Formulácia problému

Úloha zahŕňa oboznámenie používateľa so základnými pojmami numerických metód, ako je determinant a inverzná matica, a rôznymi spôsobmi ich výpočtu. V tejto teoretickej správe sú jednoduchým a prístupným jazykom najskôr predstavené základné pojmy a definície, na základe ktorých sa uskutočňuje ďalší výskum. Používateľ nemusí mať špeciálne znalosti v oblasti numerických metód a lineárnej algebry, ale môže ľahko použiť výsledky tejto práce. Pre názornosť je uvedený program na výpočet maticového determinantu viacerými metódami napísaný v programovacom jazyku C++. Program sa používa ako laboratórny stojan na vytváranie ilustrácií k správe. Uskutočňuje sa aj štúdium metód riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc. Neužitočnosť výpočtu inverznej matice je dokázaná, preto článok poskytuje optimálnejšie spôsoby riešenia rovníc bez ich výpočtu. Je vysvetlené, prečo existuje toľko rôznych metód na výpočet determinantov a inverzných matíc a sú analyzované ich nedostatky. Zohľadňujú sa aj chyby vo výpočte determinantu a odhaduje sa dosiahnutá presnosť. Okrem ruských výrazov sú v práci použité aj ich anglické ekvivalenty, aby sme pochopili, pod akými názvami hľadať numerické postupy v knižniciach a čo znamenajú ich parametre.

Základné definície a jednoduché vlastnosti

Determinant

Uveďme si definíciu determinantu štvorcovej matice ľubovoľného rádu. Táto definícia bude opakujúci, to znamená, aby ste určili, čo je determinantom matice poradia, musíte už vedieť, čo je determinantom matice poradia. Všimnite si tiež, že determinant existuje len pre štvorcové matice.

Determinant štvorcovej matice bude označený alebo det .

Definícia 1. determinantštvorcovú maticu je volané číslo druhej objednávky .

determinant štvorcová matica poriadku sa nazýva číslo

kde je determinant matice poradia získaný z matice vymazaním prvého riadku a stĺpca s číslom .

Pre prehľadnosť napíšeme, ako môžete vypočítať determinant matice štvrtého rádu:

Komentujte. Vlastný výpočet determinantov pre matice nad tretím rádom na základe definície sa používa vo výnimočných prípadoch. Výpočet sa spravidla vykonáva podľa iných algoritmov, o ktorých sa bude diskutovať neskôr a ktoré vyžadujú menej výpočtovej práce.

Komentujte. V definícii 1 by bolo presnejšie povedať, že determinant je funkcia definovaná na množine matíc štvorcového rádu a nadobúdajúca hodnoty v množine čísel.

Komentujte. V literatúre sa namiesto pojmu „determinant“ používa aj pojem „determinant“, ktorý má rovnaký význam. Od slova „determinant“ vzniklo označenie det.

Uvažujme o niektorých vlastnostiach determinantov, ktoré formulujeme vo forme tvrdení.

Vyhlásenie 1. Pri transponovaní matice sa determinant nemení, teda .

Vyhlásenie 2. Determinant súčinu štvorcových matíc sa rovná súčinu determinantov faktorov, teda .

Vyhlásenie 3. Ak sú dva riadky v matici zamenené, potom jej determinant zmení znamienko.

Vyhlásenie 4. Ak má matica dva rovnaké riadky, jej determinant je nula.

V budúcnosti budeme musieť sčítať reťazce a vynásobiť reťazec číslom. Tieto operácie s riadkami (stĺpcami) vykonáme rovnako ako operácie s riadkovými maticami (stĺpcovými maticami), teda prvok po prvku. Výsledkom bude riadok (stĺpec), ktorý sa spravidla nezhoduje s riadkami pôvodnej matice. Za prítomnosti operácií sčítania riadkov (stĺpcov) a ich násobenia číslom môžeme hovoriť aj o lineárnych kombináciách riadkov (stĺpcov), to znamená o sumách s číselnými koeficientmi.

Vyhlásenie 5. Ak sa riadok matice vynásobí číslom, jeho determinant sa vynásobí týmto číslom.

Vyhlásenie 6. Ak matica obsahuje nulový riadok, jej determinant je nula.

Vyhlásenie 7. Ak sa jeden z riadkov matice rovná druhému vynásobenému číslom (riadky sú proporcionálne), potom je determinant matice nula.

Vyhlásenie 8. Nech i-tý riadok v matici vyzerá takto . Potom, kde sa matica získa z matice nahradením i-tého riadku riadkom, a matica sa získa nahradením i-tého riadku riadkom.

Vyhlásenie 9. Ak sa jeden z riadkov matice pridá k inému, vynásobí sa číslom, potom sa determinant matice nezmení.

Vyhlásenie 10. Ak je jeden z riadkov matice lineárnou kombináciou ostatných riadkov, potom je determinant matice nula.

Definícia 2. Algebraické sčítanie k prvku matice sa nazýva číslo rovné , kde je determinant matice získaný z matice vymazaním i-tého riadku a j-tého stĺpca. Algebraický doplnok k prvku matice sa označuje ako .

Príklad. Nechať byť . Potom

Komentujte. Pomocou algebraických sčítaní možno definíciu 1 determinantu zapísať takto:

Vyhlásenie 11. Rozklad determinantu v ľubovoľnom reťazci.

Maticový determinant spĺňa vzorec

Príklad. Vypočítajte .

rozhodnutie. Využime rozšírenie v treťom riadku, je to výhodnejšie, pretože v treťom riadku sú dve čísla z troch nuly. Získajte

Vyhlásenie 12. Pre štvorcovú maticu poriadku v , máme vzťah .

