmi v strede O osemstenu. Preto je 3-stranný uhol na vrchole pyramídy jedna osmina uhla 360°, t.j. rovná 45o. Odpoveď: 45o.

Snímka 25

Cvičenie 16

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde sú bočné hrany rovné 1 a výška Nájdite trojstenný uhol na vrchole tejto pyramídy. Riešenie: Uvedené pyramídy rozdeľujú pravidelný štvorsten na štyri rovnaké pyramídy s vrcholmi v strede štvorstenu. Preto je 3-stranný uhol na vrchole pyramídy jednou štvrtinou uhla 360°, t.j. sa rovná 90o. Odpoveď: 90o.

Zobraziť všetky snímky

Definície. Zoberme si niekoľko uhlov (obr. 37): ASB, BSC, CSD, ktoré susediace v sérii sú umiestnené v rovnakej rovine okolo spoločného vrcholu S.

Otočme uhlovú rovinu ASB okolo spoločnej strany SB tak, aby táto rovina zvierala nejaký dihedrálny uhol s rovinou BSC. Potom, bez toho, aby sme zmenili výsledný dihedrálny uhol, ho otočíme okolo priamky SC tak, aby rovina BSC zvierala nejaký dihedrálny uhol s rovinou CSD. Pokračujme v tomto postupnom otáčaní okolo každej spoločnej strany. Ak sa v tomto prípade spojí posledná strana SF s prvou stranou SA, tak vznikne obrazec (obr. 38), ktorý je tzv. polyedrický uhol. Uholníky ASB, BSC,... sa nazývajú ploché rohy alebo tváre, ich strany SA, SB, ... sa nazývajú rebrá a spoločný vrchol S- summit mnohostranný uhol.

Každá hrana je tiež hranou nejakého dihedrálneho uhla; preto v mnohostennom uhle je toľko dvojstenných uhlov a toľko plochých uhlov, koľko je v ňom všetkých hrán. Najmenší počet plôch v mnohostennom uhle sú tri; tento uhol sa nazýva trojstenný. Môžu existovať štvorstranné, päťstranné atď. uhly.

Mnohostenný uhol je označený buď jedným písmenom S umiestneným vo vrchole, alebo sériou písmen SABCDE, z ktorých prvé označuje vrchol a ostatné sú hrany v poradí ich umiestnenia.

Polyedrický uhol sa nazýva konvexný, ak je celý umiestnený na jednej strane roviny každej z jeho plôch, ktorá je neobmedzene predĺžená. Taký je napríklad uhol znázornený na výkrese 38. Naopak, uhol na výkrese 39 nemožno nazvať konvexným, pretože je umiestnený na oboch stranách plochy ASB alebo plochy BSC.

Ak všetky plochy mnohostenného uhla pretína rovina, potom sa v reze vytvorí mnohouholník ( a B C d e ). V konvexnom mnohostennom uhle je tento mnohouholník tiež konvexný.

Budeme brať do úvahy iba konvexné polyedrické uhly.

Veta. V trojstennom uhle je každý plochý uhol menší ako súčet ostatných dvoch plochých uhlov.

Nech je v trojstennom uhle SABC (obr. 40) najväčší z plochých uhlov uhol ASC.

Nakreslite uhol ASD na tento uhol, ktorý sa rovná uhlu ASB, a nakreslite priamku AC pretínajúcu SD v určitom bode D. Dajte SB = SD. Spojením B s A a C dostaneme \(\Delta\)ABC, v ktorom

AD+DC< АВ + ВС.

Trojuholníky ASD a ASB sú zhodné, pretože každý obsahuje rovnaký uhol medzi rovnakými stranami: teda AD ​​= AB. Ak teda v odvodenej nerovnosti zahodíme rovnaké pojmy AD a AB, dostaneme ten DC< ВС.

Teraz si všimneme, že trojuholníky SCD a SCB majú dve strany jedného rovné dvom stranám druhého a tretie strany nie sú rovnaké; v tomto prípade leží väčší uhol oproti väčšej z týchto strán; znamená,

∠ CSD< ∠ CSВ.

Pridaním uhla ASD k ľavej strane tejto nerovnosti a uhla ASB, ktorý sa mu rovná pravej strane, dostaneme nerovnosť, ktorú bolo potrebné dokázať:

∠ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

Dokázali sme, že aj najväčší plochý uhol je menší ako súčet ostatných dvoch uhlov. Takže veta je dokázaná.

Dôsledok. Odpočítajte od oboch častí poslednej nerovnosti v uhle ASB alebo v uhle CSB; dostaneme:

∠ASC - ∠ASB< ∠ CSB;

∠ASC - ∠CSB< ∠ ASB.

