Ahojte mačičky! Minule sme podrobne rozobrali, čo sú korene (ak si nepamätáte, odporúčam prečítať). Hlavný záver tejto lekcie: existuje len jedna univerzálna definícia koreňov, ktorú potrebujete vedieť. Ostatné sú nezmysly a strata času.

Dnes ideme ďalej. Naučíme sa násobiť odmocniny, naštudujeme si niektoré problémy spojené s násobením (ak sa tieto problémy nevyriešia, tak sa nám môžu stať osudnými na skúške) a poriadne si zacvičíme. Tak sa zásobte pukancami, urobte si pohodlie - a začíname. :)

Ty si ešte nefajčil, však?

Lekcia sa ukázala byť dosť veľká, preto som ju rozdelil na dve časti:

1. Najprv sa pozrieme na pravidlá násobenia. Zdá sa, že čiapka naznačuje: toto je, keď existujú dva korene, medzi nimi je znak „násobenia“ - a my s tým chceme niečo urobiť.
2. Potom budeme analyzovať opačnú situáciu: existuje jeden veľký koreň a my sme boli netrpezliví, aby sme ho predstavili ako súčin dvoch koreňov jednoduchším spôsobom. S akým strachom je to potrebné, je samostatná otázka. Budeme len analyzovať algoritmus.

Pre tých, ktorí sa nevedia dočkať, kedy skočia rovno do 2. časti, ste vítaní. Začnime zvyškom v poradí.

Základné pravidlo násobenia

Začnime tým najjednoduchším – klasickými odmocninami. Tie, ktoré sú označené $\sqrt(a)$ a $\sqrt(b)$. Pre nich je všetko vo všeobecnosti jasné:

pravidlo násobenia. Ak chcete vynásobiť jednu druhú odmocninu druhou, stačí vynásobiť ich radikálne výrazy a výsledok zapísať pod spoločný radikál:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Na čísla vpravo alebo vľavo sa nevzťahujú žiadne ďalšie obmedzenia: ak existujú korene násobiteľa, existuje aj súčin.

Príklady. Zvážte štyri príklady s číslami naraz:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(zarovnať)\]

Ako vidíte, hlavným zmyslom tohto pravidla je zjednodušiť iracionálne výrazy. A ak by sme v prvom príklade extrahovali odmocniny z 25 a 4 bez akýchkoľvek nových pravidiel, potom plechovka začína: $\sqrt(32)$ a $\sqrt(2)$ sa nepočítajú samy o sebe, ale ich súčin sa ukáže ako presný štvorec, takže jeho odmocnina sa rovná racionálnemu číslu.

Samostatne by som rád poznamenal posledný riadok. Tam sú oba radikálne výrazy zlomky. Vďaka produktu sa mnohé faktory rušia a celý výraz sa mení na adekvátne číslo.

Samozrejme, nie vždy bude všetko také krásne. Niekedy bude pod koreňmi úplné svinstvo - nie je jasné, čo s tým a ako sa po premnožení premeniť. O niečo neskôr, keď začnete študovať iracionálne rovnice a nerovnice, budú existovať všetky druhy premenných a funkcií vo všeobecnosti. A zostavovatelia problémov veľmi často počítajú len s tým, že nájdete nejaké zmluvné podmienky alebo faktory, po ktorých sa úloha výrazne zjednoduší.

Navyše nie je potrebné množiť presne dva korene. Môžete vynásobiť tri naraz, štyri - áno aj desať! Toto pravidlo nezmení. Pozri sa:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(zarovnať)\]

A opäť malá poznámka k druhému príkladu. Ako vidíte, v treťom multiplikátore je pod koreňom desatinný zlomok - v procese výpočtov ho nahradíme bežným, po ktorom sa všetko ľahko zníži. Takže: Vrelo odporúčam zbaviť sa desatinných zlomkov v akýchkoľvek iracionálnych výrazoch (teda obsahujúcich aspoň jednu radikálnu ikonu). V budúcnosti vám to ušetrí veľa času a nervov.

Bola to však lyrická odbočka. Teraz uvažujme o všeobecnejšom prípade – keď koreňový exponent obsahuje ľubovoľné číslo $n$, a nie iba „klasickú“ dvojku.

