V tomto článku sa budeme podrobne zaoberať jedným z primárnych konceptov geometrie - konceptom priamky v rovine. Najprv si definujme základné pojmy a notáciu. Ďalej diskutujeme o relatívnej polohe priamky a bodu, ako aj dvoch priamok v rovine a uvádzame potrebné axiómy. Na záver zvážime spôsoby, ako nastaviť priamku v rovine a poskytnúť grafické ilustrácie.

Navigácia na stránke.

Priama čiara v rovine je pojem.

Pred predstavením pojmu priamka v rovine by ste mali jasne pochopiť, čo je rovina. Zastúpenie lietadla umožňuje získať napríklad rovný povrch stola alebo steny domu. Treba si však uvedomiť, že rozmery stola sú obmedzené a rovina siaha za tieto hranice do nekonečna (akoby sme mali ľubovoľne veľký stôl).

Ak vezmeme dobre naostrenú ceruzku a dotkneme sa jej jadra povrchu „stola“, získame obraz bodu. Takže dostaneme znázornenie bodu na rovine.

Teraz môžete ísť do pojem priamka na rovine.

Položíme na povrch stola (na rovinu) list čistého papiera. Aby sme nakreslili rovnú čiaru, musíme si vziať pravítko a nakresliť čiaru ceruzkou tak ďaleko, ako nám to dovoľujú rozmery použitého pravítka a listu papiera. Treba si uvedomiť, že týmto spôsobom dostaneme len časť priamky. Celú priamku, siahajúcu do nekonečna, si môžeme len predstaviť.

Vzájomná poloha priamky a bodu.

Mali by ste začať s axiómou: na každej priamke a v každej rovine sú body.

Body sa zvyčajne označujú veľkými latinskými písmenami, napríklad body A a F. Rovné čiary sa zase označujú malými latinskými písmenami, napríklad rovné čiary a a d.

možné dve možnosti pre vzájomnú polohu priamky a bodu v rovine: buď bod leží na priamke (v tomto prípade sa hovorí, že priamka prechádza aj bodom), alebo bod na priamke neleží (tiež sa hovorí, že bod do priamky nepatrí, resp. čiara neprechádza bodom).

Na označenie, že bod patrí k určitej čiare, sa používa symbol "". Napríklad, ak bod A leží na priamke a, potom môžete písať. Ak bod A nepatrí do čiary a, zapíšte.

Nasledujúce tvrdenie je pravdivé: cez akékoľvek dva body vedie iba jedna priamka.

Toto tvrdenie je axiómom a malo by sa prijať ako fakt. Okrem toho je to celkom zrejmé: označíme dva body na papieri, aplikujeme na ne pravítko a nakreslíme priamku. Priamka prechádzajúca cez dva dané body (napríklad cez body A a B) môže byť označená týmito dvoma písmenami (v našom prípade priamka AB alebo BA).

Malo by byť zrejmé, že na priamke uvedenej v rovine existuje nekonečne veľa rôznych bodov a všetky tieto body ležia v rovnakej rovine. Toto tvrdenie je založené na axióme: ak dva body priamky ležia v nejakej rovine, potom všetky body tejto priamky ležia v tejto rovine.

Množina všetkých bodov nachádzajúcich sa medzi dvoma bodmi danými na priamke spolu s týmito bodmi sa nazýva priamka alebo jednoducho segment. Body, ktoré ohraničujú segment, sa nazývajú konce segmentu. Segment je označený dvoma písmenami zodpovedajúcimi bodom koncov segmentu. Nech sú napríklad body A a B koncami segmentu, potom tento segment môžeme označiť AB alebo BA. Upozorňujeme, že toto označenie segmentu je rovnaké ako označenie priamky. Aby nedošlo k zámene, odporúčame pridať k označeniu slovo „segment“ alebo „rovný“.

Pre krátky záznam o príslušnosti a nepatričnosti k určitému bodu do určitého segmentu sa používajú všetky rovnaké symboly a. Aby sa ukázalo, že segment leží alebo neleží na priamke, používajú sa symboly a. Napríklad, ak segment AB patrí do riadku a, môžete ho krátko zapísať.

Mali by sme sa pozastaviť aj nad prípadom, keď tri rôzne body patria do tej istej priamky. V tomto prípade jeden a iba jeden bod leží medzi ostatnými dvoma. Toto tvrdenie je ďalšou axiómou. Nech body A, B a C ležia na tej istej priamke a bod B leží medzi bodmi A a C. Potom môžeme povedať, že body A a C sú na opačných stranách bodu B. Môžete tiež povedať, že body B a C ležia na rovnakej strane bodu A a body A a B ležia na rovnakej strane bodu C.

Pre dokreslenie si všimneme, že ktorýkoľvek bod priamky rozdeľuje túto priamku na dve časti – dve lúč. Pre tento prípad je daná axióma: ľubovoľný bod O patriaci k priamke rozdeľuje túto priamku na dva lúče a ľubovoľné dva body jedného lúča ležia na tej istej strane bodu O a ľubovoľné dva body rôznych lúčov ležia na opačných stranách bodu O.

Vzájomné usporiadanie priamych čiar v rovine.

Teraz odpovedzme na otázku: "Ako môžu byť dve čiary umiestnené v rovine navzájom"?

Po prvé, dve čiary v rovine môžu zhodovať sa.

To je možné, keď majú čiary spoločné aspoň dva body. V skutočnosti, na základe axiómy vyjadrenej v predchádzajúcom odseku, jedna priamka prechádza cez dva body. Inými slovami, ak dve čiary prechádzajú cez dva dané body, potom sa zhodujú.

Po druhé, dve rovné čiary v rovine môžu kríž.

V tomto prípade majú čiary jeden spoločný bod, ktorý sa nazýva priesečník čiar. Priesečník čiar je označený symbolom "", napríklad záznam znamená, že čiary a a b sa pretínajú v bode M. Pretínajúce sa čiary nás vedú k pojmu uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. Samostatne stojí za to zvážiť umiestnenie priamych čiar v rovine, keď je uhol medzi nimi deväťdesiat stupňov. V tomto prípade sú linky tzv kolmý(odporúčame článok kolmosti čiar, kolmosť čiar). Ak je čiara a kolmá na čiaru b, potom možno použiť krátky zápis.

