Pred príchodom kalkulačiek študenti a učitelia počítali odmocniny ručne. Existuje niekoľko spôsobov, ako manuálne vypočítať druhú odmocninu čísla. Niektoré z nich ponúkajú len približné riešenie, iné uvádzajú presnú odpoveď.

Kroky

Prvotná faktorizácia

Rozdeľte koreňové číslo na faktory, ktoré sú štvorcovými číslami. V závislosti od koreňového čísla dostanete približnú alebo presnú odpoveď. Štvorcové čísla sú čísla, z ktorých možno odmocniť celú. Faktory sú čísla, ktoré po vynásobení dávajú pôvodné číslo. Napríklad faktory čísla 8 sú 2 a 4, keďže 2 x 4 = 8, čísla 25, 36, 49 sú štvorcové čísla, pretože √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Štvorcové faktory sú faktory, ktoré sú štvorcovými číslami. Najprv sa pokúste rozdeliť koreňové číslo na štvorcové faktory.

• Napríklad vypočítajte druhú odmocninu zo 400 (ručne). Najprv skúste rozdeliť 400 na štvorcové faktory. 400 je násobok 100, to znamená deliteľné 25 - toto je štvorcové číslo. Vydelením 400 číslom 25 získate 16. Číslo 16 je tiež štvorcové číslo. Čiže 400 možno rozdeliť na štvorcové faktory 25 a 16, teda 25 x 16 = 400.
• Dá sa to zapísať takto: √400 = √(25 x 16).

1. Druhá odmocnina súčinu niektorých členov sa rovná súčinu druhých odmocnín každého člena, teda √(a x b) = √a x √b. Použite toto pravidlo a vezmite druhú odmocninu každého štvorcového faktora a vynásobte výsledky, aby ste našli odpoveď.

   • V našom príklade vezmite druhú odmocninu z 25 a 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ak sa odmocnina nezohľadňuje v dvoch štvorcových faktoroch (a to je vo väčšine prípadov), nebudete môcť nájsť presnú odpoveď vo forme celého čísla. Problém však môžete zjednodušiť tak, že odmocninu rozložíte na štvorcový faktor a obyčajný faktor (číslo, z ktorého nemožno vziať celú odmocninu). Potom vezmete druhú odmocninu štvorcového faktora a odmocninu bežného faktora.

   • Vypočítajte napríklad druhú odmocninu čísla 147. Číslo 147 nemožno rozdeliť na dva štvorcové faktory, ale je možné ho rozdeliť do nasledujúcich faktorov: 49 a 3. Úlohu vyriešte takto:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. V prípade potreby vyhodnoťte hodnotu koreňa. Teraz môžete vyhodnotiť hodnotu odmocniny (nájsť približnú hodnotu) porovnaním s hodnotami odmocninových čísel, ktoré sú najbližšie (na oboch stranách číselnej osy) ku koreňovému číslu. Hodnotu odmocniny dostanete ako desatinný zlomok, ktorý treba vynásobiť číslom za odmocninou.

   • Vráťme sa k nášmu príkladu. Základné číslo je 3. Najbližšie štvorcové čísla k nemu sú čísla 1 (√1 = 1) a 4 (√4 = 2). Hodnota √3 teda leží medzi 1 a 2. Keďže hodnota √3 je pravdepodobne bližšie k 2 ako k 1, náš odhad je: √3 = 1,7. Túto hodnotu vynásobíme číslom v koreňovom znamienku: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ak urobíte výpočty na kalkulačke, dostanete 12,13, čo je dosť blízko k našej odpovedi.
     • Táto metóda funguje aj pri veľkých číslach. Zvážte napríklad √35. Základné číslo je 35. Najbližšie štvorcové čísla k nemu sú čísla 25 (√25 = 5) a 36 (√36 = 6). Hodnota √35 teda leží medzi 5 a 6. Keďže hodnota √35 je oveľa bližšie k 6 ako k 5 (pretože 35 je len o 1 menej ako 36), môžeme konštatovať, že √35 je o niečo menej ako 6. Overenie pomocou kalkulačky nám dáva odpoveď 5,92 - mali sme pravdu.

4. Ďalším spôsobom je rozloženie koreňového čísla na prvočísla. Prvočísla sú čísla, ktoré sú deliteľné iba 1 a samy sebou. Napíšte prvočísla do radu a nájdite dvojice rovnakých faktorov. Takéto faktory možno vyňať zo znamenia koreňa.

   • Napríklad vypočítajte druhú odmocninu zo 45. Číslo odmocniny rozložíme na prvočísla: 45 \u003d 9 x 5 a 9 \u003d 3 x 3. Teda √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 možno vyňať z koreňového znamienka: √45 = 3√5. Teraz môžeme odhadnúť √5.
   • Zvážte ďalší príklad: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Máte tri multiplikátory 2; vezmi ich pár a vyber ich zo znamenia koreňa.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Teraz môžeme vyhodnotiť √2 a √11 a nájsť približnú odpoveď.

