Násobenie a delenie zlomkov.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Táto operácia je oveľa krajšia ako sčítanie-odčítanie! Pretože je to jednoduchšie. Pripomínam vám: ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľov (toto bude čitateľ výsledku) a menovateľov (toto bude menovateľ). T.j.:

Napríklad:

Všetko je mimoriadne jednoduché. A prosím, nehľadajte spoločného menovateľa! Netreba to tu...

Ak chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte ho prevrátiť druhý(to je dôležité!) zlomok a vynásobte ich, t.j.:

Napríklad:

Ak sa zachytí násobenie alebo delenie celými číslami a zlomkami, je to v poriadku. Rovnako ako pri sčítaní, aj tu urobíme zlomok z celého čísla s jednotkou v menovateli – a ide sa! Napríklad:

Na strednej škole sa často musíte zaoberať trojposchodovými (alebo aj štvorposchodovými!) zlomkami. Napríklad:

Ako priviesť tento zlomok do slušnej podoby? Áno, veľmi jednoduché! Použite rozdelenie podľa dvoch bodov:

Nezabudnite však na poradie rozdelenia! Na rozdiel od násobenia je to tu veľmi dôležité! Samozrejme, 4:2 alebo 2:4 si nepopletieme. Ale v trojposchodovom zlomku je ľahké urobiť chybu. Všimnite si napríklad:

V prvom prípade (výraz vľavo):

V druhom (výraz vpravo):

Cítiť rozdiel? 4 a 1/9!

Aké je poradie delenia? Alebo zátvorky, alebo (ako tu) dĺžka vodorovných pomlčiek. Rozvíjať oko. A ak neexistujú žiadne zátvorky alebo pomlčky, napríklad:

potom deliť-násobiť v poradí, zľava doprava!

A ešte jeden veľmi jednoduchý a dôležitý trik. V akciách s grády sa vám to bude hodiť! Rozdeľme jednotku ľubovoľným zlomkom, napríklad 13/15:

Strela sa obrátila! A vždy sa to stane. Pri delení 1 ľubovoľným zlomkom je výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený.

To sú všetky akcie so zlomkami. Vec je celkom jednoduchá, ale poskytuje viac než dosť chýb. Všímajte si praktické rady a bude ich (chýb) menej!

Praktické rady:

1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť! Toto nie sú bežné slová, nie dobré priania! Toto je vážna potreba! Všetky výpočty na skúške robte ako plnohodnotnú úlohu, sústredene a prehľadne. Je lepšie napísať dva riadky navyše do konceptu, ako sa pokaziť pri počítaní v hlave.

2. V príkladoch s rôznymi druhmi zlomkov - prejdite na obyčajné zlomky.

3. Všetky frakcie zredukujeme až na doraz.

4. Viacúrovňové zlomkové výrazy redukujeme na obyčajné pomocou delenia cez dva body (dodržiavame poradie delenia!).

5. Jednotku v mysli rozdelíme na zlomok, a to jednoduchým otočením zlomku.

Tu sú úlohy, ktoré musíte splniť. Odpovede sú uvedené po všetkých úlohách. Použite materiály tejto témy a praktické rady. Odhadnite, koľko príkladov by ste dokázali správne vyriešiť. Prvý krát! Bez kalkulačky! A urobte správne závery...

Zapamätajte si správnu odpoveď získané z druhého (najmä tretieho) času - sa nepočíta! Taký je krutý život.

takze riešiť v skúšobnom režime ! Mimochodom, toto je príprava na skúšku. Riešime príklad, kontrolujeme, riešime nasledovné. O všetkom sme rozhodli - znova sme kontrolovali od prvého do posledného. Iba po pozri si odpovede.

Vypočítať:

Rozhodli ste sa?

Hľadáte odpovede, ktoré zodpovedajú vašim. Konkrétne som ich napísal v neporiadku, takpovediac ďaleko od pokušenia ... Tu sú odpovede napísané bodkočiarkou.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

A teraz robíme závery. Ak všetko fungovalo - šťastný pre vás! Elementárne výpočty so zlomkami nie sú váš problém! Môžete robiť aj vážnejšie veci. Ak nie...

Takže máte jeden z dvoch problémov. Alebo oboje naraz.) Nedostatok vedomostí a (alebo) nepozornosť. Ale toto riešiteľný Problémy.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

) a menovateľ menovateľom (dostaneme menovateľa súčinu).

Vzorec na násobenie zlomkov:

Napríklad:

Pred pristúpením k násobeniu čitateľov a menovateľov je potrebné skontrolovať možnosť zníženia zlomkov. Ak sa vám podarí zlomok znížiť, bude pre vás jednoduchšie pokračovať vo výpočtoch.

Delenie obyčajného zlomku zlomkom.

Delenie zlomkov zahŕňajúcich prirodzené číslo.

Nie je to také strašidelné, ako sa zdá. Rovnako ako v prípade sčítania prevedieme celé číslo na zlomok s jednotkou v menovateli. Napríklad:

Násobenie zmiešaných frakcií.

Pravidlá pre násobenie zlomkov (zmiešané):

• previesť zmiešané frakcie na nesprávne;
• vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov;
• znížime zlomok;
• ak dostaneme nevlastný zlomok, tak premeníme nevlastný zlomok na zmiešaný.

Poznámka! Ak chcete vynásobiť zmiešaný zlomok iným zmiešaným zlomkom, musíte ich najskôr uviesť do tvaru nesprávnych zlomkov a potom vynásobiť podľa pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov.

Druhý spôsob, ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom.

Výhodnejšie je použiť druhú metódu násobenia obyčajného zlomku číslom.

Poznámka! Na vynásobenie zlomku prirodzeným číslom je potrebné vydeliť menovateľa zlomku týmto číslom a ponechať čitateľa nezmenený.

Z uvedeného príkladu je zrejmé, že túto možnosť je vhodnejšie použiť vtedy, keď je menovateľ zlomku bezo zvyšku delený prirodzeným číslom.

Viacúrovňové zlomky.

Na strednej škole sa často nachádzajú trojposchodové (alebo viac) zlomky. Príklad:

Aby sa takýto zlomok dostal do jeho obvyklej podoby, používa sa rozdelenie na 2 body:

Poznámka! Pri delení zlomkov je veľmi dôležité poradie delenia. Buďte opatrní, tu sa dá ľahko zmiasť.

Poznámka, Napríklad:

Pri delení jedného zlomkom bude výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený:

Praktické tipy na násobenie a delenie zlomkov:

1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť. Všetky výpočty robte opatrne a presne, sústredene a jasne. Je lepšie zapísať si do návrhu pár riadkov navyše, ako sa zmiasť vo výpočtoch v hlave.

2. V úlohách s rôznymi druhmi zlomkov – prejdite na typ obyčajných zlomkov.

3. Všetky frakcie redukujeme, až kým to už nie je možné.

4. Viacúrovňové zlomkové výrazy prenesieme na bežné, pomocou delenia cez 2 body.

5. Jednotku v mysli rozdelíme na zlomok, a to jednoduchým otočením zlomku.

Pokračujeme v štúdiu akcií s obyčajnými zlomkami. Teraz v centre pozornosti násobenie bežných zlomkov. V tomto článku uvedieme pravidlo na násobenie obyčajných zlomkov, zvážte použitie tohto pravidla pri riešení príkladov. Zameriame sa aj na násobenie obyčajného zlomku prirodzeným číslom. Na záver zvážte, ako sa vykonáva násobenie troch alebo viacerých zlomkov.

Navigácia na stránke.

Násobenie spoločného zlomku spoločným zlomkom

Začnime formuláciou pravidlá násobenia bežných zlomkov: vynásobením zlomku zlomkom sa získa zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčinu čitateľov vynásobených zlomkov a menovateľ sa rovná súčinu menovateľov.

To znamená, že vzorec zodpovedá násobeniu bežných zlomkov a / b a c / d.

Uveďme príklad ilustrujúci pravidlo násobenia obyčajných zlomkov. Uvažujme štvorec so stranou 1 jednotky. , pričom jeho plocha je 1 jednotka 2 . Rozdeľte tento štvorec na rovnaké obdĺžniky so stranami 1/4 jednotky. a 1/8 jednotiek. , zatiaľ čo pôvodný štvorec bude pozostávať zo 4 8 = 32 obdĺžnikov, preto plocha každého obdĺžnika je 1/32 plochy pôvodného štvorca, to znamená, že sa rovná 1/32 jednotiek 2. Teraz premaľujeme časť pôvodného štvorca. Všetky naše akcie sú znázornené na obrázku nižšie.

Strany vyplneného obdĺžnika sú 5/8 jednotiek. a 3/4 jednotiek. , čo znamená, že jeho plocha sa rovná súčinu zlomkov 5/8 a 3/4, teda jednotiek 2. Ale vyplnený obdĺžnik pozostáva z 15 „malých“ obdĺžnikov, takže jeho plocha je 15/32 jednotiek 2 . Preto, . Keďže 5 3=15 a 8 4=32 , posledná rovnosť môže byť prepísaná ako , ktorý potvrdzuje vzorec na násobenie obyčajných zlomkov tvaru .

Všimnite si, že pomocou vysloveného pravidla násobenia môžete násobiť bežné aj nesprávne zlomky, zlomky s rovnakými menovateľmi a zlomky s rôznymi menovateľmi.

Zvážte príklady násobenia bežných zlomkov.

Vynásobte spoločný zlomok 7/11 spoločným zlomkom 9/8.

Súčin čitateľov vynásobených zlomkov 7 a 9 je 63 a súčin menovateľov 11 a 8 je 88. Vynásobením spoločných zlomkov 7/11 a 9/8 teda získame zlomok 63/88.

Tu je zhrnutie riešenia: .

Nemali by sme zabúdať na redukciu výslednej frakcie, ak sa v dôsledku násobenia získa redukovateľná frakcia, a na výber celej časti z nevhodnej frakcie.

Vynásobte zlomky 4/15 a 55/6.

Aplikujme pravidlo násobenia obyčajných zlomkov: .

Je zrejmé, že výsledný zlomok je redukovateľný (znamienko deliteľnosti 10 nám umožňuje tvrdiť, že čitateľ a menovateľ zlomku 220/90 majú spoločný činiteľ 10). Zmenšime zlomok 220/90: GCD(220, 90)=10 a . Zostáva vybrať časť celého čísla z výsledného nesprávneho zlomku: .

Upozorňujeme, že redukciu zlomkov je možné vykonať pred výpočtom súčinov čitateľov a súčinov menovateľov vynásobených zlomkov, to znamená, keď má zlomok tvar . Pre toto číslo sú a, b, c a d nahradené ich prvočíselnými rozkladmi, po ktorých sú rovnaké faktory čitateľa a menovateľa zrušené.

Pre objasnenie sa vráťme k predchádzajúcemu príkladu.

Vypočítajte súčin zlomkov tvaru .

Podľa vzorca na násobenie obyčajných zlomkov máme .

Pretože 4=2 2 , 55=5 11 , 15=3 5 a 6=2 3 , potom . Teraz zrušíme bežné hlavné faktory: .

Zostáva len vypočítať produkty v čitateli a menovateli a potom vybrať celú časť z nesprávneho zlomku: .

Treba poznamenať, že násobenie zlomkov je charakterizované komutatívnou vlastnosťou, to znamená, že vynásobené zlomky je možné zamieňať: .

Násobenie zlomku prirodzeným číslom

Začnime formuláciou pravidlá pre násobenie spoločného zlomku prirodzeným číslom: vynásobením zlomku prirodzeným číslom vznikne zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčinu čitateľa vynásobeného zlomku prirodzeným číslom a menovateľ sa rovná menovateľovi vynásobeného zlomku.

Pomocou písmen má pravidlo na násobenie zlomku a/b prirodzeným číslom n tvar .

Vzorec vyplýva zo vzorca na násobenie dvoch obyčajných zlomkov tvaru . V skutočnosti získame reprezentáciu prirodzeného čísla ako zlomku s menovateľom 1 .

Zvážte príklady násobenia zlomku prirodzeným číslom.

Vynásobte zlomok 2/27 číslom 5.

Vynásobením čitateľa 2 číslom 5 dostaneme 10, preto na základe pravidla násobenia zlomku prirodzeným číslom sa súčin 2/27 číslom 5 rovná zlomku 10/27.

Celé riešenie sa dá pohodlne napísať takto: .

Pri násobení zlomku prirodzeným číslom sa často musí výsledný zlomok zmenšiť, a ak je aj nesprávny, reprezentovať ho ako zmiešané číslo.

Vynásobte zlomok 5/12 číslom 8.

Podľa vzorca na násobenie zlomku prirodzeným číslom máme . Je zrejmé, že výsledný zlomok je redukovateľný (znamienko deliteľnosti 2 označuje spoločného deliteľa 2 čitateľa a menovateľa). Zmenšime zlomok 40/12: keďže LCM(40, 12)=4, potom . Zostáva vybrať celú časť: .

Tu je celé riešenie: .

Všimnite si, že redukciu je možné vykonať nahradením čísel v čitateli a menovateli ich rozšíreniami na prvočísla. V tomto prípade by riešenie vyzeralo takto:

Na záver tohto odseku poznamenávame, že násobenie zlomku prirodzeným číslom má komutatívnu vlastnosť, to znamená, že súčin zlomku prirodzeným číslom sa rovná súčinu tohto prirodzeného čísla zlomkom: .

