Pri sčítavaní a odčítaní algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi vedú najskôr zlomky k spoločný menovateľ. To znamená, že nájdu takého jediného menovateľa, ktorý sa vydelí pôvodným menovateľom každého algebraického zlomku, ktorý je súčasťou tohto výrazu.

Ako viete, ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia (alebo vydelia) rovnakým číslom iným ako nula, hodnota zlomku sa nezmení. Toto je hlavná vlastnosť zlomku. Preto, keď zlomky vedú k spoločnému menovateľovi, v skutočnosti sa pôvodný menovateľ každého zlomku vynásobí chýbajúcim faktorom na spoločného menovateľa. V tomto prípade je potrebné vynásobiť týmto faktorom a čitateľom zlomku (pre každý zlomok je iný).

Napríklad, ak vezmeme do úvahy nasledujúci súčet algebraických zlomkov:

Je potrebné výraz zjednodušiť, t.j. pridať dva algebraické zlomky. Na to je v prvom rade potrebné zredukovať členy-zlomky na spoločného menovateľa. Prvým krokom je nájsť jednočlen, ktorý je deliteľný 3x aj 2y. V tomto prípade je žiaduce, aby bol najmenší, t.j. nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) pre 3x a 2y.

Pre číselné koeficienty a premenné sa LCM vyhľadáva samostatne. LCM(3,2) = 6 a LCM(x, y) = xy. Ďalej sa nájdené hodnoty vynásobia: 6xy.

Teraz musíme určiť, akým faktorom musíme vynásobiť 3x, aby sme dostali 6xy:
6xy ÷ 3x = 2r

To znamená, že pri redukcii prvého algebraického zlomku na spoločného menovateľa treba jeho čitateľa vynásobiť 2y (menovateľ je už vynásobený pri redukcii na spoločného menovateľa). Podobne sa hľadá faktor pre čitateľa druhého zlomku. Bude to rovné 3x.

Tak dostaneme:

Ďalej je už možné konať ako so zlomkami s rovnakými menovateľmi: čitatelia sa sčítajú a do menovateľa sa zapíše jeden spoločný:

Po transformáciách sa získa zjednodušený výraz, ktorým je jeden algebraický zlomok, ktorý je súčtom dvoch pôvodných:

Algebraické zlomky v pôvodnom výraze môžu obsahovať menovateľov, ktoré sú skôr polynómami než monočlenmi (ako vo vyššie uvedenom príklade). V tomto prípade pred nájdením spoločného menovateľa vynásobte menovateľov (ak je to možné). Ďalej sa spoločný menovateľ zhromažďuje z rôznych faktorov. Ak je faktor vo viacerých počiatočných menovateľoch, berie sa raz. Ak má faktor v pôvodných menovateľoch rôzne stupne, potom sa berie s väčším. Napríklad:

Polynóm a 2 - b 2 tu môže byť reprezentovaný ako súčin (a - b) (a + b). Faktor 2a – 2b je rozšírený ako 2(a – b). Spoločný menovateľ sa teda bude rovnať 2 (a - b) (a + b).

Pôvodne som chcel do odseku „Sčítanie a odčítanie zlomkov“ zahrnúť metódy spoločného menovateľa. Informácií však bolo toľko a ich dôležitosť je taká veľká (veď nielen číselné zlomky majú spoločných menovateľov), že je lepšie študovať túto problematiku samostatne.

Povedzme teda, že máme dva zlomky s rôznymi menovateľmi. A chceme zabezpečiť, aby menovatelia boli rovnakí. Na pomoc prichádza hlavná vlastnosť zlomku, ktorá, dovoľte mi pripomenúť, znie takto:

Zlomok sa nemení, ak sa jeho čitateľ a menovateľ vynásobia rovnakým nenulovým číslom.

Ak teda vyberiete faktory správne, menovatelia zlomkov sa budú rovnať - tento proces sa nazýva redukcia na spoločného menovateľa. A požadované čísla, "vyrovnanie" menovateľov, sa nazývajú dodatočné faktory.

