Definícia rovnobežných čiar. Rovnobežné sú dve priamky, ktoré ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa po celej dĺžke.
Priamky AB a CD (obr. 57) budú rovnobežné. Skutočnosť, že sú paralelné, sa niekedy vyjadruje písomne: AB || CD.
Veta 34. Dve čiary kolmé na tú istú tretinu sú rovnobežné.
Dané priamky CD a EF kolmé na AB (obr. 58)
CD ⊥ AB a EF ⊥ AB.
Je potrebné preukázať, že CD || EF.
Dôkaz. Ak by priamky CD a EF neboli rovnobežné, pretínali by sa v určitom bode M. V tomto prípade by dve kolmice klesli z bodu M na priamku AB, čo je nemožné (Veta 11), preto priamka CD || EF (CHTD).
Veta 35. Dve čiary, z ktorých jedna je kolmá a druhá šikmá k tretej, sa vždy pretínajú.
Dané sú dve priamky EF a CG, z ktorých EF ⊥ AB a CG je šikmá k AB (obr. 59).
Je potrebné preukázať, že CG sa stretne s čiarou EF alebo že CG nie je rovnobežná s EF.
Dôkaz. Z bodu C obnovíme kolmú CD na priamku AB, potom v bode C vznikne uhol DCG, ktorý zopakujeme toľkokrát, aby priamka CK klesla pod priamku AB. Predpokladajme, že na to zopakujeme uhol DCG n-krát, ako
Podobným spôsobom nakreslíme priamku CE na priamku AB tiež n-krát, takže CN = nCE.
Z bodov C, E, L, M, N zostrojíme kolmice LL", MM", NN". Priestor obsiahnutý medzi dvoma rovnobežnými úsečkami CD, NN" a úsečkou CN bude n-krát väčší ako priestor obsiahnutý medzi dvomi kolmicami. CD, EF a segment CE, teda DCNN" = nDCEF.
Priestor ohraničený uhlom DCK obsahuje priestor DCNN", teda,
DCK > CDNN" alebo
nDCG > nDCEF, odkiaľ
DCG > DCEF.
Posledná nerovnosť môže nastať len vtedy, keď čiara CG opustí priestor DCEF počas svojho pokračovania, t.j. keď sa čiara CG stretne s čiarou EF, teda čiara CG nie je rovnobežná s CF (PTD).
Veta 36. Čiara kolmá na jednu z rovnobežiek je tiež kolmá na druhú.
Dané sú dve rovnobežné priamky AB a CD a priamka EF kolmá na CD (obr. 60).
AB || CD, EF ⊥ CD
Je potrebné preukázať, že EF ⊥ AB.
Dôkaz. Ak by priamka AB bola šikmá k EF, potom by sa dve priamky CD a AB pretínali, pretože CD ⊥ EF a AB je šikmá k EF (Veta 35) a priamky AB a CD by neboli rovnobežné, čo by bolo v rozpore s touto podmienkou, preto čiara EF je kolmá na CD (PTD).
Uhly vytvorené priesečníkom dvoch čiar treťou čiarou. V priesečníku dvoch priamok AB a CD treťou priamkou EF (obr. 61) vzniká osem uhlov α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ. Tieto rohy dostávajú špeciálne mená.
Nazývajú sa štyri uhly α, β, ν a ρ externé.
Nazývajú sa štyri uhly γ, δ, λ, μ interné.
Štyri uhly β, γ, μ, ν a štyri uhly α, δ, λ, ρ sa nazývajú jednostranný, pretože ležia na jednej strane priamky EF.
Okrem toho, keď sa uhly zoberú v pároch, dostanú tieto názvy:
Nazývajú sa uhly β a μ relevantné . Okrem tohto páru budú rovnaké zodpovedajúce uhly pármi uhlov:γ a ν, α a λ, δ a ρ.
Nazývajú sa dvojice uhlov δ a μ, ako aj γ a λ vnútorné krížové ležanie .
Nazývajú sa dvojice uhlov β a ρ, ako aj α a ν vonkajšie krížové ležanie .
Nazývajú sa dvojice uhlov γ a μ, ako aj δ a λ vnútorná jednostranná .
Nazývajú sa dvojice uhlov β a ν, ako aj α a ρ vonkajší jednostranný .
Podmienky, aby dve čiary boli rovnobežné
Veta 37. Dve priamky sú rovnobežné, ak v priesečníku svojej tretiny majú rovnaké: 1) zodpovedajúce uhly, 2) vnútorné priečne ležiace, 3) vonkajšie priečne ležiace a napokon, ak 4) súčet vnútorných jednostranných rovných dve priamky, 5) súčet vonkajších jednostranných sa rovná dvom priamkam.
Dokážme každú z týchto častí vety samostatne.
1. prípad. Zodpovedajúce uhly sú(obr. 62).
Dané. Uhly β a μ sú rovnaké.
Dôkaz. Ak by sa priamky AB a CD pretínali v bode Q, tak by sme dostali trojuholník GQH, v ktorom by sa vonkajší uhol β rovnal vnútornému uhlu μ, čo by bolo v rozpore s vetou 22, preto priamky AB a CD nie sú pretínajú alebo AB || CD (ChTD).
2. prípad. Vnútorné priečne uhly sú rovnaké, teda δ = μ.
Dôkaz. δ = β ako vertikála, δ = μ podľa predpokladu, teda β = μ. To znamená, že zodpovedajúce uhly sú rovnaké a v tomto prípade sú čiary rovnobežné (1. prípad).
3. prípad. Vonkajšie priečne uhly sú rovnaké, teda β = ρ.
Dôkaz. β = ρ podľa podmienky, μ = ρ ako vertikálne, teda β = μ, pretože zodpovedajúce uhly sú rovnaké. To znamená, že AB || CD (1. prípad).
4. prípad. Súčet vnútorných jednostranných sa rovná dvom priamkam alebo γ + μ = 2d.
Dôkaz. β + γ = 2d ako súčet susedných, γ + μ = 2d podľa predpokladu. Preto β + γ = γ + μ, odkiaľ β = μ. Zodpovedajúce uhly sú rovnaké, preto AB || CD.
5. prípad. Súčet vonkajších jednostranných sa rovná dvom priamkam, to znamená β + ν = 2d.
Dôkaz. μ + ν = 2d ako súčet susedných, β + ν = 2d podľa predpokladu. Preto μ + ν = β + ν, odkiaľ μ = β. Zodpovedajúce uhly sú rovnaké, preto AB || CD.
Vo všetkých prípadoch teda AB || CD (ChTD).
Veta 38(obrátená strana 37). Ak sú dve priamky rovnobežné, potom v priesečníku ich tretej priamky budú rovnaké: 1) vnútorné priečne ležiace uhly, 2) vonkajšie priečne ležiace, 3) zodpovedajúce uhly a sú rovné dvom priamkam, 4) súčet vnútorné jednostranné a 5) súčet vonkajších jednostranných uhlov.
