Toto je uhol tvorený dvoma akordy vznikajúce v jednom bode kruhu. Hovorí sa, že vpísaný uhol je spolieha na oblúku uzavretom medzi jeho stranami.
Vpísaný uhol rovná polovici oblúka, na ktorom spočíva.
Inými slovami, vpísaný uhol zahŕňa toľko stupňov, minút a sekúnd, koľko oblúkové stupne, minúty a sekundy sú uzavreté v polovici oblúka, o ktorý sa opiera. Pre odôvodnenie analyzujeme tri prípady:
Prvý prípad:
Stred O sa nachádza na boku vpísaný uhol ABS. Nakreslením polomeru AO dostaneme ΔABO, v ktorom OA = OB (ako polomery) a podľa toho ∠ABO = ∠BAO. V súvislosti s týmto trojuholník, uhol AOC je vonkajší. A tak sa rovná súčtu uhlov ABO a BAO alebo sa rovná dvojitému uhlu ABO. Takže ∠ABO je polovica centrálny roh AOC. Ale tento uhol sa meria pomocou oblúka AC. To znamená, že vpísaný uhol ABC sa meria polovicou oblúka AC.
Druhý prípad:
Stred O sa nachádza medzi stranami vpísaný uhol ABC. Po nakreslení priemeru BD rozdelíme uhol ABC na dva uhly, z ktorých jeden je podľa uvedeného v prvom prípade meraný polovicou oblúky AD a druhá polovica oblúkového CD. A podľa toho sa uhol ABC meria pomocou (AD + DC) / 2, t.j. 1/2 AC.
Tretí prípad:
Centrum O sa nachádza vonku vpísaný uhol ABS. Po nakreslení priemeru BD budeme mať: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Ale uhly ABD a CBD sa merajú na základe predtým podložených polovíc oblúky AD a CD. A keďže ∠ABС sa meria (AD-CD)/2, to znamená polovica oblúka striedavého prúdu.
Dôsledok 1. Akékoľvek , založené na rovnakom oblúku sú rovnaké, to znamená, že sú si navzájom rovné. Keďže každý z nich je meraný polovicou toho istého oblúky .
Dôsledok 2. Vpísaný uhol, na základe priemeru - pravý uhol. Pretože každý takýto uhol sa meria polovicou polkruhu, a preto obsahuje 90 °.
Vpísaný uhol, teória problému. Priatelia! V tomto článku si povieme o úlohách, na riešenie ktorých je potrebné poznať vlastnosti vpísaného uhla. Ide o celú skupinu úloh, ktoré sú zahrnuté v skúške. Väčšina z nich je vyriešená veľmi jednoducho, v jednom kroku.
Existujú aj ťažšie úlohy, ale nebudú pre vás predstavovať veľké ťažkosti, musíte poznať vlastnosti vpísaného uhla. Postupne rozoberieme všetky prototypy úloh, pozývam vás na blog!
Teraz potrebná teória. Pripomeňme si, aký stredový a vpísaný uhol, tetiva, oblúk, o ktorý sa tieto uhly opierajú:
Stredový uhol v kruhu sa nazýva plochý uhol svrchol v jeho strede.
Časť kruhu, ktorá je vo vnútri plochého rohunazývaný oblúk kruhu.
Miera stupňa oblúka kruhu je miera stupňovzodpovedajúci stredový uhol.
Uhol sa nazýva vpísaný do kruhu, ak vrchol uhla ležína kruhu a strany uhla pretínajú tento kruh.
Úsečka, ktorá spája dva body na kružnici, sa nazývaakord. Najdlhšia struna prechádza stredom kruhu a je tzvpriemer.
Ak chcete vyriešiť problémy pre uhly vpísané do kruhu,musíte poznať nasledujúce vlastnosti:
1. Vpísaný uhol sa rovná polovici stredového uhla založeného na rovnakom oblúku.
2. Všetky vpísané uhly založené na rovnakom oblúku sú rovnaké.
3. Všetky vpísané uhly vychádzajúce z tej istej tetivy, ktorej vrcholy ležia na tej istej strane tejto tetivy, sú rovnaké.
