teória:

Pri riešení nerovností sa používajú tieto pravidlá:

1. Akýkoľvek člen nerovnosti je možné preniesť z jednej časti
nerovnosť k inému s opačným znamienkom, pričom znamienko nerovnosti sa nemení.

2. Obe časti nerovnosti je možné vynásobiť alebo vydeliť jednou
a rovnaké kladné číslo bez zmeny znamienka nerovnosti.

3. Obe časti nerovnosti je možné vynásobiť alebo vydeliť jednou
a rovnaké záporné číslo, pričom sa znamienko nerovnosti zmení na
opak.

Vyriešte nerovnosť − 8 x + 11< − 3 x − 4
Riešenie.

1. Presuňte člen − 3 x na ľavú stranu nerovnosti a člen 11 - na pravú stranu nerovnosti, pričom znamienka meníme na opačné y − 3 x a pri 11 .
Potom dostaneme

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

− 5 x< − 15

2. Rozdeľte obe časti nerovnosti − 5 x< − 15 na záporné číslo − 5 , zatiaľ čo znak nerovnosti < , sa zmení na > , t.j. prejdeme k nerovnosti opačného významu.
Dostaneme:

− 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > −15 : (−5)

x > 3

x > 3 je riešením danej nerovnosti.

Dávaj pozor!

Existujú dve možnosti na napísanie riešenia: x > 3 alebo ako číselný rozsah.

Množinu riešení nerovnice označíme na reálnej čiare a odpoveď zapíšeme ako číselný interval.

x ∈ (3 ; + ∞ )

odpoveď: x > 3 alebo x ∈ (3 ; + ∞ )

Algebraické nerovnosti.

Štvorcové nerovnosti. Racionálne nerovnosti vyšších stupňov.

Metódy riešenia nerovností závisia najmä od toho, do ktorej triedy patria funkcie tvoriace nerovnosť.

1. ja. Štvorcové nerovnosti, teda nerovnosti formy

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Ak chcete vyriešiť nerovnosť, môžete:

1. Faktorizujte štvorcovú trojčlenku, to znamená zapíšte nerovnicu ako

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Umiestnite korene polynómu na číselnú os. Korene rozdeľujú množinu reálnych čísel na intervaly, v každom z nich bude mať zodpovedajúca kvadratická funkcia konštantné znamienko.
2. Určite znamienko a (x - x 1) (x - x 2) v každej medzere a zapíšte odpoveď.

Ak štvorcová trojčlenka nemá korene, potom pre D<0 и a>0 je štvorcová trojčlenka pre každé x je kladné.

• Vyriešte nerovnosť. x 2 + x - 6 > 0.

Faktorizácia štvorcového trinomu (x + 3) (x - 2) > 0

Odpoveď: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Táto nerovnosť platí pre ľubovoľné x okrem x = 6.

Odpoveď: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Tu D< 0, a = 1 >0. Štvorcová trojčlenka je kladná pre všetky x.

Odpoveď: x О Ø.

Vyriešte nerovnosti:

1. 1 + x - 2 x ²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Odpoveď:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Odpoveď:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Odpoveď:
5. Pre aké hodnoty a robí nerovnosť

x² - ax > platí pre ľubovoľné x? odpoveď:

1. II. Racionálne nerovnosti vyšších stupňov, teda nerovnosti formy

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Polynóm najvyššieho stupňa by mal byť faktorizovaný, to znamená, že nerovnosť by mala byť napísaná vo forme

a n (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n) > 0 (<0).

Označte na číselnej osi body, v ktorých polynóm zaniká.

Určte znamienka polynómu na každom intervale.

1) Vyriešte nerovnosť x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) = x (x - 1) (x 2-5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Takže x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Odpoveď: (0; 1) (2; 3).

2) Vyriešte nerovnosť (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Na skutočnej osi označte body, v ktorých polynóm zaniká. Toto je x \u003d 1, x \u003d -2, x \u003d ½, x \u003d - ½.

V bode x \u003d - ½ nedochádza k žiadnej zmene znamienka, pretože dvojčlen (2x + 1) je zvýšený na párnu mocninu, to znamená, že výraz (2x + 1) 4 nemení znamienko pri prechode bodom. x \u003d - ½.

Odpoveď: (-∞; -2) (½; 1).

3) Vyriešte nerovnosť: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Táto nerovnosť je ekvivalentná nasledujúcej množine

Riešenie (1) je x (-∞; -2) (3; +∞). Riešenie (2) je x = 0, x = -2, x = 3. Spojením získaných riešení dostaneme x н (-∞; -2] (0) (0) .

Získaním zručnosti pre prácu s lineárnymi nerovnosťami možno ich riešenia písať stručne bez vysvetlenia. V tomto prípade sa najprv zapíše počiatočná lineárna nerovnosť a nižšie sú ekvivalentné nerovnosti získané v každom kroku riešenia:
3x+12≤0;
3 x ≤ -12;
x≤-4.

odpoveď:

x≤−4 alebo (−∞, −4] .

Príklad.

Uveďte všetky riešenia lineárnej nerovnosti −2,7 z>0 .

Riešenie.

Tu je koeficient a s premennou z −2,7. A koeficient b chýba v explicitnej forme, to znamená, že sa rovná nule. Prvý krok algoritmu na riešenie lineárnej nerovnosti s jednou premennou preto nie je potrebné vykonať, keďže prenos nuly z ľavej strany na pravú nemení tvar pôvodnej nerovnosti.

Zostáva vydeliť obe strany nerovnosti -2,7, pričom nezabudnite obrátiť znamienko nerovnosti, pretože -2,7 je záporné číslo. Máme (-2,7 z): (-2,7)<0:(−2,7) , a ďalej z<0 .

A teraz stručne:
-2,7 z>0;
z<0 .

odpoveď:

z<0 или (−∞, 0) .

Príklad.

Vyriešte nerovnosť .

Riešenie.

Potrebujeme vyriešiť lineárnu nerovnosť s koeficientom a pre premennú x rovným −5 a koeficientom b, ktorému zlomok zodpovedá −15/22. Postupujeme podľa známej schémy: najprv prenesieme −15/22 na pravú stranu s opačným znamienkom, potom obe časti nerovnosti vydelíme záporným číslom −5, pričom znamienko nerovnosti zmeníme:

Posledný prechod na pravej strane využíva , potom vykonaný .

odpoveď:

Teraz prejdime k prípadu, keď a=0 . Princíp riešenia lineárnej nerovnosti a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Na čom je založená? Veľmi jednoducho: o definícii riešenia nerovnosti. ako? Áno, je to tu: bez ohľadu na to, akú hodnotu premennej x dosadíme do pôvodnej lineárnej nerovnosti, dostaneme číselnú nerovnosť tvaru b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Sformulujme vyššie uvedenú úvahu do formulára algoritmus na riešenie lineárnych nerovností 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• Zvážte číselnú nerovnosť b<0 (≤, >, ≥) a
• ak je to pravda, potom riešením pôvodnej nerovnosti je ľubovoľné číslo;
• ak je nepravdivá, potom pôvodná lineárna nerovnosť nemá riešenia.