Dané sú dve rovnobežné priamky AB a CD, teda AB || CD (obr. 63).
Je potrebné preukázať splnenie všetkých vyššie uvedených podmienok.
1. prípad. Pretínajme dve rovnobežné priamky AB a CD treťou šikmou priamkou EF. Označme G a H priesečníky priamok AB a CD priamky EF. Z bodu O stredu priamky GH spustíme kolmicu na priamku CD a pokračujeme v nej, kým nepretne priamku AB v bode P. Priamka OQ kolmá na CD je tiež kolmá na AB (Veta 36). Pravouhlé trojuholníky OPG a OHQ sú rovnaké, pretože OG = OH podľa konštrukcie, ∠ HOQ= ∠ POG ako vertikálne uhly, teda OP = OQ.
Z toho vyplýva, že δ = μ, t.j. vnútorné priečne uhly sú rovnaké.
2. prípad. Ak AB || CD, potom δ = μ, a keďže δ = β a μ = ρ, potom β = ρ, t.j. vonkajšie priečne uhly sú rovnaké.
3. prípad. Ak AB || CD, potom δ = μ, a keďže δ = β, potom β = μ, teda, zodpovedajúce uhly sú rovnaké.
4. prípad. Ak AB || CD, potom δ = μ, a keďže δ + γ = 2d, potom μ + γ = 2d, t.j. súčet vnútorných jednostranných sa rovná dvom priamkam.
5. prípad. Ak AB || CD, potom δ = μ.
Keďže μ + ν = 2d, μ = δ = β, teda ν + β = 2d, t.j. súčet vonkajšej jednostrannej sa rovná dvom priamkam.
Z týchto teorém vyplýva dôsledkom. Cez bod možno nakresliť len jednu priamku rovnobežnú s inou priamkou.
Veta 39. Dve čiary rovnobežné s treťou sú navzájom rovnobežné.
Dané tri čiary (obr. 64) AB, CD a EF, z ktorých AB || EF, CD || EF.
Je potrebné preukázať, že AB || CD.
Dôkaz. Pretínajme tieto čiary štvrtou čiarou GH.
Ak AB || EF teda ∠ α = ∠ γ podľa potreby. Ak CD || EF teda ∠ β = ∠ γ ako aj zodpovedajúce. teda ∠ α = ∠ β .
Ak sú príslušné uhly rovnaké, potom sú čiary rovnobežné, preto AB || CD (ChTD).
Veta 40. Rovnomenné uhly s rovnobežnými stranami sú rovnaké.
Vzhľadom na rovnaký názov (oba ostré alebo tupé) uhly ABC a DEF sú ich strany rovnobežné, t. j. AB || DE, BC || EF (obr. 65).
Je potrebné to dokázať ∠ B= ∠ E.
Dôkaz. Pokračujeme stranou DE, až kým nepretne čiaru BC v bode G, potom
∠ E = ∠ G ako zodpovedá priesečníku strán rovnobežných s BC a EF tretej priamky DG.
∠ B = ∠ G ako zodpovedá priesečníku rovnobežných strán AB a DG priamky BC, teda
∠ E = ∠ B (RTD).
Veta 41. Protiľahlé uhly s rovnobežnými stranami sa navzájom dopĺňajú do dvoch priamych línií.
Dané dva protiľahlé uhly ABC a DEF (obr. 66) s rovnobežnými stranami, teda AB || DE a BC || EF.
Je potrebné preukázať, že ABC + DEF = 2d.
Dôkaz. Pokračujeme v priamke DE, kým nepretne priamku BC v bode G.
∠B+ ∠ DGB = 2d ako súčet vnútorných jednostranných uhlov vytvorených priesečníkom rovnobežiek AB a DG tretej priamky BC.
∠ DGB = ∠ DEF ako zodpovedajúce, preto
∠B+ ∠ DEF = 2d (PTD).
Veta 42. Rovnaké uhly s kolmými stranami sú rovnaké a opačné uhly sa navzájom dopĺňajú do dvoch priamych čiar.
Uvažujme dva prípady: keď A) sú uhly rovnakého mena a keď B) sú opačné.
1. prípad. Strany dvoch rovnakých uhlov DEF a ABC (obr. 67) sú kolmé, teda DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.
Je potrebné preukázať, že ∠ DEF = ∠ ABC.
Dôkaz. Nakreslite čiary BM a BN z bodu B rovnobežné s čiarami DE a EF tak, aby
BM || DE, BN || EF.
Tieto priamky sú tiež kolmé na strany daného uhla ABC, t.j.
BM ⊥ AB a BN ⊥ BC.
Ako ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, potom
∠NBC= ∠MBA(a)
Odčítaním od oboch strán rovnosti (a) pre uhol NBA zistíme
∠ MBN=∠ABC
Keďže uhly MBN a DEF majú rovnaký názov a rovnobežné strany, sú rovnaké (Veta 40).
∠ MBN = ∠DEF(b)
Rovnice (a) a (b) znamenajú rovnosť
∠ ABC = ∠ DEF (phd).
2. prípad. Uhly GED a ABC s kolmými stranami sú opačné.
Je potrebné dokázať, že ∠ GED + ∠ ABC = 2d (obr. 67).
Dôkaz. Súčet uhlov GED a DEF sa rovná dvom pravým uhlom.
GED + DEF = 2 d
DEF = ABC, teda
GED + ABC = 2 d (pthd).
Veta 43. Časti rovnobežných čiar medzi ostatnými rovnobežkami sú rovnaké.
Dané štyri čiary AB, BD, CD, AC (obr. 68), z toho AB || CD a BD || AC.
Je potrebné preukázať, že AB = CD a BD = AC.
Dôkaz. Spojením bodu C s bodom B úsečkou BC dostaneme dva rovnaké trojuholníky ABC a BCD, pretože
BC - spoločná strana,
∠ α = ∠ β (ako vnútorné priečne ležiace od priesečníka rovnobežných priamok AB a CD tretej priamky BC),
∠ γ = ∠ δ (ako vnútorné priečne ležiace priamky z priesečníka rovnobežných priamok BD a AC priamky BC).
Trojuholníky teda majú rovnakú stranu a ležia na nej dva rovnaké uhly.
Protiľahlé rovnaké uhly α a β sú rovnaké strany AC a BD a opačné rovnaké uhly γ a δ sú rovnaké strany AB a CD, preto,
AC = BD, AB = CD (PTD).
Veta 44. Rovnobežné čiary sú od seba po celej dĺžke rovnako vzdialené.
Vzdialenosť bodu od priamky je určená dĺžkou kolmice spadnutej od bodu k priamke. Aby sme určili vzdialenosť ľubovoľných dvoch bodov A a B rovnobežných s AB od CD, pustíme kolmice AC a BD z bodov A a B.
Pri danej priamke AB rovnobežnej s CD sú úsečky AC a BD kolmé na priamku CD, t. j. AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (obr. 69).
