Exponenciálna závislosť v prírodných procesoch. Exponenciálny rast Vývoj exponenciálneho

Ako bolo zdôraznené v predchádzajúcej časti, každá populácia je v princípe schopná exponenciálne zväčšovať svoju veľkosť, a preto sa exponenciálny model používa na odhad rastového potenciálu populácií. V niektorých prípadoch sa však exponenciálny model ukazuje ako vhodný na popis skutočne pozorovaných procesov. Je zrejmé, že je to možné, keď dostatočne dlhú dobu (vzhľadom na trvanie generácie) nič neobmedzuje rast populácie a teda ukazovateľ jej špecifickej miery ( r) udržiava konštantnú kladnú hodnotu.

Napríklad v roku 1937 boli na malý ostrov Protekshi (pri severozápadnom pobreží USA neďaleko štátu Washington) privezených 2 samce a 6 bažantov. (Phasanius colchicus torqualus), predtým sa na ostrove nevyskytovali. V tom istom roku sa začali množiť bažanty a o 6 rokov neskôr populácia, ktorá začínala s 8 vtákmi, už čítala 1898 jedincov. Ako vyplýva z obr. 28 A, prinajmenšom prvé 3-4 roky bol nárast počtu bažantov dobre opísaný exponenciálnym vzťahom (priamka na logaritmickej ordinátnej stupnici). Žiaľ, neskôr, v dôsledku vypuknutia nepriateľstva, boli na ostrove umiestnené jednotky, ročné sčítanie sa zastavilo a samotná populácia bažantov bola z veľkej časti vyhubená.

Ďalším známym prípadom exponenciálneho rastu populácie je zvýšenie veľkosti populácie holubice krúžkovej (Streptopelia decaocto) na Britských ostrovoch koncom 50. a začiatkom 60. rokov 20. storočia. (obr. 28, b). Tento rast sa zastavil až po 8 rokoch, po osídlení všetkých vhodných biotopov.

V zozname príkladov exponenciálneho rastu populácie možno pokračovať. Najmä niekoľkonásobný exponenciálny (alebo aspoň takmer exponenciálny) nárast počtu sobov (Rangifer tarandus) pozorované počas jeho zavádzania na rôzne ostrovy. Tak sa z 25 jedincov (4 samcov a 21 samíc), privezených v roku 1911 na ostrov St. Paul (časť súostrovia Pribilofské ostrovy v Beringovom mori), objavila populácia, ktorej veľkosť v roku 1938 bola 100%. dosiahol 2 000 jedincov, ale potom nasledoval prudký pokles a do roku 1950 zostalo na ostrove iba 8 jeleňov. Podobný obraz bol pozorovaný na Ostrove svätého Matúša (tiež sa nachádza v Beringovom mori): 29 jedincov (5 samcov a 24 samíc) introdukovaných na ostrov v roku 1944 viedlo k vzniku populácie 1350 jedincov v roku 1957 a v roku 1963. asi 6 tisíc jedincov (rozloha tohto ostrova je 332 km 2, čo je približne trojnásobok rozlohy ostrova St. Paul). V ďalších rokoch však došlo ku katastrofálnemu poklesu početnosti jelenej zveri, do roku 1966 ich zostalo len 42. V oboch uvedených prípadoch bol dôvodom prudkého poklesu početnosti nedostatok potravy v zime, spočívajúci takmer výlučne lišajníkov.

V laboratóriu je možné vytvárať podmienky pre exponenciálny rast, ak sú pestované organizmy zásobované prebytkom zdrojov, ktoré zvyčajne obmedzujú ich vývoj, a tiež udržiavaním hodnoty všetkých fyzikálno-chemických parametrov prostredia v tolerančných hraniciach daného druhov. Na udržanie exponenciálneho rastu je často potrebné odstraňovať produkty metabolizmu organizmov (napr. pomocou prietokových systémov pri pestovaní rôznych vodných živočíchov a rastlín) alebo izolovať vznikajúce jedince od seba, aby sa predišlo zhlukovaniu (to je dôležité napr. napríklad pri pestovaní mnohých hlodavcov a iných zvierat s pomerne zložitým správaním). V praxi nie je ťažké experimentálne získať exponenciálnu rastovú krivku len pre veľmi malé organizmy (kvasinky, prvoky, jednobunkové riasy a pod.). Veľké organizmy sa z čisto technických dôvodov ťažko pestujú vo veľkých množstvách. Navyše si to vyžaduje veľa času.

