Obdĺžnikový hranol (PP) nie je nič iné ako hranol, ktorého základňou je obdĺžnik. V PP sú všetky uhlopriečky rovnaké, čo znamená, že ktorákoľvek z jej uhlopriečok sa vypočíta podľa vzorca:

• a, smerom k základni PP;

  s jeho výškou.

Môže byť uvedená iná definícia, berúc do úvahy karteziánsky pravouhlý súradnicový systém:

PP uhlopriečka je vektor polomeru ľubovoľného bodu v priestore daný súradnicami x, y a z v karteziánskom súradnicovom systéme. Tento vektor polomeru k bodu je nakreslený z počiatku. A súradnice bodu budú priemetmi vektora polomeru (uhlopriečka PP) na súradnicové osi. Priemetne sa zhodujú s vrcholmi daného rovnobežnostena.



Kváder je druh mnohostenu pozostávajúceho zo 6 plôch, na základni ktorých je obdĺžnik. Uhlopriečka je úsečka, ktorá spája opačné vrcholy rovnobežníka.

Vzorec na zistenie dĺžky uhlopriečky je taký, že druhá mocnina uhlopriečky sa rovná súčtu štvorcov troch rozmerov rovnobežníka.



Našiel som na internete dobrú tabuľku schém s úplným zoznamom všetkého, čo je v rovnobežnostene. Existuje vzorec na nájdenie uhlopriečky, ktorá je označená d.

Je tam obrázok tváre, vrcholu a ďalších vecí dôležitých pre krabicu.



Ak je známa dĺžka, výška a šírka (a,b,c) kvádra, vzorec na výpočet uhlopriečky bude vyzerať takto:



Učitelia zvyčajne neponúkajú svojim študentom „nahých“; vzorec, ale vynaložia úsilie, aby ho mohli nezávisle odvodiť kladením hlavných otázok:

• čo potrebujeme vedieť, aké údaje máme?
• Aké sú vlastnosti pravouhlého rovnobežnostena?
• Platí tu Pytagorova veta? ako?
• Existuje dostatok údajov na použitie Pytagorovej vety alebo potrebujeme ďalšie výpočty?

Zvyčajne, po zodpovedaní položených otázok, študenti ľahko odvodia tento vzorec sami.

Uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sú rovnaké. Rovnako ako uhlopriečky jeho protiľahlých plôch. Dĺžku uhlopriečky možno vypočítať tak, že poznáme dĺžku hrán rovnobežníka vychádzajúcich z jedného vrcholu. Táto dĺžka sa rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín dĺžok jej rebier.



Kváder je jedným z takzvaných mnohostenov, ktorý pozostáva zo 6 plôch, z ktorých každá je obdĺžnik. Uhlopriečka je úsečka, ktorá spája opačné vrcholy rovnobežníka. Ak sa dĺžka, šírka a výška obdĺžnikového boxu berie ako a, b, c, potom vzorec pre jeho uhlopriečku (D) bude vyzerať takto: D^2=a^2+b^2+c^2 .



Uhlopriečka kvádra je úsečka spájajúca jej protiľahlé vrcholy. Takže máme kváder s uhlopriečkou d a stranami a, b, c. Jednou z vlastností rovnobežnostena je štvorec diagonálna dĺžka d sa rovná súčtu druhých mocnín jeho troch rozmerov a, b, c. Preto záver, že diagonálna dĺžka možno ľahko vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:



tiež:

Ako zistiť výšku rovnobežnostena?

• Diagonálny štvorec, štvorcový kváder (pozri vlastnosti štvorcového kvádra) sa rovná súčtu štvorcov jeho troch rôznych strán (šírka, výška, hrúbka), a preto sa uhlopriečka štvorcového kvádra rovná odmocnine túto sumu.

  Pamätám si školské osnovy z geometrie, môžete povedať toto: uhlopriečka rovnobežnostena sa rovná druhej odmocnine získanej zo súčtu jeho troch strán (označujú sa malými písmenami a, b, c).

  Dĺžka uhlopriečky pravouhlého hranola sa rovná druhej odmocnine súčtu štvorcov jeho strán.

