Distribučný zákon. Distribučný polygón

Náhodná premenná Nazýva sa množstvo, ktoré v dôsledku experimentu môže nadobudnúť jednu alebo druhú hodnotu, ktorá nie je vopred známa. Náhodné premenné sú nespojitý (diskrétny) a nepretržitý typu. Možné hodnoty nespojitých veličín je možné vopred vyčísliť. Možné hodnoty spojitých veličín nie je možné vopred vyčísliť a priebežne zapĺňať určitú medzeru.

Príklad diskrétnych náhodných premenných:

1) Počet výskytov erbu v troch hodoch mincou. (možné hodnoty sú 0;1;2;3)

2) Frekvencia výskytu erbu v tom istom experimente. (možné hodnoty)

3) Počet zlyhaných prvkov v zariadení pozostávajúcom z piatich prvkov. (Možné hodnoty sú 0;1;2;3;4;5)

Príklady spojitých náhodných premenných:

1) Abscisa (ordináta) bodu dopadu pri výstrele.

2) Vzdialenosť od bodu dopadu do stredu terča.

3) Doba bezporuchovej prevádzky zariadenia (rádiové trubice).

Náhodné premenné sú označené veľkými písmenami a ich možné hodnoty zodpovedajúcimi malými písmenami. Napríklad X je počet zásahov pri troch výstreloch; možné hodnoty: X1=0, X2=1, X3=2, X4=3.

Uvažujme nespojitú náhodnú premennú X s možnými hodnotami X 1 , X 2 , ... , X n . Každá z týchto hodnôt je možná, ale nie istá, a hodnota X môže mať každú z nich s určitou pravdepodobnosťou. Výsledkom experimentu je, že veličina X nadobudne jednu z týchto hodnôt, to znamená, že dôjde k jednej z celej skupiny nekompatibilných udalostí.

Označme pravdepodobnosti týchto udalostí písmenami p so zodpovedajúcimi indexmi:

Keďže nekompatibilné udalosti tvoria ucelenú skupinu

to znamená, že súčet pravdepodobností všetkých možných hodnôt náhodnej premennej je rovný 1. Táto celková pravdepodobnosť je nejakým spôsobom rozdelená medzi jednotlivé hodnoty. Náhodná premenná bude z pravdepodobnostného hľadiska úplne opísaná, ak špecifikujeme toto rozdelenie, to znamená, že presne uvedieme, akú pravdepodobnosť má každá z udalostí. (Tým sa vytvorí takzvaný zákon rozdelenia náhodných premenných.)

Zákon rozdelenia náhodnej premennej Volá sa akýkoľvek vzťah, ktorý vytvára spojenie medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a zodpovedajúcou pravdepodobnosťou. (O náhodnej premennej povieme, že podlieha danému zákonu o rozdelení)

Najjednoduchšou formou špecifikácie zákona o rozdelení náhodnej premennej je tabuľka, ktorá uvádza možné hodnoty náhodnej premennej a ich zodpovedajúce pravdepodobnosti.

Stôl 1.

X i	x1	x2	…	X n
Pi	P1	P2	…	P n

Takáto tabuľka je tzv blízko distribúcie náhodné premenné.

Aby distribučná séria získala vizuálnejšiu formu, uchýli sa k jej grafickému znázorneniu: možné hodnoty náhodnej premennej sú vynesené pozdĺž osi x a pravdepodobnosti týchto hodnôt sú vynesené pozdĺž osi y. (Pre prehľadnosť sú získané body spojené úsečkami.)

Obrázok 1 - distribučný polygón

Takáto postava sa nazýva distribučný polygón. Distribučný polygón, podobne ako distribučný rad, úplne charakterizuje náhodnú premennú; je to forma distribučného zákona.

Príklad:

vykoná sa jeden experiment, v ktorom môže, ale nemusí nastať udalosť A. Pravdepodobnosť udalosti A = 0,3. Zvažuje sa náhodná premenná X - počet výskytov udalosti A v tomto experimente. Je potrebné postaviť sériu a polygón rozloženia X.