Teraz sa na to pozrime s príkladmi.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť 0 x+7>0 .

Riešenie.

Pre ľubovoľnú hodnotu premennej x sa lineárna nerovnosť 0 x+7>0 zmení na numerickú nerovnosť 7>0 . Posledná nerovnosť je pravdivá, preto akékoľvek číslo je riešením pôvodnej nerovnosti.

odpoveď:

riešením je ľubovoľné číslo alebo (−∞, +∞) .

Príklad.

Má lineárna nerovnosť riešenia 0 x−12,7≥0 .

Riešenie.

Ak namiesto premennej x dosadíme ľubovoľné číslo, pôvodná nerovnosť sa zmení na číselnú nerovnosť −12,7≥0, čo je nesprávne. A to znamená, že žiadne číslo nie je riešením lineárnej nerovnosti 0 x−12,7≥0 .

odpoveď:

nie, nie je.

Na záver tejto podkapitoly budeme analyzovať riešenia dvoch lineárnych nerovností, ktorých koeficienty sú rovné nule.

Príklad.

Ktorá z lineárnych nerovníc 0 x+0>0 a 0 x+0≥0 nemá riešenia a ktorá má nekonečne veľa riešení?

Riešenie.

Ak sa za premennú x dosadí akékoľvek číslo, potom prvá nerovnosť bude mať tvar 0>0 a druhá - 0≥0. Prvý je nesprávny a druhý je správny. Preto lineárna nerovnosť 0 x+0>0 nemá riešenia a nerovnosť 0 x+0≥0 má nekonečne veľa riešení, konkrétne, jej riešením je ľubovoľné číslo.

odpoveď:

nerovnosť 0 x+0>0 nemá riešenia a nerovnosť 0 x+0≥0 má nekonečne veľa riešení.

intervalová metóda

Vo všeobecnosti sa intervalová metóda študuje v kurze školskej algebry neskôr, ako je prebratá téma riešenia lineárnych nerovníc s jednou premennou. Intervalová metóda však umožňuje riešiť rôzne nerovnice, vrátane lineárnych. Preto sa pri tom pozastavme.

Hneď si všimneme, že na riešenie lineárnych nerovníc s nenulovým koeficientom pre premennú x je vhodné použiť intervalovú metódu. V opačnom prípade záver o riešení nerovnosti je rýchlejšie a pohodlnejšie urobiť spôsobom, o ktorom sme hovorili na konci predchádzajúceho odseku.

Z toho vyplýva intervalová metóda

• zavedenie funkcie zodpovedajúcej ľavej strane nerovnosti, v našom prípade - lineárna funkcia y=a x+b,
• nájdenie jeho núl, ktoré rozdeľujú definičný obor na intervaly,
• určenie znakov, ktoré majú hodnoty funkcie na týchto intervaloch, na základe čoho sa urobí záver o riešení lineárnej nerovnosti.

Zozbierajme tieto momenty algoritmu, odhaľujúce, ako riešiť lineárne nerovnosti a x+b<0 (≤, >, ≥) pri a≠0 intervalovou metódou:

• Nájdeme nuly funkcie y=a x+b, pre ktoré je vyriešené a x+b=0. Ako viete, pre a≠0 má jeden koreň, ktorý označujeme x 0 .
• Je postavený a je na ňom znázornený bod so súradnicou x 0. Navyše, ak sa vyrieši prísna nerovnosť (so znamienkom< или >), potom je tento bod prepichnutý (s prázdnym stredom) a ak nie je presný (so znamienkom ≤ alebo ≥), vloží sa obyčajný bod. Tento bod rozdeľuje súradnicovú čiaru na dva intervaly (−∞, x 0) a (x 0 , +∞) .
• Určia sa znamienka funkcie y=a·x+b na týchto intervaloch. Na tento účel sa vypočíta hodnota tejto funkcie v ľubovoľnom bode intervalu (−∞, x 0) a znamienko tejto hodnoty bude požadovaným znamienkom na intervale (−∞, x 0) . Podobne znamienko na intervale (x 0 , +∞) sa zhoduje so znamienkom hodnoty funkcie y=a·x+b v ktoromkoľvek bode tohto intervalu. Môžete sa však zaobísť bez týchto výpočtov a vyvodiť závery o znamienkach podľa hodnoty koeficientu a: ak a>0, potom na intervaloch (−∞, x 0) a (x 0, +∞) budú znamienka - a +, a ak a >0 , potom + a -.
• Ak sa vyrieši nerovnosť so znamienkami > alebo ≥, potom sa cez medzeru umiestni šrafovanie so znamienkom plus a ak sa vyriešia nerovnosti so znamienkami< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Uvažujme o príklade riešenia lineárnej nerovnosti intervalovou metódou.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť −3 x+12>0 .

Riešenie.

Hneď ako rozoberieme metódu intervalov, použijeme ju. Podľa algoritmu najprv nájdeme koreň rovnice −3 x+12=0 , −3 x=−12 , x=4 . Ďalej znázorníme súradnicovú čiaru a označíme na nej bod so súradnicou 4 a tento bod urobíme vyrazeným, pretože riešime prísnu nerovnosť:

Teraz definujeme znaky na intervaloch. Na určenie znamienka na intervale (−∞, 4) môžete vypočítať hodnotu funkcie y=−3 x+12 , napríklad pre x=3 . Máme −3 3+12=3>0 , čo znamená, že znamienko + je na tomto intervale. Na určenie znamienka na inom intervale (4, +∞) môžete vypočítať hodnotu funkcie y=−3 x+12 , napríklad v bode x=5 . Máme −3 5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Keďže nerovnosť riešime znakom >, nakreslíme cez medzeru šrafu so znakom +, kresba má tvar

Na základe výsledného obrázku usúdime, že požadované riešenie je (−∞, 4) alebo v inom zápise x<4 .

odpoveď:

(−∞, 4) alebo x<4 .

