Sargsyan Roman

Výskumnú prácu „Problémy s rezaním“ absolvovali žiaci 8. ročníka

Študentom sa predstavia a preskúmajú techniky rezania figúrok v hrách „Pentamino“, „Tangramy“, hádanky a dôkazy viet.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Náhľad:

Výskumná práca na danú tému

"Problémy s rezaním"

Účinkujú: Roman Sargsyan, Anastasia Shavrova,

žiaci 8. ročníka

MBOU "Severomuyskaya Stredná škola"

Vedúci: učiteľka matematiky Ogarková I.I.

1. Úvod
2. Historický odkaz
3. Hra "Pentamino"
4. Hra "Tangram"
5. Problém "torta"
6. Úloha č. 4 - „Vystrihnite obdĺžnik“
7. Úloha č. 5 - „Vystrihnite dva štvorce“
8. Úloha č. 6 - "Vystrihnite dva štvorce-2"
9. Problém #7 – Kríž
10. Úloha č.8 – Kríž -2
11. Úloha č. 9 - Štvorec 8*8
12. Problém č. 10 Oblasť rovnobežníka
13. Problém č. 11 Oblasť lichobežníka
14. Úloha č. 12 Oblasť trojuholníka
15. Záver
16. Literatúra.

Úvod

„Riešenie problémov je praktické umenie

plávanie, lyžovanie alebo hra na klavíri;

môžete sa to naučiť iba napodobňovaním dobra

vzorky a neustále cvičíme"

D. Poya

Vášeň pre matematiku často začína premýšľaním o probléme, ktorý sa vám obzvlášť páči. Bohatým zdrojom takýchto problémov sú rôzne olympiády – školské, mestské, diaľkové, medzinárodné. V rámci prípravy na olympiády sme si pozreli mnoho rôznorodých úloh a identifikovali sme skupinu problémov, ktorých prístup k riešeniu sa nám zdal zaujímavý a originálny. Toto sú strihacie úlohy. Mali sme otázky: aká je zvláštnosť takýchto problémov, existujú špeciálne metódy a techniky na riešenie problémov s rezaním.

Relevancia (snímka 2)

1. Matematici objavujú nové súvislosti medzi matematickými objektmi. Výsledkom tejto práce sú všeobecné metódy riešenia rôznych problémov. A tieto problémy dostávajú štandardné metódy riešenia, ktoré sa presúvajú z kategórie kreatívnych do kategórie technických, to znamená, že vyžadujú použitie už známych metód na ich riešenie.
2. Strihacie úlohy pomáhajú školákom vytvárať geometrické koncepty čo najskôr pomocou rôznych materiálov. Pri riešení takýchto problémov vzniká pocit krásy, zákona a poriadku v prírode.

Predmet štúdia: strihacie úlohy

Predmet štúdia: množstvo rezných problémov, metód a techník na ich riešenie.

Výskumné metódy: modelovanie, porovnávanie, zovšeobecňovanie, analógie, štúdium literárnych a internetových zdrojov, analýza a klasifikácia informácií.

(Snímka 3) Hlavnáúčel štúdieje rozšírenie vedomostí o rôznych rezných úlohách.

Na dosiahnutie tohto cieľa plánujeme vyriešiť nasledovnéúlohy: (Snímka 4)

1. vyberte potrebnú literatúru
2. naučiť sa rezať geometrické tvary na časti potrebné na zostavenie jedného alebo druhého geometrického tvaru s využitím ich vlastností a charakteristík;
3. naučte sa dokázať, že plochy obrazcov sú rovnaké tak, že ich rozrežete na určité časti a dokážete, že tieto obrazce sú rovnako zložené;
4. vykonávať geometrický výskum a navrhovať pri riešení problémov rôzneho typu.
5. vybrať materiál na výskum, vybrať hlavné, zaujímavé, zrozumiteľné informácie
6. analyzovať a systematizovať prijaté informácie
7. nájsť rôzne metódy a techniky na riešenie problémov rezania
8. klasifikovať skúmané problémy
9. nájsť spôsoby, ako zmeniť tvar: trojuholník na rovnobežník; rovnobežník do rovnostranného trojuholníka; lichobežníka do rovnostranného trojuholníka.
10. Vytvorte elektronickú prezentáciu svojej práce

hypotéza: Možno rozmanitosť problémov so strihaním, ich „zábavný“ charakter a nedostatok všeobecných pravidiel a metód na ich riešenie spôsobujú školákom ťažkosti pri ich zvažovaní. Predpokladajme, že pri bližšom skúmaní strihových úloh sa presvedčíme o ich relevantnosti, originalite a užitočnosti.

Pri riešení úloh rezania nepotrebujeme znalosti základov planimetrie, ale budeme potrebovať vynaliezavosť, geometrickú predstavivosť a pomerne jednoduché geometrické informácie, ktoré sú známe každému.

(Snímka 5) Historické pozadie

Problémy s rezaním ako typ hádanky priťahovali pozornosť už od staroveku. Prvé pojednanie, ktoré sa zaoberá problémami rezania, napísal slávny arabský astronóm a matematik z Khorasanu, Abu al-Wefa (940 - 998 po Kr.). Začiatkom 20. storočia vďaka prudkému nárastu periodík vzbudilo pozornosť riešenie problémov rozrezania figúrok na daný počet dielov a ich následného poskladania do novej figúry ako prostriedok na zábavu širokých vrstiev spoločnosti. Teraz geometri brali tieto problémy vážne, najmä preto, že sú založené na starodávnom probléme rovnako veľkých a rovnako zložených postáv, ktorý sa datuje od starovekých geometrov. Známymi špecialistami v tomto odvetví geometrie boli slávni klasici zábavnej geometrie a tvorcovia hlavolamov Henry E. Dudeney a Harry Lindgren.

Encyklopédiou na riešenie rôznych problémov s rezaním je kniha „Cutting Geometry“ od Harryho Lindgrena. V tejto knihe nájdete záznamy pre rezanie polygónov do daných tvarov

Pri zvažovaní riešení problémov s rezaním chápete, že neexistuje žiadny univerzálny algoritmus alebo metóda. Niekedy môže začínajúci geometer svojim riešením výrazne predčiť skúsenejšieho človeka. Táto jednoduchosť a dostupnosť je základom popularity hier založených napríklad na riešení takýchto problémov- (Snímka 6) pentomino"príbuzní" Tetris, tangram.

(Snímka 7) Hra „Pentamino“ Pravidlá hry

Podstatou hry je stavať rôzne siluety objektov na rovine. Hra zahŕňa pridávanie rôznych figúrok z danej sady pentominoes. Sada pentomino obsahuje 12 figúrok, z ktorých každá pozostáva z piatich rovnakých štvorcov a štvorce k sebe „susedia“ iba svojimi stranami.

Hra "Tangram" (snímka 8)

V hre „tangram“ môže byť zo siedmich základných prvkov vytvorený značný počet figúrok.Všetky zostavené figúrky musia mať rovnakú plochu, pretože zostavené z rovnakých prvkov. Z toho vyplýva, že:

1. Každá zostavená figúrka musí určite obsahovať všetkých sedem prvkov.
2. Pri skladaní figúry by sa prvky nemali navzájom prekrývať, t.j. byť umiestnené iba v jednej rovine.
3. Prvky obrázkov musia byť vedľa seba.