Tabuľka 2

X i
Pi	0,7	0,3

Obrázok 2 - Distribučná funkcia

distribučná funkcia je univerzálna charakteristika náhodnej premennej. Existuje pre všetky náhodné premenné: nespojité aj nespojité. Distribučná funkcia úplne charakterizuje náhodnú premennú z pravdepodobnostného hľadiska, to znamená, že je jednou z foriem distribučného zákona.

Na kvantifikáciu tohto rozdelenia pravdepodobnosti je vhodné použiť nie pravdepodobnosť udalosti X=x, ale pravdepodobnosť udalosti X

Distribučná funkcia F(x) sa niekedy nazýva aj integrálna distribučná funkcia alebo integrálny distribučný zákon.

Vlastnosti distribučnej funkcie náhodnej premennej

1. Distribučná funkcia F(x) je neklesajúcou funkciou svojho argumentu, teda pre ;

2. V mínus nekonečne:

3. Na plus nekonečno:

Obrázok 3 - graf distribučnej funkcie

Graf distribučnej funkcie vo všeobecnom prípade ide o graf neklesajúcej funkcie, ktorej hodnoty začínajú od 0 a dosahujú 1.

Poznaním distribučného radu náhodnej premennej je možné zostrojiť distribučnú funkciu náhodnej premennej.

Príklad:

pre podmienky predchádzajúceho príkladu zostrojte distribučnú funkciu náhodnej premennej.

Zostavme distribučnú funkciu X:

Obrázok 4 - distribučná funkcia X

distribučná funkcia každej nespojitej diskrétnej náhodnej premennej vždy existuje nespojitá kroková funkcia, ktorej skoky sa vyskytujú v bodoch zodpovedajúcich možným hodnotám náhodnej premennej a rovnajú sa pravdepodobnostiam týchto hodnôt. Súčet všetkých skokov v distribučnej funkcii je 1.

Keď sa počet možných hodnôt náhodnej premennej zvyšuje a intervaly medzi nimi klesajú, počet skokov sa zväčšuje a samotné skoky sa zmenšujú:

Obrázok 5

Krivka kroku sa stáva hladšou:

Obrázok 6

Náhodná premenná sa postupne približuje ku spojitej hodnote a jej distribučná funkcia sa blíži ku spojitej funkcii. Existujú aj náhodné premenné, ktorých možné hodnoty nepretržite vypĺňajú určitú medzeru, ale pre ktoré nie je distribučná funkcia všade spojitá. A v niektorých momentoch sa to zlomí. Takéto náhodné premenné sa nazývajú zmiešané.

Obrázok 7

Úloha 14. V peňažnej lotérii sa hrá 1 výhra 1 000 000 rubľov, 10 výhier po 100 000 rubľov. a 100 výhier vo výške 1 000 rubľov. s celkovým počtom tiketov 10000. Nájdite zákon rozdeľovania náhodných výhier X pre majiteľa jedného žrebu.

rozhodnutie. Možné hodnoty pre X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 \u003d 1000000. Ich pravdepodobnosti sú v tomto poradí rovnaké: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Preto distribučný zákon výplaty X môže byť uvedené v nasledujúcej tabuľke:

Zostrojte distribučný polygón.

rozhodnutie. Zostrojíme pravouhlý súradnicový systém a pozdĺž osi x vynesieme možné hodnoty x i, a pozdĺž osi y - zodpovedajúce pravdepodobnosti p i. Poďme stavať body M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6; 0,4) a M 4 (8; 0,3). Spojením týchto bodov s úsečkami získame požadovaný distribučný polygón.

§2. Numerické charakteristiky náhodných premenných

Náhodnú premennú úplne charakterizuje jej distribučný zákon. Priemerný popis náhodnej premennej možno získať pomocou jej číselných charakteristík

2.1. Očakávaná hodnota. Disperzia.

Nech náhodná premenná nadobudne hodnoty s pravdepodobnosťou, resp.