   Ručný výpočet druhej odmocniny

   Použitie delenia stĺpcov

   1. Táto metóda zahŕňa proces podobný dlhému deleniu a poskytuje presnú odpoveď. Najprv nakreslite zvislú čiaru rozdeľujúcu hárok na dve polovice a potom nakreslite vodorovnú čiaru vpravo a mierne pod horný okraj hárku k zvislej čiare. Teraz rozdeľte koreňové číslo na dvojice čísel, počnúc zlomkovou časťou za desatinnou čiarkou. Takže číslo 79520789182.47897 je napísané ako "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Vypočítajme napríklad druhú odmocninu z čísla 780,14. Nakreslite dve čiary (ako je znázornené na obrázku) a napíšte číslo vľavo hore ako „7 80, 14“. Je normálne, že prvá číslica zľava je nespárovaná číslica. Odpoveď (koreň daného čísla) bude napísaná vpravo hore.

   2. Vzhľadom na prvý pár čísel (alebo jedno číslo) zľava nájdite najväčšie celé číslo n, ktorého druhá mocnina je menšia alebo sa rovná príslušnému páru čísel (alebo jednému číslu). Inými slovami, nájdite druhé číslo, ktoré je najbližšie, ale menšie ako prvý pár čísel (alebo jedno číslo) zľava, a zoberte druhú odmocninu tohto druhého čísla; dostanete číslo n. Nájdené n napíšte vpravo hore a štvorec n vpravo dole.

      • V našom prípade bude prvé číslo vľavo číslo 7. Ďalej 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Odčítajte druhú mocninu čísla n, ktoré ste práve našli, od prvého páru čísel (alebo jedného čísla) zľava. Výsledok výpočtu zapíšte pod subtrahend (druhá mocnina čísla n).

      • V našom príklade odpočítajte 4 od 7 a dostanete 3.

   4. Zložte druhú dvojicu čísel a zapíšte ju vedľa hodnoty získanej v predchádzajúcom kroku. Potom zdvojnásobte číslo vpravo hore a výsledok napíšte vpravo dole s pripojeným „_×_=".

      • V našom príklade je druhý pár čísel "80". Za 3 napíšte „80“. Potom zdvojnásobením čísla vpravo hore získate 4. Napíšte „4_×_=" vpravo dole.

   5. Vyplňte prázdne miesta na pravej strane.

      • V našom prípade, ak namiesto pomlčiek dáme číslo 8, potom 48 x 8 \u003d 384, čo je viac ako 380. Preto je 8 príliš veľké číslo, ale 7 je v poriadku. Napíšte 7 namiesto pomlčiek a získajte: 47 x 7 \u003d 329. Napíšte 7 vpravo hore - toto je druhá číslica v požadovanej druhej odmocnine čísla 780,14.

   6. Odčítajte výsledné číslo od aktuálneho čísla vľavo. Výsledok z predchádzajúceho kroku napíš pod aktuálne číslo vľavo, nájdi rozdiel a zapíš ho pod odčítané.

      • V našom príklade odpočítajte 329 od 380, čo sa rovná 51.

   7. Opakujte krok 4. Ak je búraná dvojica čísel zlomková časť pôvodného čísla, umiestnite oddeľovač (čiarku) celého čísla a zlomkových častí do požadovanej druhej odmocniny sprava hore. Vľavo zložte nasledujúci pár čísel. Zdvojnásobte číslo vpravo hore a výsledok napíšte vpravo dole s pripojeným znakom „_×_=".

      • V našom príklade bude ďalšia dvojica čísel, ktorá sa má zbúrať, zlomková časť čísla 780,14, takže oddeľovač celých a zlomkových častí vložte do požadovanej druhej odmocniny sprava hore. Zbúrať 14 a zapísať vľavo dole. Dvojnásobok pravého horného rohu (27) je 54, takže napíšte "54_×_=" vpravo dole.

   8. Opakujte kroky 5 a 6. Nájdite najväčšie číslo namiesto pomlčiek vpravo (namiesto pomlčiek musíte nahradiť rovnaké číslo), aby výsledok násobenia bol menší alebo rovný aktuálnemu číslu vľavo.

      • V našom príklade je 549 x 9 = 4941, čo je menej ako aktuálne číslo vľavo (5114). Vpravo hore napíšte 9 a od aktuálneho čísla vľavo odčítajte výsledok násobenia: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ak potrebujete nájsť viac desatinných miest pre druhú odmocninu, napíšte pár núl vedľa aktuálneho čísla vľavo a zopakujte kroky 4, 5 a 6. Opakujte kroky, kým nedosiahnete presnosť odpovede, ktorú potrebujete (počet desatinné miesta).

