Vida r= f(X), X O N, kde N je množina prirodzených čísel (alebo funkcia prirodzeného argumentu), označovaná r=f(n) alebo r 1 ,r 2 ,…, y n,…. hodnoty r 1 ,r 2 ,r 3 ,… sa nazývajú prvý, druhý, tretí, ... člen postupnosti.

Napríklad pre funkciu r= n 2 možno napísať:

r 1 = 1 2 = 1;

r 2 = 2 2 = 4;

r 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metódy nastavenia sekvencií. Sekvencie môžu byť špecifikované rôznymi spôsobmi, z ktorých tri sú obzvlášť dôležité: analytické, popisné a opakujúce sa.

1. Postupnosť je daná analyticky, ak je daný jej vzorec n- člen:

y n=f(n).

Príklad. y n= 2n- 1 – postupnosť nepárnych čísel: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Opisný spôsob, ako špecifikovať číselnú postupnosť je, že vysvetľuje, z akých prvkov je sekvencia zostavená.

Príklad 1. "Všetky členy postupnosti sa rovnajú 1." To znamená, že hovoríme o stacionárnej postupnosti 1, 1, 1, …, 1, ….

Príklad 2. "Sekvencia pozostáva zo všetkých prvočísel vo vzostupnom poradí." Takto je daná postupnosť 2, 3, 5, 7, 11, .... Pri tomto spôsobe špecifikácie postupnosti v tomto príklade je ťažké odpovedať, čomu sa rovná povedzme 1000. prvok postupnosti.

3. Opakovaný spôsob určenia postupnosti je, že je uvedené pravidlo, ktoré umožňuje počítať n-tý člen postupnosti, ak sú známe jeho predchádzajúce členy. Názov rekurentná metóda pochádza z latinského slova opakujúce sa- vráť sa. Najčastejšie sa v takýchto prípadoch uvádza vzorec, ktorý umožňuje vyjadrenie nčlen sekvencie cez predchádzajúce a špecifikujte 1–2 počiatočné členy sekvencie.

Príklad 1 r 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ak n = 2, 3, 4,….

Tu r 1 = 3; r 2 = 3 + 4 = 7;r 3 = 7 + 4 = 11; ….

Je možné vidieť, že sekvenciu získanú v tomto príklade možno špecifikovať aj analyticky: y n= 4n- 1.

Príklad 2 r 1 = 1; r 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 ak n = 3, 4,….

Tu: r 1 = 1; r 2 = 1; r 3 = 1 + 1 = 2; r 4 = 1 + 2 = 3; r 5 = 2 + 3 = 5; r 6 = 3 + 5 = 8;

Postupnosť zložená v tomto príklade je špeciálne študovaná v matematike, pretože má množstvo zaujímavých vlastností a aplikácií. Volá sa Fibonacciho postupnosť – podľa talianskeho matematika z 13. storočia. Rekurzívne definovať Fibonacciho postupnosť je veľmi jednoduché, ale analyticky veľmi ťažké. n Fibonacciho číslo je vyjadrené ako jeho poradové číslo nasledujúcim vzorcom.

Na prvý pohľad vzorec pre n Fibonacciho číslo sa zdá byť nepravdepodobné, pretože vzorec, ktorý určuje postupnosť iba prirodzených čísel, obsahuje druhé odmocniny, ale platnosť tohto vzorca pre prvých pár môžete skontrolovať „ručne“. n.

Vlastnosti číselných postupností.

Číselná postupnosť je špeciálny prípad numerickej funkcie, preto sa pri postupnosti zvažuje aj množstvo vlastností funkcií.

Definícia . Následná sekvencia ( y n} sa nazýva rastúci, ak každý z jeho členov (okrem prvého) je väčší ako predchádzajúci:

r 1 r 2 r 3 r n n +1

Definícia.Sekvencia ( y n} sa nazýva klesajúci, ak každý z jeho členov (okrem prvého) je menší ako predchádzajúci:

r 1 > r 2 > r 3 > … > y n> y n +1 > … .

Rastúce a klesajúce sekvencie spája spoločný pojem - monotónne sekvencie.

Príklad 1 r 1 = 1; y n= n 2 je rastúca postupnosť.

Nasledujúca veta je teda pravdivá (charakteristická vlastnosť aritmetickej progresie). Číselná postupnosť je aritmetická vtedy a len vtedy, ak sa každý z jej členov, okrem prvého (a posledného v prípade konečnej postupnosti), rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

Príklad. V akej hodnote Xčíslo 3 X + 2, 5X- 4 a 11 X+ 12 tvorí konečnú aritmetickú postupnosť?

Podľa charakteristickej vlastnosti musia dané výrazy vyhovovať vzťahu

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Riešenie tejto rovnice dáva X= –5,5. S touto hodnotou X dané výrazy 3 X + 2, 5X- 4 a 11 X+ 12 naberá hodnoty -14,5, –31,5, –48,5. Toto je aritmetický postup, jeho rozdiel je -17.

Geometrická progresia.

Číselná postupnosť, ktorej všetky členy sú nenulové a ktorej každý člen, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho člena vynásobením rovnakým číslom q, sa nazýva geometrická postupnosť a číslo q- menovateľ geometrickej postupnosti.

Geometrický postup je teda číselná postupnosť ( b n) dané rekurzívne vzťahmi

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b a q- dané čísla, b ≠ 0, q ≠ 0).

Príklad 1. 2, 6, 18, 54, ... - rastúca geometrická postupnosť b = 2, q = 3.

Príklad 2. 2, -2, 2, -2, ... – geometrický postup b= 2,q= –1.

Príklad 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrický postup b= 8, q= 1.

Geometrický postup je rastúca postupnosť, ak b 1 > 0, q> 1 a znižovaním, ak b 1 > 0, 0q

Jednou zo zrejmých vlastností geometrickej postupnosti je, že ak je postupnosť geometrickou postupnosťou, potom postupnosť štvorcov, t.j.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... je geometrická postupnosť, ktorej prvý člen sa rovná b 1 2 a menovateľ je q 2 .

Vzorec n-člen geometrickej postupnosti má tvar

b n= b 1 q n– 1 .

Môžete získať vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej progresie.

Nech existuje konečná geometrická postupnosť

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

nechať byť S n - súčet jej členov, t.j.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

To sa uznáva qč 1. Určiť S n použije sa umelý trik: vykonajú sa nejaké geometrické transformácie výrazu S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

teda S n q= S n +b n q – b 1 a teda

Toto je vzorec s umma n členov geometrickej progresie pre prípad, keď q≠ 1.

o q= 1 vzorec nemožno odvodiť samostatne, je zrejmé, že v tomto prípade S n= a 1 n.

