Nedávno som sa dozvedel o takých zaujímavých objektoch matematického sveta, ako sú fraktály. Ale existujú nielen v matematike. Obklopujú nás všade. Fraktály sú prirodzené. O tom, čo sú fraktály, o typoch fraktálov, o príkladoch týchto objektov a ich aplikáciách, budem hovoriť v tomto článku. Na začiatok vám stručne poviem, čo je fraktál.
Fraktál (lat. fractus - rozdrvený, zlomený, zlomený) je zložitý geometrický útvar, ktorý má vlastnosť sebapodobnosti, to znamená, že sa skladá z niekoľkých častí, z ktorých každá je podobná celej postave. V širšom zmysle sa fraktály chápu ako množiny bodov v euklidovskom priestore, ktoré majú zlomkovú metrickú dimenziu (v zmysle Minkowského alebo Hausdorffa), alebo metrickú dimenziu odlišnú od topologickej. Ako príklad vložím obrázok zobrazujúci štyri rôzne fraktály.
Poviem vám niečo o histórii fraktálov. Koncepty fraktálnej a fraktálnej geometrie, ktoré sa objavili koncom 70. rokov, sa medzi matematikmi a programátormi pevne etablovali od polovice 80. rokov. Slovo „fraktál“ vymyslel Benoit Mandelbrot v roku 1975 na označenie nepravidelných, ale sebepodobných štruktúr, ktorými sa zaoberal. Zrodenie fraktálnej geometrie sa zvyčajne spája s vydaním Mandelbrotovej knihy The Fractal Geometry of Nature v roku 1977. Vo svojich prácach využíval vedecké výsledky iných vedcov, ktorí pôsobili v období 1875-1925 v rovnakej oblasti (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Ale len v našej dobe bolo možné spojiť ich prácu do jedného systému.
Existuje veľa príkladov fraktálov, pretože, ako som povedal, obklopujú nás všade. Podľa mňa aj celý náš Vesmír je jeden obrovský fraktál. Koniec koncov, všetko v ňom, od štruktúry atómu až po štruktúru samotného vesmíru, sa presne opakuje. Existujú však, samozrejme, aj konkrétnejšie príklady fraktálov z rôznych oblastí. Fraktály sú napríklad prítomné v komplexnej dynamike. sú tam sa pri štúdiu nelineárne objavujú prirodzene dynamických systémov. Najviac študovaný je prípad, keď je dynamický systém špecifikovaný iteráciami polynómu alebo holomorfu funkcia komplexu premenných na povrchu. Niektoré z najznámejších fraktálov tohto typu sú Julia sada, Mandelbrotova sada a Newtonove bazény. Nižšie, v poradí, obrázky zobrazujú každý z vyššie uvedených fraktálov.
Ďalším príkladom fraktálov sú fraktálne krivky. Najlepšie je vysvetliť, ako zostrojiť fraktál na príklade fraktálových kriviek. Jednou z týchto kriviek je takzvaná Kochova snehová vločka. Existuje jednoduchépostup získavania fraktálnych kriviek na rovine. Definujme ľubovoľnú prerušovanú čiaru s konečným počtom väzieb, nazývanú generátor. Ďalej v ňom nahradíme každý segment generátorom (presnejšie prerušovanou čiarou podobnou generátoru). Vo výslednej prerušovanej čiare opäť nahradíme každý segment generátorom. Pokračujúc do nekonečna, v limite dostaneme fraktálnu krivku. Nižšie je Kochova snehová vločka (alebo krivka).
Existuje tiež obrovská škála fraktálnych kriviek. Najznámejšie z nich sú už spomínaná Kochova snehová vločka, ďalej Levyho krivka, Minkowského krivka, Dračia lomená čiara, Klavírna krivka a Pythagorejský strom. Myslím, že ak chcete, môžete ľahko nájsť obrázok týchto fraktálov a ich históriu na Wikipédii.
Tretím príkladom alebo typom fraktálov sú stochastické fraktály. Takéto fraktály zahŕňajú trajektóriu Brownovho pohybu v rovine a vo vesmíre, Schramm-Löwnerove evolúcie, rôzne typy randomizovaných fraktálov, teda fraktály získané pomocou rekurzívnej procedúry, do ktorej sa v každom kroku zavádza náhodný parameter.
Existujú aj čisto matematické fraktály. Ide napríklad o sadu Cantor, hubku Menger, Sierpinski Triangle a iné.
Ale možno najzaujímavejšie fraktály sú prírodné. Prírodné fraktály sú objekty v prírode, ktoré majú fraktálne vlastnosti. A tu je zoznam už veľký. Nebudem uvádzať všetko, pretože je pravdepodobne nemožné vymenovať ich všetky, ale o niektorých vám poviem. Napríklad v živej prírode medzi takéto fraktály patrí náš obehový systém a pľúca. A tiež koruny a listy stromov. Patria sem aj hviezdice, ježovky, koraly, mušle a niektoré rastliny ako kapusta alebo brokolica. Niekoľko takýchto prírodných fraktálov zo živej prírody je prehľadne znázornených nižšie.
Ak vezmeme do úvahy neživú prírodu, potom je tam oveľa zaujímavejších príkladov ako v živej prírode. Blesky, snehové vločky, oblaky, každému dobre známe, vzory na oknách v mrazivých dňoch, kryštály, pohoria - to všetko sú príklady prírodných fraktálov z neživej prírody.
