Matematické výrazy (vzorce) skrátené násobenie(druhá mocnina súčtu a rozdielu, druhá mocnina súčtu a rozdielu, rozdiel druhých mocnín, súčet a rozdiel kociek) sú v mnohých oblastiach exaktných vied mimoriadne nenahraditeľné. Týchto 7 znakov je nenahraditeľných pri zjednodušovaní výrazov, riešení rovníc, násobení polynómov, redukcii zlomkov, riešení integrálov a mnoho ďalších. Bude teda veľmi užitočné zistiť, ako sa získavajú, na čo slúžia a čo je najdôležitejšie, ako si ich zapamätať a následne aplikovať. Potom aplikujte skrátené vzorce násobenia v praxi bude najťažšie zistiť, čo je X a čo majú. Je zrejmé, že neexistujú žiadne obmedzenia a a b nie, čo znamená, že to môže byť akýkoľvek číselný alebo doslovný výraz.
A tak tu sú:
najprv x 2 - o 2 = (x - y) (x + y).Kalkulovať rozdiel štvorcov dva výrazy, je potrebné vynásobiť rozdiely týchto výrazov ich súčtom.
Po druhé (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Nájsť súčet na druhú dva výrazy, musíte k druhej mocnine prvého výrazu pridať dvojnásobok súčinu prvého výrazu druhým plus druhú mocninu druhého výrazu.
Po tretie (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Kalkulovať rozdiel na druhú dva výrazy, musíte od druhej mocniny prvého výrazu odpočítať dvojnásobok súčinu prvého výrazu druhým plus druhou mocninou druhého výrazu.
Po štvrté (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 roky + 3x 2 + o 3. Kalkulovať súčet kocka dva výrazy, musíte do kocky prvého výrazu pridať trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého a druhého výrazu plus trojnásobok súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého výrazu plus súčin druhej mocniny druhý výraz.
Po piate (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 roky + 3x 2 - o 3. Kalkulovať rozdielová kocka dva výrazy, je potrebné odpočítať od kocky prvého výrazu trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu druhým plus trojnásobok súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého mínus kocka druhého výrazu. výraz.
šiesty x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Kalkulovať súčet kociek dva výrazy, musíte vynásobiť súčty prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou rozdielu týchto výrazov.
siedmy x 3 - o 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Ak chcete urobiť výpočet kockové rozdiely dva výrazy, je potrebné vynásobiť rozdiel prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou súčtu týchto výrazov.
Nie je ťažké si zapamätať, že všetky vzorce sa používajú na výpočty v opačnom smere (sprava doľava).
Existencia týchto zákonitostí bola známa asi pred 4 tisíc rokmi. Vo veľkej miere ich využívali obyvatelia starovekého Babylonu a Egypta. Ale v tých časoch boli vyjadrené verbálne alebo geometricky a vo výpočtoch nepoužívali písmená.
Poďme analyzovať súčet štvorcový dôkaz(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Toto matematická zákonitosť dokázal staroveký grécky vedec Euklides, ktorý pôsobil v Alexandrii v 3. storočí pred Kristom, použil na to geometrickú metódu dokazovania vzorca, keďže ani vedci starovekej Hellasy nepoužívali písmená na označenie čísel. Všade nepoužívali „a 2“, ale „štvorec na segmente a“, nie „ab“, ale „obdĺžnik uzavretý medzi segmentmi a a b“.
Skrátené vzorce násobenia (FSU) sa používajú na umocňovanie a násobenie čísel a výrazov. Tieto vzorce vám často umožňujú robiť výpočty kompaktnejšie a rýchlejšie.
V tomto článku uvedieme hlavné vzorce pre skrátené násobenie, zoskupíme ich do tabuľky, zvážime príklady použitia týchto vzorcov a tiež sa zameriame na princípy dokazovania vzorcov na skrátené násobenie.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Prvýkrát je téma FSU preberaná v rámci predmetu "Algebra" pre 7. ročník. Nižšie je uvedených 7 základných vzorcov.