Po tretie, dve čiary v rovine môžu byť rovnobežné.

Z praktického hľadiska je vhodné uvažovať o priamke v rovine spolu s vektormi. Zvlášť dôležité sú nenulové vektory ležiace na danej priamke alebo na niektorej z rovnobežných priamok, nazývajú sa smerové vektory priamky. Článok smerovací vektor priamky v rovine uvádza príklady smerových vektorov a ukazuje možnosti ich využitia pri riešení úloh.

Pozor si treba dať aj na nenulové vektory ležiace na niektorej z priamok kolmých na danú. Takéto vektory sa nazývajú normálové vektory priamky. Použitie normálových vektorov priamky je popísané v článku normálový vektor priamky na rovine.

Ak sú v rovine uvedené tri alebo viac priamych čiar, existuje veľa rôznych možností ich relatívnej polohy. Všetky čiary môžu byť rovnobežné, inak sa niektoré alebo všetky pretínajú. V tomto prípade sa môžu všetky čiary pretínať v jednom bode (pozri článok ceruzka čiar), alebo môžu mať rôzne priesečníky.

Nebudeme sa tým podrobne zaoberať, ale bez dôkazu uvedieme niekoľko pozoruhodných a veľmi často používaných faktov:

• ak sú dve čiary rovnobežné s treťou čiarou, potom sú navzájom rovnobežné;
• ak sú dve čiary kolmé na tretiu čiaru, potom sú navzájom rovnobežné;
• ak v rovine priamka pretína jednu z dvoch rovnobežných priamok, potom pretína aj druhú priamku.

Metódy nastavenia priamky v rovine.

Teraz uvedieme hlavné spôsoby, ktorými môžete definovať konkrétnu čiaru v rovine. Tieto poznatky sú z praktického hľadiska veľmi užitočné, keďže na nich je založené riešenie toľkých príkladov a problémov.

Najprv je možné definovať priamku zadaním dvoch bodov v rovine.

Z axiómy uvažovanej v prvom odseku tohto článku skutočne vieme, že priamka prechádza dvoma bodmi a navyše iba jedným.

Ak sú súradnice dvoch nezhodných bodov vyznačené v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine, potom je možné zapísať rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva dané body.

Po druhé, čiara môže byť špecifikovaná zadaním bodu, cez ktorý prechádza, a čiary, s ktorou je rovnobežná. Táto metóda je platná, pretože cez daný bod roviny prechádza jedna priamka rovnobežná s danou priamkou. Dôkaz tejto skutočnosti sa uskutočnil na hodinách geometrie na strednej škole.

Ak je takto nastavená priamka na rovine vzhľadom na zavedený pravouhlý karteziánsky súradnicový systém, potom je možné zostaviť jej rovnicu. Toto je napísané v článku rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom rovnobežným s danou priamkou.

Po tretie, čiaru možno definovať zadaním bodu, cez ktorý prechádza, a jej smerového vektora.

Ak je takto daná priamka v pravouhlom súradnicovom systéme, potom je ľahké zostaviť jej kanonickú rovnicu priamky na rovine a parametrické rovnice priamky na rovinu.

Štvrtým spôsobom, ako určiť čiaru, je určiť bod, cez ktorý prechádza, a čiaru, na ktorú je kolmá. V skutočnosti existuje len jedna priamka cez daný bod roviny, ktorá je kolmá na danú priamku. Túto skutočnosť nechajme bez dôkazu.

Nakoniec môže byť priamka v rovine špecifikovaná zadaním bodu, cez ktorý prechádza, a normálového vektora priamky.

Ak sú známe súradnice bodu ležiaceho na danej priamke a súradnice normálového vektora priamky, potom je možné zapísať všeobecnú rovnicu priamky.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. 7. - 9. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Učebnica pre 10-11 ročníkov stredných škôl.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Vyššia matematika. Prvý diel: Prvky lineárnej algebry a analytickej geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytická geometria.

Autorské práva šikovných študentov

Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť www.site, vrátane interných materiálov a vonkajšieho dizajnu, nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme ani použitá bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.

Mimochodom, posledná nerovnosť hovorí len o nerovnobežnosti ich normálnych vektorov.

Ak sú čiary rovnobežné, potom systém nemá riešenie. Analyticky by to vyzeralo takto:

Ale ak sú všetky tri zlomky rovnaké, potom sa čiary navzájom zhodujú, a preto má systém nekonečný počet riešení.

Uhol medzi dvoma čiarami možno nájsť pomocou dvoch vzorcov.

Ak sú čiary dané všeobecnými rovnicami, potom sa uhol medzi nimi zhoduje s uhlom medzi ich normálovými vektormi. Vypočíta sa podľa vzorca (6.9) z predchádzajúcej prednášky. V našom prípade to bude vyzerať takto:

. (7.7)

Stav rovnobežných čiar:

;

Kolmý stav:

.

Ak sú čiary dané rovnicami s koeficientmi sklonu tvaru:

a ,

potom je dotyčnica uhla medzi nimi určená vzorcom:

. (7.8)

Paralelný stav:

Kolmý stav:

.

Príklad 7.4. Nájdite priesečník čiar a a uhol medzi nimi.

Riešenia e. Nájdite priesečník priamok riešením sústavy rovníc Cramerovou metódou:

, , ,

Uhol medzi čiarami je definovaný ako uhol medzi ich normálovými vektormi (2, 5) a (5, –2). Podľa vzorca (7.7) máme:

.

Čo hovorí táto odpoveď? Čiary sú kolmé, pretože .

Príklad 7.5. Pri akej hodnote parametrov a a b priame a : a) pretínajú, b) sú paralelné, v) zápas?

Riešenia e. Ak je podmienka splnená, pretínajú sa dve čiary. V našom prípade

.

Čiary sú rovnobežné, ak , t.j.

.