Je potrebné preukázať, že AC = BD.
Dôkaz. Čiary AC a BD, ktoré sú obe kolmé na CD, sú rovnobežné, a preto sú AC a BD ako časti rovnobežiek medzi rovnobežkami rovnaké, t. j. AC = BD (phd).
Veta 45(obrátená strana 43). Ak sú protiľahlé časti štyroch pretínajúcich sa čiar rovnaké, potom sú tieto časti rovnobežné.
Sú dané štyri pretínajúce sa priamky, ktorých protiľahlé časti sú rovnaké: AB = CD a BD = AC (obr. 68).
Je potrebné preukázať, že AB || CD a BD || AC.
Dôkaz. Spojte body B a C s čiarou BC. Trojuholníky ABC a BDC sú rovnaké, pretože
BC - spoločná strana,
AB = CD a BD = AC podľa konvencie.
Odtiaľ
∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ
teda
AC || BD, AB || CD (ChTD).
Veta 46. Súčet uhlov trojuholníka sa rovná dvom pravým uhlom.
Je daný trojuholník ABC (obr. 70).
Je potrebné dokázať, že A + B + C = 2d.
Dôkaz. Nakreslite čiaru CF z bodu C rovnobežnú so stranou AB. V bode C sú vytvorené tri uhly BCA, α a β. Ich súčet sa rovná dvom priamym čiaram:
BCA+ α + β = 2d
α = B (ako vnútorné priečne ležiace uhly v priesečníku rovnobežných priamok AB a CF s priamkou BC);
β = A (ako zodpovedajúce uhly v priesečníku priamok AB a CF s priamkou AD).
Nahradenie uhlov α a β ich hodnoty, dostaneme:
BCA + A + B = 2d (phd).
Z tejto vety vyplývajú nasledujúce dôsledky:
Dôsledok 1. Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia.
Dôkaz. Skutočne, z kresby 70,
∠BCD= ∠ α + ∠ β
Pretože ∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A, potom
∠BCD= ∠ A + ∠ B.
Dôsledok 2. V pravouhlom trojuholníku sa súčet ostrých uhlov rovná pravému uhlu.
Skutočne, v pravouhlom trojuholníku (obr. 40)
A + B + C = 2d, A = d, teda
B + C = d.
Dôsledok 3. Trojuholník nemôže mať viac ako jeden pravý alebo jeden tupý uhol.
Dôsledok 4. V rovnostrannom trojuholníku má každý uhol 2/3 d .
Vskutku, v rovnostrannom trojuholníku
A + B + C = 2d.
Pretože A = B = C, potom
3A=2d, A=2/3d.
111*. Nakreslite kolmicu z bodu A na rovinu danú: a) trojuholníkom BCD (obr. 109, a); b) stopy (obr. 109.6); c) trojuholník BCD (obr. 109, c). Vo všetkých prípadoch zostrojte základňu kolmice na danej rovine.
Riešenie, a) Cez bod B (obr. 109, d) nakreslíme čelnú B-1 danej roviny a cez bod D - vodorovnú D-2. vpredu. priemet požadovanej kolmice prechádza "kolmicou na b" 1 "a horizontála - cez kolmicu na d-2. Základňa kolmice (obr. 109, e) je definovaná ako priesečník tejto kolmice s rovinou. Uzavrieme ju do vodorovne premietnutej roviny R (nastavíme za R h) a nájdeme priesečník
priesečník tejto roviny s rovinou trojuholníka je priamka NM. Dostaneme bod k "- čelný priemet základne kolmice - a pomocou k" nájdeme k.
b) Na obr. 109, e vpredu. priemet kolmice je nakreslený v pravom uhle k stope P ϑ a horizontálny priemet je v pravom uhle k Ph. Aby sme postavili základňu kolmice, uzavrieme ju (obr. 109, g) v čelnej premietacej rovine R, postavíme priesečník rovín R a P - priamku MN. Dostaneme bod k - horizont. premietanie základne kolmice; nájdeme z nej k.
c) Po nakreslení horizontály B-1 (obr. 109, a) vidíme, že táto priamka je rovnobežná s osou x. Z toho usudzujeme, že rovina trojuholníka je profilová. Preto je kolmou k nemu rovný profil.
Zostavíme profilové priemety trojuholníka a bodu A. Z a "nakreslíme kolmicu na c" d ". Bod k" je profilový priemet základne kolmice. Pri k" nájdeme k" a k na priemetoch požadovanej kolmice s rovnakým názvom.
112. Nájdite základne kolmic nakreslených z bodu A:
a) do roviny vymedzenej rovnobežnými priamkami BC a DE (obr. 110, a);
b) do roviny plochy SCD pyramídy SBCD (obr. 110, b);
c) do roviny líca SBD pyramídy SBCD (obr. 110, c).
113*. Zostrojte na rovine danej rovnobežkami CD a EF ťažisko základní kolmíc vedených z bodov priamky AB do tejto roviny (obr. 111, a)
rozhodnutie. Požadované ťažisko bodov je (obr. 111, b) priesečnica rovín K 1 K 2, 1) daná a 2) na ňu kolmá, vedená cez priamku AB.
Vykonávame (obr. 111, c) v danej rovine horizontálne C-1 a čelné C-2. vpredu. priemety kolmíc sú kolmé na c"2" a vodorovné priemety sú na c-1.
Na zostrojenie požadovaného ťažiska bodov nájdeme (rio. 111, d) body K 1 a K 2 priesečníka nakreslených kolmic s danou rovinou. Priama čiara K1K2 je požadovaným miestom.
114. Zostrojte na rovine danej trojuholníkom CDE ťažisko základní kolmíc vedených z bodov priamky AB do tejto roviny (obr. 112).
115*. Z vrcholu A nakreslíme kolmicu na rovinu trojuholníka ABC (obr. 113, a) a vyčleníme na ňu úsečku dĺžky l.
rozhodnutie. Na zostrojenie kolmice nakreslíme (obr. 113, 6) vodorovnú čiaru A-1 a spojovaciu čiaru A-2 roviny trojuholníka; vpredu. priemet kolmice je kolmý na a"2" a horizontálny priemet je na a-1.
Ďalšia konštrukcia (obr. 113, c) je podobná ako v úlohe 20. Čiary a "d" a ad sú projekcie požadovaného segmentu.
Tento problém má dve riešenia. V druhom prípade je potrebné pokračovať kolmicou na druhú stranu danej roviny.
116. Z bodu D narysujeme kolmicu na rovinu danú rovnobežkami AB a CD a odložíme na ňu úsečku dĺžky l (obr. 114).
117*. Zostrojte ťažisko bodov vo vzdialenosti l od nejakej roviny. Uveďte riešenie pre prípady, keď je rovina daná trojuholníkom ABC (obr. 115, a) alebo stopami (obr. 115, b).
rozhodnutie. Požadovaným ťažiskom bodov sú dve roviny rovnobežné s danou rovinou a nachádzajúce sa na jej oboch stranách vo vzdialenosti l.