Graficky

Je užitočné mať predstavu o geometrickej interpretácii riešenia lineárnych nerovností v jednej premennej. Aby sme to dosiahli, uvažujme štyri lineárne nerovnosti s rovnakou ľavou stranou: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 a 0,5 x−1≥0, ich riešenia sú x<2 , x≤2 , x>2 a x≥2 a tiež nakreslite graf lineárnej funkcie y=0,5 x−1.

Je ľahké to vidieť

• riešenie nerovnosti 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• riešením nerovnosti 0,5 x−1≤0 je interval, na ktorom je graf funkcie y=0,5 x−1 pod osou Ox alebo sa s ňou zhoduje (inými slovami, nie nad osou x),
• podobne, riešením nerovnosti 0,5 x−1>0 je interval, na ktorom je graf funkcie nad osou Ox (táto časť grafu je znázornená červenou farbou),
• a riešením nerovnosti 0,5 x−1≥0 je interval, na ktorom je graf funkcie vyšší alebo sa zhoduje s osou x.

Grafický spôsob riešenia nerovností, najmä lineárnych, a znamená nájsť intervaly, na ktorých je graf funkcie zodpovedajúcej ľavej strane nerovnosti umiestnený nad, pod, nie nižšie alebo nie vyššie ako graf funkcie zodpovedajúcej pravej strane nerovnosti. nerovnosť. V našom prípade lineárnej nerovnosti funkcia zodpovedajúca ľavej strane je y=a x+b a pravá strana je y=0, čo sa zhoduje s osou Ox.

Vzhľadom na vyššie uvedené informácie je ľahké ho formulovať Algoritmus na grafické riešenie lineárnych nerovností:

• Zostrojí sa graf funkcie y=a x+b (môžete schematicky) a
• pri riešení nerovnice a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• pri riešení nerovnosti a x+b≤0 sa určí interval, na ktorom je graf nižší alebo sa zhoduje s osou Ox,
• pri riešení nerovnosti a x+b>0 sa určí interval, na ktorom je graf nad osou Ox,
• pri riešení nerovnosti a x+b≥0 sa určí interval, na ktorom je graf vyššie alebo sa zhoduje s osou Ox .

Príklad.

Vyriešte nerovnosť graficky.

Riešenie.

Zostavme si náčrt grafu lineárnej funkcie . Toto je priamka, ktorá klesá, pretože koeficient v x je záporný. Potrebujeme tiež súradnicu jej priesečníka s osou x, je to koreň rovnice , čo sa rovná . Pre naše účely ani nepotrebujeme kresliť os Oy. Takže náš schematický výkres bude vyzerať takto

Keďže riešime nerovnosť so znamienkom >, zaujíma nás interval, na ktorom je graf funkcie nad osou Ox. Pre názornosť si túto časť grafu zvýrazníme červenou farbou a aby sme mohli ľahko určiť interval zodpovedajúci tejto časti, zvýrazníme červenou farbou časť súradnicovej roviny, v ktorej sa nachádza vybraná časť grafu, ako napr. na obrázku nižšie:

Interval, ktorý nás zaujíma, je súčasťou osi Ox, ktorá sa ukázala byť zvýraznená červenou farbou. Je zrejmé, že ide o otvorený lúč . Toto je požadované riešenie. Všimnite si, že ak by sme nerovnicu riešili nie znakom >, ale neprísnym znakom nerovnosti ≥, museli by sme v odpovedi pridať, keďže v tomto bode je graf funkcie sa zhoduje s osou Ox .y=0·x+7 , ktorá je rovnaká ako y=7, definuje priamku v rovine súradníc rovnobežnú s osou Ox a leží nad ňou. Preto nerovnosť 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

A graf funkcie y=0 x+0 , ktorý je rovnaký ako y=0 , je priamka zhodná s osou Ox . Preto riešením nerovnosti 0 x+0≥0 je množina všetkých reálnych čísel.

odpoveď:

druhá nerovnica, jej riešením je akékoľvek reálne číslo.

Lineárne nerovnosti

Obrovské množstvo nerovností pomocou ekvivalentných transformácií môže byť nahradené ekvivalentnou lineárnou nerovnosťou, inými slovami, redukované na lineárnu nerovnosť. Takéto nerovnosti sú tzv nerovnosti redukujúce na lineárne.

V škole takmer súčasne s riešením lineárnych nerovností uvažujú aj o jednoduchých nerovnostiach, ktoré sa redukujú na lineárne. Sú to špeciálne prípady. celočíselných nerovností, totiž v ich ľavej a pravej časti sú celočíselné výrazy, ktoré predstavujú resp lineárne binomy, alebo sú na ne prevedené pomocou a . Pre názornosť uvádzame niekoľko príkladov takýchto nerovností: 5−2 x>0 , 7 (x−1)+3≤4 x−2+x, .

Nerovnosti, ktoré sú vo forme podobné tým, ktoré sú uvedené vyššie, môžu byť vždy znížené na lineárne. Dá sa to urobiť otvorením zátvoriek, uvedením podobných výrazov, preusporiadaním výrazov a presunutím výrazov z jednej časti nerovnosti do druhej s opačným znamienkom.

Napríklad na zmenšenie nerovnice 5−2 x>0 na lineárnu stačí preusporiadať členy na jej ľavej strane, máme −2 x+5>0 . Na zmenšenie druhej nerovnice 7 (x−1)+3≤4 x−2+x na lineárnu potrebujeme trochu viac práce: na ľavej strane otvoríme zátvorky 7 x−7+3≤4 x− 2+x , potom prinesieme rovnaké členy v oboch častiach 7 x−4≤5 x−2 , potom prenesieme členy z pravej strany na ľavú 7 x−4−5 x+2≤0 a nakoniec dajte rovnaké výrazy na ľavej strane 2 ·x−2≤0 . Podobne možno tretiu nerovnosť zredukovať na lineárnu nerovnosť.

Pretože takéto nerovnosti sa dajú vždy zredukovať na lineárne, niektorí autori ich dokonca nazývajú aj lineárne. Budeme ich však považovať za lineárne.

Teraz je jasné, prečo sa takéto nerovnosti zvažujú spolu s lineárnymi nerovnosťami. A princíp ich riešenia je úplne rovnaký: vykonaním ekvivalentných transformácií sa dajú zredukovať na elementárne nerovnosti, ktoré sú želanými riešeniami.