  Pokiaľ viem zo školských osnov z 9. triedy, ak sa nemýlim a ak ma pamäť neklame, tak uhlopriečka pravouhlého rovnobežnostena sa rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín jeho všetkých troch strán.

  druhá mocnina uhlopriečky sa rovná súčtu štvorcov šírky, výšky a dĺžky, na základe tohto vzorca dostaneme odpoveď, uhlopriečka sa rovná druhej odmocnine súčtu jej troch rôznych rozmerov, označujú písmená nсz abc

Poučenie

Metóda 2 Predpokladajme, že kváder je kocka. Kocka je obdĺžnikový hranol, pričom každá strana je reprezentovaná štvorcom. Preto sú všetky jeho strany rovnaké. Potom na výpočet dĺžky jej uhlopriečky bude vyjadrená takto:

Zdroje:

• obdĺžnikový diagonálny vzorec

Rovnobežník je špeciálny prípad hranola, ktorého všetkých šesť plôch sú rovnobežníky alebo obdĺžniky. Rovnobežník s pravouhlými plochami sa tiež nazýva obdĺžnikový. Rovnobežník má štyri pretínajúce sa uhlopriečky. Ak sú uvedené tri hrany a, b, c, pomocou dodatočných konštrukcií môžete nájsť všetky uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena.

Poučenie

Nájdite uhlopriečku rovnobežnostena m. Ak to chcete urobiť, v a, n, m nájdite neznámu preponu: m² = n² + a². Zapojte známe hodnoty a potom vypočítajte druhú odmocninu. Získaný výsledok bude prvá uhlopriečka rovnobežnostena m.

Podobne nakreslite postupne všetky ostatné tri uhlopriečky rovnobežnostena. Tiež pre každú z nich vykonajte dodatočnú konštrukciu uhlopriečok susedných plôch. Ak vezmeme do úvahy vytvorené pravouhlé trojuholníky a použijeme Pytagorovu vetu, nájdite hodnoty zostávajúcich uhlopriečok.

Podobné videá

Zdroje:

• nájdenie rovnobežnostenu

Prepona je opačná strana pravého uhla. Nohy sú strany trojuholníka susediace s pravým uhlom. Pokiaľ ide o trojuholníky ABC a ACD: AB a BC, AD a DC–, AC je spoločná prepona pre oba trojuholníky (požadovaná uhlopriečka). Preto AC = štvorec AB + štvorec BC alebo AC B = štvorec AD + štvorec DC. Zasuňte dĺžky strán obdĺžnik do vyššie uvedeného vzorca a vypočítajte dĺžku prepony (uhlopriečku obdĺžnik).

Napríklad strany obdĺžnik ABCD sa rovnajú nasledujúcim hodnotám: AB = 5 cm a BC = 7 cm. Druhá mocnina uhlopriečky AC daného obdĺžnik podľa Pytagorovej vety: AC štvorec \u003d AB štvorec + BC štvorec \u003d 52 + 72 \u003d 25 + 49 \u003d 74 cm štvorcových. Pomocou kalkulačky vypočítajte druhú odmocninu zo 74. Mali by ste skončiť s 8,6 cm (zaokrúhlené nahor). Majte na pamäti, že jedna z vlastností obdĺžnik, jeho uhlopriečky sú rovnaké. Čiže dĺžka druhej uhlopriečky BD obdĺžnik ABCD sa rovná dĺžke uhlopriečky AC. Pre vyššie uvedený príklad táto hodnota

V geometrii sa rozlišujú tieto typy rovnobežnostenov: pravouhlý rovnobežnosten (obdĺžniky pôsobia ako strany rovnobežnostena); rovný rovnobežnosten (jeho bočné strany pôsobia ako obdĺžniky); šikmý hranol (jeho bočné strany pôsobia ako kolmice); kocka je rovnobežnosten s presne rovnakými rozmermi a strany kocky sú štvorce. Rovnobežníky môžu byť buď šikmé alebo rovné.

Základné prvky rovnobežnostena spočívajú v tom, že dve strany daného geometrického útvaru, ktoré nemajú spoločnú hranu, sú protiľahlé a tie, ktoré ju majú, susedia. Vrcholy krabice, ktoré nepatria k tej istej ploche, sú oproti sebe. Rovnobežník má rozmer - sú to tri hrany, ktoré majú spoločný vrchol.

Úsečka, ktorá spája opačné vrcholy, sa nazýva diagonála. Štyri uhlopriečky rovnobežnostena, ktoré sa pretínajú v jednom bode, sú súčasne rozdelené na polovicu.