Vynásobte tri alebo viac zlomkov

Spôsob, akým sme definovali obyčajné zlomky a činnosť násobenia s nimi, nám umožňuje tvrdiť, že všetky vlastnosti násobenia prirodzených čísel platia pre násobenie zlomkov.

Komutatívne a asociatívne vlastnosti násobenia umožňujú jednoznačne určiť násobenie troch a viacerých zlomkov a prirodzených čísel. V tomto prípade sa všetko deje analogicky s násobením troch alebo viacerých prirodzených čísel. Predovšetkým zlomky a prirodzené čísla v produkte môžu byť preusporiadané kvôli pohodlnosti výpočtu, a ak neexistujú zátvorky označujúce poradie vykonávania akcií, môžeme si zátvorky usporiadať sami ktorýmkoľvek z povolených spôsobov.

Zvážte príklady násobenia niekoľkých zlomkov a prirodzených čísel.

Vynásobte tri bežné zlomky 1/20, 12/5, 3/7 a 5/8.

Napíšeme súčin, ktorý potrebujeme vypočítať . Na základe pravidla pre násobenie zlomkov sa zapísaný súčin rovná zlomku, ktorého čitateľ sa rovná súčinu čitateľov všetkých zlomkov, a menovateľ je súčinom menovateľov: .

Pred výpočtom súčinov v čitateli a menovateli je vhodné nahradiť všetky faktory ich expanziami na prvočísla a zredukovať (samozrejme, môžete zlomok po vynásobení zmenšiť, ale v mnohých prípadoch to vyžaduje veľa výpočtového úsilia): .

.

Vynásobte päť čísel .

V tomto produkte je vhodné zoskupiť zlomok 7/8 s číslom 8 a číslo 12 so zlomkom 5/36, zjednoduší to výpočty, pretože pri takomto zoskupení je redukcia zrejmá. Máme
.

.

Násobenie zlomkov

Násobenie obyčajných zlomkov zvážime niekoľkými možnými spôsobmi.

Násobenie zlomku zlomkom

Toto je najjednoduchší prípad, v ktorom musíte použiť nasledujúce pravidlá násobenia zlomkov.

Komu vynásobte zlomok zlomkom, potrebné:

• vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a ich súčin zapíšte do čitateľa nového zlomku;
• vynásobte menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku a ich súčin zapíšte do menovateľa nového zlomku;

Pred násobením čitateľov a menovateľov skontrolujte, či je možné zlomky zmenšiť. Zníženie zlomkov vo výpočtoch výrazne uľahčí vaše výpočty.

Násobenie zlomku prirodzeným číslom

Na zlomok vynásobte prirodzeným číslom musíte vynásobiť čitateľa zlomku týmto číslom a ponechať menovateľa zlomku nezmenený.

Ak je výsledkom násobenia nesprávny zlomok, nezabudnite ho premeniť na zmiešané číslo, to znamená vybrať celú časť.

Násobenie zmiešaných čísel

Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom násobiť podľa pravidla na násobenie obyčajných zlomkov.

Ďalší spôsob, ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom

Niekedy je pri výpočtoch vhodnejšie použiť inú metódu vynásobenia obyčajného zlomku číslom.

Ak chcete vynásobiť zlomok prirodzeným číslom, musíte vydeliť menovateľa zlomku týmto číslom a čitateľa ponechať rovnaký.

Ako vidno z príkladu, je vhodnejšie použiť túto verziu pravidla, ak je menovateľ zlomku bezo zvyšku deliteľný prirodzeným číslom.

Násobenie zmiešaných čísel: pravidlá, príklady, riešenia.

V tomto článku budeme analyzovať násobenie zmiešaných čísel. Najprv vyslovíme pravidlo pre násobenie zmiešaných čísel a zvážime uplatnenie tohto pravidla pri riešení príkladov. Ďalej si povieme niečo o násobení zmiešaného čísla a prirodzeného čísla. Nakoniec sa naučíme, ako vynásobiť zmiešané číslo a obyčajný zlomok.

Navigácia na stránke.

Násobenie zmiešaných čísel.

Násobenie zmiešaných čísel možno redukovať na násobenie obyčajných zlomkov. Na to stačí previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky.

Poďme si zapísať pravidlo násobenia pre zmiešané čísla:

• Po prvé, zmiešané čísla, ktoré sa majú vynásobiť, musia byť nahradené nesprávnymi zlomkami;
• Po druhé, musíte použiť pravidlo násobenia zlomku zlomkom.

Zvážte príklady použitia tohto pravidla pri násobení zmiešaného čísla zmiešaným číslom.

Vykonajte násobenie zmiešaných čísel a .

Najprv predstavíme vynásobené zmiešané čísla ako nesprávne zlomky: a . Teraz môžeme nahradiť násobenie zmiešaných čísel násobením obyčajných zlomkov: . Aplikovaním pravidla násobenia zlomkov dostaneme . Výsledný zlomok je neredukovateľný (pozri redukovateľné a neredukovateľné zlomky), ale je nesprávny (pozri pravidelné a nevlastné zlomky), preto, aby sme dostali konečnú odpoveď, zostáva extrahovať celú časť z nesprávneho zlomku: .

Celé riešenie napíšme do jedného riadku: .

.

Ak chcete upevniť zručnosti násobenia zmiešaných čísel, zvážte riešenie iného príkladu.

Vykonajte násobenie.

Vtipné čísla a sú rovné zlomkom 13/5 a 10/9. Potom . V tejto fáze je čas pripomenúť si redukciu zlomkov: všetky čísla v zlomku nahradíme ich expanziami na prvočísla a vykonáme redukciu tých istých faktorov.

Násobenie zmiešaného čísla a prirodzeného čísla

Po nahradení zmiešaného čísla nesprávnym zlomkom, vynásobením zmiešaného čísla a prirodzeného čísla sa redukuje na násobenie obyčajného zlomku a prirodzeného čísla.

Vynásobte zmiešané číslo a prirodzené číslo 45 .

Zmiešané číslo je teda zlomok . Nahraďme čísla vo výslednom zlomku ich expanziami na prvočiniteľa, urobme redukciu, po ktorej vyberieme celočíselnú časť: .

.

Násobenie zmiešaného čísla a prirodzeného čísla sa niekedy pohodlne vykonáva pomocou distribučnej vlastnosti násobenia vzhľadom na sčítanie. V tomto prípade sa súčin zmiešaného čísla a prirodzeného čísla rovná súčtu súčinov celočíselnej časti daným prirodzeným číslom a zlomkovej časti daným prirodzeným číslom, tj. .

Vypočítajte produkt.

Zmiešané číslo nahradíme súčtom celých a zlomkových častí, po čom aplikujeme distributívnu vlastnosť násobenia: .

Násobenie zmiešaného čísla a spoločného zlomku najpohodlnejšie je zredukovať na násobenie obyčajných zlomkov, ktoré predstavujú vynásobené zmiešané číslo ako nevlastný zlomok.

Vynásobte zmiešané číslo spoločným zlomkom 4/15.

Nahradením zmiešaného čísla zlomkom dostaneme .

Násobenie zlomkových čísel

§ 140. Definície. 1) Násobenie zlomkového čísla celým číslom je definované rovnakým spôsobom ako násobenie celých čísel, a to: vynásobiť nejaké číslo (násobiteľ) celým číslom (násobiteľom) znamená vytvoriť súčet rovnakých členov, v ktorých sa každý člen rovná násobiteľu a počet členov sa rovná násobiteľu.

Takže vynásobenie číslom 5 znamená nájdenie súčtu:
2) Vynásobiť nejaké číslo (násobiteľ) zlomkom (násobiteľom) znamená nájsť tento zlomok násobiteľa.

Nájdenie zlomku daného čísla, o ktorom sme uvažovali predtým, budeme teraz nazývať násobenie zlomkom.

3) Vynásobiť nejaké číslo (násobiteľ) zmiešaným číslom (faktorom) znamená vynásobiť násobiteľ najprv celým číslom činiteľa, potom zlomkom činiteľa a výsledky týchto dvoch násobení spočítať.

Napríklad:

Číslo získané po vynásobení je vo všetkých týchto prípadoch tzv práca, teda rovnakým spôsobom ako pri násobení celých čísel.

Z týchto definícií je zrejmé, že násobenie zlomkových čísel je činnosť, ktorá je vždy možná a vždy jednoznačná.

§ 141. Účelnosť týchto definícií. Aby sme pochopili účelnosť zavedenia posledných dvoch definícií násobenia do aritmetiky, zoberme si nasledujúci problém:

Úloha. Vlak, ktorý sa pohybuje rovnomerne, jazdí 40 km za hodinu; ako zistiť, koľko kilometrov tento vlak prejde za daný počet hodín?

Ak by sme zostali pri tej jednej definícii násobenia, ktorá je uvedená v aritmetike celých čísel (sčítanie rovnakých členov), potom by náš problém mal tri rôzne riešenia, a to:

Ak je daný počet hodín celé číslo (napríklad 5 hodín), na vyriešenie problému je potrebné vynásobiť 40 km týmto počtom hodín.

Ak je daný počet hodín vyjadrený ako zlomok (napríklad hodiny), potom budete musieť nájsť hodnotu tohto zlomku zo 40 km.

Nakoniec, ak sa daný počet hodín zmieša (napríklad hodín), potom bude potrebné vynásobiť 40 km celým číslom obsiahnutým v zmiešanom čísle a k výsledku pridať taký zlomok zo 40 km, aký je v zmiešané číslo.

Definície, ktoré sme uviedli, nám umožňujú dať jednu všeobecnú odpoveď na všetky tieto možné prípady:

40 km treba vynásobiť daným počtom hodín, nech je to čokoľvek.

Ak je teda problém prezentovaný vo všeobecnej forme takto:

Vlak idúci rovnomerne prejde v km za hodinu. Koľko kilometrov prejde vlak za t hodín?

potom, nech sú čísla v a t akékoľvek, môžeme vyjadriť jednu odpoveď: požadované číslo je vyjadrené vzorcom v · t.

Poznámka. Nájdenie nejakého zlomku daného čísla podľa našej definície znamená to isté ako vynásobenie daného čísla týmto zlomkom; preto napríklad nájsť 5 % (t. j. päť stotín) daného čísla znamená to isté, ako vynásobiť dané číslo číslom alebo číslom; nájdenie 125 % daného čísla je to isté ako vynásobenie tohto čísla pomocou alebo pomocou atď.

§ 142 Poznámka o tom, kedy sa číslo zväčšuje a kedy od násobenia klesá.

Od násobenia vlastným zlomkom sa číslo zmenšuje a od násobenia nevlastným zlomkom sa číslo zvyšuje, ak je tento nesprávny zlomok väčší ako jedna, a zostáva nezmenený, ak je rovný jednej.
Komentujte. Pri násobení zlomkových čísel, ako aj celých čísel, sa súčin rovná nule, ak sa niektorý z faktorov rovná nule, takže,.

§ 143. Odvodenie pravidiel násobenia.

1) Násobenie zlomku celým číslom. Zlomok nech sa vynásobí 5. To znamená zväčšiť 5-krát. Na zväčšenie zlomku o 5 stačí, ak 5-násobne zväčšíte jeho čitateľa alebo znížite jeho menovateľa (§ 127).

Takže:
Pravidlo 1. Ak chcete vynásobiť zlomok celým číslom, musíte vynásobiť čitateľa týmto celým číslom a menovateľa ponechať rovnaký; namiesto toho môžete tiež rozdeliť menovateľ zlomku daným celým číslom (ak je to možné) a čitateľa ponechať rovnaký.

Komentujte. Súčin zlomku a jeho menovateľa sa rovná jeho čitateľovi.

Takže:
Pravidlo 2. Ak chcete vynásobiť celé číslo zlomkom, musíte celé číslo vynásobiť čitateľom zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a menovateľa daného zlomku podpísať ako menovateľa.
Pravidlo 3. Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý menovateľom súčinu.

Komentujte. Toto pravidlo možno použiť aj na násobenie zlomku celým číslom a celého čísla zlomkom, ak celé číslo považujeme za zlomok s menovateľom jedna. Takže:

Tri teraz uvedené pravidlá sú teda obsiahnuté v jednom, ktorý možno vo všeobecnosti vyjadriť takto:
4) Násobenie zmiešaných čísel.

Pravidlo 4. Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich previesť na nesprávne zlomky a potom vynásobiť podľa pravidiel pre násobenie zlomkov. Napríklad:
§ 144. Zníženie množenia. Ak je to možné, pri násobení zlomkov by sa malo vykonať predbežné zníženie, ako je možné vidieť z nasledujúcich príkladov:

Takéto zníženie je možné, pretože hodnota zlomku sa nezmení, ak sa čitateľ a menovateľ znížia o rovnaký počet krát.

§ 145. Zmena produktu so zmenou faktorov. Keď sa faktory zmenia, súčin zlomkových čísel sa zmení presne tak, ako súčin celých čísel (§ 53), a to: ak zväčšíte (alebo znížite) ktorýkoľvek faktor niekoľkokrát, súčin sa zvýši (alebo zníži) o rovnakú sumu.

Takže, ak v príklade:
na vynásobenie viacerých zlomkov je potrebné vynásobiť ich čitateľov medzi sebou a menovateľov medzi sebou a urobiť z prvého súčinu čitateľa az druhého menovateľa súčinu.