A nakoniec, za predpokladu, že sa zhodujú dva riadky , t.j. ak .

Príklad 7.6. Daný bod a čiara . Napíšte rovnice čiar L 1 a L 2 prechádzajúci bodom A, a a .

Riešenia e. Urobme si náčrt.

Ryža. 7.6

Sklon pôvodnej línie L rovná sa k= -2. Podľa podmienok teda . Vzorcom (7.4) nájdeme rovnicu priamky L 1:

, alebo .

Odvtedy . Potom rovnica priamky L 2 bude vyzerať takto:

, alebo .

7.4. Definícia krivky druhého rádu

Definícia 7.1.Krivka druhého rádu nazývaná priamka definovaná rovnicou druhého stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice. Vo všeobecnosti má táto rovnica tvar:

kde sú všetky čísla ALE, AT, S, atď. sú reálne čísla a navyše aspoň jedno z čísel ALE, AT, S- odlišný od nuly.

Pred zavedením karteziánskeho súradnicového systému boli všetky krivky popísané slovne na základe geometrických vlastností uvažovanej krivky. Takže definícia kruhu znie takto:

Definícia 7.2. Kruh – je ťažisko bodov v rovine rovnako vzdialené od daného bodu, nazývané stred.

Kruhová rovnica so stredom v bode ( a,b) a polomer R v karteziánskych súradniciach ten, ktorý ste dostali v škole, vyzerá takto:

Ak zátvorky otvoríme, dostaneme rovnicu podobnú rovnici (7.9), v ktorej nie je člen obsahujúci súčin aktuálnych súradníc a koeficienty pri vyšších mocninách sa navzájom rovnajú.

Odvodenie všetkých rovníc druhého rádu je podobné ako odvodenie rovníc s priamkou a riadi sa rovnakým algoritmom.

Na základe jej definície odvodíme rovnicu paraboly.

7.5. Rovnica kanonickej paraboly

Definícia 7.3. parabola je ťažisko bodov v rovine, ktoré sú rovnako vzdialené od daného bodu F volal zameranie, a táto priamka, tzv riaditeľka.

Označme vzdialenosť od ohniska po smerovú čiaru ako p. Táto hodnota sa nazýva parameter paraboly.

1. Umiestnite os x tak, aby prechádzala cez ohnisko, kolmo na smerovú čiaru a mala kladný smer od smerovej čiary k ohnisku.

2. Umiestnite počiatok súradníc do stredu tejto kolmice. Potom budú súradnice bodu F(p/2, 0) a rovnica smerovej čiary: .

3. Vezmite aktuálny bod na parabole M(x, y).

4. Podľa definície paraboly, vzdialenosť MN z bodu M k smerovej čiare sa rovná jej vzdialenosti MF zo zamerania: MF= MN. Ako vidno z nákresu (obr. 7.7), súradnice bodu N(–p/2, r). Nájdite tieto vzdialenosti pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi z odseku 1 predchádzajúcej prednášky.

, .

Porovnaním pravých strán týchto výrazov a kvadratúrou oboch strán rovnosti dostaneme:

,

alebo po skratkách

. (7.11)

Volá sa rovnica (7.11). kanonická rovnica paraboly. Uspokojia ju len body ležiace na krivke a zvyšok nie. Preštudujme si tvar jeho grafu podľa kanonickej rovnice.

Pokiaľ ide o r vstupuje do rovnomerného výkonu, potom os OH bude osou symetrie, t.j. jednu hodnotu X bude zodpovedať dvom hodnotám Y- pozitívny a negatívny. Pretože pravá strana je nezáporná pri, potom aj ľavý. Ako R je vzdialenosť medzi ohniskom a smerovou čiarou, ktorá je potom vždy väčšia ako nula X. Ak X=0 teda pri=0, t.j. parabola prechádza počiatkom. S neobmedzeným nárastom X absolútna hodnota pri bude tiež neobmedzene zvyšovať.

Graf paraboly definovanej rovnicou (7.11) je na obr. 7.7.

Ryža. 7.7 obr. 7.8

Os symetrie paraboly sa nazýva ohnisková os, pretože má zameranie. Ak sa ohnisková os paraboly berie ako os y, potom jej rovnica bude mať tvar:

.

Jeho kresba je znázornená na obr. 7.8. V tomto prípade bude zameranie na bod F(0, p/2) a priamková rovnica bude mať tvar pri = –R/2.

Uvažovali sme teda o parabole, našli sme jej rovnicu a ukázali sme možné polohy vzhľadom na pôvod.

Ak je vrchol paraboly posunutý do bodu , potom bude kanonická rovnica vyzerať takto:

.

Odvodzovaním ďalších kriviek druhého rádu sa zaoberať nebudeme. Tí, ktorí chcú, môžu nájsť všetky výpočty v odporúčanej literatúre.

Obmedzujeme sa na ich definície a rovnice.

Za menej ako minútu som vytvoril nový súbor Verdov a pokračoval som v takejto vzrušujúcej téme. Treba vystihnúť momenty pracovnej nálady, takže nebude chýbať lyrický úvod. Bude prozaický výprask =)

Dva rovné priestory môžu:

1) krížiť sa;

2) pretínajú sa v bode ;

3) byť paralelné;

4) zápas.

Prípad č. 1 sa zásadne líši od ostatných prípadov. Dve priamky sa pretínajú, ak neležia v rovnakej rovine.. Zdvihnite jednu ruku a natiahnite druhú ruku dopredu - tu je príklad pretínajúcich sa čiar. V bodoch 2-4 čiary nevyhnutne ležia v jednej rovine.

Ako zistiť vzájomnú polohu čiar v priestore?

Zvážte dva priame priestory:

je priamka daná bodom a smerovacím vektorom ;
je priamka definovaná bodom a smerovým vektorom .

Pre lepšie pochopenie si urobme schematický nákres:

Na výkrese sú ako príklad znázornené šikmé čiary.

Ako sa vysporiadať s týmito riadkami?

Keďže body sú známe, je ľahké nájsť vektor.