Na obr. 115c znázorňuje jednu takúto rovinu. Na zostavenie tejto roviny (obr. 115, d) nakreslíme kolmicu z ľubovoľného bodu tejto roviny (napríklad C)
k rovine (pozor na to, že v danom trojuholníku je strana AC vodorovná a BC je čelná) a vyčleniť na ňu úsečku KS dĺžky l. Potom cez bod K (obr. 115, e) nakreslíme priamky KN a KM rovnobežné aspoň so stranami BC a AC trojuholníka ABC.
Ak je rovina daná stopami (obr. 115, b), potom je vhodné vziať bod na jednej zo stôp. Na obr. 115, e, bod N je na stope P ϑ . Kreslenie z tohto bodu kolmo na štvorec. P a odložíme naň úsečku rovnajúcu sa l, nakreslíme bodom K (obr. 1 \ 5, g) vodorovnú CD a čelnú AB požadovanej roviny.
118. Zostrojte ťažisko bodov vzdialených od štvorca. P (obr. 116) vo vzdialenosti l. Uveďte dve riešenia.
119*. Nakreslite kolmicu na priamku BC z jej bodu A, kým sa nepretne s priamkou EF (obr. 117, a).
rozhodnutie. Miesto kolmice na priamku BC, vedená z bodu A, je štvorcové. P prechádzajúci bodom A kolmým na priamku BC (obr. 117, b). Bod K priesečníka tejto roviny s priamkou EF je priesečníkom požadovanej kolmice s priamkou EF.
na obr. 117, v nastavíme rovinu kolmú na BC, frontálnu AM a horizontálnu AN. Určíme bod K priesečníka priamky EF s touto rovinou (obr. 117, d), uzatvárajúcu EF v čelnej premietacej rovine R (nastavíme ju ako stopu R ϑ); k"a" a ka - priemety požadovanej kolmice.
120. Nakreslite kolmicu z bodu A na priamku BC, kým nepretne priamku EF (obr. 118).
121*. Cez bod A nakreslite priamku, ktorá pretína priamky BC a ED (obr. 119, a).
rozhodnutie. Miestom čiar prechádzajúcich bodom A a pretínajúcich priamku ED je rovina definovaná týmito prvkami (obr. 119, b). Ak takúto rovinu postavíme a nájdeme bod K jej priesečníka s druhou priamkou (BC), tak požadovaná priamka bude prechádzať bodmi A a K. Takáto konštrukcia je vykonaná na obr. 119, c a 119, d, kde najprv rovinu definovanú bodom A a priamkou ED vyjadruje trojuholník AED a potom bod K priesečníka druhej priamky (BC) s rovinou tohto trojuholníka nájdené.
Požadovaná priamka prechádza bodmi A a K a pretína priamku ED v bode M (obr. 119.6). Samozrejme, pri presnej konštrukcii projekcie by m a m "mali byť na spojnici m" m, kolmej na os x.
Tento problém možno vyriešiť iným spôsobom: zoberte dve roviny - jednu definovanú bodom A a čiarou ED (ako je to znázornené na obr. 119, c) a druhú bodom A a čiarou BC. Priesečník týchto dvoch rovín n bude požadovaná priamka prechádzajúca bodom A a pretínajúca BC v ED,
122. Nakreslite čiaru cez bod A, ktorá pretína:
a) hrana SD a strana BC základne pyramídy SBCD (obr. 120, a),
b) hrana BG a strana EF hornej podstavy hranola (obr. 120.6).
123*. Zostrojte ťažisko bodov rovnako vzdialených od bodov A a B (obr. 121, a).
rozhodnutie. Požadované miesto je rovina prechádzajúca stredom segmentu AB kolmo naň.
Projekcie segmentu AB rozdelíme na polovicu (obr. 121, b). Stredom (bod C) nakreslíme horizontálne CD ⊥ AB a čelné CE ⊥ AB (obr. 121, c) požadovanej roviny. Aby sme túto rovinu vyjadrili stopami, musíme špecifikovať os projekcií a zostrojiť aspoň predok. vodorovnú stopu (bod N, obr. 121, a) a cez ňu nakreslite príslušnú stopu pl. p. Stopa Р ϑ ⊥ a"b" a stopa P h ⊥ ab (alebo || nс).
124. Zostrojte ťažisko bodov rovnako vzdialených od bodov A a B (obr. 122, aab). V prvom prípade uveďte odpoveď bez stôp av druhom - v stopách.
125*. Zostrojte chýbajúci priemet bodu K, ktorý je rovnako vzdialený od bodov A a B (obr. 123, a).
rozhodnutie. Keďže ťažisko všetkých bodov v priestore rovnako vzdialených od bodov A a B je rovina prechádzajúca stredom úsečky AB kolmo na ňu, bod K musí patriť do tejto roviny.
Na obr. 123b je takáto rovina definovaná predným CE a horizontálnym CD prechádzajúcim stredom segmentu AB.
Nakreslíme (obr. 123, c) cez k "predný priemet do" 1 "vodorovnej roviny a postavíme jeho vodorovný priemet, na ktorom vyznačíme bod k - požadovaný priemet bodu K-
126. Zostrojte chýbajúci priemet úsečky CD, ktorej každý bod je rovnako vzdialený od bodov A a B (obr. 124).
127*. Zostrojte na rovine ťažisko bodov rovnako vzdialených od dvoch daných bodov A a B: a) rovina je daná rovnobežnými priamkami (obr. 125, a); b) rovina je daná stopami (obr. 125, b).
rozhodnutie. Keďže ťažiskom bodov rovnako vzdialených od bodov A a B je rovina prechádzajúca stredom úsečky AB kolmá na ňu (obr. 125, c), požadovaným ťažiskom bude priesečník tejto roviny s danou ( priamka MN).
Na obr. 125, d je rovina kolmá na úsečku AB v jej strede vyjadrená frontálnym KS a horizontálnym TS.
Teraz potrebujeme nájsť priesečník dvoch rovín, čo sa robí tak, že nájdeme priesečníky priamok DE a FG (obr. 125, e), definujúcich danú rovinu, s rovinou vyjadrenou horizontálou TS a frontálny KS (pozri problém 86).
Na obr. 125, e rovina Q, kolmá na úsečku AB v jej strede, je vyjadrená stopami. Nájdeme body M a N priesečníka rovnomenných stôp rovín P a Q a nakreslíme cez ne požadovanú priamku MN (obr. 125, g).
128. Zostrojte lokus bodov rovnako vzdialených od bodov A a B:
a) na rovine definovanej trojuholníkom CDE (obr. 126, a);
b) na námestí. P (obr. 126, b).
129* Daná je rovina trojuholníka CDE a priamka AB (obr. 127, a). Nakreslite v tejto rovine čiaru, ktorá pretína AB v pravom uhle.
rozhodnutie. Požadovaná priamka sa ukáže (obr. 127, b) ako priesečník roviny trojuholníka (P) s pl. Q, kolmá na AB a prechádzajúca bodom (K) priesečníka AB s danou rovinou.
