Každá aritmetická operácia sa niekedy stáva príliš ťažkopádnou na zaznamenávanie a snažia sa ju zjednodušiť. Kedysi to tak bolo aj s operáciou sčítania. Bolo potrebné, aby ľudia vykonávali opakované pridávanie rovnakého typu, napríklad vypočítať náklady na sto perzských kobercov, ktorých cena je 3 zlaté mince za každý. 3+3+3+…+3 = 300. Kvôli ťažkopádnosti bolo vynájdené zredukovať zápis na 3 * 100 = 300. V skutočnosti zápis „tri krát sto“ znamená, že musíte vziať sto trojčatá a sčítajte ich. Násobenie sa zakorenilo a získalo všeobecnú popularitu. Svet však nestojí a v stredoveku bolo potrebné vykonať opakované množenie rovnakého typu. Spomínam si na starú indiánsku hádanku o múdrom mužovi, ktorý si za odmenu za vykonanú prácu pýtal pšeničné zrná v nasledujúcom množstve: za prvú bunku šachovnice pýtal jedno zrno, za druhé dve, tretie štyri. , piaty - osem a tak ďalej. Takto sa objavilo prvé násobenie mocnín, pretože počet zŕn sa rovnal dvom mocnine počtu buniek. Napríklad v poslednej bunke by bolo 2*2*2*…*2 = 2^63 zŕn, čo sa rovná číslu dlhému 18 znakov, čo je v skutočnosti význam hádanky.

Operácia zvyšovania moci sa zakorenila pomerne rýchlo a tiež sa rýchlo stalo nevyhnutnosťou vykonávať sčítanie, odčítanie, delenie a násobenie stupňov. To posledné stojí za zváženie podrobnejšie. Vzorce na sčítanie mocnín sú jednoduché a ľahko zapamätateľné. Okrem toho je veľmi ľahké pochopiť, odkiaľ pochádzajú, ak je výkonová operácia nahradená násobením. Najprv však musíte pochopiť základnú terminológiu. Výraz a ^ b (čítaj „a na mocninu b“) znamená, že číslo a by sa malo samo násobiť b-krát a „a“ sa nazýva základ stupňa a „b“ je exponent. Ak sú základy mocnín rovnaké, potom sú vzorce odvodené celkom jednoducho. Konkrétny príklad: nájdite hodnotu výrazu 2^3 * 2^4. Aby ste vedeli, čo by sa malo stať, mali by ste pred začatím riešenia nájsť odpoveď v počítači. Zadaním tohto výrazu do ľubovoľnej online kalkulačky, vyhľadávača, zadaním „násobenia mocnín s rôznymi základmi a rovnako“ alebo matematického balíka bude výstup 128. Teraz napíšme tento výraz: 2^3 = 2*2*2, a 2^4 = 2*2*2*2. Ukazuje sa, že 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Ukazuje sa, že súčin mocnín s rovnakým základom sa rovná základu umocnenému na mocninu rovnajúcu sa súčtu predchádzajúcich dvoch mocnín.

Možno si myslíte, že ide o nehodu, ale nie: každý iný príklad môže toto pravidlo len potvrdiť. Vo všeobecnosti teda vzorec vyzerá takto: a^n * a^m = a^(n+m) . Existuje tiež pravidlo, že každé číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej. Tu by sme mali pamätať na pravidlo záporných mocnín: a^(-n) = 1 / a^n. To znamená, že ak 2^3 = 8, potom 2^(-3) = 1/8. Pomocou tohto pravidla môžeme dokázať rovnosť a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) môže byť zmenšené a zostáva jedno. Z toho je odvodené pravidlo, že podiel mocnín s rovnakým základom sa rovná tejto základni v miere rovnajúcej sa podielu dividendy a deliteľa: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) . Príklad: Zjednodušte výraz 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Násobenie je komutatívna operácia, takže exponenty násobenia je potrebné najprv sčítať: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Ďalej by ste sa mali zaoberať rozdelením negatívnym stupňom. Od deliteľa je potrebné odpočítať exponent: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. ukazuje sa, že operácia delenia záporným stupňom je totožná s operáciou násobenia podobným kladným exponentom. Takže konečná odpoveď je 8.

Existujú príklady, kde dochádza k nekanonickému násobeniu právomocí. Násobenie síl s rôznymi základmi je veľmi často oveľa ťažšie a niekedy dokonca nemožné. Je potrebné uviesť niekoľko príkladov rôznych možných prístupov. Príklad: zjednodušte výraz 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Je zrejmé, že dochádza k násobeniu mocnín s rôznymi základmi. Treba však poznamenať, že všetky bázy sú rôzne mocniny trojky. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Pomocou pravidla (a^n) ^m = a^(n*m) by ste mali výraz prepísať do vhodnejšieho tvaru: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Odpoveď: 3^11. V prípadoch, keď existujú rôzne základy, pravidlo a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n funguje pre rovnaké ukazovatele. Napríklad 3^3 * 7^3 = 21^3. V opačnom prípade, keď existujú rôzne základy a ukazovatele, nie je možné vykonať úplné násobenie. Niekedy môžete čiastočne zjednodušiť alebo sa uchýliť k pomoci výpočtovej techniky.

Ak potrebujete zvýšiť konkrétne číslo na mocninu, môžete použiť . Teraz sa na to pozrieme bližšie vlastnosti stupňov.

Exponenciálne čísla otvárajú veľké možnosti, umožňujú nám previesť násobenie na sčítanie a sčítanie je oveľa jednoduchšie ako násobenie.

Napríklad musíme vynásobiť 16 číslom 64. Súčin vynásobenia týchto dvoch čísel je 1024. Ale 16 je 4x4 a 64 je 4x4x4. Takže 16 krát 64 = 4x4x4x4x4, čo je tiež 1024.

Číslo 16 môže byť reprezentované aj ako 2x2x2x2 a 64 ako 2x2x2x2x2x2, a ak vynásobíme, dostaneme opäť 1024.

Teraz použime pravidlo. 16 = 4 2 alebo 2 4, 64 = 4 3 alebo 2 6, zatiaľ čo 1024 = 6 4 = 4 5 alebo 2 10.

Preto je možné náš problém zapísať aj inak: 4 2 x 4 3 = 4 5 alebo 2 4 x 2 6 = 2 10 a zakaždým dostaneme 1024.

Môžeme vyriešiť množstvo podobných príkladov a uvidíme, že násobenie čísel s mocninami sa zníži na sčítanie exponentov, alebo exponent, samozrejme, za predpokladu, že základy faktorov sú rovnaké.

Bez násobenia teda môžeme okamžite povedať, že 2 4 x 2 2 x 2 14 \u003d 2 20.

Toto pravidlo platí aj pri delení čísel mocninami, ale v tomto prípade napr exponent deliteľa sa odpočíta od exponentu dividendy. Teda 2 5:2 3 = 2 2 , čo sa v bežných číslach rovná 32:8=4, teda 2 2 . Poďme si to zhrnúť:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kde m a n sú celé čísla.

Na prvý pohľad by sa to mohlo zdať násobenie a delenie čísel s mocninami nie je príliš pohodlné, pretože najprv musíte číslo znázorniť v exponenciálnom tvare. Nie je ťažké znázorniť čísla 8 a 16 v tejto forme, teda 2 3 a 2 4, ale ako to urobiť s číslami 7 a 17? Alebo čo robiť v tých prípadoch, keď číslo môže byť vyjadrené v exponenciálnom tvare, ale základy exponenciálnych vyjadrení čísel sú veľmi odlišné. Napríklad 8×9 je 2 3 x 3 2, v takom prípade nemôžeme sčítať exponenty. Ani 2 5, ani 3 5 nie je odpoveď, ani odpoveď medzi nimi.

Oplatí sa potom vôbec trápiť touto metódou? Určite to stojí za to. Poskytuje obrovské výhody najmä pri zložitých a časovo náročných výpočtoch.

Sčítanie a odčítanie mocnín

Je zrejmé, že čísla s mocninami možno sčítať ako iné veličiny , a to tak, že ich jeden po druhom pridáte s ich znakmi.

Takže súčet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Súčet a 3 - b n a h5 - d4 je a 3 - b n + h5 - d4.

Odds rovnaké mocniny tých istých premenných možno pridať alebo odčítať.

Takže súčet 2a2 a 3a2 je 5a2.

Je tiež zrejmé, že ak vezmeme dve štvorce a, alebo tri štvorce a, alebo päť štvorcov a.

Ale stupne rôzne premenné a rôzne stupne identické premenné, je potrebné pridať ich pridaním k ich znakom.

Takže súčet 2 a 3 je súčet 2 + a 3 .

Je zrejmé, že druhá mocnina a a kocka a nie sú ani dvojnásobkom druhej mocniny a, ale dvojnásobkom kocky a.

Súčet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odčítanie právomocí sa vykonáva rovnakým spôsobom ako sčítanie, s výnimkou toho, že znaky subtrahendu sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.

alebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobenie moci

Čísla s mocninami je možné násobiť ako iné veličiny tak, že ich napíšete za sebou, či už so znamienkom násobenia alebo bez neho.