Nazýva sa geometrická progresia, pretože v nej sa každý člen, okrem prvého, rovná geometrickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena. Skutočne, odvtedy

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

teda, b n 2= b n– 1 miliárd + 1 a platí nasledujúca veta (charakteristická vlastnosť geometrickej postupnosti):

číselná postupnosť je geometrická postupnosť vtedy a len vtedy, ak druhá mocnina každého z jej členov, okrem prvého (a posledného v prípade konečnej postupnosti), sa rovná súčinu predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

Limit sekvencie.

Nech existuje postupnosť ( c n} = {1/n}. Táto postupnosť sa nazýva harmonická, pretože každý jej člen, počnúc druhým, je harmonickým priemerom medzi predchádzajúcimi a nasledujúcimi členmi. Geometrický priemer čísel a a b je tam číslo

V opačnom prípade sa postupnosť nazýva divergentná.

Na základe tejto definície je možné napríklad dokázať existenciu limity A = 0 pre harmonickú postupnosť ( c n} = {1/n). Nech ε je ľubovoľne malé kladné číslo. Zvažujeme rozdiel

Existuje taký Nže pre všetkých n≥ N nerovnosť 1 /N? Ak sa berie ako N akékoľvek prirodzené číslo väčšie ako 1/ε , potom pre všetkých n ≥ N nerovnosť 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Niekedy je veľmi ťažké dokázať existenciu limity pre určitú postupnosť. Najbežnejšie sekvencie sú dobre preštudované a sú uvedené v referenčných knihách. Existujú dôležité vety, ktoré umožňujú dospieť k záveru, že daná postupnosť má limitu (a dokonca ju vypočítať) na základe už preštudovaných postupností.

Veta 1. Ak má postupnosť limitu, potom je ohraničená.

Veta 2. Ak je postupnosť monotónna a ohraničená, potom má limitu.

Veta 3. Ak postupnosť ( a n} má limit A, potom sekvencie ( môcť}, {a n+ c) a (| a n|} mať limity cA, A +c, |A| respektíve (tu c je ľubovoľné číslo).

Veta 4. Ak postupnosti ( a n} a ( b n) majú limity rovné A a B pa n + qb n) má limit pA+ qB.

Veta 5. Ak postupnosti ( a n) a ( b n) majú limity rovné A a B v uvedenom poradí, potom sekvencia ( a n b n) má limit AB.

Veta 6. Ak postupnosti ( a n} a ( b n) majú limity rovné A a B v uvedenom poradí a navyše b n ≠ 0 a B≠ 0, potom sekvencia ( a n / b n) má limit A/B.

Anna Chugainová

Skôr ako sa začneme rozhodovať problémy s aritmetickou progresiou, zvážte, čo je to číselná postupnosť, pretože aritmetická postupnosť je špeciálnym prípadom postupnosti čísel.

Číselná postupnosť je číselná množina, ktorej každý prvok má svoje poradové číslo. Prvky tejto množiny sa nazývajú členy postupnosti. Poradové číslo prvku sekvencie je označené indexom:

Prvý prvok sekvencie;

Piaty prvok postupnosti;

- "n-tý" prvok postupnosti, t.j. prvok „stojí v rade“ pri čísle n.

Existuje závislosť medzi hodnotou prvku sekvencie a jeho poradovým číslom. Preto môžeme postupnosť považovať za funkciu, ktorej argumentom je poradové číslo prvku postupnosti. Inými slovami, dá sa to povedať postupnosť je funkciou prirodzeného argumentu:

Postupnosť je možné určiť tromi spôsobmi:

1 . Postupnosť je možné špecifikovať pomocou tabuľky. V tomto prípade jednoducho nastavíme hodnotu každého člena postupnosti.

Niekto sa napríklad rozhodol urobiť si osobný time management a na začiatok vypočítať, koľko času trávi na VKontakte počas týždňa. Zapísaním času do tabuľky dostane sekvenciu pozostávajúcu zo siedmich prvkov:

Prvý riadok tabuľky obsahuje číslo dňa v týždni, druhý - čas v minútach. Vidíme, že v pondelok Niekto strávil na VKontakte 125 minút, to znamená vo štvrtok - 248 minút, a teda v piatok iba 15.

2 . Postupnosť môže byť špecifikovaná pomocou vzorca n-tého člena.

V tomto prípade je závislosť hodnoty prvku sekvencie od jeho čísla vyjadrená priamo ako vzorec.

Napríklad, ak , tak

Aby sme našli hodnotu prvku sekvencie s daným číslom, dosadíme číslo prvku do vzorca pre n-tý člen.

To isté robíme, ak potrebujeme nájsť hodnotu funkcie, ak je známa hodnota argumentu. Namiesto toho dosadíme hodnotu argumentu do rovnice funkcie:

Ak napr. , potom

Ešte raz podotýkam, že v postupnosti, na rozdiel od ľubovoľnej číselnej funkcie, môže byť argumentom iba prirodzené číslo.

3 . Postupnosť je možné špecifikovať pomocou vzorca, ktorý vyjadruje závislosť hodnoty člena postupnosti s číslom n od hodnoty predchádzajúcich členov. V tomto prípade nám na zistenie jeho hodnoty nestačí poznať iba číslo člena postupnosti. Musíme špecifikovať prvý člen alebo niekoľko prvých členov postupnosti.

Zvážte napríklad postupnosť ,

Môžeme nájsť hodnoty členov sekvencie v sekvencii, počnúc treťou:

To znamená, že vždy, keď nájdeme hodnotu n-tého člena postupnosti, vrátime sa k predchádzajúcim dvom. Tento spôsob sekvenovania sa nazýva opakujúci, z latinského slova recurro- vráť sa.

Teraz môžeme definovať aritmetickú progresiu. Aritmetická progresia je jednoduchý špeciálny prípad číselnej postupnosti.

Aritmetický postup nazývaná číselná postupnosť, ktorej každý člen počnúc druhým sa rovná predchádzajúcemu, pripočítanému rovnakým číslom.

Číslo sa volá rozdiel aritmetického postupu. Rozdiel aritmetickej progresie môže byť kladný, záporný alebo nulový.

Ak title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} zvyšujúci sa.

Napríklad 2; 5; osem; jedenásť;...

Ak je , potom je každý člen aritmetickej postupnosti menší ako predchádzajúci a postupnosť je ubúdanie.

Napríklad 2; - jeden; -4; -7;...

Ak , potom sa všetky členy postupu rovnajú rovnakému číslu a postupnosť je stacionárne.

Napríklad 2;2;2;2;...

Hlavná vlastnosť aritmetickej progresie:

Pozrime sa na obrázok.