Nájdeme teda (obr. 127, c) bod K priesečníka priamky AB s rovinou trojuholníka CDE. Ako pomocná rovina bola braná rovina R, vedená cez priamku AB. Po nájdení projekcií k a k "nakreslíme cez ne priemety horizontálnej a prednej roviny kolmej na AB (obr. 127, d). Aby sme vytvorili požadovanú priesečník rovín, nájdeme (obr. 127, e) bod (m"; m) priesečníka bočného trojuholníka ED s rovinou prechádzajúcou bodom K. Čiara MK (m "k"; mk) je požadovaná čiara
130. Daná je priamka AB a rovina definovaná rovnobežnými priamkami CD a EF. Nakreslite v tejto rovine priamku pretínajúcu v pravom uhle priamku AB (obr. 128).
131. Daná priamka AB a pl. R. Nakreslite do tejto roviny priamku pretínajúcu priamku AB v pravom uhle (obr. 129).
132*. Daná rovina trojuholníka LMN a priamky AE a FG. Zostrojte rovnobežník, ktorého strana AD leží na priamke AE, strana AB je rovnobežná s rovinou trojuholníka, vrchol B patrí priamke FG, uhlopriečka BD je kolmá na stranu AD (obr. 130, a).
rozhodnutie. Načrtneme si plán riešenia (obr. 130, b a c).
1. Bodom A prejdite rovinou (P) rovnobežnou s rovinou trojuholníka LMN.
2. Nájdite priesečník (B) priamky FG s pl. R.
3. Cez bod B nakreslite rovinu (Q) kolmú na priamku AE.
4. Nájdite priesečník (D) priamky AE s pl. Q.
5. Nakreslite segment AB a priamku rovnobežnú s ním cez bod D a cez B - priamku rovnobežnú s AD.
Na obr. 130, c a d znázorňuje konštrukciu námestia. P rovnobežná s rovinou trojuholníka LMN. Pl. P cez bod A je daný dvomi pretínajúcimi sa priamkami A-1 a A-2, z ktorých A-1 je rovnobežná s LM a A-2 je rovnobežná s LN.
Rovnaké obrázky ukazujú nájdenie bodu B priesečníka priamky FG s pl. P, pre ktorú je cez FG vedená čelne premietajúca rovina S, daná stopou S ϑ . horizont. priemet 1-2 priesečníka rovín P a S pretína horizont. priemet fg v bode b. Z bodu b nájdeme priemet b" na f"g".
Na obr. 130, d znázorňuje stavbu námestia. Q kolmo na AE. Táto rovina je vedená cez bod B a je vyjadrená horizontálou B-4 a čelnou B-3, kolmou na AE. Na tom istom výkrese je znázornená konštrukcia bodu D, v ktorom priamka AE pretína pl. Q vyjadrené horizontálnym B-4 a čelným B-3.
Horizontálne premietaná rovina T je nakreslená cez AE, vyjadrená jej stopou Th, sú zostrojené priemety 3-4 a 3"4" priesečníka rovín T a Q a priemety d" a d.
Na obr. 130, e znázorňuje konštrukciu požadovaného rovnobežníka, pre ktorý sú premietané a "b" a ab, a "d" a ad dvoch strán rovnobežníka a potom b "c" || a"d"; bc || reklama; d"c" || a "b a dc || ab. Body c" ac musia byť na spojnici cc", kolmej na os x.
133. Sú uvedené trojuholníky LMN a čiary AE a FG. Zostrojte rovnobežník, ktorého strana AD leží na priamke AE, strana AB je rovnobežná s rovinou trojuholníka, vrchol B patrí priamke FG, uhlopriečka BD je kolmá na stranu AD (obr. 131).
134*. Cez bod A nakreslite čiaru rovnobežnú so štvorcom. P a rovinu trojuholníka CDE (obr. 132, a).
rozhodnutie. Ak požadovaná čiara musí byť súčasne rovnobežná s dvoma rovinami, potom musí byť rovnobežná s priesečníkom týchto rovín
(ryža, 132, b). Zavedením dvoch pomocných rovín T a S nájdeme priesečník rovín MN (obr. 132, c). Priemetne požadovanej priamky b "f" a bf prechádzajú cez a" a rovnobežku s priemetmi rovnomennej priamky MN s nimi (obr. 132, d).
i3s. Cez bod A nakreslite čiaru rovnobežnú so štvorcom. P a rovina daná pretínajúcimi sa priamkami DE a DF (obr. 133).
136. Nakreslite priamku cez bod A rovnobežnú so štvorcom. P a rovina daná rovnobežnými priamkami DE a FG (obr. 134).
137*. Nakreslite rovné čiary, z ktorých každá je oddelená od štvorca. P vo vzdialenosti l 1, a od roviny danej priamkou BC a bodom A, vo vzdialenosti l 2 (obr. 135, a).
rozhodnutie. Riešenie je založené na myšlienke umiestnenia priamok vzdialených od danej roviny o určitú vzdialenosť, t.j. od roviny rovnobežnej s danou rovinou.
Požadované priamky sú priamky MN priesečníka dvoch rovín Q rovnobežných so štvorcom. P a nachádza sa na jej oboch stranách.vo vzdialenosti l 1, s dvomi
roviny S rovnobežné s druhou z daných rovín a vzdialené od nej o vzdialenosť l 2 . Celkovo môžu byť štyri takéto riadky. Na obr. 135b znázorňuje jeden z nich.
Na obr. 135, c znázorňuje: 1) nakreslenie kolmice na štvorec. P z bodu M 1 v ňom prijatého a konštrukcia bodu K 1 na tejto kolmici vo vzdialenosti M 1 K 1 \u003d l 1; 2) nakreslenie kolmice k rovine danej bodom A a priamky BC z bodu A (pomocou vodorovnej čiary A-2 a prednej čiary A-3) a vytvorenie bodu K 2 na tejto kolmici vo vzdialenosti AK 2 \u003d l 2
Na obr. 135, d znázorňuje prechod bodom K 1 pl.Q rovnobežný s pl. P a cez bod roviny K 2 vyjadrený horizontálou K 2 5 a frontálnou K 2 6, v tomto poradí, rovnobežnou s horizontálou A-2 a frontálnou A-3, patriacou do roviny danej bodom A a priamka pred naším letopočtom.
Na obr. 135, d priesečník pl. Q a rovinu S, vyjadrenú horizontálou K 2 5 a čelnou K 2 6. Výsledná priamka MN je rovnobežná s oboma danými rovinami.
138. Nakreslite jednu z priamych čiar vo vzdialenosti od štvorca. P vo vzdialenosti l 1 a od roviny trojuholníka ABC vo vzdialenosti l 2 (obr. 136).