Prípad ľubovoľného ukazovateľa

Takže sme prišli na druhé odmocniny. A čo robiť s kockami? Alebo vo všeobecnosti s koreňmi ľubovoľného stupňa $n$? Áno, všetko je po starom. Pravidlo zostáva rovnaké:

Na vynásobenie dvoch koreňov stupňa $n$ stačí vynásobiť ich radikálne výrazy, potom sa výsledok zapíše pod jeden radikál.

Vo všeobecnosti nie je nič zložité. Pokiaľ objem výpočtov nemôže byť väčší. Pozrime sa na pár príkladov:

Príklady. Vypočítajte produkty:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(zarovnať)\]

A opäť pozor na druhý výraz. Vynásobíme kubické odmocniny, zbavíme sa desatinného zlomku a výsledkom je, že v menovateli dostaneme súčin čísel 625 a 25. To je dosť veľké číslo - osobne nebudem hneď počítať, čomu sa rovná do.

Preto sme jednoducho vybrali presnú kocku v čitateli a menovateli a potom sme použili jednu z kľúčových vlastností (alebo, ak chcete, definíciu) koreňa $n$-tého stupňa:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\vpravo|. \\ \end(zarovnať)\]

Takéto „podvody“ vám môžu ušetriť veľa času na skúške alebo teste, takže pamätajte:

Neponáhľajte sa násobiť čísla v radikálnom výraze. Najprv skontrolujte: čo ak je tam „zašifrovaný“ presný stupeň akéhokoľvek výrazu?

Pri všetkej samozrejmosti tejto poznámky musím priznať, že väčšina nepripravených študentov na prázdno nevidí presné stupne. Namiesto toho znásobia všetko dopredu a potom sa čudujú: prečo dostali také brutálne čísla? :)

To všetko je však detská hra v porovnaní s tým, čo budeme študovať teraz.

Násobenie koreňov s rôznymi exponentmi

Teraz môžeme násobiť korene s rovnakými exponentmi. Čo ak sú skóre rozdielne? Povedzte, ako vynásobíte obyčajný $\sqrt(2)$ nejakým svinstvom ako $\sqrt(23)$? Je to vôbec možné urobiť?

Áno, samozrejme, môžete. Všetko sa robí podľa tohto vzorca:

Pravidlo násobenia koreňov. Ak chcete vynásobiť $\sqrt[n](a)$ $\sqrt[p](b)$, vykonajte nasledujúcu transformáciu:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tento vzorec však funguje iba vtedy, ak radikálne výrazy nie sú negatívne. Toto je veľmi dôležitá poznámka, ku ktorej sa vrátime trochu neskôr.

Zatiaľ sa pozrime na pár príkladov:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(zarovnať)\]

Ako vidíte, nič zložité. Teraz poďme zistiť, odkiaľ sa vzala požiadavka nezápornosti a čo sa stane, ak ju porušíme. :)

Je ľahké množiť korene.

Prečo musia byť radikálne prejavy nezáporné?

Samozrejme, môžete sa stať učiteľmi školy a citovať učebnicu s inteligentným vzhľadom:

Požiadavka nezápornosti je spojená s rôznymi definíciami koreňov párnych a nepárnych stupňov (respektíve ich domény definície sú tiež odlišné).

No, bolo to jasnejšie? Osobne, keď som v 8. ročníku čítal tento nezmysel, pochopil som pre seba asi toto: “Požiadavka nezápornosti je spojená s *#&^@(*#@^#)~%” - skrátka som vtedy som ešte nerozumel :)

Takže teraz všetko vysvetlím normálnym spôsobom.