Pozreli sme sa na príklady a typy fraktálov. Pokiaľ ide o použitie fraktálov, používajú sa v rôznych oblastiach poznania. Vo fyzike fraktály prirodzene vznikajú pri modelovaní nelineárnych procesov, ako je turbulentné prúdenie tekutín, zložité difúzno-adsorpčné procesy, plamene, oblaky atď. Fraktály sa používajú pri modelovaní poréznych materiálov, napríklad v petrochémii. V biológii sa používajú na modelovanie populácií a na opis systémov vnútorných orgánov (systém krvných ciev). Po vytvorení Kochovej krivky sa navrhlo použiť ju pri výpočte dĺžky pobrežia. Fraktály sa aktívne využívajú aj v rádiovom inžinierstve, informačnej vede a výpočtovej technike, telekomunikáciách a dokonca aj v ekonomike. A samozrejme, fraktálne videnie sa aktívne používa v modernom umení a architektúre. Tu je jeden príklad fraktálnych vzorov:
A tak si myslím, že týmto dokončím svoj príbeh o tak nezvyčajnom matematickom jave, akým je fraktál. Dnes sme sa dozvedeli o tom, čo je fraktál, ako sa objavil, o typoch a príkladoch fraktálov. Hovoril som aj o ich aplikácii a názorne som demonštroval niektoré fraktály. Dúfam, že sa vám táto malá exkurzia do sveta úžasných a fascinujúcich fraktálnych objektov páčila.
Dokončila žiačka 7. ročníka Polina Karpyuk
Prioda je vytvorená zo sebepodobných postáv, len si to nevšimneme. V tejto galérii sme zhromaždili obrázky, na ktorých je jasne viditeľná fraktálnosť.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Fraktály v prírode Vyplnila: žiačka 7. triedy „B“ Polina Karpyuk Školiteľ: Molchanova Irina Pavlovna Rubtsovsk-2015
Matematika pri správnom pohľade odráža nielen pravdu, ale aj neporovnateľnú krásu. Bertrand Russell
Čo majú spoločné strom, morské pobrežie, oblak alebo krvné cievy v našej ruke? Existuje jedna vlastnosť štruktúry, ktorá je vlastná všetkým uvedeným objektom: sú sebepodobné. Z konára, ako z kmeňa stromu, vybiehajú menšie výhonky, z nich ešte menšie atď., čiže konár je podobný celému stromu. Obehový systém je štruktúrovaný podobným spôsobom: arterioly odchádzajú z tepien az nich najmenšie kapiláry, ktorými kyslík vstupuje do orgánov a tkanív. Americký matematik Benoit Mandelbrot nazval túto vlastnosť objektov fraktálnosťou a takéto objekty samotné - fraktály. Samotné slovo „fraktál“ je preložené z latinčiny ako „čiastočný“, „rozdelený“, „fragmentovaný“ a pokiaľ ide o obsah tohto pojmu, neexistuje žiadna formulácia ako taká. Obvykle sa interpretuje ako sebepodobný súbor, časť celku, ktorý opakuje svoju štruktúru na mikroúrovni. .
Vesmírne fotografie krajiny Zeme často poskytujú vynikajúce príklady fraktálov.
Pobrežia majú zvyčajne fraktálny tvar, ale líšia sa stupňom členitosti. Tento príklad ukazuje dve charakteristické vlastnosti prirodzených fraktálov: Jednotlivé kanály nie sú vzájomnou kópiou, ale majú podobné krivočiare obrysy, ako keby boli nakreslené rovnakým vzorom. Veľké potrubia majú podobný obrys ako malé a veľmi malé potrubia. Ak zväčšíme napríklad ľavý dolný roh obrázku, dostaneme niečo podobné ako celý obrázok
Vzájomné pôsobenie vody a pôdy vedie k vzniku fraktálnych štruktúr v krajine – či už sú to hory, rieky alebo pobrežia.
Pravdepodobne každý pozná obraz japonského umelca Hokusaia „Veľká vlna“, kde je na pozadí Fudži vyobrazená vlna tsunami. Ak sa pozriete pozorne na tento obrázok, všimnete si, že pri kreslení hrebeňa vlny umelec použil fraktál, akoby pozostával z mnohých dravých vodných labiek. Preto sa tento obrázok často používa ako ilustrácia pre knihy o teórii chaosu a fraktáloch.
Keď je piesočná duna erodovaná vodou, replikuje sa v malom meradle, čo dáva fraktálny tvar väčším krajinám Zeme.
Bleskový výboj je jedným z príkladov prírodných fraktálov.
Tento obrázok ilustruje nielen fraktálový charakter korún stromov, ale naznačuje aj ďalšiu zaujímavú úvahu: les ako biologické spoločenstvo je tiež fraktálom. Jednotlivé stromy – veľké aj malé – potom fungujú ako vetvy fraktálu. Sú podobné, ale neopakujú sa.
Listové žilky sú plochý prírodný fraktál. Pre každú rastlinu je charakteristický vzor jedinečný, rovnako ako je jedinečný papilárny vzor na ruke človeka. Goethe (básnik a vedec) veril, že list je najvýraznejšou časťou rastliny, ktorá odráža celú jej morfológiu.
Paprade sú príkladom prírodných fraktálov, ktoré sú veľmi podobné počítačovým fraktálom. Okrem toho sú zaujímavé aj tým, že paprade sú spolu s rôznymi machmi a inými nižšími rastlinami jednou z evolučne najstarších rastlín.