139*. Nakreslite priamku, ktorá pretína dané priamky AB a CD a je rovnobežná s priamkou EF (obr. 137, a).
rozhodnutie. Načrtnime plán riešenia problému (rns. 137, b).
1. Nakreslite rovinu (Q) cez čiaru CD rovnobežnú s čiarou EF.
2. Nájdite bod (K), v ktorom priamka AB pretína štvorec. Q.
3. Nakreslite čiaru (KM) cez bod K rovnobežnú s danou čiarou EF.
Na obr. 137, v konštrukcii námestia. Q prechádzajúca priamkou CD a rovnobežkou EF Pl. Q je vyjadrené priamkou CD a priamkou DG, ktorá ju pretína a vedie cez bod D rovnobežný s EF.
Na obr. 137, c znázorňuje konštrukciu bodu K, v ktorom priamka AB pretína štvorec. Q. Priamka AB je uzavretá v čelne premietnutej rovine R, vyjadrená jej stopou R ϑ . Pl. R prechádza námestím. Q v priamke 1-2. V priesečníku 1-2 a ab sa získa projekcia k; bodom k nájdeme predok. projekcia k".
Nakoniec na obr. 137, d ukazuje priemet km a k "m" požadovanej priamky: k "m" || e"f" a km || ef. Samozrejme, priemety m" a m musia byť získané na spojnici m" m, kolmej na os x.
140. Nakreslite priamku pretínajúcu dané priamky AB a CD a rovnobežnú s priamkou EF (obr. 138).
141. Nakreslite priamku, ktorá pretína dané priamky AB a CD, rovnobežne s priamkou EF (obr. 139).
142*. Dané línie EF, MN, KL a HI. Zostrojte obdĺžnik ABCD, ktorého strana AB je rovnobežná s priamkou EF, vrchol A leží na priamke KL, vrchol B leží na priamke MN a vrchol C leží na priamke HI (obr. 140, a).
rozhodnutie. Strana AB musí pretínať KL a MN a byť rovnobežná s EF (pozri problém 139).
Ak (obr. 140.6) nakreslíme aspoň cez bod G ležiaci na KL priamku rovnobežnú s EF, tak dostaneme pl. Q paralelne s EF. Ďalej musíte nájsť bod B priesečníka tejto roviny s čiarou MN a nakresliť bod B do štvorca. Q. Priamka rovnobežná s EF. Táto priamka AB pretína priamky MN a KL a je rovnobežná s EF.
Konštrukcia je znázornená na obr. 140, c. Keďže strany BC a AB musia byť na seba kolmé, vedieme (obr. 140, vedenie) bodom B pl. P, kolmo na stranu AB a postavte bod C jej priesečníka s priamkou HI.
Nakreslite čiary cez body A a C (obr. 140, d a e), rovnobežné s priamkami BC a AB, až kým sa nepretnú v bode D.
143.. Daná pyramída SEFG a čiara MN (obr. 141). Zostrojte obdĺžnik ABCD so stranou AB rovnobežnou s priamkou MN, vrchol A leží na hrane SF, vrchol AB leží na strane podstavy EG, vrchol D leží na hrane SE.
144. Uvedená je pyramída SEFG a čiara MN (obr. 142). Zostrojte obdĺžnik ABCD so stranou AB rovnobežnou s priamkou MN, vrchol A leží na hrane SG, vrchol B na základnej strane EF a vrchol D na hrane SF.
145*. Nakreslite priamku cez bod A rovnobežnú s rovinou danou rovnobežnými priamkami ED a FG a pretínajúcou priamku BC (obr. 143, a).
rozhodnutie. Môžete zostaviť nasledujúci plán riešenia problému (obr. 143, b):
1) nakreslite rovinu (P) cez bod A rovnobežnú s danou rovinou;
2) nájdite bod (K) priesečníka lietadla na štvorci. R;
3) nakreslite požadovanú čiaru AK.
Na obr. 143, v pl. P vedená cez bod A je vyjadrená priamkou AM || ED ("m" || e "d", am || ed) a horizontálne AN na držanie horizontu. ktorých projekcie
horizontálna E-1 je vedená v rovine definovanej priamkami ED a FG (an || ef). Na obr. 143, d znázorňuje konštrukciu bodu K, v ktorom daná priamka BC pretína štvorec. R: cez BC je vedená čelne vyčnievajúca rovina (vyjadrená
podľa R ϑ) sú zostrojené priemety 2 "3" a 2-3 priesečníka rovín P a R, získa sa bod k v priesečníku priamky 2-3 a bс. Pri priemete k sa nájde priemet k. Priemetne želanej priamky a "k" a ak.
146. Bodom A (obr. 144) nakreslite priamku rovnobežnú so štvorcom. P a priesečník BC.
147. Nakreslite čiaru cez bod A (obr. 145) rovnobežnú s rovinou danou pretínajúcimi sa priamkami DE a DF a pretínajúcimi priamku BC.
148*. Zostrojte lokusy bodov rovnako vzdialených od daných bodov A, B a C (obr. 146, a),
rozhodnutie. Požadovaným geometrickým miestom je priesečník MN (obr. 146, b) rovín P a Q, v tomto poradí, kolmé na segmenty AB a BC a prechádzajúce bodmi K 1 a K 2 v stredoch týchto segmentov. Na obr. 146, tieto
roviny sú vyjadrené ich stopami. Pomocou (obr. 146, d) priesečníkov rovnomenných stôp rovín zostavíme priamku ich priesečníka MN.
149. Zostrojte lokusy bodov rovnako vzdialených od daných bodov A, B a C (obr. 147).
150*. Je daný trojuholník ABC (obr. 148, a). Zostrojte pyramídu SABC, ktorej vrchol S je rovnako vzdialený od bodov A, B a C. Vzdialenosť od bodu S po štvorec. V je 1,7-násobok jeho vzdialenosti od štvorca. N.
rozhodnutie. Ťažisko bodov rovnako vzdialených od bodov A, B a C (pozri úlohu 148 *) je priesečník MN rovín Q a P, vedených cez stredy (K 1 a K 2) segmentov AB a BC, ktoré sú na ne kolmé. (Obr. 148, b a c). Vrchol S musí ležať na tejto priamke. Miestom bodov, pre ktoré je ordináta 1,7-násobkom aplikácie, je osová rovina T; jeho profilová stopa T ω prechádza (obr. 148, c) bodom O a bodom, ktorého vzdialenosť k
os y je 10 jednotiek a až po os z je 17 jednotiek. Bod S patrí do tejto roviny. Priemet profilu s "vrcholu ihlana sa nachádza v priesečníku m" n "so stopou T ω (na obrázku je pre zjednodušenie výkresu zostrojený profilový priemet bodu D ležiaceho na priamke MN ). Od s" nájdeme s "a s. Na obr. 148 je znázornených d priemetov požadovanej pyramídy.
151. Je daný trojuholník ABC (obr. 149). Zostrojte projekcie pyramídy SABC, ktorej vrchol S je rovnako vzdialený od vrcholov podstavy ABC a leží v štvorci. v.
