Ak je zrýchlenie hmotného bodu v každom okamihu nulové, potom je rýchlosť jeho pohybu konštantná čo do veľkosti a smeru. Trajektória je v tomto prípade priamka. Pohyb hmotného bodu za formulovaných podmienok sa nazýva rovnomerný priamočiary. Pri priamočiarom pohybe chýba dostredivá zložka zrýchlenia a keďže pohyb je rovnomerný, tangenciálna zložka zrýchlenia je nulová.
Ak zrýchlenie zostáva konštantné v čase (), potom sa pohyb nazýva rovnako premenlivý alebo nerovnomerný. Rovnako premenlivý pohyb môže byť rovnomerne zrýchlený, ak a > 0, a rovnako pomalý, ak a< 0. В этом случае мгновенное ускорение оказывается равным среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (1.5) следует а = Dv/Dt = (v-v o)/t, откуда
(1.7)
kde v o - počiatočná rýchlosť v t=0, v - rýchlosť v čase t.
Podľa vzorca (1.4) ds = vdt. Potom 
Keďže pre rovnomerný pohyb a=konšt
(1.8)
Vzorce (1.7) a (1.8) platia nielen pre rovnomerne premenlivý (nerovnomerný) priamočiary pohyb, ale aj pre voľný pád telesa a pre pohyb telesa vymršteného nahor. V posledných dvoch prípadoch a \u003d g \u003d 9,81 m / s 2.
Pre rovnomerný priamočiary pohyb v = v o = const, a = 0 a vzorec (1.8) má tvar s = vt.
Kruhový pohyb je najjednoduchší prípad krivočiareho pohybu. Rýchlosť v pohybu hmotného bodu po kružnici sa nazýva lineárna. Pri konštantnej modulovej lineárnej rýchlosti je pohyb v kruhu rovnomerný. Neexistuje žiadne tangenciálne zrýchlenie hmotného bodu počas rovnomerného pohybu po kružnici a t \u003d 0. To znamená, že nedochádza k žiadnej zmene modulu rýchlosti. Zmena vektora lineárnej rýchlosti v smere je charakterizovaná normálovým zrýchlením a n ¹ 0. V každom bode kruhovej trajektórie je vektor a n nasmerovaný pozdĺž polomeru do stredu kruhu.
a n \u003d v 2 / R, m / s 2. (1,9)
Výsledné zrýchlenie je skutočne dostredivé (normálne), keďže pri Dt->0 má aj Dj tendenciu k nule (Dj->0) a vektory a budú smerovať po polomere kruhu do jeho stredu.
Spolu s lineárnou rýchlosťou v je rovnomerný pohyb hmotného bodu po kružnici charakterizovaný uhlovou rýchlosťou. Uhlová rýchlosť je pomer uhla natočenia Dj vektora polomeru k časovému intervalu, počas ktorého k tomuto otočeniu došlo,
Rad/s (1,10)
Pre nerovnomerný pohyb sa používa koncept okamžitej uhlovej rýchlosti
.
Časový interval t, počas ktorého materiálový bod vykoná jednu úplnú otáčku po obvode, sa nazýva perióda rotácie a prevrátená perióda je frekvencia rotácie: n \u003d 1 / T, s -1.
Počas jednej periódy je uhol rotácie vektora polomeru hmotného bodu 2π rad, teda Dt \u003d T, odkiaľ pochádza perióda rotácie, a uhlová rýchlosť je funkciou periódy alebo frekvencie rotácie.
Je známe, že pri rovnomernom pohybe hmotného bodu po kružnici závisí ním prejdená dráha od času pohybu a lineárnej rýchlosti: s = vt, m Dráha, ktorú hmotný bod prejde po kružnici s polomerom R , za periódu sa rovná 2πR. Čas potrebný na to sa rovná perióde rotácie, to znamená t \u003d T. A preto
2πR = vT, m (1,11)
a v = 2nR/T = 2nR, m/s. Pretože uhol natočenia vektora polomeru hmotného bodu počas periódy otáčania T je rovný 2π, potom na základe (1.10) platí, že Dt = T, . Dosadením do (1.11) dostaneme a odtiaľ nájdeme vzťah medzi lineárnou a uhlovou rýchlosťou
Uhlová rýchlosť je vektorová veličina. Vektor uhlovej rýchlosti smeruje od stredu kružnice, po ktorej sa hmotný bod pohybuje lineárnou rýchlosťou v, kolmo na rovinu kružnice podľa pravidla pravej skrutky.
Pri nerovnomernom pohybe hmotného bodu po kružnici sa mení lineárna a uhlová rýchlosť. Analogicky s lineárnym zrýchlením sa v tomto prípade zavádza pojem priemerné uhlové zrýchlenie a okamžité: 
. Vzťah medzi tangenciálnym a uhlovým zrýchlením má tvar .
Pôsobenie sily na teleso môže v niektorých prípadoch viesť k zmene iba modulu vektora rýchlosti tohto telesa av iných k zmene smeru rýchlosti. Ukážme si to na príkladoch.
Obrázok 34, a zobrazuje loptu ležiacu na stole v bode A. Lopta je priviazaná k jednému z koncov gumenej šnúry. Druhý koniec šnúry je pripevnený k stolu v bode O. Ak sa loptička presunie do bodu B, šnúra sa natiahne. V tomto prípade sa v ňom objaví elastická sila F, ktorá pôsobí na loptu a má tendenciu vrátiť ju do pôvodnej polohy.