Skrátené vzorce násobenia
- vzorec súčtu štvorca: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- vzorec rozdielového štvorca: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- vzorec súčtu kocky: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- vzorec rozdielovej kocky: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- rozdiel štvorcov vzorca: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- vzorec pre súčet kociek: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- vzorec rozdielu kocky: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Písmená a, b, c v týchto výrazoch môžu byť ľubovoľné čísla, premenné alebo výrazy. Pre jednoduchosť používania je lepšie naučiť sa sedem základných vzorcov naspamäť. Zhrnieme ich do tabuľky a uvedieme nižšie, pričom ich zakrúžkujeme rámčekom.
Prvé štyri vzorce vám umožňujú vypočítať druhú mocninu alebo druhú mocninu súčtu alebo rozdielu dvoch výrazov.
Piaty vzorec vypočítava rozdiel druhých mocnín výrazov vynásobením ich súčtu a rozdielu.
Šiesty a siedmy vzorec sú násobením súčtu a rozdielu výrazov neúplnou druhou mocninou rozdielu a neúplnou druhou mocninou súčtu.
Skrátený vzorec násobenia sa niekedy nazýva aj skrátené identity násobenia. To nie je prekvapujúce, pretože každá rovnosť je identita.
Pri riešení praktických príkladov sa často používajú skrátené vzorce na násobenie s preskupenými ľavými a pravými časťami. To je obzvlášť výhodné pri faktorizácii polynómu.
Ďalšie skrátené vzorce násobenia
Neobmedzíme sa len na kurz algebry pre 7. ročník a do našej tabuľky FSU pridáme niekoľko ďalších vzorcov.
Najprv zvážte Newtonov binomický vzorec.
a + b n = C n 0 a n + Cn 1 a n - 1 b + Cn 2 a n - 2 b2 +. . + Cnn - 1 a b n - 1 + Cn n b n
Tu Cn k sú binomické koeficienty, ktoré sú v riadku číslo n v Pascalovom trojuholníku. Binomické koeficienty sa vypočítajú podľa vzorca:
C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2). . (n - (k - 1)) k !
Ako vidíte, FSU pre druhú a druhú mocninu rozdielu a súčtu je špeciálny prípad Newtonovho binomického vzorca pre n=2 a n=3.
Ale čo ak sú v súčte viac ako dva termíny, ktoré majú byť povýšené na moc? Užitočný bude vzorec pre druhú mocninu súčtu troch, štyroch alebo viacerých členov.
a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Ďalší vzorec, ktorý sa môže hodiť, je vzorec na rozdiel n-tých mocnín dvoch členov.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Tento vzorec sa zvyčajne delí na dva vzorce - pre párne a nepárne stupne.
Pre párne exponenty 2 m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2
Pre nepárne exponenty 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m
Vzorce pre rozdiel štvorcov a rozdiel kociek, uhádli ste, sú špeciálnymi prípadmi tohto vzorca pre n = 2 a n = 3. Pre rozdiel kociek sa b tiež nahrádza - b .
Ako čítať skrátené vzorce násobenia?
Ku každému vzorcu uvedieme zodpovedajúce formulácie, najskôr sa však budeme zaoberať princípom čítania vzorcov. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je použiť príklad. Zoberme si úplne prvý vzorec pre druhú mocninu súčtu dvoch čísel.
a + b2 = a2 + 2 a b + b2.
Hovorí sa: druhá mocnina súčtu dvoch výrazov a a b sa rovná súčtu druhej mocniny prvého výrazu, dvojnásobku súčinu výrazov a druhej mocniny druhého výrazu.
Všetky ostatné vzorce sa čítajú podobne. Pre druhý mocninový rozdiel a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 píšeme:
druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov a a b sa rovná súčtu druhých mocnín týchto výrazov mínus dvojnásobok súčinu prvého a druhého výrazu.
Prečítajme si vzorec a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kocka súčtu dvoch výrazov a a b sa rovná súčtu kociek týchto výrazov, trojnásobku súčinu druhej mocniny prvého a druhého výrazu a trojnásobku súčinu druhej mocniny druhého výrazu. a prvý výraz.