Berúc do úvahy tieto nerovnosti sprava doľava a berúc do úvahy, že uhol ASC ako najväčší z troch uhlov je väčší ako rozdiel ostatných dvoch uhlov, dospejeme k záveru, že v trojstennom uhle je každý rovinný uhol väčší ako rozdiel ostatných dvoch uhlov.

Veta. V konvexnom mnohostennom uhle je súčet všetkých rovinných uhlov menší ako 4d (360°) .

Pretíname plochy (obr. 41) konvexného uhla SABCDE s nejakou rovinou; z toho v reze dostaneme konvexný n- gon ABCDE.

Aplikovaním teorému dokázaného skôr na každý z trojstenných uhlov, ktorých vrcholy sú v bodoch A, B, C, D a E, paholim:

∠ABC< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

Pridajme všetky tieto nerovnosti po členoch. Potom na ľavej strane dostaneme súčet všetkých uhlov mnohouholníka ABCDE, ktorý sa rovná 2 dn - 4d , a vpravo - súčet uhlov trojuholníkov ABS, SBC atď., okrem tých uhlov, ktoré ležia vo vrchole S. Súčet týchto posledných uhlov označujeme písmenom X , dostaneme po pridaní:

2dn - 4d < 2dn - x .

Keďže v rozdieloch 2 dn - 4d a 2 dn - x minuendy sú rovnaké, potom aby bol prvý rozdiel menší ako druhý, je potrebné, aby bol podradník 4 d bola viac ako odpočítaná X ; znamená 4 d > X , t.j. X < 4d .

Najjednoduchšie prípady rovnosti trojstenných uhlov

Vety. Trojstenné uhly sú rovnaké, ak majú:

1) rovnakým dihedrálnym uhlom uzavretým medzi dvoma príslušnými rovnakými a rovnako rozmiestnenými rovinnými uhlami, alebo

2) pozdĺž rovnakého rovinného uhla uzavretého medzi dvoma príslušnými rovnakými a rovnako rozmiestnenými dihedrálnymi uhlami.

1) Nech S a S 1 sú dva trojstenné uhly (obr. 42), v ktorých ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1 , ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (a tieto rovnaké uhly sú rovnako umiestnené) a dihedrálny uhol AS sa rovná dihedrálnemu uhlu A 1 S 1 .

Vložme uhol S 1 do uhla S tak, aby sa body S 1 a S, priamky S 1 A 1 a SA a roviny A 1 S 1 B 1 a ASB zhodovali. Potom hrana S 1 B 1 pôjde pozdĺž SB (v dôsledku rovnosti uhlov A 1 S 1 B 1 a ASB), rovina A 1 S 1 C 1 pôjde pozdĺž ASC (kvôli rovnosti uhlov klinu), a hrana S 1 C 1 pôjde pozdĺž hrany SC (v dôsledku rovnosti uhlov A 1 S 1 C 1 a ASC). Trojstenné uhly budú teda spojené všetkými ich hranami, t.j. budú si rovní.

2) Druhé kritérium, rovnako ako prvé, je preukázané vložením.

Symetrické polyedrické uhly

Ako viete, vertikálne uhly sú rovnaké, pokiaľ ide o uhly tvorené priamkami alebo rovinami. Pozrime sa, či toto tvrdenie platí pre polyedrické uhly.

Pokračujeme (obr. 43) všetkými hranami uhla SABCDE za vrchol S, potom sa vytvorí ďalší polyedrický uhol SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1, ktorý možno tzv. vertikálne vzhľadom na prvý roh. Je ľahké vidieť, že oba uhly majú rovnaké rovinné a dvojstenné uhly, ale oba sú v opačnom poradí. Ak si totiž predstavíme pozorovateľa, ktorý sa pozerá zvonku polyedrického uhla na jeho vrchol, potom sa mu okraje SA, SB, SC, SD, SE budú zdať umiestnené v protismere hodinových ručičiek, pri pohľade pod uhlom SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , vidí okraje SA 1 , SВ 1 , ... umiestnené v smere hodinových ručičiek.

Polyedrické uhly s príslušnými rovnakými rovinnými a dvojstennými uhlami, ale umiestnené v opačnom poradí, nemožno pri zapúšťaní vôbec kombinovať; to znamená, že si nie sú rovní. Takéto uhly sa nazývajú symetrické(vzhľadom na vrchol S). Viac o symetrii postáv v priestore bude diskutované nižšie.

Iné materiály