Prečo potrebujete priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi? Tu je len niekoľko dôvodov:

1. Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Neexistuje žiadny iný spôsob vykonania tejto operácie;
2. Porovnanie zlomkov. Niekedy redukcia na spoločného menovateľa značne zjednodušuje túto úlohu;
3. Riešenie problémov s akciami a percentami. Percentá sú v skutočnosti bežné výrazy, ktoré obsahujú zlomky.

Existuje mnoho spôsobov, ako nájsť čísla, pri ktorých sa menovatelia pri vynásobení rovnajú. Budeme zvažovať iba tri z nich - v poradí zvyšujúcej sa zložitosti a v istom zmysle efektívnosti.

Násobenie "krížom"

Najjednoduchší a najspoľahlivejší spôsob, ktorý zaručene vyrovná menovateľov. Budeme konať „vpredu“: prvý zlomok vynásobíme menovateľom druhého zlomku a druhý menovateľom prvého. V dôsledku toho sa menovatelia oboch zlomkov stanú rovnými súčinu pôvodných menovateľov. Pozri sa:

Ako ďalšie faktory zvážte menovateľov susedných zlomkov. Dostaneme:

Áno, je to také jednoduché. Ak sa práve začínate učiť zlomky, je lepšie pracovať s touto metódou - týmto spôsobom sa poistíte proti mnohým chybám a zaručene dostanete výsledok.

Jedinou nevýhodou tejto metódy je, že musíte veľa počítať, pretože menovatele sa násobia „dopredu“ a v dôsledku toho je možné získať veľmi veľké čísla. To je cena za spoľahlivosť.

Metóda spoločného deliteľa

Táto technika pomáha výrazne znížiť výpočty, ale bohužiaľ sa používa zriedka. Metóda je nasledovná:

1. Pozrite sa na menovateľov predtým, ako prejdete „prechodom“ (t. j. „prekrížte sa“). Možno je jeden z nich (ten, ktorý je väčší) deliteľný druhým.
2. Číslo vyplývajúce z takéhoto delenia bude dodatočným faktorom pre zlomok s menším menovateľom.
3. Zlomok s veľkým menovateľom zároveň netreba násobiť vôbec ničím – to sú úspory. Zároveň sa výrazne zníži pravdepodobnosť chyby.

Úloha. Nájsť hodnoty výrazu:

Všimnite si, že 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Keďže v oboch prípadoch je jeden menovateľ bezo zvyšku deliteľný druhým, použijeme metódu spoločných faktorov. Máme:

Všimnite si, že druhý zlomok nebol vynásobený vôbec ničím. V skutočnosti sme znížili počet výpočtov na polovicu!

Mimochodom, zlomky v tomto príklade som vzal z nejakého dôvodu. Ak máte záujem, skúste ich spočítať krížovou metódou. Po redukcii budú odpovede rovnaké, ale bude s tým oveľa viac práce.

Toto je sila metódy spoločných deliteľov, ale opäť ju možno použiť len vtedy, keď sa jeden z menovateľov vydelí druhým bezo zvyšku. Čo sa stáva dosť zriedka.

Najmenej bežná viacnásobná metóda

Keď zlomky zredukujeme na spoločného menovateľa, v podstate sa snažíme nájsť číslo, ktoré je deliteľné každým z menovateľov. Potom privedieme menovateľov oboch zlomkov k tomuto číslu.

Takýchto čísel je veľa a najmenšie z nich sa nemusí nutne rovnať priamemu súčinu menovateľov pôvodných zlomkov, ako sa predpokladá pri metóde „crosscross“.

Napríklad pre menovateľov 8 a 12 je číslo 24 celkom vhodné, pretože 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Toto číslo je oveľa menšie ako súčin 8 12 = 96 .

Najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým z menovateľov, sa nazýva ich najmenší spoločný násobok (LCM).

Zápis: Najmenší spoločný násobok aab označujeme LCM(a ; b ) . Napríklad LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 uM.