Takže výsledkom vynásobenia a 3 b 2 je a 3 b 2 alebo aaabb.

alebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r.

Výsledok v poslednom príklade možno usporiadať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať tvar: a 5 b 5 y 3 .

Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocninami môžeme vidieť, že ak sa akékoľvek dve z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s mocninou rovnajúcou sa súčet stupne pojmov.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tu je 5 mocnina výsledku násobenia, rovná 2 + 3, súčet mocnin členov.

Takže a n .a m = a m+n .

Pre a n sa a berie ako faktor toľkokrát, koľko je mocnina n;

A a m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát sa rovná stupeň m;

Preto, mocniny s rovnakými základmi možno vynásobiť sčítaním exponentov.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

alebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponenty sú − negatívne.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. Dá sa to zapísať ako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ak a + b vynásobíme a - b, výsledkom bude a 2 - b 2: tzn

Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich druhých mocnín.

Ak sa súčet a rozdiel dvoch čísel zvýši na námestie, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.

Takže (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a4-y4)⋅(a4+y4) = a8-y8.

Rozdelenie právomocí

Mocninné čísla možno deliť ako ostatné čísla odčítaním od deliteľa alebo ich umiestnením do zlomkovej formy.

Takže a 3 b 2 delené b 2 je a 3 .

Zápis 5 delený 3 vyzerá ako $\frac $. Ale toto sa rovná 2. V rade čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ľubovoľné číslo možno deliť iným a exponent bude rovný rozdiel ukazovatele deliteľných čísel.

Pri delení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac = a^n$.

alebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí aj pre čísla s negatívne hodnoty stupňa.
Výsledkom delenia a -5 a -3 je -2 .
Tiež $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 alebo $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Násobenie a delenie mocnín je potrebné veľmi dobre ovládať, keďže takéto operácie sú v algebre veľmi využívané.

Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami

1. Znížte exponenty v $\frac $ Odpoveď: $\frac $.

2. Znížte exponenty v $\frac$. Odpoveď: $\frac $ alebo 2x.

3. Znížte exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a priveďte na spoločného menovateľa.
a 2 .a -4 je -2 prvý čitateľ.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je a -1 , spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Znížte exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a priveďte na spoločného menovateľa.
Odpoveď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 alebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 číslom (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a an/y-3.

8. Vydeľte a 4 /y 3 3 /y 2 . Odpoveď: a/y.

stupňa vlastnosti

Pripomíname, že v tejto lekcii rozumieme stupňa vlastnosti s prirodzenými ukazovateľmi a nulou. O stupňoch s racionálnymi ukazovateľmi a ich vlastnostiach sa bude diskutovať na hodinách pre 8. ročník.

Exponent s prirodzeným exponentom má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré vám umožňujú zjednodušiť výpočty v príkladoch exponentov.

Nehnuteľnosť #1
Súčin síl

Pri násobení mocnín s rovnakým základom zostáva základ nezmenený a exponenty sa sčítavajú.

a m a n \u003d a m + n, kde "a" je ľubovoľné číslo a "m", "n" sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Táto vlastnosť mocnín ovplyvňuje aj súčin troch a viacerých mocnín.

• Zjednodušte výraz.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentujte ako diplom.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentujte ako diplom.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Upozorňujeme, že v naznačenej vlastnosti išlo len o násobenie mocnín s rovnakými základmi.. Nevzťahuje sa na ich sčítanie.

Súčet (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5 . To je pochopiteľné, ak
vypočítať (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243

Nehnuteľnosť č. 2
Súkromné ​​tituly

Pri delení mocnín s rovnakým základom zostáva základ nezmenený a od exponentu deliteľa sa odpočítava exponent deliteľa.

• Napíšte podiel ako mocninu
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Vypočítajte.

11 3 – 2 4 2 – 1 = 11 4 = 44
Príklad. Vyriešte rovnicu. Používame vlastnosť čiastkových stupňov.
38: t = 34

Odpoveď: t = 3 4 = 81

Pomocou vlastností č. 1 a č. 2 môžete jednoducho zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.

Príklad. Zjednodušte výraz.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Príklad. Nájdite hodnotu výrazu pomocou stupňov vlastností.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Upozorňujeme, že majetok 2 sa zaoberal iba rozdelením právomocí s rovnakými základmi.

Rozdiel (4 3 −4 2) nemôžete nahradiť 4 1 . Je to pochopiteľné, ak vypočítate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 4 1 = 4

Nehnuteľnosť č. 3
Umocňovanie

Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ mocniny nezmenený a exponenty sa násobia.

(a n) m \u003d a n m, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Pripomíname, že kvocient môže byť reprezentovaný ako zlomok. Preto sa téme povýšenia zlomku na mocnosť budeme venovať podrobnejšie na ďalšej strane.

Ako znásobiť sily

Ako znásobiť sily? Ktoré mocniny možno násobiť a ktoré nie? Ako vynásobíte číslo mocninou?

V algebre môžete nájsť súčin mocnín v dvoch prípadoch:

1) ak tituly majú rovnaký základ;

2) ak majú stupne rovnaké ukazovatele.

Pri násobení mocnín s rovnakým základom musí základ zostať rovnaký a musia sa pridať exponenty:

Pri násobení stupňov s rovnakými ukazovateľmi je možné celkový ukazovateľ vyňať zo zátvoriek:

Zvážte, ako znásobiť právomoci, s konkrétnymi príkladmi.

Jednotka v exponente sa nepíše, ale pri násobení stupňov sa berú do úvahy:

Pri násobení môže byť počet stupňov ľubovoľný. Malo by sa pamätať na to, že pred písmenom nemôžete napísať znak násobenia:

Vo výrazoch sa najskôr vykoná umocňovanie.

Ak potrebujete vynásobiť číslo mocninou, musíte najprv vykonať umocnenie a až potom - násobenie:

Násobenie mocnín s rovnakým základom

Tento videonávod je k dispozícii na základe predplatného

Máte už predplatné? Vstúpiť

V tejto lekcii sa naučíme, ako násobiť mocniny s rovnakým základom. Najprv si pripomenieme definíciu stupňa a sformulujeme vetu o platnosti rovnosti . Potom uvedieme príklady jeho aplikácie na konkrétne čísla a doložíme to. Vetu použijeme aj na riešenie rôznych problémov.

Téma: Stupeň s prírodným indikátorom a jeho vlastnosti

Lekcia: Násobenie mocnín s rovnakými základmi (vzorec)

1. Základné definície

Základné definície:

n- exponent,

— n-tá mocnina čísla.

2. Veta 1

Veta 1. Pre akékoľvek číslo a a akékoľvek prírodné n a k rovnosť je pravda:

Inými slovami: ak a- ľubovoľné číslo; n a k prirodzené čísla, potom:

Preto pravidlo 1:

3. Vysvetlenie úloh

Záver:špeciálne prípady potvrdili správnosť vety č.1. Dokážme to vo všeobecnom prípade, teda pre akýkoľvek a a akékoľvek prírodné n a k.

4. Dôkaz vety 1

Dané číslo a- akýkoľvek; čísla n a k- prirodzené. dokázať:

Dôkaz je založený na definícii stupňa.

5. Riešenie príkladov pomocou 1. vety

Príklad 1: Prezentujte ako diplom.

Na riešenie nasledujúcich príkladov použijeme vetu 1.

a)

6. Zovšeobecnenie 1. vety

Tu je zovšeobecnenie:

7. Riešenie príkladov pomocou zovšeobecnenia 1. vety

8. Riešenie rôznych problémov pomocou 1. vety

Príklad 2: Vypočítajte (môžete použiť tabuľku základných stupňov).

a) (podľa tabuľky)

b)

Príklad 3: Napíšte ako mocninu so základom 2.

a)

Príklad 4: Určite znamienko čísla:

, a - negatívny, pretože exponent na -13 je nepárny.

Príklad 5: Nahraďte ( ) mocninou so základňou r:

Máme, tj.

9. Zhrnutie

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a kol., Algebra 7. 6. vydanie. M.: Osveta. 2010

1. Školský asistent (Zdroj).

1. Vyjadrite ako titul:

a B C d e)

3. Napíšte ako mocninu so základom 2:

4. Určte znamienko čísla:

a)

5. Nahraďte ( ) mocninou čísla so základom r:

a) r4() = r15; b) ( ) r5 = r6

Násobenie a delenie mocnín s rovnakými exponentmi

V tejto lekcii budeme študovať násobenie mocnín s rovnakými exponentmi. Najprv si pripomeňme základné definície a teorémy o násobení a delení mocnín s rovnakými základmi a povýšení mocniny na mocninu. Potom sformulujeme a dokážeme vety o násobení a delení mocnín s rovnakými exponentmi. A potom s ich pomocou vyriešime množstvo typických problémov.

Pripomenutie základných definícií a teorémov

Tu a- základ stupňa

— n-tá mocnina čísla.

Veta 1. Pre akékoľvek číslo a a akékoľvek prírodné n a k rovnosť je pravda:

Pri násobení mocnín s rovnakým základom sa exponenty sčítajú, základ zostáva nezmenený.