Pokračujeme v čítaní vzorca pre rozdiel kociek a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kocka rozdielu dvoch výrazov a a b sa rovná tretej mocnine prvého výrazu mínus trojnásobok druhej mocniny prvého výrazu a druhého, plus trojnásobok druhej mocniny druhého výrazu a prvého výrazu mínus kocka druhého výrazu.
Piaty vzorec a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (rozdiel druhých mocnín) znie takto: rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu týchto dvoch výrazov.
Výrazy ako a 2 + a b + b 2 a a 2 - a b + b 2 sa pre zjednodušenie nazývajú neúplná druhá mocnina súčtu a neúplná druhá mocnina rozdielu.
S ohľadom na to sa vzorce pre súčet a rozdiel kociek čítajú takto:
Súčet kociek dvoch výrazov sa rovná súčinu súčtu týchto výrazov a neúplnej druhej mocniny ich rozdielu.
Rozdiel kociek dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu týchto výrazov neúplnou druhou mocninou ich súčtu.
Dôkaz FSU
Dokázanie FSU je celkom jednoduché. Na základe vlastností násobenia vykonáme násobenie častí vzorcov v zátvorkách.
Zvážte napríklad vzorec pre druhú mocninu rozdielu.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Ak chcete zvýšiť výraz na druhú mocninu, výraz sa musí vynásobiť sám sebou.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Rozšírime zátvorky:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Vzorec bol osvedčený. Ostatné FSO sú dokázané podobne.
Príklady aplikácie FSO
Účelom používania redukovaných vzorcov na násobenie je rýchle a výstižné násobenie a umocňovanie výrazov. Toto však nie je celý rozsah pôsobnosti FSO. Široko sa používajú pri redukcii výrazov, redukcii zlomkov, faktorizácii polynómov. Uveďme si príklady.
Príklad 1. FSO
Zjednodušme výraz 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Použite vzorec súčtu štvorcov a získajte:
9 rokov - (1 + 3 roky) 2 = 9 rokov - (1 + 6 rokov + 9 rokov 2) = 9 rokov - 1 - 6 rokov - 9 rokov 2 = 3 roky - 1 - 9 rokov 2
Príklad 2. FSO
Zmenšiť zlomok 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Všimli sme si, že výraz v čitateli je rozdiel kociek a v menovateli - rozdiel štvorcov.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Znížime a získame:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU tiež pomáhajú vypočítať hodnoty výrazov. Hlavná vec je vedieť si všimnúť, kde použiť vzorec. Ukážme si to na príklade.
Odmocnime číslo 79. Namiesto ťažkopádnych výpočtov píšeme:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Zdalo by sa, že zložitý výpočet bol vykonaný rýchlo len s použitím skrátených vzorcov násobenia a tabuľky násobenia.
Ďalší dôležitý bod- výber druhej mocniny dvojčlenu. Výraz 4 x 2 + 4 x - 3 možno previesť na 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takéto transformácie sú široko používané v integrácii.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Pri výpočte algebraických polynómov na zjednodušenie výpočtov používame skrátené vzorce násobenia . Celkovo existuje sedem takýchto vzorcov. Všetky ich treba poznať naspamäť.
Malo by sa tiež pamätať na to, že namiesto a a b vo vzorcoch môžu byť čísla aj akékoľvek iné algebraické polynómy.
Rozdiel štvorcov
Rozdiel druhých mocnín dvoch čísel sa rovná súčinu rozdielu týchto čísel a ich súčtu.
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
súčet štvorec
Druhá mocnina súčtu dvoch čísel sa rovná druhej mocnine prvého čísla plus dvojnásobku súčinu prvého čísla a druhého plus druhej mocniny druhého čísla.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Všimnite si, že s týmto zníženým vzorcom násobenia je to ľahké nájsť druhé mocniny veľkých čísel bez použitia kalkulačky alebo dlhého násobenia. Vysvetlime si to na príklade:
Nájdite 112 2 .
Rozložme 112 na súčet čísel, ktorých druhé mocniny si dobre pamätáme.2
112 = 100 + 1
Súčet čísel napíšeme do zátvoriek a cez zátvorky dáme štvorec.