      Pochopenie procesu

      1. Na zvládnutie tejto metódy si predstavte číslo, ktorého druhú odmocninu chcete nájsť, ako plochu štvorca S. V tomto prípade budete hľadať dĺžku strany L takéhoto štvorca. Vypočítajte hodnotu L, pre ktorú L² = S.

         Zadajte písmeno pre každú číslicu vo svojej odpovedi. Označte A prvú číslicu hodnoty L (požadovaná druhá odmocnina). B bude druhá číslica, C tretia a tak ďalej.

         Zadajte písmeno pre každý pár úvodných číslic. Označme S a prvú dvojicu číslic v hodnote S, Sb druhú dvojicu číslic atď.

         Vysvetlite súvislosť tejto metódy s dlhým delením. Rovnako ako pri operácii delenia, kde nás vždy zaujíma len jedna ďalšia číslica deliteľného čísla, aj pri výpočte druhej odmocniny pracujeme s dvojicou číslic v poradí (aby sme získali ďalšiu číslicu v hodnote druhej odmocniny) .

      2. Zvážte prvý pár číslic Sa čísla S (v našom príklade Sa = 7) a nájdite jeho druhú odmocninu. V tomto prípade bude prvou číslicou A hľadanej hodnoty odmocniny taká číslica, ktorej druhá mocnina je menšia alebo rovná S a (to znamená, že hľadáme také A, ktoré spĺňa nerovnosť A² ≤ So< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Povedzme, že potrebujeme vydeliť 88962 číslom 7; tu bude prvý krok podobný: zvážime prvú číslicu deliteľného čísla 88962 (8) a vyberieme najväčšie číslo, ktoré po vynásobení číslom 7 dáva hodnotu menšiu alebo rovnú 8. To znamená, že hľadáme číslo d, pre ktoré platí nerovnosť: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. V duchu si predstavte štvorec, ktorého plochu musíte vypočítať. Hľadáte L, teda dĺžku strany štvorca, ktorého plocha je S. A, B, C sú čísla v čísle L. Môžete to napísať inak: 10A + B \u003d L (pre dvojku -miestne číslo) alebo 100A + 10B + C \u003d L (pre trojmiestne číslo) atď.

         • Nechať byť (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Pamätajte, že 10A+B je číslo, ktorého B znamená jednotky a A znamená desiatky. Napríklad, ak A=1 a B=2, potom 10A+B sa rovná číslu 12. (10A+B)² je plocha celého námestia, 100A² je plocha veľkého vnútorného námestia, B² je plocha malého vnútorného štvorca, 10A×B je plocha každého z dvoch obdĺžnikov. Po pridaní oblastí opísaných obrázkov získate plochu pôvodného štvorca.

Koreňové vzorce. vlastnosti odmocnin.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

V predchádzajúcej lekcii sme zistili, čo je druhá odmocnina. Je čas zistiť, čo sú vzorce pre korene, čo sú koreňové vlastnosti a čo sa s tým všetkým dá robiť.

Koreňové vzorce, koreňové vlastnosti a pravidlá pre akcie s koreňmi- je to v podstate to isté. Existuje prekvapivo málo vzorcov pre druhé odmocniny. Čo, samozrejme, poteší! Skôr sa dá napísať množstvo všelijakých vzorcov, no na praktickú a sebavedomú prácu s koreňmi stačia len tri. Všetko ostatné plynie z týchto troch. Hoci mnohí blúdia v troch vzorcoch koreňov, áno ...

Začnime tým najjednoduchším. Tu je:

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Medzi mnohými znalosťami, ktoré sú znakom gramotnosti, je na prvom mieste abeceda. Ďalším, tým istým „znamienkovým“ prvkom, sú zručnosti sčítania-násobenia a k nim priľahlé, ale s opačným významom, aritmetické operácie odčítania-delenia. Zručnosti naučené v ďalekom školskom detstve verne slúžia vo dne v noci: TV, noviny, SMS, A všade čítame, píšeme, počítame, sčítame, odčítame, násobíme. A povedzte, museli ste často zapúšťať korene v živote, okrem krajiny? Napríklad taký zábavný problém, ako je druhá odmocnina čísla 12345... Je ešte v nádobách s práškom pušný prach? Dokážeme to? Áno, nie je nič jednoduchšie! Kde je moja kalkulačka... A bez nej, z ruky do ruky, slabá?

Najprv si ujasnime, čo to je – druhá odmocnina čísla. Všeobecne povedané, „vytiahnuť odmocninu z čísla“ znamená vykonať aritmetickú operáciu opačnú k umocneniu – tu máte jednotu protikladov v životnej aplikácii. povedzme, že štvorec je vynásobením čísla samo osebe, t. j., ako učili v škole, X * X = A alebo v inom zápise X2 = A a slovami - „X na druhú sa rovná A“. Potom inverzná úloha znie takto: druhá odmocnina čísla A je číslo X, ktoré sa po druhej mocnine rovná A.