Veta 2. Pre akékoľvek číslo a a akékoľvek prírodné n a k, také že n > k rovnosť je pravda:

Pri delení mocnín s rovnakým základom sa exponenty odčítajú a základ zostáva nezmenený.

Veta 3. Pre akékoľvek číslo a a akékoľvek prírodné n a k rovnosť je pravda:

Všetky vyššie uvedené vety sa týkali mocností s rovnakým dôvodov, táto lekcia bude brať do úvahy stupne s rovnakým ukazovatele.

Príklady na násobenie mocnín s rovnakými exponentmi

Zvážte nasledujúce príklady:

Vypíšme výrazy na určenie stupňa.

Záver: Z príkladov to môžete vidieť , ale to treba ešte dokázať. Sformulujeme vetu a dokážeme ju vo všeobecnom prípade, teda pre ľubovoľný a a b a akékoľvek prírodné n.

Vyhlásenie a dôkaz 4. vety

Pre akékoľvek čísla a a b a akékoľvek prírodné n rovnosť je pravda:

Dôkaz Veta 4 .

Podľa definície stupňa:

Takže sme to dokázali .

Na násobenie mocnín s rovnakým exponentom stačí vynásobiť základy a exponent ponechať nezmenený.

Vyhlásenie a dôkaz vety 5

Sformulujeme vetu na delenie mocnín s rovnakými exponentmi.

Pre akékoľvek číslo a a b() a akékoľvek prírodné n rovnosť je pravda:

Dôkaz Veta 5 .

Zapíšme si a podľa definície stupňa:

Výrok viet v slovách

Tak sme to dokázali.

Na rozdelenie stupňov s rovnakými exponentmi na seba stačí rozdeliť jednu základňu druhou a ponechať exponent nezmenený.

Riešenie typických problémov pomocou vety 4

Príklad 1: Vyjadrite sa ako produkt síl.

Na riešenie nasledujúcich príkladov použijeme vetu 4.

Ak chcete vyriešiť nasledujúci príklad, zapamätajte si vzorce:

Zovšeobecnenie vety 4

Zovšeobecnenie vety 4:

Riešenie príkladov pomocou zovšeobecnenej vety 4

Pokračovanie v riešení typických problémov

Príklad 2: Napíšte ako stupeň produktu.

Príklad 3: Napíšte ako mocninu s exponentom 2.

Príklady výpočtov

Príklad 4: Počítajte tým najracionálnejším spôsobom.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. a iné Algebra 7 .M .: Vzdelávanie. 2006

2. Školský asistent (Zdroj).

1. Prítomný ako súčin síl:

a) ; b) ; v) ; G);

2. Napíšte ako stupeň produktu:

3. Napíšte v tvare stupňa s indikátorom 2:

4. Počítajte čo najracionálnejším spôsobom.

Hodina matematiky na tému „Násobenie a delenie právomocí“

Sekcie: Matematika

Pedagogický cieľ:

žiak sa naučí rozlišovať medzi vlastnosťami násobenia a delenia mocnín s prirodzeným exponentom; uplatniť tieto vlastnosti v prípade rovnakých základov;

študent bude mať príležitosť vedieť vykonávať transformácie stupňov s rôznymi základmi a vedieť vykonávať transformácie v kombinovaných úlohách.

Úlohy:

organizovať prácu študentov opakovaním predtým preštudovanej látky;

zabezpečiť úroveň reprodukcie vykonávaním cvičení rôznych typov;

organizovať sebahodnotenie žiakov prostredníctvom testovania.

Jednotky činnosti doktríny: určenie stupňa s prirodzeným indikátorom; zložky stupňa; definícia súkromného; asociatívny zákon násobenia.

I. Organizácia ukážky zvládnutia doterajších vedomostí študentmi. (krok 1)

a) Aktualizácia vedomostí:

2) Formulujte definíciu stupňa s prirodzeným ukazovateľom.

a n \u003d a a a a ... a (n-krát)

b k \u003d b b b b a ... b (k-krát) Svoju odpoveď zdôvodnite.

II. Organizácia sebahodnotenia stážistu podľa stupňa vlastníctva relevantných skúseností. (Krok 2)

Test na samovyšetrenie: (individuálna práca v dvoch verziách.)

A1) Vyjadrite súčin 7 7 7 7 x x x ako mocninu:

A2) Vyjadrite ako súčin stupeň (-3) 3 x 2

A3) Vypočítajte: -2 3 2 + 4 5 3

Počet úloh v teste vyberám v súlade s prípravou úrovne triedy.

Na test dávam kľúč na samotestovanie. Kritériá: vyhovuje-nevyhovuje.

III. Edukačná a praktická úloha (3. krok) + krok 4. (vlastnosti si žiaci sformulujú sami)

vypočítajte: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Zjednodušte: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

V priebehu riešenia úloh 1) a 2) žiaci navrhujú riešenie a ja ako učiteľ organizujem hodinu, aby som našiel spôsob, ako zjednodušiť mocniny pri násobení s rovnakými základmi.

Učiteľ: vymyslite spôsob, ako zjednodušiť mocniny pri násobení s rovnakým základom.

Na klastri sa zobrazí záznam:

Téma hodiny je formulovaná. Násobenie právomocí.

Učiteľ: vymyslite pravidlo na delenie stupňov s rovnakými základmi.

Zdôvodnenie: aké opatrenie kontroluje rozdelenie? a 5: a 3 =? že a 2 a 3 = a 5

Vraciam sa k schéme - zhluk a dopĺňam zápis - ..pri delení odčítajte a dopĺňajte tému hodiny. ...a delenie stupňov.

IV. Komunikácia so študentmi o hraniciach vedomostí (ako minimum a maximum).

Učiteľ: úlohou minima pre dnešnú hodinu je naučiť sa aplikovať vlastnosti násobenia a delenia mocnín s rovnakými základmi a maxima: aplikovať násobenie a delenie spolu.

Napíš na tabuľu am a n = a m + n; a m: a n = a m-n

V. Organizácia štúdia nového materiálu. (krok 5)

a) Podľa učebnice: č. 403 (a, c, e) úlohy s rôznym znením

č. 404 (a, e, f) samostatná práca, potom organizujem vzájomnú kontrolu, odovzdávam kľúče.

b) Pre akú hodnotu m platí rovnosť? a 16 do m \u003d do 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Úloha: vymyslite podobné príklady na delenie.

c) č. 417 písm. a), č. 418 písm. Pasce na študentov: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. Zhrnutie toho, čo sa naučili, vykonanie diagnostickej práce (ktorá povzbudzuje študentov, nie učiteľov, aby si túto tému preštudovali) (krok 6)

diagnostická práca.

Test(umiestnite kľúče na zadnú stranu testu).

Možnosti úlohy: prezentujte v stupňoch kvocient x 15: x 3; predstavujú ako mocninu súčin (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; pre ktoré m je rovnosť a 16 a m = a 32 pravda; nájdite hodnotu výrazu h 0: h 2 s h = 0,2; vypočítajte hodnotu výrazu (5 2 5 0) : 5 2 .

Zhrnutie lekcie. Reflexia. Triedu rozdelím na dve skupiny.

Nájdite argumenty skupiny I: v prospech vedomostí o vlastnostiach stupňa a skupiny II - argumenty, ktoré povedia, že sa bez vlastností zaobídete. Počúvame všetky odpovede, vyvodzujeme závery. V nasledujúcich lekciách môžete ponúknuť štatistické údaje a pomenovať rubriku „Nepasuje mi to do hlavy!“

Priemerný človek zje počas života 32 10 2 kg uhoriek.

Osa je schopná vykonať nepretržitý let 3,2 10 2 km.

Pri praskaní skla sa trhlina šíri rýchlosťou asi 5 10 3 km/h.

Žaba zožerie za svoj život viac ako 3 tony komárov. Pomocou stupňa napíšte v kg.

Najplodnejšia je oceánska ryba – mesiac (Mola mola), ktorá na jeden výter nakladie až 300 000 000 ikier s priemerom okolo 1,3 mm. Napíšte toto číslo pomocou stupňa.

VII. Domáca úloha.

Odkaz na históriu. Aké čísla sa nazývajú Fermatove čísla.

S.19. #403, #408, #417

Použité knihy:

Učebnica "Algebra-7", autori Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk a ďalší.

Didaktický materiál pre 7. ročník, L.V. Kuznecovová, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Encyklopédia matematiky.

Časopis "Quantum".

Vlastnosti stupňov, formulácie, dôkazy, príklady.

Po určení stupňa čísla je logické hovoriť stupňa vlastnosti. V tomto článku uvedieme základné vlastnosti stupňa čísla, pričom sa dotkneme všetkých možných exponentov. Tu uvedieme dôkazy o všetkých vlastnostiach stupňa a tiež ukážeme, ako sa tieto vlastnosti uplatňujú pri riešení príkladov.

Navigácia na stránke.

