Pojem n-tej odmocniny reálneho čísla. Koreň n-tého stupňa: definície, označenie, príklady

Scenár lekcie v 11. ročníku na tému:

N-tá odmocnina reálneho čísla. »

Účel lekcie: Formovanie holistického pohľadu na koreň u študentov n--tý stupeň a aritmetický koreň n-tého stupňa, formovanie výpočtových schopností, schopnosti vedomého a racionálneho využívania vlastností odmocniny pri riešení rôznych problémov obsahujúcich radikál. Preveriť úroveň zvládnutia otázok danej témy žiakmi.

Predmet:vytvoriť zmysluplné a organizačné podmienky pre asimiláciu materiálu na tému "Číselné a abecedné výrazy » na úrovni vnímania, porozumenia a primárneho zapamätania; vytvoriť schopnosť použiť túto informáciu pri výpočte koreňa n-tého stupňa z reálneho čísla;

Metapredmet: podporovať rozvoj počítačových zručností; schopnosť analyzovať, porovnávať, zovšeobecňovať, vyvodzovať závery;

Osobné: kultivovať schopnosť vyjadriť svoj názor, počúvať odpovede druhých, zapojiť sa do dialógu, formovať schopnosť pozitívnej spolupráce.

Plánovaný výsledok.

Predmet: vedieť aplikovať vlastnosti odmocniny n-tého stupňa z reálneho čísla v procese reálnej situácie pri výpočte koreňov, riešení rovníc.

Osobné: formovať pozornosť a presnosť vo výpočtoch, náročný postoj k sebe a svojej práci, pestovať zmysel pre vzájomnú pomoc.

Typ lekcie: hodina štúdia a primárneho upevňovania nových vedomostí

Motivácia k vzdelávacím aktivitám:

Východná múdrosť hovorí: "Koňa môžete priviesť k vode, ale nemôžete ho prinútiť piť." A nie je možné prinútiť človeka, aby sa dobre učil, ak sa sám nesnaží učiť viac, nemá chuť pracovať na svojom duševnom rozvoji. Vedomosti sú predsa len vedomosťami, keď sa získavajú myšlienkovým úsilím, a nie len pamäťou.

Naša lekcia sa bude niesť pod heslom: "Dobijeme akýkoľvek vrchol, ak sa oň budeme snažiť." Počas lekcie musíme mať čas na zdolanie niekoľkých vrcholov a každý z vás musí vynaložiť všetko úsilie, aby tieto vrcholy zdolal.

„Dnes máme lekciu, v ktorej sa musíme zoznámiť s novým pojmom: „n-tá odmocnina“ a naučiť sa aplikovať tento koncept na transformáciu rôznych výrazov.

Vaším cieľom je aktivizovať existujúce vedomosti na základe rôznych foriem práce, prispieť k štúdiu látky a získať dobré známky.
V 8. ročníku sme sa učili druhú odmocninu reálneho čísla. Druhá odmocnina súvisí s funkciou zobrazenia r=X 2. Chlapci, pamätáte si, ako sme vypočítali druhé odmocniny a aké to malo vlastnosti?
a) individuálny prieskum:

čo je to za výraz

čo je druhá odmocnina

čo je aritmetická druhá odmocnina

zoznam vlastností druhej odmocniny

b) pracujte vo dvojiciach: vypočítajte.

2. Aktualizácia vedomostí a vytvorenie problémovej situácie: Vyriešte rovnicu x 4 =1. Ako to môžeme vyriešiť? (Analyticky a graficky). Poďme to vyriešiť graficky. Aby sme to dosiahli, v jednom súradnicovom systéme zostrojíme graf funkcie y \u003d x 4 priamka y \u003d 1 (obr. 164 a). Pretínajú sa v dvoch bodoch: A (-1;1) a B(1;1). Úsečky bodov A a B, t.j. x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1, sú korene rovnice x 4 \u003d 1.
Argumentujúc rovnakým spôsobom nájdeme korene rovnice x 4 \u003d 16: Teraz sa pokúsme vyriešiť rovnicu x 4 \u003d 5; geometrické znázornenie je znázornené na obr. 164 b. Je zrejmé, že rovnica má dva korene x 1 a x 2 a tieto čísla, ako v predchádzajúcich dvoch prípadoch, sú navzájom opačné. Ale pre prvé dve rovnice boli korene nájdené bez problémov (možno ich nájsť aj bez použitia grafov) a existujú problémy s rovnicou x 4 \u003d 5: podľa výkresu nemôžeme uviesť hodnoty \ u koreňov, ale môžeme len zistiť, že jeden koreň sa nachádza v ľavom bode -1 a druhý - vpravo od bodu 1.

x 2 \u003d - (čítaj: „štvrtý koreň z piatich“).