Po prvé, poďme zistiť, odkiaľ pochádza vzorec násobenia vyššie. Aby som to urobil, dovoľte mi pripomenúť vám jednu dôležitú vlastnosť koreňa:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Inými slovami, môžeme pokojne zvýšiť koreňový výraz na akúkoľvek prirodzenú mocninu $k$ – v tomto prípade bude musieť byť koreňový index vynásobený rovnakou mocninou. Preto môžeme ľahko znížiť akékoľvek korene na spoločný indikátor, po ktorom sa množíme. Odtiaľ pochádza vzorec násobenia:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Je tu však jeden problém, ktorý výrazne obmedzuje aplikáciu všetkých týchto vzorcov. Zvážte toto číslo:

Podľa práve uvedeného vzorca môžeme pridať ľubovoľný stupeň. Skúsme pridať $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Mínus sme odstránili práve preto, že štvorec vypáli mínus (ako každý iný párny stupeň). A teraz urobme opačnú transformáciu: "zmenšiť" dvojku v exponente a stupni. Koniec koncov, každá rovnosť sa dá čítať zľava doprava aj sprava doľava:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\šípka doprava \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(zarovnať)\]

Ale potom sa stane niečo šialené:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Nemôže to byť preto, že $\sqrt(-5) \lt 0$ a $\sqrt(5) \gt 0$. To znamená, že pre párne mocniny a záporné čísla už náš vzorec nefunguje. Potom máme dve možnosti:

1. Bojovať proti múru tvrdiť, že matematika je hlúpa veda, kde „existujú nejaké pravidlá, ale toto je nepresné“;
2. Zaveďte ďalšie obmedzenia, pri ktorých bude vzorec fungovať na 100 %.

V prvej možnosti budeme musieť neustále zachytávať „nefungujúce“ prípady - je to ťažké, dlhé a vo všeobecnosti zábavné. Preto matematici uprednostnili druhú možnosť. :)

Ale nebojte sa! V praxi toto obmedzenie nijako neovplyvňuje výpočty, pretože všetky opísané problémy sa týkajú iba koreňov nepárneho stupňa a dajú sa z nich vytiahnuť mínusy.

Preto formulujeme ďalšie pravidlo, ktoré sa vo všeobecnosti vzťahuje na všetky akcie s koreňmi:

Pred vynásobením koreňov sa uistite, že radikálne výrazy nie sú negatívne.

Príklad. V čísle $\sqrt(-5)$ môžete vybrať mínus pod znamienkom koreňa - potom bude všetko v poriadku:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Cítiť rozdiel? Ak necháte pod koreňom mínus, potom keď sa radikálny výraz umocní na druhú, zmizne a začne sa svinstvo. A ak najprv vyberiete mínus, môžete dokonca zvýšiť / odstrániť štvorec, kým nebudete modrý v tvári - číslo zostane záporné. :)

Najsprávnejší a najspoľahlivejší spôsob rozmnožovania koreňov je teda nasledujúci:

1. Odstráňte všetky mínusy spod radikálov. Mínusy sú len v koreňoch nepárnej násobnosti - možno ich umiestniť pred koreň a v prípade potreby ich zmenšiť (napríklad ak sú tieto mínusky dve).
2. Vykonajte násobenie podľa pravidiel uvedených vyššie v dnešnej lekcii. Ak sú indexy koreňov rovnaké, jednoducho vynásobte koreňové výrazy. A ak sú odlišné, použijeme zlý vzorec \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Tešíme sa z výsledku a dobrých známok. :)

dobre? Zacvičíme si?

Príklad 1. Zjednodušte výraz:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Toto je najjednoduchšia možnosť: ukazovatele koreňov sú rovnaké a nepárne, problém je iba v mínuse druhého multiplikátora. Vydržíme tento mínus nafig, po ktorom sa všetko ľahko zváži.

Príklad 2. Zjednodušte výraz:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( zarovnať)\]

Tu by mnohých zmiatla skutočnosť, že výstup sa ukázal ako iracionálne číslo. Áno, stáva sa: koreňa sa nám nepodarilo úplne zbaviť, no výraz sme aspoň výrazne zjednodušili.

Príklad 3. Zjednodušte výraz:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \vpravo))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Na toto by som chcel upozorniť. Sú tu dva body:

1. Pod koreňom nie je konkrétne číslo alebo stupeň, ale premenná $a$. Na prvý pohľad je to trochu nezvyčajné, no v skutočnosti sa pri riešení matematických úloh budete musieť najčastejšie potýkať s premennými.
2. Nakoniec sa nám podarilo „zmenšiť“ koreňový exponent a stupeň v radikálnom výraze. To sa stáva pomerne často. A to znamená, že bolo možné výrazne zjednodušiť výpočty, ak nepoužívate hlavný vzorec.