Toto je ďalší slávny a veľmi pôsobivý príklad prírodného fraktálu, ktorý má matematicky jasné formy. Existujú najmenej tri úrovne sebepodobných dômyselných pyramíd Romanesco kapusty
Magicky krásny fraktál, ktorý by mohol inšpirovať nejakého umelca. Medzitým sa pozrite bližšie: toto je len úzky zväzok kapustných listov.
Toto sú zaujímavé príklady fraktálnej štruktúry v minerálnom svete. Carbonate Apatite Gold Nugget je nádherný poklad vytvorený samotnou prírodou.
Napadlo vám niekedy, že myslíme doslova vo fraktáloch? Tu je o čom premýšľať – kto by tvrdil, že mozog je jedným z najúžasnejších a najunikátnejších výtvorov prírody. A ukazuje sa, že navonok má rovnaké fraktálne črty ako atmosférické oblaky alebo koreňový systém žihľavy.
Tu je všetko ešte komplikovanejšie: dva oddelené fraktálne stromy sú prepletené - do jedného sa privádza venózna krv a do druhého sa odvádza arteriálna krv obohatená kyslíkom. A celkovo sú pľúca úžasne zložitým systémom troch fraktálov – jedného dýchacieho a dvoch obehových.
Sietnica obsahuje bunky citlivé na svetlo, ktoré nám umožňujú vidieť. Na tejto fotke sú žltozelené. Tvoria sieť (sietnicu), ale táto sieť je chaotická a fraktálna.
Toto je brucho prasaťa. Zdá sa, že aj jeho farebné vzory dodržiavajú fraktálne pravidlá. Je to zaujímavá téma a čo je najdôležitejšie, má mnoho aplikácií, vrátane vojenského významu. Podľa akých pravidiel by mal byť maskovací vzor vytvorený tak, aby jeho nositeľ splynul s prírodnými formami - krajinou a vegetáciou?
Ďakujem za tvoju pozornosť!!!
Matematické tvary známe ako fraktály pochádzajú od génia významného vedca Benoita Mandelbrota. Väčšinu života strávil v Spojených štátoch amerických, kde vyučoval matematiku na univerzite v Yale. V rokoch 1977 a 1982 publikoval Mandelbrot vedecké práce venované štúdiu „fraktálnej geometrie“ alebo „geometrie prírody“, v ktorých rozložil zdanlivo náhodné matematické formy na jednotlivé prvky, ktoré sa pri bližšom skúmaní ukázali ako opakujúce sa – ktoré dokazuje existenciu akéhosi vzoru na kopírovanie . Mandelbrotov objav mal významné pozitívne dôsledky vo vývoji fyziky, astronómie a biológie.
Ako funguje fraktál?
Fraktál (z latinského „fractus“ - zlomený, rozdrvený, zlomený) je zložitý geometrický útvar, ktorý sa skladá z niekoľkých nekonečných sekvencií častí, z ktorých každá je podobná celému obrázku a opakuje sa, keď sa mierka zmenšuje.
Štruktúra fraktálu na všetkých mierkach je netriviálna. Tu si musíme ujasniť, čo sa tým myslí. Pravidelné útvary, ako je kruh, elipsa alebo graf hladkej funkcie, sú teda usporiadané tak, že pri zvažovaní malého fragmentu pravidelného útvaru v dostatočne veľkej mierke bude podobný fragmentu priamku. Pri fraktáloch nevedie zväčšenie mierky k zjednodušeniu štruktúry obrázku a na všetkých mierkach vidíme jednotne zložitý obraz.
V prírode má veľa objektov fraktálne vlastnosti, napríklad: koruny stromov, karfiol, oblaky, obehový a alveolárny systém ľudí a zvierat, kryštály, snehové vločky, ktorých prvky sú usporiadané do jednej komplexnej štruktúry, pobrežia (fraktálny koncept umožňoval vedci na meranie pobrežia Britských ostrovov a iných predtým nemerateľných objektov).
Pozrime sa na štruktúru karfiolu. Ak odrežete jeden z kvetov, je zrejmé, že vo vašich rukách zostáva rovnaký karfiol, len menší. Môžeme krájať znova a znova, dokonca aj pod mikroskopom - ale všetko, čo dostaneme, sú malé kópie karfiolu. V tomto najjednoduchšom prípade aj malá časť fraktálu obsahuje informácie o celej výslednej štruktúre.
Pozoruhodným príkladom fraktálu v prírode je „Romanescu“, tiež známy ako „Romanescu brokolica“ alebo „koralový karfiol“. Prvé zmienky o tejto exotickej zelenine pochádzajú z Talianska zo 16. storočia. Púčiky tejto kapusty rastú v logaritmickej špirále. 3D umelci, dizajnéri a šéfkuchári ju neprestávajú obdivovať. Tí druhí si navyše zeleninu cenia najmä pre tú najjemnejšiu chuť (sladkú a orieškovú, nie sírnatú), akú kapusta môže mať, a pre to, že je menej drobivá ako obyčajný karfiol. Okrem toho je rímska brokolica bohatá na vitamín C, antioxidanty a karotenoidy.
Fraktály v digitálnej technológii
Fraktálna geometria neoceniteľne prispela k rozvoju nových technológií v oblasti digitálnej hudby a tiež umožnila komprimovať digitálne obrázky. Existujúce algoritmy kompresie fraktálnych obrázkov sú založené na princípe ukladania komprimovaného obrázka namiesto samotného digitálneho obrázka. Pri komprimovanom obrázku zostáva hlavný obrázok pevným bodom. Microsoft použil jeden z variantov tohto algoritmu pri vydávaní svojej encyklopédie, no z toho či onoho dôvodu sa tento nápad veľmi nepoužíval.