Hovorili sme o rovnici x 4 \u003d a, kde a 0. S rovnakým úspechom by sme mohli hovoriť o rovnici x 4 \u003d a, kde a 0 a n je ľubovoľné prirodzené číslo. Napríklad pri grafickom riešení rovnice x 5 \u003d 1 nájdeme x \u003d 1 (obr. 165); riešením rovnice x 5 "= 7 zistíme, že rovnica má jeden koreň x 1, ktorý sa nachádza na osi x mierne vpravo od bodu 1 (pozri obr. 165). Pre číslo x 1 zavedieme notový zápis.

Definícia 1. Odmocnina n-tého stupňa nezáporného čísla a (n = 2, 3,4, 5, ...) je nezáporné číslo, ktoré po umocnení n vedie k číslu a.

Toto číslo sa označuje, číslo a sa nazýva koreňové číslo a číslo n je koreňový index.
Ak n = 2, potom zvyčajne nehovoria „odmocnina druhého stupňa“, ale „odmocnina“. V tomto prípade nepíšu. Toto je špeciálny prípad, ktorý ste špeciálne študovali v 8. ročník kurzu algebry.

Ak n \u003d 3, potom namiesto „koreň tretieho stupňa“ často hovoria „odmocnina kocky“. V kurze algebry v 8. ročníku prebehlo aj vaše prvé zoznámenie sa s odmocninou kocky. V kurze algebry 9. ročníka sme použili odmocninu kocky.

Takže, ak a ≥0, n= 2,3,4,5,..., potom 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Vo všeobecnosti =b a b n =a - rovnaký vzťah medzi nezápornými číslami a a b, ale druhé je opísané v jednoduchšom jazyku (používa jednoduchšie symboly) ako prvé.

Operácia nájdenia koreňa nezáporného čísla sa zvyčajne nazýva extrakcia koreňa. Táto operácia je opakom zvýšenia na zodpovedajúci výkon. Porovnaj:

Znova venujte pozornosť: v tabuľke sa objavujú iba kladné čísla, pretože to je stanovené v definícii 1. A hoci je napríklad (-6) 6 \u003d 36 správna rovnosť, prejdite od nej k zápisu pomocou druhej odmocniny, t.j. napíš, čo nemôžeš. Podľa definície - kladné číslo, takže = 6 (a nie -6). Rovnakým spôsobom, aj keď 2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16, prechádzame na znamienka koreňov, musíme napísať \u003d 2 (a súčasne ≠-2).

Niekedy sa výraz nazýva radikál (z latinského slova gadix - "koreň"). V ruštine sa výraz radikálne používa pomerne často, napríklad „radikálne zmeny“ znamenajú „radikálne zmeny“. Mimochodom, už samotné označenie koreňa pripomína slovo gadix: symbolom je štylizované písmeno r.

Operácia extrakcie odmocniny sa určuje aj pre záporné číslo odmocniny, ale len v prípade nepárneho odmocnina. Inými slovami, rovnica (-2) 5 = -32 môže byť prepísaná v ekvivalentnom tvare ako =-2. Tu sa používa nasledujúca definícia.

Definícia 2. Odmocnina nepárneho stupňa n zo záporného čísla a (n = 3,5, ...) je záporné číslo, ktoré po umocnení n vedie k číslu a.

Toto číslo, ako v definícii 1, je označené , číslo a je koreňové číslo, číslo n je koreňový index.
Takže, ak a, n=,5,7,..., potom: 1) 0; 2) () n = a.