Na určenie uhlopriečky rovnobežnostena je potrebné určiť strany a hrany, ktoré sú známe zo stavu problému. So známymi tromi okrajmi ALE , AT , S nakreslite uhlopriečku v rovnobežnostene. Podľa vlastnosti rovnobežnostena, ktorá hovorí, že všetky jeho uhly sú pravé, je určená uhlopriečka. Zostrojte uhlopriečku z jednej zo strán rovnobežnostena. Uhlopriečky musia byť nakreslené tak, aby uhlopriečka čela, požadovaná uhlopriečka rovnobežnostena a známa hrana tvorili trojuholník. Po vytvorení trojuholníka nájdite dĺžku tejto uhlopriečky. Uhlopriečka v inom výslednom trojuholníku funguje ako prepona, takže ju možno nájsť pomocou Pytagorovej vety, ktorú treba brať pod druhú odmocninu. Takto sa dozvieme hodnotu druhej uhlopriečky. Aby sme našli prvú uhlopriečku rovnobežnostena v utvorenom pravouhlom trojuholníku, musíme nájsť aj neznámu preponu (za Pytagorovou vetou). Pomocou toho istého príkladu postupne nájdite zostávajúce tri uhlopriečky existujúce v rovnobežnostene vykonaním dodatočných konštrukcií uhlopriečok, ktoré tvoria pravouhlé trojuholníky, a vyriešte ich pomocou Pytagorovej vety.

Obdĺžnikový hranol (PP) nie je nič iné ako hranol, ktorého základňou je obdĺžnik. V PP sú všetky uhlopriečky rovnaké, čo znamená, že ktorákoľvek z jej uhlopriečok sa vypočíta podľa vzorca:

a, c - strany základne PP;

c je jeho výška.

Môže byť uvedená iná definícia, berúc do úvahy karteziánsky pravouhlý súradnicový systém:

PP uhlopriečka je vektor polomeru ľubovoľného bodu v priestore daný súradnicami x, y a z v karteziánskom súradnicovom systéme. Tento vektor polomeru k bodu je nakreslený z počiatku. A súradnice bodu budú priemetmi vektora polomeru (uhlopriečka PP) na súradnicové osi. Priemetne sa zhodujú s vrcholmi daného rovnobežnostena.

Rovnobežník a jeho typy

Ak doslovne preložíme jeho názov zo starovekej gréčtiny, ukáže sa, že ide o postavu pozostávajúcu z rovnobežných rovín. Existujú také ekvivalentné definície rovnobežnostena:

• hranol so základňou vo forme rovnobežníka;
• mnohosten, ktorého každá plocha je rovnobežník.

Jeho typy sa rozlišujú podľa toho, ktorá postava leží na jej základni a ako sú nasmerované bočné rebrá. Vo všeobecnosti sa hovorí o šikmý rovnobežnosten ktorého základňa a všetky steny sú rovnobežníky. Ak sa bočné strany predchádzajúceho pohľadu stanú obdĺžnikmi, bude potrebné to už zavolať priamy. A pri pravouhlý a základňa má tiež 90º uhly.

Okrem toho sa v geometrii pokúšajú zobraziť ten druhý takým spôsobom, že je zrejmé, že všetky hrany sú rovnobežné. Tu je mimochodom pozorovaný hlavný rozdiel medzi matematikmi a umelcami. Je dôležité, aby telo prenášalo v súlade so zákonom perspektívy. A v tomto prípade je rovnobežnosť hrán úplne neviditeľná.

O zavedenom zápise

Vo vzorcoch nižšie platia označenia uvedené v tabuľke.

Vzorce pre šikmý box

Prvý a druhý pre oblasti:

Tretí slúži na výpočet objemu krabice:

Keďže základom je rovnobežník, na výpočet jeho plochy budete musieť použiť príslušné výrazy.

Vzorce pre kváder

Podobne ako v prvom odseku - dva vzorce pre oblasti:

A ešte jeden pre objem:

Prvá úloha

Podmienka. Vzhľadom na obdĺžnikový hranol, ktorého objem je potrebné nájsť. Známa je uhlopriečka - 18 cm - a to, že s rovinou bočného čela a bočnej hrany zviera uhly 30 a 45 stupňov.

rozhodnutie. Ak chcete odpovedať na otázku problému, musíte zistiť všetky strany v troch pravouhlých trojuholníkoch. Poskytnú potrebné hodnoty okrajov, pre ktoré musíte vypočítať objem.