Princíp fraktálnej kompresie informácií pre kompaktné ukladanie informácií o sieťových uzloch „Netsukuku“ využíva systém na prideľovanie IP adries. Každý uzol uchováva 4 kilobajty informácií o stave susedných uzlov. Každý nový uzol sa pripája k všeobecnému internetu bez potreby centrálnej regulácie distribúcie IP adries. Môžeme konštatovať, že princíp fraktálnej kompresie informácií zabezpečuje decentralizovaný chod celej siete, a preto práca v nej prebieha čo najstabilnejšie.
Fraktály sú široko používané v počítačovej grafike - pri vytváraní obrázkov stromov, kríkov, morských plôch, horskej krajiny a iných prírodných objektov. Vďaka fraktálnej grafike bol vynájdený efektívny spôsob implementácie zložitých neeuklidovských objektov, ktorých obrazy sú podobné prírodným: ide o algoritmy na syntézu fraktálnych koeficientov, ktoré umožňujú reprodukovať kópiu akéhokoľvek obrázka čo najbližšie k originálny. Zaujímavosťou je, že okrem fraktálových „maľieb“ existuje aj fraktálna hudba a fraktálne animácie. Vo výtvarnom umení existuje smer, ktorý sa zaoberá získavaním obrazu náhodného fraktálu – „fraktálny monotyp“ alebo „stochatypy“.
Matematickým základom fraktálnej grafiky je fraktálna geometria, kde princíp dedenia z pôvodných „rodičovských objektov“ je základom pre metódy konštrukcie „dedičských obrazov“. Samotné koncepty fraktálnej geometrie a fraktálnej grafiky sa objavili len asi pred 30 rokmi, ale už sa pevne udomácnili v každodennom živote počítačových dizajnérov a matematikov.
Základné pojmy fraktálnej počítačovej grafiky sú:
- Fraktálny trojuholník - fraktálny obrazec - fraktálny objekt (hierarchia v zostupnom poradí)
- Fraktálna čiara
- Fraktálne zloženie
- „Rodičovský objekt“ a „Nástupný objekt“
Ako vytvoriť fraktál?
Tvorca fraktálov hrá rolu umelca, fotografa, sochára a vedca-vynálezcu zároveň. Aké sú nadchádzajúce fázy vytvárania výkresu od začiatku?
- nastaviť tvar výkresu pomocou matematického vzorca
- skúmať konvergenciu procesu a meniť jeho parametre
- vyberte typ obrázka
- vyberte si farebnú paletu
Spomedzi fraktálnych grafických editorov a iných grafických programov môžeme vyzdvihnúť:
"Umelecký dabér"
„Maliar“ (bez počítača žiadny umelec nikdy nedosiahne schopnosti stanovené programátormi iba pomocou ceruzky a štetca)
„Adobe Photoshop“ (ale tu sa obrázok nevytvára „od začiatku“, ale spravidla iba spracovaný)
Príroda je dokonalý výtvor, sú presvedčení vedci, ktorí objavujú proporcie zlatého rezu v štruktúre ľudského tela a fraktálne postavy v hlave karfiolu.
„Štúdium a pozorovanie prírody zrodilo vedu,“ napísal Cicero v prvom storočí pred Kristom. V neskorších dobách, s rozvojom vedy a jej vzdialením od skúmania prírody, vedci s prekvapením objavujú to, čo bolo našim predkom známe, ale nebolo to potvrdené vedeckými metódami.
Je zaujímavé nájsť podobné útvary v mikro- a makrokozme, inšpirujúce môže byť aj to, že veda dokáže opísať geometriu týchto útvarov. Obehový systém, rieka, blesky, konáre stromov... to všetko sú podobné systémy pozostávajúce z rôznych častíc a rôznej mierky.
Podiely „zlatého rezu“
Dokonca aj starí Gréci a možno aj Egypťania poznali podiel „zlatého rezu“. Luca Pacioli, renesančný matematik, nazval tento pomer „božským pomerom“. Neskôr vedci zistili, že zlatý rez, ktorý tak lahodí ľudskému oku a ktorý sa často vyskytuje v klasickej architektúre, umení a dokonca aj v poézii, nájdeme všade v prírode.
Zlatý rez je rozdelenie segmentu na dve nerovnaké časti, pričom krátka časť súvisí s dlhou, ako je dlhá časť s celým segmentom. Pomer dlhej časti k celému segmentu je nekonečné číslo, iracionálny zlomok 0,618..., pomer krátkej časti je 0,382...
Ak postavíte obdĺžnik so stranami, ktorých pomer sa rovná podielu „zlatého rezu“ a vpíšete doň ďalší „zlatý obdĺžnik“, ďalší do neho a tak ďalej donekonečna dovnútra a von, potom môže vzniknúť špirála byť nakreslené pozdĺž rohových bodov obdĺžnikov. Je zaujímavé, že takáto špirála sa bude zhodovať s rezom lastúry nautilusa, ako aj iných špirál, ktoré sa nachádzajú v prírode.
Ilustrácia: Homk/wikipedia.org
Fosília Nautilus.
Foto: Studio-Annika/Photos.com
Škrupina Nautilus.