Vyhlásenie 13. Všetky vlastnosti determinantu formulované pre riadky (výroky 1 - 11) platia aj pre stĺpce, platí najmä rozšírenie determinantu v j-tom stĺpci a rovnosť v .

Vyhlásenie 14. Determinant trojuholníkovej matice sa rovná súčinu prvkov jej hlavnej uhlopriečky.

Dôsledok. Determinant matice identity sa rovná jednej, .

Záver. Vyššie uvedené vlastnosti umožňujú nájsť determinanty matíc dostatočne vysokých rádov s relatívne malým množstvom výpočtov. Algoritmus výpočtu je nasledujúci.

Algoritmus na vytváranie núl v stĺpci. Nech je potrebné vypočítať determinant objednávky. Ak , potom zameňte prvý riadok a akýkoľvek iný riadok, v ktorom prvý prvok nie je nula. V dôsledku toho sa determinant , bude rovnať determinantu novej matice s opačným znamienkom. Ak je prvý prvok každého riadku rovný nule, potom má matica nulový stĺpec a podľa výrokov 1, 13 je jej determinant rovný nule.

Takže to berieme do úvahy už v pôvodnej matici . Prvý riadok ponechajte nezmenený. Pridajme do druhého riadku prvý riadok vynásobený číslom . Potom sa prvý prvok druhého riadku bude rovnať .

Zostávajúce prvky nového druhého riadku budú označené , . Determinant novej matice podľa Príkazu 9 sa rovná . Vynásobte prvý riadok číslom a pridajte ho k tretiemu. Prvý prvok nového tretieho riadku sa bude rovnať

Zostávajúce prvky nového tretieho riadku budú označené , . Determinant novej matice podľa Príkazu 9 sa rovná .

Budeme pokračovať v procese získavania núl namiesto prvých prvkov reťazcov. Nakoniec prvý riadok vynásobíme číslom a pripočítame k poslednému riadku. Výsledkom je matica označená ako , ktorá má tvar

a . Na výpočet determinantu matice použijeme rozšírenie v prvom stĺpci

Odvtedy

Determinant matice objednávky je na pravej strane. Aplikujeme naň rovnaký algoritmus a výpočet determinantu matice sa zredukuje na výpočet determinantu matice rádu. Proces sa opakuje, kým sa nedostaneme k determinantu druhého rádu, ktorý sa vypočíta podľa definície.

Ak matica nemá žiadne špecifické vlastnosti, potom nie je možné výrazne znížiť množstvo výpočtov v porovnaní s navrhovaným algoritmom. Ďalšou dobrou stránkou tohto algoritmu je, že je ľahké napísať program pre počítač na výpočet determinantov matíc veľkých rádov. V štandardných programoch na výpočet determinantov sa tento algoritmus používa s malými zmenami spojenými s minimalizáciou vplyvu chýb zaokrúhľovania a chýb vstupných údajov v počítačových výpočtoch.

Príklad. Determinant vypočítanej matice .

rozhodnutie. Prvý riadok zostáva nezmenený. Do druhého riadku pridáme prvý, vynásobený číslom:

Determinant sa nemení. Do tretieho riadku pridáme prvý, vynásobený číslom:

Determinant sa nemení. Do štvrtého riadku pridáme prvý, vynásobený číslom:

Determinant sa nemení. V dôsledku toho dostaneme

Pomocou rovnakého algoritmu vypočítame determinant matice 3. rádu, ktorá je vpravo. Prvý riadok necháme nezmenený, k druhému riadku pridáme prvý, vynásobený číslom :

Do tretieho riadku pridáme prvý, vynásobený číslom :

V dôsledku toho dostaneme

Odpoveď. .

Komentujte. Aj keď sa pri výpočtoch používali zlomky, výsledkom bolo celé číslo. Použitím vlastností determinantov a skutočnosti, že pôvodné čísla sú celé čísla, by sa dalo vyhnúť operáciám so zlomkami. Ale v inžinierskej praxi sú čísla extrémne zriedkavo celé čísla. Preto budú prvky determinantu spravidla desatinné zlomky a nie je vhodné používať žiadne triky na zjednodušenie výpočtov.

inverzná matica

Definícia 3. Matica sa nazýva inverzná matica pre štvorcovú maticu, ak .

Z definície vyplýva, že inverzná matica bude štvorcová matica rovnakého rádu ako matica (inak by nebol definovaný jeden zo súčinov alebo).

Inverzná matica pre maticu je označená . Ak teda existuje, potom .

Z definície inverznej matice vyplýva, že matica je inverzná k matici, teda . Matice a možno povedať, že sú navzájom inverzné alebo vzájomne inverzné.

Ak je determinant matice nula, potom jej inverzná hodnota neexistuje.

Keďže pre nájdenie inverznej matice je dôležité, či sa determinant matice rovná nule alebo nie, uvádzame nasledujúce definície.

Definícia 4. Nazvime štvorcovú maticu degenerovať alebo špeciálna matrica, ak nedegenerované alebo nesingulárna matica, ak .

Vyhlásenie. Ak existuje inverzná matica, potom je jedinečná.

Vyhlásenie. Ak je štvorcová matica nedegenerovaná, potom existuje jej inverzná matica a (1) kde sú algebraické sčítania prvkov .

Veta. Inverzná matica pre štvorcovú maticu existuje vtedy a len vtedy, ak je matica nesingulárna, inverzná matica je jedinečná a vzorec (1) je platný.

Komentujte. Osobitná pozornosť by sa mala venovať miestam, ktoré zaberajú algebraické sčítania vo vzorci inverznej matice: prvý index zobrazuje číslo stĺpec, a druhé je číslo linky, do ktorej by sa mal zapísať vypočítaný algebraický doplnok.