Ak je rovný krížiť sa, potom vektory nie koplanárne(pozri lekciu Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ), čo znamená, že determinant zložený z ich súradníc je nenulový. Alebo, čo je vlastne to isté, sa bude líšiť od nuly: .

V prípadoch č. 2-4 naša konštrukcia „padá“ do jednej roviny, pričom vektory koplanárny a zmiešaný súčin lineárne závislých vektorov sa rovná nule: .

Algoritmus ďalej rozširujeme. Predstierajme to , preto sa čiary buď pretínajú, alebo sú rovnobežné, alebo sa zhodujú.

Ak smerové vektory kolineárne, potom sú čiary buď rovnobežné, alebo sa zhodujú. Ako posledný klinec navrhujem nasledujúcu techniku: vezmeme ľubovoľný bod jednej priamky a dosadíme jeho súradnice do rovnice druhej priamky; ak sa súradnice „priblížili“, potom sa čiary zhodujú, ak sa „nepriblížili“, potom sú čiary rovnobežné.

Priebeh algoritmu je nenáročný, ale praktické príklady stále nezasahujú:

Príklad 11

Zistite vzájomnú polohu dvoch čiar

rozhodnutie: ako pri mnohých úlohách geometrie je vhodné usporiadať riešenie bod po bode:

1) Z rovníc extrahujeme body a smerové vektory:

2) Nájdite vektor:

Vektory sú teda koplanárne, čo znamená, že čiary ležia v rovnakej rovine a môžu sa pretínať, byť rovnobežné alebo sa zhodovať.

4) Skontrolujte kolinearitu smerových vektorov.

Zostavme systém zo zodpovedajúcich súradníc týchto vektorov:

Od každý Z rovnice vyplýva, že systém je teda konzistentný, zodpovedajúce súradnice vektorov sú proporcionálne a vektory sú kolineárne.

Záver: čiary sú rovnobežné alebo sa zhodujú.

5) Zistite, či majú čiary spoločné body. Vezmime si bod patriaci do prvej priamky a dosadíme jeho súradnice do rovníc priamky:

Čiary teda nemajú spoločné body a nezostáva im nič iné, len byť rovnobežné.

Odpoveď:

Zaujímavý príklad, ktorý môžete vyriešiť sami:

Príklad 12

Zistite relatívnu polohu čiar

Toto je príklad „urob si sám“. Všimnite si, že druhý riadok obsahuje písmeno ako parameter. Logicky. Vo všeobecnosti ide o dva rôzne riadky, takže každý riadok má svoj vlastný parameter.

A ešte raz vás žiadam, aby ste nepreskakovali príklady, plácnem, že úlohy, ktoré navrhujem, nie sú ani zďaleka náhodné ;-)

Problémy s priamkou v priestore

V záverečnej časti lekcie sa pokúsim zvážiť maximálne množstvo rôzne problémy s priestorovými líniami. V tomto prípade bude dodržané začaté poradie rozprávania: najprv zvážime problémy s pretínajúcimi sa čiarami, potom s pretínajúcimi sa čiarami a na konci budeme hovoriť o paralelných čiarach v priestore. Musím však povedať, že niektoré úlohy tejto lekcie možno formulovať pre niekoľko prípadov rovných čiar naraz a v tomto smere je rozdelenie sekcie na odseky do istej miery ľubovoľné. Sú jednoduchšie príklady, sú zložitejšie príklady a snáď si každý nájde to, čo potrebuje.

Prekrížené čiary

Pripomínam, že priamky sa pretínajú, ak neexistuje rovina, v ktorej by obe ležali. Keď som premýšľal o cvičení, napadla ma úloha monštra a teraz vám s radosťou predstavujem draka so štyrmi hlavami:

Príklad 13

Dané sú rovné čiary. Požadovaný:

a) dokázať, že sa čiary pretínajú;

b) nájdite rovnice priamky prechádzajúcej bodom kolmým na dané priamky;

c) zostavte rovnice priamky, ktorá obsahuje spoločná kolmica pretínajúce sa čiary;

d) nájdite vzdialenosť medzi čiarami.

rozhodnutie: Cestu zvládne kráčajúci:

a) Dokážme, že sa priamky pretínajú. Nájdite body a smerové vektory týchto priamych čiar:

Poďme nájsť vektor:

Vypočítať zmiešaný súčin vektorov:

Takže vektory nie koplanárne, čo znamená, že sa čiary pretínajú, čo sa malo dokázať.

Pravdepodobne si každý už dlho všimol, že pre šikmé čiary je overovací algoritmus najkratší.

b) Nájdime rovnice priamky, ktorá prechádza bodom a je kolmá na priamky. Urobme si schematický nákres:

Pre spestrenie som zverejnil direct ZA rovné čiary, pozrite sa, ako je mierne vymazaný v miestach kríženia. Krížence? Áno, vo všeobecnom prípade sa čiara "de" pretína s pôvodnými čiarami. Hoci nás tento moment nezaujíma, stačí postaviť kolmú čiaru a je to.

Čo je známe o priamom „de“? Bod k tomu patriaci je známy. Chýba smerový vektor.

Podľa podmienky musí byť čiara kolmá na čiary, čo znamená, že jej smerový vektor bude ortogonálny k smerovým vektorom. Motív už známy z príkladu č. 9, nájdime vektorový súčin:

Zostavme rovnice priamky „de“ podľa bodu a smerovacieho vektora:

Pripravený. V zásade je možné zmeniť znamienka v menovateloch a napísať odpoveď do formulára , ale nie je to potrebné.

Na kontrolu je potrebné dosadiť súradnice bodu do získaných rovníc priamky a následne použiť bodový súčin vektorov uistite sa, že vektor je skutočne ortogonálny k smerovým vektorom "pe jeden" a "pe dva".

Ako nájsť rovnice priamky obsahujúcej spoločnú kolmicu?

c) Tento problém je zložitejší. Dummy odporúčam tento odsek preskočiť, nechcem schladiť vaše úprimné sympatie k analytickej geometrii =) Mimochodom, pre pripravenejších čitateľov by bolo možno lepšie počkať, faktom je, že zložitosť príkladu by mala byť v článku dať ako posledný, ale podľa logiky prezentácie by sa mal nachádzať tu.