Definícia. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom produktov všetkých jej možných hodnôt a zodpovedajúcich pravdepodobností:

Vlastnosti matematického očakávania.

Rozptyl náhodnej premennej okolo strednej hodnoty je charakterizovaný rozptylom a štandardnou odchýlkou.

Disperzia náhodnej premennej sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania:

Na výpočty sa používa nasledujúci vzorec

Disperzné vlastnosti.

2. , kde sú vzájomne nezávislé náhodné premenné.

3. Smerodajná odchýlka .

Úloha 16. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej Z = X+ 2Y, ak sú známe matematické očakávania náhodných premenných X a Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

rozhodnutie. Využívame vlastnosti matematického očakávania. Potom dostaneme:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Úloha 17. Rozptyl náhodnej premennej X rovný 3. Nájdite rozptyl náhodných premenných: a) –3 X; b) 4 X + 3.

rozhodnutie. Aplikujme vlastnosti 3, 4 a 2 disperzie. Máme:

a) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X + 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Úloha 18. Daná nezávislá náhodná premenná Y je počet bodov získaných hodom kockou. Nájdite zákon rozdelenia, matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku náhodnej premennej Y.

rozhodnutie. Distribučná tabuľka náhodných premenných Y vyzerá ako:

Y
R	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Potom M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6 + 4 1/6 + 5 1/6 + 6 1/6 = 3,5;

D(Y) \u003d (1 - 3,5) 2 1/6 + (2 - 3,5) 2 / 6 + (3 - 3,5) 2 1/6 + (4 - 3,5) 2 / 6 + (5 - -3,5) 2 1/ 6 + (6 - 3,5) 2, 1/6 \u003d 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

V časti kurzu venovanej základným pojmom teórie pravdepodobnosti sme si už predstavili mimoriadne dôležitý pojem náhodná premenná. Tu uvádzame ďalší vývoj tohto konceptu a uvádzame spôsoby, ktorými možno náhodné premenné popísať a charakterizovať.

Ako už bolo spomenuté, náhodná veličina je veličina, ktorá v dôsledku experimentu môže nadobudnúť tú či onú hodnotu, vopred sa nevie akú. Dohodli sme sa aj na rozlišovaní náhodných premenných diskontinuitných (diskrétnych) a spojitých typov. Možné hodnoty nespojitých veličín môžu byť uvedené vopred. Možné hodnoty spojitých veličín nie je možné vopred vyčísliť a priebežne zapĺňať určitú medzeru.

Príklady nespojitých náhodných premenných:

1) počet výskytov erbu počas troch hodov mincou (možné hodnoty sú 0, 1, 2, 3);

2) frekvencia výskytu erbu v tom istom experimente (možné hodnoty);

3) počet zlyhaných prvkov v zariadení pozostávajúcom z piatich prvkov (možné hodnoty sú 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) počet zásahov do lietadla dostatočný na jeho deaktiváciu (možné hodnoty sú 1, 2, 3, ..., n, ...);

5) počet lietadiel zostrelených vo vzdušnom boji (možné hodnoty sú 0, 1, 2, ..., N, kde je celkový počet lietadiel zúčastňujúcich sa bitky).

Príklady spojitých náhodných premenných:

1) os (osová osa) bodu dopadu pri výstrele;

2) vzdialenosť od bodu dopadu do stredu terča;

3) chyba výškomera;

4) čas bezporuchovej prevádzky rádiovej trubice.

V budúcnosti sa dohodneme na označovaní náhodných premenných veľkými písmenami a ich možných hodnôt zodpovedajúcimi malými písmenami. Napríklad - počet zásahov s tromi výstrelmi; možné hodnoty: .