Vlastnosti stupňov s prirodzenými ukazovateľmi

Podľa definície mocniny s prirodzeným exponentom je mocnina a n súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a . Na základe tejto definície a používania vlastnosti násobenia reálnych čísel, môžeme získať a zdôvodniť nasledovné vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom:

hlavná vlastnosť stupňa a m ·a n =a m+n , jeho zovšeobecnenie a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

vlastnosť čiastkových mocnín s rovnakými základmi a m:a n =a m−n ;

vlastnosť stupňa produktu (a b) n =a n b n, jeho rozšírenie (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n ;

podielová vlastnosť v naturáliách (a:b) n =a n:b n ;

umocnenie (a m) n =a m n, jeho zovšeobecnenie (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

porovnanie stupňa s nulou:

• ak a>0 , potom a n >0 pre ľubovoľné prirodzené n ;
• ak a=0, potom an=0;
• ak a 2 m >0 , ak a 2 m−1 n ;
• ak m a n sú prirodzené čísla také, že m>n , potom pre 0m n a pre a>0 platí nerovnosť a m >a n.

Okamžite si všimneme, že všetky písomné rovnosti sú identické za stanovených podmienok a ich pravú a ľavú časť možno zameniť. Napríklad hlavná vlastnosť zlomku a m a n = a m + n s zjednodušenie výrazovčasto sa používa v tvare a m+n = a m a n .

Teraz sa pozrime na každý z nich podrobne.

Začnime vlastnosťou súčinu dvoch mocnín s rovnakými základmi, ktorá je tzv hlavná vlastnosť stupňa: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m ·a n =a m+n.

Dokážme hlavnú vlastnosť stupňa. Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom možno súčin mocnín s rovnakými základmi tvaru a m a n zapísať ako súčin . Vďaka vlastnostiam násobenia možno výsledný výraz zapísať ako a tento súčin je mocninou a s prirodzeným exponentom m+n , teda a m+n . Tým je dôkaz hotový.

Uveďme príklad, ktorý potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa. Zoberme stupne s rovnakými základmi 2 a prirodzenými mocnosťami 2 a 3, podľa hlavnej vlastnosti stupňa môžeme napísať rovnosť 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Skontrolujeme jeho platnosť, pre ktorú vypočítame hodnoty výrazov 2 2 ·2 3 a 2 5 . Pri umocňovaní máme 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 a 2 5 =2 2 2 2 2=32, keďže dostaneme rovnaké hodnoty, potom rovnosť 2 2 2 3 = 2 5 je pravdivé a potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa.

Hlavná vlastnosť stupňa založená na vlastnostiach násobenia sa dá zovšeobecniť na súčin troch alebo viacerých mocnín s rovnakými základňami a prirodzenými exponentmi. Takže pre ľubovoľný počet k prirodzených čísel n 1 , n 2 , …, n k platí rovnosť a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Napríklad (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 = (2.1) 17 .

Môžete prejsť na ďalšiu vlastnosť stupňov s prirodzeným indikátorom - vlastnosť čiastkových právomocí s rovnakými základmi: pre ľubovoľné nenulové reálne číslo a a ľubovoľné prirodzené čísla m a n spĺňajúce podmienku m>n platí rovnosť a m:a n =a m−n.

Pred poskytnutím dôkazu o tejto vlastnosti diskutujme o význame dodatočných podmienok vo vyhlásení. Podmienka a≠0 je nevyhnutná, aby sme sa vyhli deleniu nulou, keďže 0 n = 0, a keď sme sa s delením oboznámili, zhodli sme sa, že nulou sa deliť nedá. Podmienka m>n je zavedená preto, aby sme neprekročili prirodzené exponenty. Pre m>n je exponent a m−n prirodzené číslo, inak bude buď nula (čo sa stane, keď m−n), alebo záporné číslo (čo sa stane, keď m m−n a n =a (m−n) + n = a m Zo získanej rovnosti a m−n a n = a m a zo vzťahu násobenia s delením vyplýva, že a m−n je parciálna mocnina a m a a n To dokazuje vlastnosť parciálnych mocnin s rovnakými základmi.

Vezmime si príklad. Vezmime si dva stupne s rovnakými základňami π a prirodzenými exponentmi 5 a 2, uvažovaná vlastnosť stupňa zodpovedá rovnosti π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Teraz zvážte vlastnosť stupňa produktu: prirodzený stupeň n súčinu ľubovoľných dvoch reálnych čísel a a b sa rovná súčinu stupňov a n a b n , teda (a b) n =a n b n .

Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom máme . Posledný súčin, založený na vlastnostiach násobenia, možno prepísať ako , čo sa rovná a n b n .

Tu je príklad: .

Táto vlastnosť sa rozširuje na stupeň súčinu troch alebo viacerých faktorov. To znamená, že vlastnosť prirodzeného stupňa n súčinu k faktorov sa zapíše ako (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·...·a k n .

Pre názornosť si túto vlastnosť ukážeme na príklade. Pre súčin troch faktorov s mocninou 7 máme .

Ďalšou vlastnosťou je prírodná vlastnosť: podiel reálnych čísel a a b , b≠0 k prirodzenej mocnine n sa rovná podielu mocnín a n a b n , teda (a:b) n =a n:b n .

Dôkaz je možné vykonať pomocou predchádzajúcej vlastnosti. Takže (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n a z rovnosti (a:b) n b n =a n vyplýva, že (a:b) n je podiel a n k b n .

Napíšme túto vlastnosť pomocou príkladu konkrétnych čísel: .

Teraz poďme na hlas vlastnosť umocnenia: pre akékoľvek reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n sa mocnina a m na n rovná mocnine a s exponentom m·n , teda (a m) n =a m·n .

Napríklad (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6 .

Dôkazom mocenskej vlastnosti v určitom stupni je nasledujúci reťazec rovnosti: .

Uvažovaná vlastnosť môže byť rozšírená na stupeň v rámci stupňa v rámci stupňa atď. Napríklad pre akékoľvek prirodzené čísla p, q, r a s je to rovnosť . Pre väčšiu názornosť uveďme príklad s konkrétnymi číslami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Zostáva sa pozastaviť nad vlastnosťami porovnávania stupňov s prirodzeným exponentom.

Začneme dôkazom porovnávacej vlastnosti nuly a mocniny s prirodzeným exponentom.

Najprv zdôvodnime, že a n >0 pre ľubovoľné a>0 .

Súčin dvoch kladných čísel je kladné číslo, ako vyplýva z definície násobenia. Táto skutočnosť a vlastnosti násobenia nám umožňujú tvrdiť, že výsledkom násobenia ľubovoľného počtu kladných čísel bude aj kladné číslo. A mocnina a s prirodzeným exponentom n je podľa definície súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Tieto argumenty nám umožňujú tvrdiť, že pre akúkoľvek kladnú bázu a je stupeň a n kladné číslo. Na základe preukázanej vlastnosti 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 a .

Je celkom zrejmé, že pre každé prirodzené n s a=0 je stupeň a n nulový. Skutočne, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0. Napríklad 0 3 = 0 a 0 762 = 0 .

Prejdime k negatívnym základom.

Začnime prípadom, keď je exponent párne číslo, označme ho ako 2 m , kde m je prirodzené číslo. Potom . Podľa pravidla násobenia záporných čísel sa každý zo súčinov tvaru a a rovná súčinu modulov čísel a a a, čo znamená, že ide o kladné číslo. Preto bude produkt tiež pozitívny. a stupeň a 2 m . Tu sú príklady: (-6) 4 >0, (-2,2) 12 >0 a .

Nakoniec, keď základ a je záporné číslo a exponent je nepárne číslo 2 m−1, potom . Všetky súčiny a·a sú kladné čísla, súčin týchto kladných čísel je tiež kladný a jeho vynásobením zvyšným záporným číslom a vznikne záporné číslo. Na základe tejto vlastnosti je (−5) 3 17 n n súčinom ľavej a pravej časti n skutočných nerovností a vlastnosti nerovníc, pričom dokazovaná nerovnosť má tvar a n n . Napríklad vďaka tejto vlastnosti sú nerovnosti 3 7 7 a .

Zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností mocnín s prirodzenými exponentmi. Poďme to sformulovať. Z dvoch stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a rovnakými kladnými bázami je menej ako jeden stupeň väčší, ktorého ukazovateľ je menší; a dvoch stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a rovnakými základňami väčšími ako jedna, stupeň, ktorého ukazovateľ je väčší, je väčší. Obraciame sa na dôkaz tejto vlastnosti.

Dokážme, že pre m>n a 0m n . Za týmto účelom napíšeme rozdiel a m − a n a porovnáme ho s nulou. Zapísaný rozdiel po vybratí a n zo zátvoriek bude mať tvar a n ·(a m−n −1) . Výsledný súčin je záporný ako súčin kladného čísla a n a záporného čísla a m−n −1 (a n je kladné ako prirodzená mocnina kladného čísla a rozdiel a m−n −1 je záporný, pretože m−n >0 v dôsledku počiatočnej podmienky m>n , z čoho vyplýva, že pre 0m−n je menšia ako jedna). Preto a m − a n m n , čo sa malo dokázať. Napríklad dáme správnu nerovnosť.