Je teda potrebné nájsť rovnice priamky, ktorá obsahuje spoločnú kolmicu šikmých čiar.

je úsečka, ktorá spája dané čiary a je kolmá na dané čiary:

Tu je náš fešák: - spoločná kolmica pretínajúcich sa čiar. On je jediný. Žiadna iná taká neexistuje. Musíme tiež zostaviť rovnice priamky, ktorá obsahuje daný segment.

Čo je známe o priamom „uh“? Jeho smerový vektor je známy, nájdete ho v predchádzajúcom odseku. Ale, žiaľ, nepoznáme ani jeden bod patriaci priamke „em“, nepoznáme konce kolmice – body. Kde táto kolmá čiara pretína dve pôvodné čiary? Afrika, Antarktída? Z prvotnej kontroly a rozboru stavu nie je vôbec jasné, ako problém vyriešiť .... S použitím parametrických rovníc priamky je však spojený zložitý pohyb.

Rozhodnime sa bod po bode:

1) Prepíšme rovnice prvej priamky v parametrickom tvare:

Zamyslime sa nad bodom. Súradnice nepoznáme. ALE. Ak bod patrí k danej čiare, potom jeho súradnice zodpovedajú , označte ho . Potom sa súradnice bodu zapíšu takto:

Život sa zlepšuje, jedna neznáma – napokon, nie tri neznáme.

2) Rovnaké pohoršenie sa musí vykonať v druhom bode. Prepíšme rovnice druhej priamky do parametrického tvaru:

Ak bod patrí k danej priamke, potom s veľmi konkrétnym významom jeho súradnice musia spĺňať parametrické rovnice:

alebo:

3) Vektor , rovnako ako predtým nájdený vektor , bude smerovacím vektorom čiary . Ako zostaviť vektor z dvoch bodov sa v lekcii uvažovalo od nepamäti Vektory pre figuríny. Teraz je rozdiel v tom, že súradnice vektorov sú zapísané s neznámymi hodnotami parametrov. No a čo? Nikto nezakazuje odčítať zodpovedajúce súradnice začiatku vektora od súradníc konca vektora.

Existujú dva body: .

Nájdenie vektora:

4) Keďže smerové vektory sú kolineárne, potom je jeden vektor lineárne vyjadrený cez druhý s určitým koeficientom proporcionality "lambda":

Alebo súradnicovo:

Ukázalo sa, že je to najobyčajnejšie sústava lineárnych rovníc s tromi neznámymi, čo je štandardne riešiteľné, napr. Cramerova metóda. Ale tu je možnosť vyjsť s trochou krvi, z tretej rovnice vyjadríme "lambda" a dosadíme ju do prvej a druhej rovnice:

takto: , a "lambda" nepotrebujeme. Skutočnosť, že hodnoty parametrov sa ukázali byť rovnaké, je čistá náhoda.

5) Obloha sa úplne vyjasní, dosaďte zistené hodnoty na naše miesta:

Smerový vektor nie je zvlášť potrebný, pretože jeho náprotivok už bol nájdený.

Po dlhej ceste je vždy zaujímavé vykonať kontrolu.

:

Získajú sa správne rovnosti.

Dosaďte súradnice bodu do rovníc :

Získajú sa správne rovnosti.

6) Posledný akord: zostavíme rovnice priamky pre bod (môžete vziať) a smerovací vektor:

V zásade môžete získať „dobrý“ bod s celočíselnými súradnicami, ale je to kozmetické.

Ako nájsť vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami?

d) Odrežeme štvrtú hlavu draka.

Metóda jedna. Ani nie spôsob, ale malý špeciálny prípad. Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami sa rovná dĺžke ich spoločnej kolmice: .

Krajné body spoločnej kolmice nájdete v predchádzajúcom odseku a úloha je elementárna:

Metóda dva. V praxi sú najčastejšie konce spoločnej kolmice neznáme, preto sa používa iný prístup. Cez dve pretínajúce sa čiary možno nakresliť rovnobežné roviny a vzdialenosť medzi danými rovinami sa rovná vzdialenosti medzi danými čiarami. Medzi týmito rovinami trčí najmä spoločná kolmica.

V priebehu analytickej geometrie sa z vyššie uvedených úvah odvodil vzorec na nájdenie vzdialenosti medzi šikmými čiarami:
(namiesto našich bodov "em jeden, dva" môžeme vziať ľubovoľné body čiar).

Zmiešaný súčin vektorov už sa nachádza v odseku "a": .

Krížový súčin vektorov nájdete v odseku "byť": , vypočítajte jeho dĺžku:

takto:

Hrdo rozložte trofeje do jedného radu:

Odpoveď:
a) , teda čiary sa pretínajú, čo bolo potrebné dokázať;
b) ;
v) ;
G)

Čo ešte možno povedať o pretínajúcich sa čiarach? Medzi nimi je definovaný uhol. Zvážte však vzorec univerzálneho uhla v nasledujúcom odseku:

Pretínajúce sa priamky nevyhnutne ležia v rovnakej rovine:

Prvou myšlienkou je oprieť sa o priesečník celou silou. A hneď som si pomyslel, prečo si odopierať tie správne túžby?! Poďme na to hneď teraz!

Ako nájsť priesečník priestorových čiar?

Príklad 14

Nájdite priesečník čiar

rozhodnutie: Prepíšme rovnice čiar v parametrickom tvare:

Táto úloha bola podrobne zvážená v príklade č. 7 tejto lekcie (pozri. Rovnice priamky v priestore). A samotné rovné čiary, mimochodom, som prevzal z príkladu č.12. Nebudem klamať, som lenivý vymýšľať nové.

Riešenie je štandardné a už sme sa s ním stretli, keď sme vypracovávali rovnice spoločnej kolmice šikmých priamok.

Priesečník priamok patrí k priamke, preto jej súradnice spĺňajú parametrické rovnice tejto priamky a zodpovedajú veľmi špecifickú hodnotu parametra:

Ale ten istý bod patrí do druhého riadku, teda:

Prirovnávame zodpovedajúce rovnice a robíme zjednodušenia:

Získa sa systém troch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Ak sa čiary pretínajú (ako je dokázané v príklade 12), potom je systém nevyhnutne konzistentný a má jedinečné riešenie. Dá sa to vyriešiť Gaussova metóda, ale nebudeme hrešiť takýmto materským fetovaním, poďme na to jednoduchšie: z prvej rovnice vyjadríme „te nula“ a dosadíme do druhej a tretej rovnice:

Posledné dve rovnice sa ukázali byť v podstate rovnaké a vyplýva z nich, že . potom:

Nájdenú hodnotu parametra dosadíme do rovníc:

Odpoveď:

Pre kontrolu dosadíme nájdenú hodnotu parametra do rovníc:
Boli získané rovnaké súradnice, aké bolo potrebné skontrolovať. Starostliví čitatelia môžu nahradiť súradnice bodu v pôvodných kanonických rovniciach priamok.

Mimochodom, bolo možné urobiť opak: nájsť bod cez „es zero“ a skontrolovať ho cez „te zero“.

Známy matematický znak hovorí: tam, kde sa hovorí o priesečníku rovných čiar, vždy zapáchajú kolmice.

Ako zostrojiť priamku priestoru kolmú na danú?

(čiary sa pretínajú)

Príklad 15

a) Zostavte rovnice priamky prechádzajúcej bodom kolmým na priamku (čiary sa pretínajú).

b) Nájdite vzdialenosť od bodu k priamke.

Poznámka : klauzula "priamky sa pretínajú" - nevyhnutné. Cez bodku
je možné nakresliť nekonečné množstvo kolmých čiar, ktoré sa budú pretínať s čiarou "el". Jediné riešenie nastáva, keď je čiara vedená cez daný bod kolmo na dva dané rovné čiary (pozri príklad č. 13, odsek „b“).

a) rozhodnutie: Neznámy riadok označte . Urobme si schematický nákres:

Čo je známe o linke? Podľa podmienky sa udeľuje bod. Na zostavenie rovníc priamky je potrebné nájsť smerový vektor. Ako taký vektor je vektor celkom vhodný a budeme sa ním zaoberať. Presnejšie, zoberme neznámy koniec vektora za pačesy.

1) Z rovníc priamky „el“ vytiahneme jej smerový vektor a samotné rovnice prepíšeme do parametrického tvaru:

Mnohí tušili, že kúzelník už tretíkrát na lekcii dostane bielu labuť z klobúka. Zvážte bod s neznámymi súradnicami. Od bodu potom jeho súradnice spĺňajú parametrické rovnice priamky "el" a zodpovedajú konkrétnej hodnote parametra:

Alebo v jednom riadku:

2) Podľa podmienky musia byť čiary kolmé, preto sú ich smerové vektory ortogonálne. A ak sú vektory ortogonálne, potom ich skalárny produkt rovná sa nule:

Čo sa stalo? Najjednoduchšia lineárna rovnica s jednou neznámou:

3) Hodnota parametra je známa, nájdime bod:

A smerový vektor:
.

4) Rovnice priamky poskladáme bodovým a smerovým vektorom :

Menovatelia podielu sa ukázali ako zlomkové a to je presne ten prípad, keď je vhodné sa zlomkov zbaviť. Len ich vynásobím -2:

Odpoveď:

Poznámka : rigoróznejšie zakončenie riešenia sa nakreslí takto: rovnice priamky skladáme bodovým a smerovým vektorom. . V skutočnosti, ak je vektor smerovým vektorom priamky, potom vektor kolineárny k nemu bude prirodzene tiež smerovacím vektorom tejto priamky.

Overenie pozostáva z dvoch fáz:

1) skontrolujte ortogonalitu smerových vektorov čiar;

2) do rovníc každej priamky dosadíme súradnice bodu, mali by „sadnúť“ sem aj tam.

Veľa sa hovorilo o typických akciách, tak som skontroloval draft.

Mimochodom, zabudol som na ďalší módny výstrelok - postaviť bod "sue" symetrický k bodu "en" vzhľadom na priamku "el". Existuje však dobrý „plochý analóg“, ktorý nájdete v článku Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Tu bude celý rozdiel v dodatočnej súradnici "Z".

Ako zistiť vzdialenosť od bodu k priamke v priestore?

b) rozhodnutie: Nájdite vzdialenosť od bodu k priamke.

Metóda jedna. Táto vzdialenosť sa presne rovná dĺžke kolmice: . Riešenie je zrejmé: ak sú body známe , potom:

Metóda dva. V praktických problémoch je základňa kolmice často záhadou, preto je racionálnejšie použiť hotový vzorec.

Vzdialenosť od bodu k čiare je vyjadrená vzorcom:
, kde je smerový vektor priamky "el" a - svojvoľný bod na danej priamke.

1) Z rovníc priamky dostaneme smerový vektor a najdostupnejší bod .

2) Bod je známy z podmienky, zaostrite vektor:

3) Poďme nájsť vektorový produkt a vypočítajte jeho dĺžku:

4) Vypočítajte dĺžku smerového vektora:

5) Vzdialenosť od bodu k priamke:

Tento článok je o rovnobežkách a rovnobežkách. Najprv je uvedená definícia rovnobežiek v rovine a v priestore, je zavedený zápis, sú uvedené príklady a grafické znázornenia rovnobežiek. Ďalej sa analyzujú znaky a podmienky rovnobežnosti priamych čiar. V závere sú uvedené riešenia typických úloh dokazovania rovnobežnosti priamok, ktoré sú dané niektorými rovnicami priamky v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine a v trojrozmernom priestore.

Navigácia na stránke.

Paralelné čiary - základné informácie.

Definícia.

Nazývajú sa dve priame čiary v rovine paralelný ak nemajú spoločné body.

Definícia.

Dve čiary v troch rozmeroch sa nazývajú paralelný ak ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body.

Všimnite si, že klauzula „ak ležia v rovnakej rovine“ v definícii rovnobežných čiar v priestore je veľmi dôležitá. Ujasnime si tento bod: dve priame čiary v trojrozmernom priestore, ktoré nemajú spoločné body a neležia v rovnakej rovine, nie sú rovnobežné, ale sú zošikmené.

Tu je niekoľko príkladov paralelných čiar. Protiľahlé okraje listu poznámkového bloku ležia na rovnobežných čiarach. Priame čiary, pozdĺž ktorých rovina steny domu pretína roviny stropu a podlahy, sú rovnobežné. Železničné trate na rovnom teréne možno považovať aj za paralelné čiary.

Symbol "" sa používa na označenie rovnobežných čiar. To znamená, že ak sú čiary a a b rovnobežné, potom môžete krátko napísať a b.

Všimnite si, že ak sú priamky a a b rovnobežné, potom môžeme povedať, že priamka a je rovnobežná s priamkou b a tiež, že priamka b je rovnobežná s priamkou a.

Vyslovme tvrdenie, ktoré hrá dôležitú úlohu pri skúmaní rovnobežiek v rovine: bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jediná priamka rovnobežná s danou. Toto tvrdenie sa prijíma ako fakt (nedá sa dokázať na základe známych axióm planimetrie) a nazýva sa axióma rovnobežiek.

Pre prípad v priestore platí veta: cez ktorýkoľvek bod v priestore, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jedna priamka rovnobežná s danou. Táto veta sa dá ľahko dokázať pomocou vyššie uvedenej axiómy rovnobežiek (jej dôkaz nájdete v učebnici geometrie pre ročníky 10-11, ktorá je uvedená na konci článku v zozname literatúry).

Pre prípad v priestore platí veta: cez ktorýkoľvek bod v priestore, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jedna priamka rovnobežná s danou. Táto veta je ľahko dokázaná pomocou vyššie uvedenej axiómy rovnobežiek.

Rovnobežnosť priamok - znaky a podmienky rovnobežnosti.

Znak rovnobežných čiar je dostatočnou podmienkou pre rovnobežné vedenia, teda takú podmienku, ktorej splnenie zaručuje rovnobežné vedenia. Inými slovami, splnenie tejto podmienky stačí na konštatovanie skutočnosti, že čiary sú rovnobežné.

Nevyhnutné a postačujúce podmienky sú aj pre rovnobežné priamky v rovine a v trojrozmernom priestore.

Vysvetlíme si význam slovného spojenia „nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežky“.

Už sme sa zaoberali dostatočnou podmienkou pre paralelné vedenia. A aká je „nevyhnutná podmienka pre paralelné vedenia“? Už pri názve "nevyhnutné" je jasné, že splnenie tejto podmienky je nevyhnutné, aby boli vedenia rovnobežné. Inými slovami, ak nie je splnená podmienka pre rovnobežné čiary, potom čiary nie sú rovnobežné. teda nevyhnutná a postačujúca podmienka, aby boli čiary rovnobežné je podmienkou, ktorej splnenie je pre paralelné vedenia nevyhnutné aj postačujúce. To znamená, že na jednej strane je to znak rovnobežných čiar a na druhej strane je to vlastnosť, ktorú majú rovnobežné čiary.

Pred uvedením nevyhnutnej a postačujúcej podmienky, aby boli čiary rovnobežné, je užitočné pripomenúť si niekoľko pomocných definícií.

sečnová čiara je priamka, ktorá pretína každú z dvoch daných nezhodných priamok.

Na priesečníku dvoch línií sečny sa vytvorí osem nerozmiestnených. Takzvaný ležiace priečne, zodpovedajúce a jednostranné rohy. Ukážme ich na výkrese.

Veta.

Ak dve priamky v rovine pretína sečna, potom pre ich rovnobežnosť je potrebné a postačujúce, aby boli priečne ležiace uhly rovnaké, alebo zodpovedajúce uhly boli rovnaké, alebo súčet jednostranných uhlov bol rovný 180 stupňom.

Ukážme si graficky túto nevyhnutnú a postačujúcu podmienku pre rovnobežky v rovine.

Dôkazy týchto podmienok pre rovnobežky nájdete v učebniciach geometrie pre ročníky 7-9.

Všimnite si, že tieto podmienky je možné použiť aj v trojrozmernom priestore - hlavná vec je, že dve čiary a sečna ležia v rovnakej rovine.

Tu je niekoľko ďalších teorémov, ktoré sa často používajú pri dokazovaní rovnobežnosti čiar.

Veta.

Ak sú dve čiary v rovine rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné. Dôkaz tejto vlastnosti vyplýva z axiómy rovnobežných čiar.

Podobná podmienka platí pre rovnobežné čiary v trojrozmernom priestore.

Veta.

Ak sú dve čiary v priestore rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné. Dôkaz tejto vlastnosti sa zvažuje na hodinách geometrie v 10. ročníku.

Ilustrujme vyjadrené vety.

Uveďme ešte jednu vetu, ktorá nám umožňuje dokázať rovnobežnosť priamok v rovine.

Veta.

Ak sú dve čiary v rovine kolmé na tretiu čiaru, potom sú rovnobežné.

Podobná veta platí pre čiary v priestore.

Veta.

Ak sú dve čiary v trojrozmernom priestore kolmé na rovnakú rovinu, potom sú rovnobežné.

Nakreslime obrázky zodpovedajúce týmto teorémam.

Všetky vyššie formulované vety, znamienka a nevyhnutné a postačujúce podmienky sú dokonale vhodné na preukázanie rovnobežnosti priamok pomocou metód geometrie. To znamená, že na dokázanie rovnobežnosti dvoch daných úsečiek je potrebné ukázať, že sú rovnobežné s treťou úsečkou, alebo ukázať rovnosť medzi sebou ležiacich uhlov atď. Mnohé z týchto problémov sa riešia na hodinách geometrie na strednej škole. Treba si však uvedomiť, že v mnohých prípadoch je vhodné použiť metódu súradníc na dôkaz rovnobežnosti priamok v rovine alebo v trojrozmernom priestore. Formulujme potrebné a postačujúce podmienky pre rovnobežnosť priamok, ktoré sú dané v pravouhlom súradnicovom systéme.