Ak chcete vyriešiť nerovnosť tohto druhu, môžete ju najskôr znížiť na lineárnu a potom túto lineárnu nerovnosť vyriešiť. Ale je to racionálnejšie a pohodlnejšie to urobiť:

• po otvorení zátvoriek zhromaždite všetky členy s premennou na ľavej strane nerovnosti a všetky čísla na pravej strane,
• a potom pridajte podobné výrazy,
• a potom obe časti získanej nerovnosti vydeľte koeficientom v x (ak je, samozrejme, iný ako nula). Toto dá odpoveď.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť 5 (x+3)+x≤6 (x−3)+1 .

Riešenie.

Najprv otvoríme zátvorky, výsledkom čoho je nerovnosť 5 x+15+x≤6 x−18+1 . Teraz uvádzame podobné pojmy: 6 x+15≤6 x−17 . Potom prenesieme členy z ľavej strany, dostaneme 6 x+15−6 x+17≤0 a opäť prinesieme podobné členy (čo nás vedie k lineárnej nerovnosti 0 x+32≤0 ) a máme 32≤0 . Dospeli sme teda k nesprávnej číselnej nerovnosti, z ktorej usudzujeme, že pôvodná nerovnosť nemá riešenia.

odpoveď:

neexistujú žiadne riešenia.

Na záver poznamenávame, že existuje mnoho ďalších nerovností, ktoré sa redukujú na lineárne nerovnosti alebo na nerovnosti vyššie uvedeného tvaru. Napríklad riešenie exponenciálna nerovnosť 5 2 x−1 ≥1 redukuje na vyriešenie lineárnej nerovnosti 2 x−1≥0 . Ale o tom budeme hovoriť, keď budeme analyzovať riešenia nerovníc zodpovedajúceho tvaru.

Bibliografia.

• algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vydanie, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník O 14. hodine 1. časť. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.

Najprv niekoľko textov, aby ste získali predstavu o probléme, ktorý intervalová metóda rieši. Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúcu nerovnosť:

(x − 5) (x + 3) > 0

Aké sú možnosti? Prvá vec, ktorá väčšine študentov napadne, sú pravidlá „plus krát plus plus“ a „mínus krát mínus plus“. Preto stačí zvážiť prípad, keď sú obe zátvorky kladné: x − 5 > 0 a x + 3 > 0. Potom uvažujeme aj prípad, keď sú obe zátvorky záporné: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Pokročilejší študenti si zapamätajú (možno), že vľavo je kvadratická funkcia, ktorej grafom je parabola. Navyše táto parabola pretína os OX v bodoch x = 5 a x = −3. Pre ďalšiu prácu musíte otvoriť zátvorky. Máme:

x 2 − 2x − 15 > 0

Teraz je jasné, že vetvy paraboly smerujú nahor, pretože koeficient a = 1 > 0. Skúsme nakresliť diagram tejto paraboly:

Funkcia je väčšia ako nula tam, kde prechádza nad osou OX. V našom prípade sú to intervaly (−∞ −3) a (5; +∞) – toto je odpoveď.

Upozorňujeme, že obrázok ukazuje presne funkčný diagram, nie jej rozvrh. Pretože pre skutočný graf musíte vypočítať súradnice, vypočítať odchýlky a iné svinstvá, ktoré teraz vôbec nepotrebujeme.

Prečo sú tieto metódy neúčinné?

Zvažovali sme teda dve riešenia tej istej nerovnosti. Obaja sa ukázali ako veľmi ťažkopádne. Vyvstáva prvé rozhodnutie - len o tom premýšľajte! je súbor systémov nerovností. Druhé riešenie tiež nie je veľmi jednoduché: musíte si zapamätať parabolový graf a kopu ďalších malých faktov.

Bola to veľmi jednoduchá nerovnosť. Má len 2 multiplikátory. Teraz si predstavte, že nebudú 2 multiplikátory, ale aspoň 4. Napríklad:

(x − 7) (x − 1) (x + 4) (x + 9)< 0

Ako vyriešiť takúto nerovnosť? Prechádzať všetkými možnými kombináciami pre a proti? Áno, zaspíme rýchlejšie, ako nájdeme riešenie. Kreslenie grafu tiež neprichádza do úvahy, pretože nie je jasné, ako sa takáto funkcia správa v rovine súradníc.

Pre takéto nerovnosti je potrebný špeciálny algoritmus riešenia, ktorý dnes zvážime.

Čo je intervalová metóda

Intervalová metóda je špeciálny algoritmus určený na riešenie zložitých nerovností tvaru f (x) > 0 a f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Vyriešte rovnicu f (x) \u003d 0. Namiesto nerovnosti teda dostaneme rovnicu, ktorú je oveľa jednoduchšie vyriešiť;
2. Označte všetky získané korene na súradnicovej čiare. Takto bude priamka rozdelená na niekoľko intervalov;
3. Zistite znamienko (plus alebo mínus) funkcie f (x) na intervale úplne vpravo. Na to stačí do f (x) dosadiť ľubovoľné číslo, ktoré bude napravo od všetkých označených koreňov;
4. Označte značky na iných intervaloch. Aby ste to dosiahli, stačí si uvedomiť, že pri prechode cez každý koreň sa znamienko mení.

To je všetko! Potom už zostáva len vypísať intervaly, ktoré nás zaujímajú. Sú označené znamienkom „+“, ak bola nerovnosť v tvare f (x) > 0, alebo znamienkom „–“, ak bola nerovnosť v tvare f (x).< 0.

Na prvý pohľad sa môže zdať, že intervalová metóda je nejaký plech. Ale v praxi bude všetko veľmi jednoduché. Chce to trochu praxe - a všetko bude jasné. Pozrite si príklady a presvedčte sa sami:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

(x − 2) (x + 7)< 0

Pracujeme na metóde intervalov. Krok 1: Nahraďte nerovnosť rovnicou a vyriešte ju:

(x − 2) (x + 7) = 0

Súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Má dva korene. Prejdite na krok 2: označte tieto korene na súradnicovej čiare. Máme:

Teraz krok 3: nájdeme znamienko funkcie na intervale úplne vpravo (napravo od označeného bodu x = 2). Aby ste to dosiahli, musíte vziať akékoľvek číslo, ktoré je väčšie ako číslo x = 2. Zoberme si napríklad x = 3 (nikto však nezakazuje vziať x = 4, x = 10 a dokonca x = 10 000). Dostaneme:

f(x) = (x - 2) (x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

Dostaneme, že f (3) = 10 > 0, takže znamienko plus vložíme do intervalu úplne vpravo.

Prejdeme k poslednému bodu - je potrebné si všimnúť značky na zostávajúcich intervaloch. Pamätajte, že pri prechode cez každý koreň sa znamenie musí zmeniť. Napríklad napravo od koreňa x = 2 je plus (o tom sme sa presvedčili v predchádzajúcom kroku), takže vľavo musí byť mínus.