Môžete napríklad urobiť toto:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(zarovnať)\]

V skutočnosti boli všetky transformácie vykonané iba s druhým radikálom. A ak nebudete podrobne maľovať všetky medzikroky, nakoniec sa množstvo výpočtov výrazne zníži.

V skutočnosti sme sa už s podobnou úlohou stretli vyššie pri riešení príkladu $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Teraz sa to dá napísať oveľa jednoduchšie:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

No, prišli sme na násobenie koreňov. Teraz zvážte inverznú operáciu: čo robiť, keď je pod koreňom práca?

Znova som sa pozrel na tanier... A poďme!

Začnime s jednoduchým:

Počkaj minútu. toto, čo znamená, že to môžeme napísať takto:

Mám to? Tu je ďalší pre vás:

Korene výsledných čísel nie sú presne extrahované? Nebojte sa, tu je niekoľko príkladov:

Ale čo ak nie sú dva multiplikátory, ale viac? Rovnaký! Vzorec násobenia koreňov funguje s ľubovoľným počtom faktorov:

Teraz úplne nezávislé:

odpovede: Výborne! Súhlasíte, všetko je veľmi jednoduché, hlavnou vecou je poznať tabuľku násobenia!

Rozdelenie koreňov

Prišli sme na násobenie koreňov, teraz prejdime k vlastnosti delenia.

Dovoľte mi pripomenúť, že vzorec vo všeobecnosti vyzerá takto:

A to znamená koreň podielu sa rovná podielu koreňov.

Nuž, pozrime sa na príklady:

To je celá veda. A tu je príklad:

Všetko nie je také hladké ako v prvom príklade, ale ako vidíte, nie je nič zložité.

Čo ak výraz vyzerá takto:

Stačí použiť vzorec opačne:

A tu je príklad:

Môžete tiež vidieť tento výraz:

Všetko je rovnaké, len si tu musíte pamätať, ako preložiť zlomky (ak si nepamätáte, pozrite sa na tému a vráťte sa!). Pamätáte si? Teraz sa rozhodneme!

Som si istý, že ste sa vyrovnali so všetkým, so všetkým, teraz sa skúsme do určitej miery zakoreniť.

Umocňovanie

Čo sa stane, ak je druhá odmocnina druhá mocnina? Je to jednoduché, zapamätajte si význam druhej odmocniny čísla – ide o číslo, ktorého druhá odmocnina sa rovná.

Ak teda odmocníme číslo, ktorého druhá odmocnina je rovnaká, čo potom dostaneme?

No, samozrejme,!

Pozrime sa na príklady:

Všetko je jednoduché, však? A ak je koreň v inom stupni? Je to v poriadku!

Držte sa rovnakej logiky a pamätajte na vlastnosti a možné akcie so schopnosťami.

Prečítajte si teóriu na tému „“ a všetko vám bude veľmi jasné.

Napríklad tu je výraz:

V tomto príklade je stupeň párny, ale čo ak je nepárny? Opäť použite vlastnosti výkonu a zohľadnite všetko:

S týmto sa zdá byť všetko jasné, ale ako extrahovať koreň z čísla v stupňoch? Tu je napríklad toto:

Celkom jednoduché, však? Čo ak je stupeň väčší ako dva? Postupujeme podľa rovnakej logiky pomocou vlastností stupňov:

No, je všetko jasné? Potom vyriešte svoje vlastné príklady:

A tu sú odpovede:

Úvod pod znakom koreňa

Čo sme sa len nenaučili robiť s koreňmi! Zostáva len precvičiť zadávanie čísla pod koreňovým znakom!

Je to celkom jednoduché!

Povedzme, že máme číslo

Čo s tým môžeme robiť? No, samozrejme, schovaj trojku pod odmocninu, pričom pamätaj, že trojka je druhá odmocnina z!

