Párna nepárna funkcia y 2x. Párne a nepárne funkcie

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Ciele:

formovať pojem párnych a nepárnych funkcií, učiť schopnosti určovať a využívať tieto vlastnosti pri štúdiu funkcií, vykresľovanie grafov;
rozvíjať tvorivú činnosť žiakov, logické myslenie, schopnosť porovnávať, zovšeobecňovať;
pestovať pracovitosť, matematickú kultúru; rozvíjať komunikačné schopnosti .

Vybavenie: multimediálna inštalácia, interaktívna tabuľa, písomky.

Formy práce: frontálna a skupinová s prvkami pátracích a výskumných činností.

Zdroje informácií:

1. Trieda algebry 9 A.G. Mordkovich. Učebnica.
2. Algebra 9. ročník A.G. Mordkovich. Kniha úloh.
3. Algebra ročník 9. Úlohy na učenie a rozvoj žiakov. Belenková E.Yu. Lebedintseva E.A.

POČAS VYUČOVANIA

1. Organizačný moment

Stanovenie cieľov a cieľov lekcie.

2. Kontrola domácich úloh

č.10.17 (Problémová kniha 9. ročníka A.G. Mordkovich).

a) pri = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 pre X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcia sa zvyšuje s X € [– 2; + ∞)
6. Funkcia je obmedzená zdola.
7. pri prenájom = - 3, pri naib neexistuje
8. Funkcia je spojitá.

(Použili ste algoritmus skúmania funkcií?) Šmykľavka.

2. Skontrolujeme tabuľku, ktorá sa vám na snímke pýtala.

Vyplňte tabuľku
	doména	Funkčné nuly	Intervaly stálosti		Súradnice priesečníkov grafu s Oy
	doména	Funkčné nuly			Súradnice priesečníkov grafu s Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Aktualizácia znalostí

– Funkcie sú dané.
– Zadajte doménu definície pre každú funkciu.
– Porovnajte hodnotu každej funkcie pre každý pár hodnôt argumentov: 1 a – 1; 2 a -2.
– Pre ktorú z daných funkcií v obore definície sú rovnosti f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (vložte údaje do tabuľky) Šmykľavka

		f(1) a f(– 1)	f(2) a f(– 2)	grafy	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		a nie sú definované.

4. Nový materiál

- Pri tejto práci sme, priatelia, odhalili ešte jednu vlastnosť funkcie, ktorú nepoznáte, no nie je o nič menej dôležitá ako ostatné - tou je rovnomernosť a nepárnosť funkcie. Zapíšte si tému lekcie: „Párne a nepárne funkcie“, našou úlohou je naučiť sa určovať párne a nepárne funkcie, zistiť význam tejto vlastnosti pri štúdiu funkcií a vykresľovaní.
Takže nájdime definície v učebnici a čítajme (s. 110) . Šmykľavka

Def. jeden Funkcia pri = f (X) definovaný na množine X sa nazýva dokonca, ak má nejakú hodnotu XЄ X prebieha rovnosť f (–x) = f (x). Uveďte príklady.

Def. 2 Funkcia y = f(x), definovaná na množine X sa nazýva zvláštny, ak má nejakú hodnotu XЄ X je splnená rovnosť f(–х)= –f(х). Uveďte príklady.

Kde sme sa stretli s pojmami „párny“ a „nepárny“?
Čo myslíte, ktorá z týchto funkcií bude párna? prečo? Ktoré sú zvláštne? prečo?
Pre akúkoľvek funkciu formulára pri= x n, kde n je celé číslo, možno tvrdiť, že funkcia je nepárna n je nepárne a funkcia je párna pre n- dokonca.
– Zobrazenie funkcií pri= a pri = 2X– 3 nie je párne ani nepárne, pretože rovnosť nie je splnená f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Štúdium otázky, či je funkcia párna alebo nepárna, sa nazýva štúdium funkcie pre paritu.Šmykľavka

Definície 1 a 2 sa zaoberali hodnotami funkcie na x a - x, preto sa predpokladá, že funkcia je definovaná aj na hodnote X a na - X.

ODA 3. Ak množina čísel spolu s každým jej prvkom x obsahuje opačný prvok x, potom množina X sa nazýva symetrická množina.

Príklady:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sú symetrické množiny a , [–5;4] sú nesymetrické.