Situácie, v ktorých vznikajú podmienky pre exponenciálny rast, sú možné aj v prírode, a to nielen pre ostrovné populácie. Napríklad v jazerách miernych zemepisných šírok na jar, po roztopení ľadu, povrchové vrstvy obsahujú veľké množstvo biogénnych prvkov (fosfor, dusík, kremík), ktoré sú zvyčajne deficitné pre planktónové riasy, a preto nie je prekvapujúce, že okamžite po oteplení vody rýchly (takmer exponenciálny) nárast počtu rozsievok alebo zelených rias. Zastaví sa až vtedy, keď sa všetky deficitné prvky naviažu v bunkách rias alebo keď sa produkcia populácií vyrovná ich konzumáciou rôznymi fytofágmi.

Hoci existujú aj iné príklady skutočne pozorovaného exponenciálneho nárastu počtu, nemožno povedať, že by boli veľmi početné. Je zrejmé, že ak sa populácia zvyšuje podľa exponenciálneho zákona, dochádza k tomu len na veľmi krátky čas, po ktorom nasleduje pokles alebo dosiahnutie plató (= stacionárna úroveň). V zásade je možných niekoľko možností na zastavenie exponenciálneho rastu populácie. Prvou možnosťou je striedanie období exponenciálneho rastu čísel s obdobiami prudkého (katastrofického) poklesu až po veľmi nízke hodnoty. Takáto regulácia (a pod populačnou reguláciou budeme rozumieť pôsobenie akýchkoľvek mechanizmov, ktoré vedú k obmedzeniu rastu populácie) je najpravdepodobnejšia u organizmov s krátkym životným cyklom, ktoré žijú na miestach s výrazným kolísaním hlavných limitujúcich faktorov, napríklad u hmyzu. žijúci vo vysokých zemepisných šírkach. Je tiež zrejmé, že takéto organizmy musia mať kľudové štádiá, ktoré im umožňujú prežiť nepriaznivé ročné obdobia. Druhou možnosťou je náhle zastaviť exponenciálny rast a udržať populáciu na konštantnej (=stacionárnej) úrovni, okolo ktorej sú možné rôzne výkyvy. Treťou možnosťou je plynulý výjazd na náhornú plošinu. Výsledný tvar S krivky naznačuje, že s rastúcou veľkosťou populácie nezostáva rýchlosť jej rastu konštantná, ale klesá. Rast populácií v tvare písmena S sa pozoruje veľmi často tak v laboratórnych experimentoch, ako aj pri zavádzaní druhov do nových biotopov.

Jedným z veľkých mýtov, na ktorých bola založená ekonómia konca dvadsiateho storočia, bol mýtus o exponenciálnom raste. Predpokladalo sa, že technológie sa budú meniť ešte rýchlejšie, takže aj ekonomika bude rásť exponenciálne, vďaka čomu budeme všetci bohatší ako naši rodičia a nepomerne bohatší ako naši pradedovia. Zdá sa však, že od roku 2000 sa veci pokazili, aspoň ekonomicky. Problém je čiastočne spôsobený únikom kapitálu na rozvíjajúce sa trhy, ktorý umožňuje internet a moderná komunikácia. Avšak aj za touto nepohodlnou realitou sa skrýva skutočne znepokojujúca myšlienka, že technologický pokrok, a teda možnosť zlepšenia životnej úrovne, nemusí vôbec generovať žiadny exponenciálny rast.

Vo vízii niekoľkých nadšencov sa viera v exponenciálny technologický pokrok pretavila do singularity, ktorá sa buď už deje, alebo nás predbehne. Očakáva sa, že to povedie k ďalšiemu zrýchleniu pokroku, ktorý bude taký silný, že budúcnosť ľudských dejín bude veľmi odlišná od minulosti.

Ale skôr, než privítame vznik singularity, treba poznamenať, že podľa zástancov tejto teórie to bude spôsobené tým, že sa objavia stroje inteligentnejšie ako ľudia, ktoré následne získajú prevahu, vytvoria ešte inteligentnejších robotov a odídu ľudskosť pozadu. Jedinečnosť teda nebude predstavovať takmer nekonečné zlepšenie kvality života ľudstva, pretože takéto superinteligentné stroje sa pravdepodobne nebudú zvlášť zaujímať o životnú úroveň ľudí – alebo nás dokonca nebudú chcieť použiť ako testovacie subjekty alebo domáce zvieratá. (Ak to bude druhé, budem nepochybne v popredí kandidátov na elimináciu - je nepravdepodobné, že by som mal vlastnosti domáceho maznáčika, ktoré naša mačka Eudoxia pravidelne prejavuje).