Toto mínus sa vzťahuje na celý interval (−7; 2), takže napravo od koreňa x = −7 je mínus. Preto je naľavo od koreňa x = −7 plus. Zostáva označiť tieto znaky na súradnicovej osi. Máme:

Vráťme sa k pôvodnej nerovnosti, ktorá vyzerala takto:

(x − 2) (x + 7)< 0

Takže funkcia musí byť menšia ako nula. To znamená, že nás zaujíma znamienko mínus, ktoré sa vyskytuje len na jednom intervale: (−7; 2). Toto bude odpoveď.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

(x + 9) (x − 3) (1 − x )< 0

Krok 1: Prirovnajte ľavú stranu k nule:

(x + 9) (x − 3) (1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Pamätajte: súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nula. To je dôvod, prečo máme právo vynulovať každú jednotlivú skupinu.

Krok 2: Označte všetky korene na súradnicovej čiare:

Krok 3: zistite znamienko medzery úplne vpravo. Zoberieme akékoľvek číslo, ktoré je väčšie ako x = 1. Napríklad môžeme vziať x = 10. Máme:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9) (10 − 3) (1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

Krok 4: Umiestnite zvyšok značiek. Pamätajte, že pri prechode cez každý koreň sa znamienko mení. V dôsledku toho bude náš obrázok vyzerať takto:

To je všetko. Zostáva len napísať odpoveď. Pozrite sa ešte raz na pôvodnú nerovnosť:

(x + 9) (x − 3) (1 − x )< 0

Toto je nerovnosť tvaru f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (-9; 1) ∪ (3; +∞)

Toto je odpoveď.

Poznámka k funkčným znakom

Prax ukazuje, že najväčšie ťažkosti pri intervalovej metóde vznikajú pri posledných dvoch krokoch, t.j. pri umiestňovaní značiek. Mnoho študentov začína byť zmätených: aké čísla si vziať a kam umiestniť znaky.

Aby ste konečne pochopili intervalovú metódu, zvážte dve poznámky, na ktorých je postavená:

1. Spojitá funkcia mení znamienko iba v bodoch kde sa rovná nule. Takéto body rozbijú súradnicovú os na kúsky, v rámci ktorých sa znamienko funkcie nikdy nemení. Preto riešime rovnicu f (x) \u003d 0 a nájdené korene označíme na priamke. Nájdené čísla sú „hraničné“ body oddeľujúce plusy od mínusov.
2. Na zistenie znamienka funkcie na ľubovoľnom intervale stačí do funkcie dosadiť ľubovoľné číslo z tohto intervalu. Napríklad pre interval (−5; 6) môžeme vziať x = −4, x = 0, x = 4 a dokonca x = 1,29374, ak chceme. Prečo je to dôležité? Áno, pretože mnohí študenti začínajú hlodať pochybnosti. Napríklad, čo ak pre x = −4 dostaneme plus a pre x = 0 dostaneme mínus? Nikdy sa nič také nestane. Všetky body v rovnakom intervale dávajú rovnaké znamienko. Zapamätaj si to.

To je všetko, čo potrebujete vedieť o intervalovej metóde. Samozrejme, rozobrali sme ho v najjednoduchšej podobe. Existujú zložitejšie nerovnosti - neprísne, zlomkové a s opakovanými koreňmi. Pre nich môžete použiť aj intervalovú metódu, ale to je téma na samostatnú veľkú lekciu.

Teraz by som rád analyzoval pokročilý trik, ktorý výrazne zjednodušuje intervalovú metódu. Presnejšie povedané, zjednodušenie sa týka až tretieho kroku – výpočtu znamienka na najpravejšom kúsku riadku. Z nejakého dôvodu sa táto technika na školách nekoná (aspoň mi to nikto nevysvetlil). Ale márne - v skutočnosti je tento algoritmus veľmi jednoduchý.

Znamienko funkcie je teda na pravej časti číselnej osi. Tento kúsok má tvar (a; +∞), kde a je najväčší koreň rovnice f (x) = 0. Aby sme si nerozbili mozog, pouvažujme o konkrétnom príklade:

(x − 1) (2 + x ) (7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = -2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Máme 3 korene. Uvádzame ich vo vzostupnom poradí: x = −2, x = 1 a x = 7. Je zrejmé, že najväčší koreň je x = 7.

Pre tých, ktorým sa to ľahšie graficky zdôvodňuje, označím tieto korene na súradnicovej čiare. Poďme sa pozrieť čo sa stalo:

Je potrebné nájsť znamienko funkcie f (x) na intervale úplne vpravo, t.j. na (7; +∞). Ale ako sme už uviedli, na určenie znamenia môžete z tohto intervalu vziať ľubovoľné číslo. Môžete napríklad vziať x = 8, x = 150 atď. A teraz – tá istá technika, aká sa na školách neučí: zoberme si nekonečno ako číslo. Presnejšie, plus nekonečno, t.j. +∞.

„Si ukameňovaný? Ako môžete nahradiť nekonečno do funkcie? možno sa pýtaš. Ale premýšľajte o tom: nepotrebujeme hodnotu samotnej funkcie, potrebujeme iba znamienko. Preto napríklad hodnoty f (x) = −1 a f (x) = −938 740 576 215 znamenajú to isté: funkcia je v tomto intervale záporná. Preto všetko, čo sa od vás vyžaduje, je nájsť znamienko, ktoré sa vyskytuje v nekonečne, a nie hodnotu funkcie.

V skutočnosti je náhrada nekonečna veľmi jednoduchá. Vráťme sa k našej funkcii:

f(x) = (x − 1) (2 + x) (7 − x)

Predstavte si, že x je veľmi veľké číslo. Miliarda alebo dokonca bilión. Teraz sa pozrime, čo sa deje v jednotlivých zátvorkách.

Prvá zátvorka: (x − 1). Čo sa stane, ak odpočítate jednu od miliardy? Výsledkom bude číslo, ktoré sa príliš nelíši od miliardy a toto číslo bude kladné. Podobne s druhou zátvorkou: (2 + x ). Ak k dvom pripočítame miliardu, dostaneme miliardu s kopejkami – to je kladné číslo. Nakoniec tretia zátvorka: (7 − x ). Tu bude mínus miliarda, z ktorej sa „odhryzol“ mizerný kúsok v podobe sedmičky. Tie. výsledné číslo sa nebude veľmi líšiť od mínus miliardy - bude záporné.

