KAPITOLA VIII.

PROPORCIONALITA ČIAR. PODOBNOSŤ OBRAZOV.

§ 93. KONŠTRUKCIA PODOBNÝCH POSTAV.

1. Konštrukcia podobných trojuholníkov.

Už vieme, že na zostrojenie trojuholníka podobného danému stačí nakresliť priamku rovnobežnú so stranou trojuholníka z nejakého bodu na strane trojuholníka. Dostaneme trojuholník podobný tomuto (obr. 382):

/\ DIA /\ A"C"B"

2. Konštrukcia podobných polygónov.

Pri zostrojení mnohouholníka podobného danému môžeme postupovať takto: daný mnohouholník rozdelíme na trojuholníky uhlopriečkami nakreslenými z ktoréhokoľvek jeho vrcholov (obr. 383). Na niektorej strane daného mnohouholníka ABCDE, napríklad na strane AE, vezmeme nejaký bod E" a nakreslíme priamku rovnobežnú so stranou ED, až kým nepretína uhlopriečku AD, napríklad v bode D".

Z bodu D" nakreslite čiaru rovnobežnú so stranou DC, kým nepretne uhlopriečku AC v bode C". Z bodu C" nakreslite čiaru rovnobežnú so stranou CB, kým sa nepretína so stranou AB v bode B". Výsledný mnohouholník AB"C"D"E" je podobný danému mnohouholníku ABCDE.

Platnosť tohto tvrdenia sa preukazuje nezávisle.

Ak je potrebné postaviť polygón podobný danému polygónu so zadaným koeficientom podobnosti, potom sa počiatočný bod E“ vezme na stranu AE ​​alebo jeho pokračovanie podľa daného koeficientu podobnosti.

3. Nafotenie plánu pozemku.

a) Natáčanie plánu sa vykonáva pomocou špeciálneho zariadenia tzv kadička(dev. 384).

Menzula je štvorcová doska umiestnená na statíve. Pri kreslení plánu sa doska uvedie do vodorovnej polohy, ktorá sa kontroluje pomocou úrovne. Na kreslenie priamych čiar v požadovanom smere sa používa alidáda vybavená dioptriami. Každá dioptria má štrbinu, v ktorej je vlas natiahnutý, čo umožňuje presne nasmerovať alidádu správnym smerom. Na stupnici je gombíkmi pripevnený list bieleho papiera, na ktorom je nakreslený plán.

Na odstránenie plánu z pozemku ABCDE sa vo vnútri pozemku vyberie nejaký bod O tak, aby boli z neho viditeľné všetky vrchy pozemku (obr. 385).

Pomocou vidličky s olovnicou (obr. 386) sa stupnica nastaví tak, aby bod O, vyznačený na hárku papiera, dopadol na bod O zvolený na mieste.

Potom sa z bodu O na list papiera pripojenom k ​​kadičke nakreslia lúče alidádou v smeroch k bodom A, B, C, D a E; merať vzdialenosti
OA, OB, OS, OD a OE a ležali na týchto lúčoch v akceptovaných segmentoch mierky
OA", OB", OS, OD" a OE".

Body A, B, C, D a E sú spojené. Vychádza polygón A "B" C "D" E, čo je pôdorys daného pozemku v akceptovanej mierke.

Nami opísaná metóda mierkového snímania sa nazýva polárna.

Existujú aj iné spôsoby streľby do lietadla pomocou mierky, o ktorých sa dočítate v špeciálnych návodoch na streľbu s mierkou.

Na každom pláne je zvyčajne uvedená mierka, podľa ktorej možno určiť skutočné rozmery odstraňovanej plochy, ako aj jej plochu.

Plán tiež ukazuje smer svetových strán.

Praktická práca.

a) Vyrobte v školskej dielni najjednoduchší model v mierke a vytvorte plán malého pozemku.

b) Zameranie pôdorysu pozemku je možné vykonať pomocou astrolábu.

Predpokladajme, že je potrebné odstrániť plán pozemku ABCDE. Zoberme si jeden z vrcholov rezu, napríklad A, ako začiatočný a astrolábom odmerajte uhly pri vrchole A, t.j.
/ 1, / 2, / 3 (dev. 387).

Potom pomocou meracej reťaze odmeriame vzdialenosti AE, AD, AC a AB. V závislosti od veľkosti pozemku a veľkosti listu papiera, na ktorom je plán aplikovaný, sa zvolí mierka pre kreslenie plánu.