- Majú párne funkcie definičný obor - symetrickú množinu? Tie zvláštne?
- Ak D( f) je asymetrická množina, aká je potom funkcia?
– Ak teda funkcia pri = f(X) je párne alebo nepárne, potom je jeho doména definície D( f) je symetrická množina. Platí však opačné tvrdenie, že ak je definičným oborom funkcie symetrická množina, potom je párna alebo nepárna?
- Prítomnosť symetrickej množiny definičného oboru je teda nevyhnutnou podmienkou, nie však dostatočnou.
– Ako teda môžeme preskúmať funkciu parity? Skúsme napísať algoritmus.

Šmykľavka

Algoritmus na skúmanie funkcie pre paritu

1. Určte, či je definičný obor funkcie symetrický. Ak nie, funkcia nie je ani párna, ani nepárna. Ak áno, prejdite na krok 2 algoritmu.

2. Napíšte výraz pre f(–X).

3. Porovnaj f(–X).a f(X):

ak f(–X).= f(X), potom je funkcia párna;
ak f(–X).= – f(X), potom je funkcia nepárna;
ak f(–X) ≠ f(X) a f(–X) ≠ –f(X), potom funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

Príklady:

Preskúmajte funkciu pre paritu a) pri= x 5+; b) pri= ; v) pri= .

rozhodnutie.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symetrická množina.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funkcia h(x)= x 5 + nepárne.

b) y =,

pri = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymetrická množina, takže funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

v) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Možnosť 2

1. Je daná množina symetrická: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Preskúmajte funkciu parity:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Na obr. zakreslený pri = f(X), pre všetkých X, splnenie podmienky X? 0.
Nakreslite funkciu pri = f(X), ak pri = f(X) je párna funkcia.

3. Na obr. zakreslený pri = f(X), pre všetky x spĺňajúce x? 0.
Nakreslite funkciu pri = f(X), ak pri = f(X) je nepárna funkcia.

Vzájomná kontrola zapnutá šmykľavka.

6. Domáce úlohy: №11.11, 11.21,11.22;

Dôkaz geometrického významu vlastnosti parity.

*** (Priradenie možnosti USE).

1. Nepárna funkcia y \u003d f (x) je definovaná na celej skutočnej čiare. Pre akúkoľvek nezápornú hodnotu premennej x sa hodnota tejto funkcie zhoduje s hodnotou funkcie g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Nájdite hodnotu funkcie h( X) = pri X = 3.

7. Zhrnutie

. Na tento účel použite milimetrový papier alebo grafickú kalkulačku. Vyberte ľubovoľný počet číselných hodnôt pre nezávislú premennú x (\displaystyle x) a zapojte ich do funkcie na výpočet hodnôt závislej premennej y (\displaystyle y). Nájdené súradnice bodov vložte do súradnicovej roviny a potom tieto body spojte, aby ste vytvorili graf funkcie.

Do funkcie nahraďte kladné číselné hodnoty x (\displaystyle x) a zodpovedajúce záporné číselné hodnoty. Napríklad pri danej funkcii f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Nahraďte do nej nasledujúce hodnoty x (\displaystyle x):

Skontrolujte, či je graf funkcie symetrický podľa osi y. Symetria sa vzťahuje na zrkadlový obraz grafu okolo osi y. Ak sa časť grafu napravo od osi y (kladné hodnoty nezávislej premennej) zhoduje s časťou grafu naľavo od osi y (záporné hodnoty nezávislej premennej), graf je symetrický podľa osi y. Ak je funkcia symetrická podľa osi y, funkcia je párna.

Skontrolujte, či je graf funkcie symetrický podľa počiatku. Počiatok je bod so súradnicami (0,0). Symetria o pôvode znamená, že kladná hodnota y (\displaystyle y)(s kladnou hodnotou x (\displaystyle x)) zodpovedá zápornej hodnote y (\displaystyle y)(so zápornou hodnotou x (\displaystyle x)), a naopak. Nepárne funkcie majú symetriu vzhľadom na pôvod.

Skontrolujte, či má graf funkcie nejakú symetriu. Posledným typom funkcie je funkcia, ktorej graf nemá symetriu, to znamená, že neexistuje zrkadlový obraz vo vzťahu k osi y ani k začiatku. Napríklad pri danej funkcii.

Do funkcie nahraďte niekoľko kladných a zodpovedajúcich záporných hodnôt x (\displaystyle x):
Podľa získaných výsledkov neexistuje žiadna symetria. hodnoty y (\displaystyle y) pre opačné hodnoty x (\displaystyle x) nezhodujú sa a nie sú opačné. Funkcia teda nie je párna ani nepárna.
Upozorňujeme, že funkcia f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) dá sa napísať takto: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Funkcia napísaná v tejto forme sa zdá byť párna, pretože existuje párny exponent. Tento príklad však dokazuje, že formu funkcie nemožno rýchlo určiť, ak je nezávislá premenná uzavretá v zátvorkách. V tomto prípade musíte otvoriť zátvorky a analyzovať výsledné exponenty.