Komentujte. Toto pravidlo možno aplikovať aj na také súčiny, v ktorých sú niektoré činitele čísla celé alebo zmiešané, ak celé číslo považujeme za zlomok, ktorého menovateľ je jedna, a zmiešané čísla zmeníme na nesprávne zlomky. Napríklad:
§ 147. Základné vlastnosti násobenia. K násobeniu zlomkových čísel patria aj tie vlastnosti násobenia, ktoré sme uviedli pri celých číslach (§ 56, 57, 59). Upresnime tieto vlastnosti.

1) Produkt sa nemení zmenou miesta faktorov.

Napríklad:

Podľa pravidla predchádzajúceho odseku sa prvý produkt rovná zlomku a druhý sa rovná zlomku. Ale tieto zlomky sú rovnaké, pretože ich členy sa líšia iba v poradí celočíselných faktorov a súčin celých čísel sa pri zmene miest faktorov nemení.

2) Produkt sa nezmení, ak sa niektorá skupina faktorov nahradí ich produktom.

Napríklad:

Výsledky sú rovnaké.

Z tejto vlastnosti násobenia môžeme vyvodiť nasledujúci záver:

ak chcete číslo vynásobiť súčinom, môžete toto číslo vynásobiť prvým faktorom, výsledné číslo vynásobiť druhým atď.

Napríklad:
3) Distributívny zákon násobenia (vzhľadom na sčítanie). Ak chcete vynásobiť súčet nejakým číslom, môžete každý výraz vynásobiť týmto číslom samostatne a výsledky sčítať.

Tento zákon sme vysvetlili (§ 59) tak, že sa vzťahuje na celé čísla. Pre zlomkové čísla zostáva pravdivý bez akýchkoľvek zmien.

Ukážme v skutočnosti, že rovnosť

(a + b + c + .) m = am + bm + cm +.

(distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie) zostáva pravdivý, aj keď písmená znamenajú zlomkové čísla. Zoberme si tri prípady.

1) Najprv predpokladajme, že faktor m je celé číslo, napríklad m = 3 (a, b, c sú ľubovoľné čísla). Podľa definície násobenia celým číslom možno písať (pre jednoduchosť obmedzené na tri výrazy):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Na základe asociatívneho zákona sčítania môžeme všetky zátvorky na pravej strane vynechať; použitím komutatívneho zákona sčítania a potom opäť kombinačného zákona môžeme samozrejme prepísať pravú stranu takto:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Distributívny zákon je teda v tomto prípade potvrdený.

Delenie zlomku prirodzeným číslom

Sekcie: Matematika

T typ triedy: ONZ (objavovanie nových poznatkov - podľa technológie činnosti spôsob vyučovania).

1. Vyvodiť metódy delenia zlomku prirodzeným číslom;
2. Formovať schopnosť vykonávať delenie zlomku prirodzeným číslom;
3. Opakujte a upevnite delenie zlomkov;
4. Trénujte schopnosť znižovať zlomky, analyzovať a riešiť problémy.

Demo materiál zariadenia:

1. Úlohy na aktualizáciu vedomostí:

2. Skúšobná (individuálna) úloha.

1. Vykonajte rozdelenie:

2. Vykonajte delenie bez vykonania celého reťazca výpočtov: .

• Pri delení zlomku prirodzeným číslom môžete menovateľa vynásobiť týmto číslom a čitateľa ponechať rovnaký.

• Ak je čitateľ deliteľný prirodzeným číslom, potom pri delení zlomku týmto číslom môžete vydeliť čitateľa číslom a menovateľa ponechať rovnaký.

I. Motivácia (sebaurčenie) k učebným aktivitám.

1. organizovať aktualizáciu požiadaviek na študenta zo strany vzdelávacích aktivít („musí“);
2. Organizujte aktivity študentov s cieľom vytvoriť tematický rámec („Môžem“);
3. Vytvárať u žiaka podmienky na vnútornú potrebu zaradenia do výchovno-vzdelávacej činnosti („chcem“).

Organizácia vzdelávacieho procesu na I. stupni.

Ahoj! Som rád, že vás všetkých vidím na hodine matematiky. Dúfam, že je to vzájomné.

Chlapci, aké nové poznatky ste nadobudli na poslednej hodine? (Rozdeľte zlomky).

Správny. Čo vám pomáha pri delení zlomkov? (Pravidlo, vlastnosti).

Kde potrebujeme tieto znalosti? (V príkladoch, rovniciach, úlohách).

Výborne! V poslednej lekcii sa ti darilo. Chceli by ste dnes sami objavovať nové poznatky? (Áno).

Potom choď! A mottom hodiny je výrok „Matematika sa nedá naučiť tak, že budete sledovať, ako to robí váš sused!“.

II. Aktualizácia vedomostí a fixácia individuálnej ťažkosti v skúšobnej akcii.

1. Organizovať aktualizáciu študovaných metód konania, postačujúcich na vytvorenie nových poznatkov. Fixovať tieto metódy verbálne (v reči) a symbolicky (štandardne) a zovšeobecňovať ich;
2. Organizovať aktualizáciu mentálnych operácií a kognitívnych procesov postačujúcich na budovanie nových vedomostí;
3. Motivovať k súdnemu konaniu a jeho nezávislému vykonaniu a zdôvodneniu;
4. Predložte individuálnu úlohu na skúšobnú akciu a analyzujte ju s cieľom identifikovať nový vzdelávací obsah;
5. Organizujte fixáciu vzdelávacieho cieľa a témy hodiny;
6. Zorganizujte realizáciu skúšobnej akcie a stanovenie obtiažnosti;
7. Zorganizujte analýzu prijatých odpovedí a zaznamenajte jednotlivé ťažkosti pri vykonávaní skúšobnej akcie alebo jej odôvodňovaní.

Organizácia výchovno-vzdelávacieho procesu na II.

Frontálne, pomocou tabliet (jednotlivých dosiek).

1. Porovnajte výrazy:

(Tieto výrazy sú rovnaké)

Aké zaujímavé veci ste si všimli? (Čitateľ a menovateľ deliteľa, čitateľ a menovateľ deliteľa v každom výraze zväčšený o rovnaký počet krát. Čitateľ a deliteľ vo výrazoch sú teda reprezentované zlomkami, ktoré sa navzájom rovnajú).

Nájdite význam výrazu a zapíšte ho na tablet. (2)

Ako zapísať toto číslo ako zlomok?

Ako ste vykonali akciu divízie? (Deti vyslovia pravidlo, učiteľ zavesí písmená na tabuľu)

2. Vypočítajte a zaznamenajte iba výsledky:

3. Sčítajte svoje výsledky a zapíšte si odpoveď. (2)

Ako sa volá číslo získané v úlohe 3? (prirodzené)

Myslíte si, že viete rozdeliť zlomok prirodzeným číslom? (Áno, pokúsime sa)

Skúste to.

4. Individuálna (skúšobná) úloha.

Vykonajte rozdelenie: (iba príklad a)

Aké pravidlo ste použili na rozdelenie? (Podľa pravidla delenia zlomku zlomkom)

A teraz vydeľte zlomok prirodzeným číslom jednoduchším spôsobom, bez vykonania celého reťazca výpočtov: (príklad b). Dávam vám na to 3 sekundy.

Komu sa nepodarilo dokončiť úlohu za 3 sekundy?

Kto to dokázal? (také neexistujú)

prečo? (Nevieme cestu)

Čo si dostal? (Obtiažnosť)

Čo si myslíte, že budeme robiť v triede? (Rozdeľte zlomky prirodzenými číslami)

Správne, otvorte si zošity a zapíšte si tému lekcie „Delenie zlomku prirodzeným číslom“.

Prečo znie táto téma ako nová, keď už viete deliť zlomky? (Potrebujem nový spôsob)

Správny. Dnes zavedieme techniku, ktorá zjednoduší delenie zlomku prirodzeným číslom.

III. Identifikácia miesta a príčiny ťažkostí.

1. Organizujte obnovu dokončených operácií a opravte (verbálne a symbolické) miesto – krok, operáciu, kde problém vznikol;
2. Usporiadať koreláciu akcií študentov s použitou metódou (algoritmom) a fixáciu príčiny ťažkostí vo vonkajšej reči - tých špecifických vedomostí, zručností alebo schopností, ktoré nestačia na vyriešenie počiatočného problému tohto typu.

Organizácia výchovno-vzdelávacieho procesu na III.

Akú úlohu ste museli splniť? (Vydeľte zlomok prirodzeným číslom bez vykonania celého reťazca výpočtov)

Čo ti spôsobilo ťažkosti? (Nepodarilo sa vyriešiť v krátkom čase rýchlym spôsobom)

Aký je účel našej lekcie? (Nájdite rýchly spôsob, ako rozdeliť zlomok prirodzeným číslom)

Čo vám pomôže? (Už známe pravidlo na delenie zlomkov)

IV. Konštrukcia projektu výstupu z ťažkostí.

1. Objasnenie účelu projektu;
2. Výber metódy (objasnenie);
3. Definícia fondov (algoritmus);
4. Vytvorenie plánu na dosiahnutie cieľa.

Organizácia výchovno-vzdelávacieho procesu na IV.

Vráťme sa k testovaciemu prípadu. Povedali ste, že delíte podľa pravidla delenia zlomkov? (Áno)

Ak to chcete urobiť, nahraďte prirodzené číslo zlomkom? (Áno)

Ktorý krok (kroky) si myslíte, že môžete preskočiť?

(Reťazec riešení je otvorený na doske:

Analyzujte a urobte záver. (Krok 1)

Ak neexistuje žiadna odpoveď, zhrnieme to prostredníctvom otázok:

Kam sa podel prirodzený deliteľ? (k menovateľovi)

Zmenil sa čitateľ? (nie)

Aký krok teda možno „vynechať“? (Krok 1)

• Vynásobte menovateľa zlomku prirodzeným číslom.
• Čitateľ sa nemení.
• Získame nový zlomok.

V. Realizácia vybudovaného projektu.

1. Organizovať komunikatívnu interakciu s cieľom realizovať vytvorený projekt zameraný na získanie chýbajúcich vedomostí;
2. Zorganizujte fixáciu konštruovaného spôsobu konania v reči a znakoch (pomocou normy);
3. Zorganizujte riešenie pôvodného problému a zaznamenajte prekonanie ťažkosti;
4. Zorganizujte objasnenie všeobecnej povahy nových poznatkov.

Organizácia vzdelávacieho procesu na V. stupni.

Teraz rýchlo spustite testovací prípad novým spôsobom.

Dokážete teraz rýchlo dokončiť úlohu? (Áno)

Vysvetlite, ako ste to urobili? (deti hovoria)

To znamená, že sme dostali nový poznatok: pravidlo delenia zlomku prirodzeným číslom.

Výborne! Povedzte to vo dvojici.

Potom sa jeden študent prihovorí triede. Pravidlo-algoritmus opravíme slovne a vo forme štandardu na tabuli.

Teraz zadajte označenie písmen a zapíšte si vzorec pre naše pravidlo.

Študent píše na tabuľu a vyslovuje pravidlo: pri delení zlomku prirodzeným číslom môžete menovateľa vynásobiť týmto číslom a čitateľa ponechať rovnaký.

(Vzorec si každý zapíše do zošitov).

A teraz ešte raz analyzujte reťazec riešenia skúšobnej úlohy, pričom venujte osobitnú pozornosť odpovedi. Čo urobili? (Čitateľ zlomku 15 bol vydelený (redukovaný) číslom 3)

čo je to za číslo? (Prirodzený, deliteľ)

Ako inak môžete rozdeliť zlomok prirodzeným číslom? (Skontrolujte: ak je čitateľ zlomku deliteľný týmto prirodzeným číslom, potom môžete čitateľa týmto číslom vydeliť, výsledok zapísať do čitateľa nového zlomku a menovateľa ponechať rovnaký)

Napíšte túto metódu vo forme vzorca. (Žiak zapíše pravidlo na tabuľu. Každý si zapíše vzorec do zošitov.)

Vráťme sa k prvému spôsobu. Môže sa použiť, ak a:n? (Áno, toto je všeobecný spôsob)

A kedy je vhodné použiť druhú metódu? (Keď je čitateľ zlomku deliteľný prirodzeným číslom bezo zvyšku)

VI. Primárna konsolidácia s výslovnosťou vo vonkajšej reči.

1. Organizovať asimiláciu detí novým spôsobom konania pri riešení typických problémov s ich výslovnosťou vo vonkajšej reči (frontálne, v pároch alebo skupinách).

Organizácia výchovno-vzdelávacieho procesu na VI.

Vypočítajte novým spôsobom:

• č. 363 (a; d) - vystúpiť pri tabuli a vysloviť pravidlo.
• č. 363 (d; f) - vo dvojiciach s kontrolou na vzorke.

VII. Samostatná práca s autotestom podľa normy.

1. Organizovať samostatné plnenie úloh študentov pre nový spôsob konania;
2. Zorganizujte autotest na základe porovnania so štandardom;
3. Na základe výsledkov samostatnej práce zorganizujte úvahu o asimilácii nového spôsobu konania.

Organizácia výchovno-vzdelávacieho procesu na VII.

Vypočítajte novým spôsobom:

Žiaci kontrolujú normu, všímajú si správnosť výkonu. Príčiny chýb sa analyzujú a chyby sa opravujú.