Zostáva preukázať druhú časť majetku. Dokážme, že pre m>n a a>1 platí a m >a n. Rozdiel a m −a n po vybratí a n zo zátvoriek nadobúda tvar a n ·(a m−n −1) . Tento súčin je kladný, pretože pre a>1 je stupeň a n kladné číslo a rozdiel a m−n −1 je kladné číslo, keďže m−n>0 v dôsledku počiatočnej podmienky a pre a>1, stupeň a m−n je väčší ako jedna . Preto a m − a n >0 a a m >a n , čo sa malo dokázať. Túto vlastnosť ilustruje nerovnosť 3 7 >3 2 .

Vlastnosti stupňov s celočíselnými exponentmi

Keďže kladné celé čísla sú prirodzené čísla, potom sa všetky vlastnosti mocnín s kladnými celočíselnými exponentmi presne zhodujú s vlastnosťami mocnín s prirodzenými exponentmi uvedenými a dokázanými v predchádzajúcom odseku.

Definovali sme stupeň so záporným celočíselným exponentom, ako aj stupeň s nulovým exponentom, takže všetky vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi vyjadrené rovnosťami zostávajú v platnosti. Preto všetky tieto vlastnosti platia ako pre nulové, tak aj pre záporné exponenty, pričom samozrejme základy stupňov sú nenulové.

Takže pre všetky reálne a nenulové čísla a a b, ako aj pre všetky celé čísla m a n, platí nasledovné vlastnosti stupňov s celočíselnými exponentmi:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m-n;
• (a b) n = a n b n;
• (a:b)n=an:bn;
• (a m) n = a m n;
• ak n je kladné celé číslo, aab sú kladné čísla a a n n a a−n>b−n ;
• ak m a n sú celé čísla a m>n , potom pre 0m n a pre a>1 je splnená nerovnosť a m >a n.

Pre a=0 majú mocniny a m a a n zmysel iba vtedy, keď sú m aj n kladné celé čísla, teda prirodzené čísla. Práve napísané vlastnosti teda platia aj pre prípady, keď a=0 a čísla m a n sú kladné celé čísla.

Nie je ťažké dokázať každú z týchto vlastností, na to stačí použiť definície stupňa s prirodzeným a celočíselným exponentom, ako aj vlastnosti akcií s reálnymi číslami. Ako príklad ukážme, že mocnina platí pre kladné aj nekladné celé čísla. Aby sme to dosiahli, musíme ukázať, že ak p je nula alebo prirodzené číslo a q je nula alebo prirodzené číslo, potom rovnosti (a p) q =a p q, (a −p) q =a (−p) q , (a p) −q =a p (−q) a (a −p) −q =a (−p) (−q) . Poďme na to.

Pre kladné p a q bola v predchádzajúcej podkapitole dokázaná rovnosť (a p) q =a p·q. Ak p=0 , potom máme (a 0) q =1 q =1 a a 0 q =a 0 =1 , odkiaľ (a 0) q =a 0 q . Podobne, ak q=0, potom (a p) 0 = 1 a a p 0 = a 0 = 1, odkiaľ (a p) 0 = a p 0 . Ak p=0 aj q=0, potom (a 0) 0 = 1 0 = 1 a a 0 0 = a 0 = 1, odkiaľ (a 0) 0 = a 0 0 .

Dokážme teraz, že (a −p) q =a (−p) q . Podľa definície stupňa so záporným exponentom celého čísla potom . Vlastnosťou kvocientu v stupni máme . Pretože 1 p =1·1·…·1=1 a , potom . Posledným výrazom je podľa definície mocnina tvaru a −(p q) , ktorú možno na základe pravidiel násobenia zapísať ako a (−p) q .

Podobne .

A .

Rovnakým princípom môžete dokázať všetky ostatné vlastnosti stupňa celočíselným exponentom, zapísaným vo forme rovnosti.

V predposlednej z napísaných vlastností sa oplatí pozastaviť sa nad dôkazom nerovnosti a −n >b −n , čo platí pre akékoľvek záporné celé číslo −n a každé kladné číslo a a b, pre ktoré platí podmienka a . Napíšeme a transformujeme rozdiel medzi ľavou a pravou časťou tejto nerovnosti: . Keďže podľa podmienky a n n , teda b n − a n >0 . Súčin a n ·b n je tiež kladný ako súčin kladných čísel a n a b n . Potom je výsledný zlomok kladný ako podiel kladných čísel b n − a n a a n b n . Odkiaľ teda a −n >b −n , ktoré sa malo dokázať.

Posledná vlastnosť stupňov s celočíselnými exponentmi sa dokazuje rovnakým spôsobom ako analogická vlastnosť stupňov s prirodzenými exponentmi.

Vlastnosti mocnin s racionálnymi exponentmi

Stupeň sme definovali zlomkovým exponentom rozšírením vlastností stupňa o celočíselný exponent. Inými slovami, stupne so zlomkovými exponentmi majú rovnaké vlastnosti ako stupne s celočíselnými exponentmi. menovite:

1. vlastnosť súčinu mocnín s rovnakým základom pre a>0 a ak a , potom pre a≥0;
2. vlastnosť čiastkových mocnín s rovnakými základmi pre a>0;
3. frakčná vlastnosť produktu pre a>0 a b>0, a ak a , potom pre a>0 a (alebo) b>0;
4. podielová vlastnosť na zlomkovú mocninu pre a>0 a b>0, a ak , potom pre a≥0 a b>0;
5. stupeň vlastnosť v stupni pre a>0 a ak a , potom pre a≥0;
6. vlastnosť porovnávania mocnín s rovnakými racionálnymi exponentmi: pre ľubovoľné kladné čísla a a b platí a 0 platí nerovnosť a p p a pre p p >b p ;
7. vlastnosť porovnávania mocnín s racionálnymi exponentmi a rovnakými základmi: pre racionálne čísla p a q platí p>q pre 0p q a pre a>0 nerovnosť a p >a q .

Dôkaz vlastností stupňov so zlomkovými exponentmi je založený na definícii stupňa so zlomkovým exponentom, na vlastnostiach aritmetického koreňa n-tého stupňa a na vlastnostiach stupňa s celočíselným exponentom. Dajme dôkaz.

Podľa definície stupňa so zlomkovým exponentom a , potom . Vlastnosti aritmetického koreňa nám umožňujú zapísať nasledujúce rovnosti. Ďalej pomocou vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom dostaneme , z čoho podľa definície stupňa so zlomkovým exponentom máme , pričom exponent získaného stupňa možno previesť takto: . Tým je dôkaz hotový.

Druhá vlastnosť mocnín so zlomkovými exponentmi sa dokazuje presne tým istým spôsobom:


Ostatné rovnosti sú dokázané podobnými princípmi:


Obraciame sa na dôkaz ďalšej vlastnosti. Dokážme, že pre každé kladné a a b platí a 0 platí nerovnosť a p p a pre p p >b p . Racionálne číslo p zapíšeme ako m/n , kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo. Podmienky p 0 v tomto prípade budú ekvivalentné podmienkam m 0, resp. Pre m>0 a am m . Z tejto nerovnosti podľa vlastnosti koreňov máme , a keďže a a b sú kladné čísla, potom na základe definície stupňa so zlomkovým exponentom možno výslednú nerovnosť prepísať ako , teda a p p .

Podobne, keď m m > b m , odkiaľ , to znamená a p > b p.

Zostáva preukázať poslednú z uvedených vlastností. Dokážme, že pre racionálne čísla p a q platí p>q pre 0p q a pre a>0 nerovnosť a p >a q . Racionálne čísla p a q môžeme vždy zredukovať na spoločného menovateľa, získajme obyčajné zlomky a , kde m 1 a m 2 sú celé čísla a n je prirodzené číslo. V tomto prípade bude podmienke p>q zodpovedať podmienka m 1 >m 2, ktorá vyplýva z pravidla pre porovnávanie obyčajných zlomkov s rovnakými menovateľmi. Potom pomocou vlastnosti porovnávania mocnín s rovnakými bázami a prirodzenými exponentmi pre 0m 1 m 2 a pre a>1 nerovnosť a m 1 >a m 2 . Tieto nerovnosti z hľadiska vlastností koreňov možno prepísať, resp a . A definícia stupňa s racionálnym exponentom nám umožňuje prejsť k nerovnostiam, resp. Odtiaľto vyvodíme konečný záver: pre p>q a 0p q a pre a>0 nerovnosť a p >a q .

Vlastnosti stupňov s iracionálnymi exponentmi

Z toho, ako je definovaný stupeň s iracionálnym exponentom, môžeme usúdiť, že má všetky vlastnosti stupňov s racionálnym exponentom. Takže pre akékoľvek a>0 , b>0 a iracionálne čísla p a q platí nasledovné vlastnosti stupňov s iracionálnymi exponentmi:

1. a p a q = a p + q;
2. a p:a q = a p−q;
3. (ab) p = apbp;
4. (a:b)p=ap:bp;
5. (a p) q = a p q;
6. pre všetky kladné čísla a a b , a 0 platí nerovnosť a p p a pre p p >b p ;
7. pre iracionálne čísla p a q , p>q pre 0p q a pre a>0 nerovnosť a p >a q .

Z toho môžeme usúdiť, že mocniny s ľubovoľnými reálnymi exponentmi p a q pre a>0 majú rovnaké vlastnosti.