152*. Sú uvedené body A, L, M a N (obr. 150, a). Zostrojte rovnobežník ABCD, ktorého vrchol B leží na štvorci. H, strana CD - na priamke v rovnakej vzdialenosti od bodov L, M a N, vrchol D v rovnakej vzdialenosti od rovín V a H.
rozhodnutie. Pretože bočné CD požadovaného rovnobežníka musí ležať na priamke rovnako vzdialenej od troch bodov, začneme zostrojením tejto priamky. S podobnou konštrukciou sme sa už stretli: priamka EF sa získa ako priesečník dvoch rovín (obr. 150, 6 a c) P a Q, vedených kolmo na úsečky LM a MN cez ich stredy. Bod D na tejto čiare sa zistí z podmienky, že
je v rovnakej vzdialenosti od námestia. V a pl. H (obr. 150, d): bodom f vedieme pomocnú čiaru f "5 pod rovnakým uhlom k osi x ako priamka f" e ", na priemete ef dostaneme bod d, a pozdĺž nej d", navyše d" 6 = d-6.
Získali sme teda jeden z vrcholov požadovaného rovnobežníka (bod D) a smer strany prechádzajúcej týmto bodom (priamka EF). Prechádzanie daným
bod A je priamka rovnobežná s EF, dostaneme stranu AB s vedomím, že podľa podmienky musí byť bod B v štvorci. N.
Zostáva dokončiť konštrukciu priemetov rovnobežníka nakreslením a "b" a ab (obr. 150.6), b "c" || a"d" a bc || inzerát. Body c" a c" musia byť na línii komunikácie s"c, kolmo na os x.
153. Sú uvedené body A, L, M a N (obr. 151). Zostrojte rovnobežník ABCD, ktorého vrchol B leží na štvorci. H, strana CD leží na priamke rovnako vzdialenej od bodov L, M a N, vrchol D je rovnako vzdialený od pl. V a pl.H
154. Je daný trojuholník ABC (obr. 152). Zostrojte projekcie pyramídy SABC, ktorej vrchol S je rovnako vzdialený od bodov A, B a C a je v rovnakej vzdialenosti od štvorca. V a pl. H.
PRIESKNUTIE ČIARY S ROVINOU A PRIERENIE DVOCH ROVIN
Konštrukcia priesečníka priamky s premietacou rovinou redukuje na zostrojenie druhého priemetu bodu na diagrame, keďže jeden priemet bodu vždy leží na stope priemetnej roviny, pretože všetko, čo je v priemetnej rovine, sa premieta na jednu z priemetní roviny. Na obr. 224,a je znázornená konštrukcia priesečníka priamky EF s prednou priemetnou rovinou trojuholníka ABC (kolmou na rovinu V) Na rovinu V sa trojuholník ABC premieta do úsečky a "c" priamky a bod k "bude tiež ležať na tejto priamke a bude v bode priesečníka e "f" s "c". Horizontálna projekcia sa vytvorí pomocou spojnice premietania. Viditeľnosť a priamka vzhľadom na rovinu trojuholníka ABC je určená vzájomnou polohou priemetov trojuholníka ABC a priamky EF na rovinu V. Smer pohľadu na obr. 224, a je označený šípkou Ten rez priamky, ktorej čelný priemet je nad priemetom trojuholníka, bude viditeľný. Vľavo od bodu k " je priemet priamky nad priemetom trojuholníka, preto je tento úsek viditeľný. na rovine H.
Na obr. 224, b, priamka EF pretína vodorovnú rovinu P. Čelný priemet k "bodu K - priesečník priamky EF s rovinou P - bude v priesečníku priemetne e" f "so stopou roviny Pv, keďže vodorovná rovina je spredu priemetná rovina. Vodorovný priemet k bodu K nájdeme pomocou premietacej spojnice.
Konštrukcia priesečníka dvoch rovín sa redukuje na nájdenie dvoch spoločných bodov pre tieto dve roviny. To stačí na vytvorenie priesečníka, pretože priesečník je priamka a priamka je definovaná dvoma bodmi. Keď sa premietacia rovina pretína s rovinou vo všeobecnej polohe, jeden z priemetov priesečníkovej čiary sa zhoduje so stopou roviny umiestnenej v rovine priemetov, na ktorú je premietacia rovina kolmá. Na obr. 225 a čelný priemet m "n" priesečníka MN sa zhoduje so stopou Pv spredu premietacej roviny P a na obr. 225b sa vodorovný priemet kl zhoduje so stopou vodorovne prečnievajúcej roviny R. Ostatné priemety priesečníka sú zostrojené pomocou projekčných spojníc.
Konštrukcia priesečníka priamky s rovinou všeobecná poloha (obr. 226, a) sa vykonáva pomocou pomocnej premietacej roviny R, ktorá je vedená cez danú priamku EF. Zostaví sa priesečník 12 pomocnej roviny R s danou rovinou trojuholníka ABC, v rovine R sa získajú dve priamky: EF - daná priamka a 12 - zostrojená priesečník, ktoré sa pretínajú v bode K. .
Nájdenie priemetov bodu K je znázornené na obr. 226b. Konštrukcie sa vykonávajú v nasledujúcom poradí.
Cez priamku EF je vedená pomocná horizontálna premietacia rovina R. Jej stopa R H sa zhoduje s horizontálnym priemetom ef priamky EF.
Čelný priemet 1"2" priesečníka 12 roviny R s danou rovinou trojuholníka ABC je zostrojený pomocou projekčných priamok, pretože horizontálny priemet priesečníka je známy. Zhoduje sa s horizontálnou stopou R H roviny R.
Určí sa nárysný priemet k" požadovaného bodu K, ktorý sa nachádza v priesečníku nárysného priemetu tejto priamky s priemetom 1"2" priesečníka. Vodorovný priemet bodu sa zostrojí pomocou priemetu. spojovacie vedenie.
Viditeľnosť priamky vzhľadom na rovinu trojuholníka ABC je určená metódou konkurenčných bodov. Na určenie viditeľnosti priamky na čelnej rovine projekcií (obr. 226, b) porovnávame súradnice Y bodov 3 a 4, ktorých čelné projekcie sa zhodujú. Súradnica Y bodu 3, ktorý leží na priamke BC, je menšia ako súradnica Y bodu 4, ktorý leží na priamke EF. Preto je bod 4 bližšie k pozorovateľovi (smer pohľadu je označený šípkou) a priemet priamky je znázornený na viditeľnej rovine V. Čiara prechádza pred trojuholníkom. Naľavo od bodu K“ je čiara uzavretá rovinou trojuholníka ABC.
Viditeľnosť na vodorovnej premietacej rovine je znázornená porovnaním súradníc Z bodov 1 a 5. Keďže Z 1 > Z 5 , bod 1 je viditeľný. Preto je napravo od bodu 1 (až po bod K) čiara EF neviditeľná.