Zvážte nespojitú náhodnú premennú s možnými hodnotami. Každá z týchto hodnôt je možná, ale nie istá, a hodnota X môže mať každú z nich s určitou pravdepodobnosťou. V dôsledku experimentu bude hodnota X nadobúdať jednu z týchto hodnôt, t.j. dôjde k jednej z celej skupiny nekompatibilných udalostí:

Označme pravdepodobnosti týchto udalostí písmenami p so zodpovedajúcimi indexmi:

Keďže nekompatibilné udalosti (5.1.1) tvoria kompletnú skupinu

tie. súčet pravdepodobností všetkých možných hodnôt náhodnej premennej sa rovná jednej. Táto celková pravdepodobnosť je nejakým spôsobom rozdelená medzi jednotlivé hodnoty. Náhodná veličina bude z pravdepodobnostného hľadiska úplne opísaná, ak toto rozdelenie špecifikujeme, t.j. presne uvádzame, akú pravdepodobnosť má každá z udalostí (5.1.1). Tým sa vytvorí takzvaný zákon rozdelenia náhodnej premennej.

Distribučný zákon náhodnej premennej je akýkoľvek vzťah, ktorý vytvára spojenie medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a ich zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami. O náhodnej premennej povieme, že podlieha danému distribučnému zákonu.

Stanovme formu, v ktorej môže byť daný zákon rozdelenia nespojitej náhodnej premennej. Najjednoduchšou formou nastavenia tohto zákona je tabuľka, ktorá uvádza možné hodnoty náhodnej premennej a ich zodpovedajúce pravdepodobnosti:

Takúto tabuľku nazveme radom rozdelenia náhodnej premennej.

Niekedy sa ako výhodná ukáže takzvaná „mechanická“ interpretácia distribučnej série. Predstavte si, že určitá hmotnosť rovnajúca sa jednotke je rozložená pozdĺž osi x tak, že hmoty sú sústredené v jednotlivých bodoch, resp. Potom sa distribučný rad interpretuje ako systém hmotných bodov s určitými hmotnosťami umiestnenými na osi x.

Zvážte niekoľko príkladov nespojitých náhodných premenných s ich distribučnými zákonmi.

Príklad 1. Uskutoční sa jeden experiment, v ktorom sa udalosť môže alebo nemusí objaviť. Pravdepodobnosť udalosti je 0,3. Za náhodnú premennú sa považuje počet výskytov udalosti v danom experimente (t. j. charakteristická náhodná premenná udalosti , ktorá má hodnotu 1, ak sa objaví, a 0, ak sa neobjaví). Zostrojte distribučný rad a distribučný mnohouholník množstva.

rozhodnutie. Hodnota má iba dve hodnoty: 0 a 1. Distribučný rad hodnoty má tvar:

Distribučný polygón je znázornený na obr. 5.1.2.

Príklad 2. Strelec vypáli tri výstrely na cieľ. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri každom výstrele je 0,4. Za každý zásah si strelec počíta 5 bodov. Zostrojte sériu rozdelenia počtu získaných bodov.

rozhodnutie. Označme počet vyradených bodov. Možné hodnoty: .

Pravdepodobnosť týchto hodnôt sa zistí pomocou vety o opakovaní experimentov:

Séria distribúcie množstva má tvar:

Distribučný polygón je znázornený na obr. 5.1.3.

Príklad 3. Pravdepodobnosť udalosti vyskytujúcej sa v jednom experimente je . Uskutočňuje sa množstvo nezávislých experimentov, ktoré pokračujú až do prvého výskytu udalosti, po ktorej sa experimenty zastavia. Náhodná premenná je počet vykonaných experimentov. Zostrojte distribučný rad hodnoty .

rozhodnutie. Možné hodnoty hodnoty: 1, 2, 3, … (teoreticky nie sú ničím obmedzené). Aby hodnota nadobudla hodnotu 1, je potrebné, aby udalosť nastala v prvom experimente; pravdepodobnosť tohto je. Aby hodnota nadobudla hodnotu 2, je potrebné, aby sa udalosť neobjavila v prvom experimente a objavila sa v druhom; pravdepodobnosť toho je , kde , atď. Séria distribúcie množstva má tvar:

Prvých päť súradníc distribučného polygónu pre prípad je znázornených na obr. 5.1.4.