Prečo to potrebujeme? Áno, len pre rozšírenie našich možností pri riešení príkladov:

Ako sa vám páči táto vlastnosť koreňov? Zjednodušuje život? Pre mňa je to tak! Iba musíme si uvedomiť, že pod znamienko druhej odmocniny môžeme zadať iba kladné čísla.

Vyskúšajte tento príklad sami:
Zvládli ste to? Pozrime sa, čo by ste mali dostať:

Výborne! Podarilo sa vám zadať číslo pod znakom koreňa! Prejdime k niečomu rovnako dôležitému – zvážte, ako porovnávať čísla obsahujúce odmocninu!

Porovnanie koreňov

Prečo by sme sa mali naučiť porovnávať čísla obsahujúce odmocninu?

Veľmi jednoduché. Vo veľkých a dlhých výrazoch, s ktorými sa stretávame na skúške, často dostávame iracionálnu odpoveď (pamätáte si, čo to je? Už sme o tom dnes hovorili!)

Prijaté odpovede potrebujeme umiestniť na súradnicovú čiaru, napríklad, aby sme určili, ktorý interval je vhodný na riešenie rovnice. A práve tu vzniká háčik: na skúške nie je kalkulačka a ako si bez nej predstaviť, ktoré číslo je väčšie a ktoré menšie? To je všetko!

Určte napríklad, čo je väčšie: alebo?

Nepovieš hneď. Využime vlastnosť parsovania pridania čísla pod znamienko koreňa?

Potom vpred:

Je zrejmé, že čím väčšie číslo pod znamienkom koreňa, tým väčší je samotný koreň!

Tie. ak znamená .

Z toho pevne usudzujeme A nikto nás nepresvedčí o opaku!

Extrahovanie koreňov z veľkého množstva

Predtým sme predstavili faktor v znamení koreňa, ale ako ho odstrániť? Musíte to len vyňať a extrahovať to, čo sa extrahuje!

Bolo možné ísť opačným smerom a rozložiť sa na ďalšie faktory:

Nie je to zlé, však? Ktorýkoľvek z týchto prístupov je správny, rozhodnite sa, ako sa cítite pohodlne.

Faktoring je veľmi užitočný pri riešení takýchto neštandardných úloh, ako je táto:

My sa nebojíme, my konáme! Každý faktor pod koreňom rozložíme na samostatné faktory:

A teraz si to skúste sami (bez kalkulačky! Na skúške to nebude):

je toto koniec? Nezastavíme sa na polceste!

To je všetko, nie je to také strašidelné, však?

Stalo? Výborne, máš pravdu!

Teraz skúste tento príklad:

A príklad je tvrdý oriešok, takže nemôžete okamžite prísť na to, ako k nemu pristupovať. Ale my sme, samozrejme, v zuboch.

No, začnime faktoring, nie? Okamžite si všimneme, že číslo môžete deliť (spomeňte si na znaky deliteľnosti):

A teraz to skúste sami (opäť bez kalkulačky!):

No podarilo sa? Výborne, máš pravdu!

Zhrnutie

1. Druhá odmocnina (aritmetická odmocnina) nezáporného čísla je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná.
   .
2. Ak len vezmeme druhú odmocninu niečoho, vždy dostaneme jeden nezáporný výsledok.
3. Vlastnosti aritmetického koreňa:
4. Pri porovnávaní druhých odmocnín treba pamätať na to, že čím väčšie číslo pod znamienkom odmocniny, tým väčší je samotný odmocninec.

Ako sa vám páči druhá odmocnina? Všetko jasné?

Snažili sme sa vám bez vody vysvetliť všetko, čo potrebujete vedieť na skúške o druhej odmocnine.

Si na ťahu. Napíšte nám, či je pre vás táto téma náročná alebo nie.

Naučili ste sa niečo nové alebo už bolo všetko také jasné.

Napíšte do komentárov a veľa šťastia na skúškach!

Materiál tohto článku by sa mal považovať za súčasť témy transformácia iracionálnych výrazov. Tu pomocou príkladov analyzujeme všetky jemnosti a nuansy (ktorých je veľa), ktoré vznikajú pri vykonávaní transformácií na základe vlastností koreňov.