Úlohy

V hre tangram existujú 3 hlavné kategórie úloh:

1. Nájdenie jedného alebo viacerých spôsobov skonštruovania danej figúry alebo elegantného dôkazu o nemožnosti zostrojiť figúru.
2. Hľadanie spôsobu, ako zobraziť siluety zvierat, ľudí a iných rozpoznateľných predmetov s najväčšou expresivitou alebo humorom (alebo oboje dohromady).
3. Riešenie rôznych problémov kombinatorickej geometrie vznikajúcich v súvislosti s kompozíciou figúr zo 7 tanov.

Úloha 3 (Snímka 9)

Koláč , zdobený ružami, bol rozdelený na kusy tromi rovnými rezmi tak, aby každý kus obsahoval práve jednu ružu. Aký najväčší počet ruží môže byť na torte?

Komentár. Riešenie problému je založené na aplikácii axiómy:"Priamka rozdeľuje rovinu na dve polroviny."Mali by byť znázornené všetky možné prípady usporiadania troch priamych čiar. Z obrázku je zrejmé, že najväčší počet častí - 7 - sa získa, keď sa čiary pretínajú v pároch. Na torte teda nemohlo byť viac ako 7 ruží.

Úloha 4 (Snímka 10)

Vystrihnite obdĺžnik, ax2a na také časti, aby z nich bolo možné poskladať rovnakú veľkosť:

1) pravouhlý trojuholník;

2) štvorec.

Riešenie problému je zrejmé z obrázkov 2 a 3.

Úloha 5 (snímka 11)

Vystrihnite dva štvorce1x1 a 3x3 na také časti, aby sa z nich dal vytvoriť štvorec rovnakej veľkosti.

Komentár. Úlohou je pretvoriť postavu pozostávajúcu z dvoch štvorcov na štvorec rovnakej veľkosti. Rozloha nového námestia je 3 2 +1 2 , čo znamená, že strana štvorca rovná súčtu týchto štvorcov je rovná, t.j. je prepona obdĺžnika s nohami 3 a 1. Konštrukcia takéhoto štvorca je zrejmá z obrázku 4

Úloha 6 (snímka 12)

Vystrihnite dva náhodné štvorcedo takých častí, aby sa dali použiť na vytvorenie štvorca rovnakej veľkosti.

Riešenie problému je zrejmé z obrázku 5. Plocha nového štvorca je a 2 + b 2 , čo znamená, že strana štvorca rovná súčtu týchto štvorcov sa rovná

t.j. je to prepona pravouhlého trojuholníka s nohami a a b.

Úloha 7 (snímka 13)

Kríž pozostáva z piatich štvorcov: jeden štvorec je v strede a ďalšie štyri susedia s jeho stranami. Nakrájajte ho na kúsky tak, aby ste z nich vytvorili štvorec rovnakej veľkosti.

Riešenie problému je zrejmé z obrázku 6.

Úloha 8 (Snímka 14)

Kríž pozostáva z piatich štvorcov: jeden štvorec je v strede a ďalšie štyri susedia s jeho stranami. Ako pokryť povrch lyka šiestimi takými krížikmi, z ktorých každá strana má rovnakú veľkosť ako kríž.

Komentár. Kríž je prekrytý na okraji (obr. 7), nie je potrebné orezávať a znovu lepiť „odstávajúce uši“ - presunú sa na susedný okraj a skončia na správnych miestach. Omotaním „vyčnievajúcich uší“ na susedné plochy tak môžete pokryť povrch kocky šiestimi krížikmi (obr. 8).

Úloha 9 (Snímka 15)

Štvorec 8x8 rozrežte na štyri časti, ako je znázornené na obrázku 9. Z výsledných častí sa vytvorí obdĺžnik 13x5. Plocha obdĺžnika je 65 a plocha štvorca 64. Vysvetlite, kde je chyba.

Úvodné slovo učiteľa:

Malé historické pozadie: Mnoho vedcov sa zaujímalo o problémy s rezaním už od staroveku. Riešenia mnohých jednoduchých problémov s rezaním našli už starí Gréci a Číňania, ale prvé systematické pojednanie na túto tému napísal Abul-Vef. Geometre začali seriózne riešiť problémy rezania figúrok na najmenší počet častí a potom skonštruovanie ďalšej figúry na začiatku 20. storočia. Jedným zo zakladateľov tejto sekcie bol slávny zakladateľ hlavolamov Henry E. Dudeney.

V súčasnosti milovníci hlavolamov radi riešia strihové problémy, pretože neexistuje univerzálna metóda na riešenie takýchto problémov a každý, kto sa ich pustí do riešenia, môže naplno prejaviť svoju vynaliezavosť, intuíciu a schopnosť kreatívneho myslenia. (Na hodine uvedieme len jeden z možných príkladov strihania. Dá sa predpokladať, že žiaci môžu skončiť aj inou správnou kombináciou - toho sa netreba báť).

Táto lekcia by mala prebiehať formou praktickej lekcie. Rozdeľte účastníkov kruhu do skupín po 2-3 ľuďoch. Poskytnite každej skupine figúrky vopred pripravené učiteľom. Žiaci majú pravítko (s dielikmi), ceruzku a nožnice. Je povolené robiť iba rovné rezy pomocou nožníc. Po rozrezaní figúry na kúsky musíte z rovnakých častí vytvoriť ďalšiu figúrku.

Úlohy pri rezaní:

1). Skúste obrázok znázornený na obrázku rozrezať na 3 časti rovnakého tvaru:

Tip: Malé tvary vyzerajú veľmi podobne ako písmeno T.

2). Teraz túto postavu rozrežte na 4 časti rovnakého tvaru:

Tip: Je ľahké uhádnuť, že malé figúrky budú pozostávať z 3 políčok, ale nie je veľa figúrok s tromi bunkami. Existujú iba dva typy: roh a obdĺžnik.

3). Rozdeľte figúrku na dve rovnaké časti a z výsledných častí vytvorte šachovnicu.

Tip: Navrhnite začať úlohu od druhej časti, ako keby ste dostali šachovnicu. Pamätajte si, aký tvar má šachovnica (štvorec). Spočítajte dostupný počet buniek na dĺžku a šírku. (Pamätajte, že by malo byť 8 buniek).

4). Skúste syr nakrájať na osem rovnakých kúskov tromi pohybmi noža.

Tip: skúste syr prekrojiť pozdĺžne.

Úlohy na samostatné riešenie:

1). Vystrihnite štvorec papiera a urobte nasledovné:

· nakrájajte na 4 kusy, z ktorých sa dajú vytvoriť dva rovnaké menšie štvorce.

· rozrežte na päť častí – štyri rovnoramenné trojuholníky a jeden štvorec – a zložte ich tak, aby vám vznikli tri štvorce.

, Súťaž „Prezentácia na lekciu“

Prezentácia na lekciu

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Prax ukazuje, že pri využívaní praktických vyučovacích metód je možné u študentov formovať množstvo mentálnych techník potrebných na správne identifikovanie podstatných a nepodstatných znakov pri oboznamovaní sa s geometrickými útvarmi. rozvíja sa matematická intuícia, logické a abstraktné myslenie, formuje sa kultúra matematickej reči, rozvíjajú sa matematické a dizajnérske schopnosti, zvyšuje sa kognitívna aktivita, formuje sa kognitívny záujem, rozvíja sa intelektuálny a tvorivý potenciál Článok poskytuje množstvo praktických úloh na rezanie geometrických tvarov. tvary na kusy, aby sa tieto časti poskladali a vytvorili novú postavu. Žiaci pracujú na úlohách v skupinách. Každá skupina potom obhajuje svoj projekt.