Príklad 4. Strelec strieľa na cieľ až do prvého zásahu, pričom má 4 náboje. Pravdepodobnosť zásahu každého výstrelu je 0,6. Zostavte sériu distribúcie munície, ktorá zostane nevyužitá.

odpoveď: Zvážte nespojitú náhodnú premennú X s možnými hodnotami. Každá z týchto hodnôt je možná, ale nie istá, a hodnota X môže s určitou pravdepodobnosťou prijať každý z nich. Výsledkom experimentu je hodnota X nadobudne jednu z týchto hodnôt, t. j. nastane jedna z celej skupiny nekompatibilných udalostí:

Označme pravdepodobnosti týchto udalostí písmenami R so zodpovedajúcimi indexmi:

To znamená, že rozdelenie pravdepodobnosti rôznych hodnôt môže byť dané distribučnou tabuľkou, v ktorej horný riadok označuje všetky hodnoty získané danou diskrétnou náhodnou premennou a spodný riadok zobrazuje pravdepodobnosti hodnôt. tomu zodpovedajúca. Keďže nekompatibilné udalosti (3.1) tvoria kompletnú skupinu, potom , t.j. súčet pravdepodobností všetkých možných hodnôt náhodnej premennej sa rovná jednej. Rozdelenie pravdepodobnosti spojitých náhodných premenných nemôže byť prezentované vo forme tabuľky, pretože počet hodnôt takýchto náhodných premenných je nekonečný aj v obmedzenom intervale. Pravdepodobnosť získania akejkoľvek konkrétnej hodnoty je tiež nulová. Náhodná premenná bude z pravdepodobnostného hľadiska úplne opísaná, ak špecifikujeme toto rozdelenie, to znamená, že presne uvedieme, akú pravdepodobnosť má každá z udalostí. Tým sa vytvorí takzvaný zákon rozdelenia náhodnej premennej. Distribučný zákon náhodnej premennej je akýkoľvek vzťah, ktorý vytvára spojenie medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a ich zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami. O náhodnej premennej povieme, že podlieha danému distribučnému zákonu. Stanovme formu, v ktorej môže byť daný zákon rozdelenia nespojitej náhodnej premennej X. Najjednoduchšou formou nastavenia tohto zákona je tabuľka, ktorá uvádza možné hodnoty náhodnej premennej a ich zodpovedajúce pravdepodobnosti:

x i	X 1	X 2	× × ×	x n
pi	p 1	p 2	× × ×	p n

Takúto tabuľku nazveme rad rozdelenia náhodnej premennej X.

Ryža. 3.1

Aby distribučná séria získala vizuálnejšiu formu, často sa uchyľuje k jej grafickému znázorneniu: možné hodnoty náhodnej premennej sú vynesené pozdĺž osi x a pravdepodobnosti týchto hodnôt sú vynesené pozdĺž osi y. Pre prehľadnosť sú získané body spojené priamymi úsečkami. Takýto obrazec sa nazýva distribučný polygón (obr. 3.1). Distribučný polygón, rovnako ako distribučný rad, úplne charakterizuje náhodnú premennú. je to forma distribučného zákona. Niekedy sa ako výhodná ukáže takzvaná „mechanická“ interpretácia distribučnej série. Predstavte si, že nejaká hmotnosť rovnajúca sa jednotke je rozložená pozdĺž osi x tak, že v n jednotlivé body sú sústredené, respektíve hmoty . Potom sa distribučný rad interpretuje ako systém hmotných bodov s určitými hmotnosťami umiestnenými na osi x.

Príklady nespojitých náhodných premenných:

1) počet výskytov erbu počas troch hodov mincou (možné hodnoty sú 0, 1, 2, 3);

2) frekvencia výskytu erbu v tom istom experimente (možné hodnoty);

3) počet zlyhaných prvkov v zariadení pozostávajúcom z piatich prvkov (možné hodnoty sú 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) počet zásahov do lietadla dostatočný na jeho deaktiváciu (možné hodnoty sú 1, 2, 3, ..., n, ...);

5) počet lietadiel zostrelených vo vzdušnom boji (možné hodnoty sú 0, 1, 2, ..., N, kde je celkový počet lietadiel zúčastňujúcich sa bitky).