Príklad. .

rozhodnutie. Nájdenie determinantu

Od , potom je matica nedegenerovaná a existuje jej inverzná funkcia. Hľadanie algebraických doplnkov:

Inverznú maticu zostavíme umiestnením nájdených algebraických doplnkov tak, aby prvý index zodpovedal stĺpcu a druhý riadku: (2)

Výsledná matica (2) je odpoveďou na problém.

Komentujte. V predchádzajúcom príklade by bolo presnejšie napísať odpoveď takto:
(3)

Zápis (2) je však kompaktnejší a je vhodnejšie s ním vykonávať ďalšie výpočty, ak nejaké existujú. Preto je vhodnejšie písať odpoveď v tvare (2), ak sú prvky matíc celé čísla. A naopak, ak sú prvky matice desatinné zlomky, potom je lepšie napísať inverznú maticu bez faktora vpredu.

Komentujte. Pri hľadaní inverznej matice musíte vykonať pomerne veľa výpočtov a neobvyklé pravidlo na usporiadanie algebraických sčítaní vo výslednej matici. Preto existuje vysoká pravdepodobnosť chyby. Aby ste sa vyhli chybám, mali by ste vykonať kontrolu: vypočítajte súčin pôvodnej matice konečným v jednom alebo druhom poradí. Ak je výsledkom matica identity, potom sa inverzná matica nájde správne. V opačnom prípade musíte hľadať chybu.

Príklad. Nájdite inverznú hodnotu matice .

rozhodnutie. - existovať.

odpoveď: .

Záver. Nájdenie inverznej matice podľa vzorca (1) vyžaduje príliš veľa výpočtov. Pre matice štvrtého rádu a vyššie je to neprijateľné. Skutočný algoritmus na nájdenie inverznej matice bude uvedený neskôr.

Výpočet determinantu a inverznej matice pomocou Gaussovej metódy

Na nájdenie determinantu a inverznej matice možno použiť Gaussovu metódu.

Konkrétne, maticový determinant sa rovná det .

Inverzná matica sa nachádza riešením systémov lineárnych rovníc pomocou Gaussovej eliminačnej metódy:

Kde je j-tý stĺpec matice identity , je požadovaný vektor.

Výsledné vektory riešenia - tvoria samozrejme stĺpce matice, pretože .

Vzorce pre determinant

1. Ak je matica nejednotná, potom a (súčin vedúcich prvkov).

Keďže pre nájdenie inverznej matice je dôležité, či sa determinant matice rovná nule alebo nie, uvádzame nasledujúce definície.

Definícia 14.9 Nazvime štvorcovú maticu degenerovať alebo špeciálna matrica, ak nedegenerované alebo nesingulárna matica, ak .

Ponuka 14.21 Ak existuje inverzná matica, potom je jedinečná.

Dôkaz. Nech dve matice a sú inverzné k matici . Potom

Preto, .

Cramerovo pravidlo.

Nechajte maticovú rovnicu AX=B

Kde ; je determinant získaný z determinantu D výmena i-tý stĺpec stĺpcom voľných členov matice B:

Dôkaz Veta je rozdelená do troch častí:

1. Riešenie sústavy (1) existuje a je jedinečné.

2. Rovnice (2) sú dôsledkom maticovej rovnice (1).

3. Rovnosti (2) znamenajú maticovú rovnicu (1).

Pretože existuje aj jedinečná inverzná matica.
Vynásobením oboch častí maticovej rovnice (1) vľavo číslom získame riešenie tejto rovnice:

jedinečnosť inverzná matica dokazuje prvú časť vety.

Prejdime k dôkazu individuálna korešpondencia medzi vzorcami (1) a (2).

Pomocou vzorca (4) získame výraz pre i- prvok. Na to je potrebné násobiť i-tý riadok matice

na stĺpec B.

Vzhľadom na to i-tý riadok pridruženej matice je zložený z algebraických sčítaní, dostaneme nasledujúci výsledok:

Odvodenie Cramerových vzorcov je dokončené. Teraz ukážme, že výrazy

Zmeňme poradie súčtu na pravej strane výsledného výrazu:

kde je symbol delty Kronecker.

Vzhľadom na to, že symbol delta odstraňuje súčet nad jedným z indexov, dostaneme požadovaný výsledok:

Komplexné čísla: Cieľom je definovať nové objekty pomocou známych. Reálne čísla sú umiestnené na priamke. Pri prechode do roviny získame komplexné čísla. Definícia: Komplexné číslo je dvojica reálnych čísel z = (a,b). Číslo a = Re z sa nazýva reálna časť a b = Im z imaginárna časť komplexného čísla z .

Operácie s komplexnými číslami: Komplexné čísla z1 z2 sú Z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 & Im z1 = Im z2. Doplnenie: Z=z1+z2. ⇔Rez=Rez1+Rez2 & Imz1+ Imz2. Číslo (0,0) je označené 0. Toto je neutrálny prvok. Je overené, že sčítanie komplexných čísel má vlastnosti podobné vlastnostiam sčítania reálnych čísel. (1. Z1+ z2 = z2 + z1 – komutivita; 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 – asociativita; 3. Z1 + 0 = z1 - existencia nuly (neutrálny prvok); 4. z + (−z) = 0 - existencia opačného prvku). Násobenie: z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1. Komplexné číslo z leží na reálnej osi, ak Imz = 0 . Výsledky operácií s takýmito číslami sa zhodujú s výsledkami operácií s obyčajnými reálnymi číslami. Násobenie komplexných čísel má vlastnosti uzavretosti, komutatívnosti a asociatívnosti. Číslo (1,0) označíme 1. Pri násobení ide o neutrálny prvok Ak a∈ R, z ∈C , potom Re(az) = aRe z, Im(az) = a Imz . DefiníciaČíslo (0,1) je označené i a nazýva sa imaginárna jednotka. V tomto zápise získame reprezentáciu komplexného čísla v algebraickom tvare: z = a + ib, a,b∈ R. i=-1.(a,b)=(a,0)+(0,b);(a,0)+b(0,1)=a+ib=z; (al+ib)(a2+ib2)=ala2+i(alb2+1-a2b1)-blb2; (a+ib)(1+0i)=a+ib; z(a,b), z(0+io)=0; z!=0; a 2 + b 2 > 0 (a + ib) (a-ib / a 2 + b 2) = 1. Číslo je tzv. konjugovať až z, ak Re = Re z; Im =- som z.