Dve figúry sa nazývajú rovnako zložené, ak rozrezaním jednej z nich určitým spôsobom na konečný počet častí je možné (rozličným usporiadaním týchto častí) z nich vytvoriť druhú figúru. Metóda rozdelenia je teda založená na skutočnosti, že akékoľvek dva rovnako zložené polygóny majú rovnakú veľkosť. Je prirodzené položiť si opačnú otázku: majú nejaké dva polygóny rovnakú plochu? Odpoveď na túto otázku dali (takmer súčasne) maďarský matematik Farkas Bolyai (1832) a nemecký dôstojník a nadšenec matematiky Gerwin (1833): dva polygóny s rovnakou plochou sú rovnako proporcionálne.

Bolyai-Gerwinova veta hovorí, že akýkoľvek mnohouholník môže byť rozrezaný na kusy, takže kusy môžu byť formované do štvorca.

Cvičenie 1.

Vystrihnite obdĺžnik a X 2a na kúsky, aby sa z nich dal urobiť štvorec.

Obdĺžnik ABCD sme rozrezali na tri časti pozdĺž čiar MD a MC (M je stred AB)

Obrázok 1

Trojuholník AMD posunieme tak, aby sa vrchol M zhodoval s vrcholom C, noha AM sa presunie do segmentu DC. Posúvame trojuholník MVS doľava a dole tak, aby noha MV prekrývala polovicu segmentu DC. (Obrázok 1)

Úloha 2.

Rovnostranný trojuholník rozrežte na kúsky tak, aby sa dali zložiť do štvorca.

Označme tento pravidelný trojuholník ABC. Trojuholník ABC je potrebné rozrezať na mnohouholníky, aby sa dali zložiť do štvorca. Potom tieto polygóny musia mať aspoň jeden pravý uhol.

Nech K je stred CB, T je stred AB, vyberte body M a E na strane AC tak, aby ME=AT=TV=BK=SC= A AM=EC= A/2.

Obrázok 2

Nakreslíme úsečku MK a na ňu kolmé úsečky EP a TN. Rozrežme trojuholník na kúsky pozdĺž zostrojených čiar. Štvoruholník KRES otáčame v smere hodinových ručičiek vzhľadom na vrchol K tak, aby sa SC zarovnal so segmentom KV. Otočme štvoruholník AMNT v smere hodinových ručičiek vzhľadom na vrchol T tak, aby AT bol zarovnaný s TV. Posuňme trojuholník MEP tak, aby výsledkom bol štvorec. (Obrázok 2)

Úloha 3.

Štvorec nakrájajte na kúsky tak, aby sa z nich dali poskladať dva štvorce.

Označme pôvodný štvorec ABCD. Označme stredy strán štvorca - body M, N, K, H. Narysujme úsečky MT, HE, KF a NP - časti úsečiek MC, HB, KA a ND.

Rezaním štvorca ABCD pozdĺž nakreslených čiar získame štvorec PTEF a štyri štvoruholníky MDHT, HCKE, KBNF a NAMP.

Obrázok 3

PTEF je hotový štvorec. Zo zvyšných štvoruholníkov vytvarujeme druhý štvorec. Vrcholy A, B, C a D sú v jednom bode kompatibilné, segmenty AM a BC, MD a KS, BN a CH, DH a AN sú kompatibilné. Body P, T, E a F sa stanú vrcholmi nového štvorca. (Obrázok 3)

Úloha 4.

Z hrubého papiera sú vyrezané rovnostranný trojuholník a štvorec. Tieto figúrky rozstrihajte na mnohouholníky tak, aby sa dali zložiť do jedného štvorca a diely ho musia úplne vyplniť a nesmú sa pretínať.

Trojuholník rozrežte na kúsky a vytvorte z nich štvorec, ako je znázornené v úlohe 2. Dĺžka strany trojuholníka – 2a. Teraz by ste mali rozdeliť štvorec na mnohouholníky tak, že z týchto častí a štvorca, ktorý vyšiel z trojuholníka, vytvoríte nový štvorec. Vezmite štvorec so stranou 2 A, označme to LRSD. Nakreslíme na seba kolmé segmenty UG a VF tak, aby DU=SF=RG=LV. Štvorec si rozrežeme na štvorce.

Obrázok 4

Zoberme si štvorec zložený z častí trojuholníka. Rozložíme štvoruholníky - časti štvorca, ako je znázornené na obrázku 4.

Úloha 5.

Kríž sa skladá z piatich štvorcov: jedno je v strede a ďalšie štyri susedia s jeho stranami. Nakrájajte ho na kúsky tak, aby ste z nich vytvorili štvorec.

Spojme vrcholy štvorcov tak, ako je to znázornené na obrázku 5. Odrežte „vonkajšie“ trojuholníky a presuňte ich na voľné miesta vo vnútri štvorca ABC.

Obrázok 5

Úloha 6.

Prekreslite dva ľubovoľné štvorce do jedného.

Obrázok 6 ukazuje, ako rezať a presúvať štvorcové kusy.

Séria voliteľných hodín na tému „Riešenie problémov s rezaním“

Vysvetľujúca poznámka

Základné Ciele ktoré zaraďujeme do voliteľných tried sú nasledovné:

Prezentovať materiál o typoch rezania polygónov;

Podporovať formovanie zručností študentov mentálne vykonávať také transformácie, ako sú:

• paralelný prenos,

  otočiť,

  stredová symetria a rôzne kompozície týchto premien.

A hlavný cieľ všetkých tried: dosiahnuť pozitívnu zmenu v schopnostiach priestorového myslenia.

Úlohy ponúkané vo voliteľných triedach sú tvorivého charakteru, ich riešenie vyžaduje od študentov: zručnosti:

schopnosť robiť mentálne transformácie, ktoré menia umiestnenie obrazov, ktoré majú študenti vo svojich mysliach, ich štruktúru, štruktúru;

schopnosť meniť obraz v mieste a štruktúre súčasne a opakovane vykonávať kompozície jednotlivých operácií.

Tematické plánovanie:

1. Dotazník č.1 – 1 hodina.

2. Problémy s rezaním. Rezanie typu R – 1 hodina.

3. Rezanie typu P – 1 hodina.

4. Rezanie typu Q – 1 hodina.

5. Rezanie typu S – 1 hodina.

6. Rezanie typu T – 1 hodina.

7. Dotazník č.2 – 1 hodina.

Pri zostavovaní série výberových hodín boli použité úlohy z časopisov „Kvant“, „Matematika v škole“ a knihy G. Lindgrena.

Pokyny: Pri oboznamovaní žiakov s problémami odporúčame zvážiť tieto problémy presne podľa typov rezania navrhnutých G. Lindgrenom, čo umožňuje na jednej strane tieto problémy klasifikovať, na druhej strane v triede riešiť problémy týkajúce sa priestorových transformácie rôznych úrovní zložitosti (druhý a tretí typ pracujúci s obrazmi, podľa I.S. Yakimanskaya). Pri práci so žiakmi 7.–9. ročníka odporúčame využívať úlohy výberových tried.