Príklady spojitých náhodných premenných:

1) os (osová osa) bodu dopadu pri výstrele;

2) vzdialenosť od bodu dopadu do stredu terča;

3) chyba výškomera;

4) čas bezporuchovej prevádzky rádiovej trubice.

Označme pravdepodobnosti týchto udalostí písmenami p so zodpovedajúcimi indexmi:

Keďže nekompatibilné udalosti (5.1.1) tvoria kompletnú skupinu

Takúto tabuľku nazveme radom rozdelenia náhodnej premennej.

Zvážte niekoľko príkladov nespojitých náhodných premenných s ich distribučnými zákonmi.

rozhodnutie. Hodnota má iba dve hodnoty: 0 a 1.

Distribučný polygón je znázornený na obr. 5.1.2.

rozhodnutie. Označme počet vyradených bodov. Možné hodnoty: .

Pravdepodobnosť týchto hodnôt sa zistí pomocou vety o opakovaní experimentov:

Séria distribúcie množstva má tvar:

Distribučný polygón je znázornený na obr. 5.1.3.

Prvých päť súradníc distribučného polygónu pre prípad je znázornených na obr. 5.1.4.

rozhodnutie. Náhodná premenná - počet nepoužitých kaziet - má štyri možné hodnoty: 0, 1, 2 a 3. Pravdepodobnosti týchto hodnôt sú:

Séria distribúcie množstva má tvar:

Distribučný polygón je znázornený na obr. 5.1.5.

Príklad 5. Technické zariadenie sa môže používať v rôznych podmienkach a v závislosti od toho si vyžaduje čas od času úpravu. Pri jedinom použití prístroja môže náhodne upadnúť do priaznivého alebo nepriaznivého režimu. V priaznivom režime zariadenie vydrží tri aplikácie bez nastavovania; pred štvrtou sa to musí upraviť. V nepriaznivom režime je potrebné zariadenie po prvom použití nastaviť. Pravdepodobnosť, že sa zariadenie dostane do priaznivého režimu je 0,7, čo v nepriaznivom režime je 0,3. Zvažuje sa náhodná premenná - počet aplikácií zariadenia pred úpravou. Zostavte jeho distribučnú sériu.

rozhodnutie. Náhodná premenná má tri možné hodnoty: 1, 2 a 3. . Aby hodnota nadobudla hodnotu 2, je potrebné, aby sa pri prvej aplikácii prístroj dostal do priaznivého režimu a pri druhej do nepriaznivého; pravdepodobnosť tohto . Aby hodnota nadobudla hodnotu 3, je potrebné, aby zariadenie prvé dva krát prešlo do priaznivého režimu (po treťom raze bude potrebné ešte doladiť). Pravdepodobnosť tohto je .

Séria distribúcie množstva má tvar:

Distribučný polygón je znázornený na obr. 5.1.6.

distribučná funkcia

V predchádzajúcom čísle sme zaviedli distribučný rad ako vyčerpávajúcu charakteristiku (zákon o rozdelení) nespojitej náhodnej premennej. Táto charakteristika však nie je univerzálna; existuje len pre nespojité náhodné premenné. Je ľahké vidieť, že takáto charakteristika nemôže byť skonštruovaná pre spojitú náhodnú premennú. Nepretržitá náhodná premenná má skutočne nespočetný súbor možných hodnôt, ktoré úplne vypĺňajú určitú medzeru (takzvaná „počítateľná množina“). Nie je možné zostaviť tabuľku, v ktorej by boli uvedené všetky možné hodnoty takejto náhodnej premennej. Navyše, ako uvidíme neskôr, každá jednotlivá hodnota spojitej náhodnej premennej zvyčajne nemá žiadnu nenulovú pravdepodobnosť. Preto pre spojitú náhodnú premennú neexistuje distribučný rad v tom zmysle, v akom existuje pre nespojitú premennú. Rôzne rozsahy možných hodnôt náhodnej premennej však stále nie sú rovnako pravdepodobné a pre spojitú premennú existuje „distribúcia pravdepodobnosti“, aj keď nie v rovnakom zmysle ako pre nespojitú.