To vidíme

, a zároveň

Pridaním týchto dvoch rovností dostaneme:

.

Vydeľte obe strany rovnice 2:

Takže každý člen aritmetickej progresie, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru dvoch susedných:

Navyše od r

, a zároveň

, potom

, a preto

Každý člen aritmetického postupu začínajúceho s title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

členský vzorec.

Vidíme, že pre členov aritmetickej progresie platia tieto vzťahy:

a nakoniec

Máme vzorec n-tého členu.

DÔLEŽITÉ! Ktorýkoľvek člen aritmetickej progresie môže byť vyjadrený pomocou a . Keď poznáte prvý výraz a rozdiel aritmetického postupu, môžete nájsť ktoréhokoľvek z jeho členov.

Súčet n členov aritmetickej progresie.

V ľubovoľnom aritmetickom postupe sú súčty členov rovnako vzdialené od extrémnych navzájom rovnaké:

Uvažujme aritmetickú progresiu s n členmi. Nech sa súčet n členov tejto postupnosti rovná .

Usporiadajte podmienky progresie najprv vo vzostupnom poradí čísel a potom v zostupnom poradí:

Poďme to spárovať:

Súčet v každej zátvorke je , počet párov je n.

Dostaneme:

takze súčet n členov aritmetickej progresie možno nájsť pomocou vzorcov:

Zvážte riešenie problémov aritmetického postupu.

1 . Postupnosť je daná vzorcom n-tého člena: . Dokážte, že táto postupnosť je aritmetickou progresiou.

Dokážme, že rozdiel medzi dvoma susednými členmi postupnosti sa rovná rovnakému číslu.

Zistili sme, že rozdiel dvoch susedných členov postupnosti nezávisí od ich počtu a je konštantný. Preto je podľa definície táto postupnosť aritmetickou progresiou.

2 . Daná aritmetická progresia -31; -27;...

a) Nájdite 31 podmienok postupu.

b) Určte, či je v tomto postupe zahrnuté číslo 41.

a) Vidíme to;

Zapíšme si vzorec pre n-tý člen pre našu postupnosť.

Všeobecne

V našom prípade , Preto

Dostaneme:

b) Predpokladajme, že číslo 41 je členom postupnosti. Poďme nájsť jeho číslo. Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:

Dostali sme prirodzenú hodnotu n, preto áno, číslo 41 je členom progresie. Ak by nájdená hodnota n nebola prirodzeným číslom, potom by sme odpovedali, že číslo 41 NIE JE členom progresie.

3 . a) Medzi čísla 2 a 8 vložte 4 čísla tak, aby spolu s danými číslami tvorili aritmetickú postupnosť.

b) Nájdite súčet členov výslednej progresie.

a) Vložme štyri čísla medzi čísla 2 a 8:

Dostali sme aritmetický postup, v ktorom je 6 členov.

Poďme nájsť rozdiel tohto postupu. Na tento účel používame vzorec pre n-tý člen:

Teraz je ľahké nájsť hodnoty čísel:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Odpoveď: a) áno; b) 30

4. Nákladné auto prepravuje dávku drveného kameňa s hmotnosťou 240 ton, pričom denne zvyšuje rýchlosť prepravy o rovnaký počet ton. Je známe, že v prvý deň sa previezli 2 tony sutiny. Určte, koľko ton drveného kameňa sa prepravilo na dvanásty deň, ak sa všetky práce dokončili za 15 dní.

Podľa stavu problému sa množstvo drveného kameňa, ktoré kamión odvezie, zvyšuje každý deň o rovnaké číslo. Preto máme čo do činenia s aritmetickým postupom.

Tento problém formulujeme z hľadiska aritmetickej progresie.

Počas prvého dňa sa previezli 2 tony drveného kameňa: a_1=2.

Všetky práce boli dokončené za 15 dní: .

Nákladné auto prepravuje dávku drveného kameňa s hmotnosťou 240 ton:

Musíme nájsť.

Najprv nájdime rozdiel v postupe. Použime vzorec pre súčet n členov postupnosti.

V našom prípade:

Číselná postupnosť.
ako

V tejto lekcii sa dozvieme veľa zaujímavých vecí zo života členov veľkej komunity s názvom Vkontakte číselné postupnosti. Predmetná téma sa netýka len priebehu matematickej analýzy, ale dotýka sa aj základov diskrétna matematika. Okrem toho bude materiál potrebný na vývoj ďalších častí veže, najmä počas štúdie číselný rad a funkčné riadky. Môžete jednoducho povedať, že je to dôležité, môžete upokojujúco povedať, že je to jednoduché, môžete povedať oveľa viac služobných fráz, ale dnes je prvý, nezvyčajne lenivý školský týždeň, takže je pre mňa hrozné lámať si prvý odsek =) Už som si ten súbor uložil v srdci a pripravil som sa spať, zrazu... myšlienka na úprimné priznanie sa rozžiarila v hlave, čo neskutočne uľavilo duši a prinútilo ďalšie klepanie prstami po klávesnici.

Odbočme od letných spomienok a nahliadnime do tohto fascinujúceho a pozitívneho sveta novej sociálnej siete:

Pojem číselnej postupnosti

Najprv sa zamyslime nad samotným slovom: čo je to postupnosť? Konzistentnosť je, keď sa niečo nachádza za niečím. Napríklad postupnosť akcií, postupnosť ročných období. Alebo keď sa niekto nachádza za niekým. Napríklad sled ľudí v rade, sled slonov na ceste k napájadlu.

Okamžite si objasníme charakteristické črty sekvencie. Po prvé, sekvenčné členy sa nachádzajú striktne v určitom poradí. Takže, ak sa vymenia dvaja ľudia vo fronte, potom to už bude ďalší podsekvencia. Po druhé, každému člen sekvencie môžete priradiť sériové číslo:

Rovnako je to aj s číslami. Nechať byť každému prírodná hodnota podľa nejakého pravidla mapované na reálne číslo. Potom hovoríme, že je daná číselná postupnosť.

Áno, v matematických úlohách, na rozdiel od životných situácií, postupnosť takmer vždy obsahuje nekonečne veľačísla.

kde:
volal prvý člen sekvencie;
– druhý člen sekvencie;
– tretí člen sekvencie;
…
– n-tý alebo spoločný člen sekvencie;
…

V praxi je postupnosť zvyčajne daná všeobecný výraz vzorec, Napríklad:
je postupnosť kladných párnych čísel:

Záznam teda jednoznačne určuje všetky členy postupnosti – to je pravidlo (vzorec), podľa ktorého sa prírodné hodnoty čísla sa zhodujú. Preto je postupnosť často stručne označená spoločným členom a namiesto „x“ možno použiť iné latinské písmená, napríklad:

Postupnosť kladných nepárnych čísel:

Ďalšia bežná postupnosť:

Ako si pravdepodobne mnohí všimli, premenná „en“ hrá úlohu akéhosi počítadla.