Rovnobežnosť čiar v pravouhlom súradnicovom systéme.

V tejto časti článku budeme formulovať nevyhnutné a dostatočné podmienky pre paralelné vedenia v pravouhlom súradnicovom systéme, v závislosti od typu rovníc, ktoré tieto čiary určujú, a dáme aj podrobné riešenia typických problémov.

Začnime podmienkou rovnobežnosti dvoch priamok na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy . Jeho dôkaz je založený na definícii smerového vektora priamky a definícii normálového vektora priamky v rovine.

Veta.

Aby dve nezhodné priamky boli rovnobežné v rovine, je potrebné a postačujúce, aby smerové vektory týchto priamok boli kolineárne, alebo normálové vektory týchto priamok boli kolineárne, alebo smerový vektor jednej priamky bol kolmý na normálu. vektor druhého riadku.

Je zrejmé, že podmienka rovnobežnosti dvoch priamok v rovine sa redukuje na (smerové vektory priamok alebo normálové vektory priamok) alebo na (smerový vektor jednej priamky a normálový vektor druhej priamky). Teda ak a sú smerové vektory priamok a a b, a a sú normálové vektory priamok a a b, potom nevyhnutnú a postačujúcu podmienku pre rovnobežné priamky a a b možno zapísať ako , alebo , alebo , kde t je nejaké reálne číslo. Súradnice smerovacích a (alebo) normálových vektorov priamok a a b sa zase nachádzajú zo známych rovníc priamok.

Najmä ak priamka a v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy v rovine definuje všeobecnú rovnicu priamky tvaru a priamka b - , potom normálové vektory týchto priamok majú súradnice resp. a podmienka rovnobežnosti priamok a a b sa zapíše ako .

Ak priamka a zodpovedá rovnici priamky s koeficientom sklonu tvaru . Ak sú teda priame čiary v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme rovnobežné a môžu byť dané rovnicami priamych čiar so sklonovými koeficientmi, potom budú koeficienty sklonu priamok rovnaké. A naopak: ak nezhodné priame čiary v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme môžu byť dané rovnicami priamky s rovnakými koeficientmi sklonu, potom sú takéto priamky rovnobežné.

Ak priamka a a priamka b v pravouhlom súradnicovom systéme definujú kanonické rovnice priamky v rovine formulára a , alebo parametrické rovnice priamky na rovine tvaru a potom smerové vektory týchto čiar majú súradnice a a podmienka rovnobežnosti pre čiary a a b sa zapíše ako .

Poďme sa pozrieť na pár príkladov.

Príklad.

Sú čiary rovnobežné? a ?

rozhodnutie.

Rovnicu priamky v segmentoch prepíšeme do podoby všeobecnej rovnice priamky: . Teraz vidíme, že ide o normálny vektor priamky , a je normálnym vektorom priamky. Tieto vektory nie sú kolineárne, pretože neexistuje žiadne reálne číslo t, pre ktoré platí rovnosť ( ). V dôsledku toho nie je splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežnosť priamok v rovine, preto dané priamky nie sú rovnobežné.

odpoveď:

Nie, čiary nie sú rovnobežné.

Príklad.

Sú to priamky a rovnobežky?

rozhodnutie.

Kanonickú rovnicu priamky privedieme na rovnicu priamky so sklonom: . Je zrejmé, že rovnice čiar a nie sú rovnaké (v tomto prípade by dané čiary boli rovnaké) a sklony čiar sú rovnaké, preto sú pôvodné čiary rovnobežné.

Teraz si dajme dve rovnice:

Pozrime sa, kedy sú priamky d a d definované týmito rovnicami rovnobežné v širšom zmysle, kedy sa zhodujú, kedy sú rovnobežné v správnom zmysle (to znamená, že nemajú jediný spoločný bod).

Odpoveď na prvú otázku dostaneme okamžite: priamky d a d sú rovnobežné v širšom zmysle práve vtedy a len vtedy, ak sú ich smerové vektory kolineárne, t.

Ak sa tento podiel môže rozšíriť na podiel

potom sa čiary zhodujú: v tomto prípade sa všetky koeficienty jednej z dvoch rovníc (1), (Г) získajú z koeficientov druhej vynásobením nejakým, a teda rovníc (1) a sú ekvivalentné (akékoľvek bod, ktorý spĺňa jednu rovnicu, spĺňa druhú).

Naopak, ak sa dve čiary zhodujú, potom platí pomer (3).

Dokážme to najskôr v prípade, keď sú naše priamky rovnobežné s osou y. Potom, a my musíme len dokázať rovnosť.

Ale posledná rovnosť (v ktorej to vyplýva zo skutočnosti, že obe (zhodné) čiary pretínajú os x v rovnakom bode s osou x.

Teraz nech nie sú zhodné primárne čísla rovnobežné s osou y. Potom ju pretínajú v rovnakom bode Q s ordinátou a máme pomer , ktorý nám spolu s podielom (2) (vyjadrujúcim rovnobežnosť priamok v širšom zmysle) dáva požadovaný podiel (3).

Paralelnosť vo vlastnom zmysle znamená, že existuje paralelizmus v širšom zmysle (t. j. podmienka (2) je splnená), ale neexistuje žiadna zhoda (t. j. nie je splnená). To znamená, že pomer

prebieha, pričom

Kombinácia dvoch vzťahov (2) a (4) sa zvyčajne píše ako jeden vzorec:

Zhrňme si osvedčené.

Veta 1. Akákoľvek priamka d v rovine vybavenej afinným súradnicovým systémom je určená nejakou rovnicou prvého stupňa medzi súradnicami jej bodov. Naopak, akákoľvek rovnica prvého stupňa

je rovnica nejakej (jedinečnej) priamky d; navyše všetky vektory sú kolineárne s touto priamkou a iba ony spĺňajú homogénnu rovnicu