Učiteľ sa pýta tých žiakov, ktorí urobili chyby, aký je dôvod?

V tejto fáze je dôležité, aby si každý študent samostatne skontroloval svoju prácu.

Pred riešením úlohy 8) zvážte príklad z učebnice:

IX. Reflexia učebných činností v triede.

1. Zorganizujte fixáciu nového obsahu študovaného v lekcii;
2. Organizovať reflektívnu analýzu vzdelávacích aktivít z hľadiska plnenia požiadaviek známych študentom;
3. Organizovať študentom hodnotenie ich vlastných aktivít na hodine;
4. Zorganizujte fixáciu nevyriešených ťažkostí v lekcii ako smer pre budúce vzdelávacie aktivity;
5. Organizujte diskusiu a nahrávanie domácich úloh.

Organizácia výchovno-vzdelávacieho procesu na IX.

Chlapci, aké nové poznatky ste dnes objavili? (Naučili sme sa jednoduchým spôsobom deliť zlomok prirodzeným číslom)

Formulujte všeobecný spôsob. (Hovoria)

Akým spôsobom a v akých prípadoch ho ešte môžete použiť? (Hovoria)

Aká je výhoda novej metódy?

Dosiahli sme cieľ lekcie? (Áno)

Aké znalosti ste použili na dosiahnutie cieľa? (Hovoria)

podarilo sa ti to?

Aké boli ťažkosti?

§ 87. Sčítanie zlomkov.

Sčítanie zlomkov má veľa podobností so sčítaním celých čísel. Sčítanie zlomkov je činnosť spočívajúca v tom, že niekoľko daných čísel (členov) sa spojí do jedného čísla (súčtu), ktoré obsahuje všetky jednotky a zlomky jednotiek členov.

Postupne zvážime tri prípady:

1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Sčítanie zmiešaných čísel.

1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Zvážte príklad: 1/5 + 2/5 .

Vezmite segment AB (obr. 17), vezmite ho ako jednotku a rozdeľte ho na 5 rovnakých častí, potom sa časť AC tohto segmentu bude rovnať 1/5 segmentu AB a časť toho istého segmentu CD sa bude rovnať 2/5 AB.

Z nákresu je zrejmé, že ak vezmeme segment AD, bude sa rovnať 3/5 AB; ale segment AD je presne súčtom segmentov AC a CD. Môžeme teda napísať:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Vzhľadom na tieto pojmy a výslednú sumu vidíme, že čitateľ súčtu bol získaný sčítaním čitateľov členov a menovateľ zostal nezmenený.

Z toho dostaneme nasledujúce pravidlo: Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať rovnakého menovateľa.

Zvážte príklad:

2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Pridajme zlomky: 3/4 + 3/8 Najprv ich treba zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa:

Medzičlánok 6/8 + 3/8 nemohol byť napísaný; pre väčšiu prehľadnosť sme to napísali sem.

Ak teda chcete sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najskôr priviesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi, pridať ich čitateľov a podpísať spoločného menovateľa.

Zvážte príklad (napíšeme ďalšie faktory nad zodpovedajúce zlomky):

3. Sčítanie zmiešaných čísel.

Sčítajme čísla: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Najprv privedieme zlomkové časti našich čísel k spoločnému menovateľovi a znova ich prepíšeme:

Teraz postupne pridajte celé číslo a zlomkové časti:

§ 88. Odčítanie zlomkov.

Odčítanie zlomkov je definované rovnakým spôsobom ako odčítanie celých čísel. Ide o akciu, pri ktorej sa na základe súčtu dvoch výrazov a jedného z nich nájde ďalší výraz. Pozrime sa postupne na tri prípady:

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Odčítanie zmiešaných čísel.

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Zvážte príklad:

13 / 15 - 4 / 15

Zoberme si segment AB (obr. 18), vezmime ho ako jednotku a rozdeľme ho na 15 rovnakých častí; potom časť AC tohto segmentu bude 1/15 AB a časť AD toho istého segmentu bude zodpovedať 13/15 AB. Odložme ďalší segment ED, rovný 4/15 AB.

Musíme odpočítať 4/15 od 13/15. Na výkrese to znamená, že segment ED sa musí odpočítať od segmentu AD. V dôsledku toho zostane segment AE, čo je 9/15 segmentu AB. Môžeme teda napísať:

Príklad, ktorý sme urobili, ukazuje, že čitateľ rozdielu bol získaný odčítaním čitateľov a menovateľ zostal rovnaký.

Preto, aby ste odčítali zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte odčítať čitateľa podhodnoty od čitateľa menovateľa a ponechať rovnaký menovateľ.

2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Príklad. 3/4 - 5/8

Najprv zredukujme tieto zlomky na najmenšieho spoločného menovateľa:

Pre prehľadnosť je tu napísaný medzičlánok 6 / 8 - 5 / 8, ale v budúcnosti sa dá preskočiť.

Ak teda chcete odčítať zlomok od zlomku, musíte ich najskôr priviesť k najmenšiemu spoločnému menovateľovi, potom odčítať čitateľa podradníka od čitateľa mínusu a podpísať spoločný menovateľ pod ich rozdiel.

Zvážte príklad:

3. Odčítanie zmiešaných čísel.

Príklad. 10 3/4 - 7 2/3.

Priblížme zlomkové časti minuendu a subtrahendu k najnižšiemu spoločnému menovateľovi:

Odčítali sme celok od celku a zlomok od zlomku. Existujú však prípady, keď je zlomková časť subtrahendu väčšia ako zlomková časť minuendu. V takýchto prípadoch musíte zobrať jednu jednotku z celočíselnej časti redukovaného, ​​rozdeliť ju na tie časti, v ktorých je vyjadrená zlomková časť, a pridať k zlomkovej časti redukovaného. A potom sa odčítanie vykoná rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade:

§ 89. Násobenie zlomkov.

Pri štúdiu násobenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:

1. Násobenie zlomku celým číslom.
2. Nájdenie zlomku daného čísla.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
4. Násobenie zlomku zlomkom.
5. Násobenie zmiešaných čísel.
6. Pojem úroku.
7. Nájdenie percent daného čísla. Uvažujme ich postupne.

1. Násobenie zlomku celým číslom.

Násobenie zlomku celým číslom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla celým číslom. Násobenie zlomku (násobiteľa) celým číslom (násobiteľom) znamená zostavenie súčtu identických členov, pričom každý člen sa rovná násobiteľu a počet členov sa rovná násobiteľu.

Ak teda potrebujete vynásobiť 1/9 číslom 7, môžete to urobiť takto:

Výsledok sme získali ľahko, pretože akcia bola zredukovaná na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi. teda

Zváženie tejto akcie ukazuje, že vynásobenie zlomku celým číslom sa rovná zvýšeniu tohto zlomku toľkokrát, koľko jednotiek obsahuje celé číslo. A keďže zvýšenie zlomku sa dosiahne buď zvýšením jeho čitateľa

alebo znížením jeho menovateľa , potom môžeme čitateľa buď vynásobiť celým číslom, alebo ním vydeliť menovateľa, ak je takéto delenie možné.

Odtiaľ dostaneme pravidlo:

Ak chcete vynásobiť zlomok celým číslom, musíte vynásobiť čitateľa týmto celým číslom a ponechať rovnaký menovateľ alebo, ak je to možné, vydeliť menovateľa týmto číslom, pričom čitateľ zostane nezmenený.

Pri násobení sú možné skratky, napr.

2. Nájdenie zlomku daného čísla. Existuje veľa úloh, v ktorých musíte nájsť alebo vypočítať časť daného čísla. Rozdiel medzi týmito úlohami a inými je v tom, že udávajú počet niektorých predmetov alebo jednotiek merania a musíte nájsť časť tohto čísla, ktorá je tu tiež označená určitým zlomkom. Aby sme uľahčili pochopenie, najprv uvedieme príklady takýchto problémov a potom predstavíme spôsob ich riešenia.

Úloha 1. Mal som 60 rubľov; 1/3 z týchto peňazí som minul na nákup kníh. Koľko stáli knihy?

Úloha 2. Vlak musí prekonať vzdialenosť medzi mestami A a B, ktorá sa rovná 300 km. Už prekonal 2/3 tejto vzdialenosti. Koľko je toto kilometrov?

Úloha 3. V obci je 400 domov, z toho 3/4 sú murované, ostatné sú drevené. Koľko je tam tehlových domov?

Tu sú niektoré z mnohých problémov, s ktorými sa musíme vysporiadať, aby sme našli zlomok daného čísla. Zvyčajne sa nazývajú problémy na nájdenie zlomku daného čísla.

Riešenie problému 1. Od 60 rubľov. 1/3 som minul na knihy; Ak chcete zistiť cenu kníh, musíte vydeliť číslo 60 tromi:

Riešenie problému 2. Význam problému je, že potrebujete nájsť 2/3 z 300 km. Vypočítajte prvú 1/3 z 300; to sa dosiahne vydelením 300 km tromi:

300: 3 = 100 (to je 1/3 z 300).

Ak chcete nájsť dve tretiny z 300, musíte zdvojnásobiť výsledný kvocient, to znamená vynásobiť 2:

100 x 2 = 200 (to sú 2/3 z 300).

Riešenie problému 3. Tu je potrebné určiť počet murovaných domov, ktorých sú 3/4 zo 400. Najprv nájdime 1/4 zo 400,

400 : 4 = 100 (to je 1/4 zo 400).

Na výpočet troch štvrtín zo 400 sa musí výsledný kvocient strojnásobiť, to znamená vynásobiť 3:

100 x 3 = 300 (to sú 3/4 zo 400).

Na základe riešenia týchto problémov môžeme odvodiť nasledujúce pravidlo:

Ak chcete zistiť hodnotu zlomku z daného čísla, musíte toto číslo vydeliť menovateľom zlomku a výsledný podiel vynásobiť jeho čitateľom.

3. Násobenie celého čísla zlomkom.

Skôr (§ 26) sa stanovilo, že násobenie celých čísel by sa malo chápať ako sčítanie rovnakých výrazov (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). V tomto odseku (odsek 1) bolo stanovené, že vynásobenie zlomku celým číslom znamená nájsť súčet identických členov rovný tomuto zlomku.

V oboch prípadoch násobenie spočívalo v nájdení súčtu identických členov.

Teraz prejdeme k vynásobeniu celého čísla zlomkom. Tu sa stretneme napríklad s násobením: 9 2 / 3. Je celkom zrejmé, že predchádzajúca definícia násobenia v tomto prípade neplatí. Je to zrejmé z toho, že takéto násobenie nemôžeme nahradiť sčítaním rovnakých čísel.

Kvôli tomu budeme musieť dať novú definíciu násobenia, t.j. inými slovami, odpovedať na otázku, čo treba rozumieť pod násobením zlomkom, ako treba chápať tento úkon.

Význam násobenia celého čísla zlomkom je jasný z nasledujúcej definície: vynásobiť celé číslo (násobiteľ) zlomkom (násobiteľom) znamená nájsť tento zlomok násobiteľa.

Totiž vynásobenie 9 2/3 znamená nájdenie 2/3 z deviatich jednotiek. V predchádzajúcom odseku boli takéto problémy vyriešené; takže je ľahké zistiť, že skončíme so 6.

Teraz však vyvstáva zaujímavá a dôležitá otázka: prečo sa také zdanlivo odlišné akcie, ako je hľadanie súčtu rovnakých čísel a hľadanie zlomku čísla, v aritmetike nazývajú rovnakým slovom „násobenie“?

Stáva sa to preto, lebo predchádzajúca akcia (niekoľkokrát zopakovanie čísla s výrazmi) a nová akcia (nájdenie zlomku čísla) dávajú odpoveď na homogénne otázky. To znamená, že tu vychádzame z úvah, že homogénne otázky alebo úlohy sa riešia jednou a tou istou akciou.

Aby ste to pochopili, zvážte nasledujúci problém: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko budú stáť 4 m takejto látky?

Tento problém sa rieši vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (4), t.j. 50 x 4 = 200 (rubľov).

Zoberme si rovnaký problém, ale v ňom bude množstvo látky vyjadrené ako zlomkové číslo: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko bude stáť 3/4 m takejto látky?

Tento problém je tiež potrebné vyriešiť vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (3/4).

Čísla v ňom môžete zmeniť aj niekoľkokrát bez toho, aby ste zmenili význam problému, napríklad zoberte 9/10 m alebo 2 3/10 m atď.

Keďže tieto úlohy majú rovnaký obsah a líšia sa len číslami, akcie použité pri ich riešení nazývame rovnakým slovom – násobenie.

Ako sa celé číslo vynásobí zlomkom?

Zoberme si čísla, s ktorými sme sa stretli v poslednom probléme:

Podľa definície musíme nájsť 3/4 z 50. Najprv nájdeme 1/4 z 50 a potom 3/4.

1/4 z 50 je 50/4;

3/4 z 50 je .

Preto

Zvážte ďalší príklad: 12 5 / 8 = ?

1/8 z 12 je 12/8,

5/8 z čísla 12 je .

teda

Odtiaľ dostaneme pravidlo:

Ak chcete vynásobiť celé číslo zlomkom, musíte celé číslo vynásobiť čitateľom zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a menovateľa daného zlomku podpísať ako menovateľa.