V skutočnosti sme sa na strednej škole zaoberali číselnými postupnosťami. Spomeňme si aritmetická progresia. Definíciu prepisovať nebudem, dotknime sa samotnej podstaty konkrétnym príkladom. Nech je prvý termín a krok aritmetická progresia. potom:
je druhým termínom tohto postupu;
je tretím členom tohto postupu;
- štvrtý;
- piaty;
…
A evidentne sa pýta n-tý člen opakujúci vzorec

Poznámka : v rekurzívnom vzorci je každý ďalší člen vyjadrený v termínoch predchádzajúceho termínu alebo dokonca v podmienkach celého súboru predchádzajúcich termínov.

Výsledný vzorec je v praxi málo použiteľný – aby ste sa dostali povedzme k , musíte prejsť všetkými predchádzajúcimi výrazmi. A v matematike sa odvodzuje vhodnejší výraz pre n-tý člen aritmetickej progresie: . V našom prípade:

Dosaďte do vzorca prirodzené čísla a skontrolujte správnosť vyššie zostrojenej číselnej postupnosti.

Podobné výpočty je možné vykonať pre geometrická progresia, ktorého n-tý člen je daný vzorcom , kde je prvý člen a je menovateľ progresie. V matanských úlohách sa prvý člen často rovná jednej.

postupnosť určuje postupnosť ;
progresie nastaví postupnosť;
progresie nastaví postupnosť ;
progresie nastaví postupnosť .

Dúfam, že každý vie, že -1 k nepárnej mocnine je -1 a k párnej mocnine je jedna.

Progresia je tzv nekonečne klesajúci, ak (posledné dva prípady).

Pridajme do nášho zoznamu dvoch nových priateľov, z ktorých jeden práve zaklopal na maticu monitora:

Sekvencia sa v matematickom žargóne nazýva „blikačka“:

teda členy sekvencie sa môžu opakovať. Takže v uvažovanom príklade postupnosť pozostáva z dvoch nekonečne sa striedajúcich čísel.

Stáva sa, že postupnosť pozostáva z rovnakých čísel? určite. Napríklad nastavuje nekonečný počet „trojok“. Pre estétov existuje prípad, keď sa vo vzorci stále formálne objavuje „en“:

Pozvime jednoduchú priateľku na tanec:

Čo sa stane, keď sa „en“ zvýši do nekonečna? Je zrejmé, že podmienky sekvencie budú nekonečne blízko priblížiť sa k nule. Toto je limit tejto postupnosti, ktorý je napísaný takto:

Ak je limita postupnosti nulová, potom sa volá nekonečne malý.

V teórii matematickej analýzy je to dané prísne vymedzenie sekvenčného limitu cez takzvané epsilon susedstvo. Nasledujúci článok bude venovaný tejto definícii, ale teraz si analyzujme jej význam:

Ukážme si členy postupnosti a okolia symetrické vzhľadom na nulu (limitu) na reálnej čiare:


Teraz držte modrú oblasť okrajmi dlaní a začnite ju zmenšovať a ťahajte ju na doraz (červená bodka). Číslo je limitom sekvencie, ak je PRE AKÉKOĽVEK vopred vybraté susedstvo (ľubovoľne malý) vnútri to bude nekonečne veľačlenov sekvencie a MIMO nej - iba konečné počet členov (alebo žiadny). To znamená, že susedstvo epsilon môže byť mikroskopické a ešte menej, ale „nekonečný chvost“ sekvencie musí skôr či neskôr plne vstúpiť do tejto oblasti.

Postupnosť je tiež nekonečne malá: s tým rozdielom, že jej členovia neskáču tam a späť, ale k limitu sa približujú výlučne sprava.

Prirodzene, limita sa môže rovnať akémukoľvek inému konečnému číslu, elementárny príklad:

Tu má zlomok tendenciu k nule, a preto sa limit rovná „dvom“.

Ak postupnosť existuje konečná hranica, potom sa volá zbiehajúce sa(najmä nekonečne malý v ). Inak - divergentný, pričom sú možné dve možnosti: buď limita neexistuje vôbec, alebo je nekonečná. V druhom prípade sa volá sekvencia nekonečne veľký. Poďme si prejsť príklady z prvého odseku:

Sekvencie sú nekonečne veľký, keď sa ich členovia neustále pohybujú smerom k „plus nekonečnu“:

Aritmetický postup s prvým členom a krokom je tiež nekonečne veľký:

Mimochodom, každý aritmetický postup sa tiež líši, s výnimkou prípadu s nulovým krokom - pri nekonečnom pripočítaní k určitému číslu. Limit takejto postupnosti existuje a zhoduje sa s prvým členom.

Sekvencie majú podobný osud:

Akýkoľvek nekonečne klesajúci geometrický postup, ako naznačuje názov, nekonečne malý:

Ak je menovateľom geometrická progresia, potom je postupnosť nekonečne veľkáA:

Ak napríklad , potom neexistuje žiadny limit, pretože členovia neúnavne skáču buď do „plus nekonečna“, potom do „mínus nekonečna“. A zdravý rozum a matanské teorémy naznačujú, že ak sa niekde niečo snaží, potom je toto vzácne miesto jedinečné.

Po malom odhalení je jasné, že za nespútané hádzanie môže blikač, ktorý sa mimochodom sám od seba rozchádza.
V skutočnosti je pre sekvenciu ľahké vybrať -susedstvo, ktoré, povedzme, drží iba číslo -1. Výsledkom je, že mimo daného susedstva zostane nekonečný počet členov sekvencie („plus jedničky“). Ale podľa definície „nekonečný chvost“ postupnosti od určitého momentu (prirodzené číslo) musí plne zadajte AKÉKOĽVEK okolie jeho limitu. Záver: neexistuje žiadny limit.

Faktorový je nekonečne veľký poradie:

Navyše rastie míľovými krokmi, takže ide o číslo, ktoré má viac ako 100 číslic (číslic)! Prečo práve 70? Žiada o milosť moju inžiniersku kalkulačku.

S kontrolným výstrelom je všetko trochu komplikovanejšie a práve sme sa dostali k praktickej časti prednášky, v ktorej rozoberieme bojové príklady:

Teraz je však potrebné vedieť vyriešiť limity funkcií aspoň na úrovni dvoch základných poučiek: Limity. Príklady riešení a Pozoruhodné limity. Pretože mnohé metódy riešenia budú podobné. Najprv však analyzujme základné rozdiely medzi limitou postupnosti a limitou funkcie:

V limite postupnosti môže mať „dynamická“ premenná „en“ tendenciu len do "plus nekonečna"– v smere zvyšovania prirodzených čísel .
V limite funkcie môže "x" smerovať kamkoľvek - do "plus/mínus nekonečna" alebo do ľubovoľného reálneho čísla.