Ak sa vám podarí nájsť takéto číslo, celkový objem výpočtov bude minimálny. Pozrite si príklady:

Úloha. Nájsť hodnoty výrazu:

Všimnite si, že 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktory 2 a 3 sú koprime (nemajú žiadne spoločné deliteľe okrem 1) a faktor 117 je spoločný. Preto LCM(234; 351) = 11723 = 702.

Podobne 15 = 5 3; 20 = 54. Faktory 3 a 4 sú relatívne prvočísla a faktor 5 je bežný. Preto LCM(15; 20) = 534 = 60.

Teraz prinesme zlomky k spoločným menovateľom:

Všimnite si, aké užitočné sa ukázalo byť faktorizácia pôvodných menovateľov:

1. Po zistení rovnakých faktorov sme okamžite dosiahli najmenší spoločný násobok, čo je vo všeobecnosti netriviálny problém;
2. Z výsledného rozšírenia môžete zistiť, ktoré faktory „chýbajú“ každému zo zlomkov. Napríklad 234 3 \u003d 702, preto pre prvý zlomok je dodatočný faktor 3.

Aby ste pochopili, akú veľkú výhru dáva metóda s najmenším spoločným násobkom, skúste vypočítať rovnaké príklady pomocou krížovej metódy. Samozrejme, bez kalkulačky. Myslím, že potom budú komentáre zbytočné.

Nemyslite si, že takéto zložité zlomky nebudú v reálnych príkladoch. Stretávajú sa neustále a vyššie uvedené úlohy nie sú limitom!

Jediným problémom je, ako nájsť toto NOC. Niekedy sa všetko nájde za pár sekúnd, doslova „od oka“, ale vo všeobecnosti ide o zložitý výpočtový problém, ktorý si vyžaduje samostatné zváženie. Tu sa toho nebudeme dotýkať.

Ak chcete vyriešiť príklady so zlomkami, musíte byť schopní nájsť najmenšieho spoločného menovateľa. Nižšie je podrobný návod.

Ako nájsť najnižšieho spoločného menovateľa - koncept

Najmenší spoločný menovateľ (LCD) jednoduchými slovami je minimálny počet, ktorý je deliteľný menovateľmi všetkých zlomkov daného príkladu. Inými slovami, nazýva sa to Least Common Multiple (LCM). NOZ sa používa len vtedy, ak sú menovatele zlomkov rozdielne.

Ako nájsť najmenšieho spoločného menovateľa - príklady

Uvažujme o príkladoch nájdenia NOZ.

Vypočítajte: 3/5 + 2/15.

Riešenie (Postupnosť akcií):

• Pozeráme sa na menovateľov zlomkov, dbáme na to, aby boli rôzne a výrazy boli čo najviac zredukované.
• Nájdeme najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 5 aj 15. Toto číslo bude 15. Teda 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Zistili sme menovateľa. Čo bude v čitateli? Dodatočný multiplikátor nám to pomôže zistiť. Doplnkovým faktorom je číslo získané vydelením NOZ menovateľom konkrétneho zlomku. Pre 3/5 je dodatočný faktor 3, pretože 15/5 = 3. Pre druhý zlomok je dodatočný faktor 1, pretože 15/15 = 1.
• Po zistení dodatočného faktora ho vynásobíme čitateľmi zlomkov a pridáme výsledné hodnoty. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Odpoveď: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Ak v príklade nie sú sčítané alebo odčítané 2, ale 3 a viac zlomkov, tak v NOZ treba hľadať toľko zlomkov, koľko je zadaných.

Vypočítajte: 1/2 - 5/12 + 3/6

Riešenie (postupnosť akcií):

• Hľadanie najmenšieho spoločného menovateľa. Minimálne číslo deliteľné 2, 12 a 6 je 12.
• Získame: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Hľadáme ďalších násobiteľov. Pre 1/2 - 6; pre 5/12 - 1; na 6.3.-2.
• Vynásobíme čitateľmi a priradíme zodpovedajúce znamienka: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Odpoveď: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.