Párny koreň má teda zmysel (t. j. je definovaný) len pre nezáporné radikálne vyjadrenie; nepárny koreň má zmysel pre akýkoľvek radikálny výraz.

5. Primárne upevnenie vedomostí:

1. Vypočítajte: č. 33,5; 33,6; 33,74 33,8 ústne a) ; b) ; v) ; G).

d) Na rozdiel od predchádzajúcich príkladov nemôžeme určiť presnú hodnotu čísla. Jasné je len to, že je väčšie ako 2, ale menšie ako 3, pretože 2 4 \u003d 16 (toto je menšie ako 17) a 3 4 \u003d 81 (toto viac ako 17). Všimnite si, že 24 je oveľa bližšie k 17 ako 34, takže existuje dôvod použiť približné znamienko rovnosti:
2. Nájdite hodnoty nasledujúcich výrazov.

Vedľa príkladu vložte príslušné písmeno.

Trochu informácií o veľkom vedcovi. René Descartes (1596-1650) francúzsky šľachtic, matematik, filozof, fyziológ, mysliteľ. René Descartes položil základy analytickej geometrie, zaviedol písmenové označenia x 2 , y 3 . Každý pozná karteziánske súradnice, ktoré definujú funkciu premennej.

3 . Riešte rovnice: a) = -2; b) = 1; c) = -4

rozhodnutie: a) Ak = -2, potom y = -8. V skutočnosti musíme dať kocku obe časti danej rovnice. Dostaneme: 3x+4= - 8; 3x = -12; x = -4. b) Argumentujeme ako v príklade a), obe strany rovnice umocníme na štvrtú mocninu. Dostaneme: x = 1.

c) Tu nie je potrebné zvyšovať na štvrtú mocninu, táto rovnica nemá riešenia. prečo? Pretože podľa definície 1 je koreň párneho stupňa nezáporné číslo.
Existuje niekoľko úloh, ktorým musíte venovať pozornosť. Keď splníte tieto úlohy, dozviete sa meno a priezvisko veľkého matematika. Tento vedec v roku 1637 ako prvý predstavil znamenie koreňa.

6. Poďme si trochu oddýchnuť.

Trieda dvíha ruky – toto je „čas“.

Hlava sa otočila - je to "dva".

Ruky dole, tešte sa – toto je „tri“.

Ruky vytočené širšie do strán na „štyri“,

Stlačenie ich rúk silou je „päť“.

Všetci chlapi si musia sadnúť – toto je „šestka“.

7. Samostatná práca:

možnosť: 2 možnosť:

b) 3-. b) 12 -6.

2. Vyriešte rovnicu: a) x 4 \u003d -16; b) 0,02 x 6 -1,28 = 0; a) x 8 \u003d -3; b) 0,3 x 9 - 2,4 \u003d 0;

c) = -2; c) = 2

8. Opakovanie: Nájdite koreň rovnice = - x. Ak má rovnica viac ako jeden koreň, napíšte do odpovede menší z koreňov.

9. Reflexia:Čo ste sa naučili na lekcii? čo bolo zaujímavé? čo bolo ťažké?

X 4 = 1 a vyriešte to graficky. Aby sme to dosiahli, v jednom súradnicovom systéme zostrojíme graf funkcie y \u003d x n priamku y \u003d 1 (obr. 164 a). Pretínajú sa v dvoch bodoch:

Sú to korene rovnice x 4 \u003d 1.
Argumentujúc rovnakým spôsobom nájdeme korene rovnice x 4 \u003d 16:

A teraz sa pokúsme vyriešiť rovnicu x 4 \u003d 5; geometrické znázornenie je znázornené na obr. 164 b. Je zrejmé, že rovnica má dva korene x 1 a x 2 a tieto čísla, ako v predchádzajúcich dvoch prípadoch, sú navzájom opačné. Ale pre prvé dve rovnice korene boli nájdené bez problémov (mohli byť nájdené bez použitia grafov), ale existujú problémy s rovnicou x 4 \u003d 5: podľa výkresu nešpecifikujeme hodnoty koreňov, ale môžeme len zistiť, že jeden koreň je umiestnený vľavo od bodu -1 a druhý - vpravo od bodu 1.
Dá sa dokázať (v podstate rovnakým spôsobom, ako to bolo urobené v našej učebnici Algebra-8 pre číslo l/b), že x 1 a x 2 sú iracionálne čísla (t. j. nekonečné neperiodické desatinné zlomky).

Keď sa matematici prvýkrát stretli s takouto situáciou, uvedomili si, že musia prísť na spôsob, ako ju opísať matematickým jazykom. Uviedli do úvahy nový symbol, ktorý nazvali koreň štvrtého stupňa, a pomocou tohto symbolu boli korene rovnice x 4 \u003d 5 napísané takto: (čítaj: „štvrtá odmocnina z piatich“).

Poznámka 1. Porovnajte tieto argumenty s podobnými argumentmi v § 17, 32 a 38. Nové termíny a nový zápis v matematike sa objavujú vtedy, keď sú potrebné na opísanie novej matematickej modelov. Toto je odrazom osobitostí matematického jazyka: jeho hlavná funkcia nie je komunikatívna – na komunikáciu, ale organizačná – na organizovanie úspešnej práce s matematickými modelmi v rôznych oblastiach poznania.

Hovorili sme o rovnici x 4 \u003d a, kde a > 0. S rovnakým úspechom by sme mohli hovoriť aj o rovnici x 4 \u003d a, kde a > 0 a n je ľubovoľné prirodzené číslo. Napríklad pri grafickom riešení rovnice x 5 \u003d 1 nájdeme x \u003d 1 (obr. 165); riešením rovnice x 5 "= 7 zistíme, že rovnica má jeden koreň xr, ktorý sa nachádza na osi x mierne vpravo od bodu 1 (pozri obr. 165). Pre číslo xx zavedieme označenie Hh .

Vo všeobecnosti, riešením rovnice x n \u003d a, kde a> 0, n e N, n> 1, získame dva korene v prípade párneho n: (obr. 164, c); v prípade nepárneho n - jeden koreň (znie: "koreň n-tého stupňa z čísla a"). Vyriešením rovnice x p \u003d 0 dostaneme jediný koreň x \u003d 0.

Poznámka 2. V matematickom jazyku, rovnako ako v bežnom jazyku, sa stáva, že ten istý termín sa používa na rôzne pojmy; takže v predchádzajúcej vete sa slovo „koreň“ používa v dvoch významoch: ako koreň rovnice (na takýto výklad ste si už dávno zvykli) a ako koreň l-tého stupňa čísla (nové výklad). Z kontextu je zvyčajne jasné, o aký výklad tohto pojmu ide.

Teraz sme pripravení poskytnúť presnú definíciu.

Definícia 1. l-tá odmocnina nezáporného čísla a (n = 2, 3,4, 5, ...) je nezáporné číslo, ktoré po umocnení na n vedie k číslu a.

Toto číslo sa označuje, číslo a sa nazýva koreňové číslo a číslo n je koreňový index.
Ak n \u003d 2, potom zvyčajne nehovoria „odmocnina druhého stupňa“, ale hovoria „„druhá odmocnina“. V tomto prípade nepíšte Toto je špeciálny prípad, ktorý ste konkrétne študovali na kurze algebry v ôsmom ročníku.

Ak n \u003d 3, potom namiesto „koreň tretieho stupňa“ často hovoria „odmocnina kocky“. V kurze algebry v 8. ročníku prebehlo aj vaše prvé zoznámenie sa s odmocninou kocky. Pri riešení príkladu 6 sme použili odmocninu v § 36.

Vo všeobecnosti ide o rovnaký matematický model (rovnaký vzťah medzi nezápornými číslami a a b), ale iba druhý je opísaný v jednoduchšom jazyku (používa jednoduchšie symboly) ako prvý.

Operácia nájdenia koreňa nezáporného čísla sa zvyčajne nazýva extrakcia koreňa. Táto operácia je opakom zvýšenia na zodpovedajúci výkon. Porovnaj:

Príklad 1 Vypočítať:

Presnejšiu približnú hodnotu čísla však možno zistiť pomocou kalkulačky, ktorá obsahuje operáciu extrakcie koreňa, približne sa rovná
Operácia extrakcie odmocniny sa určuje aj pre záporné číslo odmocniny, ale len v prípade nepárneho odmocnina. Inými slovami, rovnosť (-2)5 =-32 môže byť prepísaná v ekvivalentnom tvare ako . Tu sa používa nasledujúca definícia.

Definícia 2. Odmocnina nepárneho stupňa l zo záporného čísla a (n \u003d 3,5, ...) je záporné číslo, ktoré po umocnení n vedie k číslu a.

Toto číslo, ako v definícii 1, je označené , číslo a je koreňové číslo, číslo n je koreňový index.
takze

Párny koreň má teda zmysel (t. j. je definovaný) len pre nezáporné radikálne vyjadrenie; nepárny koreň má zmysel pre akýkoľvek radikálny výraz.
Príklad 2. Riešiť rovnice:

rozhodnutie: A keď V skutočnosti musíme dať kocku obe časti danej rovnice. Dostaneme:

b) Argumentujeme ako v príklade a), obe strany rovnice umocníme na štvrtú mocninu. Dostaneme:

c) Tu nie je potrebné zvyšovať na štvrtú mocninu, táto rovnica nemá riešenia. prečo? Pretože podľa definície 1 je koreň párneho stupňa nezáporné číslo.
d) Zvýšením oboch strán rovnice na šiestu mocninu dostaneme:

A.G. Mordkovičova algebra 10. ročník

Obsah lekcie zhrnutie lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Cvičte úlohy a cvičenia sebaskúšanie workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, schémy humor, anekdoty, vtipy, komiksové podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipy pre zvedavých cheat sheets učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok metodické odporúčania programu diskusie Integrované lekcie

Lekcia a prezentácia na tému: "n-tá odmocnina reálneho čísla"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 11
Algebraické úlohy s parametrami, ročníky 9–11
„Interaktívne úlohy na stavanie vo vesmíre pre ročníky 10 a 11“

Koreň n stupňa. Opakovanie minulosti.

Chlapci, téma dnešnej lekcie sa volá "n-tá odmocnina reálneho čísla".
V 8. ročníku sme sa učili druhú odmocninu reálneho čísla. Druhá odmocnina je spojená s funkciou v tvare $y=x^2$. Chlapci, pamätáte si, ako sme vypočítali druhé odmocniny a aké to malo vlastnosti? Zopakujte si túto tému sami.
Uvažujme funkciu v tvare $y=x^4$ a nakreslite jej graf.

Teraz graficky vyriešte rovnicu: $x^4=16$.
Nakreslíme priamku $y=16$ na náš graf funkcie a uvidíme, v ktorých bodoch sa naše dva grafy pretínajú.
Graf funkcie jasne ukazuje, že máme dve riešenia. Funkcie sa pretínajú v dvoch bodoch so súradnicami (-2;16) a (2;16). Úsečky našich bodov sú riešeniami našej rovnice: $x_1=-2$ a $x_2=2$. Je tiež ľahké nájsť korene rovnice $x^4=1$, samozrejme $x_1=-1$ a $x_2=1$.
Čo ak existuje rovnica $x^4=7$.
Zostavme si svoje funkcie:
Náš graf jasne ukazuje, že aj rovnica má dva korene. Sú symetrické okolo osi y, to znamená, že sú opačné. Z grafu funkcií nie je možné nájsť presné riešenie. Môžeme len povedať, že naše riešenia sú modulo menšie ako 2, ale väčšie ako 1. Môžeme tiež povedať, že naše korene sú iracionálne čísla.
Tvárou v tvár takémuto problému ho museli opísať matematici. Zaviedli nový zápis: $\sqrt()$, ktorý nazvali štvrtý koreň. Potom korene našej rovnice $x^4=7$ zapíšeme v tomto tvare: $x_1=-\sqrt(7)$ a $x_2=\sqrt(7)$. Číta sa ako štvrtý koreň zo siedmich.
Hovorili sme o rovnici v tvare $x^4=a$, kde $a>0$ $(a=1,7,16)$. Môžeme uvažovať rovnice v tvare: $x^n=a$, kde $a>0$, n je ľubovoľné prirodzené číslo.
Mali by sme venovať pozornosť stupňu pri x, či je stupeň párny alebo nepárny - počet riešení sa mení. Pozrime sa na konkrétny príklad. Vyriešme rovnicu $x^5=8$. Zostavme grafy funkcie:
Graf funkcií jasne ukazuje, že v našom prípade máme len jedno riešenie. Riešenie sa zvyčajne označuje ako $\sqrt(8)$. Pri riešení rovnice v tvare $x^5=a$ pozdĺž celej osi y je ľahké pochopiť, že táto rovnica bude mať vždy jedno riešenie. V tomto prípade môže byť hodnota a menšia ako nula.

Koreň n stupňa. Definícia

Definícia. Odmocnina n-tého stupňa ($n=2,3,4…$) nezáporného čísla a je také nezáporné číslo, keď po umocnení n dostaneme číslo a.

Toto číslo je označené ako $\sqrt[n](a)$. Číslo a sa nazýva koreňové číslo, n je index koreňa.

Korene druhého a tretieho stupňa sa nazývajú štvorcové a kubické korene. Učili sme sa ich v ôsmom a deviatom ročníku.
Ak $а≥0$, $n=2,3,4,5…$, potom:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
Operácia nájdenia koreňa nezáporného čísla sa volá "extrakcia koreňov".
Umocňovanie a extrakcia koreňov sú rovnaké závislosti:

Chlapci, uvedomte si, že v tabuľke sú uvedené iba kladné čísla. V definícii sme stanovili, že koreň sa berie len z nezáporného čísla a. Ďalej urobíme objasnenie, kedy je možné extrahovať koreň zo záporného čísla a.

Koreň n stupňa. Príklady riešení

Vypočítať:
a) $\sqrt(64)$.
Riešenie: $\sqrt(64)=8$ od $8>0$ a $8^2=64$.

B) $\sqrt(0,064)$.
Riešenie: $\sqrt(0,064)=0,4$ od $0,4>0$ a $0,4^3=0,064$.

C) $\sqrt(0)$.
Riešenie: $\sqrt(0)=0$.

D) $\sqrt(34)$.
Riešenie: V tomto príklade nevieme zistiť presnú hodnotu, naše číslo je iracionálne. Môžeme však povedať, že je väčšia ako 2 a menšia ako 3, keďže 2 na 5. mocninu je 32 a 3 na 5. mocninu je 243. Medzi týmito číslami leží 34. Približnú hodnotu nájdeme pomocou kalkulačky, ktorá dokáže vypočítať korene $\sqrt(34)≈2,02$ s presnosťou na tisíciny.
V našej definícii sme sa dohodli, že korene n-tého stupňa budeme počítať len z kladných čísel. Na začiatku lekcie sme videli príklad, že zo záporných čísel môžete extrahovať korene n-tého stupňa. Uvažovali sme o nepárnom exponente funkcie a teraz urobme nejaké objasnenia.

Definícia. Odmocnina nepárneho stupňa n (n = 3,5,7,9 ...) zo záporného čísla a je také záporné číslo, keď po umocnení n dostaneme a.

Označenie sa zvyčajne používa rovnako.
Ak $a 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
Párny koreň má zmysel len pre kladné číslo odmocniny, nepárny koreň má zmysel pre akékoľvek číslo odmocniny.

Príklady.
a) Vyriešte rovnice: $\sqrt(3x+3)=-3$.
Riešenie: Ak $\sqrt(y)=-3$, potom $y=-27$. To znamená, že obe strany našej rovnice musia byť rozdelené na kocky.
$3x+3=-27$.
$3x=-30$.
$ x = -10 $.

B) Vyriešte rovnice: $\sqrt(2x-1)=1$.
Zvýšte obe časti na štvrtú mocninu:
$2x-1=1$.
$2x=2$.
$x=1$.

C) Vyriešte rovnice: $\sqrt(4x-1)=-5$.
Riešenie: Podľa našej definície môže byť koreň párneho stupňa prevzatý iba z kladného čísla a dostaneme záporný, potom neexistujú žiadne korene.

D) Vyriešte rovnice: $\sqrt(x^2-7x+44)=2$.
Riešenie: Zvýšte obe strany rovnice na piatu mocninu:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ a $x_2=3$.

Úlohy na samostatné riešenie

1. Vypočítajte:
a) $\sqrt(81)$.
b) $\sqrt(0,0016)$.
c) $\sqrt(1)$.
d) $\sqrt(70)$.
2. Vyriešte rovnice:
a) $\sqrt(2x+6)=2$.
b) $\sqrt(3x-5)=-1$.
c) $\sqrt(4x-8)=-4$.
d) $\sqrt(x^2-8x+49)=2$.

alebo pomocou vzorca rozdielu štvorcov takto:

(x 2 -4) * (x 2 +4) \u003d 0.

Súčin dvoch faktorov sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z nich rovná nule.

Výraz x 2 +4 sa nemôže rovnať nule, preto zostáva iba (x 2 -4)=0.

Vyriešime to, dostaneme dve odpovede.

Odpoveď: x=-2 a x=2.

Dostali sme, že rovnica x 4 \u003d 16 má iba 2 skutočné korene. Toto sú odmocniny štvrtého stupňa od čísla 16. Kladný odmocninec sa navyše nazýva aritmetický odmocninec 4. stupňa od čísla 16. A označujú 4√16. To je 4√16=2.

Definícia

Aritmetický koreň prirodzeného stupňa n>=2 z nezáporného čísla a je nejaké nezáporné číslo, po umocnení n dostaneme číslo a.

Dá sa dokázať, že pre každé nezáporné a a prirodzené n bude mať rovnica x n = a jeden jediný nezáporný koreň. Práve tento koreň sa nazýva aritmetický koreň n-tého stupňa z čísla a.

Aritmetický koreň n-tého stupňa z čísla a je označený nasledovne n√a.

Číslo a sa v tomto prípade nazýva koreňový výraz.

V prípade, že n = 2, nepíšu dvojku, ale jednoducho píšu √a.

Aritmetické korene druhého a tretieho stupňa majú ich zvláštne mená.

Aritmetická odmocnina druhého stupňa sa nazýva druhá odmocnina a aritmetická odmocnina tretieho stupňa sa nazýva kocka.

Iba pomocou definície aritmetického koreňa je možné dokázať, že n√a sa rovná b. Ak to chcete urobiť, musíte ukázať, že:

1. b je väčšie alebo rovné nule.
2. b n = a.

Napríklad 3√(64) = 4, pretože 1. 4 > 0, 2. 4 3 = 64.

Dôsledok z definície aritmetického koreňa.

(n√a) n = a.
n√(a n) = a.

Napríklad (5√2) 5 = 2.

Extrahovanie n-tého koreňa

Vytiahnutie koreňa n-tého stupňa je činnosť, pri ktorej sa nájde koreň n-tého stupňa. Prevzatie n-tej odmocniny je opakom zvýšenia na n-tú mocninu.

Zvážte príklad.

Vyriešte rovnicu x 3 = -27.

Prepíšme túto rovnicu ako (-x) 3 =27.

Dali sme y \u003d -x, potom y 3 \u003d 27. Táto rovnica má jeden kladný koreň y= 3√27 = 3.

Táto rovnica nemá žiadne záporné korene, pretože y 3

Dostaneme, že rovnica y 3 \u003d 27 má iba jeden koreň.

Ak sa vrátime k pôvodnej rovnici, zistíme, že má tiež iba jeden koreň x=-y=-3.

Koreňový stupeň n z reálneho čísla a, kde n- prirodzené číslo, takémuto reálnemu číslu sa hovorí X, n ktorej mocnina sa rovná a.

stupňa koreňa n z čísla a označené symbolom. Podľa tejto definície.

Nájdenie koreňa n stupňa spomedzi a nazývaná extrakcia koreňov. číslo a sa nazýva koreňové číslo (výraz), n- ukazovateľ koreňa. Pre nepárny n je tam koreň n-tá mocnina pre akékoľvek reálne číslo a. Dokonca n je tam koreň n-tý stupeň len pre nezáporné číslo a. Aby sa eliminovala nejednoznačnosť koreňa n stupňa spomedzi a, zavádza sa pojem aritmetického koreňa n stupňa spomedzi a.

Pojem aritmetického koreňa stupňa N

Ak n- prirodzené číslo väčšie ako 1 , potom existuje len jedno nezáporné číslo X, tak, aby platila rovnosť. Toto číslo X nazývaný aritmetický koreň n mocnina nezáporného čísla a a je označený. číslo a volal koreňové číslo n- ukazovateľ koreňa.

Takže podľa definície zápis , kde , znamená po prvé to a po druhé, že , t.j. .

Pojem stupňa s racionálnym exponentom

Stupeň s prirodzeným exponentom: let a je skutočné číslo a n je prirodzené číslo väčšie ako jedna n-tá mocnina čísla a zavolajte do práce n multiplikátory, z ktorých každý sa rovná a, t.j. . číslo a- základ titulu, n- exponent. Exponent s nulovým exponentom: podľa definície, ak , potom . Nulová mocnina čísla 0 nedáva zmysel. Mocnina so záporným exponentom celého čísla: podľa definície, ak a n je prirodzené číslo, teda . Stupeň so zlomkovým exponentom: podľa definície, ak a n- prirodzené číslo, m je celé číslo, potom .

Operácie s koreňmi.

Vo všetkých nižšie uvedených vzorcoch symbol znamená aritmetický koreň (radikálový výraz je kladný).

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Koreň pomeru sa rovná pomeru koreňov dividendy a deliteľa:

3. Pri zvyšovaní odmocniny na mocninu stačí zvýšiť odmocninu na túto mocninu:

4. Ak zväčšíte stupeň odmocniny n-krát a súčasne zvýšite číslo odmocniny na n-tú mocninu, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížite stupeň odmocnina o n-krát a súčasne vytiahnete odmocninu n-tého stupňa z radikálneho čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

Rozšírenie pojmu titul. Doteraz sme uvažovali o stupňoch len s prirodzeným ukazovateľom; ale operácie s mocninami a odmocninami môžu viesť aj k záporným, nulovým a zlomkovým exponentom. Všetky tieto exponenty vyžadujú dodatočnú definíciu.

Stupeň so záporným exponentom. Mocnina nejakého čísla so záporným (celočíselným) exponentom je definovaná ako mocnina rovnakého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote záporného exponentu:

Teraz vzorec a m: a n \u003d a m - n možno použiť nielen pre m väčšie ako n, ale aj pre m menšie ako n.

PRÍKLAD a4: a7 = a4-7 = a-3.

Ak chceme, aby vzorec a m: a n = a m - n platil pre m = n , musíme definovať nulový stupeň.

Stupeň s nulovým exponentom. Stupeň akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom je 1.

PRÍKLADY. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3 / 5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Aby ste zvýšili skutočné číslo a na mocninu m / n, musíte extrahovať koreň n-tého stupňa z m-tej mocniny tohto čísla a:

O výrazoch, ktoré nedávajú zmysel. Existuje niekoľko takýchto výrazov.

Prípad 1

Kde a ≠ 0 neexistuje.

Ak totiž predpokladáme, že x je určité číslo, tak v súlade s definíciou operácie delenia máme: a = 0 · x, t.j. a = 0, čo je v rozpore s podmienkou: a ≠ 0

Prípad 2

Akékoľvek číslo.

Ak totiž predpokladáme, že tento výraz sa rovná nejakému číslu x, potom podľa definície operácie delenia máme: 0 = 0 · x . Ale táto rovnosť platí pre ľubovoľné číslo x, čo sa malo dokázať.

naozaj,

Riešenie. Zvážte tri hlavné prípady:

1) x = 0 - táto hodnota nespĺňa túto rovnicu

2) pre x > 0 dostaneme: x / x = 1, t.j. 1 = 1, z čoho vyplýva, že x je ľubovoľné číslo; ale vzhľadom na to, že v našom prípade x > 0 , odpoveď je x > 0 ;

3) pri x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

v tomto prípade neexistuje riešenie. Takže x > 0.

Portál pre študenta. Sebatréning