Následná sekvencia diskrétne(nespojitý), to znamená, že pozostáva zo samostatných izolovaných členov. Raz, dva, tri, štyri, päť, zajačik sa vybral na prechádzku. Argument funkcie je charakterizovaný kontinuitou, to znamená, že „x“ hladko, bez incidentov smeruje k jednej alebo druhej hodnote. A podľa toho sa hodnoty funkcie budú tiež neustále približovať k svojmu limitu.

Kvôli diskrétnosť v rámci sekvencií sú ich vlastné značkové veci, ako faktoriály, flashery, progresie atď. A teraz sa pokúsim rozobrať limity, ktoré sú charakteristické pre sekvencie.

Začnime s postupmi:

Príklad 1

Nájdite limit postupnosti

rozhodnutie: niečo podobné ako nekonečne klesajúca geometrická progresia, ale je to naozaj tak? Pre prehľadnosť uvádzame niekoľko prvých výrazov:

Od , hovoríme o súčetčleny nekonečne klesajúcej geometrickej progresie, ktorá sa vypočíta podľa vzorca .

Rozhodovanie:

Pre súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti použijeme vzorec: . AT tento prípad: - prvý člen, - menovateľ postupu.

Príklad 2

Napíšte prvé štyri členy postupnosti a nájdite jej limitu

Toto je príklad „urob si sám“. Ak chcete odstrániť neistotu v čitateli, budete musieť použiť vzorec pre súčet prvých členov aritmetickej progresie:
, kde je prvý a n-tý člen progresie.

Keďže „en“ má v sekvenciách vždy tendenciu „plus nekonečno“, nie je prekvapujúce, že neurčitosť je jednou z najpopulárnejších.
A mnohé príklady sú riešené presne rovnakým spôsobom ako limity funkcií!

Alebo možno niečo zložitejšie, napr ? Pozrite si príklad č. 3 v článku Metódy limitného riešenia.

Z formálneho hľadiska bude rozdiel iba v jednom písmene - je tam „x“ a tu „en“.
Recepcia je rovnaká - čitateľa a menovateľa je potrebné deliť "en" v najvyššom stupni.

Taktiež v rámci sekvencií je neistota celkom bežná. Ako riešiť limity ako možno nájsť v príkladoch č. 11-13 toho istého článku.

Ak sa chcete vyrovnať s limitom, pozrite si príklad č. 7 lekcie Pozoruhodné limity(druhá pozoruhodná hranica platí aj pre diskrétny prípad). Riešenie bude opäť ako kópia s rozdielom v jedinom písmene.

Nasledujúce štyri príklady (č. 3-6) sú tiež „obojstranné“, ale v praxi sú z nejakého dôvodu typickejšie pre limity postupností ako pre limity funkcií:

Príklad 3

Nájdite limit postupnosti

rozhodnutie: najprv úplné riešenie, potom komentáre krok za krokom:

(1) V čitateli použijeme vzorec dvakrát.

(2) V čitateli uvádzame podobné pojmy.

(3) Aby sme odstránili neistotu, delíme čitateľa a menovateľa (v najvyššom stupni "en").

Ako vidíte, nič zložité.

Príklad 4

Nájdite limit postupnosti

Toto je príklad riešenia „urob si sám“, skrátené vzorce násobenia pomôcť.

V rámci s demonštratívne postupnosti používajú podobnú metódu delenia čitateľa a menovateľa:

Príklad 5

Nájdite limit postupnosti

rozhodnutie urobme to rovnako:

Podobná veta platí, mimochodom, aj pre funkcie: súčinom obmedzenej funkcie infinitezimálnou funkciou je nekonečne malá funkcia.

Príklad 9

Nájdite limit postupnosti

Hovhannisyan Eva

Číselné sekvencie. Abstraktné.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia
"Stredná škola č. 31"
mesto Barnaul

Číselné postupnosti

abstraktné

Práca dokončená:
Oganesyan Eva,
Žiak 8. ročníka MBOU "Stredná škola č. 31"
vedúci:
Poleva Irina Alexandrovna,
učiteľ matematiky MBOU "Stredná škola č. 31"

Barnaul - 2014

Úvod ………………………………………………………………………………… 2

Číselné postupnosti.…………………………………………………...3

Spôsoby nastavenia číselnej postupnosti………………………...4

Vývoj doktríny progresie………………………………………………..5

Vlastnosti číselných postupností…………………………………………7

Aritmetický postup ................................................................................................ .............9

Geometrická postupnosť……………………………………………….. 10

Záver ………………………………………………………………… 11

Referencie……………………………………………………………………… 11

Úvod

Účel tohto abstraktu– štúdium základných pojmov súvisiacich s číselnými postupnosťami, ich aplikácia v praxi.
Úlohy:

1. Študovať historické aspekty vývoja doktríny progresie;
2. Zvážte spôsoby nastavenia a vlastnosti číselných postupností;
3. Získajte informácie o aritmetických a geometrických postupnostiach.

V súčasnosti sa číselné postupnosti považujú za špeciálne prípady funkcie. Číselná postupnosť je funkciou prirodzeného argumentu. Pojem číselnej postupnosti vznikol a rozvinul sa dávno pred vytvorením teórie funkcie. Tu sú príklady nekonečných číselných postupností známych v staroveku:

1, 2, 3, 4, 5, … - postupnosť prirodzených čísel.

2, 4, 6, 8, 10,… - postupnosť párnych čísel.

1, 3, 5, 7, 9,… - postupnosť nepárnych čísel.

1, 4, 9, 16, 25,… - postupnosť druhých mocnín prirodzených čísel.

2, 3, 5, 7, 11… - postupnosť prvočísel.

1, ½, 1/3, ¼, 1/5,… - postupnosť reciprokých prirodzených čísel.

Počet členov každej z týchto sérií je nekonečný; prvých päť sekvencií monotónne stúpa, posledná monotónne klesá. Všetky uvedené postupnosti, okrem 5., sú uvedené z dôvodu, že pre každú z nich je známy spoločný pojem, teda pravidlo na získanie pojmu s ľubovoľným číslom. Pre postupnosť prvočísel je bežný výraz neznámy, ale už v 3. storočí. pred Kr e. alexandrijský vedec Eratosthenes naznačil spôsob (aj keď veľmi ťažkopádny) na získanie jeho n-tého člena. Táto metóda sa nazývala „Eratosthenovo sito“.