V bode A, ktorý je braný ako vrchol mnohouholníka, zostrojíme tri uhly, respektíve rovné / 1, / 2 a / 3; potom na zvolenej mierke po stranách týchto rohov od bodu A "odložte segmenty A "E", A "D", A "C" a A "B". Spojením bodov A "a E", E "a D", D "a C, C" a B", B" a A", dostaneme mnohouholník A"B"C"D"E", podobný mnohouholníku ABCDE. Toto bude plán tento pozemok, zakreslený vo zvolenej mierke.

Pri riešení mnohých konštrukčných úloh sa používa metóda podobnosti, ktorej podstata je nasledovná: najprv sa zostrojí obrazec podobný danému, potom sa tento obrazec zväčšuje (zmenšuje) v požadovanom pomere (t.j. postavený), ktorý spĺňa podmienky problému.

Proces učenia sa, ako aplikovať podobnosť pri riešení konštrukčných problémov, by sa mal rozdeliť do štyroch etáp: prípravná, úvodná, formovanie zručností, zlepšovanie zručností. Každá etapa má svoj vlastný didaktický cieľ, ktorý sa dosiahne, keď študenti plnia špeciálne navrhnuté úlohy.

Didaktickým cieľom prípravnej fázy je formovanie zručností žiakov: zvýrazniť údaje, ktoré určujú tvar postavy, veľa párov postáv podobných navzájom; postavte postavu podľa údajov, ktoré definujú tvar; presuňte sa z postavenej figúry na požadovanú.

Po preštudovaní prvého znaku podobnosti trojuholníkov môžeme navrhnúť nasledujúcu množinu úlohy:

Zostrojte trojuholník s dvoma rohmi. Koľko riešení má problém? Aké prvky určujú tvar zostrojených trojuholníkov?

Pomenujte podobné trojuholníky na obrázku 35.

Známe sú tieto prvky trojuholníka: a) uhly 75 a 25; b) výška 1,5 cm; c) uhly 75 a 25, výška 1,5 cm Ktoré z týchto údajov určujú jediný údaj na obr.

Aké uhly určujú tvar trojuholníkov na obrázku 35?

Bude možné určiť rozmery jedného z trojuholníkov na obr. 35, ak budú známe nasledujúce údaje: a) uhly v základni trojuholníka; b) výška trojuholníka; c) boky a rohy na základni?

Sú trojuholníky ABC a ABC podobné na obrázku 36, ak ACAC? ak sú podobné, aký je ich koeficient podobnosti?

Podobným spôsobom je zostavený súbor úloh, ktoré sa žiakom predkladajú po preštudovaní 2. a 3. znaku podobnosti trojuholníkov. Pri prechode od tejto funkcie k ďalšej sa však otázky trochu skomplikujú, konkrétne: umiestnenie trojuholníkov na obrázkoch sa mení, vzďaľuje sa od štandardného, ​​mení sa množina prvkov, ktoré vymedzujú jedinú figúrku. Úlohy, môže byť napríklad:

1. Sú trojuholníky ABC a ABC podobné, ak:

a) AB=5 cm, BC=7 cm, B=30º, AB=10 cm, BC=14 cm, B=60º;

b) AB=5 cm, BC=7 cm, B=30º, AB=10 cm, BC=14 cm, H=30º;

c) AB = 3 cm, BC = 5 cm, CA = 7 cm, AB = 4,5 cm, BC = 7,5 cm, CA = 10,5 cm;

d) AB = 1,7 cm, BC = 3 cm, SA = 4,2 cm, AB = 34 cm, BC = 60 cm, SA = 84 cm.

2. V trojuholníku ABC s ostrým uhlom C sú nakreslené výšky AE a BD (obr. 37). Dokážte, že ABC je podobné EDC.

3. Dokážte, že obvody podobných trojuholníkov spolu súvisia ako zodpovedajúce strany.

Didaktickým zámerom úvodnej etapy je priblížiť študentom štruktúru stavebného procesu metódou podobnosti.

Vysvetlenie začína problémom.

Úloha. Zostrojte trojuholník daný dvoma danými uhlami a stredom osi dĺžky d nakresleným z vrcholu tretieho uhla.