Ak teraz pustíme loptu, potom sa pôsobením sily F zrýchli smerom k bodu A. V tomto prípade je rýchlosť lopty v ktoromkoľvek bode trajektórie (napríklad v bode C) v spoločnom smere s elastická sila a zrýchlenie vyplývajúce z pôsobenia tejto sily. V tomto prípade sa mení iba modul vektora rýchlosti lopty, zatiaľ čo smer vektora rýchlosti zostáva nezmenený a lopta sa pohybuje priamočiaro.
Ryža. 34. Ak rýchlosť telesa a sila, ktorá naň pôsobí, smeruje pozdĺž jednej priamky, potom sa teleso pohybuje priamočiaro a ak sú nasmerované pozdĺž pretínajúcich sa čiar, teleso sa pohybuje krivočiaro
Uvažujme teraz o príklade, v ktorom sa loptička pod pôsobením elastickej sily pohybuje krivočiaro (t.j. trajektória jej pohybu je zakrivená čiara). Obrázok 34, b znázorňuje tú istú guľu na gumenej šnúre, ležiacu v bode A. Zatlačíme loptičku do bodu B, t.j. dáme jej počiatočnú rýchlosť smerujúcu kolmo na segment O A. Ak na loptičku nepôsobia žiadne sily, potom zachovala by si veľkosť a smer výslednej rýchlosti (spomeňte si na jav zotrvačnosti). Ale pohybom do bodu B sa loptička vzdiali od bodu O a mierne natiahne šnúru. Preto v šnúre vzniká elastická sila F, ktorá sa ju snaží skrátiť na pôvodnú dĺžku a zároveň priviesť loptu bližšie k bodu O. V dôsledku tejto sily sa smer rýchlosti lopty v každom okamihu jej pohyb sa mierne mení, takže sa pohybuje po krivočiarej trajektórii AC. V ktoromkoľvek bode trajektórie (napríklad v bode C) je rýchlosť gule v a sila F nasmerovaná pozdĺž pretínajúcich sa čiar: rýchlosť je tangenciálna k trajektórii a sila smeruje k bodu O.
Uvažované príklady ukazujú, že pôsobenie sily na teleso môže viesť k rôznym výsledkom v závislosti od smeru vektorov rýchlosti a sily.
Ak je rýchlosť telesa a sila, ktorá naň pôsobí, nasmerovaná pozdĺž jednej priamky, potom sa teleso pohybuje priamočiaro, a ak sú nasmerované pozdĺž pretínajúcich sa čiar, potom sa teleso pohybuje krivočiaro.
Platí aj opačné tvrdenie: ak sa teleso pohybuje krivočiaro, potom to znamená, že naň pôsobí nejaká sila, ktorá mení smer rýchlosti a v každom bode sú sila a rýchlosť nasmerované pozdĺž pretínajúcich sa priamok.
Existuje nespočetné množstvo rôznych krivočiarych trajektórií. Ale často zakrivené čiary, ako je čiara ABCDEF (obr. 35), môžu byť reprezentované ako súbor oblúkov kružníc rôznych polomerov.
Ryža. 35. Dráhu ABCDEF možno znázorniť ako súbor oblúkov kružníc rôznych polomerov
Preto sa v mnohých prípadoch štúdium krivočiareho pohybu telesa redukuje na štúdium jeho pohybu v kruhu.
Otázky
- Zoberme si obrázok 34 a odpovedzte na otázky: pod vplyvom akej sily nadobudne loptička rýchlosť a pohybuje sa z bodu B do bodu A? Čo spôsobilo túto silu? Aký je smer zrýchlenia, rýchlosť lopty a sila, ktorá na ňu pôsobí? Aká je dráha lopty?
- Zoberme si obrázok 34, C odpovedzte na otázky: prečo vznikla elastická sila v šnúre a ako je nasmerovaná vo vzťahu k samotnej šnúre? Čo možno povedať o smere rýchlosti lopty a elastickej sile kordu, ktorá na ňu pôsobí? Ako sa loptička pohybuje - rovno alebo zakrivene?
- Za akých podmienok sa teleso pôsobením sily pohybuje priamočiaro a za akých podmienok sa pohybuje v krivočiarom smere?
Cvičenie 17
Pomocou tejto lekcie budete môcť samostatne študovať tému „Priamočiary a krivočiary pohyb. Pohyb telesa po kružnici s konštantnou modulovou rýchlosťou. Najprv charakterizujeme priamočiary a krivočiary pohyb tým, že zvážime, ako súvisí vektor rýchlosti a sila pôsobiaca na telo pri týchto typoch pohybu. Ďalej uvažujeme o špeciálnom prípade, keď sa teleso pohybuje po kružnici s konštantnou modulovou rýchlosťou.
V predchádzajúcej lekcii sme uvažovali o problémoch súvisiacich so zákonom univerzálnej gravitácie. S týmto zákonom úzko súvisí téma dnešnej hodiny, prejdeme k rovnomernému pohybu telesa po kružnici.
Predtým sme to povedali premávka - ide o zmenu polohy telesa v priestore vzhľadom na iné telesá v priebehu času. Pohyb a smer pohybu charakterizuje okrem iného aj rýchlosť. Zmena rýchlosti a samotný druh pohybu sú spojené s pôsobením sily. Ak na teleso pôsobí sila, teleso mení svoju rýchlosť.
Ak je sila nasmerovaná rovnobežne s pohybom tela, potom takýto pohyb bude priamočiary(obr. 1).
Ryža. 1. Priamočiary pohyb
krivočiary dôjde k takémuto pohybu, keď rýchlosť telesa a sila pôsobiaca na toto teleso smerujú voči sebe pod určitým uhlom (obr. 2). V tomto prípade rýchlosť zmení svoj smer.
Ryža. 2. Krivočiary pohyb
Takže, o priamočiary pohyb vektor rýchlosti smeruje rovnakým smerom ako sila pôsobiaca na teleso. ALE krivočiary pohyb je taký pohyb, keď vektor rýchlosti a sila pôsobiaca na teleso sú umiestnené v určitom uhle voči sebe.
Uvažujme o špeciálnom prípade krivočiareho pohybu, keď sa teleso pohybuje po kružnici konštantnou rýchlosťou v absolútnej hodnote. Keď sa teleso pohybuje v kruhu konštantnou rýchlosťou, mení sa iba smer rýchlosti. Modulo zostáva konštantný, ale mení sa smer rýchlosti. Takáto zmena rýchlosti vedie k prítomnosti zrýchlenia v tele, ktoré je tzv dostredivý.
Ryža. 6. Pohyb po zakrivenej dráhe
Ak je trajektória pohybu tela krivka, potom ju možno znázorniť ako súbor pohybov pozdĺž oblúkov kružníc, ako je znázornené na obr. 6.
Na obr. 7 ukazuje, ako sa mení smer vektora rýchlosti. Rýchlosť pri takomto pohybe smeruje tangenciálne ku kružnici, po ktorej oblúku sa teleso pohybuje. Jeho smer sa teda neustále mení. Aj keď rýchlosť modulo zostane konštantná, zmena rýchlosti vedie k zrýchleniu:
V tomto prípade zrýchlenie bude smerovať do stredu kruhu. Preto sa nazýva dostredivý.
Prečo je dostredivé zrýchlenie nasmerované do stredu?
Pripomeňme si, že ak sa teleso pohybuje po zakrivenej dráhe, jeho rýchlosť je tangenciálna. Rýchlosť je vektorová veličina. Vektor má číselnú hodnotu a smer. Rýchlosť pohybu tela neustále mení svoj smer. To znamená, že rozdiel v rýchlostiach v rôznych časových bodoch sa nebude rovnať nule (), na rozdiel od priamočiareho rovnomerného pohybu.
Takže máme zmenu rýchlosti za určité časové obdobie. Vzťah k je zrýchlenie. Dospeli sme k záveru, že aj keď sa rýchlosť nemení v absolútnej hodnote, teleso, ktoré vykonáva rovnomerný pohyb po kružnici, má zrýchlenie.
Kam smeruje toto zrýchlenie? Zvážte Obr. 3. Niektoré teleso sa pohybuje krivočiaro (v oblúku). Rýchlosť telesa v bodoch 1 a 2 je tangenciálna. Teleso sa pohybuje rovnomerne, to znamená, že moduly rýchlostí sú rovnaké: , ale smery rýchlostí sa nezhodujú.
Ryža. 3. Pohyb tela v kruhu
Odčítajte rýchlosť od a získajte vektor. Aby ste to dosiahli, musíte spojiť začiatky oboch vektorov. Paralelne presunieme vektor na začiatok vektora . Staviame do trojuholníka. Tretia strana trojuholníka bude vektor rozdielu rýchlosti (obr. 4).
Ryža. 4. Vektor rozdielu rýchlosti
Vektor smeruje ku kruhu.
Uvažujme trojuholník tvorený vektormi rýchlosti a diferenčným vektorom (obr. 5).
Ryža. 5. Trojuholník tvorený vektormi rýchlosti
Tento trojuholník je rovnoramenný (moduly rýchlosti sú rovnaké). Takže uhly na základni sú rovnaké. Napíšme rovnicu pre súčet uhlov trojuholníka:
Zistite, kam smeruje zrýchlenie v danom bode trajektórie. Aby sme to dosiahli, začneme približovať bod 2 k bodu 1. S takouto neobmedzenou starostlivosťou bude mať uhol sklon k 0 a uhol - k. Uhol medzi vektorom zmeny rýchlosti a samotným vektorom rýchlosti je . Rýchlosť smeruje tangenciálne a vektor zmeny rýchlosti smeruje k stredu kruhu. To znamená, že zrýchlenie smeruje aj do stredu kruhu. Preto sa toto zrýchlenie nazýva dostredivý.
Ako nájsť dostredivé zrýchlenie?
Zvážte trajektóriu, po ktorej sa telo pohybuje. V tomto prípade ide o oblúk kruhu (obr. 8).
Ryža. 8. Pohyb tela v kruhu
Obrázok ukazuje dva trojuholníky: trojuholník tvorený rýchlosťami a trojuholník tvorený polomermi a vektorom posunutia. Ak sú body 1 a 2 veľmi blízko, potom bude vektor posunutia rovnaký ako vektor dráhy. Oba trojuholníky sú rovnoramenné s rovnakými vrcholovými uhlami. Takže trojuholníky sú podobné. To znamená, že zodpovedajúce strany trojuholníkov sú v rovnakom pomere:
Posun sa rovná súčinu rýchlosti a času: . Nahradením tohto vzorca môžete získať nasledujúci výraz pre dostredivé zrýchlenie:
Uhlová rýchlosť označuje sa gréckym písmenom omega (ω), udáva, pod akým uhlom sa teleso otočí za jednotku času (obr. 9). Toto je veľkosť oblúka v stupňoch, ktorým telo prejde za určitý čas.
Ryža. 9. Uhlová rýchlosť
Všimnite si, že ak sa tuhé teleso otáča, potom bude uhlová rýchlosť pre všetky body na tomto telese konštantnou hodnotou. Bod je bližšie k stredu otáčania alebo ďalej - na tom nezáleží, to znamená, že nezávisí od polomeru.
Jednotkou merania budú v tomto prípade stupne za sekundu () alebo radiány za sekundu (). Slovo „radián“ sa často nepíše, ale jednoducho napíše. Poďme napríklad zistiť, aká je uhlová rýchlosť Zeme. Zem sa úplne otočí za jednu hodinu a v tomto prípade môžeme povedať, že uhlová rýchlosť sa rovná:
Venujte pozornosť aj vzťahu medzi uhlovou a lineárnou rýchlosťou:
Lineárna rýchlosť je priamo úmerná polomeru. Čím väčší je polomer, tým väčšia je lineárna rýchlosť. Pohybom od stredu otáčania teda zvyšujeme našu lineárnu rýchlosť.
Je potrebné poznamenať, že pohyb v kruhu konštantnou rýchlosťou je špeciálnym prípadom pohybu. Kruhový pohyb však môže byť aj nerovnomerný. Rýchlosť sa môže meniť nielen smerom a zostať rovnaká v absolútnej hodnote, ale aj meniť svoju hodnotu, t.j. okrem zmeny smeru dochádza aj k zmene rýchlostného modulu. V tomto prípade hovoríme o takzvanom zrýchlenom kruhovom pohybe.
čo je radián?
Na meranie uhlov existujú dve jednotky: stupne a radiány. Vo fyzike je spravidla hlavnou mierou radiánu uhla.
Zostrojme stredový uhol , ktorý sa spolieha na oblúk dĺžky .
mechanický pohyb. Relativita mechanického pohybu. Referenčný systém
Mechanickým pohybom sa rozumie zmena v čase vo vzájomnej polohe telies alebo ich častí v priestore: napríklad pohyb nebeských telies, kolísanie zemskej kôry, vzdušné a morské prúdenie, pohyb lietadiel a dopravných prostriedkov, strojov a pod. mechanizmov, deformácie konštrukčných prvkov a štruktúr, pohyb kvapalín a plynov a pod.
Relativita mechanického pohybu
Relativitu mechanického pohybu poznáme už od detstva. Keď teda sedíme vo vlaku a pozeráme sa na idúci vlak, ktorý predtým stál na súbežnej koľaji, často nevieme určiť, ktorý z vlakov sa vlastne dal do pohybu. A tu by sa malo okamžite objasniť: pohybovať sa vzhľadom na čo? Čo sa týka Zeme, samozrejme. Pretože sme sa začali pohybovať vzhľadom na susedný vlak, bez ohľadu na to, ktorý z vlakov začal svoj pohyb vzhľadom na Zem.
Relativita mechanického pohybu spočíva v relativite rýchlostí pohybu telies: rýchlosti telies vo vzťahu k rôznym referenčným systémom budú rôzne (rýchlosť osoby pohybujúcej sa vo vlaku, parníku, lietadle sa bude líšiť veľkosťou aj rýchlosťou smer, v závislosti od toho, v ktorom referenčnom systéme sú tieto rýchlosti určené: v referenčnom rámci spojenom s pohybujúcim sa vozidlom alebo so stojacou Zemou).
Odlišné budú aj trajektórie pohybu telesa v rôznych referenčných sústavách. Takže napríklad kvapky dažďa dopadajúce kolmo na zem zanechajú na okne uháňajúceho vlaku stopu v podobe šikmých trysiek. Rovnakým spôsobom akýkoľvek bod na rotujúcej vrtuli lietajúceho lietadla alebo vrtuľníka klesajúceho k zemi opisuje kružnicu vzhľadom k lietadlu a oveľa zložitejšiu krivku - špirálu vzhľadom k Zemi. Pri mechanickom pohybe je teda aj dráha pohybu relatívna.
Dráha, ktorú telo prejde, závisí aj od referenčného rámca. Keď sa vrátime k tomu istému cestujúcemu, ktorý sedí vo vlaku, chápeme, že vzdialenosť, ktorú prekonal vo vzťahu k vlaku počas cesty, sa rovná nule (ak sa nepohyboval okolo auta) alebo v každom prípade oveľa menšia ako vzdialenosť. že pokryl spolu s vlakom vzhľadom na Zem. Pri mechanickom pohybe je teda aj dráha relatívna.
Uvedomenie si relativity mechanického pohybu (teda faktu, že pohyb telesa možno uvažovať v rôznych vzťažných sústavách) viedlo k prechodu z geocentrického systému sveta Ptolemaia do heliocentrického systému Kopernika. Ptolemaios, ktorý sledoval pohyb Slnka a hviezd na oblohe pozorovaný od staroveku, umiestnil nehybnú Zem do stredu vesmíru so zvyškom nebeských telies, ktoré sa okolo nej otáčali. Kopernik tiež veril, že Zem a ostatné planéty sa točia okolo Slnka a súčasne okolo svojich osí.
Zmena referenčného systému (Zem - v geocentrickom systéme sveta a Slnko - v heliocentrickom) teda viedla k oveľa progresívnejšiemu heliocentrickému systému, ktorý umožňuje riešiť mnohé vedecké a aplikované problémy astronómie. a zmeniť pohľady ľudstva na vesmír.
Súradnicový systém $X, Y, Z$, vzťažné teleso, s ktorým je spojený, a zariadenie na meranie času (hodiny) tvoria referenčnú sústavu, voči ktorej sa zohľadňuje pohyb telesa.
referenčný orgán nazýva sa teleso, vzhľadom na ktoré sa uvažuje o zmene polohy iných telies v priestore.
Referenčný systém je možné zvoliť ľubovoľne. V kinematických štúdiách sú všetky referenčné rámce rovnaké. V problémoch dynamiky je možné použiť aj ľubovoľne sa pohybujúce referenčné sústavy, ale najvhodnejšie sú inerciálne referenčné sústavy, pretože pohybové charakteristiky v nich majú jednoduchšiu formu.
Materiálny bod
Hmotný bod je objekt zanedbateľnej veľkosti, ktorý má hmotnosť.
Pojem „hmotný bod“ sa zavádza na opísanie (pomocou matematických vzorcov) mechanického pohybu telies. Deje sa tak preto, lebo je jednoduchšie opísať pohyb bodu ako reálneho telesa, ktorého častice sa navyše môžu pohybovať rôznou rýchlosťou (napríklad pri rotácii telesa alebo pri deformáciách).
Ak je skutočné teleso nahradené hmotným bodom, potom sa tomuto bodu pripisuje hmotnosť tohto telesa, ale zanedbajú sa jeho rozmery a zároveň rozdiel v charakteristikách pohybu jeho bodov (rýchlosti, zrýchlenia). , atď.), ak existuje, sa zanedbáva. V akých prípadoch to možno urobiť?
Takmer každé teleso možno považovať za hmotný bod, ak sú vzdialenosti, ktoré prechádzajú body telesa, veľmi veľké v porovnaní s jeho rozmermi.
Napríklad Zem a ďalšie planéty sa pri štúdiu ich pohybu okolo Slnka považujú za hmotné body. V tomto prípade rozdiely v pohybe rôznych bodov ktorejkoľvek planéty, spôsobené jej dennou rotáciou, neovplyvňujú veličiny popisujúce ročný pohyb.
Ak teda pri skúmanom pohybe telesa možno zanedbať jeho otáčanie okolo osi, možno takéto teleso znázorniť ako hmotný bod.
Pri riešení problémov súvisiacich s dennou rotáciou planét (napríklad pri určovaní východu Slnka na rôznych miestach na povrchu zemegule) však nemá zmysel považovať planétu za hmotný bod, keďže výsledkom tzv. problém závisí od veľkosti tejto planéty a rýchlosti pohybu bodov na jej povrchu.
Je legitímne považovať lietadlo za hmotný bod, ak je napríklad potrebné určiť priemernú rýchlosť jeho pohybu na ceste z Moskvy do Novosibirska. Ale pri výpočte sily odporu vzduchu pôsobiacej na letiace lietadlo ju nemožno považovať za hmotný bod, pretože odporová sila závisí od veľkosti a tvaru lietadla.
Ak sa teleso pohybuje dopredu, aj keď sú jeho rozmery porovnateľné so vzdialenosťami, ktoré prejde, možno toto teleso považovať za hmotný bod (keďže všetky body telesa sa pohybujú rovnakým spôsobom).
Na záver môžeme povedať: za hmotný bod možno považovať teleso, ktorého rozmery možno za podmienok uvažovaného problému zanedbať.
Trajektória
Trajektória je čiara (alebo, ako sa hovorí, krivka), ktorú teleso opisuje pri pohybe vzhľadom na vybrané referenčné teleso.
O trajektórii má zmysel hovoriť len vtedy, keď je možné teleso znázorniť ako hmotný bod.
Trajektórie môžu mať rôzne tvary. Niekedy je možné posúdiť tvar trajektórie podľa zdanlivej stopy, ktorú zanecháva pohybujúce sa teleso, napríklad letiace lietadlo alebo meteor rútiaci sa nočnou oblohou.
Tvar trajektórie závisí od výberu referenčného telesa. Napríklad vo vzťahu k Zemi je trajektória Mesiaca kruh, vzhľadom na Slnko - čiara zložitejšieho tvaru.
Pri štúdiu mechanického pohybu sa Zem spravidla považuje za referenčné teleso.
Metódy určenia polohy bodu a popisu jeho pohybu
Poloha bodu v priestore sa určuje dvoma spôsobmi: 1) pomocou súradníc; 2) pomocou vektora polomeru.
Poloha bodu pomocou súradníc je daná tromi priemetmi bodu $x, y, z$ na osi karteziánskeho súradnicového systému $ОХ, ОУ, OZ$, spojeného so vzťažným telesom. Na to je potrebné z bodu A spustiť kolmice na rovinu $YZ$ (súradnica $x$), $XZ$ (súradnica $y$), $XY$ (súradnica $z$), resp. Píše sa takto: $A(x, y, z)$. Pre konkrétny prípad $(x=6, y=10,2, z= 4,5$) je bod $A$ označený $A(6; 10; 4,5)$.
Naopak, ak sú uvedené konkrétne hodnoty súradníc bodu v danom súradnicovom systéme, potom na zobrazenie samotného bodu je potrebné vykresliť hodnoty súradníc na zodpovedajúcich osiach ($ x $ na os $OX$ atď.) a na týchto troch vzájomne kolmých segmentoch zostrojte rovnobežnosten. Jeho vrchol, ktorý je oproti počiatku $O$ a leží na uhlopriečke rovnobežnostena, bude požadovaným bodom $A$.
Ak sa bod pohybuje v určitej rovine, potom stačí nakresliť dve súradnicové osi cez body zvolené na referenčnom telese: $ОХ$ a $ОУ$. Potom polohu bodu v rovine určujú dve súradnice $x$ a $y$.
Ak sa bod pohybuje po priamke, stačí nastaviť jednu súradnicovú os OX a nasmerovať ju po priamke pohybu.
Nastavenie polohy bodu $A$ pomocou vektora polomeru sa vykonáva spojením bodu $A$ s počiatkom $O$. Smerovaný segment $OA = r↖(→)$ sa nazýva vektor polomeru.
Vektor polomeru je vektor spájajúci počiatok s polohou bodu v ľubovoľnom časovom bode.
Bod je daný vektorom polomeru, ak sú známe jeho dĺžka (modul) a smer v priestore, t. j. hodnoty jeho priemetov $r_x, r_y, r_z$ na súradnicových osiach $OX, OY, OZ$, resp. uhly medzi vektorom polomeru a súradnicovou osou. Pre prípad pohybu po rovine máme:
Tu $r=|r↖(→)|$ je modul polomerového vektora $r↖(→), r_x$ a $r_y$ sú jeho projekcie na súradnicových osiach, všetky tri veličiny sú skalárne; xxy - súradnice bodu A.
Posledné rovnice demonštrujú súvislosť medzi súradnicovou a vektorovou metódou určenia polohy bodu.
Vektor $r↖(→)$ možno tiež rozložiť na zložky pozdĺž osí $X$ a $Y$, t. j. reprezentovaný ako súčet dvoch vektorov:
$r↖(→)=r↖(→)_x+r↖(→)_y$
Poloha bodu v priestore je teda daná buď jeho súradnicami, alebo vektorom polomeru.
Metódy opisu pohybu bodu
V súlade so spôsobmi udávania súradníc možno pohyb bodu opísať: 1) súradnicovým spôsobom; 2) vektorovým spôsobom.
Pri súradnicovej metóde opisu (alebo nastavenia) pohybu sa zmena súradníc bodu v čase zapíše ako funkcie všetkých troch jeho súradníc od času:
Rovnice sa nazývajú kinematické pohybové rovnice bodu, zapísané v súradnicovom tvare. Poznaním kinematických pohybových rovníc a počiatočných podmienok (t. j. polohy bodu v počiatočnom časovom okamihu) je možné určiť polohu bodu v ľubovoľnom časovom okamihu.
Pri vektorovej metóde opisu pohybu bodu je zmena jeho polohy v čase daná závislosťou vektora polomeru od času:
$r↖(→)=r↖(→)(t)$
Rovnica je rovnica pohybu bodu napísaná vo vektorovej forme. Ak je známy, potom je možné v ľubovoľnom čase vypočítať polomerový vektor bodu, t.j. určiť jeho polohu (ako v prípade súradnicovej metódy). Nastavenie troch skalárnych rovníc je teda ekvivalentné nastaveniu jednej vektorovej rovnice.
Pre každý prípad pohybu bude tvar rovníc celkom definitívny. Ak je trajektória bodu priamka, pohyb sa nazýva priamočiary a ak je krivka krivočiara.
Pohyb a cesta
Pohyb v mechanike je vektor spájajúci polohy pohybujúceho sa bodu na začiatku a na konci určitého časového úseku.
Pojem vektor posunutia sa zavádza na vyriešenie kinematického problému - na určenie polohy telesa (bodu) v priestore v danom čase, ak je známa jeho počiatočná poloha.
Na obr. vektor $(M_1M_2)↖(-)$ spája dve polohy pohybujúceho sa bodu - $M_1$ a $M_2$ v časoch $t_1$ a $t_2$, a podľa definície je to vektor posunutia. Ak je bod $M_1$ daný polomerovým vektorom $r↖(→)_1$ a bod $M_2$ je daný polomerovým vektorom $r↖(→)_2$, potom, ako je možné vidieť z Na obrázku, vektor posunutia sa rovná rozdielu týchto dvoch vektorov, t.j. zmene vektora polomeru za čas $∆t=t_2-t_1$:
$∆r↖(→)=r↖(→)_2-r↖(→)_1$.
Sčítanie posunov (napríklad na dvoch susedných úsekoch trajektórie) $∆r↖(→)_1$ a $∆r↖(→)_2$ sa vykonáva podľa pravidla sčítania vektorov:
$∆r=∆r↖(→)_2+∆r↖(→)_1$
Dráha je dĺžka úseku trajektórie, ktorú prejde hmotný bod v danom časovom období. Modul vektora posunu sa vo všeobecnosti nerovná dĺžke dráhy, ktorú bod prejde za čas $∆t$ (dráha môže byť krivočiara a navyše bod môže meniť smer pohybu).
Modul vektora posunutia sa rovná dráhe iba pri priamočiarom pohybe v jednom smere. Ak sa zmení smer priamočiareho pohybu, veľkosť vektora posunutia je menšia ako dráha.
Pri krivočiarom pohybe je modul vektora posunutia tiež menší ako dráha, pretože tetiva je vždy menšia ako dĺžka oblúka, ktorý prekrýva.
Bodová rýchlosť materiálu
Rýchlosť charakterizuje rýchlosť, s akou dochádza k zmenám vo svete okolo nás (pohyb hmoty v priestore a čase). Pohyb chodca po chodníku, let vtáka, šírenie zvuku, rádiových vĺn alebo svetla vzduchom, prúdenie vody z potrubia, pohyb mrakov, vyparovanie vody, zahrievanie železo - všetky tieto javy sa vyznačujú určitou rýchlosťou.
Pri mechanickom pohybe telies rýchlosť charakterizuje nielen rýchlosť, ale aj smer pohybu, t.j. vektorové množstvo.
Rýchlosť $υ↖(→)$ bodu je limitom pomeru posunu $∆r↖(→)$ k časovému intervalu $∆t$, počas ktorého k tomuto posunu došlo, pretože $∆t$ má tendenciu k nula (t. j. derivát $∆r↖(→)$ v $t$):
$υ↖(→)=(lim)↙(∆t→0)(∆r↖(→))/(∆t)=r↖(→)_1"$
Zložky vektora rýchlosti pozdĺž osí $X, Y, Z$ sú definované podobne:
$υ↖(→)_x=(lim)↙(∆t→0)(∆x)/(∆t)=x"; υ_y=y"; υ_z=z"$
Takto definovaný pojem rýchlosť sa nazýva aj tzv okamžitá rýchlosť. Táto definícia rýchlosti platí pre akýkoľvek druh pohybu – od krivočiary nerovnomerný až priamočiary rovnomerný. Keď sa hovorí o rýchlosti pri nerovnomernom pohybe, rozumie sa ňou okamžitá rýchlosť. Táto definícia priamo implikuje vektorovú povahu rýchlosti, pretože sťahovanie- vektorová veličina. Vektor okamžitej rýchlosti $υ↖(→)$ smeruje vždy tangenciálne k trajektórii pohybu. Označuje smer, ktorým by sa teleso pohybovalo, ak by od času $t$ prestalo pôsobiť naň akékoľvek iné teleso.
priemerná rýchlosť
Priemerná rýchlosť bodu sa zavádza na charakterizáciu nerovnomerného pohybu (tj pohybu s premenlivou rýchlosťou) a je definovaná dvoma spôsobmi.
1. Priemerná rýchlosť bodu $υ_(av)$ sa rovná pomeru celej dráhy $∆s$ prejdenej telesom k celému času pohybu $∆t$:
$υ↖(→)_(av)=(∆s)/(∆t)$
S touto definíciou je priemerná rýchlosť skalárna, pretože prejdená vzdialenosť (vzdialenosť) a čas sú skalárne veličiny.
Táto definícia dáva predstavu priemerná rýchlosť na úseku trajektórie (priemerná pozemná rýchlosť).
2. Priemerná rýchlosť bodu sa rovná pomeru pohybu bodu k časovému úseku, počas ktorého k tomuto pohybu došlo:
$υ↖(→)_(av)=(∆r↖(→))/(∆t)$
Priemerná rýchlosť pohybu je vektorová veličina.
Pre nerovnomerný krivočiary pohyb takáto definícia priemernej rýchlosti nie vždy umožňuje určiť ani približne skutočné rýchlosti na dráhe bodu. Napríklad, ak sa bod nejaký čas pohyboval po uzavretej dráhe, potom je jeho posunutie nulové (ale rýchlosť je zreteľne odlišná od nuly). V tomto prípade je lepšie použiť prvú definíciu priemernej rýchlosti.
V každom prípade by sme mali rozlišovať medzi týmito dvoma definíciami priemernej rýchlosti a vedieť, o ktorej z nich sa diskutuje.
Zákon sčítania rýchlostí
Zákon sčítania rýchlostí vytvára spojenie medzi hodnotami rýchlosti hmotného bodu vo vzťahu k rôznym referenčným systémom, ktoré sa navzájom pohybujú. V nerelativistickej (klasickej) fyzike, keď sú uvažované rýchlosti malé v porovnaní s rýchlosťou svetla, platí Galileov zákon sčítania rýchlosti, ktorý je vyjadrený vzorcom:
$υ↖(→)_2=υ↖(→)_1+υ↖(→)$
kde $υ↖(→)_2$ a $υ↖(→)_1$ sú rýchlosti telesa (bodu) vzhľadom na dve inerciálne referenčné sústavy - pevnú referenčnú sústavu $K_2$ a pohyblivú referenčnú sústavu $K_1$ s rýchlosťou $υ↖(→ )$ vzhľadom na $K_2$.
Vzorec možno získať sčítaním vektorov posunutia.
Kvôli prehľadnosti zvážte pohyb lode rýchlosťou $υ↖(→)_1$ vzhľadom na rieku (referenčný systém $K_1$), ktorej vody sa pohybujú rýchlosťou $υ↖(→)$ vzhľadom na breh ( referenčný systém $K_2$).
Vektory posunutia lode vzhľadom na vodu $∆r↖(→)_1$, rieky vzhľadom na pobrežie $∆r↖(→)$ a vektor celkového posunutia lode vzhľadom na pobrežie $∆r↖ (→)_2$ sú znázornené na obr.
Matematicky:
$∆r↖(→)_2=∆r↖(→)_1+∆r↖(→)$
Vydelením oboch strán rovnice časovým intervalom $∆t$ dostaneme:
$(∆r↖(→)_2)/(∆t)=(∆r↖(→)_1)/(∆t)+(∆r↖(→))/(∆t)$
Pri projekciách vektora rýchlosti na súradnicové osi má rovnica tvar:
$υ_(2x)=υ_(1x)+υ_x,$
$υ_(2r)=υ_(1r)+υ_y.$
Projekcie rýchlosti sa pridávajú algebraicky.
Relatívna rýchlosť
Zo zákona o sčítaní rýchlostí vyplýva, že ak sa dve telesá pohybujú v rovnakej vzťažnej sústave s rýchlosťami $υ↖(→)_1$ a $υ↖(→)_2$, potom rýchlosť prvého telesa voči sekunda $υ↖(→) _(12)$ sa rovná rozdielu v rýchlostiach týchto telies:
$υ↖(→)_(12)=υ↖(→)_1-υ↖(→)_2$
Takže keď sa telesá pohybujú jedným smerom (predbiehanie), modul relatívnej rýchlosti sa rovná rozdielu rýchlostí a pri pohybe opačným smerom je to súčet rýchlostí.