Postupy - konkrétne typy číselných sekvencií - sa nachádzajú v pamiatkach z 2. tisícročia pred Kristom. e.

Číselné postupnosti

Existujú rôzne definície číselnej postupnosti.

Číselná postupnosť – je to postupnosť prvkov číselného priestoru (Wikipedia).

Číselná postupnosť – toto je množina čísel.

Funkcia tvaru y = f (x), xsa nazýva funkcia prirodzeného argumentu respčíselná postupnosťa označujú y = f(n) alebo

, , , …, Zápis ().

Kladné párne čísla vypíšeme vzostupne. Prvé takéto číslo je 2, druhé je 4, tretie je 6, štvrté je 8 atď., takže dostaneme postupnosť: 2; 4; 6; osem; desať….

Je zrejmé, že piate miesto v tejto sekvencii bude číslo 10, desiate - 20, sté - 200. Vo všeobecnosti pre akékoľvek prirodzené číslo n môžete zadať zodpovedajúce kladné párne číslo; rovná sa 2n.

Pozrime sa na inú sekvenciu. Vlastné zlomky s čitateľom rovným 1 vypíšeme v zostupnom poradí:

; ; ; ; ; … .

Pre ľubovoľné prirodzené číslo n môžeme určiť zodpovedajúci zlomok; to sa rovná. Takže na šiestom mieste by mal byť zlomok, tridsiateho - , na tisícke - zlomok .

Čísla, ktoré tvoria postupnosť, sa nazývajú prvé, druhé, tretie, štvrté atď. členov postupnosti. Členy postupnosti sa zvyčajne označujú písmenami s dolnými indexmi označujúcimi poradové číslo člena. Napríklad:, , atď. vo všeobecnosti sa člen postupnosti s číslom n, alebo, ako sa hovorí, n-tý člen postupnosti, označuje. Samotná sekvencia je označená (). Postupnosť môže obsahovať nekonečný počet členov aj konečný počet. V tomto prípade sa nazýva konečný. Napríklad: postupnosť dvojciferných čísel.10; jedenásť; 12; trinásť; …; 98; 99

Metódy špecifikovania číselných postupností

Sekvencie môžu byť špecifikované niekoľkými spôsobmi.

Zvyčajne je vhodnejšie nastaviť poradievzorec jeho spoločného n-tého členu, ktorý vám umožňuje nájsť ľubovoľného člena postupnosti, pričom poznáte jeho číslo. V tomto prípade sa hovorí, že postupnosť je daná analyticky. Napríklad: sled kladných párnych pojmov= 2n.

Úloha: nájdite vzorec pre spoločný člen postupnosti (:

6; 20; 56; 144; 352;…

rozhodnutie. Každý člen postupnosti zapíšeme v nasledujúcom tvare:

n = 1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20=4 5=5=

n = 3: 56 = 8 7 = 7 =

Ako vidíte, členy postupnosti sú súčinom mocniny dvoch vynásobených po sebe idúcimi nepárnymi číslami a dva sa zvýšia na mocninu, ktorá sa rovná číslu príslušného prvku. Preto sme dospeli k záveru

Odpoveď: všeobecný vzorec výrazu:

Ďalším spôsobom, ako určiť sekvenciu, je zadať sekvenciu pomocouopakujúci sa vzťah. Nazýva sa vzorec, ktorý vyjadruje ľubovoľný člen postupnosti, počnúc niektorým cez predchádzajúce (jeden alebo viacero). opakujúci (z latinského slova recurro – vrátiť sa).

V tomto prípade je špecifikovaný jeden alebo niekoľko prvých prvkov sekvencie a zvyšok je určený podľa nejakého pravidla.

Príkladom rekurzívne danej postupnosti je postupnosť Fibonacciho čísel - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , v ktorej každé nasledujúce číslo začínajúce od tretieho je súčtom dvoch predchádzajúcich. jednotky: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 a tak ďalej. Túto sekvenciu možno zadať rekurzívne:

NN = 1.

Úloha: podsekvenciadaný vzťahom recidívy+ , n N, = 4. Napíšte niekoľko prvých členov tejto postupnosti.

rozhodnutie. Nájdite tretí člen danej postupnosti:

+ =

Atď.

Keď sa postupnosti zadávajú opakovane, výpočty sú veľmi ťažkopádne, pretože na nájdenie prvkov s veľkými číslami je potrebné nájsť všetky predchádzajúce členy zadanej postupnosti, napr.musíme nájsť všetkých predchádzajúcich 499 členov.

Opisným spôsobompriradenie číselnej postupnosti spočíva vo vysvetlení, z akých prvkov je postupnosť zostavená.

Príklad 1. "Všetci členovia sekvencie sú 1." To znamená, že hovoríme o stacionárnej postupnosti 1, 1, 1, …, 1, ….

Príklad 2. "Sekvencia pozostáva zo všetkých prvočísel vo vzostupnom poradí." Takto je daná postupnosť 2, 3, 5, 7, 11, .... Pri tomto spôsobe špecifikácie postupnosti v tomto príklade je ťažké odpovedať, čomu sa rovná povedzme 1000. prvok postupnosti.

Tiež číselná postupnosť môže byť daná jednoduchýmzoznam svojich členov.

Vývoj doktríny progresie

Slovo progresia je latinského pôvodu (progressio), doslovne znamená „pohyb vpred“ (ako slovo „pokrok“) a prvýkrát sa s ním stretol rímsky autor Boethius (5.-6. storočie), pokračovať v ňom donekonečna jedným smerom, napr. , postupnosť prirodzených čísel, ich druhé mocniny a kocky. Na konci stredoveku a na začiatku novoveku sa tento výraz prestáva bežne používať. V 17. storočí napríklad J. Gregory namiesto progresie používal termín „séria“ a ďalší významný anglický matematik J. Wallis pre nekonečné rady používal termín „nekonečné postupnosti“.

V súčasnosti považujeme progresie za špeciálne prípady číselných postupností.

Teoretické informácie súvisiace s progresiou sa prvýkrát nachádzajú v dokumentoch starovekého Grécka, ktoré sa k nám dostali.

V Psammite Archimedes po prvý raz porovnáva aritmetické a geometrické postupnosti:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

Progresie sa považovali za pokračovanie proporcií, a preto sa epitetá aritmetický a geometrický preniesli z proporcií na proporcie.

Tento pohľad na priebehy si zachovali mnohí matematici 17. a dokonca aj 18. storočia. Takto by sa mala vysvetliť skutočnosť, že symbol nachádzajúci sa v Barrowovi a potom u iných anglických vedcov tej doby na označenie súvislej geometrickej proporcie začal v anglických a francúzskych učebniciach 18. storočia označovať geometrickú progresiu. Analogicky začali označovať aritmetickú progresiu.