Extrahovanie druhej odmocniny

Zo školského kurzu aritmetiky sú známe metódy výpočtov "v stĺpci", ktoré pomáhajú vykonávať akékoľvek výpočty pomocou prvých štyroch aritmetických operácií. Bohužiaľ... Pre štvorec, a nielen pre štvorec, korene takýchto algoritmov neexistujú. A ako v tomto prípade extrahovať druhú odmocninu bez kalkulačky? Na základe definície druhej odmocniny je len jeden záver - je potrebné vybrať hodnotu výsledku postupným sčítavaním čísel, ktorých druhá mocnina sa blíži hodnote odmocninového výrazu. Len a všetko! Hodina či dve nestihne uplynúť, keďže môžete vypočítať pomocou známej metódy násobenia do „stĺpca“, ľubovoľnej druhej odmocniny. Ak máte zručnosti, stačí na to pár minút. Dokonca aj nie celkom pokročilý používateľ kalkulačky alebo PC to zvládne jedným ťahom – pokrok.

Ale vážne, výpočet druhej odmocniny sa často vykonáva pomocou techniky „delostreleckých vidlíc“: najprv sa vezme číslo, ktorého druhá mocnina približne zodpovedá koreňovému výrazu. Je lepšie, ak je "náš štvorec" o niečo menší ako tento výraz. Potom číslo opravia podľa vlastnej zručnosti-pochopenia, napríklad vynásobia dvomi a ... znova odmocnia. Ak je výsledok väčší ako číslo pod koreňom, postupne sa upraví pôvodné číslo, postupne sa približuje k svojmu "kolegovi" pod koreňom. Ako vidíte – žiadna kalkulačka, iba možnosť počítať „do stĺpca“. Samozrejme, existuje veľa vedecky podložených a optimalizovaných algoritmov na výpočet druhej odmocniny, ale pre „domáce použitie“ vyššie uvedená technika dáva 100% dôveru vo výsledok.

Áno, skoro som zabudol, aby sme potvrdili našu zvýšenú gramotnosť, vypočítame druhú odmocninu predtým uvedeného čísla 12345. Robíme to krok za krokom:

1. Zoberte, čisto intuitívne, X=100. Vypočítajme: X * X = 10000. Intuícia je navrchu – výsledok je menší ako 12345.

2. Skúsme, tiež čisto intuitívne, X = 120. Potom: X * X = 14400. A opäť s intuíciou poradie - výsledok je viac ako 12345.

3. Vyššie sa získa "vidlička" 100 a 120. Vyberme si nové čísla - 110 a 115. Dostaneme 12100 a 13225 - vidlica sa zužuje.

4. Skúšame „možno“ X = 111. Dostaneme X * X = 12321. Toto číslo je už celkom blízko k 12345. V súlade s požadovanou presnosťou môže „montáž“ pokračovať alebo zastaviť na dosiahnutom výsledku. To je všetko. Ako som sľúbil - všetko je veľmi jednoduché a bez kalkulačky.

Trochu histórie...

Dokonca aj Pythagorejci, študenti školy a nasledovníci Pythagorasa, mysleli na použitie odmocniny, 800 pred Kristom. a práve tam „narazili“ na nové objavy v oblasti čísel. A odkiaľ to prišlo?

1. Riešenie úlohy s extrakciou koreňa dáva výsledok vo forme čísel novej triedy. Boli nazývané iracionálne, inými slovami, „nerozumné“, pretože. nepíšu sa ako celé číslo. Najklasickejším príkladom tohto druhu je druhá odmocnina z 2. Tento prípad zodpovedá výpočtu uhlopriečky štvorca so stranou rovnajúcou sa 1 – tu je vplyv Pytagorovej školy. Ukázalo sa, že v trojuholníku s veľmi špecifickou jednotkovou veľkosťou strán má prepona veľkosť, ktorá je vyjadrená číslom, ktoré „nemá koniec“. Tak sa objavila matematika

2. Je známe, že Ukázalo sa, že táto matematická operácia obsahuje ešte jeden háčik - extrahovanie odmocniny, nevieme, aká druhá mocnina ktorého čísla, či už kladná alebo záporná, je koreňový výraz. Táto neistota, dvojitý výsledok z jednej operácie, sa zapíše.

Štúdium problémov spojených s týmto javom sa stalo v matematike smerom nazývaným teória komplexnej premennej, ktorý má v matematickej fyzike veľký praktický význam.

Je zvláštne, že označenie koreňa – radikál – použil vo svojej „Univerzálnej aritmetike“ ten istý všadeprítomný I. Newton a práve moderná forma zápisu koreňa je známa už od roku 1690 z knihy Francúza Rolla „Algebra Manual ".