Pri analýze úlohy so študentmi učiteľ ponúka úlohy - otázky, ktorých odpovede sú stručne zaznamenané na tabuli. Otázky môžu byť:

1. Aký údaj určuje tvar požadovaného trojuholníka?

2. Aké údaje určujú rozmery požadovaného trojuholníka?

3. Koľko trojuholníkov možno postaviť s dvoma rohmi? Aká bude konštrukčná forma všetkých zostrojených trojuholníkov?

4. Aký segment by mal byť nakreslený v trojuholníku podobnom želanému?

5. Ako postaviť požadovaný trojuholník?

Odpovede na otázky sú doplnené voľnou kresbou na tabuľu (obr. 38).

a) ABC: A=, B=;

b) zostrojte osi uhla C v trojuholníku ABC,

c) konštrukcia СN=d, NCD;

d) nakreslite priamku cez bod N, AB;

e) AC=A, BC=B;

f) ABC - požadovaný: A=, B= (keďže ABC ABC o 1 prvok) a CN=d podľa konštrukcie. Didaktický účel javiska, ktorý tvorí schopnosť riešiť problémy uvažovaného typu, je jasný už z jeho názvu. Hlavnou formou činnosti v tejto fáze je individuálne vyhľadávanie. Končí sa súhrnným rozhovorom.

Tu je niekoľko príkladov úloh, ktoré možno v tejto fáze navrhnúť.

Úloha. Vo vnútri uhla AOB je daný bod F. Zostrojte bod M na strane OA, rovnako vzdialený od F a od strany OB

rozhodnutie.

1. Analýza. Obráťme sa na obrázok 39. Zostrojíme bod M, potom MF=MP. To znamená, že požadovaný bod M je stredom kružnice s polomerom MF so stredom M, ktorý sa dotýka strany OB v bode P.

Ak vezmeme ľubovoľný bod M na OA a pustíme MP na CB a nájdeme F priesečník kružnice so stredom M polomeru MP s priamkou OF, potom MFP bude podobný MFP. Z toho vyplýva požadovaná konštrukcia.

2. Stavebníctvo. Nakreslíme OF, vezmeme ľubovoľný bod M na CA a znížime MP na CB. Nakreslíme kružnicu s polomerom MP so stredom v bode M. Nech F je priesečník tejto kružnice s OF. Nakreslíme FM a potom nakreslíme priamku cez bod FFM. Bod M priesečníka tejto čiary s OA je požadovaný.

3. Dôkaz. Z vykonanej analýzy je to zrejmé.

4. Výskum. Problém má 2 riešenia. Vyplýva to zo skutočnosti, že kružnica sa pretína s OF v 2 bodoch.

Úloha. Zostrojte trojuholník s 2 rohmi a obvodom.

rozhodnutie.

1. Analýza. Nech a sú dané uhly a P je obvod požadovaného trojuholníka (obr. 40). Predpokladajme, že požadovaný trojuholník je zostrojený, potom ak uvažujeme akékoľvek ABC podobné požadovanému, pomer obvodu P ABC k obvodu P ABC sa rovná pomeru strán AC a AC.

2. Stavebníctvo. Zostrojme ABC podobné požadovanému. Na lúči AB odložte segmenty AD=P a AD=P, potom spojte bod D a C a nakreslite čiaru DC cez bod D. Nech C je priesečník priamky s lúčom AC. Nakreslite čiaru CB cez bod C a označte priesečník tejto čiary s AD, potom je ABC požadovaný.

3. Dôkaz. Je zrejmé, že ACD je podobné ako ACD. Pomer strán sa rovná pomeru obvodov podobných ABC a ABC, preto je požadovaný obvod ABC \u003d P, preto je ABC požadovaný.

4. Výskum. Od súčtu ľubovoľných dvoch uhlov trojuholníka<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Úloha. Dané AOB a bod M, ktorý sa nachádza vo vnútornej oblasti tohto rohu. Zostrojte kružnicu prechádzajúcu bodom A a dotýkajúcu sa strán uhla AOB.

rozhodnutie.

1. Analýza. Nech je dané AOB a bod M, ktorý sa nachádza vo vnútornej oblasti rohu (obr. 41).

Nakreslíme ďalší kruh dotýkajúci sa strán AOB. Nech M je priesečník kružnice s priamkou OM a uvažujme OMN a OMN (N a N stredov kružnice a).

Tieto trojuholníky sú podobné v dvoch uhloch, takže konštrukcia požadovaného kruhu môže byť vykonaná takto:

2. Stavebníctvo. Keďže stred požadovanej kružnice leží na osi AOB, nakreslíme os uhla. Ďalej tu vezmeme bod N a zostrojíme kružnicu so stredom N dotýkajúcim sa AOB. Potom nakreslíme úsečku SM a označíme M - priesečník úsečky s kružnicou (sú dva také body - M a M - vezmeme jeden z nich). Nakreslíme priamku MN a jej priamku cez bod M. Potom N je priesečník priamky s osou uhla a je stredom požadovanej kružnice a jej polomer sa rovná MN. Poďme ju prejsť.