Lekcia č.1

Téma: Problémy s rezaním. Rezanie typu R (racionálne rezanie).

Cieľ: Oboznámiť študentov s pojmom problém rezania, vysvetliť podstatu rezania typu R, analyzovať riešenie problémov pre tento typ rezania, v procese riešenia problémov podporovať vytváranie zručností mentálne vykonávať operácie (rezanie, pridávanie, prerezávanie, sústruženie, paralelný prenos), čím sa podporuje rozvoj priestorového myslenia.

Vybavenie: papier, farebné pasty, nožnice, plagát.

metóda: vysvetľujúce - názorné.

učiteľ: plagát na tabuli:

Schéma: Problémy s rezaním

Problémy s rezaním

1) Rozstrihnite figúrku na niekoľko figúrok

3) Pretvarujte jeden alebo viac tvarov do iného tvaru

2) Poskladajte figúrku z uvedených figúrok

Spomedzi všetkých problémov s rezaním ide väčšinou o racionálne problémy s rezaním. Je to spôsobené tým, že takéto strihy sa dajú ľahko vymyslieť a hádanky založené na nich nie sú príliš jednoduché a nie príliš zložité.

Problémy v R - rezanie

1) Rozstrihnite figúrku na niekoľko (väčšinou rovnakých) figúrok

3) Pretvarujte jeden alebo viac tvarov do daného tvaru

2) Pridajte číslo z daných (väčšinou rovnakých) čísel

3.1. Použitie krokového rezania

3.2. Bez použitia stupňovitého rezania

Zoznámime sa s riešením problémov pre každý typ rezania R.

Fáza II: Fáza riešenia problémov

Metódy:čiastočné vyhľadávanie

Úloha č.1(AII) : Štvorec so stranou štyroch štvorcov rozrežte na dve rovnaké časti. Nájdite čo najviac spôsobov rezu.

Poznámka: Môžete rezať iba po stranách buniek.

Riešenie:

Žiaci hľadajú takéto strihy vo svojich zošitoch, potom učiteľ zhrnie všetky spôsoby strihania, ktoré žiaci našli.

Problém č.2(AII) : Tieto tvary rozrežte na dve rovnaké časti.

Poznámka: Môžete rezať nielen po stranách buniek, ale aj diagonálne.

Študenti s pomocou učiteľa hľadajú takéto strihy vo svojich zošitoch.

Námestie má veľa nádherných nehnuteľností. Pravé uhly, rovnaké strany, symetria mu dodávajú jednoduchosť a dokonalosť tvaru. Na skladacích štvorčekoch z dielov rovnakých a rôznych tvarov je veľa hlavolamov.

TO príklad úloha č.3(BII) : Dostanete štyri rovnaké časti. V duchu z nich vytvorte štvorec, pričom zakaždým použite všetky štyri časti. Všetky testy urobte na papieri. Prezentujte výsledky svojho riešenia vo forme ručne kresleného výkresu.

Riešenie:

Medzi obľúbené a známe hlavolamy patrí šachovnica rozrezaná na kúsky, ktoré treba správne poskladať. Náročnosť montáže závisí od toho, na koľko dielov je doska rozdelená.

Navrhujem nasledujúcu úlohu:

Problém č.4(BII) : Zostavte šachovnicu z dielov znázornených na obrázku.

Riešenie:

Problém #5(VII) : „Loďku“ rozrežte na dve časti, aby ste ich mohli zložiť do štvorca.

Riešenie:

1) rozrežte na dve časti ako na obrázku

otočte jednu z častí (t. j. otočte)

Problém č.6(VII): Ktorúkoľvek z troch figúrok je možné rozrezať na dve časti, z ktorých sa dá ľahko poskladať štvorec. Nájdite také strihy.

A) b)

V)

Riešenie:

paralelný prenos časti 1 vzhľadom na časť 2

rotácia časti 1 vzhľadom na časť 2

) b) V)

Problém č.7(VII): Obdĺžnik so stranami 4 a 9 jednotiek sa rozreže na dve rovnaké časti, ktoré po správnom zložení možno získať ako štvorec.

rez je vyrobený vo forme krokov, ktorých výška a šírka sú rovnaké;

figúrka sa rozdelí na časti a jedna časť sa posunie o jeden (alebo niekoľko) krokov nahor a umiestni sa na inú časť.

Riešenie:

paralelný prenos časti 1

Problém č.9(VII): Po rozrezaní obrázku znázorneného na obrázku na dve časti ich zložte do štvorca tak, aby farebné štvorce boli symetrické vzhľadom na všetky osi symetrie štvorca.

Riešenie:

paralelný prenos časti 1

Problém č.9(ВIII): Ako sa majú rozrezať dva štvorce 3 x 3 a 4 x 4, aby sa výsledné časti dali poskladať do jedného štvorca? Vymyslite niekoľko spôsobov. Snažte sa vystačiť s čo najmenším počtom dielov.

Riešenie:

paralelný prenos dielov

spôsob:

spôsob:

paralelný posun a rotácia

spôsob:

4 spôsoby:

paralelný prenos a rotácia dielov

Študenti s pomocou učiteľa hľadajú škrty.

Problém č.10(AIII): Obrázok zobrazený na obrázku musí byť rozdelený na 6 rovnakých častí, pričom rezy urobte len pozdĺž čiar mriežky. Koľkými spôsobmi to môžete urobiť?

Riešenie: Dve možné riešenia.

Problém č.11(BII): Postavte šachovnicu z daných figúrok.

Riešenie:

Problém č.12(BIII): Premeňte obdĺžnik 3 x 5 na obdĺžnik 5 x 3 bez otáčania zodpovedajúcich častí.

Poznámka: Použite krokové rezanie.

Riešenie:(paralelný prenos)

Problém č.13(BIII): Rozrežte tvar na 2 kusy jedným rezom, aby ste vytvorili štvorec 8 x 8.

Riešenie:

rotácia časti 2 vzhľadom na časť 1

Pokyny: Problémy s rezaním typu R sú jedny z najjednoduchších a najzaujímavejších. Mnoho problémov pre tento typ rezania zahŕňa niekoľko spôsobov riešenia a samostatné riešenie týchto problémov študentmi môže pomôcť identifikovať všetky spôsoby riešenia. Úlohy 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 zahŕňajú prácu žiakov s obrazom postáv prostredníctvom mentálnych premien („strihanie“, sčítanie, rotácia, paralelný prenos). Úlohy 4, 5, 9, 11 zahŕňajú študentov, ktorí pracujú s modelmi (z papiera), priamo strihajú figúrku nožnicami a vykonávajú matematické transformácie (rotácia, paralelný preklad), aby našli riešenia problémov. Úlohy 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 - pre druhý typ práce s obrázkami, úlohy 9, 10, 12 - pre tretí typ práce s obrázkami.

Lekcia č.2

Téma: Rezanie typu P (posun rovnobežníka P).

Cieľ: Vysvetlite podstatu rezania typu P v procese analýzy riešenia problémov pre tento typ rezania a zároveň podporte formovanie zručností mentálne vykonávať operácie (rezanie, pridávanie, opätovné rezanie, paralelný prenos), čím sa podporuje rozvoj priestorového myslenia.