Foto: Chris 73/en.wikipedia.org
Podiel zlatého rezu vníma ľudské oko ako krásny a harmonický. A podiel 0,618... sa rovná pomeru predchádzajúceho a nasledujúceho čísla vo Fibonacciho rade. Fibonacciho čísla sa vyskytujú všade v prírode: je to špirála, pozdĺž ktorej sa vetvy rastliny pripájajú k stonke, špirála, pozdĺž ktorej rastú šupiny na šiške alebo zrná na slnečnici. Je zaujímavé, že počet riadkov otáčajúcich sa proti smeru hodinových ručičiek a v smere hodinových ručičiek sú susedné čísla vo Fibonacciho rade.
Hlava brokolicovej kapusty a baraní roh sa krútia do špirály... A v samotnom ľudskom tele, samozrejme, zdravom a normálnych proporcií, sa zlatý rez nachádza.
Vitruviánsky muž. Kresba Leonarda da Vinciho.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... sú čísla vo Fibonacciho rade, v ktorých každý nasledujúci člen je získaný zo súčtu predchádzajúcich dvoch. Vo Fibonacciho špirálach sa točia aj vzdialené špirálové galaxie fotografované satelitmi.
Špirálová galaxia.
Foto: NASA
Tri tropické cyklóny.
Foto: NASA
Molekula DNA je stočená do dvojitej špirály.
Skrútená ľudská DNA.
Ilustrácia: Zephyris/en.wikipedia.org
Hurikán sa točí do špirály, pavúk si špirálovito pletie sieť.
Sieť krížového pavúka.
Foto: Vincent de Groot/videgro.net
„Zlatú proporciu“ možno vidieť aj na stavbe tela motýľa, vo vzťahu k hrudnej a brušnej časti tela, ako aj na vážke. A väčšina vajec sa hodí, ak nie do obdĺžnika zlatého rezu, tak do jeho derivátu.
Ilustrácia: Adolphe Millot
Fraktály
Ďalšie zaujímavé tvary, ktoré môžeme vidieť všade v prírode, sú fraktály. Fraktály sú figúry zložené z častí, z ktorých každá je podobná celej figúre – nepripomína vám to princíp zlatého rezu?
Stromy, blesky, priedušky a ľudský obehový systém majú fraktálový tvar, ideálne prírodné ilustrácie fraktálov sa nazývajú aj paprade a brokolica. „Všetko je také zložité, všetko je také jednoduché“ takto funguje príroda, ľudia si všímajú, počúvajú ju s rešpektom.
„Príroda obdarila človeka túžbou objaviť pravdu,“ napísal Cicero, ktorého slovami by som rád ukončil prvú časť článku o geometrii v prírode.
Brokolica je dokonalou prírodnou ilustráciou fraktálu.
Foto: pdphoto.org
Listy papradia majú tvar fraktálnej postavy - sú sebe podobné.
Foto: Stockbyte/Photos.com
Zelené fraktály: listy paprade.
Foto: John Foxx/Photos.com
Žily na zažltnutom liste v tvare fraktálu.
Foto: Diego Barucco/Photos.com
Praskliny na kameni: fraktál v makre.
Foto: Bob Beale/Photos.com
Vetvy obehového systému na ušiach králika.
Foto: Lusoimages/Photos.com
Úder blesku - fraktálna vetva.
Foto: John R. Southern/flickr.com
Vetva tepien v ľudskom tele.
Kľukatá rieka a jej ramená.
Foto: Jupiterimages/Photos.com
Ľad zmrazený na skle má podobný vzor.
Foto: Schnobby/en.wikipedia.org
List brečtanu s rozvetvenými žilkami - fraktálového tvaru.
Foto: Wojciech Plonka/Photos.com
Ako bol objavený fraktál
Matematické tvary známe ako fraktály pochádzajú od génia významného vedca Benoita Mandelbrota. Väčšinu života vyučoval matematiku na Yale University v USA. V rokoch 1977 - 1982 publikoval Mandelbrot vedecké práce venované štúdiu „fraktálnej geometrie“ alebo „geometrie prírody“, v ktorých rozložil zdanlivo náhodné matematické formy na prvky, ktoré sa pri bližšom skúmaní ukázali ako opakujúce sa. preukázala prítomnosť určitého modelu na kopírovanie . Mandelbrotov objav mal významné dôsledky vo vývoji fyziky, astronómie a biológie.
Fraktály v prírode
V prírode má veľa objektov fraktálne vlastnosti, napríklad: koruny stromov, karfiol, oblaky, obehový a alveolárny systém ľudí a zvierat, kryštály, snehové vločky, ktorých prvky sú usporiadané do jednej komplexnej štruktúry, pobrežia (fraktálny koncept umožňoval vedci na meranie pobrežia Britských ostrovov a iných predtým nemerateľných objektov).
Pozrime sa na štruktúru karfiolu. Ak odrežete jeden z kvetov, je zrejmé, že vo vašich rukách zostáva rovnaký karfiol, len menší. Môžeme krájať znova a znova, dokonca aj pod mikroskopom - ale všetko, čo dostaneme, sú malé kópie karfiolu. V tomto najjednoduchšom prípade aj malá časť fraktálu obsahuje informácie o celej výslednej štruktúre.
Fraktály v digitálnej technológii
Fraktálna geometria neoceniteľne prispela k rozvoju nových technológií v oblasti digitálnej hudby a tiež umožnila komprimovať digitálne obrázky. Existujúce algoritmy kompresie fraktálnych obrázkov sú založené na princípe ukladania komprimovaného obrázka namiesto samotného digitálneho obrázka. Pri komprimovanom obrázku zostáva hlavný obrázok pevným bodom. Microsoft použil jeden z variantov tohto algoritmu pri vydávaní svojej encyklopédie, no z toho či onoho dôvodu sa tento nápad veľmi nepoužíval.