Najprv musíte zistiť, kde je uhol 30º. Aby ste to dosiahli, musíte nakresliť uhlopriečku bočnej plochy z rovnakého vrcholu, z ktorého bola nakreslená hlavná uhlopriečka rovnobežníka. Uhol medzi nimi bude taký, aký potrebujete.

Prvý trojuholník, ktorý dá jednu zo strán základne, bude nasledujúci. Obsahuje požadovanú stranu a dve nakreslené uhlopriečky. Je obdĺžnikový. Teraz musíte použiť pomer opačnej nohy (základná strana) a prepony (uhlopriečka). Rovná sa sínusu 30º. To znamená, že neznáma strana základne bude určená ako uhlopriečka vynásobená sínusom 30º alebo ½. Nech je označený písmenom „a“.

Druhým bude trojuholník obsahujúci známu uhlopriečku a hranu, s ktorou tvorí 45º. Je tiež obdĺžnikový a opäť môžete použiť pomer nohy k prepone. Inými slovami, bočná hrana k diagonále. Rovná sa kosínusu 45º. To znamená, že "c" sa vypočíta ako súčin uhlopriečky a kosínusu 45°.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

V tom istom trojuholníku musíte nájsť ďalšiu nohu. To je potrebné, aby sa potom vypočítala tretia neznáma - "v". Nech je označený písmenom „x“. Je ľahké vypočítať pomocou Pytagorovej vety:

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).

Teraz musíme zvážiť ďalší pravouhlý trojuholník. Obsahuje už známe strany „c“, „x“ a tú, ktorú treba spočítať, „c“:

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).

Všetky tri množstvá sú známe. Môžete použiť vzorec pre objem a vypočítať ho:

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

odpoveď: objem rovnobežnostena je 729√2 cm 3 .

Druhá úloha

Podmienka. Nájdite objem rovnobežnostena. Pozná strany rovnobežníka, ktorý leží na základni, 3 a 6 cm, ako aj jeho ostrý uhol - 45º. Bočné rebro má sklon k základni 30º a rovná sa 4 cm.

rozhodnutie. Ak chcete odpovedať na otázku problému, musíte vziať vzorec, ktorý bol napísaný pre objem nakloneného rovnobežnostena. Ale obe veličiny sú v ňom neznáme.

Oblasť základne, to znamená rovnobežník, bude určená vzorcom, v ktorom musíte vynásobiť známe strany a sínus ostrého uhla medzi nimi.

S o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

Druhou neznámou je výška. Môže sa čerpať z ktoréhokoľvek zo štyroch vrcholov nad základňou. Dá sa zistiť z pravouhlého trojuholníka, v ktorom výška je noha a bočná hrana je prepona. V tomto prípade leží uhol 30° oproti neznámej výške. Takže môžete použiť pomer nohy k prepone.

n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Teraz sú všetky hodnoty známe a môžete vypočítať objem:

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

odpoveď: objem je 18 √2 cm 3 .

Tretia úloha

Podmienka. Nájdite objem rovnobežnostena, ak je známe, že ide o priamku. Strany jeho základne tvoria rovnobežník a sú rovné 2 a 3 cm, ostrý uhol medzi nimi je 60º. Menšia uhlopriečka rovnobežnostena sa rovná väčšej uhlopriečke základne.

rozhodnutie. Na zistenie objemu rovnobežnostena použijeme vzorec so základnou plochou a výškou. Obe veličiny nie sú známe, ale dajú sa ľahko vypočítať. Prvým je výška.

Keďže menšia uhlopriečka rovnobežnostena má rovnakú veľkosť ako väčšia základňa, možno ich označiť rovnakým písmenom d. Najväčší uhol rovnobežníka je 120º, pretože s ostrým tvorí 180º. Nech je druhá uhlopriečka základne označená písmenom „x“. Teraz, pre dve uhlopriečky základne, môžeme napísať kosínusové vety:

d 2 \u003d a 2 + v 2 - 2av čos 120º,

x 2 \u003d a 2 + v 2 - 2av čos 60º.