4. Ľubovoľná dvojica uhlov založených na tej istej tetive, ktorej vrcholy ležia na opačných stranách tetivy, tvorí súčet 180°.
Dôsledok: Opačné uhly štvoruholníka vpísaného do kruhu tvoria spolu 180 stupňov.
5. Všetky vpísané uhly na základe priemeru sú rovné.
Vo všeobecnosti je táto vlastnosť dôsledkom vlastnosti (1), toto je jej špeciálny prípad. Pozrite sa - stredový uhol sa rovná 180 stupňom (a tento rozvinutý uhol nie je nič iné ako priemer), čo znamená, že podľa prvej vlastnosti sa vpísaný uhol C rovná jeho polovici, teda 90 stupňom.
Znalosť tejto vlastnosti pomáha pri riešení mnohých problémov a často vám umožňuje vyhnúť sa zbytočným výpočtom. Ak si to dobre osvojíte, budete vedieť viac ako polovicu problémov tohto typu vyriešiť ústne. Dva dôsledky, ktoré možno dosiahnuť:
Dôsledok 1: ak je trojuholník vpísaný do kruhu a jedna z jeho strán sa zhoduje s priemerom tohto kruhu, potom je trojuholník pravouhlý (vrchol pravého uhla leží na kruhu).
Dôsledok 2: Stred kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku sa zhoduje so stredom jeho prepony.
Mnoho prototypov stereometrických úloh sa rieši aj využitím tejto vlastnosti a týchto dôsledkov. Pamätajte na samotný fakt: ak je priemer kruhu stranou vpísaného trojuholníka, potom je tento trojuholník pravouhlý (uhol oproti priemeru je 90 stupňov). Všetky ostatné závery a dôsledky si môžete vyvodiť sami, nemusíte ich učiť.
Spravidla sa polovica úloh pre vpísaný uhol uvádza s náčrtom, ale bez zápisu. Na pochopenie procesu uvažovania pri riešení problémov (nižšie v článku) sú zavedené označenia vrcholov (rohy). Na skúške to nemôžete urobiť.Zvážte úlohy:
Čo je ostrý vpísaný uhol, ktorý zachytáva tetivu rovnajúcu sa polomeru kružnice? Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Zostrojme stredový uhol pre daný vpísaný uhol, označme vrcholy:
Podľa vlastnosti uhla vpísaného do kruhu:
Uhol AOB sa rovná 60 0, pretože trojuholník AOB je rovnostranný a v rovnostrannom trojuholníku sú všetky uhly rovné 60 0 . Strany trojuholníka sú rovnaké, pretože podmienka hovorí, že tetiva sa rovná polomeru.
Vpísaný uhol DIA je teda 30°.
odpoveď: 30
Nájdite tetivu, na ktorej spočíva uhol 300, vpísaný do kruhu s polomerom 3.
Toto je v podstate opačný problém (predchádzajúci). Postavme centrálny roh.
Je dvakrát väčší ako ten vpísaný, to znamená, že uhol AOB je 60°. Z toho môžeme usúdiť, že trojuholník AOB je rovnostranný. Tetiva sa teda rovná polomeru, teda trom.
odpoveď: 3
Polomer kružnice je 1. Nájdite hodnotu tupého vpísaného uhla na základe tetivy rovnajúcej sa odmocnine z dvoch. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Zostavme stredový uhol:
Keď poznáme polomer a tetivu, môžeme nájsť stredový uhol DIA. To sa dá urobiť pomocou zákona kosínov. Keď poznáme stredový uhol, môžeme ľahko nájsť vpísaný uhol ACB.
Kosínusová veta: druhá mocnina ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán bez zdvojnásobenia súčinu týchto strán krát kosínus uhla medzi nimi.
Preto je druhý stredový uhol 360° – 90 0 = 270 0 .
Podľa vlastnosti vpísaného uhla sa uhol DIA rovná jeho polovici, to znamená 135 stupňov.
odpoveď: 135
Nájdite tetivu, na ktorej je uhol 120 stupňov, koreň troch, vpísaný do kruhu s polomerom.
Spojte body A a B so stredom kruhu. Nazvime to O:
Poznáme polomer a vpísaný uhol DIA. Môžeme nájsť stredový uhol AOB (väčší ako 180 stupňov), potom nájsť uhol AOB v trojuholníku AOB. A potom pomocou kosínusovej vety vypočítajte AB.
Vďaka vlastnosti vpísaného uhla sa stredový uhol AOB (ktorý je väčší ako 180 stupňov) bude rovnať dvojnásobku vpísaného uhla, to znamená 240 stupňov. To znamená, že uhol AOB v trojuholníku AOB je 360 0 - 240 0 = 120 0 .
Podľa zákona kosínov:
Odpoveď: 3
Nájdite vpísaný uhol na základe oblúka, ktorý je 20% kruhu. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Vlastnosťou vpísaného uhla je polovičná ako stredový uhol založený na rovnakom oblúku, v tomto prípade hovoríme o oblúku AB.
Hovorí sa, že oblúk AB je 20 percent obvodu. To znamená, že stredový uhol AOB je tiež 20 percent z 360°.* Kruh je uhol 360 stupňov. znamená,
Vpísaný uhol ACB je teda 36 stupňov.
odpoveď: 36
oblúk kruhu AC, ktorý neobsahuje body B, je 200 stupňov. A oblúk kruhu BC, ktorý neobsahuje body A, je 80 stupňov. Nájdite vpísaný uhol ACB. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Označme pre prehľadnosť oblúky, ktorých uhlové miery sú dané. Oblúk zodpovedajúci 200 stupňom je modrý, oblúk zodpovedajúci 80 stupňom je červený, zvyšok kruhu je žltý.
Miera stupňa oblúka AB (žltá), a teda aj stredového uhla AOB je: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
Vpísaný uhol DAB je polovicou stredového uhla AOB, to znamená 40 stupňov.
odpoveď: 40
Aký je vpísaný uhol založený na priemere kruhu? Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.
Dnes sa pozrieme na ďalší typ úloh 6 – tentoraz s kruhom. Mnohí študenti ich nemajú radi a považujú ich za ťažké. A je to úplne márne, pretože takéto úlohy sú vyriešené elementárne ak poznáš nejaké vety. Alebo si netrúfajú vôbec, ak nie sú známi.
Predtým, ako hovorím o hlavných vlastnostiach, dovoľte mi pripomenúť definíciu:
Vpísaný uhol je taký, ktorého vrchol leží na samotnom kruhu a strany vyrezávajú tetivu na tomto kruhu.
Stredový uhol je akýkoľvek uhol s vrcholom v strede kruhu. Jeho strany tiež pretínajú tento kruh a vyrezávajú na ňom tetivu.
Pojmy vpísaného a stredového uhla sú teda neoddeliteľne spojené s kruhom a akordmi v ňom. Teraz hlavné vyhlásenie:
Veta. Stredový uhol je vždy dvojnásobkom vpísaného uhla založeného na rovnakom oblúku.
Napriek jednoduchosti výroku existuje celá trieda problémov 6, ktoré sa pomocou neho riešia – a nič iné.
Úloha. Nájdite ostrý vpísaný uhol na základe tetivy rovnajúcej sa polomeru kruhu.
Nech AB je tetiva, o ktorej uvažujeme, O stred kruhu. Doplnková konštrukcia: OA a OB sú kruhové polomery. Dostaneme:
Uvažujme trojuholník ABO. V ňom AB = OA = OB - všetky strany sa rovnajú polomeru kruhu. Preto je trojuholník ABO rovnostranný a všetky uhly v ňom sú 60°.
Nech M je vrchol vpísaného uhla. Pretože uhly O a M sú založené na rovnakom oblúku AB, vpísaný uhol M je 2-krát menší ako stredový uhol O. Máme:
M=0:2=60:2=30
Úloha. Stredový uhol je o 36° väčší ako vpísaný uhol založený na rovnakom kruhovom oblúku. Nájdite vpísaný uhol.
Predstavme si notáciu:
- AB je tetiva kruhu;
- Bod O je stredom kruhu, takže uhol AOB je stredový;
- Bod C je vrcholom vpísaného uhla ACB.
Keďže hľadáme vpísaný uhol ACB , označme ho ACB = x . Potom je stredový uhol AOB x + 36. Na druhej strane je stredový uhol dvojnásobkom vpísaného uhla. Máme:
AOB = 2 ACB;
x + 36 = 2 x;
x=36.
Takže sme našli vpísaný uhol AOB - rovná sa 36 °.
Kruh je uhol 360°
Po prečítaní podnadpisu si znalí čitatelia pravdepodobne teraz povedia: „Fu!“ V skutočnosti nie je úplne správne porovnávať kruh s uhlom. Aby ste pochopili, o čom hovoríme, pozrite sa na klasický trigonometrický kruh:
Prečo tento obrázok? A k tomu, že úplná rotácia je uhol 360 stupňov. A ak to rozdelíte na, povedzme, 20 rovnakých častí, potom veľkosť každej z nich bude 360: 20 = 18 stupňov. To je presne to, čo je potrebné na vyriešenie problému B8.
Body A, B a C ležia na kružnici a rozdeľte ju na tri oblúky, ktorých miera stupňov súvisí ako 1 : 3 : 5. Nájdite najväčší uhol trojuholníka ABC.
Najprv nájdime mieru každého oblúka. Menšia z nich nech sa rovná x . Tento oblúk je na obrázku označený AB. Potom môžu byť zostávajúce oblúky - BC a AC - vyjadrené pomocou AB: oblúk BC = 3x; AC = 5x. Tieto oblúky súčet tvoria 360 stupňov:
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x=360;
x = 40.
Teraz zvážte veľký oblúk AC, ktorý neobsahuje bod B. Tento oblúk, rovnako ako zodpovedajúci stredový uhol AOC, je 5x = 5 40 = 200 stupňov.
Uhol ABC je najväčší zo všetkých uhlov v trojuholníku. Je to vpísaný uhol založený na rovnakom oblúku ako stredový uhol AOC. Takže uhol ABC je 2-krát menší ako AOC. Máme:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Toto bude miera stupňa najväčšieho uhla v trojuholníku ABC.
Kružnica opísaná okolo pravouhlého trojuholníka
Mnoho ľudí zabúda na túto vetu. Ale márne, pretože niektoré úlohy B8 sa bez toho nedajú vôbec vyriešiť. Presnejšie povedané, sú vyriešené, no s takým objemom výpočtov, že by ste radšej zaspali, ako by ste sa dopracovali k odpovedi.
Veta. Stred kružnice opísanej okolo pravouhlého trojuholníka leží v strede prepony.
Čo z tejto vety vyplýva?
- Stred prepony je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov trojuholníka. Toto je priamy dôsledok vety;
- Medián nakreslený k prepone rozdeľuje pôvodný trojuholník na dva rovnoramenné trojuholníky. To je presne to, čo je potrebné na vyriešenie problému B8.
Stredný disk CD je nakreslený v trojuholníku ABC. Uhol C je 90° a uhol B je 60°. Nájdite uhol ACD.
Pretože uhol C je 90°, trojuholník ABC je pravouhlý trojuholník. Ukazuje sa, že CD je medián k prepone. Trojuholníky ADC a BDC sú teda rovnoramenné.
Zvážte najmä trojuholník ADC . V tom AD = CD . Ale v rovnoramennom trojuholníku sú uhly na základni rovnaké - pozri "Problém B8: segmenty a uhly v trojuholníkoch". Preto požadovaný uhol ACD = A.
Zostáva teda zistiť, čomu sa rovná uhol A. Aby sme to urobili, znova sa otočíme na pôvodný trojuholník ABC. Označme uhol A = x . Keďže súčet uhlov v akomkoľvek trojuholníku je 180°, máme:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.
Samozrejme, posledný problém sa dá vyriešiť aj inak. Napríklad je ľahké dokázať, že trojuholník BCD nie je len rovnoramenný, ale rovnostranný. Takže uhol BCD je 60 stupňov. Uhol ACD je teda 90 − 60 = 30 stupňov. Ako vidíte, môžete použiť rôzne rovnoramenné trojuholníky, ale odpoveď bude vždy rovnaká.