V tomto článku vám predstavíme pojem koreňa čísla. Budeme postupovať postupne: začneme odmocninou, od nej prejdeme k opisu odmocniny, potom pojem odmocniny zovšeobecníme definovaním odmocniny n-tého stupňa. Zároveň uvedieme definície, zápis, uvedieme príklady koreňov a uvedieme potrebné vysvetlenia a komentáre.

Druhá odmocnina, aritmetická druhá odmocnina

Aby sme pochopili definíciu odmocniny čísla, a najmä druhej odmocniny, musíme mať . Na tomto mieste sa často stretneme s druhou mocninou čísla – druhou mocninou čísla.

Začnime s definície druhej odmocniny.

Definícia

Druhá odmocnina z a je číslo, ktorého druhá mocnina je a.

S cieľom priniesť príklady odmocnin, vezmite niekoľko čísel, napríklad 5 , −0,3 , 0,3, 0 a odmocnite ich, dostaneme čísla 25 , 0,09 , 0,09 a 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (-0,3) 2 = (-0,3) (-0,3) = 0,09(0,3)2=0,3 0,3=0,09 a 02=00=0). Potom podľa vyššie uvedenej definície 5 je druhá odmocnina z 25, -0,3 a 0,3 sú druhé odmocniny z 0,09 a 0 je druhá odmocnina z nuly.

Treba poznamenať, že pre žiadne číslo neexistuje a, ktorého druhá mocnina sa rovná a. Totiž, pre žiadne záporné číslo a neexistuje reálne číslo b, ktorého druhá mocnina sa rovná a. Vskutku, rovnosť a=b 2 nie je možná pre žiadne záporné a , pretože b 2 je nezáporné číslo pre ľubovoľné b . teda na množine reálnych čísel neexistuje druhá odmocnina záporného čísla. Inými slovami, na množine reálnych čísel nie je druhá odmocnina záporného čísla definovaná a nemá žiadny význam.

To vedie k logickej otázke: „Existuje druhá odmocnina z a pre akékoľvek nezáporné a“? odpoveď je áno. Zdôvodnenie tejto skutočnosti možno považovať za konštruktívnu metódu použitú na zistenie hodnoty druhej odmocniny.

Potom vyvstáva nasledujúca logická otázka: „Aký je počet všetkých druhých odmocnín daného nezáporného čísla a – jedna, dva, tri alebo aj viac“? Tu je odpoveď: ak a je nula, potom jediná druhá odmocnina nuly je nula; ak a je nejaké kladné číslo, potom počet druhých odmocnín z čísla a je rovný dvom a odmocniny sú . Poďme to podložiť.

Začnime prípadom a=0 . Najprv ukážme, že nula je skutočne druhou odmocninou nuly. Vyplýva to zo zjavnej rovnosti 0 2 =0·0=0 a definície druhej odmocniny.

Teraz dokážme, že 0 je jediná odmocnina z nuly. Použime opačnú metódu. Predpokladajme, že existuje nejaké nenulové číslo b, ktoré je druhou odmocninou nuly. Potom musí byť splnená podmienka b 2 =0, čo je nemožné, keďže pre každé nenulové b je hodnota výrazu b 2 kladná. Dostali sme sa do rozporu. To dokazuje, že 0 je jediná druhá odmocnina nuly.

Prejdime k prípadom, kde a je kladné číslo. Vyššie sme povedali, že vždy existuje druhá odmocnina akéhokoľvek nezáporného čísla, nech b je druhá odmocnina z a. Povedzme, že existuje číslo c , ktoré je zároveň druhou odmocninou z a . Potom podľa definície druhej odmocniny platia rovnosti b 2 =a a c 2 =a, z čoho vyplýva, že b 2 −c 2 =a−a=0, ale keďže b 2 −c 2 =( b-c) (b+c), potom (b-c) (b+c)=0. Výsledná rovnosť v platnosti vlastnosti akcií s reálnymi číslami možné len vtedy, keď b−c=0 alebo b+c=0 . Čísla b a c sú teda rovnaké alebo opačné.

Ak predpokladáme, že existuje číslo d, ktoré je ďalšou odmocninou čísla a, potom podobným uvažovaním ako už bolo uvedené sa dokáže, že d sa rovná číslu b alebo číslu c. Takže počet druhých odmocnín kladného čísla je dva a odmocniny sú opačné čísla.

Pre uľahčenie práce s odmocninami je záporná odmocnina „oddelená“ od kladnej. Na tento účel zavádza definícia aritmetickej druhej odmocniny.

Definícia

Aritmetická druhá odmocnina nezáporného čísla a je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná .

Pre aritmetickú druhú odmocninu čísla a sa akceptuje zápis. Znamienko sa nazýva aritmetická odmocnina. Nazýva sa aj znakom radikála. Preto môžete čiastočne počuť aj „koreň“ aj „radikál“, čo znamená ten istý objekt.

Volá sa číslo pod aritmetickou odmocninou koreňové číslo a výraz pod koreňovým znakom - radikálny prejav, pričom výraz „radikálne číslo“ sa často nahrádza výrazom „radikálny výraz“. Napríklad v zápise je číslo 151 radikálnym číslom a v zápise je výraz a radikálnym výrazom.

Pri čítaní sa slovo „aritmetika“ často vynecháva, napríklad záznam sa číta ako „druhá odmocnina zo siedmich bodových dvadsaťdeväť stotín“. Slovo "aritmetika" sa vyslovuje iba vtedy, keď chcú zdôrazniť, že hovoríme o kladnej druhej odmocnine čísla.

Vo svetle zavedeného zápisu z definície aritmetickej odmocniny vyplýva, že pre ľubovoľné nezáporné číslo a .

Druhé odmocniny kladného čísla a sa zapisujú pomocou aritmetickej odmocniny ako a . Napríklad odmocniny z 13 sú a . Aritmetická druhá odmocnina nuly je nula, teda . Pre záporné čísla a nebudeme položkám pripisovať význam, kým nebudeme študovať komplexné čísla. Napríklad výrazy a sú bezvýznamné.

Na základe definície druhej odmocniny sa dokazujú vlastnosti odmocnín, ktoré sa často využívajú v praxi.

Na záver tohto pododdielu si všimneme, že druhé odmocniny čísla sú riešenia tvaru x 2 =a vzhľadom na premennú x .

kocka koreň z

Definícia odmocniny kockyčísla a sa uvádza podobným spôsobom ako definícia druhej odmocniny. Len to je založené na koncepte kocky čísla, nie štvorca.

Definícia

Kockový koreň a volá sa číslo, ktorého kocka sa rovná a.

Poďme priniesť príklady kubických koreňov. Ak to chcete urobiť, vezmite niekoľko čísel, napríklad 7 , 0 , −2/3 , a rozdeľte ich na kocku: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Potom na základe definície odmocniny môžeme povedať, že číslo 7 je odmocnina z 343, 0 je odmocnina z nuly a −2/3 je odmocnina z −8/27.

Dá sa ukázať, že odmocnina čísla a na rozdiel od druhej odmocniny vždy existuje, a to nielen pre nezáporné a, ale aj pre akékoľvek reálne číslo a. Ak to chcete urobiť, môžete použiť rovnakú metódu, ktorú sme spomenuli pri štúdiu druhej odmocniny.

Okrem toho existuje iba jedna odmocnina daného čísla a. Dokážme posledné tvrdenie. Ak to chcete urobiť, zvážte oddelene tri prípady: a je kladné číslo, a=0 a a je záporné číslo.

Je ľahké ukázať, že pre kladné a odmocnina z a nemôže byť ani záporná, ani nulová. Vskutku, nech b je odmocnina z a , potom podľa definície môžeme napísať rovnosť b 3 =a . Je jasné, že táto rovnosť nemôže platiť pre záporné b a pre b=0, pretože v týchto prípadoch bude b 3 =b·b·b záporné číslo alebo nula. Odmocnina z kladného čísla a je teda kladné číslo.

Teraz predpokladajme, že okrem čísla b existuje ešte jedna odmocnina z čísla a, označme ho c. Potom c 3 = a. Preto b 3 −c 3 =a−a=0 , ale b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(toto je skrátený vzorec násobenia rozdiel kociek), odkiaľ (b−c) (b2+bc+c2)=0. Výsledná rovnosť je možná len vtedy, keď b−c=0 alebo b 2 +b c+c 2 =0 . Z prvej rovnosti máme b=c a druhá rovnosť nemá riešenia, keďže jej ľavá strana je kladné číslo pre akékoľvek kladné čísla b a c ako súčet troch kladných členov b 2 , b c a c 2 . To dokazuje jedinečnosť tretej odmocniny kladného čísla a.

Pre a=0 je jediná odmocnina z a nula. Ak totiž predpokladáme, že existuje číslo b , ktoré je nenulovou odmocninou z nuly, potom musí platiť rovnosť b 3 =0, čo je možné len vtedy, keď b=0 .

Pre záporné a možno argumentovať podobne ako v prípade kladného a. Najprv ukážeme, že odmocnina záporného čísla sa nemôže rovnať ani kladnému číslu, ani nule. Po druhé, predpokladáme, že existuje druhá odmocnina záporného čísla a ukážeme, že sa nevyhnutne zhoduje s prvou.

Takže vždy existuje odmocnina akéhokoľvek daného reálneho čísla a a iba jedna.

Dajme si definícia aritmetickej odmocniny.