Jeden z Archimedových dôkazov, uvedený v jeho diele „Kvadratúra paraboly“, sa v podstate scvrkáva na súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie.

Na vyriešenie niektorých problémov z geometrie a mechaniky odvodil Archimedes vzorec pre súčet druhých mocnín prirodzených čísel, hoci sa používal aj pred ním.

1/6n(n+1)(2n+1)

Niektoré vzorce súvisiace s progresiou poznali čínski a indickí vedci. Takže Aryabhatta (V. storočie) poznal vzorce pre bežný výraz, súčet aritmetickej progresie atď., Magavira (IX. storočie) použil vzorec: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) a ďalšie zložitejšie rady. Pravidlo na nájdenie súčtu členov ľubovoľnej aritmetickej postupnosti sa však prvýkrát nachádza v Knihe počítadla (1202) od Leonarda z Pisy. V knihe The Science of Numbers (1484) N. Shuke, podobne ako Archimedes, porovnáva aritmetickú postupnosť s geometrickou a uvádza všeobecné pravidlo na sčítanie akejkoľvek nekonečne malej klesajúcej geometrickej postupnosti. Vzorec na sčítanie nekonečne klesajúcej progresie poznal P. Fermat a ďalší matematici 17. storočia.

Problémy pre aritmetické (a geometrické) postupnosti sa nachádzajú aj v starom čínskom traktáte „Matematika v deviatich knihách“, ktorý však neobsahuje návod na použitie žiadneho sčítacieho vzorca.

Prvé progresívne problémy, ktoré sa k nám dostali, sú spojené s požiadavkami ekonomického života a spoločenskej praxe, ako je distribúcia produktov, delenie dedičstva atď.

Z jednej klinopisnej tabuľky môžeme usúdiť, že pri pozorovaní Mesiaca od novu do splnu dospeli Babylončania k tomuto záveru: v prvých piatich dňoch po novom mesiaci dochádza k zvýšeniu osvetlenia mesačného disku podľa zákon geometrickej postupnosti s menovateľom 2. V ďalšej neskoršej tabuľke hovoríme o sčítanej geometrickej postupnosti:

1+2+ +…+ . riešenie a odpoveď S=512+(512-1), údaje v tabuľke naznačujú, že autor použil vzorec.

Sn= +( -1), ale nikto nevie, ako sa k tomu dostal.

Sčítavanie geometrických postupov a zostavovanie zodpovedajúcich úloh, ktoré nie vždy vyhovujú praktickým potrebám, sa zaoberali mnohými milovníkmi matematiky v staroveku a stredoveku.

Vlastnosti poradia čísel

Číselná postupnosť je špeciálnym prípadom numerickej funkcie, a preto sa pri postupnosti zohľadňujú aj niektoré vlastnosti funkcií (obmedzenosť, monotónnosť).

Obmedzené sekvencie

Následná sekvencia () sa nazýva ohraničené zhora, že pre ľubovoľné číslo n, M.

Následná sekvencia () sa nazýva ohraničené zdola, ak existuje takýto počet m, že pre ľubovoľné číslo n, m.

Následná sekvencia () sa nazýva ohraničený , ak je ohraničené zhora a zdola, to znamená, že existuje také číslo M0 , čo pre ľubovoľné číslo n , M.

Následná sekvencia () sa nazýva neohraničený , ak existuje takéto číslo M0, že existuje číslo n také, že M.

Úloha: preskúmať postupnosť = k obmedzeniu.

rozhodnutie. Daná postupnosť je ohraničená, keďže pre ľubovoľné prirodzené číslo n platia nasledujúce nerovnosti:

0 1,

To znamená, že postupnosť je zdola ohraničená nulou a zároveň je zhora ohraničená jednotou, a teda je aj ohraničená.

Odpoveď: postupnosť je obmedzená - zdola nulou a zhora jednotkou.

Zvyšujúce sa a klesajúce sekvencie

Následná sekvencia () sa nazýva zvyšovanie , ak je každý výraz väčší ako predchádzajúci:

Napríklad 1, 3, 5, 7.....2n -1,... je rastúca postupnosť.

Následná sekvencia () sa nazýva klesajúci , ak je každý výraz menší ako predchádzajúci:

Napríklad 1; je zostupná postupnosť.

Zvyšujúce sa a klesajúce sekvencie sú spojené spoločným pojmom -monotónne sekvencie. Uveďme si ešte niekoľko príkladov.

1; - táto postupnosť sa nezvyšuje ani neznižuje (nemonotónna postupnosť).

2n. Hovoríme o postupnosti 2, 4, 8, 16, 32, ... - rastúca postupnosť.

Vo všeobecnosti, ak a > 1, potom postupnosť= zvyšuje;

ak 0 = klesá.

Aritmetický postup

Číselná postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná súčtu predchádzajúceho člena a rovnakého čísla d, sa nazývaaritmetická progresiaa číslo d je rozdiel aritmetickej progresie.

Aritmetický postup je teda číselná postupnosť

X, == + d, (n = 2, 3, 4, ...; a a d sú dané čísla).

Príklad 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... je rastúca aritmetická postupnosť, v ktorej= 1, d = 2.

Príklad 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - klesajúci aritmetický postup, v ktorom= 20, d = -3.

Príklad 3. Uvažujme postupnosť prirodzených čísel, ktoré po delení štyrmi majú zvyšok 1:1; 5; deväť; trinásť; 17; 21…

Každý jeho člen, počnúc druhým, sa získa pridaním čísla 4 k predchádzajúcemu členu. Táto postupnosť je príkladom aritmetickej postupnosti.

Je ľahké nájsť explicitný (vzorcový) výrazcez n. Hodnota nasledujúceho prvku sa v porovnaní s predchádzajúcim zvýši o d, teda hodnota prvku n sa zvýši o (n - 1)d v porovnaní s prvým členom aritmetickej postupnosti, t.j.

= + d (n – 1). Toto je vzorec pre n-tý člen aritmetickej progresie.

Toto je sumárny vzorec n členov aritmetického postupu.

Aritmetická progresia je pomenovaná preto, lebo v nej sa každý člen, okrem prvého, rovná aritmetickému priemeru dvoch susediacich s ním - predchádzajúceho a nasledujúceho, skutočne,

Geometrická progresia

Číselná postupnosť, ktorej všetky členy sú nenulové a ktorej každý člen, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho člena vynásobením rovnakým číslom q, sa nazývageometrická progresiaa číslo q je menovateľom geometrickej postupnosti. Geometrický postup je teda číselná postupnosť (dané rekurzívne vzťahmi

B = q (n = 2, 3, 4...; b a q sú dané čísla).