Priemerná úroveň
Kruh a vpísaný uhol. Vizuálny sprievodca (2019)
Základné pojmy.
Ako dobre si pamätáte všetky mená spojené s kruhom? Len pre prípad, pripomíname - pozrite sa na obrázky - obnovte svoje vedomosti.
po prvé - Stred kruhu je bod, od ktorého sú všetky body na kruhu rovnako vzdialené.
Po druhé - polomer - úsečka spájajúca stred a bod na kružnici.
Existuje veľa polomerov (toľko, koľko je bodov na kruhu), ale všetky polomery majú rovnakú dĺžku.
Niekedy skrátka polomer volajú to dĺžka segmentu„stred je bod na kruhu“ a nie samotný segment.
A tu je to, čo sa stane ak spojíte dva body na kruhu? Tiež rez?
Tento segment sa teda nazýva "akord".
Rovnako ako v prípade polomeru sa priemer často nazýva dĺžka segmentu spájajúceho dva body na kruhu a prechádzajúceho stredom. Mimochodom, ako súvisí priemer a polomer? Pozri sa bližšie. Samozrejme, polomer je polovica priemeru.
Okrem akordov existujú aj sekanta.
Pamätáte si na najjednoduchšie?
Stredový uhol je uhol medzi dvoma polomermi.
A teraz vpísaný uhol
Vpísaný uhol je uhol medzi dvoma tetivami, ktoré sa pretínajú v bode na kruhu.
V tomto prípade hovoria, že vpísaný uhol sa spolieha na oblúk (alebo na tetivu).
Pozri sa na obrázok:
Meranie oblúkov a uhlov.
Obvod. Oblúky a uhly sa merajú v stupňoch a radiánoch. Najprv o stupňoch. Pre uhly nie sú žiadne problémy - musíte sa naučiť merať oblúk v stupňoch.
Miera stupňa (oblúková hodnota) je hodnota (v stupňoch) zodpovedajúceho stredového uhla
Čo tu znamená slovo „zodpovedajúce“? Pozrime sa pozorne:
Vidíte dva oblúky a dva stredové uhly? No, väčší oblúk zodpovedá väčšiemu uhlu (a je v poriadku, že je väčší) a menší oblúk zodpovedá menšiemu uhlu.
Takže sme sa dohodli: oblúk obsahuje rovnaký počet stupňov ako zodpovedajúci stredový uhol.
A teraz o tom hroznom - o radiánoch!
Aký druh zvieraťa je tento „radián“?
Predstavte si toto: radiány sú spôsob merania uhla... v polomeroch!
Radiánový uhol je stredový uhol, ktorého dĺžka oblúka sa rovná polomeru kružnice.
Potom vyvstáva otázka - koľko radiánov je v narovnanom uhle?
Inými slovami: koľko polomerov sa „zmestí“ do polovice kruhu? Alebo inak: koľkokrát je dĺžka polovice kruhu väčšia ako polomer?
Túto otázku si položili vedci v starovekom Grécku.
A tak po dlhom hľadaní zistili, že pomer obvodu k polomeru nechce byť vyjadrený „ľudskými“ číslami, ako atď.
A tento postoj nie je možné ani vyjadriť cez korene. To znamená, že sa ukazuje, že sa nedá povedať, že polovica kruhu je dvakrát alebo krát polomer! Viete si predstaviť, aké úžasné bolo prvýkrát objaviť ľudí?! Pre pomer dĺžky polkruhu k polomeru stačili „normálne“ čísla. Musel som zadať písmeno.
Je teda číslo vyjadrujúce pomer dĺžky polkruhu k polomeru.
Teraz môžeme odpovedať na otázku: koľko radiánov je v priamom uhle? Má radián. Práve preto, že polovica kruhu má dvojnásobok polomeru.
Starovekí (a nie takí) ľudia v priebehu vekov (!) sa snažili toto záhadné číslo presnejšie vypočítať, lepšie (aspoň približne) vyjadriť cez „obyčajné“ čísla. A teraz sme neskutočne leniví - stačia nám dve cedule po obsadenosti, na čo sme si zvykli
Zamyslite sa nad tým, znamená to napríklad, že y kruhu s polomerom jedna má približne rovnakú dĺžku a je jednoducho nemožné zapísať túto dĺžku „ľudským“ číslom - potrebujete písmeno. A potom bude tento obvod rovnaký. A samozrejme, obvod polomeru je rovnaký.
Vráťme sa k radiánom.
Už sme zistili, že priamy uhol obsahuje radián.
Čo máme:
Tak rád, to je rád. Rovnakým spôsobom sa získa doska s najobľúbenejšími uhlami.
Pomer medzi hodnotami vpísaných a stredových uhlov.
Existuje úžasný fakt:
Hodnota vpísaného uhla je polovičná ako hodnota zodpovedajúceho stredového uhla.
Pozrite sa, ako toto vyhlásenie vyzerá na obrázku. "Zodpovedajúci" stredový uhol je taký, v ktorom sa konce zhodujú s koncami vpísaného uhla a vrchol je v strede. A zároveň musí „zodpovedajúci“ stredový uhol „hľadieť“ na rovnakú tetivu () ako vpísaný uhol.
Prečo tak? Najprv sa pozrime na jednoduchý prípad. Nechajte jeden z akordov prejsť stredom. Koniec koncov, to sa niekedy stáva, však?
Čo sa tu deje? Zvážte. Je rovnoramenný - koniec koncov, a sú polomery. Takže, (označil ich).
Teraz sa pozrime na. Toto je vonkajší roh! Pripomíname, že vonkajší uhol sa rovná súčtu dvoch vnútorných, ktoré s ním nesusedia, a napíšeme:
To je! Neočakávaný efekt. Ale je tu aj stredový uhol pre vpísané.
Takže v tomto prípade sme dokázali, že stredový uhol je dvojnásobkom vpísaného uhla. Ide však o bolestivo zvláštny prípad: je pravda, že tetiva neprechádza vždy priamo stredom? Ale nič, teraz nám tento špeciálny prípad veľmi pomôže. Pozri: druhý prípad: nech stred leží vo vnútri.
Urobme to: nakreslite priemer. A potom... vidíme dva obrázky, ktoré už boli analyzované v prvom prípade. Preto už máme
Takže (na výkrese a)
No, zostáva posledný prípad: stred je mimo rohu.
Robíme to isté: nakreslite priemer cez bod. Všetko je rovnaké, ale namiesto súčtu - rozdiel.
To je všetko!
Utvorme si teraz dva hlavné a veľmi dôležité dôsledky tvrdenia, že vpísaný uhol je polovičný ako stredový.
Dôsledok 1
Všetky vpísané uhly pretínajúce rovnaký oblúk sú rovnaké.
Ilustrujeme:
Existuje nespočetné množstvo vpísaných uhlov založených na rovnakom oblúku (máme tento oblúk), môžu vyzerať úplne inak, ale všetky majú rovnaký stredový uhol (), čo znamená, že všetky tieto vpísané uhly sú medzi sebou rovnaké.
Dôsledok 2
Uhol založený na priemere je pravý uhol.
Pozrite sa: ktorý roh je ústredný?
Samozrejme, . Ale on je rovný! No, preto (rovnako ako veľa vpísaných uhlov na základe) a rovná sa.
Uhol medzi dvoma akordmi a sečnami
Ale čo ak uhol, ktorý nás zaujíma, NIE JE vpísaný a NIE centrálny, ale napríklad takto:
alebo takto?
Dá sa to nejako vyjadriť cez nejaké stredové uhly? Ukazuje sa, že môžete. Pozri, zaujíma nás to.
a) (ako vonkajší roh). Ale - vpísané, založené na oblúku - . - vpísaný, založený na oblúku - .
Pre krásu hovoria:
Uhol medzi tetivami sa rovná polovici súčtu uhlových hodnôt oblúkov zahrnutých v tomto uhle.