Definícia

Aritmetická odmocnina nezáporného čísla a volá sa nezáporné číslo, ktorého kocka sa rovná a.

Aritmetická odmocnina nezáporného čísla a sa označuje ako , znamienko sa nazýva znamienko aritmetickej odmocniny, číslo 3 v tomto zápise sa nazýva koreňový indikátor. Číslo pod koreňovým znakom je koreňové číslo, výraz pod koreňovým znakom je radikálny prejav.

Aj keď je aritmetická odmocnina definovaná len pre nezáporné čísla a, je vhodné použiť aj položky, v ktorých sú záporné čísla pod znamienkom aritmetickej kocky. Budeme ich chápať takto: , kde a je kladné číslo. Napríklad, .

O vlastnostiach kubických koreňov si povieme vo všeobecnom článku vlastnosti koreňov.

Výpočet hodnoty odmocniny kocky sa nazýva extrakcia odmocniny kocky, táto akcia je popísaná v článku extrahovanie koreňov: metódy, príklady, riešenia.

Na záver tohto pododdielu povieme, že odmocnina z a je riešením v tvare x 3 =a.

N-tý koreň, aritmetický koreň n

Zovšeobecňujeme pojem odmocnina z čísla – zavádzame určenie n-tého koreňa pre n.

Definícia

n-tý koreň a je číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná a.

Z tejto definície je zrejmé, že koreňom prvého stupňa z čísla a je samotné číslo a, keďže pri štúdiu stupňa s prirodzeným ukazovateľom sme vzali a 1 = a.

Vyššie sme uvažovali o špeciálnych prípadoch odmocniny n-tého stupňa pre n=2 a n=3 - odmocninu a odmocninu. To znamená, že druhá odmocnina je odmocninou druhého stupňa a odmocnina je odmocninou tretieho stupňa. Na štúdium koreňov n-tého stupňa pre n=4, 5, 6, ... je vhodné ich rozdeliť do dvoch skupín: prvá skupina - korene párnych stupňov (t. j. pre n=4, 6 , 8, ...), druhá skupina - odmocniny nepárne (to znamená pre n=5, 7, 9, ... ). Je to spôsobené tým, že korene párnych stupňov sú podobné druhej odmocnine a korene nepárnych stupňov sú podobné kubickej odmocnine. Poďme sa im venovať postupne.

Začnime odmocninami, ktorých mocniny sú párne čísla 4, 6, 8, ... Ako sme si už povedali, sú podobné ako odmocnina čísla a. To znamená, že koreň akéhokoľvek párneho stupňa z čísla a existuje len pre nezáporné a. Navyše, ak a=0, potom koreň a je jedinečný a rovný nule, a ak a>0, potom z čísla a sú dva korene párneho stupňa a sú to opačné čísla.

Zdôvodnime posledné tvrdenie. Nech b je koreň párneho stupňa (označíme ho 2·m, kde m je nejaké prirodzené číslo) z a. Predpokladajme, že existuje číslo c - ďalšie 2 m odmocniny z a. Potom b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Ale poznáme tvar b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2), potom (b-c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z tejto rovnosti vyplýva, že b−c=0 , alebo b+c=0 , alebo b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prvé dve rovnosti znamenajú, že čísla b a c sú rovnaké alebo b a c sú opačné. A posledná rovnosť platí len pre b=c=0 , keďže jej ľavá strana obsahuje výraz, ktorý je nezáporný pre ľubovoľné b a c ako súčet nezáporných čísel.

Pokiaľ ide o korene n-tého stupňa pre nepárne n, sú podobné odmocnine. To znamená, že koreň akéhokoľvek nepárneho stupňa z čísla a existuje pre akékoľvek reálne číslo a a pre dané číslo a je jedinečný.

Jedinečnosť odmocniny nepárneho stupňa 2·m+1 z čísla a sa dokazuje analogicky s dôkazom jednoznačnosti odmocniny z a . Len tu namiesto rovnosti a 3 −b 3 = (a−b) (a 2 +a b+c 2) rovnosť tvaru b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Výraz v poslednej zátvorke možno prepísať ako b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m-2 +c 2 m-2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Napríklad pre m=2 máme b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b-c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c)). Keď sú a aj b kladné alebo záporné, ich súčin je kladné číslo, potom výraz b 2 +c 2 +b·c , ktorý je v zátvorkách najvyššieho stupňa vnorenia, je kladný ako súčet kladných čísel. čísla. Teraz postupným prechodom k výrazom v zátvorkách predchádzajúcich stupňov vnorenia sa presvedčíme, že sú tiež kladné ako súčty kladných čísel. Výsledkom je, že rovnosť b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 možné len vtedy, keď b−c=0 , teda keď číslo b sa rovná číslu c .

Je čas zaoberať sa zápisom koreňov n-tého stupňa. Na to je to dané určenie aritmetického koreňa n-tého stupňa.