112 2 = (100 + 12) 2
Použime vzorec súčtu štvorca:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Pamätajte, že vzorec štvorcového súčtu platí aj pre všetky algebraické polynómy.
(8a + c)2 = 64a2 + 16ac + c2
POZOR!!!
(a + b) 2 nerovná sa a 2 + b 2
Druhá mocnina rozdielu
Druhá mocnina rozdielu medzi dvoma číslami sa rovná druhej mocnine prvého čísla mínus dvojnásobok súčinu prvého a druhého plus druhej mocniny druhého čísla.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Za zmienku stojí aj veľmi užitočná transformácia:
(a - b) 2 = (b - a) 2
Vyššie uvedený vzorec je dokázaný jednoduchým rozšírením zátvoriek:
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2
súčet kocka
Kocka súčtu dvoch čísel sa rovná tretej mocnine prvého čísla plus trojnásobok druhej mocniny prvého čísla krát druhé plus trojnásobok súčinu prvého krát druhá mocnina druhého plus kocka druhého.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Zapamätať si tento „hrozne“ vyzerajúci vzorec je celkom jednoduché.
Zistite, že 3 je na prvom mieste.
Dva polynómy v strede majú koeficienty 3.
ATpamätajte, že každé číslo s nulovou mocninou je 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Je ľahké vidieť, že vo vzorci je zníženie stupňa a a zvýšenie stupňa b. Môžete si to overiť:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
POZOR!!!
(a + b) 3 nerovná sa a 3 + b 3
rozdielová kocka
Kocka rozdielu medzi dvoma číslami sa rovná tretej mocnine prvého čísla mínus trojnásobok druhej mocniny prvého čísla a druhého plus trojnásobok súčinu prvého čísla a druhej mocniny druhého mínus kocka druhého .
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Tento vzorec sa zapamätá ako predchádzajúci, ale iba s prihliadnutím na striedanie znakov „+“ a „-“. Pred prvým členom 3 sa uvádza „+“ (podľa pravidiel matematiky ho nepíšeme). To znamená, že pred ďalším členom bude „-“, potom opäť „+“ atď.
(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Súčet kociek ( Nezamieňať s kockou súčtu!)
Súčet kociek sa rovná súčinu súčtu dvoch čísel a neúplnej druhej mocniny rozdielu.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
Súčet kociek je súčinom dvoch zátvoriek.
Prvá zátvorka je súčet dvoch čísel.
Druhá zátvorka je neúplná druhá mocnina rozdielu čísel. Neúplný štvorec rozdielu sa nazýva výraz:
A 2 - ab + b 2
Tento štvorec je neúplný, pretože v strede je namiesto dvojitého súčinu obyčajný súčin čísel.
Cube Difference (Nezamieňajte s Difference Cube!!!)
Rozdiel kociek sa rovná súčinu rozdielu dvoch čísel neúplnou druhou mocninou súčtu.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Buďte opatrní pri písaní znakov.Malo by sa pamätať na to, že všetky vyššie uvedené vzorce sa tiež používajú sprava doľava.
Jednoduchý spôsob, ako si zapamätať skrátené vzorce na násobenie, alebo... Pascalov trojuholník.
Je ťažké zapamätať si vzorce skráteného násobenia? V prípade je ľahké pomôcť. Musíte si len pamätať, ako je znázornená taká jednoduchá vec, ako je Pascalov trojuholník. Potom si tieto vzorce budete pamätať vždy a všade, alebo skôr nepamätať, ale obnoviť.
Čo je Pascalov trojuholník? Tento trojuholník pozostáva z koeficientov, ktoré vstupujú do rozšírenia ľubovoľnej mocniny dvojčlenu tvaru na polynóm.
Poďme si to rozobrať napr.
V tomto zázname je ľahké si zapamätať, že na začiatku je kocka prvého a na konci kocka druhého čísla. Ale to, čo je v strede, je ťažké si zapamätať. A dokonca aj to, že v každom ďalšom termíne sa stupeň jedného faktora neustále znižuje a druhý zvyšuje - je ľahké si všimnúť a zapamätať si, ťažšie je zapamätať si koeficienty a znamienka (plus alebo mínus?).
Takže najprv šance. Nemusíte sa ich učiť naspamäť! Na okraje zošita rýchlo nakreslíme Pascalov trojuholník a tu sú - koeficienty, už pred nami. Začneme kresliť s tromi, jeden navrchu, dva dole, doprava a doľava - áno, už je získaný trojuholník:
Prvý riadok s jednou jednotkou je nula. Potom príde prvý, druhý, tretí a tak ďalej. Ak chcete získať druhý riadok, musíte ich znova priradiť pozdĺž okrajov a do stredu zapísať číslo získané pridaním dvoch čísel nad ním:
Napíšeme tretí riadok: opäť pozdĺž okrajov jednotky a znova, aby ste dostali ďalšie číslo v novom riadku, pridajte čísla nad ním do predchádzajúceho:
Ako ste možno uhádli, v každom riadku dostaneme koeficienty z rozkladu dvojčlenu na mnohočlen:
No, ešte jednoduchšie je zapamätať si znamienka: prvé je rovnaké ako v rozšírenom binome (rozložíme súčet, čo znamená plus, rozdiel, čo znamená mínus), a potom sa znamienka striedajú!
Toto je taká užitočná vec - Pascalov trojuholník. Užite si to!
Používajú sa na zjednodušenie výpočtov, ako aj rozklad polynómov na faktory, rýchle násobenie polynómov. Väčšinu skrátených vzorcov na násobenie je možné získať z Newtonovho binomu – čoskoro to uvidíte.
Vzorce pre štvorcečasto používané pri výpočtoch. V školských osnovách sa začínajú učiť od 7. ročníka až do konca školenia, vzorce pre štvorce a kocky by mali žiaci vedieť naspamäť.
Kockové vzorce nie sú príliš zložité a je potrebné ich poznať pri redukcii polynómov na štandardný tvar, aby sa zjednodušil rast súčtu alebo rozdielu premennej a čísla na kocku.
Vzorce označené červenou farbou sú získané z predchádzajúceho zoskupenia podobných výrazov.
Vzorce pre štvrtú a piatu mocninu v školskom kurze sa málokto bude hodiť, sú však úlohy pri štúdiu vyššej matematiky, kde treba vypočítať koeficienty na stupňoch.
Vzorce stupňov n sú vymaľované z hľadiska binomických koeficientov pomocou faktoriálov nasledovne 
Príklady aplikácie skrátených vzorcov na násobenie
Príklad 1. Vypočítajte 51^2.
rozhodnutie. Ak máte kalkulačku, ľahko ju nájdete
Robil som si srandu - každý je múdry s kalkulačkou, bez nej ... (nehovorme o smutných veciach).
Bez kalkulačky a poznania vyššie uvedených pravidiel nájdeme druhú mocninu čísla podľa pravidla
Príklad 2 Nájdite 99^2.
rozhodnutie. Použite druhý vzorec
Príklad 3: Umocnenie výrazu
(x+y-3).
rozhodnutie. Súčet prvých dvoch členov mentálne považujeme za jeden člen a podľa druhého vzorca na skrátené násobenie máme
Príklad 4. Nájdite rozdiel štvorcov
11^2-9^2.
rozhodnutie. Keďže čísla sú malé, môžete jednoducho nahradiť hodnoty štvorcov
Náš cieľ je ale úplne iný – naučiť sa používať skrátené vzorce na násobenie na zjednodušenie výpočtov. V tomto príklade použite tretí vzorec
Príklad 5. Nájdite rozdiel štvorcov
17^2-3^2
.
rozhodnutie. V tomto príklade sa už budete chcieť naučiť pravidlá na zníženie výpočtov na jeden riadok
Ako môžete vidieť, neurobili sme nič úžasné.
Príklad 6: Zjednodušte výraz
(x-y)^2-(x+y)^2.
rozhodnutie. Môžete rozložiť štvorce a neskôr zoskupiť výrazy. Je však možné priamo aplikovať rozdiel štvorcov 
Jednoduché a bez dlhých riešení.
Príklad 7. Kocka polynóm
x^3-4.
Rozhodnutie . Aplikujme 5 skrátený vzorec násobenia 
Príklad 8. Napíšte ako rozdiel druhých mocnín alebo ich súčtu
a) x^2-8x+7
b) x^2+4x+29
rozhodnutie. a) Zmeňte podmienky
b) Zjednodušte na základe predchádzajúcej úvahy 
Príklad 9. Rozviňte racionálny zlomok
rozhodnutie. Použite vzorec rozdielu štvorcov 
Zostavíme sústavu rovníc na určenie konštánt
K trojitej prvej rovnici pridáme druhú rovnicu. Nájdenú hodnotu dosadíme do prvej rovnice 
Nakoniec má expanzia formu 
Často je potrebné pred integráciou rozšíriť racionálny zlomok, aby sa znížila mocnina menovateľa.
Príklad 10. Pomocou Newtonovho binomu vyfarbite
výraz (x-a)^7.
rozhodnutie. Pravdepodobne už viete, čo je Newtonov binom. Ak nie, nižšie sú binomické koeficienty
Tvoria sa takto: pozdĺž okraja sú jednotky, koeficienty medzi nimi v spodnom riadku sa tvoria sčítaním susedných horných. Ak do určitej miery hľadáme rozdiel, tak sa v rozvrhu striedajú znamienka od plus po mínus. Pre siedmy rád teda dostaneme nasledujúce zarovnanie
Pozorne sa pozrite aj na to, ako sa ukazovatele menia - pre prvú premennú sa v každom ďalšom období znížia o jednu, resp. pre druhú - o jednu sa zvýšia. Celkovo by sa ukazovatele mali vždy rovnať stupňu rozkladu (= 7).
Myslím si, že na základe vyššie uvedeného materiálu budete schopní riešiť problémy na Newtonovom binome. Naučte sa skrátené vzorce pre násobenie a aplikujte ich všade tam, kde to môže zjednodušiť výpočty a ušetriť čas na úlohe.
V predchádzajúcej lekcii sme sa zaoberali faktorizáciou. Zvládli sme dve metódy: vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek a zoskupenie. V tomto návode je uvedená nasledujúca výkonná metóda: skrátené vzorce násobenia. V krátkosti - FSU.
Skrátené vzorce na násobenie (druhá mocnina súčtu a rozdielu, kocka súčtu a rozdielu, rozdiel druhých mocnín, súčet a rozdiel kociek) sú nevyhnutné vo všetkých odvetviach matematiky. Používajú sa pri zjednodušovaní výrazov, riešení rovníc, násobení polynómov, redukcii zlomkov, riešení integrálov atď. atď. Stručne povedané, existujú všetky dôvody, prečo sa nimi zaoberať. Pochopte, odkiaľ pochádzajú, prečo sú potrebné, ako si ich zapamätať a ako ich aplikovať.
Rozumieme sa?)
Odkiaľ pochádzajú vzorce pre skrátené násobenie?
Rovnosti 6 a 7 nie sú napísané veľmi obvyklým spôsobom. Akože naopak. To je zámer.) Akákoľvek rovnosť funguje zľava doprava aj sprava doľava. V takomto zázname je jasnejšie, odkiaľ FSO pochádza.
Sú prevzaté z násobenia.) Napríklad:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
To je všetko, žiadne vedecké triky. Zátvorky len vynásobíme a dáme podobné. Takto to dopadá všetky skrátené vzorce násobenia. skrátený násobenie je preto, že v samotných vzorcoch nedochádza k násobeniu zátvoriek a redukcii podobných. Znížené.) Výsledok je okamžite daný.
FSU potrebuje vedieť naspamäť. Bez prvých troch nemôžete snívať o trojke, bez zvyšku - o štvorke s päťkou.)
Prečo potrebujeme skrátené vzorce násobenia?
Existujú dva dôvody, prečo sa tieto vzorce naučiť, dokonca si ich zapamätať. Prvá - pripravená odpoveď na stroji dramaticky znižuje počet chýb. Ale to nie je hlavný dôvod. A tu je druhý...
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