3. Dôkaz. Konštrukciou je kruh podobný, O je stred podobnosti. Vyplýva to z podobnosti trojuholníkov OMN a OMN, takže keďže sa kruh dotýka strán uhla, potom sa kruh bude dotýkať aj strán uhla.

4. Výskum. Problém má dve riešenia, pretože OM sa pretína s kružnicou v dvoch bodoch M a M, z ktorých každý bude zodpovedať vlastnej kružnici prechádzajúcej bodom M a dotýkajúcej sa strán AOB.

Didaktickým cieľom etapy, ktorá zlepšuje schopnosť riešiť problémy vyššie uvedeného typu, je prenesenie vytvorenej zručnosti do zložitejších problémov, najmä do nasledujúcich situácií: želaná postava zaujíma určitú pozíciu vo vzťahu k daným bodom, resp. línií, pričom eliminácia jednej z podmienok problému vedie k systému podobných alebo homotetických figúrok. Uveďme príklad takejto úlohy.

Úloha. Napíšte štvorec do daného trojuholníka tak, aby dva jeho vrcholy ležali na jednej strane trojuholníka a ďalšie dva na ďalších dvoch stranách.

Úlohy zodpovedajúce cieľom tejto etapy sú vylúčené z úloh povinnej úrovne. Preto sú ponúkané len úspešným študentom. V tejto fáze sa hlavná pozornosť venuje individuálnej vyhľadávacej činnosti študentov.

Spravidla sa dva trojuholníky považujú za podobné, ak majú rovnaký tvar, aj keď sú rôzne veľké, otočené alebo dokonca obrátene.

Matematické znázornenie dvoch podobných trojuholníkov A 1 B 1 C 1 a A 2 B 2 C 2 znázornených na obrázku je napísané takto:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Dva trojuholníky sú podobné, ak:

1. Každý uhol jedného trojuholníka sa rovná zodpovedajúcemu uhlu iného trojuholníka:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 a ∠C1 = ∠C2

2. Pomery strán jedného trojuholníka k príslušným stranám iného trojuholníka sú navzájom rovnaké:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Vzťahy dve strany jedného trojuholníka k zodpovedajúcim stranám iného trojuholníka sú si navzájom rovné a súčasne
uhly medzi týmito stranami sú rovnaké:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ a $\uhol A_1 = \uhol A_2$
alebo
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ a $\uhol B_1 = \uhol B_2$
alebo
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ a $\uhol C_1 = \uhol C_2$

Podobné trojuholníky by sa nemali zamieňať s rovnakými trojuholníkmi. Zhodné trojuholníky majú zodpovedajúce dĺžky strán. Takže pre rovnaké trojuholníky:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Z toho vyplýva, že všetky rovnaké trojuholníky sú podobné. Nie všetky podobné trojuholníky sú však rovnaké.

Hoci vyššie uvedený zápis ukazuje, že na to, aby sme zistili, či sú dva trojuholníky podobné alebo nie, potrebujeme poznať hodnoty troch uhlov alebo dĺžky troch strán každého trojuholníka, aby sme vyriešili problémy s podobnými trojuholníkmi, stačí poznať akékoľvek tri hodnoty z vyššie uvedeného pre každý trojuholník. Tieto hodnoty môžu byť v rôznych kombináciách:

1) tri uhly každého trojuholníka (dĺžky strán trojuholníkov nemusia byť známe).

Alebo aspoň 2 uhly jedného trojuholníka sa musia rovnať 2 uhlom iného trojuholníka.
Pretože ak sú 2 uhly rovnaké, bude rovnaký aj tretí uhol. (Hodnota tretieho uhla je 180 - uhol1 - uhol2)

2) dĺžky strán každého trojuholníka (netreba poznať uhly);

3) dĺžky dvoch strán a uhol medzi nimi.

Ďalej uvažujeme o riešení niektorých problémov s podobnými trojuholníkmi. Najprv sa pozrieme na problémy, ktoré možno vyriešiť priamym použitím vyššie uvedených pravidiel, a potom budeme diskutovať o niektorých praktických problémoch, ktoré možno vyriešiť pomocou metódy podobných trojuholníkov.

Praktické úlohy s podobnými trojuholníkmi

Príklad č. 1: Ukážte, že dva trojuholníky na obrázku nižšie sú podobné.

rozhodnutie:
Keďže dĺžky strán oboch trojuholníkov sú známe, možno tu použiť druhé pravidlo:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Príklad č. 2: Ukážte, že dva dané trojuholníky sú podobné a nájdite dĺžky strán PQ a PR.

rozhodnutie:
∠A = ∠P a ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(pretože ∠C = 180 - ∠A - ∠B a ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Z toho vyplýva, že trojuholníky ∆ABC a ∆PQR sú podobné. teda:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \šípka doprava PQ=\frac(4\times12)(6) = 8 $ a
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Pravá šípka PR=\frac(7\times12)(6) = 14 $

Príklad č. 3: Určite dĺžku AB v tomto trojuholníku.

rozhodnutie:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED a ∠A spoločné => trojuholníky ΔABC a ΔADE sú podobné.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Šípka doprava 2\krát AB = AB + 4 \Šípka doprava AB = 4$

Príklad č. 4: Určite dĺžku AD(x) geometrický obrazec na obrázku.

Trojuholníky ∆ABC a ∆CDE sú podobné, pretože AB || DE a majú spoločný horný roh C.
Vidíme, že jeden trojuholník je zmenšenou verziou druhého. Musíme to však dokázať matematicky.

AB || DE, CD || AC a BC || EÚ
∠BAC = ∠EDC a ∠ABC = ∠DEC

Na základe vyššie uvedeného a pri zohľadnení prítomnosti spoločného uhla C, môžeme konštatovať, že trojuholníky ∆ABC a ∆CDE sú podobné.

teda:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Šípka doprava CA = \frac(15 \krát 11)(7 ) = 23,57 USD
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Praktické príklady

Príklad č. 5: Továreň používa naklonený dopravný pás na prepravu produktov z úrovne 1 do úrovne 2, čo je 3 metre nad úrovňou 1, ako je znázornené na obrázku. Naklonený dopravník sa obsluhuje z jedného konca na úroveň 1 az druhého konca na pracovisko umiestnené vo vzdialenosti 8 metrov od prevádzkového bodu úrovne 1.

Továreň chce vylepšiť dopravník, aby sa dostal na novú úroveň, ktorá je 9 metrov nad úrovňou 1, pri zachovaní uhla dopravníka.

Určite vzdialenosť, v ktorej musíte nastaviť novú pracovnú stanicu, aby ste zabezpečili, že dopravník bude fungovať na svojom novom konci na úrovni 2. Vypočítajte tiež dodatočnú vzdialenosť, ktorú produkt prejde pri presune na novú úroveň.

rozhodnutie:

Najprv označme každý priesečník konkrétnym písmenom, ako je znázornené na obrázku.

Na základe úvah uvedených vyššie v predchádzajúcich príkladoch môžeme konštatovať, že trojuholníky ∆ABC a ∆ADE sú podobné. teda

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \šípka AB doprava = \frac(8 \krát 9)(3 ) = 24 miliónov $
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Preto musí byť nový bod inštalovaný vo vzdialenosti 16 metrov od existujúceho bodu.

A keďže sa štruktúra skladá z pravouhlých trojuholníkov, môžeme vypočítať cestovnú vzdialenosť produktu takto:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Podobne $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
čo je vzdialenosť, ktorú produkt prejde v momente, keď dosiahne existujúcu úroveň.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Ide o ďalšiu vzdialenosť, ktorú musí produkt prejsť, aby dosiahol novú úroveň.

Príklad č. 6: Steve chce navštíviť svojho priateľa, ktorý sa nedávno presťahoval do nového domu. Cestná mapa, ako sa dostať do domu Steva a jeho priateľa, spolu so vzdialenosťami, ktoré Steve pozná, je zobrazená na obrázku. Pomôž Stevovi dostať sa do domu jeho priateľa najkratšou cestou.

rozhodnutie:

Cestovnú mapu možno znázorniť geometricky v nasledujúcej forme, ako je znázornené na obrázku.

Vidíme, že trojuholníky ∆ABC a ∆CDE sú podobné, preto:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Vo vyhlásení o úlohe sa uvádza, že:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km a DE = 5 km

Pomocou týchto informácií môžeme vypočítať nasledujúce vzdialenosti:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \krát CD)(BC) = \frac(13,13 \krát 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve sa môže dostať do domu svojho priateľa pomocou nasledujúcich trás:

A -> B -> C -> E -> G, celková vzdialenosť je 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, celková vzdialenosť je 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, celková vzdialenosť je 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, celková vzdialenosť je 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Preto je cesta č. 3 najkratšia a môže byť ponúknutá Stevovi.