Definícia

Aritmetický koreň n-tého stupňa nezáporného čísla a volá sa nezáporné číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná a.

Plocha štvorcového pozemku je 81 dm². Nájdite jeho stranu. Predpokladajme, že dĺžka strany štvorca je X decimetre. Potom je plocha pozemku X² štvorcových decimetrov. Keďže podľa stavu je táto plocha 81 dm², tak X² = 81. Dĺžka strany štvorca je kladné číslo. Kladné číslo, ktorého druhá mocnina je 81, je číslo 9. Pri riešení úlohy bolo potrebné nájsť číslo x, ktorého druhá mocnina je 81, teda vyriešiť rovnicu X² = 81. Táto rovnica má dva korene: X 1 = 9 a X 2 \u003d - 9, pretože 9² \u003d 81 a (- 9)² \u003d 81. Obidve čísla 9 a - 9 sa nazývajú odmocniny čísla 81.

Všimnite si, že jedna odmocnina X= 9 je kladné číslo. Nazýva sa aritmetická druhá odmocnina z 81 a označuje sa √81, teda √81 = 9.

Aritmetická druhá odmocnina čísla a je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná a.

Napríklad čísla 6 a -6 sú odmocniny z 36. Číslo 6 je aritmetická odmocnina z 36, pretože 6 je nezáporné číslo a 6² = 36. Číslo -6 nie je aritmetická odmocnina.

Aritmetická druhá odmocnina čísla a označené takto: √ a.

Znamienko sa nazýva aritmetická odmocnina; a sa nazýva koreňový výraz. Výraz √ ačítať takto: aritmetická druhá odmocnina čísla a. Napríklad √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. V prípadoch, keď je jasné, že hovoríme o aritmetickej odmocnine, stručne hovoria: „druhá odmocnina z a«.

Akt hľadania druhej odmocniny čísla sa nazýva branie druhej odmocniny. Táto akcia je opakom kvadratúry.

Akékoľvek číslo možno odmocniť, ale odmocniny nemožno zo žiadneho čísla odmocniť. Napríklad nie je možné extrahovať druhú odmocninu čísla - 4. Ak takýto odmocninec existoval, potom ho označte písmenom X, dostali by sme nesprávnu rovnosť x² \u003d - 4, pretože vľavo je nezáporné číslo a vpravo záporné číslo.

Výraz √ a dáva zmysel len vtedy a ≥ 0. Definíciu druhej odmocniny možno stručne zapísať ako: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Rovnosť (√ a)² = a platný na a ≥ 0. Aby sme sa uistili, že druhá odmocnina nezáporného čísla a rovná sa b, teda že √ a =b, musíte skontrolovať, či sú splnené nasledujúce dve podmienky: b ≥ 0, b² = a.

Druhá odmocnina zlomku

Poďme počítať. Všimnite si, že √25 = 5, √36 = 6 a skontrolujte, či platí rovnosť.

Ako a potom platí rovnosť. takze .

Veta: Ak a≥ 0 a b> 0, to znamená, že koreň zlomku sa rovná koreňu čitateľa vydelenému odmocninou menovateľa. Je potrebné preukázať, že: a .

Od √ a≥0 a √ b> 0, potom .

Vlastnosťou zvýšiť zlomok na mocninu a určiť druhú odmocninu veta je dokázaná. Pozrime sa na pár príkladov.

Vypočítajte podľa osvedčenej vety .

Druhý príklad: Dokážte to , ak a ≤ 0, b < 0. .

Ďalší príklad: Vypočítajte .

.

Transformácia druhej odmocniny

Vytiahnutie multiplikátora spod znamenia koreňa. Nech je daný výraz. Ak a≥ 0 a b≥ 0, potom pomocou vety o koreni súčinu môžeme napísať:

Takáto transformácia sa nazýva vylúčenie koreňového znamienka. Zvážte príklad;

Vypočítajte pri X= 2. Priama substitúcia X= 2 v radikálnom výraze vedie ku komplikovaným výpočtom. Tieto výpočty je možné zjednodušiť, ak najprv odstránime faktory pod koreňovým znakom: . Ak teraz dosadíme x = 2, dostaneme:.

Takže pri vyňatí faktora spod koreňového znamienka je radikálny výraz reprezentovaný ako súčin, v ktorom jeden alebo viac faktorov sú druhé mocniny nezáporných čísel. Potom sa použije teorém koreňového produktu a vezme sa koreň každého faktora. Uvažujme o príklade: Zjednodušte výraz A = √8 + √18 - 4√2 tak, že v prvých dvoch členoch vyberieme faktory pod znamienkom odmocniny, dostaneme:. Zdôrazňujeme, že rovnosť platí len vtedy a≥ 0 a b≥ 0. ak a < 0, то .