Príklad 1. 2, 6, 18, 54, ... - rastúca geometrická postupnosť

2, q = 3.

Príklad 2. 2, -2, 2, -2, ... je geometrická postupnosť= 2, q = –1.

Jednou zo zrejmých vlastností geometrickej postupnosti je, že ak je postupnosť geometrickou postupnosťou, potom postupnosť štvorcov, t.j.; ;…-

je geometrická postupnosť, ktorej prvý člen sa rovná, a menovateľom je.

Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti je:

Vzorec pre súčet n členov geometrickej postupnosti:

charakteristickú vlastnosťgeometrická postupnosť: postupnosť čísel je geometrická postupnosť vtedy a len vtedy, ak druhá mocnina každého z jej členov, okrem prvého (a posledného v prípade konečnej postupnosti), sa rovná súčinu predchádzajúceho a nasledujúceho člena,

Záver

Numerické postupnosti študovali mnohí vedci už mnoho storočí.Prvé progresívne problémy, ktoré sa k nám dostali, sú spojené s požiadavkami ekonomického života a spoločenskej praxe, ako je distribúcia produktov, delenie dedičstva atď. Sú jedným z kľúčových pojmov matematiky. Vo svojej práci som sa snažil reflektovať základné pojmy spojené s numerickými postupnosťami, ich nastavovanie, vlastnosti a niektoré z nich som zvážil. Samostatne sa zvažovali priebehy (aritmetické a geometrické) a popísali sa základné pojmy s nimi spojené.

Bibliografia

1. A.G. Mordkovich, Algebra, 10. ročník, učebnica, 2012
2. A.G. Mordkovich, Algebra, ročník 9, učebnica, 2012
3. Skvelý študentský sprievodca. Moskva, "Drofa", 2001
4. G.I. Glaser, Dejiny matematiky v škole,

M.: Osveta, 1964.

1. "Matematika v škole", časopis, 2002.
2. Vzdelávacie online služby Webmath.ru
3. Univerzálna populárno-vedecká online encyklopédia "Krugosvet"

Kolíska. Plienky. Plač.
Slovo. Krok. Chladný. doktor.
behať okolo. Hračky. Brat.
Dvor. Hojdačka. MATERSKÁ ŠKOLA.
Škola. Dvojka. Trojka. Päť.
Lopta. Krok. Sadra. Posteľ.
Boj. Krv. Zlomený nos.
Dvor. Priatelia. Párty. sila.
inštitútu. Jar. kríky.
Leto. relácia. Chvosty.
Pivo. vodka. Ľadový gin.
Káva. relácia. Diplom.
Romantizmus. láska. Hviezda.
Arms. pery. Noc bez spánku.
Svadba. Svokra. Svokor. Pasca.
Argumentovať. Klub. Priatelia. Pohár.
Dom. Job. Dom. rodina.
Slnko. Leto. Sneh. Zima.
Syn. Plienky. Kolíska.
Stres. Pani. Posteľ.
Podnikanie. Peniaze. Plán. Avral.
TV set. séria.
Vidiecky dom. Čerešne. Cuketa.
Sive vlasy. Migréna. Okuliare.
Vnuk. Plienky. Kolíska.
Stres. Tlak. Posteľ.
Srdce. Obličky. Kosti. doktor.
Prejavy. Rakva. Rozlúčka. Plač.

životná postupnosť

SEQUENCE - (sekvencia), čísla alebo prvky usporiadané organizovaným spôsobom. Postupnosti môžu byť konečné (s obmedzeným počtom prvkov) alebo nekonečné, ako úplná postupnosť prirodzených čísel 1, 2, 3, 4 ….… …

Vedecko-technický encyklopedický slovník

Definícia:Číselná postupnosť sa nazýva číselný, daný na množine prirodzených čísel N. Pre číselné postupnosti zvyčajne namiesto o f(n) písať a n a označte postupnosť takto: a n ). čísla a 1 , a 2 , …, a n,… volal sekvenčné prvky.

Číselná postupnosť je zvyčajne určená nastavením n-tý prvok alebo rekurzívny vzorec, podľa ktorého je každý ďalší prvok určený cez predchádzajúci. Možný je aj opisný spôsob určenia číselnej postupnosti. Napríklad:

• Všetci členovia sekvencie sú "1". To znamená, že hovoríme o stacionárnej postupnosti 1, 1, 1, …, 1, ….

• Postupnosť pozostáva zo všetkých prvočísel vo vzostupnom poradí. Takto je daná postupnosť 2, 3, 5, 7, 11, .... Pri tomto spôsobe špecifikácie postupnosti v tomto príklade je ťažké odpovedať, čomu sa rovná povedzme 1000. prvok postupnosti.

Pri opakovanej metóde je uvedený vzorec, ktorý vám umožňuje vyjadriť nčlen sekvencie cez predchádzajúce a špecifikujte 1–2 počiatočné členy sekvencie.

• r 1 = 3; y n =r n-1 + 4 , ak n = 2, 3, 4,…

Tu r 1 = 3; r 2 = 3 + 4 = 7;r 3 = 7 + 4 = 11; ….

• r 1 = 1; r 2 = 1; y n =r n-2 + r n-1 , ak n = 3, 4,…

Tu: r 1 = 1; r 2 = 1; r 3 = 1 + 1 = 2; r 4 = 1 + 2 = 3; r 5 = 2 + 3 = 5; r 6 = 3 + 5 = 8;

Postupnosť vyjadrená rekurzívnym vzorcom y n =r n-1 + 4 možno tiež dať analyticky: y n= y 1 + 4* (n-1)

Kontrola: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Tu na výpočet n-tého prvku nepotrebujeme poznať predchádzajúci člen číselnej postupnosti, stačí len nastaviť jeho číslo a hodnotu prvého prvku.

Ako vidíme, tento spôsob zadávania číselnej postupnosti je veľmi podobný analytickému spôsobu zadávania funkcií. Číselná postupnosť je v skutočnosti špeciálnym druhom numerickej funkcie, takže aj pre postupnosti je možné zvážiť množstvo vlastností funkcií.

Číselné rady sú veľmi zaujímavou a poučnou témou. Táto téma sa nachádza v úlohách so zvýšenou náročnosťou, ktoré študentom ponúkajú autori didaktických materiálov, v úlohách matematických olympiád, prijímacích skúšok na vysoké školy a pod. A ak sa chcete dozvedieť viac o rôznych typoch číselných radov, kliknite sem. No, ak je pre vás všetko jasné a jednoduché, ale skúste odpovedať.