Toto je napísané pre stručnosť, ale samozrejme, keď používate tento vzorec, musíte mať na pamäti stredové uhly
b) A teraz – „vonku“! Ako byť? Áno, takmer to isté! Až teraz (znova aplikujte vlastnosť vonkajšieho rohu na). To je teraz.
A to znamená. Prinesme krásu a stručnosť do záznamov a formulácií:
Uhol medzi sečnami sa rovná polovici rozdielu v uhlových hodnotách oblúkov uzavretých v tomto uhle.
Teraz ste vyzbrojení všetkými základnými znalosťami o uhloch spojených s kruhom. Vpred, do útoku úloh!
KRUH A ZAHRNUTÝ UHOL. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ
Čo je kruh, vie aj päťročné dieťa, však? Matematici, ako vždy, majú na túto tému nejasnú definíciu, ale nebudeme ju uvádzať (pozri), ale skôr si zapamätáme, ako sa nazývajú body, čiary a uhly spojené s kruhom.
Dôležité podmienky
Po prvé:
| stred kruhu- bod, od ktorého sú vzdialenosti od všetkých bodov kružnice rovnaké. |
Po druhé:
Je tu ešte jeden akceptovaný výraz: "tetiva sťahuje oblúk." Tu, tu na obrázku, napríklad tetiva sťahuje oblúk. A ak akord náhle prechádza stredom, potom má špeciálny názov: "priemer".
Mimochodom, ako súvisí priemer a polomer? Pozri sa bližšie. Samozrejme,
A teraz - mená pre rohy.
Prirodzene, nie? Strany rohu vychádzajú zo stredu, čo znamená, že roh je stredový.
Tu niekedy vznikajú ťažkosti. Dávaj pozor - ŽIADNY uhol vo vnútri kruhu nie je vpísaný, ale len taký, ktorého vrchol „sedí“ na samotnom kruhu.
Pozrime sa na rozdiel na obrázkoch:
Hovoria tiež inak:
Je tu jeden háklivý bod. Čo je „zodpovedajúci“ alebo „vlastný“ stredový uhol? Len uhol s vrcholom v strede kruhu a končí na koncoch oblúka? Týmto spôsobom určite nie. Pozri sa na obrázok.
Jeden z nich však nevyzerá ani ako roh – je väčší. Ale v trojuholníku nemôže byť viac uhlov, ale v kruhu - môže to byť! Takže: menší oblúk AB zodpovedá menšiemu uhlu (oranžový) a väčší väčšiemu. Len ako, nie?
Vzťah medzi vpísanými a stredovými uhlami
Pamätajte na veľmi dôležité vyhlásenie:
V učebniciach radi píšu rovnakú skutočnosť, ako je táto:
Pravda, so stredovým uhlom je formulácia jednoduchšia?
Napriek tomu však nájdime zhodu medzi týmito dvoma formuláciami a zároveň sa naučme nájsť na obrázkoch „zodpovedajúci“ stredový uhol a oblúk, o ktorý sa „opiera“ vpísaný uhol.
Pozrite, tu je kruh a vpísaný uhol:
Kde je jeho „zodpovedajúci“ stredový uhol?
Pozrime sa znova:
aké je pravidlo?
Ale! V tomto prípade je dôležité, aby vpísané a stredové uhly "vyzerali" na rovnakej strane oblúka. Napríklad:
Napodiv, modrá! Pretože oblúk je dlhý, dlhší ako polovica kruhu! Takže sa nikdy nenechajte zmiasť!
Aký dôsledok možno vyvodiť z „polovice“ vpísaného uhla?
A napríklad tu:
Uhol na základe priemeru
Všimli ste si už, že matematici veľmi radi hovoria o tom istom rôznymi slovami? Prečo je to pre nich? Vidíte, hoci jazyk matematiky je formálny, je živý, a preto, ako v bežnom jazyku, zakaždým, keď to chcete povedať pohodlnejšie. Už sme videli, čo je „uhol spočíva na oblúku“. A predstavte si, ten istý obrázok sa nazýva „uhol spočíva na tetive“. Na čom? Áno, samozrejme, na tej, ktorá ťahá tento oblúk!