Na kvantitatívnu charakterizáciu tohto rozdelenia pravdepodobnosti je vhodné použiť nepravdepodobnosť udalosti a pravdepodobnosť udalosti , kde je nejaká aktuálna premenná. Pravdepodobnosť tejto udalosti samozrejme závisí od , existuje určitá funkcia . Táto funkcia sa nazýva distribučná funkcia náhodnej premennej a označuje sa:

. (5.2.1)

Distribučná funkcia sa niekedy nazýva aj integrálna distribučná funkcia alebo integrálny distribučný zákon.

Distribučná funkcia je najuniverzálnejšia charakteristika náhodnej premennej. Existuje pre všetky náhodné premenné: nespojité aj spojité. Distribučná funkcia úplne charakterizuje náhodnú premennú z pravdepodobnostného hľadiska, t.j. je forma distribučného zákona.

Sformulujme niektoré všeobecné vlastnosti distribučnej funkcie.

1. Distribučná funkcia je neklesajúca funkcia svojho argumentu, t.j. v .

2. V mínus nekonečne sa distribučná funkcia rovná nule: .

3. V plus nekonečne sa distribučná funkcia rovná jednej: .

Bez toho, aby sme tieto vlastnosti rigorózne dokazovali, ilustrujeme ich pomocou vizuálnej geometrickej interpretácie. Aby sme to dosiahli, budeme náhodnú premennú považovať za náhodný bod na osi Ox (obr. 5.2.1), ktorý v dôsledku experimentu môže zaujať jednu alebo druhú polohu. Potom distribučná funkcia je pravdepodobnosť, že náhodný bod v dôsledku experimentu padne naľavo od bodu.

Budeme zvyšovať , t.j. posúvať bod doprava pozdĺž osi x. Je zrejmé, že v tomto prípade sa pravdepodobnosť, že náhodný bod padne doľava, nemôže znížiť; preto distribučná funkcia nemôže klesať s rastúcim.

Aby sme sa uistili, že , budeme bod posúvať doľava pozdĺž osi x na neurčito. V tomto prípade sa zásah náhodného bodu vľavo v limite stane nemožnou udalosťou; je prirodzené predpokladať, že pravdepodobnosť tejto udalosti má tendenciu k nule, t.j. .

Podobne posunutím bodu doprava na neurčito zabezpečíme, že , pretože udalosť sa stáva spoľahlivou v limite.

Graf distribučnej funkcie je vo všeobecnom prípade grafom neklesajúcej funkcie (obr. 5.2.2), ktorej hodnoty začínajú od 0 a dosahujú 1 a v niektorých bodoch môže mať funkcia skoky (diskontinuity).

Keď poznáme distribučný rad nespojitej náhodnej premennej, je možné ľahko zostrojiť distribučnú funkciu tejto premennej. naozaj,

kde nerovnosť pod znamienkom súčtu znamená, že súčet sa vzťahuje na všetky hodnoty, ktoré sú menšie ako .

Keď aktuálna premenná prechádza cez ktorúkoľvek z možných hodnôt nespojitej hodnoty, distribučná funkcia sa náhle zmení a veľkosť skoku sa rovná pravdepodobnosti tejto hodnoty.

Príklad 1. Uskutoční sa jeden experiment, v ktorom sa udalosť môže alebo nemusí objaviť. Pravdepodobnosť udalosti je 0,3. Náhodná premenná - počet výskytov udalosti v experimente (charakteristická náhodná premenná udalosti). Zostrojte jeho distribučnú funkciu.

Portál pre študenta. Sebatréning

SÚVISIACE ČLÁNKY