Vybavenie:

Etapa I: Orientovaná etapa

metóda: problematická prezentácia.

učiteľ predstavuje problém (riešte problém č. 1) a ukazuje jeho riešenie.

Úloha č.1(BIII): Preveďte rovnobežník so stranami 3 a 5 cm na nový rovnobežník s rovnakými uhlami ako pôvodný rovnobežník, ktorého jedna strana má 4 cm.

Riešenie: 1)

4)

ABC D – rovnobežník

AB = 3, A D = 5

urobte rez AO VO = D K = 4;

posuňte časť 1 nahor (paralelný posun) doprava pozdĺž čiary rezu, kým bod O nepadne na pokračovanie strany DC;

urobte rez KA' tak, aby KA' || DC;

a AA'K vložíme do vybrania umiestneného pod bodom O (paralelný prenos Δ AA'K pozdĺž priamky AO).

KVO D je požadovaný rovnobežník (КD = 4)

KDO=  A.D.C.  ZLE =  1 +  4,

1 =  2 a  4 =  3 – ležiace priečne na rovnobežných líniách.

Preto  ZLÉ =  2 + 3 =  BOC =  BKD,  BAD =  BKD atď.

U

Problémy s posunom P

Pretvarujte jeden alebo viac tvarov do iného tvaru

čitateľ:

Podstata rezu typu P:

z tohto obrázku urobíme časť, ktorá spĺňa požiadavky úlohy;

vykonávame paralelný prenos rezanej časti pozdĺž línie rezu, kým sa horná časť rezanej časti nezhoduje s pokračovaním druhej strany pôvodnej figúry (rovnobežník);

urobte druhý rez rovnobežný so stranou rovnobežníka, dostaneme ďalšiu časť;

Prevedieme paralelný prenos novovyrezaného dielu pozdĺž línie prvého rezu, kým sa vrcholy nezhodujú (diel vložíme do vybrania).

Fáza II: Fáza riešenia problémov

Metódy: vysvetľujúce - názorné

Problém č.2(BII): Preveďte štvorec 5 x 5 na obdĺžnik so šírkou 3.

Riešenie:

1) 2) – 3) 4)

sekcia AO / VO = D T = 3

paralelný prenos ΔABO pozdĺž priamky AO ​​do bodu O  (DC)

strih TA’ / TA’ || CD

Δ AA ’T paralelným prenosom pozdĺž priamky AO.

TBOD je požadovaný obdĺžnik (TB = 3).

Problém č.3(ВIII): Zložte tri rovnaké štvorce do jedného veľkého štvorca.

Poznámka: Zložte tri štvorce do obdĺžnika a potom použite posun P.

Riešenie:

Spr = 1,5 x 4,5 = 6,75

kv = 6,75 =

1) 2) – 3)

4)

Problém č.4(BIII): Vystrihnite obdĺžnik 5 x 1 na štvorec

Poznámka: urobte rez AB (A W =
), použite posun P na obdĺžnik XYWA.

Riešenie:

1)

2) – 3) 4) 5)

Problém č.5(ВIII): Premeňte ruské Н na štvorec.

Poznámka: urobte rez ako na obrázku, vzniknuté časti zložte do obdĺžnika.

Riešenie:

Problém č.6(BIII): Premeňte trojuholník na lichobežník.

Poznámka: Urobte rez tak, ako je znázornené na obrázku.

Riešenie:

otočte časť 1;

AB úsek;

ΔАВС paralelný presun pozdĺž AB do bodu B  (FM)

rezať ALEBO / ALEBO || FM;

ΔAOR paralelným transportom pozdĺž AB. Bod P sa zhoduje s bodom B;

OFBC je požadovaný lichobežník.

Problém č.7(ВIII): Vytvorte jeden štvorec z troch rovnakých gréckych krížikov.

Riešenie:

Problém č.8(BIII): Premeňte písmeno T na štvorec.

Poznámka: Najprv si z písmena t vystrihnite obdĺžnik.

Riešenie: S t = 6 (jednotka 2), Skv = (
) 2

otočiť

zloženie paralelných pomlčiek

MV = KS =

Problém č.9(ВIII): Prekreslite vlajku zobrazenú na obrázku do štvorca.

Poznámka: Najprv preveďte vlajku na obdĺžnik

Riešenie:

otočiť

S fl = 6,75 AB = C D =
Skv = (
) 2

paralelný prenos

Pokyny: Pri oboznamovaní žiakov s problematikou rezania typu P odporúčame, aby pri riešení konkrétneho problému prezentovali podstatu tohto typu rezania. Úlohy odporúčame riešiť najskôr na modeloch (z papiera), priamym strihaním figúrok nožnicami a paralelným prenosom a potom v procese riešenia úloh od modelov figúrok prejsť k práci s obrázkami geometrických tvarov, uskutočňovaním mentálnych premien (strihanie, paralelný prenos).

Lekcia č.3

Téma: Rezanie typu Q (Q je posun štvoruholníka).

Cieľ: Načrtneme podstatu rezania typu Q v procese riešenia problémov pre tento typ rezania a zároveň podporujeme formovanie zručností na mentálne vykonávanie operácií (rezanie, pridávanie, stredová symetria, rotácia, paralelný prenos), čím sa podporuje rozvoj priestorového myslenia.

Vybavenie: papier, farebné pasty, nožnice.

Etapa I: Orientovaná etapa

metóda: problematická prezentácia.

Učiteľ predloží žiakom problém (riešte úlohu č. 1) a ukáže riešenie.

Úloha č.1(BIII): Premeňte tento štvoruholník na nový štvoruholník.

Riešenie:

vykonáme rez HP tak, že VN = MN, PF = DF;

urobiť rez JA / JA || Slnko;

urobte rez RT / RT || AD;

A 3 a A 1 sa otáčajú v smere hodinových ručičiek vzhľadom na časť 2;

Časť 1 paralelným prenosom po priamke HF do bodu T  AR;

AMCP je požadovaný štvoruholník (so stranami CP a AM (možno špecifikovať v podmienke)).

Problém č.2(BIII): Premeňte štvoruholník na nový štvoruholník (dlhý štvoruholník).

Riešenie:

(otočte časť 1 vzhľadom na bod O, kým sa OU nezhoduje s AO);

(otočte časť (1 – 2) vzhľadom na bod T, kým sa VT nezhoduje s WT);

XAZW je požadovaný štvoruholník.

Pri problémoch s použitím Q rezov sa robia rezy a narezané kusy podliehajú rotačnej transformácii.

Úlohy pre Q rezanie

transformovať daný tvar (štvoruholník) na iný tvar (štvoruholník)

V mnohých problémoch sa prvky Q posunu používajú na transformáciu trojuholníka na nejaký štvoruholník alebo naopak (trojuholník ako „štvoruholník“, pričom jedna z jeho strán má nulovú dĺžku).

Fáza II: Fáza riešenia problémov

Problém č.3(VII): Z trojuholníka je vyrezaný malý trojuholník, ako je znázornené na obrázku. Zmeňte usporiadanie malého trojuholníka tak, aby vytvoril rovnobežník.

Otáčajte časť 1 vzhľadom na bod P, kým sa KR nezhoduje s MR.

AOO'M je požadovaný rovnobežník.