Hľadanie hodnôt bez štvorcov nedáva zmysel, odvtedy sa opäť zvýšia na druhú mocninu. Po nahradení údajov sa ukáže:

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d a 2 + v 2 - 2ab čos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Teraz výška, ktorá je zároveň bočným okrajom rovnobežnostena, bude noha v trojuholníku. Prepona bude známa uhlopriečka tela a druhá noha bude "x". Môžete napísať Pytagorovu vetu:

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Preto: n = √12 = 2√3 (cm).

Teraz druhým neznámym množstvom je plocha základne. Dá sa vypočítať pomocou vzorca uvedeného v druhej úlohe.

S o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).

Spojením všetkého do objemového vzorca dostaneme:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Odpoveď: V \u003d 18 cm 3.

Štvrtá úloha

Podmienka. Je potrebné zistiť objem rovnobežnostena, ktorý spĺňa nasledujúce podmienky: základňa je štvorec so stranou 5 cm; bočné plochy sú kosoštvorce; jeden z vrcholov nad základňou je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov ležiacich na základni.

rozhodnutie. Najprv sa musíte vyrovnať so stavom. S prvým odsekom nie sú žiadne otázky o námestí. Druhá, o kosoštvorcoch, objasňuje, že rovnobežnosten je naklonený. Okrem toho sa všetky jeho okraje rovnajú 5 cm, pretože strany kosoštvorca sú rovnaké. A z tretieho je zrejmé, že tri uhlopriečky z neho nakreslené sú rovnaké. Sú to dve, ktoré ležia na bočných plochách, a posledná je vo vnútri rovnobežnostena. A tieto uhlopriečky sa rovnajú okrajom, to znamená, že majú tiež dĺžku 5 cm.

Na určenie objemu budete potrebovať vzorec napísaný pre naklonený rovnobežnosten. Opäť v ňom nie sú známe žiadne množstvá. Plochu základne je však ľahké vypočítať, pretože je to štvorec.

S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).

Trochu náročnejšie je to s výškou. Bude taký v troch obrazcoch: rovnobežnosten, štvorhranná pyramída a rovnoramenný trojuholník. Treba využiť poslednú okolnosť.

Keďže ide o výšku, ide o nohu v pravouhlom trojuholníku. Prepona v nej bude známa hrana a druhá vetva sa rovná polovici uhlopriečky štvorca (výška je tiež stred). A uhlopriečku základne je ľahké nájsť:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

odpoveď: 62,5 √2 (cm 3).

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Definícia

mnohosten budeme nazývať uzavretý povrch zložený z mnohouholníkov a ohraničujúci nejakú časť priestoru.

Segmenty, ktoré sú stranami týchto mnohouholníkov, sa nazývajú rebrá mnohosten a samotné mnohouholníky - tváre. Vrcholy mnohouholníkov sa nazývajú vrcholy mnohostenu.

Budeme uvažovať iba konvexné mnohosteny (toto je mnohosten, ktorý je na jednej strane každej roviny obsahujúcej jeho plochu).

Polygóny, ktoré tvoria mnohosten, tvoria jeho povrch. Časť priestoru ohraničená daným mnohostenom sa nazýva jeho vnútro.

Definícia: hranol

Uvažujme dva rovnaké polygóny \(A_1A_2A_3...A_n\) a \(B_1B_2B_3...B_n\) umiestnené v rovnobežných rovinách tak, aby segmenty \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) sú paralelné. Mnohosten tvorený mnohouholníkmi \(A_1A_2A_3...A_n\) a \(B_1B_2B_3...B_n\) , ako aj rovnobežníkmi \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), sa nazýva (\(n\)-uhlie) hranol.

Polygóny \(A_1A_2A_3...A_n\) a \(B_1B_2B_3...B_n\) sa nazývajú základne hranola, rovnobežník. \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– bočné plochy, segmenty \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- bočné rebrá.
Bočné okraje hranola sú teda rovnobežné a navzájom rovnaké.

Zoberme si príklad - hranol \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), ktorej základňou je konvexný päťuholník.

Výška Hranol je kolmica z akéhokoľvek bodu na jednej základni k rovine inej základne.

Ak bočné okraje nie sú kolmé na základňu, potom sa takýto hranol nazýva šikmé(obr. 1), inak - rovno. Pri priamom hranole majú bočné hrany výšku a bočné strany rovnaké obdĺžniky.