Kedy je výhodnejšie spoľahnúť sa na akord ako na oblúk?
No, najmä, keď táto struna je priemer.
Na takúto situáciu existuje úžasne jednoduché, krásne a užitočné tvrdenie!
Pozri: tu je kruh, priemer a uhol, ktorý na ňom spočíva.
KRUH A ZAHRNUTÝ UHOL. STRUČNE O HLAVNOM
1. Základné pojmy.
3. Merania oblúkov a uhlov.
Radiánový uhol je stredový uhol, ktorého dĺžka oblúka sa rovná polomeru kružnice.
Ide o číslo vyjadrujúce pomer dĺžky polkruhu k polomeru.
Obvod polomeru sa rovná.
4. Pomer medzi hodnotami vpísaných a stredových uhlov.
Uhol ABC je vpísaný uhol. Opiera sa o oblúk AC, uzavretý medzi jeho stranami (obr. 330).
Veta. Vpísaný uhol sa meria polovicou oblúka, ktorý pretína.
Toto by sa malo chápať nasledovne: vpísaný uhol obsahuje toľko uhlových stupňov, minút a sekúnd, koľko oblúkových stupňov, minút a sekúnd je obsiahnutých v polovici oblúka, na ktorej spočíva.
Pri dokazovaní tejto vety musíme zvážiť tri prípady.
Prvý prípad. Stred kružnice leží na strane vpísaného uhla (obr. 331).
Nech ∠ABC je vpísaný uhol a stred kružnice O leží na strane BC. Je potrebné preukázať, že sa meria polovicou oblúka AC.
Pripojte bod A k stredu kruhu. Dostaneme rovnoramenné \(\Delta\)AOB, v ktorých AO = OB, ako polomery tej istej kružnice. Preto ∠A = ∠B.
∠AOC je vonkajší trojuholník AOB, takže ∠AOC = ∠A + ∠B, a keďže uhly A a B sú rovnaké, ∠B je 1/2 ∠AOC.
Ale ∠AOC sa meria oblúkom AC, preto sa ∠B meria polovicou oblúka AC.
Napríklad, ak \(\breve(AC)\) obsahuje 60°18', potom ∠B obsahuje 30°9'.
Druhý prípad. Stred kružnice leží medzi stranami vpísaného uhla (obr. 332).
Nech ∠ABD je vpísaný uhol. Stred kruhu O leží medzi jeho stranami. Je potrebné dokázať, že ∠ABD sa meria polovicou oblúka AD.
Aby sme to dokázali, nakreslíme priemer BC. Uhol ABD rozdelený do dvoch uhlov: ∠1 a ∠2.
∠1 sa meria polovicou oblúka AC a ∠2 sa meria polovicou oblúka CD, preto sa celé ∠ABD meria ako 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), teda polovica oblúka AD.
Napríklad, ak \(\breve(AD)\) obsahuje 124°, potom ∠B obsahuje 62°.
Tretí prípad. Stred kružnice leží mimo vpísaného uhla (obr. 333).
Nech ∠MAD je vpísaný uhol. Stred kruhu O je mimo rohu. Je potrebné preukázať, že ∠MAD sa meria polovicou oblúka MD.
Aby sme to dokázali, nakreslíme priemer AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Ale ∠MAB meria 1/2 \(\breve(MB)\) a ∠DAB meria 1/2 \(\breve(DB)\).
Preto ∠MAD meria 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), t.j. 1/2 \(\breve(MD)\).
Napríklad, ak \(\breve(MD)\) obsahuje 48° 38", potom ∠MAD obsahuje 24° 19' 8".
Dôsledky
1.
Všetky vpísané uhly založené na rovnakom oblúku sú si navzájom rovné, pretože sú merané polovicou toho istého oblúka
(Obr. 334, a).
2. Vpísaný uhol založený na priemere je pravý uhol, pretože je založený na polovici kruhu. Polovica kruhu obsahuje 180 oblúkových stupňov, čo znamená, že uhol založený na priemere obsahuje 90 uhlových stupňov (obr. 334, b).