Logickým myslením môžeme identifikovať tri singularity, ktoré sa už v dejinách ľudstva udiali: vznik reči, prechod od kočovného života k sedavému poľnohospodárstvu a následne priemyselná revolúcia. Každý z týchto javov desaťnásobne zrýchlil vývoj ľudstva, takže zmeny, ktoré trvali milióny rokov len pod vplyvom evolúcie, začali nastávať po nástupe reči v státisícoch rokov, s vynálezom poľnohospodárstva – v desiatkach tisíc rokov a len o dve alebo tri storočia – po priemyselnej revolúcii. Každá z týchto zmien úplne zmenila život; pohybovala sa tiež rýchlejším tempom a od priemyselnej revolúcie došlo za jediný krátky ľudský život k obrovskému technologickému pokroku.

Stojí za to sa bližšie pozrieť na jedinečnosť priemyselnej revolúcie. Vydržal asi 200 rokov a žiadna z jeho raných inovácií nepriniesla výrazné životné zmeny. Auto nováčikovia na čerpanie vody v baniach, vynájdený v roku 1712, neviedol priamo k veľkým zmenám a nenasledoval ho žiadny oveľa pokročilejší motor, ako napr. James Watt, až do roku 1769 (a motory Watt sa začali široko používať až v 90. rokoch 18. storočia). Technologickú revolúciu však sprevádzala rovnako dôležitá revolúcia v ľudskom myslení, ktorá sa začala okolo založenia Kráľovskej spoločnosti v roku 1662 a pokračovala „ Bohatstvo národov» Adam Smith(v roku 1776) až do začiatku 19. storočia.

Aj keď teda občan z roku 1785 v porovnaní so svojím predkom z roku 1660 nijako zvlášť neužíval technologický pokrok, kým o storočie skôr sa alchymisti vysmievali na obraze slávneho Joseph Wright teraz slúži ako kryt pre " Straty alchymistov" Prvé obrovské technické plody priemyselnej revolúcie prišli neskôr – textilná výroba sa rozbehla až v 90. rokoch 18. storočia a železničná sieť sa objavila až po roku 1830 – ale mentálne zmeny, ktoré tvorili jedinečnosť, nastali už okolo roku 1785.

V tomto zmysle nám zatiaľ žiadna singularita nehrozí. Internet, ktorý radikálne zmenil svetovú komunikáciu a náš spôsob života, nie je o nič revolučnejším posunom ako elektrické svetlo, telefón alebo automobil. Život v roku 2010 je v skutočnosti iný ako život v roku 1995. Dnes dokážeme organizovať globálnu výrobnú alebo servisnú spoločnosť oveľa efektívnejšie ako v roku 1995. Mladí ľudia trávia väčšinu svojho nespánkového života surfovaním po internete alebo rozprávaním cez mobil, čo pred rokom 1995 nemohli.

Tak tomu však bolo aj 15-20 rokov po objavení sa predchádzajúcich osudových technológií. V roku 1845, po vynájdení železníc, sa už cestovanie líšilo od modelov z roku 1830. V roku 1905, po vynájdení elektriny, boli mestské vzorce večernej práce a zábavy veľmi odlišné od modelov z roku 1890. Rovnako aj život na vidieku v Amerike v roku 1925 s príchodom Tin Lizzie (Ford Model T) bol úplne iný ako v roku 1910.

Každý z týchto vynálezov teda radikálne zmenil niektoré aspekty spôsobu života, no zároveň stále neurýchlil proces vynálezov a pokroku, ako napríklad priemyselná revolúcia. Po rozšírení vynálezov sa život zmenil, ale tempo technologického pokroku bolo veľmi mierne. Internet je podobný tomuto typu inovácie: výrazne zmenil naše životy, ale nezrýchlil zmeny tak ako priemyselná revolúcia a neexistujú na to žiadne predpoklady. Niekto by mohol právom namietať, že generáciou, ktorá bola svedkom väčšiny revolučných zmien, bola generácia mojej pratety Beatrice, ktorá sa narodila v roku 1889 a zomrela v roku 1973. V detstve sa využívalo plynové osvetlenie, ťažné kone a v starobe zo všetkých síl lietala na lietadlách a navštevovala Mesiac.

Pri pohľade do budúcnosti existujú tri pravdepodobné technologické pokroky, ktoré by mohli potenciálne urýchliť tempo zmien, aj keď nespôsobia jedinečnosť. Sú to: vytvorenie stroja inteligentnejšieho ako človek, objav metód na manipuláciu s génmi, ktoré môžu zvýšiť ľudské kognitívne schopnosti, ako aj objavy technického, medicínskeho alebo genetického charakteru, ktoré môžu viesť k výraznému zvýšeniu priemernej dĺžky ľudského života. .

Možnosť super-robota bola považovaná za najpopulárnejší dôvod údajnej singularity, no pri bližšom skúmaní sa ukazuje, že je nepravdepodobné, že by k nej viedla. Teoretici singularity radi citujú Moorov zákon, navrhovanú teóriu Gordon Moore v roku 1965, podľa ktorého sa rýchlosť počítačového spracovania zdvojnásobuje každé dva roky. V skutočnosti sa však vážne blížime k hranici tohto postupu; limitujúcimi faktormi sú rýchlosť svetla, energia potrebná na prevádzku mikroprocesorov (ktoré produkujú teplo), vlnová dĺžka elektromagnetického žiarenia a veľkosť atómových štruktúr.

O pár generácií sa podľa Moorovho zákona priblížime k dočasnej bariére, ktorá výrazne skomplikuje pokrok, a o 5-6 generácií podľa toho istého zákona k trvalej bariére, za ktorou sa v súčasnosti dá technológie, pokrok nebude možný. Je potrebné uznať, že ďalší pokrok v oblasti počítačovej inteligencie sa realizuje prostredníctvom vylepšeného programovania a architektúry s masívnym paralelizmom, no realita je taká, že po pokroku v rokoch 2015-2020 v tejto oblasti dôjde k výraznému spomaleniu, nie zrýchleniu. Tak ako poslednou skutočne revolučnou zmenou v automobilovom dizajne bol vynález automatickej prevodovky v roku 1939, je jasné, že nekonečné pokroky v mechanickom dizajne postupne dosiahnu prirodzenú hranicu.

Genetické inžinierstvo na zlepšenie ľudských mentálnych schopností nepochybne zmení náš svet, ale pravdepodobne sa tak veľmi skoro nestane, pretože proti takýmto zmenám bude ostro odporovať väčšina západných náboženských skupín a vlád. Dokonca aj jednoduché klonovanie, ktoré je jednoduchou reprodukciou existujúceho jedinca, za desať rokov veľmi nepokročilo a v budúcnosti sa môže oneskoriť o jednu generáciu. Dokonca aj so súhlasom vlády, s bezpečnostnými testami požadovanými pred začatím experimentov na zlepšenie mozgu, existuje možnosť, že prvé takéto testy jednoducho povedú k zvýšeniu kapacity mozgu na existujúcu úroveň, a nie k jej zvýšeniu. Navyše, vzhľadom na biologickú potrebu týchto detí dospieť pred 15. rokom života, získať vyššie vzdelanie v priebehu nasledujúcich 5-10 rokov, sa výsledok týchto zmien dostaví až o 50 rokov v budúcnosti. V tomto zmysle by superrobot, aj keby bol skutočný, mohol byť vytvorený rýchlejšie, pretože by bol okamžite dospelý! Vzhľadom na skutočnosť, že prvé príklady Enhanced Man budú tvoriť nepatrný zlomok ľudskej/novej ľudskej rasy, je jasné, že žiadne makro zrýchlenie odtiaľto nemožno očakávať až do budúceho storočia.

Tretia potenciálna technológia, predĺženie životnosti, je zaujímavejšia. Technicky akýkoľvek významný efekt (okrem medicínskych pokrokov zvyšujúcich percento ľudí žijúcich vo veku 90 – 100 rokov) by si pravdepodobne vyžadoval podobné zručnosti, aby sa dosiahol život s vyššou inteligenciou. Táto oblasť však bude čeliť oveľa menšiemu odporu luddistov zo strany politikov a náboženských vodcov, keďže výhody dlhšieho života sú zrejmé a teoreticky univerzálne. Na druhej strane, zvyšovanie strednej dĺžky života tých, ktorí už žijú, bude oveľa ťažšie ako vytváranie nových dlhovekých ľudí a s najväčšou pravdepodobnosťou sa tak stane neskôr.

Ukazuje sa, že do roku 2050 pravdepodobne budeme môcť mať deti, ktoré sa dožijú 150 – 200 rokov (teda dlhšie, ako bude trvať prekonanie limitujúcich faktorov, o ktorých zatiaľ nevieme, pretože neovplyvňujú ne- storočných). Po určitom čase po tomto sa naučíme aspoň čiastočne zvýšiť dĺžku života existujúcich ľudí. Vzhľadom na potenciálny masový dopyt po takýchto technológiách by sa mali rýchlo rozšíriť medzi väčšinu ľudí, pretože hromadná výroba zníži ich náklady na prijateľnú úroveň.

Zvýšenie životného cyklu však výrazne zlepší život človeka, ale nezrýchli pokrok. Storoční ľudia začnú pracovať až v 25-ke, pretože dostanú komplexnejšie vzdelanie ako my. Keď sa vrátia do práce, budú menej ochotní riskovať a budú trpezlivejší ako my, pretože meškania zaberú menej zvyšku ich života. Na druhej strane, aj bez ďalšej akcelerácie, budú potrebovať opakované vzdelávanie každých 20-25 rokov, aby ich pracovné zručnosti beznádejne nezastarali. Keďže náklady pre nich v podmienkach rýchlych zmien budú väčšie ako pre nás a prínosy budú menšie, oni sami budú chcieť pokrok spomaliť. Len v kombinácii s vyššou úrovňou inteligencie budú schopní prijať krkolomné porevolučné tempo zmien.

Momentálne som zvažoval možné urýchlenie pozitívnych zmien. Existuje však možnosť katastrofálne negatívnych zmien, ktoré by mohli vrátiť civilizáciu, životnú úroveň a vedomosti na primitívnejšiu úroveň. Jedným z možných zdrojov je svetová vojna, možno iná ako pred 50 rokmi. Ďalším faktorom môže byť ekologická katastrofa. Nič dobré sa tu neočakáva. Súčasný neúprosný populačný rast, ktorý sa má spomaliť, no do roku 2050 sa nezastaví, ešte zhoršia objavy, ktoré predĺžili strednú dĺžku života na 200 rokov, a to tak v dôsledku zníženia počtu úmrtí, ako aj zvýšenia pôrodnosti v dôsledku skutočnosť, že schopnosť rozmnožovania sa zachová 100 rokov. Či je globálne otepľovanie vážnym problémom vo svete so 7 až 10 miliardami ľudí, je otázkou, ale určite sa stane vážnym problémom vo svete s počtom 20 miliárd (a vyčerpávanie zdrojov bude preto reálnejším nebezpečenstvom). Hlavnou prioritou by preto mali byť opatrenia na spomalenie rastu populácie, alebo ešte lepšie, návrat k poklesu. Koniec koncov, pred poslednou singularitou bola svetová populácia len 1 miliarda; týmto tempom by naše environmentálne problémy a problémy so zdrojmi zmizli.

Odhliadnuc od možnosti kolapsu, dva alebo tri pravdepodobné technologické pokroky v priebehu nasledujúcich 50 rokov – dosiahnutie hranice Moorovho zákona a zvýšenie priemernej dĺžky života – pravdepodobne tempo zmien skôr spomalia ako urýchlia. Iba tretia možnosť – geneticky vylepšená inteligencia – má potenciál urýchliť pokrok, ale systémový odpor voči tejto technológii ho pravdepodobne odloží na veľmi dlhý čas. Krivka ľudského vývoja v 21. storočí tak bude skôr asymptotická [ohraničená] ako exponenciálna.

Výraz „exponenciálny rast“ vstúpil do nášho slovníka a znamená rýchly, zvyčajne nekontrolovateľný nárast. Často sa používa napríklad na označenie rýchleho rastu miest alebo nárastu počtu obyvateľov. V matematike má však tento výraz presný význam a označuje určitý typ rastu.

Exponenciálny rast nastáva v tých populáciách, v ktorých je prírastok populácie (počet narodených mínus počet úmrtí) úmerný počtu jedincov v populácii. Napríklad pre ľudskú populáciu je pôrodnosť približne úmerná počtu reprodukčných párov a úmrtnosť približne úmerná počtu ľudí v populácii (označujeme ju N). Potom, na rozumnú aproximáciu,

prírastok obyvateľstva = počet narodených - počet úmrtí

(Tu r- tzv faktor proporcionality, čo nám umožňuje napísať výraz proporcionality ako rovnicu.)

Nech d N— počet jedincov pridaných do populácie v priebehu času d t, tak ak v populácii celkom N jednotlivcov, potom budú podmienky pre exponenciálny rast splnené, ak

d N = rN d t

Keďže Isaac Newton vynašiel diferenciálny počet v 17. storočí, vieme, ako vyriešiť túto rovnicu pre N— veľkosť populácie v akomkoľvek danom čase. (Pre informáciu: táto rovnica sa nazýva diferenciál.) Tu je jeho riešenie:

N=N0 e rt

Kde N 0 je počet jedincov v populácii na začiatku odpočítavania a t- čas, ktorý uplynul od tohto okamihu. Symbol e označuje také špeciálne číslo, nazýva sa to základ prirodzeného logaritmu(a je približne rovný 2,7) a nazýva sa celá pravá strana rovnice exponenciálna funkcia.

Aby ste lepšie pochopili, čo je exponenciálny rast, predstavte si populáciu pozostávajúcu spočiatku z jednej baktérie. Po určitom čase (niekoľko hodín alebo minút) sa baktéria rozdelí na dve časti, čím sa zdvojnásobí veľkosť populácie. Po ďalšom časovom období sa každá z týchto dvoch baktérií opäť rozdelí na dve časti a veľkosť populácie sa opäť zdvojnásobí – teraz budú štyri baktérie. Po desiatich takýchto zdvojeniach bude viac ako tisíc baktérií, po dvadsiatich - viac ako milión atď. Ak sa populácia každým delením zdvojnásobí, jej rast bude pokračovať donekonečna.

Existuje legenda (s najväčšou pravdepodobnosťou nie je pravdivá), že muž, ktorý vynašiel šach, dal svojmu sultánovi také potešenie, že mu sľúbil splniť všetky jeho požiadavky. Muž požiadal sultána, aby položil jedno zrnko pšenice na prvé pole šachovnice, dve na druhé, štyri na tretie atď. Sultán považoval túto požiadavku za bezvýznamnú v porovnaní so službou, ktorú poskytol, požiadal svojho poddaného, aby predložil ďalšiu žiadosť, ale odmietol. Prirodzene, do 64. zdvojnásobenia sa počet zŕn stal takým, že na celom svete by nebolo dosť pšenice na uspokojenie tejto požiadavky. Vo verzii legendy, ktorá je mi známa, sultán v tej chvíli nariadil odrezať hlavu vynálezcu. Morálka, ako hovorím svojim študentom, je: niekedy by ste nemali byť príliš múdri!

Šachovnicový príklad (rovnako ako imaginárne baktérie) nám ukazuje, že žiadna populácia nemôže rásť večne. Skôr či neskôr jej jednoducho dôjdu zdroje – priestor, energia, voda, čokoľvek. Populácie preto môžu exponenciálne rásť len chvíľu a skôr či neskôr sa ich rast musí spomaliť. Aby ste to dosiahli, musíte zmeniť rovnicu tak, že keď sa veľkosť populácie priblíži k možnému maximu (čo môže byť podporené vonkajším prostredím), tempo rastu sa spomalí. Nazvime to maximálna veľkosť populácie K. Potom bude upravená rovnica vyzerať takto:

d N = rN(1 — (N/K)) d t

Kedy N oveľa menej K, člen N/K môžeme zanedbať a vrátime sa k pôvodnej rovnici obyčajného exponenciálneho rastu. Avšak, kedy N sa blíži k maximálnej hodnote K, hodnota 1 - ( N/K) má tendenciu k nule, a teda aj rast populácie má tendenciu k nule. Celková veľkosť populácie sa v tomto prípade stabilizuje a zostáva na úrovni K. Krivka opísaná touto rovnicou, ako aj samotná rovnica, majú niekoľko mien - S-krivka, logistická rovnica, Volterrova rovnica, Lotka-Volterra rovnica. (Vito Volt e RRA, 1860-1940 - vynikajúci taliansky matematik a učiteľ; Alfred Lotka, 1880-1949 – americký matematik a poistný analytik.) Nech už sa to volá akokoľvek, je to pomerne jednoduché vyjadrenie veľkosti populácie, ktorá prudko exponenciálne rastie a potom sa spomaľuje, keď sa blíži k určitej hranici. A odráža rast reálnych populácií oveľa lepšie ako bežná exponenciálna funkcia.

Ľudia nie sú veľmi dobrými prediktormi budúcnosti. Počas väčšiny histórie boli naše skúsenosti „miestne a lineárne“: používali sme rovnaké nástroje, jedli rovnaké jedlá, žili na určitom mieste. V dôsledku toho sú naše prediktívne schopnosti založené na intuícii a minulých skúsenostiach. Je to ako rebrík: po niekoľkých krokoch nahor pochopíme, aká bude zostávajúca cesta po tomto rebríku. Keď žijeme svoj život, očakávame, že každý nový deň bude podobný tomu predchádzajúcemu. Teraz sa však všetko mení.

Slávny americký vynálezca a futurista Raymond Kurzweil vo svojej knihe „Singularita je blízko“ píše, že skok v technologickom vývoji, ktorý sme videli v posledných desaťročiach, spôsobil zrýchlenie pokroku v mnohých rôznych oblastiach. To viedlo k neočakávaným technologickým a spoločenským zmenám nielen medzi generáciami, ale aj v rámci nich. Teraz intuitívny prístup k predpovedaniu budúcnosti nefunguje. Budúcnosť sa už neodvíja lineárne, ale exponenciálne: je čoraz ťažšie predpovedať, čo sa stane ďalej a kedy sa to stane. Tempo technologického pokroku nás neustále prekvapuje a aby sme s ním mohli držať krok a naučiť sa predpovedať budúcnosť, musíme sa najskôr naučiť myslieť exponenciálne.

Čo je to exponenciálny rast?

Na rozdiel od lineárneho rastu, ktorý je výsledkom opakovaného pridávania konštanty, je exponenciálny rast výsledkom opakovaného násobenia. Ak je lineárny rast priamka stabilná v čase, potom je priamka exponenciálneho rastu podobná vzletu. Čím väčšia je hodnota, tým rýchlejšie ďalej rastie.

Predstavte si, že idete po ceste a každý váš krok je meter dlhý. Urobíte šesť krokov a teraz ste sa posunuli o šesť metrov. Keď urobíte ďalších 24 krokov, budete 30 metrov od miesta, kde ste začali. Toto je lineárny rast.

Teraz si predstavte (hoci vaše telo to nedokáže, predstavte si), že zakaždým, keď sa dĺžka vášho kroku zdvojnásobí. To znamená, že najprv prekročíte jeden meter, potom dva, potom štyri, potom osem a tak ďalej. V šiestich takýchto krokoch prejdete 32 metrov – to je oveľa viac ako pri šiestich krokoch po jednom metre. Je ťažké uveriť, ale ak budete pokračovať rovnakým tempom, po tridsiatom kroku sa ocitnete miliardu metrov od miesta štartu. To je 26 ciest okolo Zeme. A toto je exponenciálny rast.

Je zaujímavé, že každý nový krok s takýmto rastom je súčtom všetkých predchádzajúcich. To znamená, že po 29 krokoch ste prešli 500 miliónov metrov a rovnaké množstvo prejdete v jednom ďalšom, tridsiatom kroku. To znamená, že ktorýkoľvek z vašich predchádzajúcich krokov je neporovnateľne malý v porovnaní s niekoľkými nasledujúcimi krokmi explozívneho rastu a väčšina z nich sa deje v relatívne krátkom časovom období. Ak si tento rast predstavíte ako pohyb z bodu A do bodu B, najväčší pokrok v pohybe sa dosiahne v poslednej fáze.

Často nám unikajú exponenciálne trendy v počiatočných fázach, pretože počiatočná rýchlosť exponenciálneho rastu je pomalá a postupná a je ťažké ju odlíšiť od lineárneho rastu. Okrem toho sa často predpovede založené na predpoklade, že nejaký jav sa bude vyvíjať exponenciálne, môžu zdať neuveriteľné a my ich odmietame.

„Keď sa v roku 1990 začalo skenovanie ľudského genómu, kritici poznamenali, že vzhľadom na rýchlosť, akou proces spočiatku prebiehal, by skenovanie genómu trvalo tisíce rokov. Projekt bol však ukončený už v roku 2003,“- Raymond Kurzweil uvádza príklad.

V poslednej dobe je vývoj technológií exponenciálny: s každým desaťročím, s každým rokom dokážeme neporovnateľne viac ako doteraz.

Môže sa niekedy exponenciálny rast skončiť?

V praxi exponenciálne trendy netrvajú večne. Niektoré však môžu pokračovať dlhý čas, ak sú vhodné podmienky na výbušný vývoj.

Exponenciálny trend zvyčajne pozostáva zo série po sebe nasledujúcich technologických životných cyklov v tvare písmena S alebo kriviek v tvare písmena S. Každá krivka vyzerá ako písmeno „S“ kvôli trom štádiám rastu, ktoré zobrazuje: počiatočný pomalý rast, explozívny rast a vyrovnávanie, keď technológia dozrieva. Tieto S-krivky sa pretínajú a keď sa jedna technológia spomalí, začne stúpať nová. S každým novým vývojom v tvare S sa čas potrebný na dosiahnutie vyššej úrovne výkonu skracuje.

Napríklad pri diskusii o vývoji technológie v minulom storočí Kurzweil uvádza päť výpočtových paradigiem: elektromechanické, relé, vákuové elektrónky, diskrétne tranzistory a integrované obvody. Keď jedna technológia vyčerpala svoj potenciál, ďalšia začala napredovať, a to rýchlejšie ako jej predchodcovia.

Plánovanie exponenciálnej budúcnosti

V podmienkach exponenciálneho vývoja je veľmi ťažké predpovedať, čo nás v budúcnosti čaká. Zostaviť graf na základe geometrickej progresie je jedna vec, ale odhadnúť, ako sa život zmení o desať až dvadsať rokov, je niečo celkom iné. Ale treba sa riadiť jednoduchým pravidlom: očakávajte, že vás život veľmi prekvapí, a naplánujte si prekvapenia, ktoré očakávate. Inými slovami, môžete predpokladať tie najneuveriteľnejšie výsledky a pripraviť sa na ne, ako keby sa určite stali.