Ak pravidelný mnohouholník leží na základni pravého hranola, potom sa hranol nazýva správne.

Definícia: pojem objemu

Jednotkou objemu je jednotková kocka (kocka s rozmermi \(1\times1\times1\) jednotiek\(^3\) , kde jednotka je nejaká merná jednotka).

Môžeme povedať, že objem mnohostenu je veľkosť priestoru, ktorý tento mnohosten ohraničuje. Inak: je to hodnota, ktorej číselná hodnota udáva, koľkokrát sa jednotková kocka a jej časti zmestia do daného mnohostenu.

Objem má rovnaké vlastnosti ako plocha:

1. Objemy rovnakých čísel sú rovnaké.

2. Ak je mnohosten zložený z niekoľkých nepretínajúcich sa mnohostenov, potom sa jeho objem rovná súčtu objemov týchto mnohostenov.

3. Objem je nezáporná hodnota.

4. Objem sa meria v cm\(^3\) (kubické centimetre), m\(^3\) (kubické metre) atď.

Veta

1. Plocha bočnej plochy hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola.
Bočná plocha je súčtom plôch bočných plôch hranola.

2. Objem hranola sa rovná súčinu základnej plochy a výšky hranola: \

Definícia: krabica

Rovnobežníkovité Ide o hranol, ktorého základňou je rovnobežník.

Všetky strany rovnobežnostena (ich \(6\) : \(4\) bočné plochy a \(2\) základne) sú rovnobežníky a protiľahlé plochy (vzájomne rovnobežné) sú rovnaké rovnobežníky (obr. 2).

Uhlopriečka krabice je segment spájajúci dva vrcholy kvádra, ktoré neležia na rovnakej ploche (ich \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) atď.).

kváder je pravý rovnobežnosten s obdĺžnikom na základni.
Pretože je pravý rovnobežnosten, potom sú bočné strany obdĺžniky. Vo všeobecnosti sú teda všetky plochy pravouhlého rovnobežnostena obdĺžniky.

Všetky uhlopriečky kvádra sú rovnaké (vyplýva to z rovnosti trojuholníkov \(\trojuholník ACC_1=\trojuholník AA_1C=\trojuholník BDD_1=\trojuholník BB_1D\) atď.).

Komentujte

Rovnobežník má teda všetky vlastnosti hranola.

Veta

Plocha bočného povrchu pravouhlého rovnobežnostena sa rovná \

Celková plocha pravouhlého rovnobežnostena je \

Veta

Objem kvádra sa rovná súčinu jeho troch hrán vychádzajúcich z jedného vrcholu (tri rozmery kvádra): \

Dôkaz

Pretože pre pravouhlý rovnobežnosten sú bočné hrany kolmé na základňu, potom sú to aj jej výšky, teda \(h=AA_1=c\) základom je obdĺžnik \(S_(\text(hlavný))=AB\cdot AD=ab\). Odtiaľ pochádza vzorec.

Veta

Uhlopriečka \(d\) kvádra sa hľadá podľa vzorca (kde \(a,b,c\) sú rozmery kvádra)\

Dôkaz

Zvážte Obr. 3. Pretože základňa je obdĺžnik, potom \(\trojuholník ABD\) je obdĺžnikový, teda podľa Pytagorovej vety \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Pretože všetky bočné hrany sú teda kolmé na základne \(BB_1\perp (ABC) \šípka doprava BB_1\) kolmá na ľubovoľnú priamku v tejto rovine, t.j. \(BB_1\perp BD\) . Takže \(\trojuholník BB_1D\) je obdĺžnikový. Potom podľa Pytagorovej vety \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), tis.

Definícia: kocka

Kocka je pravouhlý rovnobežnosten, ktorého všetky strany sú rovnaké štvorce.

Teda tri dimenzie sú si navzájom rovné: \(a=b=c\) . Takže nasledujúce sú pravdivé

Vety

1. Objem kocky s hranou \(a\) je \(V_(\text(kocka))=a^3\) .

2. Uhlopriečka kocky sa hľadá podľa vzorca \(d=a\sqrt3\) .

3. Celkový povrch kocky \(S_(\text(celá kocka iterácií))=6a^2\).