Skryť reláciu

Spôsoby nastavenia funkcie

Nech je funkcia daná vzorcom: y=2x^(2)-3 . Priradením ľubovoľnej hodnoty nezávislej premennej x môžete tento vzorec použiť na výpočet zodpovedajúcich hodnôt závislej premennej y. Napríklad, ak x=-0,5 , potom pomocou vzorca dostaneme, že zodpovedajúca hodnota y je y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Vzhľadom na akúkoľvek hodnotu získanú argumentom x vo vzorci y=2x^(2)-3 možno vypočítať iba jednu funkčnú hodnotu, ktorá jej zodpovedá. Funkcia môže byť reprezentovaná ako tabuľka:

X	−2	−1	0	1	2	3
r	−4	−3	−2	−1	0	1

Pomocou tejto tabuľky môžete zistiť, že pre hodnotu argumentu -1 bude zodpovedať hodnota funkcie -3; a hodnota x=2 bude zodpovedať y=0 atď. Je tiež dôležité vedieť, že každá hodnota argumentu v tabuľke zodpovedá iba jednej funkčnej hodnote.

Viac funkcií je možné nastaviť pomocou grafov. Pomocou grafu sa zistí, ktorá hodnota funkcie koreluje s určitou hodnotou x. Najčastejšie to bude približná hodnota funkcie.

Párna a nepárna funkcia

Funkcia je dokonca funkciu, keď f(-x)=f(x) pre ľubovoľné x z domény. Takáto funkcia bude symetrická okolo osi Oy.

Funkcia je nepárna funkcia keď f(-x)=-f(x) pre ľubovoľné x v doméne. Takáto funkcia bude symetrická okolo začiatku O (0;0) .

Funkcia je ani, ani nepárne a volal všeobecná funkcia keď nemá symetriu okolo osi alebo pôvodu.

Skúmame nasledujúcu funkciu pre paritu:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) so symetrickou doménou definície pôvodu. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Preto je funkcia f(x)=3x^(3)-7x^(7) nepárna.

Periodická funkcia

Funkcia y=f(x) , v ktorej obore f(x+T)=f(x-T)=f(x) platí pre ľubovoľné x, sa nazýva periodická funkcia s periódou T \neq 0 .

Opakovanie grafu funkcie na ľubovoľnom segmente osi x, ktorý má dĺžku T .

Intervaly, kde je funkcia kladná, to znamená f (x) > 0 - segmenty osi x, ktoré zodpovedajú bodom grafu funkcie, ktoré ležia nad osou x.

f(x) > 0 zapnuté (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Medzery, kde je funkcia záporná, t.j. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \pohár (x_(2); x_(3))

Obmedzenie funkcie

ohraničené zdola je zvykom volať funkciu y=f(x), x \in X, keď existuje číslo A, pre ktoré platí nerovnosť f(x) \geq A pre ľubovoľné x \in X .

Príklad funkcie ohraničenej nižšie: y=\sqrt(1+x^(2)) keďže y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pre ľubovoľné x .

ohraničené zhora funkcia y=f(x), x \in X sa volá, ak existuje číslo B, pre ktoré platí nerovnosť f(x) \neq B pre ľubovoľné x \in X .

Príklad funkcie ohraničenej nižšie: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] keďže y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pre ľubovoľné x \in [-1;1] .

Obmedzené je zvykom volať funkciu y=f(x), x \in X, keď existuje číslo K > 0, pre ktoré platí nerovnosť \left | f(x) \vpravo | \neq K pre ľubovoľné x \in X .

Príklad ohraničenej funkcie: y=\sin x je ohraničené na celej číselnej osi, pretože \left | \sin x \vpravo | \neq 1.

Zvyšovanie a znižovanie funkcie

Je zvykom hovoriť o funkcii, ktorá narastá v uvažovanom intervale ako zvýšenie funkcie keď väčšia hodnota x bude zodpovedať väčšej hodnote funkcie y=f(x) . Odtiaľ sa ukazuje, že ak vezmeme z uvažovaného intervalu dve ľubovoľné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) a x_(1) > x_(2) , bude to y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Volá sa funkcia, ktorá klesá v uvažovanom intervale klesajúca funkcia keď väčšia hodnota x bude zodpovedať menšej hodnote funkcie y(x) . Odtiaľ sa ukazuje, že ak vezmeme z uvažovaného intervalu dve ľubovoľné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) a x_(1) > x_(2) , bude to y(x_(1))< y(x_{2}) .