„Budúcnosť bude oveľa úžasnejšia, ako si väčšina ľudí dokáže predstaviť. Málokto skutočne pochopil skutočnosť, že samotná rýchlosť zmien sa zrýchľuje.“- píše Raymond Kurzweil.

Ako bude vyzerať náš život o päť rokov? Jedným zo spôsobov, ako urobiť prognózu, je pozrieť sa na posledných päť rokov a preniesť tieto skúsenosti do nasledujúcich piatich, ale toto je „lineárne“ myslenie, ktoré, ako sme zistili, nie vždy funguje. Tempo zmien sa mení, takže pokrok dosiahnutý za posledných päť rokov bude v budúcnosti trvať dlhšie. Je pravdepodobné, že zmeny, ktoré očakávate o päť rokov, sa skutočne stanú o tri alebo dva roky. S trochou praxe budeme schopní lepšie predpovedať budúci vývoj života, naučíme sa vidieť vyhliadky na exponenciálny rast a budeme vedieť lepšie plánovať svoju vlastnú budúcnosť.

Nie je to len zaujímavý koncept. Naše myslenie, často zamerané na lineárny vývoj, nás môže priviesť do slepej uličky. Je to lineárne myslenie, ktoré núti niektorých podnikateľov a politikov brániť sa zmenám, jednoducho nechápu, že vývoj prebieha exponenciálne, a obávajú sa, že je čoraz ťažšie kontrolovať budúcnosť. Ale to je presne pole pre súťaž. Aby ste udržali krok s touto zmenou, musíte byť vždy o krok vpred a nerobiť to, čo je aktuálne teraz, ale to, čo bude aktuálne a žiadané v budúcnosti, berúc do úvahy, že vývoj neprebieha lineárne, ale exponenciálne.

Exponenciálne myslenie znižuje deštruktívny stres, ktorý pochádza z nášho strachu z budúcnosti a otvára nové možnosti. Ak dokážeme lepšie plánovať svoju budúcnosť a dokážeme myslieť exponenciálne, uľahčíme si prechod z jednej paradigmy do druhej a budeme pokojne čeliť budúcnosti.

Ak je rast populácie úmerný počtu jedincov, veľkosť populácie bude rásť exponenciálne.

prírastok obyvateľstva = počet narodených - počet úmrtí

(Tu r- takzvaný koeficient proporcionality, ktorý nám umožňuje zapísať vyjadrenie proporcionality vo forme rovnice.)

Nech d N- počet jedincov pridaných do populácie v priebehu času d t, tak ak v populácii celkom N jednotlivcov, potom budú podmienky pre exponenciálny rast splnené, ak

Keďže Isaac Newton vynašiel diferenciálny počet v 17. storočí, vieme, ako vyriešiť túto rovnicu pre N- veľkosť populácie v akomkoľvek danom čase. (Pre informáciu: takáto rovnica sa nazýva diferenciálna.) Tu je jej riešenie:

kde N 0 je počet jedincov v populácii na začiatku odpočítavania, t- čas, ktorý od tejto chvíle uplynul. Symbol e označuje také špeciálne číslo, je tzv základ prirodzeného logaritmu(a je približne rovný 2,7) a nazýva sa celá pravá strana rovnice exponenciálna funkcia.

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Kedy N oveľa menej K, člen N/K môžeme zanedbať a vrátime sa k pôvodnej rovnici obyčajného exponenciálneho rastu. Avšak, kedy N sa blíži k maximálnej hodnote K, čo znamená 1 – (N/K) má tendenciu k nule, a teda aj rast populácie má tendenciu k nule. Celková veľkosť populácie sa v tomto prípade stabilizuje a zostáva na úrovni K. Krivka opísaná touto rovnicou, ako aj samotná rovnica, majú niekoľko mien - S-krivka, logistická rovnica, Volterrova rovnica, Lotka-Volterrova rovnica. (Vito Volterra, 1860–1940 – významný taliansky matematik a učiteľ; Alfred Lotka, 1880–1949 – americký matematik a poistný analytik.) Akokoľvek sa to nazýva, je to pomerne jednoduché vyjadrenie veľkosti populácie, ktorá prudko exponenciálne rastie a potom spomalenie pri približovaní sa k určitej hranici. A odráža rast reálnych populácií oveľa lepšie ako bežná exponenciálna funkcia.

Portál pre školákov. Vlastná príprava

SÚVISIACE ČLÁNKY