Problém č.4(BII, BIII): Ktorý z týchto trojuholníkov možno zmeniť na obdĺžniky vytvorením jedného (dvoch) rezov a preskupením výsledných častí?

1) 2) 3) 4)

5)

Riešenie:

1)

5)

1), 5) jeden rez (rez – stredná čiara trojuholníka)

2)

3)

4)

2), 3), 4) dva rezy (1. rez – stredná čiara, 2. rez – výška od vrcholu trojuholníka).

Problém č.5(VII): Prestavte lichobežník na trojuholník.

Riešenie:

sekcia KS (AK = KB)

rotácia ΔKVS okolo bodu K tak, aby boli segmenty KV a KA zarovnané.

Δ FCD požadovaný trojuholník.

Problém č.6(ВIII): Ako rozložiť lichobežník na tvary, z ktorých môžete vytvoriť obdĺžnik?

Riešenie:

1) sekcia ALEBO (AO = OB, OR┴AD)

2) rez TF (CT = TD, TF ┴AD)

otočenie časti 1 vzhľadom na bod O tak, aby AO a BO boli zarovnané.

Otočte časť 2 vzhľadom na bod T tak, aby boli DT a CT zarovnané.

PLMF – obdĺžnik.

Fáza III: Stanovenie domácich úloh.

Problém č.7(ВIII) : previesť ľubovoľný trojuholník na pravouhlý trojuholník.

komentár:

1) najprv preveďte ľubovoľný trojuholník na obdĺžnik.

2) obdĺžnik na pravouhlý trojuholník.

Riešenie:

otočiť

Problém č.8(VII): Premeňte ľubovoľný rovnobežník na trojuholník vykonaním iba jedného rezu.

Riešenie:

otočiť

Otočte časť 2 okolo bodu O o 180º (stred symetrie)

Pokyny: Zhrnutie podstaty rezania Q odporúčame

vykonávať v procese riešenia konkrétnych problémov. Hlavné matematické transformácie používané pri riešení problémov pre tento typ rezania sú: rotácia (najmä stredová symetria, paralelný posun). Úlohy 1, 2, 7 – praktické úkony s modelmi geometrických tvarov, úlohy 3, 4, 5, 6, 8 zahŕňajú prácu s obrázkami geometrických tvarov. Úlohy 3, 4, 5, 8 – pre druhý typ práce s obrázkami, úlohy 1, 2, 4, 6, 7 – pre tretí typ práce s obrázkami.

Lekcia č.4.

Téma: Rezanie typu S.

Cieľ: Vysvetlite podstatu rezania typu S v procese riešenia problémov pre tento typ rezania a zároveň podporte formovanie zručností na mentálne vykonávanie operácií (rezanie, pridávanie, prekrývanie, sústruženie, paralelný prenos, stredová symetria), čím sa podporuje rozvoj priestorového myslenia.

Vybavenie: papier, farebné pasty, nožnice, kladky kódu.

ja etapa: Orientované javisko.

metóda: vysvetľujúce a názorné.

Úloha č.1(VII): ako vyrezať rovnobežník, ktorého strany sú 3,5 cm a 5 cm, na rovnobežník so stranami 3,5 cm a 5,5 cm, pričom urobíte iba jeden „rez“?

Riešenie:

1) nakreslite segment (rez) CO = 5,5 cm, rozdeľte rovnobežník na dve časti.

2) priložíme trojuholník COM na opačnú stranu rovnobežníka AK. (t.j. paralelný prenos ∆ COM do segmentu SA v smere SA).

3) CAOO' je požadovaný rovnobežník (CO = 5,5 cm, CA = 3,5 cm).

Úloha č.1(ВIII): ukážte, ako môžete rozrezať štvorec na 3 časti, aby ste ich mohli použiť na vytvorenie obdĺžnika s jednou stranou dvakrát väčšou ako druhá.

Riešenie:

Zostrojte štvorec ABCD

nakreslíme uhlopriečku AC

Nakreslíme polovicu diagonálneho BD segmentu OD (OD ┴AC), OD = ½ AC. Z výsledných 3 častí postavte obdĺžnik (dĺžka AC, šírka AD

Pre to:

vykonajte paralelný prenos častí 1 a 2. časť 1 (∆1) v smere D A, ∆2 v smere AB na segment AB.

AOO`C je požadovaný obdĺžnik (so stranami AC, OA = ½ AC).

učiteľ: Pozreli sme sa na riešenie 2 problémov, pričom typ rezu použitý pri riešení týchto problémov sa obrazne nazýva S-rezanie.

S -rezanie je v podstate premena jedného rovnobežníka na iný rovnobežník.

Podstata tohto strihu v nasledujúcom:

urobíme rez, ktorý sa rovná dĺžke strany požadovaného rovnobežníka;

vykonávame paralelný prenos odrezanej časti, kým sa rovnaké protiľahlé strany rovnobežníka nezhodujú (t. j. priložíme odrezanú časť na opačnú stranu rovnobežníka)

V závislosti od požiadaviek úlohy bude závisieť počet rezov.

Uvažujme o nasledujúcich úlohách:

Úloha č.3(BII): rozdeľte rovnobežník na dve časti, z ktorých môžete pridať obdĺžnik.

Nakreslíme ľubovoľný rovnobežník.

Riešenie:

z bodu B znížte výšku VN (VN┴AD)

Vykonajte paralelný prenos ∆ AVN do segmentu BC v smere BC.

Nakreslite kresbu výsledného obdĺžnika.

VNRS – obdĺžnik.

Úloha č.4(BIII): Strany rovnobežníka sú 3 a 4 cm. Premeňte ho na rovnobežník so stranami 3,5 cm vykonaním dvoch rezov.

Riešenie:

1)

2)

Požadovaný rovnobežník.

Vo všeobecnosti je S-rezanie založené na metóde prekrývania pásikov, ktoré umožňujú vyriešiť problém transformácie ľubovoľných polygónov.

Vo vyššie uvedených problémoch sme kvôli ich jednoduchosti upustili od spôsobu nanášania pásikov, hoci všetky tieto riešenia je možné získať pomocou tohto spôsobu. Ale v zložitejších úlohách sa bez pruhov nezaobídete.

Stručne pásiková metóda scvrkáva sa na toto:

1) Rozrežte (ak je to potrebné) každý mnohouholník (polygón, ktorý sa transformuje, a mnohouholník, na ktorý sa musí transformovať pôvodný mnohouholník) na časti, z ktorých sa dajú poskladať dva pásy.

2) Umiestnite pásy na seba vo vhodnom uhle, pričom okraje jedného z nich sú vždy umiestnené rovnako vo vzťahu k prvkom druhého pásu.

3) V tomto prípade budú všetky čiary umiestnené v spoločnej časti 2 pásikov zobrazovať miesta potrebných rezov.

List S, používané v termíne „S-cut“, pochádza z anglického Strip - strip.

Fáza II: Fáza riešenia problémov

Na príklade úlohy 3 overme, či metóda nanášania pásikov poskytuje požadované riešenie.

Problém č.3(VII): Rozdeľte rovnobežník na dve časti, z ktorých môžete pridať obdĺžnik.

Riešenie:

1)

2)

3)

1) dostaneme prúžok z rovnobežníka

2) pruhy obdĺžnikov

3) položte prúžok 2 na prúžok 1, ako je znázornené na obrázku 3

4) získame požadovanú úlohu.

Problém č.5(BIII): V rovnoramennom trojuholníku sú vyznačené stredy bočných strán a ich projekcie na základňu. Cez označené body sú nakreslené dve rovné čiary. Ukážte, že výsledné kúsky možno použiť na vytvorenie kosoštvorca.

Riešenie:

časť 2, 3 – rotácia okolo bodu

časť 4 - paralelný prenos

V tomto probléme už bolo naznačené rezanie trojuholníkov, môžeme si overiť, že ide o S-rez.

Problém č.6(BIII): Premeňte tri grécke krížiky na štvorec (pomocou pruhov).

Riešenie:

1)

Na pás krížikov navlečieme pás štvorcov tak, aby bod A a bod C patrili okrajom pásika krížikov.

∆АВН = ∆СD B, teda štvorec pozostáva z ∆АВС a ∆АВМ.

Fáza III: Stanovenie domácich úloh

Problém č.7(BIII): Premeňte tento obdĺžnik na iný obdĺžnik, ktorého strany sú odlišné od strán pôvodného obdĺžnika.

Poznámka: Pozrite sa na riešenie problému 4.

Riešenie:

rez AO (AO – šírka požadovaného obdĺžnika);

rez DP / DP  AO (DP – dĺžka požadovaného obdĺžnika);

paralelný prenos ∆AVO v smere lietadla na segment lietadla;

paralelný prenos ∆АPD na segment AO v smere AO;

PFED požadovaný obdĺžnik.

Problém č.8(BIII): Pravidelný trojuholník je rozdelený na časti úsečkou, z týchto častí vytvorte štvorec.

Poznámka: Preložením pásikov si môžete overiť, že ide o S rez.

rotácia časti 2 okolo bodu O;

rotácia časti 3 okolo bodu C;

paralelný prenos časti 4

Doplnková úloha č.9(BII): Vyrežte rovnobežník pozdĺž priamky prechádzajúcej jeho stredom tak, aby sa výsledné dva kusy dali zložiť do kosoštvorca.

Riešenie:

O  QT

QT rez;

časť 1 paralelným prenosom na BC segment v smere BC (CD a AB sú kombinované).

Pokyny: S – rezanie – jeden z najťažších druhov rezania. Odporúčame načrtnúť podstatu tohto rezania v konkrétnych úlohách. Na hodinách riešenia úloh na S - rezanie odporúčame používať úlohy, v ktorých sú uvedené rezacie figúry a je potrebné doplniť požadovanú figúrku z výsledných častí, čo sa vysvetľuje náročnosťou študentov samostatne implementovať metódu nanášania pásikov, čo je podstatou S - rezanie. Zároveň na úlohách, ktoré sú pre žiakov prístupnejšie (napríklad na úlohách 3, 5, 8), môže učiteľ ukázať, ako spôsob nanášania pásikov umožňuje získať strihy uvedené v podmienkach úlohy. Úlohy 4, 5, 6, 8, 9 – na praktické úkony s modelmi geometrických tvarov, úlohy 1, 2, 3, 7 – na prácu s obrázkami geometrických útvarov. Úlohy 1, 3, 9 – pre druhý typ práce s obrázkami, úlohy 2, 4, 5, 6, 7, 8 – pre tretí typ práce s obrázkami.

Lekcia č.5

Téma: Rezanie typu T.

Cieľ: Vysvetlite podstatu rezania typu S v procese analýzy riešenia problémov pre tento typ rezania a zároveň podporte vytváranie zručností na mentálne vykonávanie operácií (rezanie, pridávanie, sústruženie, paralelný prenos), čím sa podporuje rozvoj priestorové myslenie.

Vybavenie: papier, farebné pasty, nožnice, farebné pasty, pozitívy kódu.

Etapa I: Orientovaná etapa

metóda: vysvetľujúce a názorné

učiteľ: Použitie T-rezania na riešenie problémov zahŕňa zostavenie mozaiky a jej následné prekrytie. Pásy používané pri S-rezaní je možné získať z mozaík. Preto metóda obkladov zovšeobecňuje pásovú metódu.

Uvažujme o podstate T-rezania na príklade riešenia problémov.

Úloha č.1(BIII): Premeňte grécky kríž na štvorec.

1) prvým krokom je premena pôvodného mnohouholníka na mozaikový prvok (a to je nevyhnutné);

2) z týchto prvkov vyrobíme mozaiku č.1 (mozaiku vyrobíme z gréckych krížikov);

5) všetky čiary umiestnené v spoločnej časti dvoch mozaík budú zobrazovať miesta potrebných rezov.

Fáza II: Fáza riešenia problémov

metóda:čiastočne - hľadať

Problém č.2(BIII): Grécky kríž je rozrezaný na tri časti, tieto časti zložte do obdĺžnika.

Poznámka: Môžeme overiť, že tento rez je rez typu T.

Riešenie:

rotácia časti 1 okolo bodu O;

otočte časť 2 okolo bodu A.

Problém č.3(BIII): Vyrežte konvexný štvoruholník pozdĺž dvoch priamych línií spájajúcich stredy protiľahlých strán. Ukážte, že z výsledných štyroch kusov je vždy možné pridať rovnobežník.

rotácia časti 2 okolo bodu O (alebo stredu symetrie) o 180;

časť 3 rotácia okolo bodu C (alebo stredu symetrie) o 180;

časť 1 – paralelný prevod.

Ukážme si mozaiku, z ktorej bol tento rez získaný.

Problém č.4(BIII): Tri identické trojuholníky boli vyrezané pozdĺž rôznych mediánov. Zložte šesť výsledných kusov do jedného trojuholníka.

Riešenie:

1) z týchto trojuholníkov vytvoríme trojuholníky ako na obrázku 1 (stredová súmernosť);

2) z troch nových trojuholníkov vytvoríme ďalší trojuholník (rovnaké strany sa zhodujú).

Ukážme si, ako boli tieto časti vyrobené pomocou mozaiky.

Problém č.5(BIII): Grécky kríž bol rozrezaný na kusy a z týchto kusov bol vyrobený pravouhlý rovnoramenný trojuholník.

Riešenie:

časť 1 stredová symetria;

časť 3 stredová symetria;

časti 3 a 4 – otočka.

Problém č.6(BIII): Rozstrihnite túto figúrku na štvorec.

Riešenie:

časť 1 rotácia okolo bodu O;

časť 3 otočka o 90 okolo bodu A.

Problém č.7(BIII): Grécky kríž vyrežte do rovnobežníka (uvedené sú rezy).

Riešenie:

časť 2 – paralelný prenos vzhľadom na časť 1;

časť 3 paralelný prenos pozdĺž línie rezu.

Fáza III: Stanovenie domácich úloh.

Problém č.8(BIII): Dva identické papierové konvexné štvoruholníky s rezmi: prvý pozdĺž jednej z uhlopriečok a druhý pozdĺž druhej uhlopriečky. Dokážte, že výsledné časti možno použiť na vytvorenie rovnobežníka.

Riešenie: zloženie zákrut.

Problém č.9(BIII): Vytvorte štvorec z dvoch rovnakých gréckych krížov.

Riešenie:

Pokyny: T - rezanie - najkomplexnejší typ rezania, tvoriace rezy typu S. Odporúčame vám vysvetliť podstatu T-rezania v procese riešenia problémov. Vzhľadom na náročnosť implementácie metódy mozaiky pre žiakov, ktorá je podstatou T-rezania, odporúčame v triede používať úlohy, v ktorých je špecifikované vystrihovanie a je potrebné získať požadovaný obrazec z výsledných častí obrazca pomocou matematické transformácie (rotácia, paralelný preklad). Zároveň na úlohách, ktoré sú pre žiakov dostupnejšie, môže učiteľ ukázať, ako získať rezné dáta metódou mozaiky. Úlohy navrhnuté v lekcii č. 5 sú pre tretí typ práce s obrázkami a zahŕňajú prácu študentov s modelmi geometrických útvarov vykonávaním rotácie a paralelného posúvania.

Pred vami je papier s obrázkom: a) trojuholníka, b) päťcípej hviezdy, c) mnohouholníka v tvare plávajúcej labute. V každom prípade navrhnúť, ako poskladať papier tak, aby sa potom zodpovedajúci tvar dal vystrihnúť jedným súvislým rovným strihom nožnicami.

Nápoveda

Vo všetkých prípadoch riešenie takmer úplne pozostáva z krokov dvoch typov: musíte pridať buď pozdĺž osy niektoré z uhlov spojených s obrázkom (aby sa „zmenšil“ počet segmentov, ktoré nezostávajú na tej istej čiare) , alebo pozdĺž kolmice na jeden zo segmentov (aby sa jeho dĺžka „prispôsobila » požadovanej dĺžke).

Riešenie

Obrázky nižšie znázorňujú, ako poskladať tvary z úlohy, aby ste potom každý z nich vystrihli jedným rezom.

S trojuholníkom je všetko viac-menej jasné: pridávame pozdĺž jednej osi, potom pozdĺž druhej (obr. 1).

S hviezdou sa tiež celkom ľahko zaobchádza. Najprv ju musíte zložiť na polovicu pozdĺž osi symetrie (úplne prirodzená akcia - pretože postavu môžete „rozpoliť“ jedným ťahom). Potom - skombinujte dva lúče hviezdy navzájom a pridajte pozdĺž osy jej „vonkajšieho“ uhla. Potom zostanú z obrysu len tri segmenty, ktoré sa dajú ľahko kombinovať (obr. 2).

Najťažšia vec je labuť. Je to pochopiteľné: postava bez symetrií, s veľkým počtom strán; preto bude potrebný veľký počet záhybov. Schéma skladania je znázornená na obr. 3. Jednoduché bodkované čiary predstavujú záhyby smerom nadol, bodkované čiary predstavujú záhyby smerom nahor. Najprv musíte tieto záhyby označiť samostatne, aby plachta mala tvar strechy domu, a až potom plachtu zložte do plochého tvaru.

Séria fotografií ukazuje celý proces skladania:

O tom, odkiaľ pochádza taký dômyselný systém záhybov, si prečítajte v doslove.

Doslov

Všetky možnosti navrhované v podmienke sú len špeciálnymi prípadmi všeobecnej otázky, ktorá znie takto:

Vzhľadom na mnohouholník na rovnom hárku papiera, je možné tento hárok zložiť tak, aby sa dal mnohouholník vystrihnúť jedným rovným rezom?

Ukazuje sa, že bez ohľadu na tvar mnohouholníka je odpoveď na túto otázku vždy kladná: áno, môžete. (Samozrejme, teraz diskutujeme o tomto probléme z hľadiska matematiky a nedotýkame sa „fyzickej“ stránky veci: nie je možné zložiť list papiera príliš veľakrát. Verí sa, že je nie je možné zložiť ani veľmi tenký papier viac ako 7-8 krát. Je to takmer tak: s trochou úsilia môžete urobiť 12 ohybov, ale je nepravdepodobné, že by ste dokázali viac.)

Navyše, ak je nakreslených niekoľko mnohouholníkov, potom je možné list stále zložiť tak, aby sa dali všetky vystrihnúť jedným rezom (a nič navyše sa nevystrihne). Ide o to, že platí nasledovné veta:

Nech si na papier nakreslíme ľubovoľný graf. Potom sa dá tento list zložiť tak, aby sa tento graf dal vyrezať jedným rezom a nič zbytočné sa nevystrihlo.

Táto veta má algoritmický dôkaz. To znamená, že jeho dôkaz dáva jasný recept na to, ako vytvoriť požadovaný systém záhybov.

Stručne povedané, podstatou je toto. Najprv musíme postaviť rovnú kostru. Ide o množinu čiar – trajektórií vrcholov pôvodného mnohouholníka – po ktorých sa pohybujú pri jeho špeciálnej kompresii. Kompresia funguje takto: strany mnohouholníka posúvame „vnútri“ konštantnou rýchlosťou, takže každá strana sa pohybuje bez zmeny smeru. Ako môžete ľahko vidieť, najprv sa vrcholy budú plaziť pozdĺž osí rohov polygónu. To znamená, že táto podivná konštrukcia na prvý pohľad jednoducho zovšeobecňuje myšlienku navrhovanú v náznaku: že by ste sa mali pokúsiť pridať pozdĺž osi rohov mnohouholníka. Všimnite si, že počas procesu kompresie sa polygón môže „rozpadnúť“ na kúsky, ako sa to stalo na obr. 5.

Po získaní kostry je potrebné z každého z jej vrcholov nakresliť lúče kolmé na tie strany pôvodného obrázku, na ktoré ich možno nakresliť. Ak sa lúč stretne s čiarou z kostry, potom by po prekročení mal pokračovať nie rovno, ale pozdĺž jej zrkadlového obrazu vzhľadom na túto čiaru. Systém skladania pozostáva z nakreslených čiar.

Viac informácií o tom a o tom, ako určiť smer preloženia („hore“ alebo „dole“), nájdete v článku E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Folding and Cutting Paper. Stručnú históriu a iný prístup k riešeniu problému nájdete na stránke Erica Demaina, jedného z autorov dôkazu vety. O tejto vete si môžete prečítať aj trochu populárnejší príbeh (bohužiaľ aj v angličtine). A nakoniec vám odporúčam, aby ste si pozreli karikatúru „Matematické etudy“, v ktorej môžete jasne vidieť, ako zložiť trojuholník a hviezdu a potom ich vystrihnúť jedným rezom.

Na záver poznamenávam, že otázky podobné tým, o ktorých sme hovorili vyššie, boli nastolené už pomerne dlho. Napríklad v japonskej knihe z roku 1721 boli ako jeden z problémov čitatelia požiadaní, aby pomocou jedného rezu vyrezali postavu z troch spojených kosoštvorcov (obr. 6). Neskôr slávny iluzionista Harry Houdini vo svojej knihe vysvetlil spôsob vystrihnutia hviezdy. Mimochodom, podľa legendy, práve preto, že takáto hviezda sa dá rýchlo vystrihnúť z papiera alebo látky, teraz vidíme na vlajke USA päťcípe hviezdy: krajčírka Betsy Ross, ktorá podľa legendy ušila prvú vlajku, dokázal presvedčiť Georgea Washingtona, že sa na vlajku používajú lepšie ako šesťcípe, ktoré chcel Washington pôvodne použiť.