= + ; = ; z =(a+ib)(a-ib)=a2+b 2 Modul čísla z je reálne číslo| z |= . Spravodlivý vzorec| z| 2 = z Z definície vyplýva, že z ≠ 0⇔| z|≠ 0. z-1 = /|z| 2 (1)

Trigonometrický tvar komplexného čísla: a=rcos(t); b=r sin(t). Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t))(2) t-argument komplexného čísla. Z1=z2 =>|z1|=|z2|

arg(z1)-arg(z2)=2pk.

Z1=r1(cos(t1)+izín(t1), Z2=r2(cos(t2)+izín(t2)), Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isín(t1+t2)( jeden)

Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2)

Z!=0 z -1 = /|z| 2 = 1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t))

R(cos(t)-isin(t))

Definícia: Koreň stupňa n z jednoty je riešením rovnice z n =1 Návrh. Existuje n rôznych n-tých koreňov jednoty. Zapisujú sa ako z = cos(2 π k / n) + isin(2 π k / n), k = 0,..., n −1 . Veta. V množine komplexných čísel má rovnica vždy n riešení.Z=r(cos(t)+isin(t)); z n =r n (cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>z n =1 .Z-celé čísla. K patrí do Z. k=2=E2=En-1En; En = 1; En+p=Ep. Je teda dokázané, že riešenia rovnice sú vrcholy pravidelného n-uholníka a jeden z vrcholov sa zhoduje s 1.

n-tá odmocnina z 0. Z k \u003d Z 0; Z0 = 0 = > Z = 0; Z°!=0;Z=r(cos(t)-isin(t)); Zo \u003d r0 (cos (to) + isin (to)); r0!=0; Z n \u003d r n (cos (nt) + isin (nt))

r n \u003d r 0, nt-t 0 \u003d 2pk; r=; t=(2pk+to)/n; z= (cos((2pk+t0)/n)+isin((2pk+t0)/n)= (cos t0/n+isin t0/n)(cos(2pk/n)+isin(2pk/n) )=ZiEk;z=ziEk;Zin=z 0, k=0, n=1

Matrice. Definícia: Matica m × n je obdĺžniková tabuľka obsahujúca m riadkov a n stĺpcov, ktorých prvky sú reálne alebo komplexné čísla. Maticové prvky majú dvojité indexy.

Ak m = n, potom ide o štvorcovú maticu rádu m a prvky s rovnakým indexom tvoria hlavnú diagonálu matice.

Maticové operácie: Definícia: Volajú sa dve matice A,B

rovnaké, ak sú ich veľkosti rovnaké a A = B,1≤ i ≤ m,1≤ j ≤ n

Doplnenie. Zohľadňujú sa matice rovnakej veľkosti. Definícia:C = A + B ⇔ C = A + B, ∀i, j Ponuka. Sčítanie matice je komutatívne, asociatívne, existuje neutrálny prvok a pre každú maticu existuje prvok opačný.

Neutrálnym prvkom je nulová matica, ktorej všetky prvky sú rovné 0. Označuje sa Θ.

Násobenie. Maticu m × n A označujeme Amn . Definícia: C mk =A mn B nk ó

C= Všimnite si, že násobenie vo všeobecnosti nie je komutatívne. Uzavretie platí pre štvorcovú maticu pevnej veľkosti. Nech sú dané tri matice Amn , Bnk , Ckr. Potom (AB)C = A(BC). Ak existuje súčin 3 matíc, potom je asociatívny.

Symbol Kronecker δij. Je to 1, ak sa indexy zhodujú, a 0 v opačnom prípade. Definícia. Matica identity I n je štvorcová matica rádu n, pre ktorú platí rovnosti n I n [ i | j] = 5ij Ponuka. Rovnosti I m A mn =A mn I n =A mn

Sčítanie a násobenie matíc je spojené so zákonmi distributivity. A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC;(A(B+C)= = = +

Maticová transpozícia. Transponovaná matica je matica získaná z pôvodnej matice nahradením riadkov stĺpcami.

(A+B) T = A T + B T

(AB) T \u003d B T A T; (AB) T \u003d (AB) \u003d \u003d (B T A T)

Násobenie matice číslom. Súčin čísla a a matice A mn sa nazýva nová matica B=aA

1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA;

A(BC)=(aB)C=B(aC); (ab)A=a(bA)=b(aA)

lineárny priestor(L) nad poľom F sa nazýva množina vektorov L=(α,β..)

1.α+β=β+α(komutivita) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ, (ab)α=a(bα)(asociativita) 3.α+θ=α, α∙1=α(existencia neutrálu) 4.α+(-α)=θ (existencia protikladu)

a(α+β)=aα+aβ, (a+b)α=aα+bα. Dokumentácia (|(a+b)α|=|a+b||α|, |aα|=|a||α|,|bα|=|b||α|, a a b>0, |a +b|=a+b,|a|=a,|b|=b.) aα+(-a)α=θ, (a+0)α=aα

Príkladom lineárneho priestoru je množina matíc pevnej veľkosti s operáciami sčítania a násobenia číslom.

Systém lineárnych vektorov je tzv lineárne závislé, ak 1.a 1 ,a 2 ..a n ≠0 2. a 1 α 1 ,a 2 α 2 ..a n α n =θ Ak systém nie je lineárne závislý, tak je lineárne nezávislý. Uvažujme 1. n=1 α 1 závisí. a 1 ≠0, a 1 α 1 =θ, a 1 -1 (a 1 α 1)= a 1 -1∙ θ=θ, (a 1 -1 a 1)α 1 =1∙α 1 =α 1 ; 2. n=2 α 1 ,α 2 závis. a 1 ≠ 0, a 1 α 1 + a 2 α 2 = θ, α 1 = -a 1 -1 a 2 α 2 = b 2 α 2; 3.n≥2 α 1 ..α n závisí. a 1 ≠0, α 1 =Σ k =2 n b k α k, 1α 1 - Σ k =2 n b k α k =θ, (1,b 2 ..b n)≠0

Ponuka: Systém vektorov obsahujúci viac ako 1 vektor je lineárne závislý, potom je niektorý vektor systému lineárnou kombináciou ostatných.

Ak systém vektorov obsahuje lineárne závislý podsystém, potom je lineárne závislý celý systém. Dokumentácia: (α 1 ..α n závisí. Systém: α 1 ..α n ;α n +1 ..α m , a 1 α 1 +..+a n α n +0α n +1 +.. +0α m =θ, a 1 ..a n ,0..0≠0.) Ak systém obsahuje nulový vektor, potom je lineárne závislý. Veta o lineárnom priestore: (Nech sú uvedené 2 sústavy vektorov α 1 ..α m , β 1 ..β n. Sústava vektorov α je vyjadrená v β, ak každý vektor α je lineárna kombinácia β α i = Σ k =1 n a ik β k , (α ) ( (β), (β) ( (γ)→ (α) ( (γ)) Veta: Dané 2 sústavy vektorov, α je nezávislé a, (α) ( (β)→m≤n Dokážme, že α 1 ..α m +1 β 1 ..β m (α) ( (β)→(α ) závisí (Dokážme indukciou. m=1: α 1 =a 11 β 1, α 2 =a 21 β 1. a 11 =0→ α 1 =θ. a 11 α 2 – a 21 α 1 = a 11 a 21 β 1 - a 21 a 11 β 1 =θ α 1 = a 11 β 1 +.. a 1 n -1 β n -1 .. α n = a n 1 β 1 + .. a nn -1 β n - 1 Ak všetky koeficienty =0 a 11 =a 12 =..=a 1 n -1 =0→ α 1 =θ→ celý systém je lineárne závislý a 1 n -1 ≠0 α 2 ′= α 2 – с 2 α 1 =b 21 β 1 +..+b 2 n -2 β n -2, c 2 =a 2 n -1 / a 1 n -1, α 3 ′= α 3 –с 3 α 1 . α n ′= α n –с n α 1. Predindukciou existuje nenulová množina čísel d 2 ..d n: d 2 α 2 ′+d 3 α 3 ′+.. d n α n ′=θ, d 2 ( α 2 –с 2 α 1)+d 3 (α 3 –с 3 α 1)+.. d n (α n –с n α 1)=θ, (α) ( (β) , m>n →(α )závisí, či (α) je nezávislé →m≤n)

MLNP-max.line.nezávislý.subsystém. Nech je daná sústava vektorov α 1 ..α n nejakého podsystému. α i 1 ..α in sa nazýva MLIS, ak 1. α 1 ..α n je nezávislé2. α i 1 ..α ir , α ij závisí. Každý vektor systému je lineárnou kombináciou vektorov MLLM. ( α i 1 ..α ir , α ij závislé a i 1 α i 1 +.. a ir α ir +a ij α ij =θ

a i 1 ..a ir , a ij ≠0 ak a ij =0 → a i 1 α i 1 +.. a ir α ir =θ a i 1 ..a ir =0 rozpor a ij ≠0 α ij = a ij - 1 (-a i 1 α i 1 -.. a ir α ir) (α 1 ..α n) ( (α i 1 ..α ir)

Dôsledok: Akékoľvek 2 MLIS z jedného systému vektorov obsahujú rovnaký počet vektorov (α i 1 ..α ir) ( (α j 1 ..α jk), (α j 1 ..α jk) ( (α i 1 . .α ir ) k≤r, r≤k →r=k Počet MLLM vektorov je tzv. hodnosť pôvodný systém. V prípade lineárneho priestoru (systém vektorov sa skladá zo všetkých vektorov v priestore) je MLLM mb buď konečný alebo nekonečný. Zvažujeme posledný prípad. Počet vektorov (rank) je rozmer lineárneho priestoru. základňa MLNP. Priestor riadených segmentov. Tvoria sa dva nekolineárne vektory základňu v priestore vektorov na rovine. α 3 = α 1 ′+ α 2 ′ = a 1 α 1 + a 2 α 2 . 3 vektory lineárne závislé α 3 =a 1 α 1 + a 2 α 2 . Komplanarita - 3 vektory sú rovnobežné s tou istou rovinou α 4 = α 4 ′+ α 5 ′, α 4 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2, α 5 ′= a 3 α 3, α 4 = a 1 α 1 + a 2 α 2 + a 3 α 3 . Priestor strún dĺžky n. α= Ponuka: Priestor strún dĺžky n má rozmer n. (ξ 1 =<1…0>ξ2 =<0,1…0>.. n =<0…1>,a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 +.. a n ξ n =θ=<0,..0> → a 1 =a 2 =..a n =0 (lineárna nezávislosť) β= β= b 1 ξ 1 + b 2 ξ 2 +.. b n ξ n →priestor strún dĺžky n má rozmer a n.

Hodnosť matice.

Dva systémy vektorov α a β sa nazývajú ekvivalentné, ak každý vektor

α( β(vyjadrené) a β(α.

Ponuka. Rad ekvivalentných systémov sa zhoduje.

α i 1 , α i 2 ,…, α ir – MLLM α , β i 1 , β i 2 ,…, β ik – MLLM β , α i 1 , α i 2 ,…, α ir< β < β i 1 , β i 2 ,…, β ik → r<=k

Zámena miest α a β → r>=k >>> Preto r=k.

Definícia. Nech matica A=

α i =

Poradie matice A sa nazýva poradie systému vektorov α1, α2,…, αm, zloženého z tejto matice >>rank(A)-rank

Z definície je zrejmé, že pri preusporiadaní stĺpcov sa poradie nemení. Ukážme, že pri preusporiadaní stĺpcov sa nemení ani poradie.

A'=

α'i=

Lineárne závislé:

b 1 α 1 + b 2 α 2 +…+ b m α m =θ, b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0, b 1 α' 1 + b 2 α' 2 +…+ b m α' m , b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0

Rovná sa súčtu súčinov prvkov niektorého riadku alebo stĺpca a ich algebraických doplnkov, t.j. , kde i 0 je pevné.
Výraz (*) sa nazýva rozklad determinantu D z hľadiska prvkov riadku s číslom i 0 .

Pridelenie služby. Táto služba je určená na online vyhľadanie determinantu matice s návrhom celého priebehu riešenia vo formáte Word. Okrem toho sa v Exceli vytvorí šablóna riešenia.

Poučenie. Vyberte rozmer matice a kliknite na Ďalej.

Maticový rozmer 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Existujú dva spôsoby výpočtu determinantu: a-priorstvo a rozklad po riadkoch alebo stĺpcoch. Ak chcete nájsť determinant vytvorením núl v jednom z riadkov alebo stĺpcov, môžete použiť túto kalkulačku.

Algoritmus na nájdenie determinantu

1. Pre matice rádu n=2 sa determinant vypočíta podľa vzorca: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Pre matice rádu n=3 sa determinant vypočíta cez algebraické sčítania resp Sarrusova metóda.
3. Matica s rozmerom väčším ako tri sa rozloží na algebraické sčítania, pre ktoré sa vypočítajú ich determinanty (vedľajšie). Napríklad, Maticový determinant 4. rádu sa nachádza prostredníctvom rozšírenia v riadkoch alebo stĺpcoch (pozri príklad).

Na výpočet determinantu obsahujúceho funkcie v matici sa používajú štandardné metódy. Napríklad vypočítajte determinant matice 3. rádu:

Využime rozšírenie prvého riadku.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Metódy výpočtu determinantov

Nájdenie determinantu pomocou algebraických sčítaní je bežná metóda. Jeho zjednodušenou verziou je výpočet determinantu Sarrusovým pravidlom. Pri veľkom rozmere matice sa však používajú tieto metódy:

1. výpočet determinantu znížením objednávky
2. výpočet determinantu Gaussovou metódou (redukovaním matice do trojuholníkového tvaru).

V Exceli sa na výpočet determinantu používa funkcia = MOPRED (rozsah buniek).

Aplikované použitie determinantov

Determinanty sa počítajú spravidla pre konkrétny systém a sú uvedené vo forme štvorcovej matice. Zvážte niektoré typy úloh nález maticového determinantu. Niekedy je potrebné nájsť neznámy parameter a, pre ktorý by sa determinant rovnal nule. Na tento účel je potrebné zostaviť rovnicu pre determinant (napríklad podľa trojuholníkové pravidlo) a prirovnaním k 0 vypočítajte parameter a .
rozklad podľa stĺpcov (podľa prvého stĺpca):
Vedľajšie pre (1,1): Odstráňte prvý riadok a prvý stĺpec z matice.
Poďme nájsť determinant pre túto maloletú. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.

Určme vedľajšiu hodnotu pre (2,1): aby sme to urobili, vymažeme z matice druhý riadok a prvý stĺpec.

Poďme nájsť determinant pre túto maloletú. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Vedľajšie pre (3,1): Vymažte 3. riadok a 1. stĺpec z matice.
Poďme nájsť determinant pre túto maloletú. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Hlavný determinant je: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Nájdite determinant pomocou rozšírenia o riadky (o prvý riadok):
Vedľajšie pre (1,1): Odstráňte prvý riadok a prvý stĺpec z matice.

Poďme nájsť determinant pre túto maloletú. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. Vedľajšie pre (1,2): Odstráňte 1. riadok a 2. stĺpec z matice. Vypočítajme determinant pre túto minoritu. ∆ 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. A aby sme našli vedľajšiu hodnotu pre (1,3), vymažeme z matice prvý riadok a tretí stĺpec. Poďme nájsť determinant pre túto maloletú. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Nájdeme hlavný determinant: ∆ \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi nazývaný systém formulára

kde aij a b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sú niektoré známe čísla a x 1,…,x n- neznámy. V zápise koeficientov aij prvý index i označuje číslo rovnice a druhé j je počet neznámych, pri ktorých tento koeficient stojí.

Koeficienty pre neznáme budú zapísané vo forme matice , ktorú budeme volať systémová matica.

Čísla na pravej strane rovníc b1,…,b m volal voľných členov.

Agregátne nčísla c 1,…,c n volal rozhodnutie tejto sústavy, ak sa každá rovnica sústavy stane rovnosťou po dosadení čísel do nej c 1,…,c n namiesto zodpovedajúcich neznámych x 1,…,x n.

Našou úlohou bude nájsť riešenia systému. V tomto prípade môžu nastať tri situácie:

Systém lineárnych rovníc, ktorý má aspoň jedno riešenie, sa nazýva kĺb. V opačnom prípade, t.j. ak systém nemá riešenia, tak sa volá nezlučiteľné.

Zvážte spôsoby, ako nájsť riešenia systému.

MATICOVÁ METÓDA NA RIEŠENIE SYSTÉMOV LINEÁRNYCH ROVNIC

Matice umožňujú stručne zapísať sústavu lineárnych rovníc. Nech je daný systém 3 rovníc s tromi neznámymi:

Zvážte maticu systému a maticové stĺpce neznámych a voľných členov

Poďme nájsť produkt

tie. ako výsledok súčinu získame ľavé strany rovníc tohto systému. Potom pomocou definície maticovej rovnosti možno tento systém zapísať ako

alebo kratšie A∙X = B.

Tu matice A a B sú známe a matice X neznámy. Treba ju nájsť, pretože. jeho prvky sú riešením tohto systému. Táto rovnica sa nazýva maticová rovnica.

Nech je determinant matice odlišný od nuly | A| ≠ 0. Potom sa maticová rovnica vyrieši nasledovne. Vynásobte obe strany rovnice vľavo maticou A-1, inverzná k matici A: . Pokiaľ ide o A-1 A = E a E∙X=X, potom získame riešenie maticovej rovnice v tvare X = A-1 B .

Všimnite si, že keďže inverznú maticu možno nájsť len pre štvorcové matice, maticová metóda môže riešiť len tie systémy, v ktorých počet rovníc je rovnaký ako počet neznámych. Maticový zápis sústavy je však možný aj v prípade, keď sa počet rovníc nerovná počtu neznámych, potom matica A nie je štvorcový a preto nie je možné nájsť riešenie systému vo forme X = A-1 B.

Príklady. Riešiť sústavy rovníc.

CRAMEROVO PRAVIDLO

Uvažujme systém 3 lineárnych rovníc s tromi neznámymi:

Determinant tretieho rádu zodpovedajúci matici systému, t.j. zložené z koeficientov pri neznámych,

volal systémový determinant.

Ďalšie tri determinanty poskladáme takto: postupne nahradíme 1, 2 a 3 stĺpce v determinante D stĺpcom voľných členov

Potom môžeme dokázať nasledujúci výsledok.

Veta (Cramerovo pravidlo). Ak je determinantom systému Δ ≠ 0, potom uvažovaný systém má len jedno riešenie a

Dôkaz. Uvažujme teda o systéme 3 rovníc s tromi neznámymi. Vynásobte 1. rovnicu sústavy algebraickým doplnkom A 11 prvok 11, 2. rovnica - zap A21 a 3. - dňa A 31:

Pridajme tieto rovnice:

Zvážte každú zo zátvoriek a pravú stranu tejto rovnice. Podľa vety o expanzii determinantu z hľadiska prvkov 1. stĺpca

Podobne možno ukázať, že a .

Nakoniec je ľahké to vidieť

Dostaneme teda rovnosť: .

Preto, .

Rovnosti a sú odvodené podobne, odkiaľ nasleduje tvrdenie vety.

Poznamenávame teda, že ak je determinantom systému Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie a naopak. Ak je determinant sústavy rovný nule, tak sústava má buď nekonečnú množinu riešení, alebo nemá riešenia, t.j. nezlučiteľné.

Príklady. Vyriešte sústavu rovníc

GAUSSOVÁ METÓDA

Predtým uvažované metódy možno použiť na riešenie iba tých systémov, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych a determinant systému musí byť odlišný od nuly. Gaussova metóda je univerzálnejšia a je vhodná pre sústavy s ľubovoľným počtom rovníc. Spočíva v postupnom odstraňovaní neznámych z rovníc sústavy.

Zvážte znova systém troch rovníc s tromi neznámymi:

.

Prvú rovnicu necháme nezmenenú a z 2. a 3. vylúčime členy obsahujúce x 1. Aby sme to dosiahli, vydelíme druhú rovnicu o a 21 a vynásobte - a 11 a potom pridajte s 1. rovnicou. Podobne rozdelíme aj tretiu rovnicu na a 31 a vynásobte - a 11 a potom ho pridajte k prvému. V dôsledku toho bude mať pôvodný systém podobu:

Teraz z poslednej rovnice vylúčime člen obsahujúci x2. Ak to chcete urobiť, vydeľte tretiu rovnicu číslom, vynásobte číslom a pridajte ho k druhému. Potom budeme mať systém rovníc:

Z poslednej rovnice je teda ľahké ju nájsť x 3, potom z 2. rovnice x2 a nakoniec od 1. x 1.

Pri použití Gaussovej metódy je možné rovnice v prípade potreby zameniť.

Často sa namiesto písania nového systému rovníc obmedzujú na písanie rozšírenej matice systému:

a potom ho pomocou elementárnych transformácií priviesť do trojuholníkového alebo diagonálneho tvaru.

Komu elementárne transformácie matice zahŕňajú nasledujúce transformácie:

1. permutácia riadkov alebo stĺpcov;
2. násobenie reťazca nenulovým číslom;
3. pridávanie ďalších riadkov do jedného riadku.

Príklady: Riešiť sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy.

Systém má teda nekonečné množstvo riešení.

2.Ak │A│=0, potom je matica A degenerovaná a inverzná matica A -1 neexistuje.

Ak sa determinant matice A nerovná nule, potom existuje inverzná matica.

3. Nájdite A T transponované do A.

4. Nájdite algebraické doplnky prvkov transponovanej matice a poskladajte z nich adjungovanú maticu. 5. Inverznú maticu vypočítame podľa vzorca: 6. Skontrolujeme správnosť výpočtu inverznej matice na základe jej definície A -1 ∙A = A ∙A -1 = E.