Na vytvorenie priesečníka dvoch rovín vo všeobecnej polohe sa používajú pomocné sečné roviny. Toto je znázornené na obr. 227 a. Jedna rovina je daná trojuholníkom ABC, druhá je daná rovnobežnými priamkami EF a MN. Dané roviny (obr. 227, a) pretína tretia pomocná rovina. Pre jednoduchosť konštrukcie sa ako pomocné roviny berú vodorovné alebo čelné roviny. AT tento prípad pomocná rovina R je horizontálna rovina. Dané roviny pretína po priamkach 12 a 34, ktoré v priesečníku dávajú bod K, ktorý patrí všetkým trom rovinám a následne dvom daným rovinám, t.j. ležiacim na priesečníku daných rovín. Druhý bod nájdeme pomocou druhej pomocnej roviny Q. Nájdené dva body K a L určujú priesečník oboch rovín.
Na obr. 227b je pomocná rovina R daná čelnou brázdou. Čelné priemety priesečníkov 1 "2" a 3" 4 roviny R s danými rovinami sa zhodujú s nárysnou stopou Rv roviny R, pretože rovina R je kolmá na rovinu V a všetko, čo je v ňom (vrátane priesečníkov) sa premieta na jeho nárysnú stopu Rv. Vodorovné priemety týchto čiar sú konštruované pomocou projekčných spojovacích čiar nakreslených z nárysných priemetov bodov 1", 2", 3", 4" do priesečník s vodorovnými priemetmi zodpovedajúcich priamok v bodoch 1, 2, 3, 4. Zostrojené vodorovné priemety priesečníkov sa predĺžia, až kým sa navzájom nepretnú v bode k, čo je vodorovná priemet bodu K prislúchajúceho priesečník dvoch rovín. Čelný priemet tohto bodu je na stope Rv.
Na zostrojenie druhého bodu prislúchajúceho k priesečníku sa nakreslí druhá pomocná rovina Q. Pre uľahčenie konštrukcie je rovina Q nakreslená cez bod C rovnobežný s rovinou R. Potom na zostrojenie vodorovných priemetov čiar priesečníka roviny Q s rovinou trojuholníka ABC a s rovinou danou rovnobežnými priamkami, stačí nájsť dva body: c a 5 a cez ne nakresliť priamky rovnobežné s predtým zostrojenými priemetmi priesečníkov 12 a 34, pretože rovina Q ║ R. Pokračujúc v týchto priamkach, až kým sa navzájom nepretínajú, dostaneme vodorovný priemet l bodu L prislúchajúceho priesečníku daných rovín. Čelný priemet l" bodu L leží na stope Q v a je zostrojený pomocou priamky premietacej spojnice. Spojením rovnomenných priemetov bodov K a L sa získajú priemety želanej priesečníkovej priamky. .
Ak vezmeme priamku v jednej z pretínajúcich sa rovín a zostrojíme priesečník tejto priamky s inou rovinou, tak tento bod bude patriť priesečníku týchto rovín, keďže patrí do oboch daných rovín. Rovnakým spôsobom postavíme druhý bod, môžeme nájsť priesečník dvoch rovín, keďže dva body stačia na vytvorenie priamky. Na obr. 228 je znázornená takáto konštrukcia priesečníka dvoch rovín daných trojuholníkmi.
Pre túto konštrukciu sa vezme jedna zo strán trojuholníka a vytvorí sa priesečník tejto strany s rovinou druhého trojuholníka. Ak sa to nepodarí, vezmite druhú stranu toho istého trojuholníka, potom tretiu. Ak to neviedlo k nájdeniu požadovaného bodu, postavia sa priesečníky strán druhého trojuholníka s prvým.
Na obr. 228 zostrojíme priesečník priamky EF s rovinou trojuholníka ABC. Za týmto účelom sa cez priamku EF nakreslí pomocná horizontálne premietajúca rovina S a vytvorí sa čelný priemet 1 "2" priesečníka tejto roviny s rovinou trojuholníka ABC. Čelný priemet 1 "2" priesečníka, ktorý sa pretína s predným priemetom e "f" priamky EF, dáva predný priemet m "priesečníka M. Vodorovný priemet m bodu M sa zistí pomocou spojnica priemetne Druhý bod patriaci priesečnici rovín daných trojuholníkov, - bod N - priesečník priamky BC s rovinou trojuholníka DEF.. Cez priamku BC vedie predná nakreslí sa premietacia rovina R a na rovine H priesečník vodorovných priemetov priamky BC a priesečníka 34 dáva bod n - horizontálny priemet požadovaného bodu Viditeľné rezy daných trojuholníkov sa určia pomocou konkurenčných bodov. pre každú premietaciu rovinu samostatne.Na to vyberte bod na jednej z projekčných rovín, ktorý je priemetom dvoch konkurenčných bodov. Viditeľnosť sa určí z druhých priemetov týchto bodov porovnaním ich súradníc.
Napríklad body 5 a 6 sú priesečníky horizontálnych priemetov bc a de. Na čelnej projekčnej rovine sa priemety týchto bodov nezhodujú. Porovnaním ich súradníc Z zistia, že bod 5 uzatvára bod 6, keďže súradnica Z 5 je väčšia ako súradnica Z 6. Preto naľavo od bodu 5 je strana DE neviditeľná.
Viditeľnosť na čelnej rovine priemetov sa určuje pomocou konkurenčných bodov 4 a 7 patriacich do segmentov DE a BC, porovnaním ich súradníc Y 4 a Y 7 Keďže Y 4 > Y 7 je viditeľná strana DE v rovine V.
Treba si uvedomiť, že pri konštrukcii priesečníka priamky s rovinou trojuholníka môže byť priesečník mimo rovinu trojuholníka. V tomto prípade sa spojením získaných bodov prislúchajúcich k priesečníku zakrúžkuje len tá jej časť, ktorá patrí obom trojuholníkom.
PREHĽAD OTÁZKY
1. Aké súradnice bodu určujú jeho polohu v rovine V?
2. Aká je súradnica Y a súradnica Z bodu?
3. Ako sú na schéme umiestnené priemety úsečky kolmé na premietaciu rovinu H? Kolmo na premietaciu rovinu V?
4. Ako sú na diagrame umiestnené horizontálne a čelné projekcie?
5. Formulujte hlavnú pozíciu o príslušnosti bodu k priamke.
6. Ako rozlíšiť pretínajúce sa čiary od pretínajúcich sa v diagrame?
7. Aké body sa nazývajú súťažné?
8. Ako určiť, ktorý z dvoch bodov je viditeľný, ak sa ich priemet na rovinu čelnej priemetne zhoduje?
9. Formulujte hlavný postoj o rovnobežnosti priamky a roviny.
10. Aký je postup pri zostrojení priesečníka priamky s rovinou vo všeobecnej polohe?
11. Aký je postup pri zostrojení priesečníka dvoch rovín vo všeobecnej polohe?