• Algebra - 10. ročník. Goniometrické rovnice Lekcia a prezentácia na tému: "Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc" Ďalšie materiály Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály […]
• Bola vyhlásená súťaž na pozíciu „PREDAJCA – KONZULTANT“: Náplň práce: predaj mobilných telefónov a príslušenstva pre službu mobilnej komunikácie pre účastníkov Beeline, Tele2, MTS pripojenie tarifných programov a služieb Beeline a Tele2, MTS […]
• Rovnobežník vzorca A je mnohosten so 6 stranami, z ktorých každá je rovnobežník. Kváder je kváder, ktorého každá plocha je obdĺžnik. Každý rovnobežnosten sa vyznačuje 3 […]
• PRAVOPIS Н A НН V RÔZNYCH ČASŤÁCH REČI 2. Vymenujte výnimky z týchto pravidiel. 3. Ako rozlíšiť slovesné prídavné meno s príponou -n- od príčastia s […]
• KONTROLA GOSTEKHNADZOR BRYANSKÉHO KRAJA Potvrdenie o zaplatení štátnej dane (Stiahnuť-12,2 kb) Žiadosti o registráciu pre fyzické osoby (Stiahnuť-12 kb) Žiadosti o registráciu pre právnické osoby (Stiahnuť-11,4 kb) 1. Pri registrácii nového vozidla: 1.žiadosť 2.pas […]
• Spoločnosť na ochranu práv spotrebiteľov Astana Ak chcete získať PIN kód pre prístup k tomuto dokumentu na našej webovej stránke, pošlite SMS správu s textom zan na číslo Predplatitelia GSM operátorov (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) odoslaním SMS na izbu, […]
• Prijať zákon o rodinných usadlostiach Prijať federálny zákon o bezodplatnom prideľovaní každému ochotnému občanovi Ruská federácia alebo rodina občanov pozemku na usporiadanie Rodovej usadlosti za týchto podmienok: 1. Pozemok je pridelený na […]
• Pivoev V.M. Filozofia a metodológia vedy: učebnica pre magisterských a postgraduálnych študentov Petrozavodsk: Vydavateľstvo PetrSU, 2013. - 320 s. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb […]

Lekcia na tému: "Pravidlá násobenia a delenia mocnín s rovnakými a rôznymi exponentmi. Príklady"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, návrhy. Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 7
Manuál k učebnici Yu.N. Makarycheva Manuál k učebnici A.G. Mordkovič

Účel lekcie: naučiť sa vykonávať operácie s mocninami čísla.

Na začiatok si pripomeňme pojem „moc čísla“. Výraz ako $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ môže byť reprezentovaný ako $a^n$.

Platí to aj naopak: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Táto rovnosť sa nazýva „zaznamenanie stupňa ako produktu“. Pomôže nám to určiť, ako násobiť a deliť právomoci.
Pamätajte:
a- základ stupňa.
n- exponent.
Ak n=1, čo znamená číslo a prijaté raz a v tomto poradí: $a^n= 1$.
Ak n=0, potom $a^0= 1$.

Prečo sa to deje, zistíme, keď sa zoznámime s pravidlami pre násobenie a delenie mocnín.

pravidlá násobenia

a) Ak sa mocniny s rovnakým základom násobia.
Do $a^n * a^m$ zapíšeme mocniny ako súčin: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m) $.
Obrázok ukazuje, že číslo a zobral n+m krát, potom $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Príklad.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Túto vlastnosť je vhodné použiť na zjednodušenie práce pri zvýšení čísla na veľkú moc.
Príklad.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ak sa mocniny vynásobia iným základom, ale rovnakým exponentom.
Do $a^n * b^n$ zapíšeme mocniny ako súčin: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m) $.
Ak zameníme faktory a spočítame výsledné dvojice, dostaneme: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Takže $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Príklad.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

pravidlá rozdelenia

a) Základ stupňa je rovnaký, exponenty sú rôzne.
Zvážte delenie stupňa väčším exponentom delením stupňa menším exponentom.

Takže je to potrebné $\frac(a^n)(a^m)$, kde n>m.

Stupne píšeme ako zlomok:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Pre pohodlie zapisujeme delenie ako jednoduchý zlomok.

Teraz znížme zlomok.

Ukazuje sa: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
znamená, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Táto vlastnosť pomôže vysvetliť situáciu so zvýšením čísla na nulu. Predpokladajme, že n=m, potom $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Príklady.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Základy stupňa sú rôzne, ukazovatele sú rovnaké.
Povedzme, že potrebujete $\frac(a^n)( b^n)$. Mocniny čísel zapíšeme ako zlomok:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Pre pohodlie si to predstavme.

Pomocou vlastnosti zlomkov rozdelíme veľký zlomok na súčin malých, dostaneme.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Podľa toho: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Príklad.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Prvá úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexný sprievodca (2019)

Prečo sú potrebné tituly? Kde ich potrebujete? Prečo by ste mali tráviť čas ich štúdiom?

Ak sa chcete dozvedieť všetko o tituloch, na čo slúžia, ako využiť svoje vedomosti v každodennom živote, prečítajte si tento článok.

A, samozrejme, znalosť titulov vás priblíži k úspešnému absolvovaniu OGE alebo Jednotnej štátnej skúšky a vstupu na univerzitu vašich snov.

Poďme... (Poďme!)

Dôležitá poznámka! Ak namiesto vzorcov vidíte nezmysel, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ak to chcete urobiť, stlačte kombináciu klávesov CTRL + F5 (v systéme Windows) alebo Cmd + R (v systéme Mac).

PRVÁ ÚROVEŇ

Umocňovanie je rovnaká matematická operácia ako sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie.

Teraz všetko vysvetlím ľudskou rečou na veľmi jednoduchých príkladoch. Buď opatrný. Príklady sú elementárne, ale vysvetľujú dôležité veci.

Začnime s pridávaním.

Tu nie je čo vysvetľovať. Už viete všetko: je nás osem. Každý má dve fľaše koly. Koľko koly? Správne - 16 fliaš.

Teraz násobenie.

Rovnaký príklad s kolou možno napísať aj iným spôsobom: . Matematici sú prefíkaní a leniví ľudia. Najprv si všimnú nejaké vzory a potom prídu na spôsob, ako ich rýchlejšie „spočítať“. V našom prípade si všimli, že každý z ôsmich ľudí má rovnaký počet fliaš koly a prišli s technikou zvanou násobenie. Súhlasíte, považuje sa to za jednoduchšie a rýchlejšie ako.

Aby ste teda počítali rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb, stačí si zapamätať násobilku. Samozrejme, všetko sa dá robiť pomalšie, ťažšie a s chybami! Ale…

Tu je tabuľka násobenia. Opakujte.

A ešte jeden, krajší:

A aké ďalšie zložité triky na počítanie vymysleli leniví matematici? správne - zvýšenie čísla na mocninu.

Zvýšenie čísla na mocnosť

Ak potrebujete vynásobiť číslo päťkrát, potom matematici hovoria, že toto číslo musíte zvýšiť na piatu mocninu. Napríklad, . Matematici si pamätajú, že dve až piata mocnina je. A takéto problémy riešia vo svojej mysli – rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb.

K tomu potrebujete iba zapamätajte si, čo je farebne zvýraznené v tabuľke mocnin čísel. Verte mi, výrazne vám to uľahčí život.

Mimochodom, prečo sa volá druhý stupeň námestiečísla a tretie kocka? Čo to znamená? Veľmi dobrá otázka. Teraz budete mať štvorce aj kocky.

Príklad zo skutočného života číslo 1

Začnime druhou mocninou čísla.

Predstavte si štvorcový bazén s rozmermi metrov po metroch. Bazén je vo vašom dvore. Je horúco a ja si chcem naozaj zaplávať. Ale ... bazén bez dna! Dno bazéna je potrebné obložiť dlažbou. Koľko dlaždíc potrebujete? Aby ste to mohli určiť, musíte poznať oblasť dna bazéna.

Škubaním prsta jednoducho spočítate, že dno bazéna pozostáva z kociek meter po metri. Ak sú vaše dlaždice meter na meter, budete potrebovať kusy. Je to jednoduché... Ale kde ste videli takú dlaždicu? Dlaždica bude skôr cm na cm A potom vás bude trápiť „počítanie prstom“. Potom sa musíte množiť. Takže na jednu stranu dna bazéna osadíme dlažbu (kusy) a na druhú tiež dlažbu. Vynásobením získate dlaždice ().

Všimli ste si, že sme vynásobili rovnaké číslo, aby sme určili plochu dna bazéna? Čo to znamená? Keďže sa rovnaké číslo násobí, môžeme použiť techniku ​​umocňovania. (Samozrejme, keď máte len dve čísla, musíte ich ešte vynásobiť alebo umocniť na mocninu. Ak ich však máte veľa, potom je umocnenie oveľa jednoduchšie a vo výpočtoch je tiež menej chýb. Pre skúšku je to veľmi dôležité).
Takže tridsať až druhý stupeň bude (). Alebo môžete povedať, že tridsať štvorcových bude. Inými slovami, druhá mocnina čísla môže byť vždy reprezentovaná ako štvorec. A naopak, ak vidíte štvorec, je to VŽDY druhá mocnina nejakého čísla. Štvorec je obrazom druhej mocniny čísla.