· №28

· V matici m x n možno vymazaním ľubovoľných riadkov a stĺpcov vybrať štvorcové podmatice k-tého rádu, kde k≤min(m; n). Determinanty takýchto podmatíc sa nazývajú k-teho rádu menšie matice A.

· Hodnosť matice A je najvyšším rádom nenulových neplnoletých v tejto matici.

· Hodnosť matice A je označená ako rang A alebo r(A).

· Z definície vyplýva:

· 1) poradie matice veľkosti m x n nepresahuje najmenšiu z jej veľkostí, t.j. r(A) < min (m; n).

· 2) r(A)=0 práve vtedy, ak sú všetky prvky matice rovné nule, t.j. A = 0.

· 3) Pre štvorcovú maticu n-tého rádu platí r(A) = n práve vtedy, ak je matica A nesingulárna.

· Vo všeobecnosti je určenie hodnosti matice sčítaním všetkých maloletých dosť namáhavé. Na uľahčenie tejto úlohy sa používajú elementárne transformácie, ktoré zachovávajú poradie matice:

· 1) Zamietnutie nultého riadku (stĺpca).

· 2) Násobenie všetkých prvkov riadku (stĺpca) matice nenulovým číslom.

· 3) Zmena poradia riadkov (stĺpcov) matice.

· 4) Pridanie ku každému prvku jedného riadka (stĺpca) zodpovedajúcich prvkov iného riadku (stĺpca), vynásobené ľubovoľným číslom.

· 5) Maticová transpozícia.

· Veta. Hodnosť matice sa pri elementárnych transformáciách matice nezmení.

№31

— Nech sa počet rovníc v sústave (1) rovná počtu premenných, t.j. m=n. Potom je matica systému štvorcová a jej determinant Δ=│A│ sa nazýva determinant systému.

— Predpokladajme, že │А│ sa nerovná nule, potom existuje inverzná matica A -1 .

— Vynásobením oboch častí maticovej rovnosti vľavo inverznou maticou A -1 dostaneme:

— A -1 (AX) \u003d A -1 B.

Riešením sústavy rovníc metódou inverznej matice bude stĺpcová matica:

X \u003d A -1 B.

(A -1 A)X \u003d EX \u003d X

— Cramerova veta. Nech Δ je determinant matice systému A a Δ j je determinant matice získanej z matice nahradením j-tého stĺpca stĺpcom voľných členov. Potom, ak sa Δ nerovná nule, potom má systém jedinečné riešenie definované Cramerovými vzorcami:

kde j=1..n.

№33

—
Gaussova metóda - metóda postupnej eliminácie premenných - spočíva v tom, že pomocou elementárnych transformácií sa sústava rovníc redukuje na ekvivalentnú sústavu stupňovitého alebo trojuholníkového typu.

— Zvážte maticu:

— táto matica sa nazýva rozšírená matica systému (1), pretože okrem matice systému A obsahuje aj stĺpec voľných členov.

№26

— N-rozmerný vektor je usporiadaná množina n reálnych čísel zapísaných ako X=(x 1,x 2,...x n), kde x i je i-tá zložka vektora X.

— Dva n-rozmerné vektory sú rovnaké práve vtedy, ak sú ich príslušné zložky rovnaké, t.j. X=Y, ak x i = y i, i=1…n.

Množina vektorov s reálnymi zložkami, v ktorej sú definované operácie sčítania vektorov a násobenia vektora číslom, ktoré spĺňajú vyššie uvedené vlastnosti, sa nazýva vektorový priestor.

— Vektorový priestor R sa nazýva n-rozmerný, ak je v ňom n lineárne nezávislých vektorov a ľubovoľných n + 1 vektorov je už závislých. Číslo n sa nazýva dimenzia vektorového priestoru R a označuje sa dim(R).

№29

Lineárne operátory

— Definícia. Ak je daný zákon (pravidlo), podľa ktorého každý vektor x priestoru je spojený s jedným vektorom y priestoru

potom hovoria: že je daný operátor (transformácia, zobrazenie) A(x), pôsobiaci od do a

napíšte y=A(x).

— Operátor sa nazýva lineárny, ak pre ľubovoľný vektor x a y priestoru

a ľubovoľné číslo λ, platia nasledujúce vzťahy:

№37

— Nech А je množina pozostávajúca z konečného počtu prvkov a 1 , a 2 , a 3 …a n . Skupiny môžu byť vytvorené z rôznych prvkov množiny A. Ak každá skupina obsahuje rovnaký počet prvkov m (m z n), potom sa hovorí, že tvoria zlúčeniny n prvkov, z ktorých každý má m. Existujú tri typy pripojení: umiestnenia, kombinácie a permutácie.

— spojenia, z ktorých každý obsahuje všetkých n prvkov množiny A, a ktoré sa preto navzájom líšia len v poradí prvkov, sa nazývajú permutácie n prvkov. Počet takýchto permutácií je označený symbolom Р n .

№35

Klasická definícia pravdepodobnosti je založená na koncepte ekvipravdepodobnosti udalostí.

Ekvivalencia udalostí znamená, že nie je dôvod uprednostňovať niektorú z nich pred ostatnými.

Uvažujme test, v dôsledku ktorého môže nastať udalosť A. Každý výsledok, v ktorom nastane udalosť A, sa nazýva priaznivá udalosť A.

Pravdepodobnosť udalosti A (označená P(A)) je pomer počtu výsledkov priaznivých pre udalosť A (označenej ako k) k počtu všetkých výsledkov testu - N t.j. P(A)=k/N.

— Z klasickej definície pravdepodobnosti vyplývajú tieto vlastnosti:

— Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti leží medzi nulou a jednou.

— Pravdepodobnosť určitej udalosti sa rovná jednej.

— Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová

№39, 40

— Sčítací teorém. Ak sú A a B nekonzistentné, potom P(A + B) = P(A) + P(B)