Zostáva nájsť znak celého diela. Keďže sme mali v prvých zátvorkách plus a v poslednej zátvorke mínus, dostaneme nasledujúcu konštrukciu:

(+) · (+) · (−) = (−)

Konečné znamenie je mínus! Nezáleží na tom, akú hodnotu má samotná funkcia. Hlavná vec je, že táto hodnota je záporná, t.j. na intervale úplne vpravo je znamienko mínus. Zostáva dokončiť štvrtý krok intervalovej metódy: usporiadať všetky znaky. Máme:

Pôvodná nerovnosť vyzerala takto:

(x − 1) (2 + x ) (7 − x )< 0

Preto nás zaujímajú intervaly označené znamienkom mínus. Napíšeme odpoveď:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

To je celý trik, ktorý som chcel povedať. Na záver je tu ešte jedna nerovnosť, ktorá je riešená intervalovou metódou pomocou nekonečna. Pre vizuálne skrátenie riešenia nebudem písať čísla krokov a podrobné komentáre. Napíšem len to, čo naozaj treba napísať pri riešení skutočných problémov:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

x (2x + 8) (x − 3) > 0

Nerovnosť nahradíme rovnicou a vyriešime ju:

x (2x + 8) (x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Označíme všetky tri korene na súradnicovej čiare (ihneď so znakmi):

Na pravej strane súradnicovej osi je plus, pretože funkcia vyzera takto:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

A ak dosadíme nekonečno (napríklad miliardu), dostaneme tri kladné zátvorky. Keďže pôvodný výraz musí byť väčší ako nula, zaujímajú nás len plusy. Zostáva napísať odpoveď:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo "štvorcová nerovnosť"? Nie je to otázka!) Ak vezmete akýkoľvek kvadratickú rovnicu a zmeniť v nej znamienko "=" (rovná sa) akejkoľvek ikone nerovnosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dostaneme kvadratickú nerovnosť. Napríklad:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x2 ≤ 4

Dobre, chápete ...)

Vedome som tu prepojil rovnice a nerovnice. Faktom je, že prvým krokom pri riešení akýkoľvekštvorcová nerovnosť - vyriešiť rovnicu, z ktorej je vytvorená táto nerovnosť. Z tohto dôvodu – neschopnosť riešiť kvadratické rovnice automaticky vedie k úplnému zlyhaniu v nerovnostiach. Je náznak jasný?) Ak niečo, pozrite sa, ako vyriešiť akékoľvek kvadratické rovnice. Všetko je tam rozpísané. A v tejto lekcii sa budeme zaoberať nerovnosťami.

Nerovnosť pripravená na riešenie má tvar: ľavá - štvorcová trojčlenka sekera 2 + bx + c, vpravo - nula. Znakom nerovnosti môže byť úplne čokoľvek. Prvé dva príklady sú tu sú pripravení na rozhodnutie. Tretí príklad treba ešte pripraviť.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Po obdržaní prvotných informácií o nerovnostiach s premennými prejdeme k otázke ich riešenia. Poďme analyzovať riešenie lineárnych nerovníc s jednou premennou a všetky spôsoby ich riešenia s algoritmami a príkladmi. Zohľadňovať sa budú iba lineárne rovnice s jednou premennou.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Čo je lineárna nerovnosť?

Najprv musíte definovať lineárnu rovnicu a zistiť jej štandardný tvar a ako sa bude líšiť od ostatných. Zo školského kurzu máme, že nerovnosti nemajú zásadný rozdiel, preto treba použiť viacero definícií.

Definícia 1

Lineárna nerovnosť s jednou premennou x je nerovnosť tvaru a x + b > 0, keď sa namiesto > použije ľubovoľný znak nerovnosti< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definícia 2

Nerovnosti a x< c или a · x >c , kde x je premenná a a a c nejaké čísla, sa nazýva lineárne nerovnosti s jednou premennou.

Keďže sa nič nehovorí o tom, či sa koeficient môže rovnať 0, potom striktná nerovnosť tvaru 0 x > c a 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Ich rozdiely sú:

• zápis a · x + b > 0 v prvom a a · x > c – v druhom;
• prípustnosť nulového koeficientu a , a ≠ 0 - v prvom a a = 0 - v druhom.

Predpokladá sa, že nerovnosti a x + b > 0 a a x > c sú ekvivalentné, pretože sa získajú prenosom termínu z jednej časti do druhej. Riešenie nerovnosti 0 · x + 5 > 0 povedie k tomu, že ju bude potrebné vyriešiť a prípad a = 0 nebude fungovať.

Definícia 3

Uvažuje sa, že lineárne nerovnosti v jednej premennej x sú nerovnosťami tvaru a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b < 0 a a x + b ≥ 0, kde a a b sú reálne čísla. Namiesto x môže byť obyčajné číslo.

Na základe pravidla máme, že 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1, 2 sa nazývajú lineárne.

Ako vyriešiť lineárnu nerovnosť

Hlavným spôsobom riešenia takýchto nerovností je použitie ekvivalentných transformácií na nájdenie elementárnych nerovností x< p (≤ , >, ≥) , p je nejaké číslo, pre a ≠ 0 a tvaru a< p (≤ , >, ≥) pre a = 0 .

Ak chcete vyriešiť nerovnosť s jednou premennou, môžete použiť intervalovú metódu alebo ju znázorniť graficky. Ktorýkoľvek z nich môže byť použitý samostatne.

Použitie ekvivalentných transformácií

Na vyriešenie lineárnej nerovnosti tvaru a x + b< 0 (≤ , >, ≥) , je potrebné použiť ekvivalentné transformácie nerovnosti. Koeficient môže, ale nemusí byť nulový. Zoberme si oba prípady. Na objasnenie je potrebné dodržať schému pozostávajúcu z 3 bodov: podstata procesu, algoritmus, samotné riešenie.

Definícia 4

Algoritmus na riešenie lineárnej nerovnosti a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pre a ≠ 0

• číslo b sa prenesie na pravú stranu nerovnosti s opačným znamienkom, čo nám umožní prísť na ekvivalent a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• obe časti nerovnosti budú delené číslom, ktoré sa nerovná 0. Navyše, keď je a kladné, znamienko zostáva, ak je a záporné, mení sa na opak.

Zvážte použitie tohto algoritmu na riešenie príkladov.

Príklad 1

Vyriešte nerovnosť v tvare 3 · x + 12 ≤ 0 .

Riešenie

Táto lineárna nerovnosť má a = 3 ab = 12 . Koeficient a x sa teda nerovná nule. Aplikujme vyššie uvedené algoritmy a riešme.