Príklad zo života #2

Tu je úloha pre vás, spočítajte, koľko polí je na šachovnici pomocou druhej mocniny čísla... Na jednej strane buniek a na druhej tiež. Ak chcete spočítať ich počet, musíte vynásobiť osem ôsmimi, alebo ... ak si všimnete, že šachovnica je štvorec so stranou, potom môžete použiť osem. Získajte bunky. () Takže?

Príklad zo života číslo 3

Teraz kocka alebo tretia mocnina čísla. Ten istý bazén. Teraz však musíte zistiť, koľko vody bude potrebné naliať do tohto bazéna. Musíte vypočítať objem. (Mimochodom, objemy a kvapaliny sa merajú v kubických metroch. Nečakané, však?) Nakreslite bazén: dno veľké meter a meter hlboké a skúste vypočítať, koľko kociek meter po metri sa dostane do vášho bazéna.

Stačí ukázať prstom a počítať! Jeden, dva, tri, štyri...dvadsaťdva, dvadsaťtri... Koľko to vyšlo? Nestratili ste sa? Je ťažké počítať prstom? Takže to! Vezmite si príklad od matematikov. Sú leniví, a tak si všimli, že na výpočet objemu bazéna je potrebné navzájom vynásobiť jeho dĺžku, šírku a výšku. V našom prípade sa objem bazéna bude rovnať kockám ... Jednoduchšie, však?

Teraz si predstavte, akí leniví a prefíkaní sú matematici, ak to príliš zjednodušujú. Všetko zredukované na jednu akciu. Všimli si, že dĺžka, šírka a výška sú rovnaké a že to isté číslo sa samo násobí ... A čo to znamená? To znamená, že môžete použiť stupeň. Takže to, čo ste kedysi spočítali prstom, urobia v jednej akcii: tri v kocke sa rovná. Píše sa to takto:

Zostáva len zapamätať si tabuľku stupňov. Ak, samozrejme, nie ste leniví a prefíkaní ako matematici. Ak radi tvrdo pracujete a robíte chyby, môžete ďalej počítať prstom.

Aby sme vás konečne presvedčili, že tituly vymysleli flákači a prefíkaní ľudia, aby riešili svoje životné problémy a nie aby vám robili problémy, tu je ešte pár príkladov zo života.

Príklad zo skutočného života #4

Máte milión rubľov. Na začiatku každého roka zarobíte za každý milión ďalší milión. To znamená, že každý z vašich miliónov sa na začiatku každého roka zdvojnásobí. Koľko peňazí budete mať za roky? Ak teraz sedíte a „počítate prstom“, potom ste veľmi pracovitý človek a .. hlúpy. Ale s najväčšou pravdepodobnosťou odpoviete za pár sekúnd, pretože ste šikovný! Takže v prvom roku - dva krát dva ... v druhom roku - čo sa stalo, o dva viac, v treťom roku ... Stop! Všimli ste si, že číslo sa raz vynásobí samo. Takže dve ku piatej mocnine je milión! Teraz si predstavte, že máte súťaž a ten, kto počíta rýchlejšie, dostane tieto milióny ... Oplatí sa zapamätať si stupne čísel, čo myslíte?

Príklad zo skutočného života číslo 5

Máte milión. Na začiatku každého roka zarobíte za každý milión o dva viac. Je to skvelé, že? Každý milión sa strojnásobí. Koľko peňazí budete mať za rok? Poďme počítať. Prvý rok - vynásobte, potom výsledok ďalším ... Už je to nuda, pretože ste už všetko pochopili: tri sa násobí krát. Štvrtá mocnina je teda milión. Len si treba uvedomiť, že tri až štvrtá mocnina je alebo.

Teraz už viete, že zvýšením čísla na mocninu si výrazne uľahčíte život. Poďme sa ďalej pozrieť na to, čo môžete robiť s titulmi a čo o nich potrebujete vedieť.

Pojmy a pojmy ... aby nedošlo k zámene

Najprv si teda definujme pojmy. Co si myslis, čo je exponent? Je to veľmi jednoduché – ide o číslo, ktoré je „navrchu“ mocniny čísla. Nie je to vedecké, ale jasné a ľahko zapamätateľné ...

No zároveň čo taký základ titulu? Ešte jednoduchšie je číslo, ktoré je dole, na základni.

Tu je obrázok, aby ste si boli istí.

No, vo všeobecnosti, aby sme si to lepšie zovšeobecnili a zapamätali ... Titul so základom "" a indikátorom "" sa číta ako "v stupni" a píše sa takto:

Mocnina čísla s prirodzeným exponentom

Pravdepodobne ste už uhádli: pretože exponent je prirodzené číslo. Áno, ale čo je prirodzené číslo? Základné! Prirodzené čísla sú tie, ktoré sa používajú pri počítaní pri uvádzaní položiek: jeden, dva, tri ... Keď počítame položky, nehovoríme: „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“. Nehovoríme ani „jedna tretina“ alebo „nula päť desatín“. Nie sú to prirodzené čísla. Aké sú podľa vás tieto čísla?

Čísla ako „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“ označujú celé čísla. Vo všeobecnosti celé čísla zahŕňajú všetky prirodzené čísla, čísla opačné k prirodzeným číslam (t. j. brané so znamienkom mínus) a číslo. Nula je ľahko pochopiteľná - vtedy nie je nič. A čo znamenajú záporné („mínusové“) čísla? Boli však vynájdené predovšetkým na označenie dlhov: ak máte na telefóne zostatok v rubľoch, znamená to, že dlhujete operátorovi v rubľoch.

Všetky zlomky sú racionálne čísla. Ako vznikli, čo myslíte? Veľmi jednoduché. Pred niekoľkými tisíckami rokov naši predkovia zistili, že nemajú dostatok prirodzených čísel na meranie dĺžky, hmotnosti, plochy atď. A prišli na to racionálne čísla... Zaujímavé, však?

Existujú aj iracionálne čísla. Aké sú tieto čísla? Skrátka nekonečný desatinný zlomok. Ak napríklad vydelíte obvod kruhu jeho priemerom, dostanete iracionálne číslo.

Zhrnutie:

Definujme si pojem stupeň, ktorého exponentom je prirodzené číslo (teda celé a kladné).

1. Akékoľvek číslo s prvou mocninou sa rovná samému sebe:
2. Odmocniť číslo znamená vynásobiť ho samo sebou:
3. Kockovať číslo znamená vynásobiť ho trikrát:

Definícia. Zvýšiť číslo na prirodzenú mocninu znamená vynásobiť číslo samo sebou krát:
.

Vlastnosti stupňa

Odkiaľ sa tieto vlastnosti vzali? Teraz ti to ukážem.

Pozrime sa, čo je a ?

Podľa definície:

Koľko násobiteľov je celkovo?

Je to veľmi jednoduché: k faktorom sme pridali faktory a výsledkom sú faktory.

Ale podľa definície ide o stupeň čísla s exponentom, teda: , ktorý bolo potrebné dokázať.

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie:

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie: Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle nevyhnutne musí to byť rovnaký dôvod!
Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:

len pre produkty síl!

V žiadnom prípade to nepíš.

2. teda -tá mocnina čísla

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:

Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať?

Ale to nie je pravda, naozaj.

Titul so záporným základom

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, aký by mal byť exponent.

Čo by však malo byť základom?

V stupňoch od prirodzený indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo. V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne.

Zamyslime sa nad tým, aké znamienka ("" alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? ALE? ? Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda, resp. Ale ak to vynásobíme, vyjde to.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli ste to?

Tu sú odpovede: Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny.

Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý!

6 príkladov z praxe

Rozbor riešenia 6 príkladov

Ak nevenujeme pozornosť ôsmemu stupňu, čo tu vidíme? Poďme sa pozrieť na program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je skrátený vzorec násobenia, konkrétne rozdiel štvorcov! Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by sa vymenili, mohlo by platiť pravidlo.

Ale ako na to? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť.

Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

celý pomenúvame prirodzené čísla, ich protiklady (teda brané so znamienkom "") a číslo.

kladné celé číslo, a nelíši sa od prirodzeného, ​​potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej:

Ako vždy si kladieme otázku: prečo je to tak?

Zvážte nejakú silu so základňou. Vezmite si napríklad a vynásobte:

Takže sme číslo vynásobili a dostali sme rovnaké ako -. Aké číslo treba vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:

Zopakujme si pravidlo:

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej.

Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).

Na jednej strane sa musí rovnať ľubovoľnému stupňu – nech už nulu vynásobíte akokoľvek, stále dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo na nulový stupeň, musí sa rovnať. Aká je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezasahovať a odmietli zvýšiť nulu na nulovú mocninu. To znamená, že teraz môžeme nielen deliť nulou, ale aj zvýšiť na nulovú mocninu.

Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel zahŕňajú celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporný stupeň, urobme to isté ako naposledy: vynásobíme nejaké normálne číslo tým istým v zápornom stupni:

Odtiaľ je už ľahké vyjadriť želané:

Teraz rozšírime výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo k zápornej mocnine je prevrátená hodnota rovnakého čísla ku kladnej mocnine. Ale v rovnakom čase základ nemôže byť null:(pretože sa to nedá rozdeliť).