Príklad 7:
Trisha chce zmerať výšku domu, no nemá vhodné nástroje. Všimla si, že pred domom rastie strom a rozhodla sa využiť svoju vynaliezavosť a znalosti z geometrie získané v škole na určenie výšky budovy. Zmerala vzdialenosť od stromu k domu, výsledok bol 30 m. Potom sa postavila pred strom a začala cúvať, až kým nad vrcholom stromu nebolo vidieť hornú hranu budovy. Trisha označila miesto a zmerala vzdialenosť od neho k stromu. Táto vzdialenosť bola 5 m.

Výška stromu je 2,8 m a výška Trishiných očí je 1,6 m. Pomôžte Trishe určiť výšku budovy.

rozhodnutie:

Geometrické znázornenie problému je znázornené na obrázku.

Najprv použijeme podobnosť trojuholníkov ∆ABC a ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2,8 \times AC = 1,6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \krát AC$

$(2,8 – 1,6) \krát AC = 8 \Šípka doprava AC = \frac(8)(1,2) = 6,67 $

Potom môžeme použiť podobnosť trojuholníkov ∆ACB a ∆AFG alebo ∆ADE a ∆AFG. Vyberme si prvú možnosť.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \šípka vpravo H = \frac(1,6 )(0,16) = 10 m$

Úloha 1. Zostrojte trojuholník poznajúc jeho dva uhly a obvod.

rozhodnutie. Poznanie uhlov trojuholníka ho už určuje až po transformáciu podobnosti. Preto na vyriešenie úlohy zostrojíme ľubovoľný trojuholník LS, s danými uhlami (obr. 277). Zostáva podobným spôsobom transformovať trojuholník tak, aby sa jeho obvod rovnal danej hodnote.

Za týmto účelom odložte jeho strany na predĺženie strany, segment sa bude rovnať obvodu trojuholníka. Vezmite ľubovoľný segment KL rovnobežný so segmentom, ale rovný danému obvodu. Spojíme konce oboch rovnobežných segmentov a za stred podobnosti vezmeme bod O priesečníka priamok. Konštrukciu vrcholov A a C požadovaného trojuholníka je možné vidieť na obr. 277, jeho strany AB a CB sú rovnobežné s príslušnými stranami trojuholníka.

V prípade trojuholníka - už želaný.

Úloha 2. Daný uhol, ktorý zvierajú lúče OA a OB, a bod N vnútri tohto uhla. Zostrojte kružnicu, ktorá sa dotýka strán rohu a prechádza daným bodom N (obr. 278).

rozhodnutie. Kruh dotýkajúci sa strán uhla musí byť vycentrovaný na os tohto uhla. Zoberme si ľubovoľný bod na tejto osi a zostrojme kružnicu so stredom po stranách rohu (jej polomer sa jednoducho rovná vzdialenosti bodu od strán rohu). Ak teraz transformujeme túto kružnicu podobne so stredom podobnosti vo vrchole uhla O, potom opäť dostaneme kružnicu so stredom na os; takáto kružnica sa bude opäť dotýkať strán rohu, pretože jej polomer vedúci k bodu dotyku v dôsledku zachovania uhlov prejde do polomeru kolmého na stranu rohu. Zostáva zabezpečiť splnenie druhej podmienky: transformovaný kruh musí prechádzať bodom N. Z toho vyplýva riešenie úlohy. Nakreslite lúč ON na priesečník s kružnicou v bodoch a zostrojte jeho polomery vedúce k týmto bodom. Cez daný bod N nakreslíme priamky NC a NC rovnobežné s týmito polomermi; body ich priesečníka C, C s osou a uveďte možné polohy stredu požadovaného kruhu. Problém má dve riešenia. Ako sa zmení riešenie, ak bod N leží na osi uhla?

Cvičenia

1. Obvod trojuholníka je 10 cm a jeho obsah Aký je obvod podobného trojuholníka, ak je jeho obsah?

2. Dokážte, že rovnoramenné trojuholníky s rovnakými vrcholovými uhlami sú podobné.

3. Zostrojte trojuholník podobný uvedenému a vpísaný do kružnice s daným polomerom.

4. Napíšte štvorec do daného trojuholníka ABC tak, aby jedna z jeho strán ležala na strane BC trojuholníka a dva vrcholy boli na ďalších dvoch stranách trojuholníka.