Je potrebné preniesť člen 12 do inej časti nerovnice so zmenou znamienka pred ňou. Potom dostaneme nerovnosť v tvare 3 · x ≤ − 12 . Je potrebné vydeliť obe časti 3. Znamienko sa nezmení, pretože 3 je kladné číslo. Dostaneme, že (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , čo dá výsledok x ≤ − 4 .

Nerovnosť tvaru x ≤ − 4 je ekvivalentná. To znamená, že riešením pre 3 x + 12 ≤ 0 je akékoľvek reálne číslo, ktoré je menšie alebo rovné 4. Odpoveď sa zapíše ako nerovnosť x ≤ − 4 , alebo ako číselný interval tvaru (− ∞ , − 4 ] .

Celý vyššie opísaný algoritmus je napísaný takto:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ - 12; x ≤ − 4 .

odpoveď: x ≤ − 4 alebo (− ∞ , − 4 ] .

Príklad 2

Uveďte všetky dostupné riešenia nerovnice − 2 , 7 · z > 0 .

Riešenie

Z podmienky vidíme, že koeficient a pri z sa rovná - 2, 7 a b explicitne chýba alebo sa rovná nule. Nemôžete použiť prvý krok algoritmu, ale okamžite prejdite na druhý.

Obe časti rovnice vydelíme číslom - 2, 7. Keďže číslo je záporné, je potrebné zmeniť znamienko nerovnosti na opačné. To znamená, že dostaneme, že (− 2 , 7 z): (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Celý algoritmus napíšeme v skrátenej forme:

- 2, 7 z > 0; z< 0 .

odpoveď: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Príklad 3

Vyriešte nerovnosť - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Riešenie

Podľa podmienky vidíme, že je potrebné riešiť nerovnosť s koeficientom a pre premennú x, ktorá sa rovná - 5, s koeficientom b, ktorý zodpovedá zlomku - 15 22 . Nerovnosť je potrebné vyriešiť podľa algoritmu, to znamená: presunúť - 15 22 do inej časti s opačným znamienkom, obe časti vydeliť - 5, zmeniť znamienko nerovnosti:

5 x ≤ 1522; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Pri poslednom prechode sa pre pravú stranu používa pravidlo na delenie čísla rôznymi znamienkami 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, po ktorom vydelíme obyčajný zlomok prirodzeným číslom - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

odpoveď: x ≥ - 3 22 a [ - 3 22 + ∞) .

Zvážte prípad, keď a = 0. Lineárne vyjadrenie tvaru a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Všetko je založené na definícii riešenia nerovnosti. Pre ľubovoľnú hodnotu x dostaneme číselnú nerovnosť tvaru b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Všetky úsudky uvažujeme vo forme algoritmu na riešenie lineárnych nerovností 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definícia 5

Číselná nerovnosť tvaru b< 0 (≤ , >, ≥) je pravda, potom pôvodná nerovnosť má riešenie pre akúkoľvek hodnotu a nepravda, keď pôvodná nerovnosť nemá riešenia.

Príklad 4

Vyriešte nerovnosť 0 · x + 7 > 0 .

Riešenie

Táto lineárna nerovnosť 0 · x + 7 > 0 môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu x. Potom dostaneme nerovnosť tvaru 7 > 0 . Posledná nerovnosť sa považuje za pravdivú, takže jej riešením môže byť akékoľvek číslo.

Odpoveď: interval (− ∞ , + ∞) .

Príklad 5

Nájdite riešenie pre nerovnosť 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Riešenie

Dosadením premennej x za ľubovoľné číslo dostaneme, že nerovnosť bude mať tvar − 12 , 7 ≥ 0 . je nesprávne. To znamená, že 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 nemá žiadne riešenia.

odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Uvažujme riešenie lineárnych nerovností, kde sa oba koeficienty rovnajú nule.

Príklad 6

Určte neriešiteľnú nerovnosť z 0 · x + 0 > 0 a 0 · x + 0 ≥ 0 .

Riešenie

Pri dosadení ľubovoľného čísla namiesto x dostaneme dve nerovnice v tvare 0 > 0 a 0 ≥ 0 . Prvý je nesprávny. To znamená, že 0 x + 0 > 0 nemá žiadne riešenia a 0 x + 0 ≥ 0 má nekonečný počet riešení, teda ľubovoľný počet.

Odpoveď: nerovnosť 0 x + 0 > 0 nemá riešenia a 0 x + 0 ≥ 0 má riešenia.

Táto metóda sa zvažuje v školskom kurze matematiky. Intervalová metóda je schopná riešiť rôzne druhy nerovností, vrátane lineárnych.

Intervalová metóda sa používa pre lineárne nerovnosti, keď sa hodnota koeficientu x nerovná 0. V opačnom prípade budete musieť vypočítať pomocou inej metódy.

Definícia 6

Metóda rozstupu je:

• zavedenie funkcie y = a x + b ;
• hľadať nuly na rozdelenie domény definície na intervaly;
• určenie znakov pre ich pojem na intervaloch.

Zostavme si algoritmus na riešenie lineárnych rovníc a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pre a ≠ 0 pomocou intervalovej metódy:

• nájdenie núl funkcie y = a · x + b na vyriešenie rovnice v tvare a · x + b = 0 . Ak a ≠ 0, potom riešením bude jediný koreň, ktorý bude mať označenie x 0;
• konštrukcia súradnicovej priamky s obrazom bodu so súradnicou x 0, s prísnou nerovnosťou, bod je označený vyrazeným, s neprísnou nerovnicou je zatienený;
• určenie znakov funkcie y = a x + b na intervaloch, preto je potrebné nájsť hodnoty funkcie v bodoch intervalu;
• riešenie nerovnosti so znamienkami > alebo ≥ na súradnicovej čiare, nad kladnú medzeru sa pridá šrafovanie,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Zvážte niekoľko príkladov riešenia lineárnej nerovnosti pomocou intervalovej metódy.

Príklad 6

Vyriešte nerovnosť − 3 · x + 12 > 0 .

Riešenie

Z algoritmu vyplýva, že najprv musíte nájsť koreň rovnice − 3 · x + 12 = 0 . Dostaneme, že − 3 · x = − 12 , x = 4 . Je potrebné znázorniť súradnicovú čiaru, kde označíme bod 4. Bude to prepichnuté, pretože nerovnosť je prísna. Zvážte nákres nižšie.

Je potrebné určiť znaky na intervaloch. Na jej určenie na intervale (− ∞ , 4) je potrebné vypočítať funkciu y = − 3 · x + 12 pre x = 3 . Odtiaľ dostaneme, že − 3 3 + 12 = 3 > 0 . Znak na medzere je pozitívny.