Toto pravidlo napíšeme pomocou písmen:

Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom pre násobenie čísla podielom, ktoré bolo ustanovené v § 38

Je potrebné mať na pamäti, že pred vykonaním násobenia by ste mali urobiť (ak je to možné) škrty, Napríklad:

4. Násobenie zlomku zlomkom. Násobenie zlomku zlomkom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla zlomkom, to znamená, že pri násobení zlomku zlomkom je potrebné nájsť zlomok v násobilke z prvého zlomku (násobilky).

Totiž vynásobenie 3/4 1/2 (polovica) znamená nájdenie polovice 3/4.

Ako vynásobíte zlomok zlomkom?

Vezmime si príklad: 3/4 krát 5/7. To znamená, že musíte nájsť 5/7 z 3/4. Nájdite najskôr 1/7 z 3/4 a potom 5/7

1/7 z 3/4 by bola vyjadrená takto:

5/7 číslic 3/4 budú vyjadrené takto:

teda

Ďalší príklad: 5/8 krát 4/9.

1/9 z 5/8 je ,

4/9 čísla 5/8 sú .

teda

Z týchto príkladov možno odvodiť nasledujúce pravidlo:

Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý súčin menovateľom súčinu.

Toto pravidlo možno vo všeobecnosti napísať takto:

Pri násobení je potrebné robiť (ak je to možné) redukcie. Zvážte príklady:

5. Násobenie zmiešaných čísel. Keďže zmiešané čísla možno ľahko nahradiť nesprávnymi zlomkami, táto okolnosť sa zvyčajne používa pri násobení zmiešaných čísel. To znamená, že v prípadoch, keď sú násobiteľ alebo násobiteľ alebo oba faktory vyjadrené ako zmiešané čísla, sú nahradené nesprávnymi zlomkami. Vynásobte napríklad zmiešané čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Každý z nich premeníme na nevlastný zlomok a výsledné zlomky potom vynásobíme podľa pravidla o násobení zlomku zlomkom:

Pravidlo. Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom vynásobiť podľa pravidla násobenia zlomku zlomkom.

Poznámka. Ak je jedným z faktorov celé číslo, násobenie možno vykonať na základe distribučného zákona takto:

6. Pojem úroku. Pri riešení úloh a pri vykonávaní rôznych praktických výpočtov používame všetky druhy zlomkov. Treba však mať na pamäti, že mnohé veličiny nepripúšťajú žiadne, ale prirodzené členenia. Môžete si napríklad vziať jednu stotinu (1/100) rubľa, bude to cent, dve stotiny sú 2 kopejky, tri stotiny sú 3 kopejky. Môžete si vziať 1/10 rubľa, bude to "10 kopejok alebo desetník. Môžete si vziať štvrtinu rubľa, t. j. 25 kopejok, pol rubľa, t. j. 50 kopejok (päťdesiat kopejok). Neberte si napríklad 2/7 rubľov, pretože rubeľ nie je rozdelený na sedminy.

Jednotka merania hmotnosti, teda kilogram, umožňuje v prvom rade desatinné delenie, napríklad 1/10 kg alebo 100 g. A také zlomky kilogramu ako 1/6, 1/11, 1 /13 sú zriedkavé.

Vo všeobecnosti sú naše (metrické) miery desatinné a umožňujú desiatkové delenie.

Treba však poznamenať, že je mimoriadne užitočné a vhodné v širokej škále prípadov použiť rovnakú (jednotnú) metódu delenia veličín. Dlhoročné skúsenosti ukázali, že takýmto opodstatneným delením je delenie na „stovky“. Uvažujme o niekoľkých príkladoch týkajúcich sa najrozmanitejších oblastí ľudskej praxe.

1. Cena kníh sa znížila o 12/100 z predchádzajúcej ceny.

Príklad. Predchádzajúca cena knihy je 10 rubľov. Klesla o 1 rubeľ. 20 kop.

2. Záložne vyplácajú v priebehu roka vkladateľom 2/100 zo sumy, ktorá sa vloží do sporenia.

Príklad. Do pokladne sa vloží 500 rubľov, príjem z tejto sumy za rok je 10 rubľov.

3. Počet absolventov jednej školy bol 5/100 z celkového počtu žiakov.

PRÍKLAD Na škole študovalo len 1200 žiakov, z nich 60 školu ukončilo.

Stotina čísla sa nazýva percento..

Slovo „percento“ je prevzaté z latinského jazyka a jeho koreň „cent“ znamená sto. Spolu s predložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam tohto výrazu vyplýva zo skutočnosti, že pôvodne v starom Ríme boli úrokom peniaze, ktoré dlžník zaplatil veriteľovi „za každých sto“. Slovo "cent" sa počúva v takých známych slovách: centner (sto kilogramov), centimeter (hovoria centimeter).

Napríklad, namiesto toho, aby sme povedali, že závod vyrobil 1/100 všetkých produktov, ktoré vyrobil za posledný mesiac, povieme toto: závod vyprodukoval za posledný mesiac jedno percento nepodarkov. Namiesto toho, aby sme povedali: závod vyrobil o 4/100 produktov viac ako bol stanovený plán, povieme: závod prekročil plán o 4 percentá.

Vyššie uvedené príklady môžu byť vyjadrené rôzne:

1. Cena kníh klesla o 12 percent z predchádzajúcej ceny.

2. Záložne vyplácajú vkladateľom 2 percentá ročne zo sumy vloženej do sporenia.

3. Počet absolventov jednej školy bol 5 percent z počtu všetkých žiakov školy.

Na skrátenie písmena je zvykom písať namiesto slova „percento“ znak %.

Treba však pamätať na to, že znamienko % sa zvyčajne nezapisuje do výpočtov, môže sa zapísať do úlohy a do konečného výsledku. Pri výpočtoch musíte namiesto celého čísla s touto ikonou napísať zlomok s menovateľom 100.

Musíte byť schopní nahradiť celé číslo zadanou ikonou zlomkom s menovateľom 100:

Naopak, musíte si zvyknúť písať celé číslo s naznačenou ikonou namiesto zlomku s menovateľom 100:

7. Nájdenie percent daného čísla.

Úloha 1.Škola dostala 200 metrov kubických. m palivového dreva, pričom brezové palivové drevo predstavuje 30 %. Koľko tam bolo brezového dreva?

Význam tohto problému je v tom, že brezové palivové drevo bolo len časťou palivového dreva, ktoré bolo dodané do školy a táto časť je vyjadrená zlomkom 30/100. Stojíme teda pred úlohou nájsť zlomok čísla. Aby sme to vyriešili, musíme vynásobiť 200 30 / 100 (úlohy na nájdenie zlomku čísla riešime vynásobením čísla zlomkom.).

Takže 30 % z 200 sa rovná 60.

Zlomok 30/100, ktorý sa vyskytuje v tomto probléme, umožňuje zníženie o 10. Toto zníženie by bolo možné vykonať od samého začiatku; riešenie problému by sa nezmenilo.

Úloha 2. V tábore bolo 300 detí rôzneho veku. Detí vo veku 11 rokov bolo 21 %, detí vo veku 12 rokov bolo 61 % a napokon 13-ročných 18 %. Koľko detí každého veku bolo v tábore?

V tomto probléme musíte vykonať tri výpočty, to znamená postupne nájsť počet detí vo veku 11 rokov, potom vo veku 12 rokov a nakoniec vo veku 13 rokov.

Takže tu bude potrebné nájsť zlomok čísla trikrát. Poďme na to:

1) Koľko detí malo 11 rokov?

2) Koľko detí malo 12 rokov?

3) Koľko detí malo 13 rokov?

Po vyriešení úlohy je užitočné doplniť nájdené čísla; ich súčet by mal byť 300:

63 + 183 + 54 = 300

Mali by ste tiež venovať pozornosť skutočnosti, že súčet percent uvedených v podmienke problému je 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To naznačuje, že celkový počet detí v tábore bol braný ako 100 %.

3 a da cha 3. Pracovník dostal 1 200 rubľov mesačne. Z toho 65 % minul na stravu, 6 % na byt a kúrenie, 4 % na plyn, elektrinu a rozhlas, 10 % na kultúrne potreby a 15 % ušetril. Koľko peňazí bolo vynaložených na potreby uvedené v úlohe?

Ak chcete vyriešiť tento problém, musíte 5-krát nájsť zlomok čísla 1 200. Poďme na to.

1) Koľko peňazí sa minie na jedlo? Úloha hovorí, že tento výdavok je 65 % zo všetkých zárobkov, teda 65/100 z čísla 1 200. Urobme výpočet:

2) Koľko peňazí sa zaplatilo za byt s kúrením? Argumentujúc ako predchádzajúci, dospejeme k nasledujúcemu výpočtu:

3) Koľko peňazí ste zaplatili za plyn, elektrinu a rádio?

4) Koľko peňazí sa vynakladá na kultúrne potreby?

5) Koľko peňazí pracovník ušetril?

Pre overenie je užitočné pridať čísla nájdené v týchto 5 otázkach. Suma by mala byť 1 200 rubľov. Všetky zárobky sa berú ako 100 %, čo sa dá ľahko skontrolovať sčítaním percent uvedených vo vyhlásení o probléme.

Vyriešili sme tri problémy. Napriek tomu, že tieto úlohy boli o rôznych veciach (dodávka palivového dreva pre školu, počet detí rôzneho veku, výdavky pracovníka), riešili sa rovnako. Stalo sa tak preto, že vo všetkých úlohách bolo potrebné nájsť niekoľko percent z daných čísel.

§ 90. Delenie zlomkov.

Pri štúdiu delenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:

1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
2. Delenie zlomku celým číslom
3. Delenie celého čísla zlomkom.
4. Delenie zlomku zlomkom.
5. Delenie zmiešaných čísel.
6. Nájdenie čísla podľa jeho zlomku.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.

Uvažujme ich postupne.

1. Vydeľte celé číslo celým číslom.

Ako bolo naznačené v časti o celých číslach, delenie je dej spočívajúci v tom, že pri súčine dvoch faktorov (dividenda) a jedného z týchto faktorov (deliteľ) sa nájde ďalší faktor.

Delenie celého čísla celým číslom sme uvažovali v oddelení celých čísel. Stretli sme sa tam s dvoma prípadmi delenia: delenie bez zvyšku, alebo „úplne“ (150: 10 = 15) a delenie so zvyškom (100: 9 = 11 a 1 vo zvyšku). Môžeme teda povedať, že v oblasti celých čísel nie je presné delenie vždy možné, pretože dividenda nie je vždy súčinom deliteľa a celého čísla. Po zavedení násobenia zlomkom môžeme považovať za možný akýkoľvek prípad delenia celých čísel (vylúčené je len delenie nulou).

Napríklad delenie 7 číslom 12 znamená nájdenie čísla, ktorého súčin krát 12 by bol 7. Toto číslo je zlomok 7/12, pretože 7/12 12 = 7. Ďalší príklad: 14: 25 = 14/25, pretože 14/25 25 = 14.

Ak teda chcete deliť celé číslo celým číslom, musíte vytvoriť zlomok, ktorého čitateľ sa rovná dividende a menovateľ je deliteľ.

2. Delenie zlomku celým číslom.

Vydeľte zlomok 6 / 7 3. Podľa definície delenia uvedenej vyššie tu máme súčin (6 / 7) a jeden z faktorov (3); je potrebné nájsť taký druhý faktor, ktorý po vynásobení 3 dostane daný súčin 6/7. Je zrejmé, že by mal byť trikrát menší ako tento produkt. To znamená, že úlohou, ktorá bola pred nami, bolo znížiť zlomok 6/7 3-krát.

Už vieme, že zlomok možno zmenšiť buď zmenšením jeho čitateľa, alebo zvýšením jeho menovateľa. Preto môžete napísať:

V tomto prípade je čitateľ 6 deliteľný 3, takže čitateľ by sa mal zmenšiť 3-krát.

Zoberme si ďalší príklad: 5 / 8 delené 2. Tu čitateľ 5 nie je deliteľný 2, čo znamená, že menovateľ bude musieť byť vynásobený týmto číslom:

Na základe toho môžeme stanoviť pravidlo: Ak chcete rozdeliť zlomok celým číslom, musíte vydeliť čitateľa zlomku týmto celým číslom(Ak je to možné), ponecháme rovnakého menovateľa, alebo vynásobíme menovateľa zlomku týmto číslom, pričom zostane rovnaký čitateľ.

3. Delenie celého čísla zlomkom.

Nech je potrebné deliť 5 1/2, t.j. nájsť číslo, ktoré po vynásobení 1/2 dostane súčin 5. Je zrejmé, že toto číslo musí byť väčšie ako 5, keďže 1/2 je vlastný zlomok, a pri vynásobení čísla správnym zlomkom musí byť súčin menší ako násobiteľ. Aby to bolo jasnejšie, napíšme naše akcie takto: 5: 1 / 2 = X , takže x 1/2 \u003d 5.

Takéto číslo musíme nájsť X , čo po vynásobení 1/2 dostane 5. Keďže vynásobenie určitého čísla 1/2 znamená nájdenie 1/2 tohto čísla, potom teda 1/2 neznámeho čísla X je 5 a celé číslo X dvakrát toľko, t.j. 5 2 \u003d 10.

Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10

Skontrolujme to:

Uvažujme ešte o jednom príklade. Nech je potrebné deliť 6 2/3. Skúsme najskôr nájsť požadovaný výsledok pomocou nákresu (obr. 19).