Navigácia na stránke.

Pripomeňme si vlastnosti koreňov

Keďže sa ideme zaoberať transformáciou výrazov pomocou vlastností koreňov, nezaškodí si tie hlavné zapamätať, alebo ešte lepšie napísať na papier a položiť pred seba.

Najprv sa študujú odmocniny a ich nasledujúce vlastnosti (a, b, a 1, a 2, ..., a k sú reálne čísla):

A neskôr sa myšlienka koreňa rozširuje, zavádza sa definícia koreňa n-tého stupňa a zvažujú sa také vlastnosti (a, b, a 1, a 2, ..., a k sú reálne čísla, m, n, n 1, n 2, ... , n k - prirodzené čísla):

Prevod výrazov s číslami pod koreňovými znakmi

Ako inak, najskôr sa naučia pracovať s číselnými výrazmi a až potom prechádzajú na výrazy s premennými. Urobíme to isté a najskôr sa budeme zaoberať transformáciou iracionálnych výrazov obsahujúcich iba číselné výrazy pod znamienkami koreňov a už ďalej v ďalšom odseku si predstavíme premenné pod znamienkami koreňov.

Ako sa to dá použiť na transformáciu výrazov? Veľmi jednoduché: napríklad iracionálny výraz môžeme nahradiť výrazom alebo naopak. To znamená, že ak konvertovaný výraz obsahuje výraz, ktorý sa vzhľadom zhoduje s výrazom z ľavej (pravej) časti ktorejkoľvek z uvedených vlastností koreňov, potom ho možno nahradiť zodpovedajúcim výrazom z pravej (ľavej) časti. . Ide o transformáciu výrazov pomocou vlastností koreňov.

Uveďme si ešte niekoľko príkladov.

Zjednodušme výraz . Čísla 3 , 5 a 7 sú kladné, takže môžeme pokojne aplikovať vlastnosti korienkov. Tu môžete konať inak. Napríklad koreň založený na vlastnostiach môže byť reprezentovaný ako , a koreň založený na vlastnostiach s k=3 ako , s týmto prístupom bude riešenie vyzerať takto:

Dalo by sa to urobiť inak, nahradením za a potom za , v tomto prípade by riešenie vyzeralo takto:

Možné sú aj iné riešenia, napr.

Pozrime sa na ďalší príklad. Transformujme výraz. Pri pohľade na zoznam vlastností koreňov z neho vyberieme vlastnosti, ktoré potrebujeme na vyriešenie príkladu, je jasné, že tu sú užitočné dve z nich a ktoré sú platné pre ľubovoľné a . Máme:

Alternatívne je možné najprv transformovať výrazy pod koreňovými znakmi pomocou

a potom aplikujte vlastnosti koreňov

Až do tohto bodu sme konvertovali výrazy, ktoré obsahujú iba odmocniny. Je čas pracovať s koreňmi, ktoré majú iné ukazovatele.

Príklad.

Transformujte iracionálny výraz .

rozhodnutie.

Podľa majetku prvý faktor daného produktu možno nahradiť číslom −2:

Pohni sa. Na základe vlastnosti môže byť druhý faktor reprezentovaný ako, a nie je na škodu nahradiť 81 štvornásobnou mocninou troch, pretože číslo 3 sa objavuje v ostatných faktoroch pod znamienkami koreňov:

Odporúča sa nahradiť koreň frakcie pomerom koreňov formy , ktorý je možné ďalej transformovať: . Máme

Výsledný výraz po vykonaní operácií s dvojkami bude mať tvar , a zostáva transformovať súčin koreňov.

Na transformáciu produktov koreňov sa zvyčajne znižujú na jeden indikátor, pre ktorý je vhodné vziať ukazovatele všetkých koreňov. V našom prípade LCM(12, 6, 12)=12 a iba koreň bude musieť byť zredukovaný na tento indikátor, pretože ďalšie dva korene už takýto indikátor majú. Zvládnuť túto úlohu umožňuje rovnosť, ktorá sa uplatňuje sprava doľava. Takže . Vzhľadom na tento výsledok máme

Teraz môže byť produkt koreňov nahradený koreňom produktu a môžu sa vykonať zostávajúce, už zrejmé, transformácie:

Urobme krátku verziu riešenia:

odpoveď:

.

Samostatne zdôrazňujeme, že na uplatnenie vlastností koreňov je potrebné vziať do úvahy obmedzenia kladené na čísla pod znamienkami koreňov (a≥0 atď.). Ich ignorovanie môže viesť k nesprávnym výsledkom. Napríklad vieme, že vlastnosť platí pre nezáporné a . Na základe nej môžeme pokojne prejsť napríklad od do, keďže 8 je kladné číslo. Ale ak vezmeme zmysluplnú odmocninu zo záporného čísla, napríklad , a na základe vyššie uvedenej vlastnosti ho nahradíme , potom v skutočnosti nahradíme −2 2 . Vskutku, a. To znamená, že pre zápor a môže byť rovnosť nepravdivá, rovnako ako ostatné vlastnosti koreňov môžu byť nepravdivé bez zohľadnenia podmienok, ktoré sú pre ne špecifikované.

Ale to, čo bolo povedané v predchádzajúcom odseku, vôbec neznamená, že výrazy so zápornými číslami pod znamienkami koreňa nemožno transformovať pomocou vlastností koreňov. Len ich treba vopred „pripraviť“ aplikáciou pravidiel operácií s číslami alebo použitím definície odmocniny nepárneho stupňa zo záporného čísla, ktorá zodpovedá rovnosti , kde −a je záporné číslo (zatiaľ čo a je kladné) . Napríklad nemôže byť okamžite nahradený , pretože −2 a −3 sú záporné čísla, ale umožňuje nám to prejsť z koreňa na , a potom použiť vlastnosť koreňa zo súčinu: . A v jednom z predchádzajúcich príkladov bolo potrebné prejsť z koreňa na koreň osemnásteho stupňa nie takto, ale takto .

Ak chcete transformovať výrazy pomocou vlastností koreňov, musíte to urobiť

• vyberte príslušnú nehnuteľnosť zo zoznamu,
• uistite sa, že čísla pod koreňom spĺňajú podmienky pre vybranú vlastnosť (v opačnom prípade musíte vykonať predbežné transformácie),
• a vykonať zamýšľanú transformáciu.

Konverzia výrazov s premennými pod koreňovými znakmi

Na transformáciu iracionálnych výrazov obsahujúcich nielen čísla, ale aj premenné pod znamienkom odmocnina, je potrebné starostlivo aplikovať vlastnosti koreňov uvedené v prvom odseku tohto článku. Je to spôsobené z väčšej časti podmienkami, ktoré musia spĺňať čísla zahrnuté vo vzorcoch. Napríklad na základe vzorca možno výraz nahradiť výrazom iba pre tie hodnoty x, ktoré spĺňajú podmienky x≥0 a x+1≥0 , keďže špecifikovaný vzorec je nastavený pre a≥0 a b≥ 0

Aké je nebezpečenstvo ignorovania týchto podmienok? Odpoveď na túto otázku jasne ukazuje nasledujúci príklad. Povedzme, že potrebujeme vypočítať hodnotu výrazu, keď x=−2 . Ak namiesto premennej x hneď dosadíme číslo −2, dostaneme hodnotu, ktorú potrebujeme . A teraz si predstavme, že na základe niektorých úvah sme daný výraz previedli do tvaru a až potom sme sa rozhodli vypočítať hodnotu. Namiesto x dosadíme číslo −2 a dospejeme k výrazu , čo nedáva zmysel.

Pozrime sa, čo sa stane s rozsahom platných hodnôt (ODV) premennej x, keď prechádzame od výrazu k výrazu. ODZ sme spomenuli nie náhodou, keďže ide o seriózny nástroj na kontrolu prípustnosti vykonaných transformácií a zmena ODZ po transformácii výrazu by mala prinajmenšom upozorniť. K týmto výrazom nie je ťažké nájsť ODZ. Pre výraz je ODZ určená z nerovnosti x (x+1)≥0 , jeho riešením dostaneme číselnú množinu (−∞, −1]∪∪∪)