STUPEŇ S RACIONÁLNYM UKAZOVATEĽOM,

FUNKCIA NAPÁJANIA IV

§ 79. Odmocnenie z diela a podiel

Veta 1. Root P mocnina súčinu kladných čísel sa rovná súčinu koreňov P -tý stupeň faktorov, teda kedy a > 0, b > 0 a prirodzené P

n √ab = n √a n √b . (1)

Dôkaz. Pripomeňme, že koreň P mocnina kladného čísla ab existuje kladné číslo P -tý stupeň, ktorý sa rovná ab . Preto je dôkaz rovnosti (1) rovnaký ako dôkaz rovnosti

(n √a n √b ) n = ab .

Podľa vlastnosti stupňa produktu

(n √a n √b ) n = (n √a ) n (n √b ) n =.

Ale podľa definície koreňa P stupeň ( n √a ) n = a , (n √b ) n = b .

Takže ( n √a n √b ) n = ab . Veta bola dokázaná.

Požiadavka a > 0, b > 0 je podstatné len pre párne P , pretože za negatívne a a b a dokonca P korene n √a a n √b nie je definované. Ak P nepárne, potom vzorec (1) platí pre ľubovoľné a a b (pozitívne aj negatívne).

Príklady: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

Vzorec (1) je užitočný pri výpočte koreňov, keď je koreňový výraz reprezentovaný ako súčin presných štvorcov. Napríklad,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Dokázali sme vetu 1 pre prípad, keď znamienko radikálu na ľavej strane vzorca (1) je súčinom dvoch kladných čísel. V skutočnosti táto veta platí pre ľubovoľný počet pozitívnych faktorov, teda pre akékoľvek prírodné k > 2:

Dôsledok.Čítaním tejto identity sprava doľava dostaneme nasledujúce pravidlo pre násobenie koreňov s rovnakými exponentmi;

Na vynásobenie koreňov s rovnakými exponentmi stačí vynásobiť koreňové výrazy, pričom exponent koreňa zostane rovnaký.

Napríklad √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

Veta 2. Root P mocnina zlomku, ktorého čitateľ a menovateľ sú kladné čísla, sa rovná podielu delenia odmocniny rovnakého stupňa z čitateľa odmocninou rovnakého stupňa z menovateľa, teda kedy a > 0 a b > 0

(2)

Dokázať rovnosť (2) znamená ukázať to

Podľa pravidla zvyšovania zlomku na mocninu a určovania odmocniny n stupeň máme:

Tým je veta dokázaná.

Požiadavka a > 0 a b > 0 je podstatné len pre párne P . Ak P nepárne, potom vzorec (2) platí aj pre záporné hodnoty a a b .

Dôsledok.Čítanie identity sprava doľava dostaneme nasledujúce pravidlo na delenie koreňov s rovnakými exponentmi:

Na delenie koreňov s rovnakými exponentmi stačí rozdeliť koreňové výrazy, pričom exponent koreňa zostane rovnaký.

Napríklad,

Cvičenia

554. Kde sme pri dôkaze 1. vety použili fakt, že a a b pozitívne?

Prečo s divným P vzorec (1) platí aj pre záporné čísla a a b ?

V akých hodnotách X údaje o rovnosti sú správne (č. 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (X - 2) (8 - X ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - X

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x - a ) 3 = (√ x - a ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. Vypočítajte:

a) √ 173 2 - 52 2; v) √ 200 2 - 56 2 ;

b) √ 3732 - 2522; G) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. V pravouhlom trojuholníku je prepona 205 cm a jedna vetva 84 cm, nájdite druhú preponu.

563. Koľkokrát:

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - ľubovoľné číslo. 558. X > 0. 559. X > a . 560. X - ľubovoľné číslo. 563. a) Trikrát.

V tejto časti sa budeme zaoberať aritmetickými odmocninami.

V prípade doslovného radikálneho výrazu budeme predpokladať, že písmená pod koreňovým znakom označujú nezáporné čísla.

1. Koreň diela.

Zoberme si taký príklad.

Na druhej strane si všimnite, že číslo 2601 je výsledkom dvoch faktorov, z ktorých sa koreň ľahko extrahuje:

Vezmite druhú odmocninu každého faktora a vynásobte tieto korene:

Rovnaké výsledky sme dostali, keď sme odobrali koreň z produktu pod koreňom a keď sme odobrali koreň z každého faktora zvlášť a výsledky sme znásobili.

V mnohých prípadoch je druhý spôsob nájdenia výsledku jednoduchší, pretože musíte brať odmocniny z menších čísel.

Veta 1. Ak chcete extrahovať druhú odmocninu súčinu, môžete ju extrahovať z každého faktora samostatne a vynásobiť výsledky.

Dokážeme vetu pre tri faktory, to znamená, že dokážeme platnosť rovnosti:

Dôkaz vykonáme priamym overením na základe definície aritmetického koreňa. Povedzme, že musíme dokázať rovnosť:

(A a B sú nezáporné čísla). Podľa definície druhej odmocniny to znamená, že

Preto stačí odmocniť pravú stranu dokazovanej rovnosti a uistiť sa, že dostaneme odmocninu ľavej strany.

Aplikujme túto úvahu na dôkaz rovnosti (1). Zarovnajme pravú stranu; ale súčin je na pravej strane a na odmocnenie súčinu stačí odmocniť každý faktor a vynásobiť výsledky (pozri § 40);

Ukázalo sa, že radikálny výraz stojí na ľavej strane. Rovnosť (1) je teda pravdivá.

Dokázali sme vetu pre tri faktory. Ale zdôvodnenie zostane rovnaké, ak sú pod koreňom 4 a tak ďalej faktory. Veta platí pre ľubovoľný počet faktorov.

Výsledok sa dá ľahko nájsť ústne.

2. Koreň zlomku.

Vypočítať

Vyšetrenie.

Na druhej strane,

Dokážme vetu.

Veta 2. Ak chcete extrahovať koreň zlomku, môžete extrahovať koreň oddelene od čitateľa a menovateľa a vydeliť prvý výsledok druhým.

Je potrebné preukázať platnosť rovnosti:

Na dôkaz použijeme metódu, v ktorej bola dokázaná predchádzajúca veta.

Zarovnajme pravú stranu. Bude mať:

Dostali sme radikálny výraz na ľavej strane. Rovnosť (2) je teda pravdivá.

Dokázali sme teda nasledujúce identity:

a sformulovali zodpovedajúce pravidlá na extrakciu druhej odmocniny zo súčinu a kvocientu. Niekedy pri vykonávaní transformácií je potrebné použiť tieto identity a prečítať ich „sprava doľava“.

Preusporiadaním ľavej a pravej strany prepíšeme overené identity takto:

Ak chcete znásobiť korene, môžete znásobiť radikálne výrazy a extrahovať koreň z produktu.

Ak chcete oddeliť korene, môžete rozdeliť radikálne výrazy a extrahovať koreň z kvocientu.

3. Koreň stupňa.

Vypočítať

V tomto článku budeme analyzovať hlavné koreňové vlastnosti. Začnime s vlastnosťami aritmetickej druhej odmocniny, uveďte ich formulácie a uveďte dôkazy. Potom sa budeme zaoberať vlastnosťami aritmetického koreňa n-tého stupňa.

Navigácia na stránke.

Vlastnosti druhej odmocniny

V tejto časti sa budeme zaoberať nasledujúcim hlavným vlastnosti aritmetickej druhej odmocniny:

V každej z napísaných rovností možno ľavú a pravú časť zameniť, napríklad rovnosť možno prepísať ako . V tejto „obrátenej“ forme sa vlastnosti aritmetickej druhej odmocniny aplikujú, keď zjednodušenie výrazov rovnako často ako v „priamej“ forme.

Dôkaz prvých dvoch vlastností je založený na definícii aritmetickej druhej odmocniny a na . A aby ste ospravedlnili poslednú vlastnosť aritmetickej druhej odmocniny, musíte si pamätať.

Začnime teda s dôkaz vlastnosti aritmetickej druhej odmocniny súčinu dvoch nezáporných čísel: . Aby sme to dosiahli, podľa definície aritmetickej druhej odmocniny stačí ukázať, že ide o nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná a b . Poďme na to. Hodnota výrazu je nezáporná ako súčin nezáporných čísel. Vlastnosť stupňa súčinu dvoch čísel nám umožňuje zapísať rovnosť , a keďže podľa definície aritmickej druhej odmocniny a , potom .

Podobne je dokázané, že aritmetická druhá odmocnina súčinu k nezáporných faktorov a 1 , a 2 , …, a k sa rovná súčinu aritmetických odmocnín týchto faktorov. Naozaj,. Z tejto rovnosti vyplýva, že .

Tu je niekoľko príkladov: a .

Teraz dokážme vlastnosť aritmetickej druhej odmocniny kvocientu: . Vlastnosť prirodzeného mocninového kvocientu nám umožňuje zapísať rovnosť , a , pričom existuje nezáporné číslo. Toto je dôkaz.

Napríklad a .

Je čas rozobrať vlastnosť aritmetickej druhej odmocniny z čísla, v tvare rovnosti sa píše ako . Aby ste to dokázali, zvážte dva prípady: pre a≥0 a pre a<0 .

Je zrejmé, že pre a≥0 platí rovnosť. Je tiež ľahké vidieť, že pre a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 a (-a)2=a2. teda , čo sa malo dokázať.

Tu je niekoľko príkladov: a .

Práve dokázaná vlastnosť odmocniny nám umožňuje zdôvodniť nasledujúci výsledok, kde a je ľubovoľné reálne číslo a m je ľubovoľné. Vlastnosť umocňovania nám skutočne umožňuje nahradiť stupeň a 2 m výrazom (a m) 2 , potom .

Napríklad, a .

Vlastnosti n-tého koreňa

Najprv vymenujeme hlavné vlastnosti n-tých koreňov:

Všetky písomné rovnosti zostávajú v platnosti, ak sú v nich ľavá a pravá strana zamenené. V tejto podobe sa tiež často používajú, hlavne pri zjednodušovaní a pretváraní výrazov.

Dôkaz všetkých vyjadrených vlastností odmocniny je založený na definícii aritmetického odmocniny n-tého stupňa, na vlastnostiach stupňa a na definícii modulu čísla. Dokážme ich v poradí podľa priority.

Začnime dôkazom vlastnosti n-tej odmocniny produktu . Pre nezáporné a a b je hodnota výrazu tiež nezáporná, rovnako ako súčin nezáporných čísel. Súčinová vlastnosť prírodných síl nám umožňuje zapísať rovnosť . Podľa definície aritmetického koreňa n-tého stupňa, a teda . To dokazuje uvažovanú vlastnosť koreňa.

Táto vlastnosť sa dokazuje podobne pre súčin k faktorov: pre nezáporné čísla a 1 , a 2 , …, a n a .

Tu sú príklady použitia vlastnosti koreňa n-tého stupňa súčinu: a .

Poďme dokázať koreňová vlastnosť kvocientu. Pre a≥0 a b>0 je podmienka splnená a .

Ukážme si príklady: a .

Ideme ďalej. Poďme dokázať vlastnosť n-tej odmocniny čísla na mocninu n. To znamená, že to dokážeme pre akékoľvek skutočné a a prirodzené m . Pre a≥0 máme a , čo dokazuje rovnosť , a rovnosť samozrejme. Pre<0 имеем и (posledný prechod platí vďaka mocninnej vlastnosti s párnym exponentom), čo dokazuje rovnosť , a je pravda, pretože keď hovoríme o koreni nepárneho stupňa, vzali sme pre ľubovoľné nezáporné číslo c .

Tu sú príklady použitia analyzovanej koreňovej vlastnosti: a .

Pristúpime k dôkazu vlastnosti koreňa od koreňa. Vymeňme pravú a ľavú časť, to znamená, že preukážeme platnosť rovnosti , čo bude znamenať platnosť pôvodnej rovnosti. Pre nezáporné číslo a je druhá odmocnina tvaru nezáporné číslo. Pamätajúc na vlastnosť povýšenia moci na mocnosť a pomocou definície koreňa môžeme napísať reťazec rovnosti tvaru . To dokazuje uvažovanú vlastnosť koreňa z koreňa.

Podobne sa dokazuje vlastnosť koreňa z koreňa z koreňa atď. naozaj, .

Napríklad, a .

Dokážme nasledovné vlastnosť redukcie koreňového exponentu. Aby sme to dosiahli, na základe definície odmocniny stačí ukázať, že existuje nezáporné číslo, ktoré sa po umocnení n m rovná a m . Poďme na to. Je jasné, že ak je číslo a nezáporné, potom n-tá odmocnina čísla a je nezáporné číslo. V čom , čím sa dokazovanie dopĺňa.

Tu je príklad použitia analyzovanej koreňovej vlastnosti: .

Dokážme nasledujúcu vlastnosť, vlastnosť koreňa stupňa tvaru . Je zrejmé, že pre a≥0 je stupeň nezáporné číslo. Navyše, jeho n-tá mocnina sa rovná a m . To dokazuje uvažovanú vlastnosť stupňa.

Napríklad, .

Poďme ďalej. Dokážme, že pre všetky kladné čísla a a b, pre ktoré platí podmienka a , to znamená a≥b. A to je v rozpore s podmienkou a

Napríklad dáme správnu nerovnosť .

Nakoniec zostáva dokázať poslednú vlastnosť n-tej odmocniny. Najprv dokážme prvú časť tejto vlastnosti, to znamená, že dokážeme, že pre m>n a 0 . Potom, vzhľadom na vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom, nerovnosť , to znamená a n ≤ a m . A výsledná nerovnosť pre m>n a 0

Podobne protirečením sa dokáže, že pre m>n a a>1 je podmienka splnená.

Uveďme príklady aplikácie dokázanej vlastnosti koreňa v konkrétnych číslach. Napríklad nerovnosti a sú pravdivé.

Bibliografia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. – 11. ročník všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).

Informácie o predmete: Zaveďte vetu o druhej odmocnine pre zlomky. Upevnenie vedomostí študentov na témy: „Aritmetická odmocnina“, „Odmocnina stupňa“, „Odmocnina súčinu“. Posilnenie schopností rýchleho počítania.

Aktivita-komunikácia: rozvoj a formovanie zručností študentov v oblasti logického myslenia, správneho a kompetentného prejavu, rýchlej reakcie.

Orientované na hodnotu: vzbudiť u študentov záujem o štúdium tejto témy a tohto predmetu. Schopnosť aplikovať získané poznatky v praktických činnostiach a v iných predmetoch.

1. Zopakujte definíciu aritmetickej druhej odmocniny.

2. Zopakujte odmocninu zo stupňa.

3. Zopakujte druhú odmocninu zo súčinu.

4. Rozvíjať schopnosti ústneho počítania.

5. Pripraviť študentov na preštudovanie témy „druhá odmocnina zlomku“ a na zvládnutie materiálu z geometrie.

6. Povedz o histórii pôvodu aritmetického koreňa.

Didaktický materiál a vybavenie: didaktická mapa vyučovacej hodiny (Príloha 1), tabuľa, krieda, kartičky k jednotlivým úlohám (s prihliadnutím na individuálne schopnosti žiakov), kartičky na ústne počítanie, kartičky na samostatnú prácu.

Počas tried:

1. Organizačný moment: zapíšte si tému hodiny, stanovenie cieľa a cieľov hodiny (pre žiakov).

Téma lekcie: Druhá odmocnina zlomku.

Účel lekcie: dnes v lekcii zopakujeme definíciu aritmetickej druhej odmocniny, vetu o druhej odmocnine stupňa a druhej odmocnine súčinu. A zoznámime sa s vetou o druhej odmocnine zlomku.

Ciele lekcie:

1) zopakujte pomocou mentálneho počítania definície druhej odmocniny a vety o druhej odmocnine stupňa a súčinu;

2) počas ústneho počítania budú niektorí chlapci plniť úlohy na kartách;

3) vysvetlenie nového materiálu;

4) historický odkaz;

5) plnenie úloh samostatnej práce (formou testu).

2. Frontálny prieskum:

1) slovné počítanie: vezmite druhú odmocninu z nasledujúcich výrazov:

a) pomocou definície druhej odmocniny vypočítajte:;;; ;

b) tabuľkové hodnoty: ; ;;;;; ;

c) druhá odmocnina súčinu;;;;

d) druhá odmocnina stupňa;;;;; ;

e) vyňať spoločný činiteľ zo zátvoriek:;; ;.

2) samostatná práca na kartách: príloha 2.

3. Skontrolujte D/Z:

4. Vysvetlenie nového materiálu:

Napíšte úlohu pre žiakov na tabuľu podľa možností „vypočítajte druhú odmocninu zlomku“:

Možnosť 1: =

Možnosť 2: =

Ak chlapci splnili prvú úlohu: opýtajte sa, ako to urobili?

Možnosť 1: prezentované vo forme štvorca a prijaté. Urobte záver.

Možnosť 2: predložte čitateľa a menovateľa pomocou definície stupňa vo formulári a prijatého.

Uveďte viac príkladov, napríklad vypočítajte druhú odmocninu zlomku; ; .

Nakreslite analógiu v doslovnej forme:

Zadajte vetu.

Veta. Ak a je väčšie alebo rovné 0, c je väčšie ako 0, potom koreň zlomku a / b sa rovná zlomku, v čitateľovi ktorého je koreň z a a menovateľ je koreň z b, t.j. Odmocnina zlomku sa rovná odmocnine čitateľa vydelenej odmocninou menovateľa.

Dokážme, že 1) koreň a delený odmocninou c je väčší alebo rovný 0

Dôkaz. 1) Pretože odmocnina z a je väčšia alebo sa rovná 0 a odmocnina z c je väčšia ako 0, potom odmocnina z a delená odmocninou z c je väčšia alebo rovná 0.

2)

5. Konsolidácia nového materiálu: z učebnice Sh. A. Alimova: č. 362 (1.3); Č. 363 (2,3); Č. 364 (2,4); №365 (2,3)

6. Historický odkaz.

Aritmetický koreň pochádza z latinského slova radix - koreň, radikalis - koreň

Od 13. storočia talianski a iní európski matematici označovali koreň latinským slovom radix (skrátene r). V roku 1525 sa v knihe H. Rudolpha „Rýchle a krásne počítanie pomocou zručných pravidiel algebry, zvyčajne nazývaných Koss“, objavilo označenie V pre druhú odmocninu; koreň kocky sa označoval VVV. V roku 1626 holandský matematik A. Girard zaviedol označenia V, VV, VVV atď., ktoré boli čoskoro nahradené znakom r, pričom nad radikálnym výrazom bola umiestnená vodorovná čiara. Moderné označenie koreňa sa prvýkrát objavilo v Geometrii Reného Descartesa, publikovanom v roku 1637.

8. Domáca úloha: č. 362 (2,4); Č. 363 (1,4); Č. 364 (1,3); №365 (1,4)

Druhá odmocnina a je číslo, ktorého druhá mocnina je a. Napríklad čísla -5 a 5 sú odmocniny čísla 25. To znamená, že odmocniny rovnice x^2=25 sú odmocniny čísla 25. Teraz sa musíte naučiť pracovať s operácia druhej odmocniny: preštudujte si jej základné vlastnosti.

Druhá odmocnina produktu

√(a*b)=√a*√b

Druhá odmocnina súčinu dvoch nezáporných čísel sa rovná súčinu druhých odmocnín týchto čísel. Napríklad √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Je dôležité pochopiť, že táto vlastnosť sa vzťahuje aj na prípad, keď je radikálny výraz súčinom troch, štyroch atď. nezáporné multiplikátory.

Niekedy existuje iná formulácia tejto vlastnosti. Ak a a b sú nezáporné čísla, potom platí rovnosť: √(a*b) =√a*√b. Nie je medzi nimi absolútne žiadny rozdiel, môžete použiť jedno alebo druhé znenie (ktoré je pohodlnejšie na zapamätanie).

Druhá odmocnina zlomku

Ak a>=0 a b>0, potom platí nasledujúca rovnosť:

√(a/b)=√a/√b.

Napríklad √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Táto vlastnosť má aj inú formuláciu, podľa mňa pohodlnejšiu na zapamätanie.
Druhá odmocnina podielu sa rovná podielu koreňov.

Stojí za zmienku, že tieto vzorce fungujú zľava doprava aj sprava doľava. To znamená, že ak je to potrebné, môžeme produkt koreňov reprezentovať ako koreň produktu. To isté platí pre druhú nehnuteľnosť.

Ako vidíte, tieto vlastnosti sú veľmi pohodlné a chcel by som mať rovnaké vlastnosti na sčítanie a odčítanie:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Ale bohužiaľ takéto vlastnosti sú štvorcové nemať korene, a tak nemožno vykonať vo výpočtoch..