Materiálne bodové zrýchlenie
Zrýchlenie je hodnota, ktorá charakterizuje rýchlosť zmeny rýchlosti. Pohyb je spravidla nerovnomerný, t.j. prebieha premenlivou rýchlosťou. V niektorých častiach trajektórie môže mať telo väčšiu rýchlosť, v iných menšiu. Napríklad vlak vychádzajúci zo stanice sa v priebehu času pohybuje rýchlejšie a rýchlejšie. Keď sa blíži k stanici, naopak, spomalí svoj pohyb.
Zrýchlenie (alebo okamžité zrýchlenie) je vektorová fyzikálna veličina rovnajúca sa hranici pomeru zmeny rýchlosti k časovému intervalu, počas ktorého k tejto zmene došlo, keď $∆t$ má tendenciu k nule, (t.j. derivácia $υ ↖(→)$ vzhľadom na $ t$):
$a↖(→)=lim↙(∆t→0)(∆υ↖(→))/(∆t)=υ↖(→)_t"$
Komponenty $a↖(→) (a_x, a_y, a_z)$ sú v tomto poradí:
$a_x=υ_x";a_y=υ_y";a_z=υ_z"$
Zrýchlenie, podobne ako zmena rýchlosti, smeruje ku konkávnosti trajektórie a možno ho rozložiť na dve zložky - tangenciálny- tangenciálny k trajektórii pohybu - a normálne- kolmo na cestu.
V súlade s tým sa premietanie zrýchlenia $а_х$ na dotyčnicu k trajektórii nazýva dotyčnica, alebo tangenciálny zrýchlenie, projekcia $a_n$ do normálu - normálne, alebo dostredivé zrýchlenie.
Tangenciálne zrýchlenie určuje veľkosť zmeny v číselnej hodnote rýchlosti:
$a_t=lim↙(∆t→0)(∆υ)/(∆t)$
Normálne alebo dostredivé zrýchlenie charakterizuje zmenu smeru rýchlosti a je určené vzorcom:
kde R je polomer zakrivenia trajektórie v jej zodpovedajúcom bode.
Akceleračný modul je určený vzorcom:
$a=√(a_t^2+a_n^2)$
Pri priamočiarom pohybe sa celkové zrýchlenie $a$ rovná tangenciálnemu $a=a_t$, keďže dostredivé $a_n=0$.
Jednotka zrýchlenia SI je zrýchlenie, pri ktorom sa rýchlosť telesa mení o 1 m/s za každú sekundu. Táto jednotka je označená ako 1 m/s2 a nazýva sa „meter za sekundu na druhú“.
Rovnomerný priamočiary pohyb
Pohyb bodu sa nazýva rovnomerný, ak prechádza rovnakými dráhami v ľubovoľných rovnakých časových intervaloch.
Napríklad, ak auto prejde 20 km za každú štvrťhodinu (15 minút), 40 km za každú polhodinu (30 minút), 80 km za každú hodinu (60 minút) atď., potom sa takýto pohyb považuje za rovnomerný. Pri rovnomernom pohybe je číselná hodnota (modul) rýchlosti bodu $υ$ konštantná:
$υ=|υ↖(→)|=konst$
Rovnomerný pohyb môže nastať tak pozdĺž krivočiarej, ako aj pozdĺž priamočiarej trajektórie.
Zákon rovnomerného pohybu bodu je opísaný rovnicou:
kde $s$ je vzdialenosť nameraná pozdĺž oblúka trajektórie od nejakého bodu na trajektórii branej ako počiatok; $t$ - čas určitého bodu; $s_0$ – hodnota $s$ v počiatočnom čase $t=0$.
Cesta, ktorú prejde bod v čase $t$, je určená súčtom $υt$.
Rovnomerný priamočiary pohyb- ide o pohyb, pri ktorom sa teleso pohybuje konštantnou rýchlosťou v module a smere:
$υ↖(→)=konšt.$
Rýchlosť rovnomerného priamočiareho pohybu je konštantná hodnota a možno ju definovať ako pomer pohybu bodu k časovému úseku, počas ktorého k tomuto pohybu došlo:
$υ↖(→)=(∆r↖(→))/(∆t)$
Modul tejto rýchlosti
$υ=(|∆r↖(→)|)/(∆t)$
význam je vzdialenosť $s=|∆r↖(→)|$ prejdená bodom v čase $∆t$.
Rýchlosť telesa v rovnomernom priamočiarom pohybe je hodnota rovnajúca sa pomeru dráhy $s$ k času, za ktorý táto dráha prešla:
Posun pri priamočiarom rovnomernom pohybe (pozdĺž osi X) možno vypočítať podľa vzorca:
kde $υ_x$ je priemet rýchlosti na os X. Zákon rovnomerného priamočiareho pohybu má teda tvar:
Ak v počiatočnom čase $x_0=0$, potom
Graf závislosti rýchlosti od času je priamka rovnobežná s osou x a prejdená vzdialenosť je plocha pod touto priamkou.
Graf závislosti dráhy od času je priamka, ktorej uhol sklonu k časovej osi $Ot$ je tým väčší, čím väčšia je rýchlosť rovnomerného pohybu. Tangenta tohto uhla sa rovná rýchlosti.