Matematickým základom fraktálnej grafiky je fraktálna geometria, kde princíp dedenia z pôvodných „rodičovských objektov“ je základom pre metódy konštrukcie „dedičských obrazov“. Samotné koncepty fraktálnej geometrie a fraktálnej grafiky sa objavili len asi pred 30 rokmi, ale už sa pevne udomácnili v každodennom živote počítačových dizajnérov a matematikov.
Základné pojmy fraktálnej počítačovej grafiky sú:
- Fraktálny trojuholník - fraktálny obrazec - fraktálny objekt (hierarchia v zostupnom poradí)
- Fraktálna čiara
- Fraktálne zloženie
- „Rodičovský objekt“ a „Nástupný objekt“
Rovnako ako vo vektorovej a trojrozmernej grafike je vytváranie fraktálnych obrázkov vypočítané matematicky. Hlavný rozdiel oproti prvým dvom typom grafiky je v tom, že fraktálny obrázok je zostavený podľa rovnice alebo sústavy rovníc – na vykonanie všetkých výpočtov nepotrebujete do pamäte počítača ukladať nič iné ako vzorec – a to kompaktnosť matematického aparátu umožnila využitie tejto myšlienky v počítačovej grafike. Jednoduchou zmenou koeficientov rovnice môžete ľahko získať úplne iný fraktálny obraz - pomocou niekoľkých matematických koeficientov sú špecifikované povrchy a čiary veľmi zložitých tvarov, čo umožňuje implementovať kompozičné techniky ako horizontály a vertikály, symetria a asymetria , diagonálne smery a oveľa viac.
Ako vytvoriť fraktál?
Tvorca fraktálov hrá rolu umelca, fotografa, sochára a vedca-vynálezcu zároveň. Aké sú nadchádzajúce fázy vytvárania výkresu od začiatku?
- nastaviť tvar výkresu pomocou matematického vzorca
- skúmať konvergenciu procesu a meniť jeho parametre
- vyberte typ obrázka
- vyberte si farebnú paletu
Spomedzi fraktálnych grafických editorov a iných grafických programov môžeme vyzdvihnúť:
- "Umelecký dabér"
- „Maliar“ (bez počítača žiadny umelec nikdy nedosiahne schopnosti stanovené programátormi iba pomocou ceruzky a štetca)
- „Adobe Photoshop“ (ale tu sa obrázok nevytvára „od začiatku“, ale spravidla iba spracovaný)
Uvažujme o štruktúre ľubovoľného fraktálneho geometrického útvaru. V jeho strede je najjednoduchší prvok - rovnostranný trojuholník, ktorý dostal rovnaký názov: „fraktál“. Na strednom segmente strán zostrojíme rovnostranné trojuholníky so stranou rovnajúcou sa jednej tretine strany pôvodného fraktálneho trojuholníka. Na rovnakom princípe sa stavajú ešte menšie nástupnícke trojuholníky druhej generácie – a tak ďalej donekonečna. Výsledný objekt sa nazýva „fraktálny obrazec“, z ktorého sekvencií získame „fraktálnu kompozíciu“.
Zdroj: http://www.iknowit.ru/
Fraktály a staroveké mandaly
Mandala je v zásade geometrickým symbolom komplexnej štruktúry, ktorá sa interpretuje ako model vesmíru, „mapa vesmíru“. Toto je prvý znak fraktality!
Sú vyšívané na látke, maľované na piesku, robené farebnými práškami a vyrobené z kovu, kameňa, dreva. Jeho svetlý a očarujúci vzhľad z neho robí krásnu dekoráciu na podlahy, steny a stropy chrámov v Indii. V staroindickom jazyku „mandala“ znamená mystický kruh vzťahu medzi duchovnými a hmotnými energiami Vesmíru, alebo inými slovami, kvet života.
Chcel som napísať veľmi krátku recenziu fraktálových mandál s minimom odsekov, ktoré ukazujú, že vzťah jednoznačne existuje. Pri pokuse pochopiť a prepojiť informácie o fraktáloch a mandalách do jedného celku som však mal pocit kvantového skoku do pre mňa neznámeho priestoru.
Rozsiahlosť tejto témy demonštrujem citátom: „Takéto fraktálne kompozície či mandaly sa dajú použiť vo forme obrazov, dizajnových prvkov do obytných a pracovných priestorov, nositeľných amuletov, vo forme videokaziet, počítačových programov...“ V všeobecne, téma na štúdium fraktálov je jednoducho obrovská.
Jedna vec, ktorú môžem povedať s istotou, je, že svet je oveľa rozmanitejší a bohatší ako chudobné predstavy, ktoré o ňom má naša myseľ.
Fraktálne morské živočíchy
Moje dohady o fraktálových morských živočíchoch neboli neopodstatnené. Tu sú prví zástupcovia. Chobotnica je morský živočích z radu hlavonožcov žijúci na dne.
Pri pohľade na túto fotografiu mi bola zrejmá fraktálna štruktúra jeho tela a prísavky na všetkých ôsmich chápadlách tohto zvieraťa. Počet prísavníkov na chápadlách dospelej chobotnice dosahuje až 2000 kusov.
Zaujímavosťou je, že chobotnica má tri srdcia: jedno (hlavné) poháňa modrú krv po celom tele a ďalšie dve - žiabre - tlačia krv cez žiabre. Niektoré typy týchto hlbokomorských fraktálov sú jedovaté.
Tým, že sa chobotnica prispôsobuje a maskuje svojmu prostrediu, má veľmi užitočnú schopnosť meniť farbu.
Chobotnice sú považované za najinteligentnejšie zo všetkých bezstavovcov. Spoznávajú ľudí a zvykajú si na tých, ktorí ich živia. Bolo by zaujímavé pozrieť sa na chobotnice, ktoré sa ľahko cvičia, majú dobrú pamäť a dokonca rozoznávajú geometrické tvary. Ale životnosť týchto fraktálových zvierat je krátka - maximálne 4 roky.
Človek používa atrament tohto živého fraktálu a iných hlavonožcov. Umelcami sú vyhľadávané pre ich trvácnosť a krásny hnedý tón. V stredomorskej kuchyni je chobotnica zdrojom vitamínov B3, B12, draslíka, fosforu a selénu. Ale myslím si, že musíte vedieť, ako uvariť tieto morské fraktály, aby ste si ich mohli vychutnať ako jedlo.
Mimochodom, treba poznamenať, že chobotnice sú predátori. Svojimi fraktálovými chápadlami držia korisť v podobe mäkkýšov, kôrovcov a rýb. Je škoda, ak sa taký krásny mäkkýš stane potravou týchto morských fraktálov. Podľa mňa je aj typickým predstaviteľom fraktálov morského kráľovstva.
Toto je príbuzný slimákov, ulitník nudibranch Glaucus, tiež známy ako Glaucus, tiež známy ako Glaucus atlanticus, tiež známy ako Glaucilla marginata. Tento fraktál je tiež nezvyčajný v tom, že žije a pohybuje sa pod hladinou vody, pričom je udržiavaný na mieste povrchovým napätím. Pretože mäkkýš je hermafrodit, potom po párení obaja „partneri“ kladú vajíčka. Tento fraktál sa nachádza vo všetkých oceánoch tropického pásma.
Fraktály morského kráľovstva
Každý z nás aspoň raz v živote držal v ruke mušľu a skúmal ju s nefalšovaným detským záujmom.
Zvyčajne sú mušle krásnym suvenírom pripomínajúcim výlet do mora. Keď sa pozriete na tento špirálovitý útvar bezstavovcových mäkkýšov, niet pochýb o jeho fraktálnej povahe.
My ľudia sme trochu ako tieto mäkkýše s mäkkým telom, žijúci v dobre vybavených betónových fraktálových domoch, umiestňujúci a presúvajúci svoje telá v rýchlych autách.
Ďalším typickým predstaviteľom fraktálneho podmorského sveta je koral.
V prírode je známych vyše 3500 druhov koralov s paletou až 350 farebných odtieňov.
Koral je kostrový materiál kolónie koralových polypov, tiež z čeľade bezstavovcov. Ich obrovské nahromadenia tvoria celé koralové útesy, ktorých fraktálny spôsob vzniku je zrejmý.
Koral možno s plnou dôverou nazvať fraktálom z morského kráľovstva.
Ľudia ho využívajú aj ako suvenír alebo surovinu na šperky a ozdoby. Ale je veľmi ťažké replikovať krásu a dokonalosť fraktálnej prírody.
Keď som znova vykonal rituál v kuchyni s nožom a doskou a potom ponoril nôž do studenej vody, bolo mi do plaču a opäť som prišiel na to, ako sa vysporiadať so slzným fraktálom, ktorý sa mi objavuje pred očami takmer každý deň. .
Princíp fraktality je rovnaký ako u slávnej hniezdnej bábiky – hniezdenia. To je dôvod, prečo si fraktálnosť okamžite nevšimneme. Svetlo, jednotná farba a jeho prirodzená schopnosť vyvolávať nepríjemné pocity navyše neprispievajú k podrobnému pozorovaniu vesmíru a identifikácii fraktálnych matematických vzorcov.
Ale šalátová cibuľa fialovej farby ma kvôli svojej farbe a absencii fytoncídov produkujúcich slzy prinútila zamyslieť sa nad prirodzenou fraktalitou tejto zeleniny. Samozrejme, je to jednoduchý fraktál, obyčajné kruhy rôznych priemerov, dalo by sa povedať aj najprimitívnejší fraktál. Nebolo by však na škodu pripomenúť si, že lopta je v našom vesmíre považovaná za ideálny geometrický útvar.
Na internete bolo publikovaných veľa článkov o prospešných vlastnostiach cibule, no akosi sa nikto nepokúsil študovať tento prírodný exemplár z pohľadu fraktality. Môžem len konštatovať užitočnosť použitia fraktálu v podobe cibule v mojej kuchyni.
P.S. Už som si kúpil krájač zeleniny na sekanie fraktálov. Teraz sa musíme zamyslieť nad tým, aká fraktálna je taká zdravá zelenina, akou je obyčajná biela kapusta. Rovnaký princíp hniezdenia.
Fraktály v ľudovom umení
Mňa zaujal príbeh svetoznámej matriošky. Pri bližšom pohľade môžeme s istotou povedať, že táto suvenírová hračka je typickým fraktálom.
Princíp fraktality je zrejmý, keď sú všetky figúrky drevenej hračky zoradené v rade a nie sú vnorené do seba.
Môj malý prieskum histórie výskytu tohto hračkárskeho fraktálu na svetovom trhu ukázal, že korene tejto krásky sú japonské. Matrioška bola vždy považovaná za originálny ruský suvenír. Ukázalo sa však, že bola prototypom japonskej figúrky starého mudrca Fukurumu, ktorý bol kedysi privezený do Moskvy z Japonska.
Ale bol to ruský hračkársky priemysel, ktorý priniesol tejto japonskej figúrke svetovú slávu. Odkiaľ sa vzala myšlienka fraktálneho hniezdenia hračky, zostáva pre mňa osobne záhadou. S najväčšou pravdepodobnosťou autor tejto hračky použil princíp hniezdenia figúrok do seba. A najjednoduchší spôsob, ako investovať, sú podobné postavy rôznych veľkostí, a to už je fraktál.
Nemenej zaujímavým predmetom štúdia je maľba fraktálnej hračky. Toto je dekoratívny obraz - Khokhloma. Tradičnými prvkami Khokhloma sú bylinné vzory kvetov, bobúľ a konárov.
Opäť všetky znaky fraktality. Koniec koncov, rovnaký prvok sa môže opakovať niekoľkokrát v rôznych verziách a pomeroch. Výsledkom je ľudová fraktálna maľba.
A ak nikoho neprekvapíte novodobým maľovaním počítačových myší, krytov notebookov a telefónov, tak fraktálne ladenie auta v ľudovom štýle je novinkou v autodizajne. Človek môže len žasnúť nad tým, ako sa svet fraktálov v našich životoch prejavuje takým nezvyčajným spôsobom v takých pre nás obyčajných veciach.
Fraktály v kuchyni
Typický predstaviteľ fraktálu zo sveta rastlín bol na mojom kuchynskom stole.
Pri všetkej láske ku karfiolu som vždy natrafil na exempláre s jednotným povrchom bez viditeľných známok fraktálnosti a ani veľké množstvo súkvetí vnorených do seba mi nedávalo dôvod vidieť v tejto užitočnej zelenine fraktál.
Ale povrch tohto konkrétneho exempláru s jeho jasne definovanou fraktálovou geometriou nenechal najmenšiu pochybnosť o fraktálnom pôvode tohto druhu kapusty.
Ďalší výlet do hypermarketu fraktálový status kapustnice len potvrdil. Medzi obrovským množstvom exotickej zeleniny bola celá krabica fraktálov. Bol to Romanescu, čiže románska brokolica, karfiol.
Ukazuje sa, že dizajnéri a 3D umelci obdivujú jeho exotické tvary podobné fraktálom.
Púčiky kapusty rastú v logaritmickej špirále. Prvá zmienka o kapuste Romanescu pochádza z Talianska zo 16. storočia.
A brokolicová kapusta nie je v mojom jedálničku častým hosťom, hoci obsahom živín a mikroelementov mnohonásobne predčí karfiol. Jeho povrch a tvar sú ale také jednotné, že by mi ani nenapadlo vidieť v ňom rastlinný fraktál.
Fraktály v quillingu
Keď som videl prelamované remeslá pomocou techniky quilling, nikdy som nestratil pocit, že mi niečo pripomínajú. Opakovanie rovnakých prvkov v rôznych veľkostiach je samozrejme princípom fraktálnosti.
Po zhliadnutí ďalšej majstrovskej triedy o quillingu už nebolo pochýb o fraktálnej povahe quillingu. Koniec koncov, na výrobu rôznych prvkov pre quillingové remeslá sa používa špeciálne pravítko s kruhmi rôznych priemerov. Napriek všetkej kráse a jedinečnosti produktov ide o neuveriteľne jednoduchú techniku.
Takmer všetky hlavné prvky pre quillingové remeslá sú vyrobené z papiera. Ak si chcete nakúpiť bezplatný quillingový papier, pozrite sa doma na policu s knihami. Určite tam nájdete pár žiarivých lesklých časopisov.
Quillingové nástroje sú jednoduché a lacné. Všetko, čo potrebujete na vykonávanie amatérskej quillingovej práce, nájdete medzi svojimi domácimi papiernickými potrebami.
A história quillingu začína v 18. storočí v Európe. Počas renesancie používali mnísi z francúzskych a talianskych kláštorov quilling na zdobenie obálok kníh a ani si neuvedomovali fraktálnu povahu techniky rolovania papiera, ktorú vynašli. Dievčatá z vyššej spoločnosti dokonca absolvovali kurzy quillingu v špeciálnych školách. Takto sa táto technika začala šíriť po krajinách a kontinentoch.
Táto majstrovská trieda quillingu na výrobu luxusného peria sa dá dokonca nazvať „fraktály typu „urob si sám“. Pomocou papierových fraktálov sa získavajú nádherné exkluzívne valentínske pohľadnice a mnoho ďalších zaujímavých vecí. Veď fantázia, podobne ako príroda, je nevyčerpateľná.
Nie je žiadnym tajomstvom, že Japonci sú v živote veľmi obmedzení v priestore, a preto sa ho musia snažiť efektívne využiť. Takeshi Miyakawa ukazuje, ako sa to dá urobiť efektívne aj esteticky. Jeho fraktálový kabinet potvrdzuje, že použitie fraktálov v dizajne nie je len poctou móde, ale aj harmonickým dizajnovým riešením v podmienkach obmedzeného priestoru.
Tento príklad použitia fraktálov v reálnom živote vo vzťahu k dizajnu nábytku mi ukázal, že fraktály sú skutočné nielen na papieri v matematických vzorcoch a počítačových programoch.
A zdá sa, že príroda všade používa princíp fraktality. Stačí sa naň bližšie pozrieť a prejaví sa v celej svojej veľkolepej hojnosti a nekonečnosti bytia.