Znamienko určíme z intervalu (4, + ∞), potom dosadíme hodnotu x \u003d 5. Máme − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Riešenie nerovnosti vykonáme so znamienkom > a šrafovanie sa vykoná nad kladnou medzerou. Zvážte nákres nižšie.

Z výkresu je zrejmé, že požadované riešenie má tvar (− ∞ , 4) alebo x< 4 .

Odpoveď: (− ∞ , 4) alebo x< 4 .

Aby sme pochopili, ako graficky znázorniť, je potrebné zvážiť 4 lineárne nerovnosti ako príklad: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 a 0, 5 x - 1 ≥ 0. Ich riešenia budú x< 2 , x ≤ 2 , x >2 a x > 2. Za týmto účelom nakreslite graf lineárnej funkcie y = 0 , 5 · x − 1 nižšie.

To je jasné

Definícia 7

• riešenie nerovnosti 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• riešenie 0 , 5 x − 1 ≤ 0 je interval, kde funkcia y = 0 , 5 x − 1 je pod 0 x alebo sa zhoduje;
• riešenie 0 , 5 x − 1 > 0 považujeme za interval, kde sa funkcia nachádza nad O x;
• riešenie 0 , 5 x − 1 ≥ 0 je interval, v ktorom je graf vyšší ako O x alebo sa zhoduje.

Zmyslom grafického riešenia nerovností je nájsť medzery, ktoré musia byť v grafe znázornené. V tomto prípade dostaneme, že ľavá strana má y \u003d a x + b a pravá strana má y \u003d 0 a zhoduje sa s približne x.

Definícia 8

Vykreslenie funkcie y = a x + b sa vykoná:

• pri riešení nerovnice a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• pri riešení nerovnosti a x + b ≤ 0 sa určí interval, kde je graf zobrazený pod osou O x alebo sa zhoduje;
• pri riešení nerovnosti a x + b > 0 sa určí interval, kde je graf zobrazený nad O x;
• pri riešení nerovnosti a x + b ≥ 0 sa určí interval, kde je graf nad O x alebo sa zhoduje.

Príklad 7

Vyriešte nerovnosť - 5 · x - 3 > 0 pomocou grafu.

Riešenie

Je potrebné zostaviť graf lineárnej funkcie - 5 · x - 3 > 0 . Táto čiara je klesajúca, pretože koeficient x je záporný. Na určenie súradníc jeho priesečníka s O x - 5 · x - 3 > 0 dostaneme hodnotu - 3 5 . Poďme si to znázorniť.

Riešenie nerovnosti so znamienkom >, potom si treba dať pozor na interval nad O x. Potrebnú časť lietadla zvýrazníme červenou farbou a získame to

Požadovaná medzera je O x časť červenej farby. Riešením nerovnice teda bude lúč otvoreného čísla - ∞ , - 3 5. Ak by podľa podmienky mali nestriktnú nerovnosť, tak aj hodnota bodu - 3 5 by bola riešením nerovnosti. A zhoduje sa s O x.

Odpoveď: - ∞ , - 3 5 alebo x< - 3 5 .

Grafické riešenie sa používa vtedy, keď ľavá strana bude zodpovedať funkcii y = 0 x + b , teda y = b . Potom bude čiara rovnobežná s O x alebo sa bude zhodovať s b \u003d 0. Tieto prípady ukazujú, že nerovnosť nemusí mať riešenia, alebo akékoľvek číslo môže byť riešením.

Príklad 8

Určte z nerovností 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Riešenie

Znázornenie y = 0 x + 7 je y = 7, potom bude daná súradnicová rovina s priamkou rovnobežnou s O x a nad O x. Takže 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Graf funkcie y \u003d 0 x + 0 sa považuje za y \u003d 0, to znamená, že čiara sa zhoduje s O x. Nerovnosť 0 · x + 0 ≥ 0 má teda veľa riešení.

Odpoveď: druhá nerovnosť má riešenie pre akúkoľvek hodnotu x .

Lineárne nerovnosti

Riešenie nerovníc možno zredukovať na riešenie lineárnej rovnice, ktoré sa nazývajú lineárne nerovnice.

Tieto nerovnosti boli zohľadnené v školskom kurze, keďže išlo o špeciálny prípad riešenia nerovností, čo viedlo k otvoreniu zátvoriek a redukcii podobných výrazov. Uvažujme napríklad, že 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Vyššie uvedené nerovnosti sú vždy redukované do tvaru lineárnej rovnice. Potom sa otvoria zátvorky a uvedú sa podobné výrazy, prenesené z rôznych častí, pričom sa zmení znamienko na opak.

Pri zmenšení nerovnosti 5 − 2 x > 0 na lineárnu ju znázorníme tak, že má tvar − 2 x + 5 > 0 a pre zmenšenie druhej dostaneme, že 7 (x − 1 ) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Je potrebné otvoriť zátvorky, uviesť podobné výrazy, presunúť všetky výrazy na ľavú stranu a uviesť podobné výrazy. Vyzerá to takto:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

To prináša riešenie lineárnej nerovnosti.

Tieto nerovnosti sa považujú za lineárne, keďže majú rovnaký princíp riešenia, po ktorom je možné ich zredukovať na elementárne nerovnosti.

Na vyriešenie tohto druhu nerovnosti tohto druhu je potrebné zredukovať ju na lineárnu. Malo by sa to urobiť takto:

Definícia 9

• otvorené zátvorky;
• zbierať premenné vľavo a čísla vpravo;
• priniesť podobné podmienky;
• obe časti vydeľte koeficientom x .

Príklad 9

Vyriešte nerovnosť 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Riešenie

Rozšírime zátvorky, potom dostaneme nerovnosť v tvare 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Po redukcii podobných členov máme, že 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Po presunutí členov zľava doprava dostaneme, že 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 . Má teda nerovnosť v tvare 32 ≤ 0 od výsledku získaného výpočtom 0 · x + 32 ≤ 0 . Je vidieť, že nerovnosť je nepravdivá, čo znamená, že nerovnosť daná podmienkou nemá riešenia.

Odpoveď: žiadne riešenia.

Stojí za zmienku, že existuje veľa nerovností iného druhu, ktoré možno redukovať na lineárnu alebo na nerovnosť vyššie uvedeného druhu. Napríklad 5 2 x − 1 ≥ 1 je exponenciálna rovnica, ktorá sa redukuje na lineárne riešenie 2 · x − 1 ≥ 0 . Tieto prípady sa budú brať do úvahy pri riešení nerovností tohto typu.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter