Tento článok je o bežné zlomky. Tu sa zoznámime s pojmom zlomok celku, čo nás privedie k definícii obyčajného zlomku. Ďalej sa zastavíme pri akceptovanom zápise obyčajných zlomkov a uvedieme príklady zlomkov, povedzme o čitateľovi a menovateľovi zlomku. Potom uvedieme definície správnych a nesprávnych, pozitívnych a negatívnych zlomkov a tiež zvážime polohu zlomkových čísel na súradnicovom lúči. Na záver uvádzame hlavné akcie so zlomkami.
Navigácia na stránke.
Akcie celku
Najprv sa predstavíme zdieľať koncept.
Predpokladajme, že máme nejaký objekt zložený z niekoľkých absolútne rovnakých (teda rovnakých) častí. Pre názornosť si môžete predstaviť napríklad jablko nakrájané na niekoľko rovnakých častí alebo pomaranč pozostávajúci z niekoľkých rovnakých plátkov. Každá z týchto rovnakých častí, ktoré tvoria celý objekt, sa nazýva podiel na celku alebo jednoducho akcií.
Všimnite si, že podiely sú rôzne. Poďme si to vysvetliť. Povedzme, že máme dve jablká. Prvé jablko rozrežeme na dve rovnaké časti a druhé na 6 rovnakých častí. Je jasné, že podiel prvého jablka bude iný ako podiel druhého jablka.
V závislosti od počtu akcií, ktoré tvoria celý objekt, majú tieto akcie svoje názvy. Poďme analyzovať zdieľané mená. Ak sa predmet skladá z dvoch častí, ktorákoľvek z nich sa nazýva jedna druhá časť celého predmetu; ak sa predmet skladá z troch častí, potom sa ktorákoľvek z nich nazýva jedna tretia časť atď.
Jeden sekundový úder má špeciálny názov - polovicu. Jedna tretina je tzv tretí a jeden štvornásobný - štvrťroku.
Pre stručnosť nasledovné označenia podielov. Jeden druhý podiel je označený ako alebo 1/2, jeden tretí podiel - ako alebo 1/3; jedna štvrtina zdieľania – páči sa mi alebo 1/4 atď. Všimnite si, že zápis s vodorovnou čiarou sa používa častejšie. Na konsolidáciu materiálu uveďme ešte jeden príklad: záznam označuje stošesťdesiatsedeminu celku.
Pojem podielu sa prirodzene rozširuje od objektov k veličinám. Napríklad jednou z mier dĺžky je meter. Na meranie dĺžok menších ako meter možno použiť zlomky metra. Môžete teda použiť napríklad pol metra alebo desatinu či tisícinu metra. Podiely ostatných množstiev sa uplatňujú podobne.
Bežné zlomky, definícia a príklady zlomkov
Na popis počtu akcií sa používa bežné zlomky. Uveďme príklad, ktorý nám umožní priblížiť sa k definícii obyčajných zlomkov.
Nechajte pomaranč pozostávať z 12 častí. Každá akcia v tomto prípade predstavuje jednu dvanástinu celého pomaranča, teda . Označme dva údery ako , tri údery ako atď., 12 úderov ako . Každý z týchto záznamov sa nazýva obyčajný zlomok.
Teraz dajme generálku definícia bežných zlomkov.
Vyslovená definícia obyčajných zlomkov nám umožňuje priniesť príklady bežných zlomkov: 5/10 , 21/1 , 9/4 , . A tu sú záznamy 
nezodpovedajú znenej definícii obyčajných zlomkov, to znamená, že to nie sú obyčajné zlomky.
Čitateľ a menovateľ
Pre pohodlie rozlišujeme v bežných zlomkoch čitateľ a menovateľ.
Definícia.
Čitateľ obyčajný zlomok (m / n) je prirodzené číslo m.
Definícia.
Menovateľ obyčajný zlomok (m / n) je prirodzené číslo n.
Čitateľ sa teda nachádza nad zlomkovou čiarou (naľavo od lomky) a menovateľ je pod zlomkovou čiarou (napravo od lomky). Vezmime si napríklad obyčajný zlomok 17/29, v čitateli tohto zlomku je číslo 17 a v menovateli je číslo 29.
Zostáva diskutovať o význame obsiahnutom v čitateľovi a menovateľovi obyčajného zlomku. Menovateľ zlomku ukazuje, z koľkých podielov pozostáva jedna položka, čitateľ zasa počet takýchto podielov. Napríklad menovateľ 5 zlomku 12/5 znamená, že jedna položka pozostáva z piatich častí, a čitateľ 12 znamená, že sa vezme 12 takýchto častí.
Prirodzené číslo ako zlomok s menovateľom 1
Menovateľ obyčajného zlomku sa môže rovnať jednej. V tomto prípade môžeme predpokladať, že objekt je nedeliteľný, inými slovami, je to niečo celistvé. Čitateľ takéhoto zlomku udáva, koľko celých položiek sa vezme. Obyčajný zlomok tvaru m/1 má teda význam prirodzeného čísla m. Takto sme zdôvodnili rovnosť m/1=m .
Poslednú rovnosť prepíšeme takto: m=m/1 . Táto rovnosť nám umožňuje reprezentovať akékoľvek prirodzené číslo m ako obyčajný zlomok. Napríklad číslo 4 je zlomok 4/1 a číslo 103498 je zlomok 103498/1.
takze ľubovoľné prirodzené číslo m môže byť vyjadrené ako obyčajný zlomok s menovateľom 1 ako m/1 a každý obyčajný zlomok tvaru m/1 môže byť nahradený prirodzeným číslom m.
Zlomkový stĺpec ako deliaci znak
Reprezentácia pôvodného objektu vo forme n akcií nie je nič iné ako rozdelenie na n rovnakých častí. Po rozdelení veci na n akcií ju môžeme rozdeliť rovným dielom medzi n ľudí - každý dostane jednu akciu.
Ak máme na začiatku m identických objektov, z ktorých každý je rozdelený na n akcií, potom môžeme týchto m objektov rovnomerne rozdeliť medzi n ľudí, pričom každej osobe pridelíme jeden podiel z každého z m objektov. V tomto prípade bude mať každá osoba m podielov 1/n a m podielov 1/n dáva obyčajný zlomok m/n. Spoločný zlomok m/n teda možno použiť na vyjadrenie rozdelenia m položiek medzi n ľudí.
Získali sme teda explicitné spojenie medzi obyčajnými zlomkami a delením (pozri všeobecnú myšlienku delenia prirodzených čísel). Tento vzťah je vyjadrený takto: Pruh zlomku možno chápať ako deliaci znak, teda m/n=m:n.
Pomocou obyčajného zlomku môžete napísať výsledok delenia dvoch prirodzených čísel, pre ktoré sa delenie nevykonáva celým číslom. Napríklad výsledok delenia 5 jabĺk 8 ľuďmi možno zapísať ako 5/8, to znamená, že každé dostane päť osmín jablka: 5:8=5/8.
Rovné a nerovnaké obyčajné zlomky, porovnávanie zlomkov
Je to celkom prirodzená akcia porovnanie bežných zlomkov, pretože je jasné, že 1/12 pomaranča je iná ako 5/12 a 1/6 jablka je rovnaká ako druhá 1/6 tohto jablka.
V dôsledku porovnania dvoch obyčajných zlomkov sa získa jeden z výsledkov: zlomky sú rovnaké alebo nie rovnaké. V prvom prípade máme rovnaké spoločné zlomky a v druhom nerovnaké spoločné zlomky. Uveďme definíciu rovnakých a nerovnakých obyčajných zlomkov.
Definícia.
rovný, ak platí rovnosť a d=b c.
Definícia.
Dva bežné zlomky a/b a c/d nerovná sa, ak nie je splnená rovnosť a d=b c.
Tu je niekoľko príkladov rovnakých zlomkov. Napríklad bežný zlomok 1/2 sa rovná zlomku 2/4, keďže 1 4=2 2 (v prípade potreby si pozrite pravidlá a príklady násobenia prirodzených čísel). Pre prehľadnosť si môžete predstaviť dve rovnaké jablká, prvé je rozrezané na polovicu a druhé - na 4 podiely. Je zrejmé, že dve štvrtiny jablka sú 1/2 podielu. Ďalšími príkladmi rovnakých spoločných zlomkov sú zlomky 4/7 a 36/63 a pár zlomkov 81/50 a 1620/1000.
A obyčajné zlomky 4/13 a 5/14 sa nerovnajú, pretože 4 14 = 56 a 13 5 = 65, teda 4 14 ≠ 13 5. Ďalším príkladom nerovnakých bežných zlomkov sú zlomky 17/7 a 6/4.
Ak sa pri porovnávaní dvoch obyčajných zlomkov ukáže, že nie sú rovnaké, možno budete musieť zistiť, ktorý z týchto obyčajných zlomkov menejďalší a ktorý viac. Na zistenie slúži pravidlo na porovnávanie obyčajných zlomkov, ktorého podstatou je priviesť porovnávané zlomky do spoločného menovateľa a následne porovnať čitateľov. Podrobné informácie o tejto téme sú zhromaždené v článku porovnanie zlomkov: pravidlá, príklady, riešenia.
Zlomkové čísla
Každý zlomok je záznamom zlomkové číslo. To znamená, že zlomok je len „škrupina“ zlomkového čísla, jeho vzhľad a celé sémantické zaťaženie je presne obsiahnuté v zlomkovom čísle. Z dôvodu stručnosti a pohodlia sa však pojem zlomok a zlomkové číslo kombinujú a nazývajú sa jednoducho zlomok. Tu je vhodné parafrázovať známe porekadlo: povieme zlomok - myslíme zlomkové číslo, povieme zlomkové číslo - myslíme zlomok.
Zlomky na súradnicovom lúči
Všetky zlomkové čísla zodpovedajúce obyčajným zlomkom majú svoje vlastné jedinečné miesto na , to znamená, že medzi zlomkami a bodmi súradnicového lúča existuje zhoda jedna k jednej.
Aby sme sa dostali do bodu zodpovedajúceho zlomku m / n na súradnicovom lúči, je potrebné odložiť m segmentov z počiatku v kladnom smere, ktorých dĺžka je 1 / n jednotkového segmentu. Takéto segmenty možno získať rozdelením jedného segmentu na n rovnakých častí, čo je možné vždy vykonať pomocou kompasu a pravítka.
Ukážme napríklad bod M na súradnicovom lúči, ktorý zodpovedá zlomku 14/10. Dĺžka úsečky s koncami v bode O a v bode, ktorý je k nej najbližšie, označený malou pomlčkou, je 1/10 jednotkového úsečky. Bod so súradnicou 14/10 je odstránený z počiatku o 14 takýchto segmentov.
Rovnaké zlomky zodpovedajú rovnakému zlomkovému číslu, to znamená, že rovnaké zlomky sú súradnicami toho istého bodu na súradnicovom lúči. Napríklad jeden bod zodpovedá súradniciam 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 na súradnicovom lúči, pretože všetky zapísané zlomky sú rovnaké (nachádza sa vo vzdialenosti polovice segmentu jednotky, stanoveného od pôvodu v kladnom smere).
Na vodorovnom a pravostrannom súradnicovom lúči je bod, ktorého súradnica je veľký zlomok, umiestnený napravo od bodu, ktorého súradnica je menší zlomok. Podobne bod s menšou súradnicou leží naľavo od bodu s väčšou súradnicou.
Vlastné a nevlastné zlomky, definície, príklady
Medzi obyčajnými zlomkami sú vlastné a nevlastné zlomky. Toto rozdelenie má v podstate porovnanie čitateľa a menovateľa.
Uveďme definíciu vlastných a nevlastných obyčajných zlomkov.
Definícia.
Správny zlomok je obyčajný zlomok, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ, teda ak m Definícia.
Nesprávny zlomok je obyčajný zlomok, v ktorom je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi, to znamená, že ak m≥n, potom je obyčajný zlomok nesprávny. Tu je niekoľko príkladov správnych zlomkov: 1/4 , , 32 765/909 003 . V každom zo zapísaných obyčajných zlomkov je totiž čitateľ menší ako menovateľ (ak je to potrebné, pozrite si článok porovnanie prirodzených čísel), takže sú z definície správne. A tu sú príklady nesprávnych zlomkov: 9/9, 23/4,. Čitateľ prvého zo zapísaných obyčajných zlomkov sa skutočne rovná menovateľovi a v ostatných zlomkoch je čitateľ väčší ako menovateľ. Existujú aj definície vlastných a nevlastných zlomkov na základe porovnávania zlomkov s jedným. Definícia. správne ak je menej ako jedna. Definícia. Spoločný zlomok je tzv nesprávne, ak sa rovná jednej alebo je väčšia ako 1 . Takže obyčajný zlomok 7/11 je správny, pretože 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 a 27/27=1. Zamyslime sa nad tým, ako si obyčajné zlomky s čitateľom väčším alebo rovným ako menovateľ zaslúžia takéto pomenovanie – „nesprávne“. Vezmime si ako príklad nesprávny zlomok 9/9. Tento zlomok znamená, že sa odoberie deväť častí objektu, ktorý pozostáva z deviatich častí. To znamená, že z deviatich dostupných akcií môžeme poskladať celý subjekt. To znamená, že nesprávny zlomok 9/9 v podstate dáva celý objekt, teda 9/9=1. Vo všeobecnosti nesprávne zlomky s čitateľom rovným menovateľovi označujú jeden celý objekt a takýto zlomok možno nahradiť prirodzeným číslom 1. Teraz zvážte nesprávne zlomky 7/3 a 12/4. Je celkom zrejmé, že z týchto siedmich tretín môžeme urobiť dva celé objekty (jeden celý objekt má 3 podiely, potom na zloženie dvoch celých predmetov potrebujeme 3 + 3 = 6 podielov) a stále zostane jeden tretinový podiel. To znamená, že nesprávny zlomok 7/3 v podstate znamená 2 položky a dokonca 1/3 podielu takejto položky. A z dvanástich štvrtín môžeme vyrobiť tri celé predmety (tri predmety po štyroch častiach). To znamená, že zlomok 12/4 v podstate znamená 3 celé predmety. Uvažované príklady nás vedú k nasledovnému záveru: nevlastné zlomky možno nahradiť buď prirodzenými číslami, keď je čitateľ celý vydelený menovateľom (napríklad 9/9=1 a 12/4=3), alebo súčtom prirodzené číslo a vlastný zlomok, keď čitateľ nie je rovnomerne deliteľný menovateľom (napríklad 7/3=2+1/3 ). Možno to je presne to, čo si nesprávne zlomky zaslúžia také meno - „nesprávne“. Zvlášť zaujímavé je znázornenie nevlastného zlomku ako súčtu prirodzeného čísla a vlastného zlomku (7/3=2+1/3). Tento proces sa nazýva extrakcia celočíselnej časti z nesprávneho zlomku a zaslúži si samostatnú a starostlivejšiu úvahu. Za zmienku tiež stojí, že medzi nesprávnymi zlomkami a zmiešanými číslami je veľmi úzky vzťah. Každý obyčajný zlomok zodpovedá kladnému zlomkovému číslu (pozri článok kladné a záporné čísla). To znamená, že obyčajné zlomky sú kladné zlomky. Napríklad obyčajné zlomky 1/5, 56/18, 35/144 sú kladné zlomky. Keď je potrebné zdôrazniť kladnosť zlomku, potom sa pred neho umiestni znamienko plus, napríklad +3/4, +72/34. Ak pred obyčajný zlomok vložíte znamienko mínus, tento záznam bude zodpovedať zápornému zlomkovému číslu. V tomto prípade sa dá hovoriť o záporné zlomky. Tu je niekoľko príkladov záporných zlomkov: −6/10 , −65/13 , −1/18 . Kladné a záporné zlomky m/n a −m/n sú opačné čísla. Napríklad zlomky 5/7 a -5/7 sú opačné zlomky. Kladné zlomky, podobne ako kladné čísla vo všeobecnosti, označujú prírastok, príjem, zmenu nejakej hodnoty smerom nahor atď. Záporné zlomky zodpovedajú nákladom, dlhu, zmene akejkoľvek hodnoty v smere poklesu. Napríklad záporný zlomok -3/4 možno interpretovať ako dlh, ktorého hodnota je 3/4. Na vodorovnej a pravej strane sú negatívne frakcie umiestnené naľavo od referenčného bodu. Body súradnicovej čiary, ktorých súradnice sú kladný zlomok m/n a záporný zlomok −m/n, sú umiestnené v rovnakej vzdialenosti od začiatku, ale na opačných stranách bodu O . Tu stojí za zmienku zlomky tvaru 0/n. Tieto zlomky sa rovnajú číslu nula, teda 0/n=0. Kladné zlomky, záporné zlomky a zlomky 0/n sa kombinujú a vytvárajú racionálne čísla. Jedna akcia s obyčajnými zlomkami - porovnávanie zlomkov - sme už zvážili vyššie. Sú definované ďalšie štyri aritmetiky operácie so zlomkami- sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie zlomkov. Zastavme sa pri každom z nich. Všeobecná podstata akcií so zlomkami je podobná podstate zodpovedajúcich akcií s prirodzenými číslami. Nakreslíme analógiu. Násobenie zlomkov možno považovať za činnosť, pri ktorej sa zlomok nájde zo zlomku. Na objasnenie si uveďme príklad. Predpokladajme, že máme 1/6 jablka a potrebujeme z neho vziať 2/3. Časť, ktorú potrebujeme, je výsledkom vynásobenia zlomkov 1/6 a 2/3. Výsledkom vynásobenia dvoch obyčajných zlomkov je obyčajný zlomok (ktorý sa v konkrétnom prípade rovná prirodzenému číslu). Ďalej odporúčame preštudovať si informácie k článku násobenie zlomkov - pravidlá, príklady a riešenia. Bibliografia. Časť jednotky alebo niekoľko jej častí sa nazýva jednoduchý alebo obyčajný zlomok. Počet rovnakých častí, na ktoré je jednotka rozdelená, sa nazýva menovateľ a počet prevzatých častí sa nazýva čitateľ. Zlomok sa zapisuje takto: V tomto prípade a je čitateľ, b je menovateľ. Ak je čitateľ menší ako menovateľ, potom je zlomok menší ako 1 a nazýva sa správny zlomok. Ak je čitateľ väčší ako menovateľ, potom je zlomok väčší ako 1, zlomok sa nazýva nesprávny zlomok. Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku rovnajú, zlomok sa rovná. 1. Ak možno čitateľa deliť menovateľom, potom sa tento zlomok rovná podielu delenia: Ak sa delenie vykoná so zvyškom, potom môže byť tento nesprávny zlomok reprezentovaný zmiešaným číslom, napríklad: Potom 9 je neúplný kvocient (celočíselná časť zmiešaného čísla), Ak chcete previesť zmiešané číslo na zlomok, vynásobte celú časť zmiešaného čísla menovateľom a pridajte čitateľa zlomkovej časti. Získaný výsledok bude čitateľom obyčajného zlomku a menovateľ zostane rovnaký. Rozšírenie frakcie. Hodnota zlomku sa nemení, ak sa jeho čitateľ a menovateľ vynásobia rovnakým nenulovým číslom. Zníženie frakcií. Hodnota zlomku sa nemení, ak je jeho čitateľ a menovateľ delený rovnakým nenulovým číslom. Porovnanie zlomkov. Z dvoch zlomkov s rovnakým čitateľom je väčší zlomok s menším menovateľom: Z dvoch zlomkov s rovnakými menovateľmi je ten s väčším čitateľom väčší: Na porovnanie zlomkov, ktoré majú rôznych čitateľov a menovateľov, je potrebné ich rozšíriť, to znamená priviesť ich k spoločnému menovateľovi. Zvážte napríklad tieto zlomky: Sčítanie a odčítanie zlomkov. Ak sú menovatelia zlomkov rovnaké, potom na sčítanie zlomkov je potrebné sčítať ich čitateľov a na odčítanie zlomkov je potrebné odčítať ich čitateľov. Výsledný súčet alebo rozdiel bude čitateľom výsledku, pričom menovateľ zostane rovnaký. Ak sú menovatelia zlomkov rozdielne, musíte zlomky najskôr zredukovať na spoločného menovateľa. Pri pridávaní zmiešaných čísel sa ich celočíselné a zlomkové časti pridávajú oddelene. Pri odčítaní zmiešaných čísel ich musíte najskôr previesť do tvaru nesprávnych zlomkov, potom odpočítať od seba a potom znova uviesť výsledok, ak je to potrebné, do tvaru zmiešaného čísla. Násobenie zlomkov. Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov oddelene a rozdeliť prvý produkt druhým. Delenie zlomkov. Ak chcete deliť číslo zlomkom, musíte toto číslo vynásobiť jeho prevrátenou hodnotou. Desatinné je výsledkom delenia jedna desiatimi, stovkami, tisíckami atď. časti. Najprv sa napíše celá časť čísla, potom sa vpravo umiestni desatinná čiarka. Prvá číslica za desatinnou čiarkou znamená počet desatín, druhá - počet stotín, tretia - počet tisícin atď. Čísla za desatinnou čiarkou sa nazývajú desatinné miesta. Napríklad: Vlastnosti: Periodická desatinná čiarka obsahuje nekonečne sa opakujúcu skupinu číslic nazývanú bodka: 0,321321321321…=0,(321) Sčítanie a odčítanie desatinných miest sa vykonáva rovnakým spôsobom ako sčítanie a odčítanie celých čísel, stačí len zapísať príslušné desatinné miesta pod seba. Násobenie desatinných zlomkov sa vykonáva v niekoľkých fázach: Napríklad: Súčet počtov desatinných miest vo faktoroch je: 2+1=3. Teraz musíte spočítať 3 číslice od konca výsledného čísla a dať desatinnú čiarku: 0,675. Delenie desatinných miest. Delenie desatinnej čiarky celým číslom: ak je dividenda menšia ako deliteľ, potom musíte do celočíselnej časti podielu napísať nulu a za ňu vložiť desatinnú čiarku. Potom bez zohľadnenia desatinnej čiarky dividendy pridajte ďalšiu číslicu zlomkovej časti k jej celočíselnej časti a znova porovnajte výslednú celú časť dividendy s deliteľom. Ak je nové číslo opäť menšie ako deliteľ, treba operáciu zopakovať. Tento proces sa opakuje, kým výsledná dividenda nie je väčšia ako deliteľ. Potom sa vykoná delenie ako v prípade celých čísel. Ak je delenec väčší alebo rovný deliteľovi, najprv vydelíme jeho celú časť, výsledok delenia zapíšeme do podielu a dáme desatinnú čiarku. Potom delenie pokračuje ako v prípade celých čísel. Rozdelenie jedného desatinného zlomku na druhý: najskôr sa desatinné miesta v deliteľovi a deliteľovi prenesú počtom desatinných miest v deliteľovi, to znamená, že deliteľa urobíme celým číslom a vykonajú sa vyššie opísané akcie. Aby sme mohli previesť desatinný zlomok na obyčajný, je potrebné vziať ako čitateľ číslo za desatinnou čiarkou a ako menovateľ vziať k-tu mocninu desiatich (k je počet desatinných miest). Nenulová celá časť je zachovaná v spoločnom zlomku; nulová celočíselná časť je vynechaná. Aby bolo možné previesť obyčajný zlomok na desatinné miesto, je potrebné rozdeliť čitateľa menovateľom v súlade s pravidlami delenia. Percento je stotina jednotky, napríklad: 5 % znamená 0,05. Pomer je podiel delenia jedného čísla druhým. Proporcia je rovnosť dvoch pomerov. Napríklad: Hlavná vlastnosť podielu: súčin krajných členov podielu sa rovná súčinu jeho stredných členov, to znamená 5x30 = 6x25. Dve vzájomne závislé veličiny sa nazývajú proporcionálne, ak pomer ich veličín zostane nezmenený (koeficient proporcionality). Odhalia sa teda nasledujúce aritmetické operácie. Sada racionálnych čísel obsahuje kladné a záporné čísla (celé a zlomkové) a nulu. Presnejšia definícia racionálnych čísel, prijatá v matematike, je nasledovná: číslo sa nazýva racionálne, ak ho možno reprezentovať ako obyčajný neredukovateľný zlomok tvaru:, kde a a b sú celé čísla. Pre záporné číslo je absolútna hodnota (modul) kladné číslo získané zmenou jeho znamienka z „-“ na „+“; pre kladné číslo a nulu samotné číslo. Na označenie modulu čísla sa používajú dve rovné čiary, v ktorých je toto číslo napísané, napríklad: |–5|=5. Nech je daný modul čísla Monomial je súčinom dvoch alebo viacerých faktorov, z ktorých každý je buď číslo, alebo písmeno, alebo mocnina písmena: 3 x a x b. Koeficient sa najčastejšie nazýva iba číselný faktor. O monomoch sa hovorí, že sú podobné, ak sú rovnaké alebo sa líšia iba koeficientmi. Stupeň jednočlena je súčet exponentov všetkých jeho písmen. Ak sú medzi súčtom monomiály podobné, potom je možné súčet znížiť na jednoduchšiu formu: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Táto operácia sa nazýva vynútenie podobných výrazov alebo zátvoriek. Polynóm je algebraický súčet monočlenov. Stupeň polynómu je najväčší zo stupňov monočlenov zahrnutých v danom polynóme. Pre skrátené násobenie existujú nasledujúce vzorce: Spôsoby faktoringu: Algebraický zlomok je vyjadrením tvaru , kde A a B môžu byť číslo, jednočlen, polynóm. Ak sú dva výrazy (numerický a abecedný) spojené znamienkom "=", potom sa hovorí, že tvoria rovnosť. Akákoľvek skutočná rovnosť platná pre všetky prípustné číselné hodnoty písmen, ktoré sú v nej obsiahnuté, sa nazýva identita. Rovnica je doslovná rovnosť, ktorá platí pre určité hodnoty písmen, ktoré sú v nej zahrnuté. Tieto písmená sa nazývajú neznáme (premenné) a ich hodnoty, pri ktorých sa daná rovnica stáva identitou, sa nazývajú korene rovnice. Riešenie rovnice znamená nájsť všetky jej korene. Dve alebo viac rovníc sa považuje za ekvivalentné, ak majú rovnaké korene. Hlavné typy algebraických rovníc: Lineárna rovnica má ax + b = 0: Rovnica xn = a, n N: Základné identické transformácie: nahradenie jedného výrazu iným, zhodne sa mu rovná; prenos členov rovnice z jednej strany na druhú s opačnými znamienkami; násobenie alebo delenie oboch častí rovnice rovnakým výrazom (číslom) iným ako nula. Lineárna rovnica s jednou neznámou je rovnica v tvare: ax+b=0, kde aab sú známe čísla a x je neznáma hodnota. Sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi majú tvar: Kde a, b, c, d, e, f sú dané čísla; x, y sú neznáme. Čísla a, b, c, d - koeficienty pre neznáme; e, f - voľní členovia. Riešenie tejto sústavy rovníc možno nájsť dvoma hlavnými metódami: substitučnou metódou: z jednej rovnice vyjadríme jednu neznámu cez koeficienty a druhú neznámu a potom ju dosadíme do druhej rovnice, čím vyriešime poslednú rovnicu. , najprv nájdeme jednu neznámu, potom nájdenú hodnotu dosadíme do prvej rovnice a nájdeme druhú neznámu; metóda sčítania alebo odčítania jednej rovnice od druhej. Operácie s koreňmi: Aritmetický koreň n-tého stupňa nezáporného čísla a je nezáporné číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná a. Algebraický koreň n-tého stupňa z daného čísla je množinou všetkých koreňov z tohto čísla. Iracionálne čísla na rozdiel od racionálnych nemožno reprezentovať ako obyčajný ireducibilný zlomok tvaru m/n, kde m a n sú celé čísla. Ide o čísla nového typu, ktoré možno vypočítať s akoukoľvek presnosťou, ale nemožno ich nahradiť racionálnym číslom. Môžu sa objaviť ako výsledok geometrických meraní, napríklad: pomer dĺžky uhlopriečky štvorca k dĺžke jeho strany je rovnaký. Kvadratická rovnica je algebraická rovnica druhého stupňa ax2+bx+c=0, kde a, b, c sú dané číselnými alebo abecednými koeficientmi, x je neznáma. Ak všetky členy tejto rovnice vydelíme a, dostaneme x2+px+q=0 - redukovanú rovnicu p=b/a, q=c/a. Jeho korene sa nachádzajú podľa vzorca: Ak b2-4ac>0, potom existujú dva odlišné korene, b2-4ac=0, potom existujú dva rovnaké korene; b2-4ac Rovnice obsahujúce moduly Hlavné typy rovníc obsahujúcich moduly: V matematike je zlomok číslo pozostávajúce z jednej alebo viacerých častí (zlomkov) jednotky. Podľa formy zápisu sa zlomky delia na obyčajné (príklad \frac (5) (8)) a desiatkové (napríklad 123,45). Definícia. Obyčajný zlomok (alebo jednoduchý zlomok) Obyčajný (jednoduchý) zlomok je číslo v tvare \pm\frac(m)(n), kde m a n sú prirodzené čísla. Volá sa číslo m čitateľ tento zlomok a číslo n je jeho menovateľ. Vodorovná alebo lomka označuje znamienko delenia, t.j. \frac(m)(n)=()^m/n=m:n Obyčajné zlomky sa delia na dva typy: vlastné a nevlastné. Definícia. Správne a nesprávne zlomky správne Zlomok sa nazýva, ak je modul v čitateli menší ako modul v menovateli. Napríklad \frac(9)(11) , pretože 9 nesprávne Zlomok sa nazýva, ak je modul čitateľa väčší alebo rovný modulu menovateľa. Takýto zlomok je racionálne číslo, modulo väčšie alebo rovné jednej. Príkladom môžu byť zlomky \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1) Spolu s nesprávnym zlomkom existuje ďalší zápis čísla, ktorý sa nazýva zmiešaný zlomok (zmiešané číslo). Takýto zlomok nie je obyčajný. Definícia. Zmiešaná frakcia (zmiešané číslo) zmiešaná frakcia sa nazýva zlomok zapísaný ako celé číslo a vlastný zlomok a chápe sa ako súčet tohto čísla a zlomku. Napríklad 2\frac(5)(7) (zapísané ako zmiešané číslo) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19 )(7) (nepíše sa ako nesprávny zlomok) Zlomok je len reprezentácia čísla. To isté číslo môže zodpovedať rôznym zlomkom, obyčajným aj desatinným. Utvorme znamienko rovnosti dvoch obyčajných zlomkov. Definícia. Znak rovnosti zlomkov Dva zlomky \frac(a)(b) a \frac(c)(d) sú rovný, ak a\cdot d=b\cdot c . Napríklad \frac(2)(3)=\frac(8)(12), pretože 2\cdot12=3\cdot8 Hlavná vlastnosť zlomku vyplýva zo zadaného znamienka. Nehnuteľnosť. Základná vlastnosť zlomku Ak sa čitateľ a menovateľ daného zlomku vynásobí alebo vydelí rovnakým číslom, ktoré sa nerovná nule, získa sa zlomok rovný danému zlomku. \frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0 Pomocou základnej vlastnosti zlomku môžete nahradiť daný zlomok iným zlomkom, ktorý sa rovná danému, ale s menším čitateľom a menovateľom. Táto substitúcia sa nazýva redukcia frakcií. Napríklad \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (tu sa čitateľ a menovateľ najprv delia 2 a potom ešte 2). Zlomok možno zmenšiť vtedy a len vtedy, ak jeho čitateľ a menovateľ nie sú prvočísla. Ak je čitateľ a menovateľ daného zlomku spoluprvý, potom zlomok nemožno zmenšiť, napríklad \frac(3)(4) je nezredukovateľný zlomok. Pravidlá pre kladné zlomky: Z dvoch frakcií s rovnakými menovateľmičím väčší je zlomok, ktorého čitateľ je väčší. Napríklad \frac(3)(15) Z dvoch frakcií s rovnakými čitateľmi väčší je zlomok, ktorého menovateľ je menší. Napríklad \frac(4)(11)>\frac(4)(13) . Ak chcete porovnať dva zlomky s rôznymi čitateľmi a menovateľmi, musíte previesť oba zlomky tak, aby sa ich menovatelia stali rovnakými. Táto transformácia sa nazýva redukcia zlomkov na spoločného menovateľa. Našu úvahu o tejto téme začneme štúdiom pojmu zlomok ako celku, čo nám poskytne úplnejšie pochopenie významu obyčajného zlomku. Uveďme hlavné pojmy a ich definíciu, naštudujme si tému v geometrickom výklade, t.j. na súradnicovej čiare a tiež definujte zoznam základných akcií so zlomkami. Yandex.RTB R-A-339285-1 Predstavte si predmet pozostávajúci z niekoľkých, úplne rovnakých častí. Môže to byť napríklad pomaranč pozostávajúci z niekoľkých rovnakých plátkov. Definícia 1 Podiel celku alebo podiel je každá z rovnakých častí, ktoré tvoria celý objekt. Je zrejmé, že podiely môžu byť rôzne. Na jasné vysvetlenie tohto tvrdenia si predstavte dve jablká, z ktorých jedno je nakrájané na dve rovnaké časti a druhé na štyri. Je jasné, že veľkosť výsledných podielov pre rôzne jablká sa bude líšiť. Akcie majú svoje názvy, ktoré závisia od počtu akcií, ktoré tvoria celý subjekt. Ak má položka dve časti, potom každá z nich bude definovaná ako jedna druhá časť tejto položky; keď sa predmet skladá z troch častí, potom je každá z nich jedna tretina atď. Definícia 2 Polovicu- jedna druhá časť predmetu. Po tretie- jedna tretina predmetu. Štvrťrok- jedna štvrtina predmetu. Pre skrátenie záznamu bol zavedený tento zápis akcií: polovičný -
12 alebo 1/2; tretí -
1 3 alebo 1/3; jedna štvrtina podielu
1 4 alebo 1/4 a tak ďalej. Častejšie sa používajú záznamy s vodorovnou čiarou. Pojem podiel sa prirodzene rozširuje od objektov k veličinám. Takže môžete použiť zlomky metra (jedna tretina alebo jedna stotina) na meranie malých predmetov ako jednu z jednotiek dĺžky. Podiely iných množstiev možno uplatniť podobným spôsobom. Na opis počtu podielov sa používajú obyčajné zlomky. Uvažujme o jednoduchom príklade, ktorý nám priblíži definíciu obyčajného zlomku. Predstavte si pomaranč pozostávajúci z 12 plátkov. Každý podiel potom bude - jedna dvanástina alebo 1/12. Dva podiely - 2/12; tri podiely - 3/12 atď. Všetkých 12 častí alebo celé číslo by vyzeralo takto: 12/12 . Každý zo záznamov použitých v príklade je príkladom bežného zlomku. Definícia 3 Bežný zlomok je záznam o tlačive
m n alebo m / n , kde m a n sú ľubovoľné prirodzené čísla. Podľa tejto definície môžu byť príkladmi obyčajných zlomkov položky: 4/9,
1134, 91754. A tieto záznamy:
11 5 , 1 , 9 4 , 3 nie sú obyčajné zlomky. čitateľ spoločný zlomok
m n alebo m / n je prirodzené číslo m . menovateľ spoločný zlomok
m n alebo m / n je prirodzené číslo n . Tie. čitateľ je číslo nad čiarou obyčajného zlomku (alebo vľavo od lomky) a menovateľ je číslo pod čiarou (napravo od lomky). Čo znamená čitateľ a menovateľ? Menovateľ obyčajného zlomku udáva, z koľkých podielov pozostáva jedna položka, a čitateľ nám dáva informáciu o tom, koľko takýchto podielov sa berie do úvahy. Napríklad bežný zlomok 7 54 nám naznačuje, že určitý predmet pozostáva z 54 akcií a za protihodnotu sme vzali 7 takýchto akcií. Menovateľ obyčajného zlomku sa môže rovnať jednej. V tomto prípade je možné povedať, že uvažovaný predmet (hodnota) je nedeliteľný, je niečím celistvým. Čitateľ v takomto zlomku bude udávať, koľko takýchto položiek sa vezme, t.j. obyčajný zlomok tvaru m 1 má význam prirodzeného čísla m . Toto tvrdenie slúži ako odôvodnenie rovnosti m 1 = m . Poslednú rovnosť zapíšeme takto: m = m 1 . Dá nám to možnosť použiť akékoľvek prirodzené číslo v tvare obyčajného zlomku. Napríklad číslo 74 je obyčajný zlomok tvaru 74 1 . Definícia 5 Akékoľvek prirodzené číslo m možno zapísať ako obyčajný zlomok, kde menovateľ je jedna: m 1 . Na druhej strane, každý obyčajný zlomok tvaru m 1 môže byť reprezentovaný prirodzeným číslom m . Vyššie uvedené znázornenie daného objektu ako n akcií nie je nič iné ako rozdelenie na n rovnakých častí. Keď je objekt rozdelený na n častí, máme možnosť rozdeliť ho rovným dielom medzi n ľudí – každý dostane svoj podiel. V prípade, že na začiatku máme m identických objektov (každý rozdelený na n častí), potom týchto m objektov možno rovnomerne rozdeliť medzi n ľudí, pričom každému z nich pripadne jeden podiel z každého z m objektov. V tomto prípade bude mať každá osoba m podielov 1 n a m podielov 1 n dá obyčajný zlomok m n . Preto spoločný zlomok m n možno použiť na vyjadrenie rozdelenia m položiek medzi n ľudí. Výsledný výrok vytvára spojenie medzi obyčajnými zlomkami a delením. A tento vzťah možno vyjadriť nasledovne :
znakom delenia je možné myslieť čiaru zlomku, t.j. m/n=m:n. Pomocou obyčajného zlomku vieme zapísať výsledok delenia dvoch prirodzených čísel. Napríklad rozdelenie 7 jabĺk 10 ľuďmi bude napísané ako 7 10: každý dostane sedem desatín. Logickým krokom je porovnávanie obyčajných zlomkov, pretože je zrejmé, že napríklad 1 8 jablka je iné ako 7 8 . Výsledok porovnávania obyčajných zlomkov môže byť: rovnaký alebo nerovnaký. Definícia 6 Rovné spoločné zlomky sú obyčajné zlomky a b a c d , pre ktoré platí rovnosť: a d = b c . Nerovnaké bežné zlomky- obyčajné zlomky a b a c d , pre ktoré neplatí rovnosť: a · d = b · c. Príklad rovnakých zlomkov: 1 3 a 4 12 - pretože rovnosť 1 12 \u003d 3 4 je pravdivá. V prípade, že sa ukáže, že zlomky sa nerovnajú, treba väčšinou aj zistiť, ktorý z daných zlomkov je menší a ktorý väčší. Na zodpovedanie týchto otázok sa porovnávajú bežné zlomky tak, že sa privedú k spoločnému menovateľovi a potom sa porovnajú čitateľa. Každý zlomok je záznamom zlomkového čísla, ktoré je v skutočnosti len „škrupinou“, vizualizáciou sémantického zaťaženia. Pre pohodlie však kombinujeme pojmy zlomok a zlomkové číslo, jednoducho povedané - zlomok. Všetky zlomkové čísla, ako každé iné číslo, majú svoje vlastné jedinečné umiestnenie na súradnicovom lúči: medzi zlomkami a bodmi na súradnicovom lúči existuje zhoda jedna k jednej. Aby sme našli bod na súradnicovom lúči, označujúci zlomok m n , je potrebné odložiť m segmentov v kladnom smere od začiatku súradníc, pričom dĺžka každého z nich bude 1 n zlomok jednotkového segmentu. Segmenty možno získať rozdelením jedného segmentu na n identických častí. Ako príklad si označme bod M na súradnicovom lúči, ktorý zodpovedá zlomku 14 10 . Dĺžka úsečky, ktorej konce je bod O a najbližší bod označený malým ťahom, sa rovná 1 10 zlomkom jednotkovej úsečky. Bod zodpovedajúci zlomku 14 10 sa nachádza vo vzdialenosti 14 takýchto segmentov od začiatku. Ak sú zlomky rovnaké, t.j. zodpovedajú rovnakému zlomkovému číslu, potom tieto zlomky slúžia ako súradnice toho istého bodu na súradnicovom lúči. Napríklad súradnice vo forme rovnakých zlomkov 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 zodpovedajú rovnakému bodu na súradnicovom lúči, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti tretiny segmentu jednotky, odloženého od pôvod v pozitívnom smere. Funguje tu rovnaký princíp ako pri celých číslach: na vodorovnom lúči súradníc nasmerovanom doprava bude bod, ktorému zodpovedá veľký zlomok, umiestnený napravo od bodu, ktorému zodpovedá menší zlomok. A naopak: bod, ktorého súradnica je menší zlomok, bude umiestnený naľavo od bodu, ktorý zodpovedá väčšej súradnici. Rozdelenie zlomkov na vlastné a nevlastné je založené na porovnaní čitateľa a menovateľa v rámci toho istého zlomku. Definícia 7 Správny zlomok je obyčajný zlomok, v ktorom je čitateľ menší ako menovateľ. Teda ak nerovnosť m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной. Nesprávny zlomok je zlomok, ktorého čitateľ je väčší alebo rovný menovateľovi. To znamená, že ak je nedefinovaná nerovnosť pravdivá, potom obyčajný zlomok m n je nevlastný. Tu je niekoľko príkladov: - správne zlomky: Príklad 1 5 / 9 , 3 67 , 138 514 ; Nesprávne zlomky: Príklad 2 13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 . Je tiež možné uviesť definíciu vlastných a nevlastných zlomkov na základe porovnania zlomku s jednotkou. Definícia 8 Správny zlomok je bežný zlomok, ktorý je menší ako jedna. Nesprávny zlomok je spoločný zlomok rovný alebo väčší ako jedna. Správny je napríklad zlomok 8 12, pretože 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 a 1414 = 1. Poďme trochu hlbšie do úvahy, prečo sa zlomky, v ktorých je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi, nazývajú „nevlastné“. Zoberme si nesprávny zlomok 8 8: hovorí nám, že sa vezme 8 častí objektu pozostávajúceho z 8 častí. Z dostupných ôsmich podielov teda môžeme poskladať celý objekt, t.j. daný zlomok 8 8 v podstate predstavuje celý objekt: 8 8 \u003d 1. Zlomky, v ktorých sú čitateľ a menovateľ rovnaký, plne nahrádzajú prirodzené číslo 1. Zvážte aj zlomky, v ktorých čitateľ prevyšuje menovateľa: 11 5 a 36 3 . Je jasné, že zlomok 11 5 naznačuje, že z toho môžeme urobiť dva celé predmety a stále z toho bude jedna pätina. Tie. zlomok 11 5 sú 2 predmety a z toho ďalších 1 5. 36 3 je zlomok, čo v podstate znamená 12 celých predmetov. Tieto príklady umožňujú dospieť k záveru, že nesprávne zlomky možno nahradiť prirodzenými číslami (ak je čitateľ deliteľný menovateľom bez zvyšku: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) alebo súčtom prirodzeného čísla a a vlastný zlomok (ak čitateľ nie je deliteľný menovateľom bezo zvyšku: 11 5 = 2 + 1 5). Pravdepodobne preto sa takéto zlomky nazývajú „nesprávne“. Aj tu sa stretávame s jednou z najdôležitejších číselných zručností. Definícia 9 Extrahovanie časti celého čísla z nesprávneho zlomku je nevlastný zlomok zapísaný ako súčet prirodzeného čísla a vlastného zlomku. Všimnite si tiež, že medzi nesprávnymi zlomkami a zmiešanými číslami existuje úzky vzťah. Vyššie sme povedali, že každý obyčajný zlomok zodpovedá kladnému zlomkovému číslu. Tie. obyčajné zlomky sú kladné zlomky. Napríklad zlomky 5 17 , 6 98 , 64 79 sú kladné a keď je potrebné zdôrazniť „kladnosť“ zlomku, zapíše sa pomocou znamienka plus: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 . Ak obyčajnému zlomku priradíme znamienko mínus, tak výsledný záznam bude záznamom záporného zlomkového čísla a v tomto prípade hovoríme o záporných zlomkoch. Napríklad - 8 17 , - 78 14 atď. Kladné a záporné zlomky m n a - m n sú opačné čísla, napríklad zlomky 7 8 a - 7 8 sú opačné. Kladné zlomky, ako všetky kladné čísla vo všeobecnosti, znamenajú sčítanie, zmenu smerom nahor. Záporné zlomky zase zodpovedajú spotrebe, čo je zmena v smere poklesu. Ak vezmeme do úvahy súradnicovú čiaru, uvidíme, že záporné zlomky sa nachádzajú naľavo od referenčného bodu. Body, ktorým zodpovedajú zlomky, ktoré sú opačné (m n a - m n), sú umiestnené v rovnakej vzdialenosti od začiatku súradníc O, ale na jeho opačných stranách. Tu tiež samostatne hovoríme o zlomkoch písaných v tvare 0 n . Takýto zlomok sa rovná nule, t.j. 0 n = 0. Zhrnutím všetkého vyššie uvedeného sme sa dostali k najdôležitejšiemu konceptu racionálnych čísel. Definícia 10 Racionálne čísla je množina kladných zlomkov, záporných zlomkov a zlomkov tvaru 0 n . Uveďme si základné operácie so zlomkami. Vo všeobecnosti je ich podstata rovnaká ako zodpovedajúce operácie s prirodzenými číslami Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter Akcie jednotky a sú zastúpené ako \frac(a)(b). Čitateľ zlomkov (a)- číslo nad čiarou zlomku znázorňujúce počet podielov, na ktoré bola jednotka rozdelená. Menovateľ zlomku (b)- číslo pod čiarou zlomku a ukazujúce, na koľko podielov bola jednotka rozdelená. Skryť reláciu
Ak ad=bc , potom dva zlomky \frac(a)(b) a \frac(c)(d) sa považujú za rovnocenné. Napríklad zlomky sa budú rovnať \frac35 a \frac(9)(15), keďže 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) a \frac(24)(14), keďže 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 . Z definície rovnosti zlomkov vyplýva, že zlomky sa budú rovnať \frac(a)(b) a \frac(am)(bm), keďže a(bm)=b(am) je jasným príkladom využitia asociatívnych a komutatívnych vlastností násobenia prirodzených čísel v akcii. Prostriedky \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- vyzerá takto základná vlastnosť zlomku. Inými slovami, zlomok rovný danému dostaneme vynásobením alebo vydelením čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku rovnakým prirodzeným číslom. Zníženie frakcií je proces nahradenia zlomku, pri ktorom sa nový zlomok rovná pôvodnému, ale s menším čitateľom a menovateľom. Je zvykom zmenšovať zlomky na základe hlavnej vlastnosti zlomku. Napríklad, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(čitateľ a menovateľ sú deliteľné číslom 3); výsledný zlomok môžeme opäť znížiť delením číslom 5, t.j. \frac(15)(20)=\frac 34. neredukovateľný zlomok je zlomok formy \frac 34, kde čitateľ a menovateľ sú relatívne prvočísla. Hlavným účelom redukcie frakcií je urobiť frakciu nezredukovateľnou. Vezmime si ako príklad dva zlomky: \frac(2)(3) a \frac(5)(8) s rôznymi menovateľmi 3 a 8 . Aby sa tieto zlomky dostali k spoločnému menovateľovi a najprv vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku \frac(2)(3) do 8. Dostaneme nasledujúci výsledok: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Potom vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku \frac(5)(8) o 3. Ako výsledok dostaneme: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Pôvodné zlomky sa teda zredukujú na spoločného menovateľa 24. a) Pri rovnakých menovateľoch sa čitateľ prvého zlomku pridá k čitateľovi druhého zlomku, pričom menovateľ zostane rovnaký. Ako je vidieť v príklade: \frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b); b) S rôznymi menovateľmi sa zlomky najskôr zredukujú na spoločného menovateľa a potom sa pridajú čitatelia podľa pravidla a): \frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12). a) S rovnakými menovateľmi odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku, pričom menovateľ zostane rovnaký: \frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b); b) Ak sú menovatelia zlomkov rozdielne, najskôr sa zlomky zredukujú na spoločného menovateľa a potom sa zopakujú kroky ako v odseku a). Násobenie zlomkov sa riadi nasledujúcim pravidlom: \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d), to znamená, že vynásobte čitateľov a menovateľov oddelene. Napríklad: \frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40). Frakcie sa delia nasledujúcim spôsobom: \frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc), to je zlomok \frac(a)(b) vynásobený zlomkom \frac(d)(c). Príklad: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2). Ak ab=1, potom číslo b je spätné číslo pre číslo a. Príklad: pre číslo 9 je to naopak \frac(1)(9), pretože 9 \cdot \frac(1)(9)=1, pre číslo 5 - \frac(1)(5), pretože 5 \cdot \frac(1)(5)=1. Desatinné je vlastný zlomok, ktorého menovateľ je 10, 1000, 10\000, ..., 10^n . Napríklad: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044. Rovnakým spôsobom sa píšu nesprávne čísla s menovateľom 10 ^ n alebo zmiešané čísla. Napríklad: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63. Vo forme desatinného zlomku je znázornený každý obyčajný zlomok s menovateľom, ktorý je deliteľom určitej mocniny čísla 10. Príklad: 5 je deliteľ 100, teda zlomok \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2. Ak chcete pridať dva desatinné zlomky, musíte ich usporiadať tak, aby sa rovnaké číslice a čiarka pod čiarkou objavili pod sebou, a potom zlomky pridajte ako obyčajné čísla. Funguje to rovnako ako sčítanie. Pri násobení desatinných čísel stačí dané čísla vynásobiť, čiarky ignorovať (ako prirodzené čísla) a v prijatej odpovedi čiarka vpravo oddelí toľko číslic, koľko je za desatinnou čiarkou v oboch faktoroch spolu. . Urobme vynásobenie čísla 2,7 číslom 1,3. Máme 27 \cdot 13=351 . Dve číslice sprava oddeľujeme čiarkou (prvé a druhé číslo má jednu číslicu za desatinnou čiarkou; 1+1=2). Vo výsledku dostaneme 2,7 \cdot 1,3=3,51 . Ak je výsledkom menej číslic, ako je potrebné oddeliť čiarkou, chýbajúce nuly sa napíšu dopredu, napríklad: Ak chcete násobiť 10, 100, 1000 v desatinnom zlomku, posuňte čiarku o 1, 2, 3 číslice doprava (v prípade potreby sa vpravo priradí určitý počet núl). Napríklad: 1,47 \cdot 10\,000 = 14,700 . Delenie desatinného zlomku prirodzeným číslom sa robí rovnakým spôsobom ako delenie prirodzeného čísla prirodzeným číslom. Čiarka v súkromí sa umiestni po dokončení delenia celej časti. Ak je celočíselná časť dividendy menšia ako deliteľ, odpoveď je nula celých čísel, napríklad: Zvážte delenie desatinného miesta desatinným číslom. Povedzme, že potrebujeme deliť 2,576 číslom 1,12. V prvom rade vynásobíme deliteľa a deliteľa zlomku číslom 100, čiže čiarku v delenci a deliteľovi posunieme doprava o toľko znakov, koľko je v deliteľovi za desatinnou čiarkou (v tomto príklade , dva). Potom musíte rozdeliť zlomok 257,6 prirodzeným číslom 112, to znamená, že problém sa zredukuje na už uvažovaný prípad: Stáva sa, že konečný desatinný zlomok nie je vždy získaný pri delení jedného čísla druhým. Výsledkom je nekonečné desatinné číslo. V takýchto prípadoch prejdite na bežné zlomky. 2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1) (9).Pozitívne a negatívne zlomky
Akcie so zlomkami
1 - zvyšok (čitateľ zlomkovej časti),
5 je menovateľ.Akcie so zlomkami
Napríklad:
Napríklad: 
Desatinné vlastnosti
Operácie s desatinnými miestami
Napríklad:
Napríklad: 
Napríklad:
Vlastnosti absolútnej hodnoty
, pre ktoré platia vlastnosti: 
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, kde f(x), g(x), fk(x), gk(x) sú dané funkcie.
Akcie celku
Bežné zlomky, definícia a príklady
Čitateľ a menovateľ
Definícia 4 Prirodzené číslo ako zlomok s menovateľom 1
Zlomkový stĺpec ako deliaci znak
Rovné a nerovnaké spoločné zlomky
Zlomkové čísla
Vlastné a nevlastné zlomky, definície, príklady
Pozitívne a negatívne zlomky
Akcie so zlomkami
Základná vlastnosť zlomku
Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi
Aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami
Sčítanie obyčajných zlomkov
Odčítanie obyčajných zlomkov
Násobenie obyčajných zlomkov
Delenie obyčajných zlomkov
Recipročné čísla
Desatinné čísla
Aritmetické operácie s desatinnými zlomkami
Pridávanie desatinných miest
Odčítanie desatinných miest
Desatinné násobenie
Desatinné delenie
.png)
.png)