Obr.19

Nakreslite segment AB, ktorý sa rovná 6 z niektorých jednotiek, a rozdeľte každú jednotku na 3 rovnaké časti. V každej jednotke sú tri tretiny (3 / 3) v celom segmente AB 6-krát väčšie, t.j. napríklad 18/3. Spájame pomocou malých konzol 18 získaných segmentov po 2; Bude len 9 segmentov. To znamená, že zlomok 2/3 je obsiahnutý v b jednotkách 9-krát, alebo, inými slovami, zlomok 2/3 je 9-krát menší ako 6 celých jednotiek. teda

Ako získať tento výsledok bez výkresu iba pomocou výpočtov? Budeme argumentovať nasledovne: je potrebné deliť 6 2/3, t.j. je potrebné odpovedať na otázku, koľkokrát je 2/3 obsiahnutých v 6. Najprv zistime: koľkokrát je 1/3 obsiahnuté v 6? V celej jednotke - 3 tretiny a v 6 jednotkách - 6 krát viac, t.j. 18 tretín; aby sme našli toto číslo, musíme 6 vynásobiť 3. Preto 1/3 je obsiahnutá v b jednotkách 18-krát a 2/3 je obsiahnutá v b nie 18-krát, ale polovične, t.j. 18: 2 = 9. Preto pri delení 6 2/3 sme urobili nasledovné:

Odtiaľ dostaneme pravidlo na delenie celého čísla zlomkom. Ak chcete deliť celé číslo zlomkom, musíte toto celé číslo vynásobiť menovateľom daného zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a vydeliť ho čitateľom daného zlomku.

Pravidlo napíšeme pomocou písmen:

Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom delenia čísla podielom, ktoré bolo uvedené v § 38. Všimnite si, že tam bol získaný rovnaký vzorec.

Pri delení sú možné skratky, napr.

4. Delenie zlomku zlomkom.

Nech je potrebné deliť 3/4 3/8. Čo bude označovať číslo, ktoré sa získa v dôsledku delenia? Odpovie na otázku, koľkokrát je zlomok 3/8 obsiahnutý v zlomku 3/4. Aby sme pochopili túto problematiku, urobme si nákres (obr. 20).

Vezmite segment AB, vezmite ho ako celok, rozdeľte ho na 4 rovnaké časti a označte 3 takéto časti. Segment AC sa bude rovnať 3/4 segmentu AB. Rozdeľme teraz každý zo štyroch počiatočných segmentov na polovicu, potom sa segment AB rozdelí na 8 rovnakých častí a každá takáto časť sa bude rovnať 1/8 segmentu AB. Spojíme 3 takéto segmenty s oblúkmi, potom sa každý zo segmentov AD a DC bude rovnať 3/8 segmentu AB. Na výkrese je znázornené, že segment rovnajúci sa 3/8 je obsiahnutý v segmente rovnajúcemu sa 3/4 presne 2-krát; Takže výsledok delenia možno zapísať takto:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Uvažujme ešte o jednom príklade. Nech je potrebné deliť 15/16 3/32:

Môžeme uvažovať takto: musíme nájsť číslo, ktoré po vynásobení 3/32 dostane súčin rovný 15/16. Zapíšme si výpočty takto:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 neznáme číslo X make up 15/16

1/32 neznáme číslo X je ,

32/32 čísel X makeup .

teda

Ak teda chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého a vynásobiť menovateľa prvého zlomku čitateľom druhého a urobiť z prvého súčinu čitateľa a druhý menovateľ.

Napíšme pravidlo pomocou písmen:

Pri delení sú možné skratky, napr.

5. Delenie zmiešaných čísel.

Pri delení zmiešaných čísel sa musia najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom by sa výsledné zlomky mali rozdeliť podľa pravidiel na delenie zlomkových čísel. Zvážte príklad:

Previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:

Teraz sa rozdeľme:

Ak teda chcete rozdeliť zmiešané čísla, musíte ich previesť na nesprávne zlomky a potom rozdeliť podľa pravidla na delenie zlomkov.

6. Nájdenie čísla podľa jeho zlomku.

Medzi rôznymi úlohami o zlomkoch sú niekedy také, v ktorých je daná hodnota nejakého zlomku neznámeho čísla a je potrebné toto číslo nájsť. Tento typ problému bude inverzný k problému nájdenia zlomku daného čísla; tam bolo dané číslo a bolo potrebné nájsť nejaký zlomok tohto čísla, tu je zadaný zlomok čísla a je potrebné nájsť toto číslo samo. Táto myšlienka bude ešte jasnejšia, ak sa obrátime na riešenie tohto typu problému.

Úloha 1. V prvý deň sklenári zasklili 50 okien, čo je 1/3 všetkých okien postaveného domu. Koľko okien je v tomto dome?

rozhodnutie. Problém hovorí, že 50 zasklených okien tvorí 1/3 všetkých okien domu, čiže celkovo je okien 3x viac, t.j.

Dom mal 150 okien.

Úloha 2. Predajňa predala 1500 kg múky, čo sú 3/8 z celkových zásob múky v predajni. Aká bola počiatočná dodávka múky v obchode?

rozhodnutie. Zo stavu problému je vidieť, že predaných 1500 kg múky tvorí 3/8 celkových zásob; to znamená, že 1/8 tejto zásoby bude 3-krát menej, t.j. na jej výpočet je potrebné znížiť 1500 3-krát:

1 500: 3 = 500 (to je 1/8 zásob).

Je zrejmé, že celá zásoba bude 8-krát väčšia. teda

500 8 \u003d 4 000 (kg).

Počiatočná zásoba múky v predajni bola 4000 kg.

Z uvažovania o tomto probléme možno odvodiť nasledujúce pravidlo.

Ak chcete nájsť číslo zadanou hodnotou jeho zlomku, stačí túto hodnotu vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť menovateľom zlomku.

Vyriešili sme dva problémy s nájdením čísla daného zlomkom. Takéto problémy, ako je obzvlášť dobre vidieť z posledného, ​​sa riešia dvoma akciami: delením (keď sa nájde jedna časť) a násobením (keď sa nájde celé číslo).

Avšak potom, čo sme študovali delenie zlomkov, vyššie uvedené problémy môžu byť vyriešené v jednej akcii, a to: delenie zlomkom.

Napríklad posledná úloha sa dá vyriešiť jednou akciou takto:

V budúcnosti vyriešime problém hľadania čísla jeho zlomkom v jednej akcii – delení.

7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.

V týchto úlohách budete musieť nájsť číslo a poznať niekoľko percent tohto čísla.

Úloha 1. Začiatkom tohto roka som dostal od sporiteľne 60 rubľov. príjem zo sumy, ktorú som pred rokom vložil do sporenia. Koľko peňazí som vložil do sporiteľne? (Pokladne dávajú vkladateľom 2 % z príjmu ročne.)

Zmysel problému je v tom, že určitú sumu peňazí som vložil do sporiteľne a ležal tam rok. Po roku som od nej dostal 60 rubľov. príjem, čo sú 2/100 z peňazí, ktoré som vložil. Koľko peňazí som vložil?

Preto, keď poznáme časť týchto peňazí, vyjadrenú dvoma spôsobmi (v rubľoch a zlomkoch), musíme nájsť celú, zatiaľ neznámu sumu. Toto je bežný problém nájsť číslo vzhľadom na jeho zlomok. Nasledujúce úlohy sa riešia delením:

Do sporiteľne sa teda vložilo 3 000 rubľov.

Úloha 2. Za dva týždne rybári splnili mesačný plán na 64 %, keď pripravili 512 ton rýb. Aký mali plán?

Zo stavu problému je známe, že rybári časť plánu splnili. Táto časť sa rovná 512 tonám, čo je 64 % plánu. Koľko ton rýb treba podľa plánu vyloviť, nevieme. Riešenie problému bude spočívať v nájdení tohto čísla.

Takéto úlohy sa riešia rozdelením:

Takže podľa plánu musíte pripraviť 800 ton rýb.

Úloha 3. Vlak išiel z Rigy do Moskvy. Keď prešiel 276. kilometer, jeden z cestujúcich sa spýtal okoloidúceho sprievodcu, koľko cesty už prešli. Na to sprievodca odpovedal: „Už sme prešli 30% celej cesty. Aká je vzdialenosť z Rigy do Moskvy?

Zo stavu problému je zrejmé, že 30% cesty z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme nájsť celú vzdialenosť medzi týmito mestami, t. j. pre túto časť nájsť celok:

§ 91. Vzájomné čísla. Nahradenie delenia násobením.

Vezmite zlomok 2/3 a preusporiadajte čitateľa na miesto menovateľa, dostaneme 3/2. Dostali sme zlomok, recipročný tohto.

Aby ste dostali zlomok prevrátený k danému, musíte na miesto menovateľa umiestniť jeho čitateľa a na miesto čitateľa menovateľa. Týmto spôsobom môžeme získať zlomok, ktorý je prevrátený k ľubovoľnému zlomku. Napríklad:

3/4, spätný chod 4/3; 5/6, spätný chod 6/5

Dva zlomky, ktoré majú vlastnosť, že čitateľ prvého je menovateľom druhého a menovateľ prvého je čitateľom druhého, sa nazývajú vzájomne inverzné.

Teraz sa zamyslime nad tým, aký zlomok bude prevrátená 1/2. Je zrejmé, že to bude 2 / 1, alebo len 2. Ak hľadáme prevrátenú hodnotu, máme celé číslo. A tento prípad nie je izolovaný; naopak, pre všetky zlomky s čitateľom 1 (jedna) budú prevrátené celé čísla, napríklad:

1/3, prevrátená 3; 1/5, obrátene 5

Keďže sme sa pri hľadaní recipročných hodnôt stretli aj s celými číslami, v budúcnosti nebudeme hovoriť o recipročných, ale o recipročných.

Poďme zistiť, ako napísať prevrátenú hodnotu celého čísla. V prípade zlomkov je to vyriešené jednoducho: namiesto čitateľa musíte umiestniť menovateľa. Rovnakým spôsobom môžete získať prevrátenú hodnotu celého čísla, pretože každé celé číslo môže mať menovateľa 1. Preto prevrátená hodnota 7 bude 1/7, pretože 7 \u003d 7/1; pre číslo 10 je to naopak 1/10, pretože 10 = 10/1

Túto myšlienku možno vyjadriť aj inak: prevrátenú hodnotu daného čísla získame vydelením jednotky daným číslom. Toto tvrdenie platí nielen pre celé čísla, ale aj pre zlomky. Skutočne, ak chcete napísať číslo, ktoré je prevrátené k zlomku 5 / 9, potom môžeme vziať 1 a vydeliť ho 5 / 9, t.j.

Teraz poukážeme na jeden nehnuteľnosť vzájomne recipročné čísla, ktoré sa nám budú hodiť: súčin vzájomne recipročných čísel sa rovná jednej. Naozaj:

Pomocou tejto vlastnosti môžeme nájsť recipročné hodnoty nasledujúcim spôsobom. Nájdite prevrátenú hodnotu 8.

Označme to písmenom X , potom 8 X = 1, teda X = 1/8. Nájdime iné číslo, prevrátené číslo 7/12, označme ho písmenom X , potom 7/12 X = 1, teda X = 1:7 / 12 alebo X = 12 / 7 .

Zaviedli sme tu pojem reciproké čísla, aby sme mierne doplnili informácie o delení zlomkov.

Keď vydelíme číslo 6 3/5, urobíme nasledovné:

Venujte zvláštnu pozornosť výrazu a porovnajte ho s daným: .

Ak vezmeme výraz oddelene, bez spojenia s predchádzajúcim, potom nie je možné vyriešiť otázku, odkiaľ pochádza: z delenia 6 3/5 alebo z vynásobenia 6 5/3. V oboch prípadoch je výsledok rovnaký. Takže môžeme povedať že delenie jedného čísla druhým možno nahradiť vynásobením dividendy prevrátenou hodnotou deliteľa.

Príklady, ktoré uvádzame nižšie, plne potvrdzujú tento záver.

Desatinné násobenie prebieha v troch etapách.

Desatinné čísla sa zapisujú do stĺpca a násobia sa ako obyčajné čísla.

Spočítame počet desatinných miest pre prvé a druhé desatinné miesto. Pridávame ich počet.

V získanom výsledku spočítame sprava doľava toľko číslic, koľko sa ukázalo v predchádzajúcom odseku, a dáme čiarku.

Ako násobiť desatinné miesta

Desatinné zlomky zapisujeme do stĺpca a násobíme ich ako prirodzené čísla, čiarky ignorujeme. To znamená, že 3,11 považujeme za 311 a 0,01 za 1.

Prijaté 311 . Teraz spočítame počet znakov (číslic) za desatinnou čiarkou pre oba zlomky. Prvá desatinná čiarka má dve číslice a druhá dve číslice. Celkový počet číslic za čiarkami:

Počítame sprava doľava 4 znaky (čísla) výsledného čísla. Vo výsledku je menej číslic, ako potrebujete oddeliť čiarkou. V takom prípade potrebujete vľavo priraďte chýbajúci počet núl.

Chýba nám jedna číslica, preto pripisujeme jednu nulu doľava.

Pri násobení ľubovoľného desatinného zlomku dňa 10; 100; 1000 atď. desatinná čiarka sa posunie doprava o toľko číslic, koľko je núl za jednotkou.

• 70,1 10 = 701
• 0,023 100 = 2,3
• 5,6 1000 = 5600

Vynásobenie desatinného miesta číslom 0,1; 0,01; 0,001 atď., je potrebné v tomto zlomku posunúť čiarku doľava o toľko číslic, koľko núl je pred jednotkou.

Počítame nula celých čísel!

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 0,1 = 0,005
• 1,256 0,01 = 0,012 56

Násobenie zlomkov

Násobenie obyčajných zlomkov zvážime niekoľkými možnými spôsobmi.

Násobenie zlomku zlomkom

Toto je najjednoduchší prípad, v ktorom musíte použiť nasledujúce pravidlá násobenia zlomkov.

Komu vynásobte zlomok zlomkom, potrebné:

• vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a ich súčin zapíšte do čitateľa nového zlomku;
• vynásobte menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku a ich súčin zapíšte do menovateľa nového zlomku;

Pred násobením čitateľov a menovateľov skontrolujte, či je možné zlomky zmenšiť. Zníženie zlomkov vo výpočtoch výrazne uľahčí vaše výpočty.

Násobenie zlomku prirodzeným číslom

Na zlomok vynásobte prirodzeným číslom musíte vynásobiť čitateľa zlomku týmto číslom a ponechať menovateľa zlomku nezmenený.

Ak je výsledkom násobenia nesprávny zlomok, nezabudnite ho premeniť na zmiešané číslo, to znamená vybrať celú časť.

Násobenie zmiešaných čísel

Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom násobiť podľa pravidla na násobenie obyčajných zlomkov.

Ďalší spôsob, ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom

Niekedy je pri výpočtoch vhodnejšie použiť inú metódu vynásobenia obyčajného zlomku číslom.

Ak chcete vynásobiť zlomok prirodzeným číslom, musíte vydeliť menovateľa zlomku týmto číslom a čitateľa ponechať rovnaký.

Ako vidno z príkladu, je vhodnejšie použiť túto verziu pravidla, ak je menovateľ zlomku bezo zvyšku deliteľný prirodzeným číslom.

Ako vynásobiť zlomok pravidlom celého čísla

ja Ak chcete vynásobiť desatinný zlomok prirodzeným číslom, musíte ho vynásobiť týmto číslom, čiarku ignorovať, a vo výslednom súčine oddeliť toľko číslic vpravo, koľko bolo za desatinnou čiarkou v danom zlomku.

Príklady. Vykonajte násobenie: 1) 1,25 7; 2) 0,345 8; 3) 2,391 14.

rozhodnutie.

II. Ak chcete vynásobiť jeden desatinný zlomok druhým, musíte vykonať násobenie bez ohľadu na čiarky a vo výslednom výsledku oddeliť čiarkou vpravo toľko číslic, koľko bolo za čiarkami v oboch faktoroch spolu.

Príklady. Vykonajte násobenie: 1) 18,2 0,09; 2) 3,2 0,065; 3) 0,54 12,3.

rozhodnutie.

III. Ak chcete vynásobiť desatinné miesto 10, 100, 1000 atď., musíte posunúť desatinnú čiarku doprava o 1, 2, 3 atď. číslice.

Príklady. Vykonajte násobenie: 1) 3,25 10; 2) 0,637 100; 3) 4,307 1000; 4) 2,04 1000; 5) 0,00031 10000.

rozhodnutie.

IV. Vynásobenie desatinného miesta číslom 0,1; 0,01; 0,001 atď., musíte posunúť čiarku doľava o 1, 2, 3 atď. číslice.

Príklady. Vykonajte násobenie: 1) 28,3 ± 0,1; 2) 324,7 0,01; 3) 6,85 ± 0,01; 4) 6179,5 0,001; 5) 92,1 0,0001.

www.mathematics-repetition.com

Násobenie desatinných zlomkov, pravidlá, príklady, riešenia.

Obrátime sa na štúdium ďalšej akcie s desatinnými zlomkami, teraz komplexne zvážime násobenie desatinných miest. Po prvé, poďme diskutovať o všeobecných princípoch násobenia desatinných zlomkov. Potom prejdime k násobeniu desatinného zlomku desatinným zlomkom, ukážme, ako sa vykonáva násobenie desatinných zlomkov stĺpcom, zvážime riešenia príkladov. Ďalej budeme analyzovať násobenie desatinných zlomkov prirodzenými číslami, najmä 10, 100 atď. Na záver si povedzme o násobení desatinných zlomkov obyčajnými zlomkami a zmiešanými číslami.

Povedzme hneď, že v tomto článku budeme hovoriť iba o násobení kladných desatinných zlomkov (pozri kladné a záporné čísla). Zvyšné prípady sú analyzované v článkoch násobenie racionálnych čísel a násobenie reálnych čísel.

Navigácia na stránke.

Všeobecné zásady pre násobenie desatinných miest

Poďme diskutovať o všeobecných zásadách, ktoré by sa mali dodržiavať pri násobení s desatinnými zlomkami.

Keďže koncové desatinné miesta a nekonečné periodické zlomky sú desatinnou formou bežných zlomkov, násobenie takýchto desatinných miest v podstate znamená násobenie bežných zlomkov. Inými slovami, násobenie koncových desatinných miest, násobenie koncových a periodických desatinných zlomkov, ako aj násobenie periodických desatinných miest prichádza k násobeniu obyčajných zlomkov po prevode desatinných zlomkov na obyčajné.

Zvážte príklady aplikácie vyjadreného princípu násobenia desatinných zlomkov.

Vykonajte násobenie desatinných miest 1,5 a 0,75.

Nahraďte vynásobené desatinné zlomky zodpovedajúcimi obyčajnými zlomkami. Pretože 1,5=15/10 a 0,75=75/100, tak. Zlomok môžete zmenšiť a potom vybrať celú časť z nesprávneho zlomku a je vhodnejšie zapísať výsledný obyčajný zlomok 1 125/1 000 ako desatinný zlomok 1,125.

Treba poznamenať, že je vhodné vynásobiť konečné desatinné zlomky v stĺpci, o tomto spôsobe násobenia desatinných zlomkov si povieme v ďalšom odseku.

Uvažujme o príklade násobenia periodických desatinných zlomkov.

Vypočítajte súčin periodických desatinných miest 0,(3) a 2,(36) .

Preveďme periodické desatinné zlomky na obyčajné zlomky:

Potom. Výsledný obyčajný zlomok môžete previesť na desatinný zlomok:

Ak sú medzi vynásobenými desatinnými zlomkami nekonečné neperiodické zlomky, všetky vynásobené zlomky, vrátane konečných a periodických, by sa mali zaokrúhliť nahor na určitú číslicu (pozri zaokrúhľovanie čísel) a potom vykonajte násobenie konečných desatinných zlomkov získaných po zaokrúhlení.

Vynásobte desatinné miesta 5,382… a 0,2.

Najprv zaokrúhľujeme nekonečný neperiodický desatinný zlomok, zaokrúhlenie môžeme urobiť na stotiny, máme 5,382 ... ≈5,38. Konečný desatinný zlomok 0,2 nie je potrebné zaokrúhľovať na stotiny. Teda 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Zostáva vypočítať súčin konečných desatinných zlomkov: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1 076/1 000 \u003d 1,076.

Násobenie desatinných zlomkov stĺpcom

Násobenie konečných desatinných zlomkov možno vykonať stĺpcom, podobne ako násobenie stĺpcom prirodzených čísel.

Poďme formulovať pravidlo násobenia pre desatinné zlomky. Ak chcete vynásobiť desatinné zlomky stĺpcom, potrebujete:

• ignorovanie čiarok vykonajte násobenie podľa všetkých pravidiel násobenia stĺpcom prirodzených čísel;
• vo výslednom čísle oddeľte toľko číslic vpravo desatinnou čiarkou, koľko je desatinných miest v oboch faktoroch spolu a ak je v súčine málo číslic, tak treba vľavo doplniť požadovaný počet núl.

Zvážte príklady násobenia desatinných zlomkov stĺpcom.

Vynásobte desatinné miesta 63,37 a 0,12.

Vykonajte násobenie desatinných zlomkov stĺpcom. Najprv vynásobíme čísla, čiarky ignorujeme:

Zostáva vložiť čiarku do výsledného produktu. Potrebuje oddeliť 4 číslice vpravo, pretože vo faktoroch sú štyri desatinné miesta (dve v zlomku 3,37 a dve v zlomku 0,12). Je tam dosť čísel, takže nemusíte pridávať nuly naľavo. Dokončime záznam:

Vo výsledku máme 3,37 0,12 = 7,6044.

Vypočítajte súčin desatinných miest 3,2601 a 0,0254 .

Po vynásobení stĺpcom bez zohľadnenia čiarok dostaneme nasledujúci obrázok:

Teraz v produkte musíte oddeliť 8 číslic vpravo čiarkou, pretože celkový počet desatinných miest vynásobených zlomkov je osem. V produkte je však iba 7 číslic, preto musíte vľavo priradiť toľko núl, aby bolo možné 8 číslic oddeliť čiarkou. V našom prípade musíme priradiť dve nuly:

Tým sa dokončí násobenie desatinných zlomkov stĺpcom.

Násobenie desatinných miest 0,1, 0,01 atď.

Pomerne často musíte desatinné miesta násobiť 0,1, 0,01 atď. Preto je vhodné sformulovať pravidlo pre násobenie desatinného zlomku týmito číslami, ktoré vyplýva z princípov násobenia desatinných zlomkov diskutovaných vyššie.

takze vynásobením daného desatinného miesta číslom 0,1, 0,01, 0,001 atď. dáva zlomok, ktorý je získaný z pôvodného, ​​ak je v jeho zadaní čiarka posunutá doľava o 1, 2, 3 atď., číslice, a ak nie je dostatok číslic na posunutie čiarky, potom potrebujete pridajte požadovaný počet núl vľavo.

Napríklad, ak chcete vynásobiť desatinný zlomok 54,34 číslom 0,1, musíte posunúť desatinnú čiarku doľava o 1 číslicu v zlomku 54,34 a dostanete zlomok 5,434, teda 54,34 0,1 \u003d 5,434. Uveďme si ďalší príklad. Vynásobte desatinný zlomok 9,3 číslom 0,0001. Na to potrebujeme posunúť čiarku o 4 číslice doľava vo vynásobenom desatinnom zlomku 9,3, no záznam zlomku 9,3 taký počet znakov neobsahuje. Preto musíme v zázname zlomku 9,3 vľavo priradiť toľko núl, aby sme mohli čiarku ľahko preniesť na 4 číslice, máme 9,3 0,0001 \u003d 0,00093.

Všimnite si, že ohlásené pravidlo pre násobenie desatinného zlomku 0,1, 0,01, ... platí aj pre nekonečné desatinné zlomky. Napríklad 0,(18) 0,01=0,00(18) alebo 93,938… 0,1=9,3938… .

Násobenie desatinného čísla prirodzeným číslom

Vo svojom jadre násobenie desatinných miest prirodzenými číslami sa nelíši od násobenia desatinného miesta desatinným číslom.

Najpohodlnejšie je vynásobiť konečný desatinný zlomok prirodzeným číslom stĺpcom, pričom by ste sa mali riadiť pravidlami pre násobenie stĺpcom desatinných zlomkov, o ktorých sme hovorili v niektorom z predchádzajúcich odsekov.

Vypočítajte súčin 15 2,27 .

Vykonajte násobenie prirodzeného čísla desatinným zlomkom v stĺpci:

Pri násobení periodického desatinného zlomku prirodzeným číslom by sa mal periodický zlomok nahradiť obyčajným zlomkom.

Vynásobte desatinný zlomok 0,(42) prirodzeným číslom 22.

Najprv preveďme periodické desatinné číslo na bežný zlomok:

Teraz urobme násobenie: . Tento desatinný výsledok je 9,(3) .

A keď násobíte nekonečný neperiodický desatinný zlomok prirodzeným číslom, musíte najprv zaokrúhliť.

Urobte násobenie 4 2,145….

Zaokrúhlením na stotiny nahor pôvodného nekonečného desatinného zlomku sa dostaneme k násobeniu prirodzeného čísla a konečného desatinného zlomku. Máme 4 2,145…≈4 2,15 = 8,60.

Násobenie desatinného čísla 10, 100, ...

Pomerne často musíte desatinné zlomky násobiť 10, 100, ... Preto je vhodné sa týmito prípadmi podrobne zaoberať.

Dajme hlas pravidlo pre násobenie desatinného čísla 10, 100, 1 000 atď. Pri násobení desatinného zlomku číslom 10, 100, ... v jeho položke musíte posunúť čiarku doprava o 1, 2, 3, ... číslice, v tomto poradí, a zahodiť nuly navyše vľavo; ak v zázname vynásobeného zlomku nie je dostatok číslic na prenos čiarky, musíte pridať požadovaný počet núl doprava.

Vynásobte desatinné číslo 0,0783 číslom 100.

Prenesme zlomok 0,0783 o dve číslice doprava do záznamu a dostaneme 007,83. Vypustením dvoch núl vľavo dostaneme desatinný zlomok 7,38. Teda 0,0783 100 = 7,83.

Vynásobte desatinný zlomok 0,02 číslom 10 000.

Na vynásobenie 0,02 číslom 10 000 musíme posunúť čiarku o 4 číslice doprava. Je zrejmé, že v zázname zlomku 0,02 nie je dostatok číslic na to, aby sa čiarka preniesla na 4 číslice, preto pridáme niekoľko núl doprava, aby sa čiarka dala preniesť. V našom príklade stačí pridať tri nuly, máme 0,02000. Po posunutí čiarky dostaneme záznam 00200.0 . Vypustením núl vľavo máme číslo 200,0, čo sa rovná prirodzenému číslu 200, je to výsledok vynásobenia desatinného zlomku 0,02 číslom 10 000.

Uvedené pravidlo platí aj pre násobenie nekonečných desatinných zlomkov 10, 100, ... Pri násobení periodických desatinných zlomkov si treba dať pozor na periódu zlomku, ktorá je výsledkom násobenia.

Vynásobte periodickú desatinnú čiarku 5,32(672) číslom 1000.

Pred násobením zapíšeme periodický desatinný zlomok ako 5,32672672672 ..., umožní nám to vyhnúť sa chybám. Teraz posuňme čiarku o 3 číslice doprava, máme 5 326,726726 ... . Po vynásobení teda dostaneme periodický desatinný zlomok 5 326, (726) .

5,32(672) 1000=5326,(726) .

Keď násobíte nekonečné neperiodické zlomky 10, 100, ..., musíte nekonečný zlomok najskôr zaokrúhliť na určitú číslicu a potom vykonať násobenie.

Násobenie desatinného čísla spoločným zlomkom alebo zmiešaným číslom

Ak chcete vynásobiť konečný desatinný zlomok alebo nekonečný periodický desatinný zlomok obyčajným zlomkom alebo zmiešaným číslom, musíte desatinný zlomok znázorniť ako obyčajný zlomok a potom vykonať násobenie.

Vynásobte desatinný zlomok 0,4 zmiešaným číslom.

Keďže 0,4=4/10=2/5 a potom. Výsledné číslo možno zapísať ako periodický desatinný zlomok 1,5(3) .

Pri násobení nekonečného neperiodického desatinného zlomku spoločným zlomkom alebo zmiešaným číslom by sa mal bežný zlomok alebo zmiešané číslo nahradiť desatinným zlomkom, potom zaokrúhliť vynásobené zlomky a dokončiť výpočet.

Od 2/3 \u003d 0,6666 ..., potom. Po zaokrúhlení vynásobených zlomkov na tisíciny sa dostaneme k súčinu dvoch konečných desatinných zlomkov 3,568 a 0,667. Urobme násobenie v stĺpci:

Získaný výsledok by mal byť zaokrúhlený na tisíciny, keďže vynásobené zlomky sme zobrali s presnosťou na tisíciny, máme 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

Násobenie obyčajných zlomkov: pravidlá, príklady, riešenia.

Pokračujeme v štúdiu akcií s obyčajnými zlomkami. Teraz v centre pozornosti násobenie bežných zlomkov. V tomto článku uvedieme pravidlo na násobenie obyčajných zlomkov, zvážte použitie tohto pravidla pri riešení príkladov. Zameriame sa aj na násobenie obyčajného zlomku prirodzeným číslom. Na záver zvážte, ako sa vykonáva násobenie troch alebo viacerých zlomkov.

Navigácia na stránke.

Násobenie spoločného zlomku spoločným zlomkom

Začnime formuláciou pravidlá násobenia bežných zlomkov: vynásobením zlomku zlomkom sa získa zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčinu čitateľov vynásobených zlomkov a menovateľ sa rovná súčinu menovateľov.

To znamená, že vzorec zodpovedá násobeniu bežných zlomkov a / b a c / d.

Uveďme príklad ilustrujúci pravidlo násobenia obyčajných zlomkov. Uvažujme štvorec so stranou 1 jednotky. , pričom jeho plocha je 1 jednotka 2 . Rozdeľte tento štvorec na rovnaké obdĺžniky so stranami 1/4 jednotky. a 1/8 jednotiek. , zatiaľ čo pôvodný štvorec bude pozostávať zo 4 8 = 32 obdĺžnikov, preto plocha každého obdĺžnika je 1/32 plochy pôvodného štvorca, to znamená, že sa rovná 1/32 jednotiek 2. Teraz premaľujeme časť pôvodného štvorca. Všetky naše akcie sú znázornené na obrázku nižšie.

Strany vyplneného obdĺžnika sú 5/8 jednotiek. a 3/4 jednotiek. , čo znamená, že jeho plocha sa rovná súčinu zlomkov 5/8 a 3/4, teda jednotiek 2. Ale vyplnený obdĺžnik pozostáva z 15 „malých“ obdĺžnikov, takže jeho plocha je 15/32 jednotiek 2 . Preto, . Keďže 5 3=15 a 8 4=32 , posledná rovnosť môže byť prepísaná ako , ktorý potvrdzuje vzorec na násobenie obyčajných zlomkov tvaru .

Všimnite si, že pomocou vysloveného pravidla násobenia môžete násobiť bežné aj nesprávne zlomky, zlomky s rovnakými menovateľmi a zlomky s rôznymi menovateľmi.

Zvážte príklady násobenia bežných zlomkov.

Vynásobte spoločný zlomok 7/11 spoločným zlomkom 9/8.

Súčin čitateľov vynásobených zlomkov 7 a 9 je 63 a súčin menovateľov 11 a 8 je 88. Vynásobením spoločných zlomkov 7/11 a 9/8 teda získame zlomok 63/88.

Tu je zhrnutie riešenia: .

Nemali by sme zabúdať na redukciu výslednej frakcie, ak sa v dôsledku násobenia získa redukovateľná frakcia, a na výber celej časti z nevhodnej frakcie.

Vynásobte zlomky 4/15 a 55/6.

Aplikujme pravidlo násobenia obyčajných zlomkov: .

Je zrejmé, že výsledný zlomok je redukovateľný (znamienko deliteľnosti 10 nám umožňuje tvrdiť, že čitateľ a menovateľ zlomku 220/90 majú spoločný činiteľ 10). Zmenšime zlomok 220/90: GCD(220, 90)=10 a . Zostáva vybrať časť celého čísla z výsledného nesprávneho zlomku: .

Upozorňujeme, že redukciu zlomkov je možné vykonať pred výpočtom súčinov čitateľov a súčinov menovateľov vynásobených zlomkov, to znamená, keď má zlomok tvar . Pre toto číslo sú a, b, c a d nahradené ich prvočíselnými rozkladmi, po ktorých sú rovnaké faktory čitateľa a menovateľa zrušené.

Pre objasnenie sa vráťme k predchádzajúcemu príkladu.

Vypočítajte súčin zlomkov tvaru .

Podľa vzorca na násobenie obyčajných zlomkov máme .

Pretože 4=2 2 , 55=5 11 , 15=3 5 a 6=2 3 , potom . Teraz zrušíme bežné hlavné faktory: .

Zostáva len vypočítať produkty v čitateli a menovateli a potom vybrať celú časť z nesprávneho zlomku: .

Treba poznamenať, že násobenie zlomkov je charakterizované komutatívnou vlastnosťou, to znamená, že vynásobené zlomky je možné zamieňať: .

Násobenie zlomku prirodzeným číslom

Začnime formuláciou pravidlá pre násobenie spoločného zlomku prirodzeným číslom: vynásobením zlomku prirodzeným číslom vznikne zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčinu čitateľa vynásobeného zlomku prirodzeným číslom a menovateľ sa rovná menovateľovi vynásobeného zlomku.

Pomocou písmen má pravidlo na násobenie zlomku a/b prirodzeným číslom n tvar .

Vzorec vyplýva zo vzorca na násobenie dvoch obyčajných zlomkov tvaru . V skutočnosti získame reprezentáciu prirodzeného čísla ako zlomku s menovateľom 1 .

Zvážte príklady násobenia zlomku prirodzeným číslom.

Vynásobte zlomok 2/27 číslom 5.

Vynásobením čitateľa 2 číslom 5 dostaneme 10, preto na základe pravidla násobenia zlomku prirodzeným číslom sa súčin 2/27 číslom 5 rovná zlomku 10/27.

Celé riešenie sa dá pohodlne napísať takto: .

Pri násobení zlomku prirodzeným číslom sa často musí výsledný zlomok zmenšiť, a ak je aj nesprávny, reprezentovať ho ako zmiešané číslo.

Vynásobte zlomok 5/12 číslom 8.

Podľa vzorca na násobenie zlomku prirodzeným číslom máme . Je zrejmé, že výsledný zlomok je redukovateľný (znamienko deliteľnosti 2 označuje spoločného deliteľa 2 čitateľa a menovateľa). Zmenšime zlomok 40/12: keďže LCM(40, 12)=4, potom . Zostáva vybrať celú časť: .

Tu je celé riešenie: .

Všimnite si, že redukciu je možné vykonať nahradením čísel v čitateli a menovateli ich rozšíreniami na prvočísla. V tomto prípade by riešenie vyzeralo takto:

Na záver tohto odseku poznamenávame, že násobenie zlomku prirodzeným číslom má komutatívnu vlastnosť, to znamená, že súčin zlomku prirodzeným číslom sa rovná súčinu tohto prirodzeného čísla zlomkom: .

Vynásobte tri alebo viac zlomkov

Spôsob, akým sme definovali obyčajné zlomky a činnosť násobenia s nimi, nám umožňuje tvrdiť, že všetky vlastnosti násobenia prirodzených čísel platia pre násobenie zlomkov.

Komutatívne a asociatívne vlastnosti násobenia umožňujú jednoznačne určiť násobenie troch a viacerých zlomkov a prirodzených čísel. V tomto prípade sa všetko deje analogicky s násobením troch alebo viacerých prirodzených čísel. Predovšetkým zlomky a prirodzené čísla v produkte môžu byť preusporiadané kvôli pohodlnosti výpočtu, a ak neexistujú zátvorky označujúce poradie vykonávania akcií, môžeme si zátvorky usporiadať sami ktorýmkoľvek z povolených spôsobov.

Zvážte príklady násobenia niekoľkých zlomkov a prirodzených čísel.

Vynásobte tri bežné zlomky 1/20, 12/5, 3/7 a 5/8.

Napíšeme súčin, ktorý potrebujeme vypočítať . Na základe pravidla pre násobenie zlomkov sa zapísaný súčin rovná zlomku, ktorého čitateľ sa rovná súčinu čitateľov všetkých zlomkov, a menovateľ je súčinom menovateľov: .

Pred výpočtom súčinov v čitateli a menovateli je vhodné nahradiť všetky faktory ich expanziami na prvočísla a zredukovať (samozrejme, môžete zlomok po vynásobení zmenšiť, ale v mnohých prípadoch to vyžaduje veľa výpočtového úsilia): .

.

Vynásobte päť čísel .

V tomto produkte je vhodné zoskupiť zlomok 7/8 s číslom 8 a číslo 12 so zlomkom 5/36, zjednoduší to výpočty, pretože pri takomto zoskupení je redukcia zrejmá. Máme
.

.

www.cleverstudents.ru

Populárne:

• Pri podaní na okresný súd Vážení návštevníci stránky! Ministerstvo federálneho ministerstva financií pre Petrohrad (medziokresný IFTS Ruska č. 10 pre Petrohrad) DIČ daňového úradu Číslo účtu príjemcu SEVERO-ZÁPAD […]
• Výpočet povinnosti štátu za zníženie výšky výživného Súdy sa držia nasledovného stanoviska: Povinnosť štátu sa počíta zo sumy, o ktorú sa znižuje výška výživného (z hodnoty pohľadávky). Príklad výpočtu výšky štátnej povinnosti voči súdu, keď [...]
• Delenie desatinných zlomkov, pravidlá, príklady, riešenia. Pokračujeme v štúdiu akcií s desatinnými zlomkami, je čas hovoriť o delení desatinných zlomkov. Začnime všeobecnými zásadami delenia desatinných miest. Ďalej […]
• Článok 333.19 daňového poriadku Ruskej federácie. Výška štátneho poplatku v prípadoch posudzovaných Najvyšším súdom Ruskej federácie, súdmi všeobecnej jurisdikcie, zmierovacími sudcami ST 333.19 daňového poriadku Ruskej federácie. 1. Vo veciach prejednávaných na Najvyššom súde […]
• Vzor nariadenia o komisii (splnomocnenej) pre sociálne poistenie N 556a „Vzor nariadenia o komisii (splnomocnenej) pre sociálne poistenie“ SCHVÁLENÝ predsedom Fondu sociálneho poistenia Ruskej federácie […]
• Podrobnosti o platení štátnej povinnosti Ozbrojených síl Ruskej federácie, ako aj Rozhodcovského súdu v Moskve a Rozhodcovského súdu Moskovského okresu sa zmenili Nové bankové údaje na platenie štátnej povinnosti v prípadoch posudzovaných v Najvyššom Súd Ruskej federácie, Arbitrážny súd mesta Moskva a […]
• Nádrž vo vrtoch je hornina s vysokou pórovitosťou a priepustnosťou, ktorá obsahuje vyťažiteľné množstvá ropy a plynu. Hlavnými klasifikačnými znakmi nádrže sú podmienky filtrácie a akumulácie v […]
• Naša skupina vo VK Získajte zľavu na školenia. Poponáhľajte sa a získajte zľavu 1 000 rubľov! Zápis do autoškoly Vyplňte tento formulár, my Vás budeme kontaktovať a pozveme na vyučovanie. Vitajte! 1. Výstražné značky Výstražné […]