Korene funkcie je zvykom pomenovať body, v ktorých funkcia F=y(x) pretína os x (získame ich ako výsledok riešenia rovnice y(x)=0 ).

a) Ak sa párna funkcia zvýši pre x > 0, potom sa pre x zníži< 0

b) Keď párna funkcia klesá pre x > 0, potom sa zvyšuje pre x< 0

c) Keď sa nepárna funkcia zvýši pre x > 0, potom sa zvýši aj pre x< 0

d) Keď sa nepárna funkcia zníži pre x > 0, potom sa zníži aj pre x< 0

Funkčné extrémy

Minimálny bod funkcie y=f(x) je zvykom nazývať taký bod x=x_(0) , v ktorom jeho okolie bude mať ďalšie body (okrem bodu x=x_(0) ), a potom nerovnosť f(x) > f (x_(0)) . y_(min) - označenie funkcie v bode min.

Maximálny bod funkcie y=f(x) je zvykom nazývať taký bod x=x_(0) , v ktorom jeho okolie bude mať iné body (okrem bodu x=x_(0) ), a potom nerovnosť f(x) bude pre nich spokojný< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Nevyhnutná podmienka

Podľa Fermatovej vety: f"(x)=0, potom keď funkcia f(x) , ktorá je diferencovateľná v bode x_(0) , objaví sa v tomto bode extrém.

Dostatočný stav

Keď sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus, potom x_(0) bude minimálny bod;
x_(0) - bude maximálnym bodom iba vtedy, keď derivácia zmení znamienko z mínus na plus pri prechode cez stacionárny bod x_(0) .

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na intervale

Kroky výpočtu:

Hľadá sa derivácia f"(x) ;
Nájdu sa stacionárne a kritické body funkcie a vyberú sa tie, ktoré patria do intervalu;
Hodnoty funkcie f(x) sa nachádzajú v stacionárnych a kritických bodoch a na koncoch segmentu. Najmenší z výsledkov bude najmenšia hodnota funkcie, a viac - najväčší.

Závislosť premennej y od premennej x, v ktorej každej hodnote x zodpovedá jedna hodnota y, sa nazýva funkcia. Zápis je y=f(x). Každá funkcia má množstvo základných vlastností, ako je monotónnosť, parita, periodicita a iné.

Zvážte paritnú vlastnosť podrobnejšie.

Funkcia y=f(x) sa volá aj vtedy, ak spĺňa nasledujúce dve podmienky:

2. Hodnota funkcie v bode x patriaca do rozsahu funkcie sa musí rovnať hodnote funkcie v bode -x. To znamená, že pre ľubovoľný bod x z oblasti funkcie musí platiť nasledujúca rovnosť f (x) \u003d f (-x).

Graf párnej funkcie

Ak vytvoríte graf párnej funkcie, bude symetrický okolo osi y.

Napríklad funkcia y=x^2 je párna. Poďme si to overiť. Oblasťou definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická k bodu O.

Vezmite ľubovoľné x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Preto f(x) = f(-x). Obidve podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je párna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^2.

Obrázok ukazuje, že graf je symetrický okolo osi y.

Graf nepárnej funkcie

Funkcia y=f(x) sa nazýva nepárna, ak spĺňa tieto dve podmienky:

1. Definičný obor danej funkcie musí byť symetrický vzhľadom na bod O. To znamená, že ak nejaký bod a patrí do definičného oboru funkcie, potom aj príslušný bod -a musí patriť do definičného oboru danej funkcie.

2. Pre ľubovoľný bod x z oblasti funkcie musí byť splnená nasledujúca rovnosť f (x) \u003d -f (x).

Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na bod O - počiatok. Napríklad funkcia y=x^3 je nepárna. Poďme si to overiť. Oblasťou definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická k bodu O.

Vezmite ľubovoľné x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Preto f(x) = -f(x). Obe podmienky sú teda pre nás splnené, čiže funkcia je nepárna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^3.

Obrázok jasne ukazuje, že nepárna funkcia y=x^3 je symetrická vzhľadom na počiatok.

- (Math.) Funkcia y \u003d f (x) sa volá aj vtedy, ak sa nezmení, keď nezávislá premenná zmení iba znamienko, teda ak f (x) \u003d f (x). Ak f (x) = f (x), potom sa funkcia f (x) nazýva nepárna. Napríklad y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x je príklad nepárnej funkcie. f(x) = x2 je príkladom párnej funkcie. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funkcia, ktorá spĺňa rovnosť f (x) = f (x). Pozrite si párne a nepárne funkcie... Veľká sovietska encyklopédia