Poďme si to zhrnúť:

I. Výraz nie je definovaný v prípade písmen. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej: .

III. Číslo, ktoré sa nerovná nule k zápornej mocnine, je inverznou hodnotou rovnakého čísla k kladnej mocnine: .

Úlohy na samostatné riešenie:

Ako obvykle, príklady pre nezávislé riešenie:

Analýza úloh pre samostatné riešenie:

Viem, viem, čísla sú strašidelné, ale na skúške musíte byť pripravení na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo rozoberte ich riešenie, ak ste to nevedeli vyriešiť a na skúške sa naučíte, ako si s nimi jednoducho poradiť!

Pokračujme v rozširovaní rozsahu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz zvážte racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla, navyše.

Aby ste pochopili, čo je "zlomkový stupeň" Zoberme si zlomok:

Uveďme obe strany rovnice na mocninu:

Teraz si zapamätajte pravidlo "od stupňa k stupňu":

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?

Táto formulácia je definíciou koreňa t. stupňa.

Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.

To znamená, že koreň tého stupňa je inverzná operácia umocňovania: .

Ukazuje sa, že. Je zrejmé, že tento špeciálny prípad môže byť rozšírený: .

Teraz pridajte čitateľa: čo to je? Odpoveď je ľahké získať pomocou pravidla výkonu na výkon:

Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadne!

Pamätajte na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že nie je možné extrahovať korene párneho stupňa zo záporných čísel!

A to znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.

A čo vyjadrovanie?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť reprezentované ako iné, zmenšené zlomky, napr.

A ukázalo sa, že existuje, ale neexistuje, a to sú len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.

Alebo iný príklad: raz, potom si to môžete zapísať. Ale akonáhle napíšeme indikátor iným spôsobom, opäť dostaneme problém: (to znamená, že sme dostali úplne iný výsledok!).

Aby ste sa vyhli takýmto paradoxom, zvážte iba kladný základný exponent so zlomkovým exponentom.

Takže ak:

• - prirodzené číslo;
• je celé číslo;

Príklady:

Mocniny s racionálnym exponentom sú veľmi užitočné pri transformácii výrazov s koreňmi, napríklad:

5 príkladov z praxe

Rozbor 5 príkladov na tréning

No, teraz - najťažšie. Teraz budeme analyzovať stupňa s iracionálnym exponentom.

Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupne s racionálnym exponentom, s výnimkou

Podľa definície sú iracionálne čísla čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch.

Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;

...nulový výkon- je to akoby číslo raz vynásobené samo sebou, to znamená, že sa ešte nezačalo násobiť, čiže samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda len určitá „príprava“. číslo“, menovite číslo;

...záporný exponent celého čísla- je to, ako keby sa uskutočnil určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.

Mimochodom, veda často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo.

Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

KAM SOM SI ISTÝ, ŽE PÔJDETE! (ak sa naucis riesit taketo priklady :))

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Analýza riešení:

1. Začnime s už zaužívaným pravidlom pre zvyšovanie titulu na stupeň:

Teraz sa pozrite na skóre. Pripomína ti niečo? Pripomíname si vzorec na skrátené násobenie rozdielu štvorcov:

AT tento prípad,

Ukazuje sa, že:

odpoveď: .

2. Zlomky v exponentoch privedieme do rovnakého tvaru: buď oba desiatkové alebo oba obyčajné. Dostaneme napríklad:

odpoveď: 16

3. Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Definícia stupňa

Stupeň je vyjadrením tvaru: , kde:

• — základ titulu;
• - exponent.

Stupeň s prirodzeným exponentom (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:

Mocnina s celočíselným exponentom (0, ±1, ±2,...)

Ak je exponent kladné celé čísločíslo:

erekcia na nulový výkon:

Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane je do akéhokoľvek stupňa toto a na druhej strane akékoľvek číslo do tého stupňa je toto.

Ak je exponent celé číslo zápornéčíslo:

(pretože sa to nedá rozdeliť).

Ešte raz o nulách: výraz nie je definovaný v prípade. Ak potom.

Príklady:

Stupeň s racionálnym exponentom

• - prirodzené číslo;
• je celé číslo;

Príklady:

Vlastnosti stupňa

Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ tieto vlastnosti pochádzajú? Dokážme ich.

Pozrime sa: čo je a?

Podľa definície:

Takže na pravej strane tohto výrazu sa získa nasledujúci produkt:

Ale podľa definície ide o mocninu čísla s exponentom, teda:

Q.E.D.

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : .

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle nevyhnutne musí mať rovnaký základ. Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostávame samostatným faktorom:

Ďalšia dôležitá poznámka: toto pravidlo - len pre produkty mocností!

V žiadnom prípade by som to nemal písať.

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Preusporiadame to takto:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to -tá mocnina čísla:

V skutočnosti sa to dá nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:!

Pripomeňme si vzorce na skrátené násobenie: koľkokrát sme chceli písať? Ale to nie je pravda, naozaj.

Moc s negatívnou bázou.

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, čo by malo byť index stupňa. Čo by však malo byť základom? V stupňoch od prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .

V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek číslo, či už je kladné, záporné alebo párne. Zamyslime sa nad tým, aké znamienka ("" alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? ALE? ?

Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus krát mínus dáva plus“. Teda, resp. Ale ak vynásobíme (), dostaneme -.

A tak ďalej ad infinitum: s každým ďalším násobením sa znamienko zmení. Môžete formulovať tieto jednoduché pravidlá:

1. dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
2. Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
3. Kladné číslo na akúkoľvek mocninu je kladné číslo.
4. Nula k akejkoľvek mocnine sa rovná nule.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli ste to? Tu sú odpovede:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to pamätáte, je jasné, že to znamená, že základňa je menšia ako nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.

A opäť použijeme definíciu stupňa:

Všetko je ako obvykle - zapíšeme definíciu stupňov a rozdelíme ich na seba, rozdelíme ich do dvojíc a dostaneme:

Pred analýzou posledného pravidla vyriešme niekoľko príkladov.

Vypočítajte hodnoty výrazov:

Riešenia :

Ak nevenujeme pozornosť ôsmemu stupňu, čo tu vidíme? Poďme sa pozrieť na program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je skrátený vzorec násobenia, konkrétne rozdiel štvorcov!

Dostaneme:

Pozorne sa pozrieme na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by boli obrátené, mohlo by sa použiť pravidlo 3. Ale ako to urobiť? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Ak to vynásobíte, nič sa nezmení, však? Ale teraz to vyzerá takto:

Termíny magicky zmenili miesta. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť. Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne! Nedá sa to nahradiť tým, že zmeníme len jedno pre nás nevýhodné mínus!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Takže teraz posledné pravidlo:

Ako to chceme dokázať? Samozrejme, ako obvykle: rozšírme pojem titul a zjednodušíme:

No, teraz otvoríme zátvorky. Koľko písmen bude? krát podľa násobiteľov - ako to vyzerá? Toto nie je nič iné ako definícia operácie násobenie: celkom sa ukázalo, že existujú multiplikátory. To znamená, že je to podľa definície mocnina čísla s exponentom:

Príklad:

Stupeň s iracionálnym exponentom

Okrem informácií o stupňoch pre priemernú úroveň budeme analyzovať stupeň s iracionálnym ukazovateľom. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou - napokon iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (tj. , iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celočíselným a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch. Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo do nultého stupňa je akoby číslom, ktoré sa už raz násobí samo sebou, to znamená, že sa ešte nezačalo násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba určitá „príprava čísla“, konkrétne číslo; stupeň so záporným celým číslom - je to, ako keby nastal určitý „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.

Je mimoriadne ťažké predstaviť si stupeň s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké predstaviť si 4-rozmerný priestor). Ide skôr o čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.

Mimochodom, veda často používa stupeň s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach nepremýšľame, v inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

Čo teda urobíme, ak uvidíme iracionálny exponent? Snažíme sa ho zo všetkých síl zbaviť! :)

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

1)

2)

3)

Odpovede:

1. Pamätajte na rozdiel vo vzorci štvorcov. Odpoveď: .
2. Zlomky prinášame do rovnakého tvaru: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad: .
3. Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

SÚHRN SEKCIE A ZÁKLADNÝ VZOREC

stupňa sa nazýva výraz v tvare: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentom

stupňa, ktorého exponentom je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).

Stupeň s racionálnym exponentom

stupňa, ktorého ukazovateľom sú záporné a zlomkové čísla.

Stupeň s iracionálnym exponentom

exponent, ktorého exponent je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.

Vlastnosti stupňa

Vlastnosti stupňov.

• Záporné číslo zvýšené na dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
• Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
• Kladné číslo na akúkoľvek mocninu je kladné číslo.
• Nula sa rovná akejkoľvek moci.
• Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná.

TERAZ MÁTE SLOVO...

Ako sa vám páči článok? Dajte mi vedieť v komentároch nižšie, či sa vám to páčilo alebo nie.

Povedzte nám o svojich skúsenostiach s energetickými vlastnosťami.

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov.

A veľa šťastia pri skúškach!